最新自主招生数学专题讲义-第2讲：不等式(1)

第二讲：不等式

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第一部分 概述

不等式部分包括：解不等式；不等式的证明

在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；

交大试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广：

需要适当补充一点超纲知识

柯西不等式

均值不等式及其推广

第二部分 知识补充：

1、

柯西不等式的证明

1212,,2

((112111n n

a b R a b a b

n a a a n

n a a a +∀∈+≥≥≥++++≥≥≥

++L L 有平方平均）算术平均）调和平均）

推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====L L L L n

柯西不等式设是实数则

当且仅当或存在一个数

使得时等号成立222222

212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥n n b a b a b a B Λ++=2211，

b b b C n 2

2221+++=Λ222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥②

证明：

柯西不等式的推论一

柯西不等式的推论二

柯西不等式的应用

2AC B 不等式就是②≥()222

2121122222

121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x

b b b ==+++++++++L L L L 若全部为零，则原不等式显然成立。若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f Λ又∴二次函数()f x 的判别式0△≤,

即2222222112212124()4()()0n n n

n a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++L L L ≤ 证明： 22

2222

12212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯L L L ≥ 例1已知12,,,n a a a L 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++L L ≤

22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++L L ≥222212121()n n

a a a a a a n ∴++++++L L ≤2

111,n

n i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 2

22222222

()()

()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a

∴

===不

柯西不等式练习

1、 2.已知21x y +=,求2

2

x y +的最小值. 3.设,x y R +

∈,且x+2y =36,求

1

2

x y

+的最小值．

第三部分 真题精析：

（2004，复旦）

2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.14

1143,71,14132114

11)32()321)((:2

222222222222取最小值

时

即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴

=++≥++++41

11,b a ,, 2≥+=+∈+b

a R

b a 求证设

例222

2

sin cos ,sin cos 2sin cos 1

sin cos ,sin cos ,2212,2

x x y y x x x x

t x x t x x t t y t y t +==++-⎡+==∈⎣-=+令令则且显然，关于是单调递增的

（2004，同济）

关键步骤提示：

2(1)2(1)

121

k k k k k k k k k k +=

<=<=-+++-