最新自主招生数学专题讲义-第2讲：不等式(1)
中职数学不等式
注意事项
在解一元二次不等式时，需要注意 判别式的符号，以及不等式的方向 和开口方向。
一元二次不等式的应用
解决实际问题
一元二次不等式可以用来解决一些实际问题，如最大值、最 小值问题，以及一些优化问题。
在其他数学领域中的应用
分式不等式的应用
解决实际问题
分式不等式在解决实际问题中有着广泛的应用，如工程问题、经济问题、物理问题等。通过建立分式不等式模型 ，可以解决各种优化问题。
数学竞赛
在数学竞赛中，分式不等式是常见的题型之一。通过解决分式不等式，可以考察学生的数学思维和解题技巧。
分式不等式的解集表示法
区间表示
分式不等式的解集通常用区间表示，如 (-∞, a) 或 [a, b) 等。这种表示方法可以直观地展示不等式的 解集范围。
数轴表示
通过在数轴上标出分式不等式的解集范围，可以更加直观地理解解集的取值情况。
05
绝对值不等式
Chapter
绝对值不等式的定义与解法
绝对值不等式的定义
绝对值不等式是数学中一种常见的不等式类型，主要研究的是绝对值函数的性质和图像 。
绝对值不等式的解法
解绝对值不等式需要先理解绝对值的定义，然后根据不同情况去掉绝对值符号，转化为 普通的不等式进行求解。
区间表示法
总结词
区间表示法是用圆括号、方括号或花括号将数轴上 的一串数括起来，表示这些数的大小范围。
详细描述
区间表示法是数学中表示数的大小范围的一种方法 。例如，[2, 5]表示2到5之间的所有实数，包括2和 5；(2, 5)表示2到5之间的所有实数，但不包括2和 5；{2, 3, 4}表示只有2、3、4这三个数的集合。
不等式的基础知识讲解
不等式的基础知识讲解不等式是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述两个数之间的大小关系。
在实际生活和学习中，不等式经常会被用到，例如求解方程、证明定理、最优化等。
本文将介绍不等式的基础知识，包括不等式的定义、不等式的性质、不等式的解法以及不等式在实际中的应用等。
一、不等式的定义及常见符号不等式是一个数学语句，用来描述两个数之间的大小关系。
通常用符号“<、>、≤、≥、=”来表示不等式，其中“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于或等于，“≥”表示大于或等于，“=”表示相等。
对于一个不等式：a < ba和b都是实数。
其中，a称为不等式的左边，b称为不等式的右边。
符号“<”表示a小于b，读作“a小于b”。
二、不等式的性质和等式类似，不等式也有一些基本性质。
1. 反对称性如果a≥b，且b≥a，那么a=b。
这个性质叫做反对称性。
2. 传递性如果a≤b，且b≤c，那么a≤c。
这个性质叫做传递性。
3. 加法性如果a≤b，那么a+c≤b+c。
如果a≥b，那么a+c≥b+c。
这个性质叫做加法性。
4. 减法性如果a≤b，那么a-c≤b-c。
如果a≥b，那么a-c≥b-c。
这个性质叫做减法性。
5. 乘法性如果c>0，那么乘以c不改变大小关系。
如果c<0，那么乘以c 会改变大小关系。
这个性质叫做乘法性。
6. 等价性如果两个不等式左右两边分别相等，那么它们是等价的，可以互相替换。
三、不等式的解法不等式的解法有两种常见方法：代数法和图形法。
1. 代数法代数法就是利用数学基本运算法则将不等式的未知数从不等式中解出来，从而确定其范围。
以不等式x-3>2为例：首先利用加法法则将式子变形，得到x-3+3>2+3，即x>5。
因此，x的范围是大于5的所有实数，即x∈(5,+∞)。
2. 图形法图形法就是将不等式用图形的方式表示出来，进而确定合法的范围。
以不等式x-3>2为例：首先将不等式化为等式x-3=2，即x=5。
《不等式的基本性质》 讲义
《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学表达式。
用不等号（如“＞”大于、“＜”小于、“≥”大于等于、“≤”小于等于）连接两个数或表达式所组成的式子，就叫做不等式。
例如：3 ＜5，x ＋ 2 ＞ 5 等等。
二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。
这就好像两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，道理是很直观易懂的。
2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜c 。
比如说，甲比乙高，乙又比丙高，那自然甲就比丙高；反过来，如果甲比乙矮，乙又比丙矮，那甲肯定比丙矮。
3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
这意味着，当不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。
就好比甲和乙有身高差，两人同时穿上一样厚的增高鞋，身高差依然不变。
4、减法性质如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c 。
跟加法性质类似，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向也不变。
5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。
当不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。
可以想象成把两个长度不同的线段同时按相同的比例放大，它们的长度差还是保持原来的大小关系。
（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。
但如果乘以一个负数，不等号方向就要改变。
这有点像在镜子里看东西，左右方向会反过来。
6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a/c ＞ b/c 。
不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。
（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 a/c ＜ b/c 。
除以一个负数时，不等号方向改变。
7、乘方性质如果 a ＞ b ＞ 0，那么 a^n ＞ b^n（n 为正整数，n ≥ 1）。
自主招生数学 不等式 第一讲
自主招生学案：不等式第一讲(2013-12-14枣庄八中陈文)考点一：不等式的证明。
不等式的证明一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多样，技巧性强。
有时一个不等式的证明方法就不止一种，而且一种证法中有可能用到几个技巧。
但基本思路却是一样的，即把原来的不等式转化为明显成立的不等式。
在本节，主要介绍几种证明不等式的基本方法。
一．不等式证明的常用方法：1、比较法：比较法证明不等式主要有两种形式：一种是差值比较法，一种是商值比较法。
2．分析法：分析是解决问题的基础，通过分析去寻找不等式成立的充分条件。
3．综合法：有已知条件出发推导结论的一种证明方法。
4．反证法：先做出与原结论相反的假设，然后有假设出发推出矛盾的方法。
5．变量代换法：通过对数学式的变形，以显化其内在结构本质。
6．函数方法：将不等式的证明或求解问题转化为对函数性质的讨论，如函数的单调性、正负区间、值域等问题，甚至函数的凸凹性等。
7．放缩法：由不等式的传递性，借助一些不等式的技巧来证明的方法。
8．数学归纳法：凡是涉及正整数n的不等式都可以考虑使用数学归纳法进行证明，只出现有限整数的不等式也可以通过加强命题使用数学归纳法。
9．构造法：根据待证不等式的条件和结论所具有的特征，以条件中的元素为元件，以数学关系式为支架，构造出一种相关的数学模型，使待证不等式获得证明的一种方法。
常见的构造法有：（1）代数构造法；（2）几何构造法；（3）构造反例或构造命题。
二、例题详解：例1.如果用a kg白糖制出b kg糖溶液，则糖的质量分数为ab。
若上述溶液中在添加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到a mb m++，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。
梯度训练：1. 若a >b >0，m>0比较a b 与a m b m++的大小，并给出证明。
2. 设b c R a ∈、、试证：对任意的实数x ，y ，z ，有222)x y z ++≥例2．设x 、y 为正数且x+y=1，证明222211172x y x y +++≥。
自主招生考试常用不等式
自主招生考试常用的不等式1．柯西不等式))(()(2n 22212n 22212n 2211b b b a a a b a b a b a n ++++++≤+++ ，其中等号成立条件为nn b a b a b a ==2211。
证明：构造一元二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =-+-++-，则222222212n 1122n 12n ()()2()()0n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++-+++++++≥等价于判别式小于等于0，即0))((4)(42n 22212n 22212n 2211≤++++++-+++b b b a a a b a b a b a n ，得证，且等号成立条件，nn b a b a b a ==2211。
2．四个平均的关系：平方平均na a a Q n 2n2221+++= ，算术平均n a a a A n n +++= 21，几何平均nnn a a a G 21=，调和平均nn a a a H 111121+++= 。
满足关系：n n n n H G A Q ≥≥≥，其中等号成立条件为n a a a === 21。
调和平均不常用。
3．排序不等式（排序原理）： 设有两个有序数组：n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n j n j j n n n +++≥+++≥+++- （同序和）（乱序和） （逆序和） 。
其中n j j j ,,,21 是1,2,…,n 的一个排列。
4．切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则有nb b b n a a a n b a b a b a nn n n +++⋅+++≥+++ 21212211。
最新自主招生数学解读(二)PPT课件
定 理 : 设 f(x )是 区 间 I上 的 二 阶 可 导 函 数 , 则 f(x )是 区 间 I
上 凸 ( 凹 ) 函 数 的 充 要 条 件 是 f(x ) 0 (f(x ) 0 ).
2.函数的性质
4.(2009年 清 华 大 学 ) x0,y0,xy1,nN*,求 证 :x2ny2n221n1. 分析:为了习惯起见,我们把题目中的字母作一改变, 不影响原问题: a0,b0,nN*,求证:a2nb2n221n1.
f(x)2xln22x(x4) f(x)2xln222(x4) 且 24ln22ln2 20.35.
4 而 很 显 然 有 ln21,即 ln41
2 从 而 f(x)0(x4),所 以 f(x)单 调 递 增 , 且 f(4)16ln288 (ln4 1 )0 ,知 f(x)0. 所 以 f( x ) 在 [ 4 , ) 上 单 调 递 增 , 因 而 原 命 题 成 立 .
自主招但通过对各高校的自主招生试题的分析来看，自主招生 试题的命题热点，除了集中于高考所要求的热点问题以 外，还集中在以下几个方面：
一.方程论的相关知识 二.函数的性质 三.函数与方程 四.不等式的扩充 五.数列的递推 六.复数的扩充* 七.简单的整数理论* 八.组合数学*（带有*号的主要是清华、中科大、浙大等名校考查）
1.方程论的相关知识
本题给出的是解决多项式问题的一个通法, 利用本题的方法,我们甚至都可以找到一个 根为pmqn(p,q,m,nN*)的整系数多项式.
2.函数的性质
函数的特征是通过其性质（如单调性、奇 偶性、周期性、对称性等）反映出来的， 有关概念在高中数学讲述得较为明白，在 此不再赘述，这里只补充一些在自主招生 中常用的知识：
自主招生 数学 不等式 第二讲
自主招生学案：不等式第二讲(2013年12月18日枣庄八中陈文)考点二：不等式的求解。
一、考点分析：不等式的求解方法有的比较固定，有的需要很高的技巧，要结合放缩法、函数法、线性规划等多种方法。
二．不等式求解的常见题型：1、线性规划求最优解。
2．求不等式或不等式组的解集。
3．借助不等式求最值问题。
4．不等式的综合问题。
三、例题详解及梯度训练：例1．（1）求三直线x+y=60，12y x=，y=0所围成的三角形上的整点个数.(2)求方程组21260y xy xx y<⎧⎪⎪>⎨⎪+≤⎪⎩的整数解的个数.(2008年清华大学)梯度训练：1.如果直线y=kx+1与圆2240x y kx my ++++=交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x-y=0对称，动点P （a ，b ）在不等式组2000kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则点A （1,2）与点P 连线斜率的取值范围是（ ）A ．（2，+∞） B.(- ∞，-2] C.[-2,2] D.(- ∞,2]∪[2,+ ∞)例2．设点A ，B ，C 分别在边长为1的正三角形的边上，求222AB BC AC ++的最小值。
梯度训练：已知实数x 满足323211x x x x +=+求。
例3.已知a ,b 为非负数，44,1M a b a b =++=，求M 的最值。
（2006年清华大学）梯度训练：已知正数a 、b 、c 满足：26a ab ac bc +++=+，则3a+b+2c 的最小值是多少？（2008年南开大学）。
高中数学专题讲义：不等式
高中数学专题讲义:不等式第1讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a－b＞0⇔a＞b，a－b＝0⇔a＝b，a－b＜0⇔a＜b；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab＞1⇔a＞b（a∈R，b＞0），ab＝1⇔a＝b（a∈R，b＞0），ab＜1⇔a＜b（a∈R，b＞0）.2.不等式的性质(1)对称性:a＞b⇔b＜a；(2)传递性:a＞b,b＞c⇒a＞c；(3)可加性:a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b,c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性:a＞b,c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0,c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N,n≥1)；(6)可开方:a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N,n≥2).3.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx有两相异实根有两相等实根x1＝没有实数根＋c＝0 (a＞0)的根x1,x2(x1＜x2)x2＝－b 2aax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2a Rax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1,x2),则必有a＞0.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根,则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()解析(1)由不等式的性质,ac2＞bc2⇒a＞b；反之,c＝0时,a＞b ac2＞bc2.(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根.则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(4)当a＝b＝0,c≤0时,不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.若a＞b＞0,c＜d＜0,则一定有()A.ad＞bc B.ad＜bc C.ac＞bd D.ac＜bd解析因为c＜d＜0,所以0＞1c＞1d,两边同乘－1,得－1d＞－1c＞0,又a＞b＞0,故由不等式的性质可知－ad＞－bc＞0.两边同乘－1,得ad＜bc.故选B.答案 B3.设集合M＝{x|x2－3x－4<0},N＝{x|0≤x≤5},则M∩N等于()A.(0,4]B.[0,4)C.[－1,0)D.(－1,0] 解析∵M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4},∴M∩N＝[0,4).答案 B4.当x＞0时,若不等式x2＋ax＋1≥0恒成立,则a的最小值为()A.－2B.－3C.－1D.－3 2解析当Δ＝a2－4≤0,即－2≤a≤2时,不等式x2＋ax＋1≥0对任意x＞0恒成立,当Δ＝a2－4＞0,则需⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＞0，－a 2＜0，解得a ＞2,所以使不等式x 2＋ax ＋1≥0对任意x ＞0恒成立的实数a 的最小值是－2. 答案 A5.(必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是________.解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0, 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞,－3－22)∪(－3＋22,＋∞)考点一 比较大小及不等式的性质的应用【例1】 (1)已知实数a ,b ,c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2,c －b ＝4－4a ＋a 2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >aD.a >c >b(2)若1a ＜1b ＜0,给出下列不等式:①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( ) A.①④B.②③C.①③D.②④解析 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0,∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2,∴2b ＝2＋2a 2,∴b ＝a 2＋1, ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0,∴b >a ,∴c ≥b >a .(2)法一 因为1a ＜1b ＜0,故可取a ＝－1,b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0,所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0,ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0,所以④错误.综上所述,可排除A,B,D.法二 由1a ＜1b ＜0,可知b ＜a ＜0.①中,因为a ＋b ＜0,ab ＞0,所以1a ＋b ＜0,1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1ab ,即①正确；②中,因为b ＜a ＜0,所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |,即|a |＋b ＜0,故②错误； ③中,因为b ＜a ＜0,又1a ＜1b ＜0,则－1a ＞－1b ＞0,所以a －1a ＞b －1b ,故③正确；④中,因为b ＜a ＜0,根据y ＝x 2在(－∞,0)上为减函数,可得b 2＞a 2＞0,而y ＝ln x 在定义域(0,＋∞)上为增函数,所以ln b 2＞ln a 2,故④错误.由以上分析,知①③正确. 答案 (1)A (2)C规律方法 (1)比较大小常用的方法: ①作差法；②作商法；③函数的单调性法.(2)判断多个不等式是否成立,常用方法:一是直接使用不等式性质,逐个验证；二是用特殊法排除.【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p ＝a ＋1a －2,q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2,其中a >2,x ∈R ,则p ,q 的大小关系是( ) A.p ≥qB.p >qC.p <qD.p ≤q(2)设a ＞b ＞1,c ＜0,给出下列三个结论:①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c ).其中所有的正确结论的序号是( ) A.①B.①②C.②③D.①②③解析 (1)由a ＞2,故p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4,当且仅当a ＝3时取等号.因为x 2－2≥－2,所以q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4,当且仅当x ＝0时取等号,所以p ≥q .(2)由不等式性质及a ＞b ＞1知1a ＜1b ,又c ＜0,所以c a ＞cb ,①正确；构造函数y ＝xc ,∵c ＜0,∴y ＝x c 在(0,＋∞)上是减函数,又a ＞b ＞1,∴a c ＜b c ,知②正确； ∵a ＞b ＞1,c ＜0,∴a －c ＞b －c ＞1,∴log b (a －c )＞log a (a －c )＞log a (b －c ),知③正确. 答案 (1)A (2)D考点二 一元二次不等式的解法(多维探究) 命题角度一 不含参的不等式【例2－1】 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集. 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0, 解方程2x 2－x －3＝0得x 1＝－1,x 2＝32,∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞,即原不等式的解集为(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.命题角度二 含参不等式【例2－2】 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (x ∈R ). 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0. ①当a ＝0时,原不等式化为x ＋1≤0,解得x ≤－1. ②当a ＞0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0,解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时,原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1,即a ＜－2时,解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1,即a ＝－2时,解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1,即－2＜a ＜0,解得2a ≤x ≤－1.综上所述,当a ＝0时,不等式的解集为{x |x ≤－1}； 当a ＞0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2a ，或x ≤－1； 当－2＜a ＜0时,不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时,不等式的解集为{－1}； 当a ＜－2时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 规律方法 含有参数的不等式的求解,往往需要比较(相应方程)根的大小,对参数进行分类讨论: (1)若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论；若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.【训练2】 (1)已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ,不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ,不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ,则a ＋b 等于( )A.－3B.1C.－1D.3(2)不等式2x 2－x ＜4的解集为________.解析 (1)由题意得,A ＝{x |－1＜x ＜3},B ＝{x |－3＜x ＜2},所以A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2},由题意知,－1,2为方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根,由根与系数的关系可知,a ＝－1,b ＝－2,则a ＋b ＝－3. (2)因为4＝22且y ＝2x 在R 上单调递增,所以2x 2－x ＜4可化为x 2－x ＜2,解得－1＜x ＜2,所以2x 2－x ＜4的解集是{x |－1＜x ＜2}. 答案 (1)A (2){x |－1＜x ＜2}考点三 一元二次不等式的恒成立问题(多维探究) 命题角度一 在R 上恒成立【例3－1】 若一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( ) A.(－3,0]B.[－3,0)C.[－3,0]D.(－3,0)解析 2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立, 则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解之得－3＜k ＜0. 答案 D命题角度二 在给定区间上恒成立【例3－2】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0),若对于x ∈[1,3],f (x )＜－m ＋5恒成立,则m 的取值范围是________.解析 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立, 则mx 2－mx ＋m －6＜0,即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立.有以下两种方法:法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6,x ∈[1,3].当m ＞0时,g (x )在[1,3]上是增函数, 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67,则0＜m ＜67.当m ＜0时,g (x )在[1,3]上是减函数, 所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6,所以m ＜0. 综上所述,m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0,又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0,所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m ＜67即可. 因为m ≠0,所以m的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0 . 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0命题角度三 给定参数范围的恒成立问题【例3－3】 已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立,则x 的取值范围为( ) A.(－∞,2)∪(3,＋∞) B.(－∞,1)∪(2,＋∞) C.(－∞,1)∪(3,＋∞)D.(1,3)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数,记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4, 则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立, 所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0,且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可,解不等式组⎩⎨⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.答案 C规律方法 恒成立问题求解思路(1)一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时,结合一元二次方程,利用判别式来求解. (2)一元二次不等式在x ∈[a ,b ]上恒成立确定参数范围时,要根据函数的单调性,求其最小值,让最小值大于等于0,从而求参数的范围.(3)一元二次不等式对于参数m ∈[a ,b ]恒成立确定x 的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.【训练3】 (1)若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[－1,4]B.(－∞,－2]∪[5,＋∞)C.(－∞,－1]∪[4,＋∞)D.[－2,5](2)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1,若对于任意x ∈[m ,m ＋1],都有f (x )＜0成立,则实数m 的取值范围是______.解析 (1)由于x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4,所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2－3a ≤4,解得－1≤a ≤4. (2)二次函数f (x )对于任意x ∈[m ,m ＋1], 都有f (x )＜0成立,则⎩⎨⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 答案 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0[思想方法]1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单.3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a ＜0的情况转化为a ＞0时的情形.4.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数. [易错防范]1.对于不等式ax 2＋bx ＋c >0,求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形.2.当Δ<0时,ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅,要注意区别.3.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1,g (x )＝2x 2＋x －1,则f (x ),g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.已知下列四个条件:①b ＞0＞a ,②0＞a ＞b ,③a ＞0＞b ,④a ＞b ＞0,能推出1a ＜1b 成立的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质,由a ＞b ,ab ＞0可得1a ＜1b ,②、④正确.又正数大于负数,①正确,③错误,故选C. 答案 C3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0},集合B ＝{x |2x <2},则A ∩B 等于( ) A.(1,3) B.(－∞,－1) C.(－1,1)D.(－3,1)解析 依题意,可求得A ＝(－1,3),B ＝(－∞,1),∴A ∩B ＝(－1,1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅,则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时,满足条件.a ≠0时,由⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4,所以0≤a ≤4.答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ,b ∈R ),对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立,若当x ∈[－1,1]时,f (x )＞0恒成立,则b 的取值范围是( ) A.(－1,0)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)∪(2,＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称,即a2＝1,解得a ＝2.又因为f (x )开口向下,所以当x ∈[－1,1]时,f (x )为增函数,所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2, f (x )＞0恒成立,即b 2－b －2＞0恒成立, 解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.解析 由题意知⎩⎨⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 答案 {x |x ＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15,则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15,可知a ＜0,且b a ＝15,将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ,得x 2＋b a x －45＜0,即x 2＋15x －45＜0,解得－1＜x ＜45,故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ,b ∈R 恒成立,所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ,b ∈R 恒成立,即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立, 由二次不等式的性质可得,Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0, 所以(λ＋8)(λ－4)≤0, 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8,4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3),求实数a ,b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0,即a 2－6a －3＜0,解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1,3),∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3, ∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3,b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%),售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ,试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x ),并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元,求x 的取值范围. 解 (1)由题意得,y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x .因为售价不能低于成本价,所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x ), 定义域为x ∈[0,2].(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260, 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134. 所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时:20分钟)11.下面四个条件中,使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A.a ＞b ＋1 B.a ＞b －1 C.a 2＞b 2D.a 3＞b 3解析 A 项:若a ＞b ＋1,则必有a ＞b ,反之,当a ＝2,b ＝1时,满足a ＞b ,但不能推出a ＞b ＋1,故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项:当a ＝b ＝1时,满足a ＞b －1,反之,由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项:当a ＝－2,b ＝1时,满足a 2＞b 2,但a ＞b 不成立；D 项:a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件,综上所述答案选A. 答案 A12.(2017·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3,则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( ) A.{x |x <－ln 2或x >ln 3} B.{x |ln 2<x <ln 3} C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0),则f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0),由f (e x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)>0,可得12<e x <3,解得－ln 2<x <ln 3,故选D. 法二 由题知,f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3,令12<e x <3,得－ln 2<x <ln 3,故选D.答案 D13.若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围是________. 解析 设f (x )＝x 2＋ax －2,由题知:Δ＝a 2＋8＞0, 所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根,于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0,即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时,原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2,1a ,所以当0＜a ＜12时,2＜1a ,则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时,原不等式的解集是∅；当a ＞12时,1a ＜2,则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. (2)当a ＝0时,原不等式为－(x －2)＜0,解得x ＞2, 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时,原不等式可以化为a (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0,根据不等式的性质,这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0, 由于1a ＜2,故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a 或x ＞2. 综上所述,当a ＜0时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞2； 当a ＝0时,不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时,不等式的解集为∅；当a ＞12时,不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2. 第2讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题最新考纲 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地,二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x ,y ),使得Ax ＋By ＋C 的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式Ax ＋By ＋C >0；而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax ＋By ＋C <0.(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性规划的有关概念名称意义线性约束条件 由x ,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x ,y 的约束条件 目标函数 关于x ,y 的解析式 线性目标函数 关于x ,y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ,y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)不等式Ax ＋By ＋C ＞0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方.( ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.( )(4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中,z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距.( ) (5)不等式x 2－y 2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y 轴的两块区域.( )解析 (1)不等式x －y ＋1>0表示的平面区域在直线x －y ＋1＝0的下方. (4)直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距是zb . 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.下列各点中,不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是( ) A.(0,0)B.(－1,1)C.(－1,3)D.(2,－3)解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合,故选C. 答案 C3.(必修5P86T3)不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≥0，x －y ＋2<0表示的平面区域是( )解析 x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0及其右下方部分,x －y ＋2＜0表示直线x －y ＋2＝0左上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B. 答案 B4.(2016·全国Ⅱ卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________.解析 画出可行域,数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3,4)处取得,代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －55.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6,则k ＝________.解析 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,z ＝2x ＋y ,则y ＝－2x ＋z .易知当直线y ＝－2x ＋z 过点A (k ,k )时,z ＝2x ＋y 取得最小值,即3k ＝－6,所以k ＝－2.答案 －2考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)(2017·郑州预测)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为________.(2)(2015·重庆卷)若不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形,且其面积等于43,则m 的值为( ) A.－3B.1C.43D.3解析 (1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示,平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12,区域M 在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2,故所求概率P＝π212＝π24.(2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则－2m＜2,则m＞－1,由⎩⎨⎧x＋y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎨⎧x＝1－m，y＝1＋m，即A(1－m,1＋m).由⎩⎨⎧x＋2y－2＝0，x－y＋2m＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝23－43m，y＝23＋23m，即B⎝⎛⎭⎪⎫23－43m，23＋23m,所围成的区域为△ABC,则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝12(2＋2m)(1＋m)－12(2＋2m)·23(1＋m)＝13(1＋m)2＝43,解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B.答案(1)π24(2)B规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域,注意不等式中不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点.【训练1】若不等式组⎩⎨⎧x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4所表示的平面区域被直线y＝kx＋43分为面积相等的两部分,则k的值是()A.73 B.37 C.43 D.34解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时,直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1,1),B (0,4),所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时,52＝k 2＋43,所以k ＝73. 答案 A考点二 线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一 求目标函数的最值【例2－1】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________.(2)(2015·全国Ⅰ卷)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx 的最大值为________.解析 (1)画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知,当直线y ＝－23x ＋53＋z3过点A (－1,－1)时,z 取得最小值,即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知,yx 是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A (1,3)与原点连线的斜率最大,故yx 的最大值为3. 答案 (1)－10 (2)3命题角度二 求参数的值或范围【例2－2】 (2015·福建卷)变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2,则实数m 等于( ) A.－2B.－1C.1D.2解析 如图所示,目标函数z ＝2x －y 取最大值2,即y ＝2x －2时,画出⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0表示的区域,由于mx －y ≤0过定点(0,0),要使z ＝2x －y 取最大值2,则目标函数必过两直线x －2y ＋2＝0与y ＝2x －2的交点A (2,2),因此直线mx －y ＝0过点A (2,2),故有2m －2＝0,解得m ＝1. 答案 C规律方法 线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数的几何意义求解,常见的目标函数有:①截距型:形如z ＝ax ＋by ；②距离型:形如z ＝（x －a ）2＋（y －b ）2.③斜率型:形如z ＝y －bx －a. (2)求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中,也可能在约束条件中.求解步骤为:①注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里,寻求最优解. 【训练2】 (1)设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3(2)(2017·西安检测)已知变量x ,y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________.解析 (1)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，a ＋12.由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za .由图可知当－1≤－1a≤1时,z可取得最小值,此时a≥1或a≤－1.又直线y＝－1a x＋za过A点时,z取得最小值,因此a－12＋a×a＋12＝7,化简得a2＋2a－15＝0,解得a＝3或a＝－5,当a＝3时,经检验知满足题意；当a＝－5时,目标函数z＝x＋ay过点A时取得最大值,不满足题意,故选B.(2)作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示.令m＝2x＋y,由图象可知当直线y＝－2x＋m经过点A时,直线y＝－2x＋m的纵截距最大,此时m最大,故z最大.由⎩⎨⎧2x－y＝0，x－2y＋3＝0，解得⎩⎨⎧x＝1，y＝2，即A(1,2).代入目标函数z＝(2)2x＋y得,z＝(2)2×1＋2＝4.答案(1)B(2)4考点三实际生活中的线性规划问题【例3】(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.解析设生产A产品x件,B产品y件,根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件,得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x＋0.5y≤150，x＋0.3y≤90，5x＋3y≤600，x≥0，x∈N*，y≥0，y∈N*，目标函数z＝2 100x＋900y.作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0),在(60,100)处取得最大值,z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量； (2)列出线性约束条件和目标函数； (3)作出可行域并利用数形结合求解； (4)作答.【训练3】 (2015·陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元B.16解析设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨,每天所获利润为z 万元,则有⎩⎨⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:可得目标函数在点A 处取到最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3). 则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元). 答案 D[思想方法]1.求最值:求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值,将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式:y ＝－a b x ＋z b ,通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值.最优解在顶点或边界取得.2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件；写出要研究的函数,转化成线性规划问题.3.利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一些非线性规划问题. [易错防范]1.画出平面区域.避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.2.在通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值时,要注意:当b >0时,截距zb 取最大值时,z 也取最大值；截距z b 取最小值时,z 也取最小值；当b <0时,截距z b 取最大值时,z 取最小值；截距zb 取最小值时,z 取最大值.基础巩固题组 (建议用时:30分钟)一、选择题1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )解析 法一 不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎨⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0或⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，画出对应的平面区域,可知C 正确.法二 结合图形,由于点(0,0)和(0,4)都适合原不等式,所以点(0,0)和(0,4)必在区域内,故选C. 答案 C2.(2016·泰安模拟)不等式组⎩⎨⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为()A.1B.12C.13D.14解析 作出不等式组对应的区域为△BCD ,由题意知x B ＝1,x C ＝2.由⎩⎨⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12,所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14. 答案 D3.(2017·广州二测)不等式组⎩⎨⎧x －y ≤0，x ＋y ≥－2，x －2y ≥－2的解集记为D ,若(a ,b )∈D ,则z＝2a －3b 的最小值是( ) A.－4B.－1C.1D.4解析 画出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,当a ＝－2,b ＝0,z ＝2a －3b 取得最小值－4. 答案 A4.(2017·长春质量监测)若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤－x ＋1，y ≤x ＋1，y ≥0，则3x ＋5y 的取值范围是()A.[－5,3]B.[3,5]C.[－3,3]D.[－3,5]解析 作出如图所示的可行域及l 0:3x ＋5y ＝0,平行移动l 0到l 1过点A (0,1)时,3x ＋5y 有最大值5,平行移动l 0至l 2过点B (－1,0)时,3x ＋5y 有最小值－3,故选D.答案 D5.x,y 满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为()A.12或－1 B.2或12 C.2或1 D.2或－1解析如图,由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a＞0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝2；当a＜0时,要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则a＝－1.答案 D6.若函数y＝2x图象上存在点(x,y)满足约束条件⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0，x≥m，则实数m的最大值为() A.12 B.1 C.32 D.2解析在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及⎩⎨⎧x＋y－3≤0，x－2y－3≤0所表示的平面区域,如图阴影部分所示.由图可知,当m≤1时,函数y＝2x的图象上存在点(x,y)满足约束条件,故m的最大值为1.答案 B7.(2017·石家庄质检)已知x,y满足约束条件⎩⎨⎧x≥1，y≥－1，4x＋y≤9，x＋y≤3，若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1,则m的值是()A.－209 B.1 C.2 D.5解析作出可行域,如图所示的阴影部分.化目标函数z＝y－mx(m＞0)为y＝mx＋z,由图可知,当直线y＝mx＋z过A 点时,直线在y 轴的截距最大,由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2),∴2－m ＝1,解得m ＝1.故选B. 答案 B8.(2016·贵州黔东南模拟)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( ) A.322B. 5C.92D.5解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.设z ＝(x －2)2＋y 2,则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方,由图知C 、D 间的距离最小,此时z 最小.由⎩⎨⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1),此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5,故选D. 答案 D 二、填空题9.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，x －y －2≤0，y ≥1，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________.解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由z ＝x ＋2y ,得y ＝－12x ＋12z ,12z 的几何意义是直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距,要使z 最小,需使12z 最小,易知当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (1,1)时,z 最小,最小值为3. 答案 310.(2017·滕州模拟)已知O是坐标原点,点M的坐标为(2,1),若点N(x,y)为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，x≥12，y≥x上的一个动点,则OM→·ON→的最大值是________.解析依题意,得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,其中A⎝⎛⎭⎪⎫12，12,B⎝⎛⎭⎪⎫12，32,C(1,1).设z＝OM→·ON→＝2x＋y,当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时,z＝2x＋y取得最大值3.答案 311.已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3,则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示).解析法一设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y),则由待定系数法可得⎩⎨⎧a＋b＝2，a－b＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－12，b＝52，所以z＝－12(x＋y)＋52(x－y).又⎩⎪⎨⎪⎧－2＜－12（x＋y）＜12，5＜52（x－y）＜152，所以两式相加可得z∈(3,8).法二作出不等式组⎩⎨⎧－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3表示的可行域,如图中阴影部分所示.平移直线2x－3y＝0,当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时,z取得最小值,z min＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1,－2)时,z取得最大值,z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3,8).答案(3,8)12.已知实数x,y满足⎩⎨⎧2x＋y≥0，x－y≥0，0≤x≤a，设b＝x－2y,若b的最小值为－2,则b的最大值为________.解析 作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l 0:x －2y ＝0,∵y ＝x 2－b2,∴当l 0平移至A 点处时b 有最小值,b min ＝－a , 又b min ＝－2,∴a ＝2,当l 0平移至B (a ,－2a )时, b 有最大值b max ＝a －2×(－2a )＝5a ＝10. 答案 10能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是( ) A.1 800元 B.2 400元 C.2 800元D.3 100元解析 设每天生产甲种产品x 桶,乙种产品y 桶,则根据题意得x 、y 的约束条件为⎩⎨⎧x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12.设获利z 元,则z ＝300x ＋400y .画出可行域如图.画直线l :300x ＋400y ＝0,即3x ＋4y ＝0. 平移直线l ,从图中可知,当直线过点M 时, 目标函数取得最大值. 由⎩⎨⎧x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4),∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元),故选C. 答案 C14.(2017·许昌监测)设实数x ,y 满足⎩⎨⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是()A.－5B.－12C.12 D.5解析作出不等式对应的平面区域如图中阴影部分所示,则w＝y－1x－1的几何意义是区域内的点P(x,y)与定点A(1,1)所在直线的斜率,由图象可知当P位于点⎝⎛⎭⎪⎫13，43时,直线AP的斜率最小,此时w＝y－1x－1的最小值为43－113－1＝－12,故选B.答案 B15.已知变量x,y满足约束条件⎩⎨⎧x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则a的取值范围是________.解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示,要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值,则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y －3＝0的斜率,即－a<－12,∴a>12.答案⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞16.(2015·浙江卷)若实数x,y满足x2＋y2≤1,则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.解析∵x2＋y2≤1,∴2x＋y－4＜0,6－x－3y＞0,∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝10－3x－4y.令z＝10－3x－4y,如图,设OA与直线－3x－4y＝0垂直,∴直线OA的方程为y＝43x,。
自主招生材料学生版 - 不等式
例2.设a, b, c∈R+，试证：对任意实数x, y, z,
有x2+y2+z2
利用函数性质
例3已知实数a, b, c满足0<a≤b≤c≤ ，求证：
例4已知非负实数a, b, c满足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)= 的最小值。
例5.实数a使得对于任意实数 ，不等式 都成立，求a的最大值．
例21：n为正整数，证明：
练习：
1、已知x, y, z∈R+，求证：
应用柯西不等式，往往能十分简捷地证明某些不等式.
例6：设 ，求证：
练习:
1、函数 的最大值是_______
2、（83全国）设a，b，c，d，m，n都是正实数，P=+，Q=·，那么（）
A．P≥QB．P≤Q
C．P<QD．P、Q的大小关系不确定，而与m，n的大小有关．
排序不等式：设有两个有序数组 ，则 （顺序和）
证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.
例18：已知 求证：
例19：利用排序不等式证明 .
【评述】对 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得， .
例20：证明：对于任意正整数R，有
【评述】（1）利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化，使其两边与均值不等式形式相近.类似可证
不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)(最新整理)
不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )．(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R ).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c ，|x －c |＋|x －b |≥a .3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b 2ab 定理3：如果a 、b 、c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，a ＋b ＋c 33abc 等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a nn n a 1a 2…a n 4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．(2)若a i ，b i (i ∈N *)为实数，则()()≥(i b i )2，当且仅当b i ＝0(i ＝n ∑i ＝1a 2i n ∑i ＝1b 2i n ∑i ＝1a 1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( )(2)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )(3)|ax ＋b |≤c (c >0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(4)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为Ø.( )(5)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√2．不等式|2x －1|－x <1的解集是( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |1<x <3}[解析] 解法一：x ＝1时，满足不等关系，排除C 、D 、B ，故选A.解法二：令f (x )＝Error!则f (x )<1的解集为{x |0<x <2}．[答案] A3．设|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |>2B ．|a ＋b |＋|a －b |<2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不能比较大小[解析] |a ＋b |＋|a －b |≤|2a |<2.[答案] B4．若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，则＋＋的最大值为( )a b c A ．1 B ． 2C. D ．23[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a ＋b ＋c )a b c a b c ＝3.当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．13∴(＋＋)2≤3.a b c ＋＋的最大值为.故应选C.a b c 3[答案] C5．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x 到a 与到1的距离和小于3，所以a 的取值范围为－2≤a ≤4.[答案] －2≤a ≤4考点一 含绝对值的不等式的解法解|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．(1)(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1,4)D ．(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为Error!，则a ＝________.[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．[解析] (1)当x <1时，不等式可化为－(x －1)＋(x －5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x ≤5时，不等式可化为x －1＋(x －5)<2，即2x －6<2，解得x <4，又1≤x ≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x >5时，不等式可化为(x －1)－(x －5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.当a >0时，－<x <，与已知条件不符；1a 5a当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，<x <－，又不等式的解集为Error!，故a ＝－3.5a 1a[答案] (1)A (2)－3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．对点训练已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝Error!当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|x －a |＋|x －b |>c 或|x －a |＋|x －b |<c 的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．|x －a |＋|x －b |的几何意义是数轴上表示x 的点与点a 和点b 的距离之和，应注意x 的系数为1.(1)(2014·重庆卷)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋a ＋2对任意实数x 恒成立，12则实数a 的取值范围是________．(2)不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．[解析] (1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋a ＋2≤3，解得≤a ≤.12－1174－1＋174即实数a 的取值范围是.[－1－174，－1＋174](2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y＝Error!要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．[答案] (1) (2)(－∞，－3)[－1－174，－1＋174]解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.对点训练(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.依题意有，a－3≤－2，a≤1.故a的最大值为1.(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．考点三 不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则＋>＋；a b c d (2)＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d [解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．[证明] (1)因为(＋)2＝a ＋b ＋2，(＋)2＝c ＋d ＋2，a b ab c d cd 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(＋)2>(＋)2.a b c d ＋>＋.a b c d (2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得＋>＋.a b c d ＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即a b c d a b c d a ＋b ＋>c ＋d ＋2.ab cd 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |.＋>＋是|a －b |<|c －d |的充要条件．a b c d分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．对点训练(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤；13(2)＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤.13(2)因为＋b ≥2a ，＋c ≥2b ，＋a ≥2c ，a 2b b 2c c 2a故＋＋＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，a 2b b 2c c 2a即＋＋≥a ＋b ＋c .a 2b b 2c c 2a所以＋＋≥1.a 2b b 2c c 2a———————方法规律总结————————[方法技巧]1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．[易错点睛]1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．课时跟踪训练(七十)一、填空题1．不等式|2x －1|<3的解集为__________．[解析] |2x －1|<3⇔－3<2x －1<3⇔－1<x <2.[答案] (－1,2)2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝__________.[解析] ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2.[答案] 23．不等式|2x ＋1|＋|x －1|<2的解集为________．[解析] 当x ≤－时，原不等式等价为－(2x ＋1)－(x －1)<2，即－3x <2，x >－12，此时－<x ≤－.当－<x <1时，原不等式等价为(2x ＋1)－(x －1)<2，即x <0，23231212此时－<x <0.当x ≥1时，原不等式等价为(2x ＋1)＋(x －1)<2，即3x <2，x <，此1223时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x <0，即原不等式的解集为.23(－23，0)[答案] (－23，0)4．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k <1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k <1.[答案] (－∞，1)5．(2015·西安统考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．[解析] |x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.[答案] (－∞，8]6．(2015·重庆卷)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝__________.[解析] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝Error!f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.[答案] －6或47．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是__________．[解析] ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝Error!∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．已知关于x 的不等式|x －a |＋1－x >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是__________．[解析] 若x －1<0，则a ∈R ；若x －1≥0，则(x －a )2>(x －1)2对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，即(a －1)[(a ＋1)－2x ]>0对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立，所以Error!(舍去)或Error!对任意的x ∈[1，＋∞]恒成立，解得a <1.综上，a <1.[答案] (－∞，1)9．设a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝9，则＋＋的最小值为__________．2a 2b 2c[解析] ∵(a ＋b ＋c )(2a ＋2b ＋2c )＝[()2＋()2＋()2]a b c [(2a )2＋(2b )2＋(2c )2]≥2＝18，(a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c )∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.2a 2b 2c 2a 2b 2c[答案] 210．(2014·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．[解析] 由柯西不等式，得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，即5(m 2＋n 2)≥25，∴m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立．∴的最小值为.m 2＋n 25[答案] 511．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为__________．[解析] ∵|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|＝(|1－x |＋|x |)＋(|1－y |＋|1＋y |)≥|(1－x )＋x |＋|(1－y )＋(1＋y )|＝1＋2＝3，当且仅当(1－x )·x ≥0，(1－y )·(1＋y )≥0，即0≤x ≤1，－1≤y ≤1时等号成立，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.[答案] 312．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取4a值范围是________．[解析] 只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋即可．由于||x ＋1|4a－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋即4a可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，4a将不等式－5≥a ＋整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，4a实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)二、解答题13．已知不等式2|x －3|＋|x －4|<2a .(1)若a ＝1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，不等式即为2|x －3|＋|x －4|<2，若x ≥4，则3x －10<2，x <4，∴舍去；若3<x <4，则x －2<2，∴3<x <4；若x ≤3，则10－3x <2，∴<x ≤3.83综上，不等式的解集为Error!.(2)设f (x )＝2|x －3|＋|x －4|，则f (x )＝Error!作出函数f (x )的图象，如图所示．由图象可知，f (x )≥1，∴2a >1，a >，即a 的取值范围为.12(12，＋∞)14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得<x <1；23当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为Error!.(2)由题设可得，f (x )＝Error!所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为(a ＋1)2.(2a －13，0)23由题设得(a ＋1)2>6，故a >2.23所以a 的取值范围为(2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝Error!作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为Error!.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a <1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为1－a ；若a >1，f (x )＝Error!f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．16．(2015·福建卷)已知a >0，b >0，c >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求a 2＋b 2＋c 2的最小值．1419[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立．又a >0，b >0，所以|a ＋b |＝a ＋b ，所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得(4＋9＋1)≥(14a 2＋19b 2＋c 2)2＝(a ＋b ＋c )2＝16，(a 2×2＋b 3×3＋c ×1)即a 2＋b 2＋c 2≥.141987当且仅当＝＝，12a 213b 3c 1即a ＝，b ＝，c ＝时等号成立．8718727故a 2＋b 2＋c 2的最小值为.141987。
高校自主招生数学讲义 等式与不等式
第一讲.方程与多项式知识要求1.因式分解方法2.待定系数方法 3．对称参引方法 4.构造方法例题分析1. 解不等式(1)(2)(3)(4)24.x x x x ----≥ （2009年南京大学）2. 3.= （2005年复旦大学保送生试题） 相关习题（1）.已知1x y +=，n 为正整数，求证：22122.nn n xy -+≥ （2009年清华大学）（2）已知a 、b 为非负实数，44M a b =+，且1a b +=，求M 的最值.（2006年清华大学）3.设实数9k ≥，解方程32229270.x kx k x k ++++= （2006年复旦大学保送生） 相关习题（1）.已知方程3210x px qx +++=有3个实根，0p >且0q >.求证：9.pq ≥（2008年南开大学）（2）.设,,a b c ∈R ，使得方程320x ax bx c +++=有3个实根. 证明：如果20a b c -≤++≤，则至少存在一个根在区间[0,2]中.（2013年清华大学夏令营）4.已知方程320x ax bx c +++=的三个根分别为a ，b ，c ，并且,a ，b ，c 是不全为零的有理数，求a ，b ，c 的值. （2005年上海交通大学） 相关习题（1）.是否存在实数x ，使得tan x 和cot x + （2009年北京大学）（2是一个无理数. （2008年复旦大学面试） 5.设实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 满足123123122331122331123123,,min{,,}min{,,}.a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b ++=++⎧⎪++=++⎨⎪≤⎩求证：123123max{,,}max{,,}.a a a b b b ≤ （2008年北京大学） 6.（1）证明：多项式3()31p x x x =-+有三个实根a b c <<；（2）证明：若x t =为()p x 的一个根，则22x t =-也是()p x 的一个根； （3）定义映射:{,,}{,,}f a b c a b c →，22tt -，求()f a ，()f b ，()f c 的值.（2013年清华大学金秋营）7.给出一个整系数多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，使()0f x =有一个根为（2009年清华大学）相关习题（1）.已知x =42()f x x bx c =++的一个零点，,b c 为整数，则b c +的值是多少？ （2013年清华大学夏令营） （2）.和1n 次方程的最高次数n 的最小值为（ ）A.2B.3C.5D.6 （2013年北约）第二讲．数学逻辑知识要求1.反证法2.数形结合方法3.不动点问题例题分析1. 是否存在四个正实数，它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16.（2011年北约十三校联考）相关习题（1）.是否存在π02x <<，使得sin x ，cos x ，tan x cot x 的某种排列为等差数列？ （2010年北约）（2）是否存在两两不同的实数,,a b c 使平面直角坐标系中的三条直线y ax b =+，y bx c =+，y cx a =+共点. （2013年北京大学保送生）2.已知由正整数组成的无穷等差数列中有3项：13，25，41，求证：2009为其中一项.（2009年北京大学）相关习题（1）. 已知12310,,,,a a a a 为大于零的正实数，且1231030a a a a ++++=，1231021a a a a <.求证：12310,,,,a a a a 这10个数是必有一个数在(0,1)之间.（2012年北京大学保送生）（2）已知正数数列12,,,n a a a .对于大于的整数n ，有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=，试证：12,,,n a a a 中至少有一个小于1. （2000年上海交通大学）（3）已知i a （1,2,,2013i =）为2013个实数，满足：1220130a a a +++=，且122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130.a a a ==== （2013年北约）3.至多能取多少个两两不同的正整数，使得其中任意三个数的和为质数？证明你的结论.（2013年北约）相关习题（1）在1、2、3、…、2012中任取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，则所取的这组数中最多有多少个数？ （2012年北约） （2）写出由3个质数组成的公差为8的等差数列. （2009年清华大学） 4. 有限多条抛物线（线和线的内部）能够覆盖整个平面吗？证明你的结论.（2009年清华大学特色测试）5. 设p ，q 为实数，函数2()f x x px q =++，如果(())0f f x =只有一个实数根， 求证：p ，0.q ≥ （2011年北京大学保送生试题） 相关习题（1）. 已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根.那么(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论. （2008年上海交通大学冬令营） （2）.证明：若(())f f x 有唯一的不动点，则()f x 也有唯一的不动点.（2009年上海交通大学）6.已知方程()f x x =的根是函数()f x 的不动点，令().bx cf x x a+=+ （1）若12，3为函数()f x 的不动点，求a ，b ，c 的值； （2）在（1）的条件下，若1(1)3f =，求()f x 的解析式. （2003年同济大学）相关习题（1） .已知a 、b 、c 、d 为非负实数，()ax bf x cx d+=+()x ∈R ，且(19)19f =，(97)97f =，若dx c≠-，对任意的x 均有(())f f x x =，试求出()f x 值域以外的唯一数. （2013年清华大学夏令营）7.求证：一个数列12321,,,,n a a a a +中各数相等的充分必要条件是p ：其中任意2n 个元素中n 个元素之和等于另外n 个元素之和. （2009年清华大学）第三讲．集合与函数知识要求1.注重理解集合的基础知识2.掌握柯西方法及柯西方程的转化3.注意函数性质拓展与深化，注意导数工具的作用4.了解极限的概念典型例题1.已知集合225{(,)(1)(2)}4A x y x y =-+-≤，集合{(,)|1|2|2|}B x y x y a =-+-≤， 且A B ⊆，求实数a 的取值范围. （2008年浙江大学） 相关习题（1）已知集合{(,)|(1)(1)}M x y x x y y =-≤-，22{(,)|}N x y x y k =+≤.若M N ⊂，则实数k 的最小值为 （2009年上海交通大学）2. 设{|()}M x f x x ==，{|(())}.N x f f x x == （1）求证：.M N ⊆（2）当()f x 是一个R 上增函数时，是否有?M N =如果有，请证明.（2010年浙江大学）3. 求有限集合12{,,,}n A a a a =，其中12,,,n a a a 为互不相等的正整数，使得1212.n n a a a a a a =++ （2009年上海交通大学、2006年清华大学）相关习题（1）求所有满足tan tan tan [tan ][tan ][tan ]A B C A B C ++≤++的非直角ABC ∆. 这里[]x 表示不大于x 的最大整数（例如[ 1.62]-=-，[1.6]1=）.（2009年南京大学保送生）（2）方程1111x y z++=的所有正整数解(,,)x y z = （2012年清华大学保送生）（2003年上海交通大学冬令营）4. 对于集合2M R ⊆，称M 为开集，当且仅当0P M ∀∈，0r ∃>，使得20{||}}.P R PP r M ∈<⊆判断集合{(,)4250}x y x y +->与{(,)0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论. （2007年清华大学） 相关习题（1）. 称{1,2,39}，，的某些非空子集为奇子集，如果其中所有数的和为奇数；则共有多少个奇子集？ （2013年北京大学保送生） 5. 已知当1α>时，函数y x α=（0α>）的图象如图所示.（1）设1α>，试用y x α=（0α>）说明，当10x >，20x >时，不等式1212()22x x x x ααα++≤ ○1 成立. （2）利用（1）中不等式证明：若0s t <<，则对任意的正数1x 、2x ，不等式111212()()22s s t t s tx x x x ++≤ ○2 成立. （3）当0x >、0y >且332216x y +=时，求22x y +的最小值.（2010年华中师范大学）6. （柯西方程）设()f x 在R 上单调，对12,x x R ∈有1212()()()f x x f x f x +=+ ○1 则()(1).f x f x =⋅ 相关习题（1）. 若函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++且(0)1f '=，求函数()f x 的解析式. （2000年上海交通大学）（2） 若对每一个实数x ，y ，函数()f x 满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(2)2f -=-，试求满足()f a a =的所有整数.a （2013年清华大学夏令营）7.已知函数()f x 满足：对实数a ，b 有()()()f ab af b bf a =+，且|()|1f x ≤， 求证：()0f x ≡.（可用以下结论：若lim ()0x g x →+∞=，|()|f x M ≤，M 为一常数，那么lim ()()0x f x g x →+∞=）（2006年清华大学）相关习题（1）. 设()f x 对一切实数x ，y 满足：222()()()()f x y x f y y f x x y =+-，且2|()| 1.f x x -≤求函数().f x （2007年南京大学）（2）求所有的**:f →N N ，满足22()()()()xf y yf x x y f x y +=++对所有的正整数x ，y 都成立. （2013年中国科技大学夏令营）8.方程e 4xx =-，ln 4x x =-的解分别为1x ，2x ，则12x x +=（ ）A.2B.4C.6D.8 （2013年复旦大学） 相关习题（1）实数a ，b 满足lg 10a a +=，1010bb +=，则a b +=_________（2009年上海交通大学）9.（1）已知函数()f x 不恒为0，且对,x y ∀∈R ，有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=，若存在常数T ，使得()0.f T =求证：4T 是()f x 的一个周期，且1() 1.f x -≤≤（2013年华东师范大学）相关习题（1）已知函数()f x 满足1(1)4f =，4()()()()(,)f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则(2010)f ＝ （2010年高考重庆卷）（2）定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（,x y R ∈），且(1)2f =，则(3)f -=（ ）A.2B.3C.6D.9 （2008年陕西卷） 10. 已知函数()f x 在[0,)+∞上可导，且满足(0)0f =，|()()| 1.f x f x '-≤证明：当[0,)x ∈+∞时，|()|e 1.xf x ≤- (2012山东大学) 11. （1）设函数()|lg |,,f x x a b =为实数，且0a b <<，若,a b 满足：()()2()2a bf a f b f +==，试写出a 与b 的关系，并证明在这一类关系中存在b 满足3 4.b << （2002上海交通大学）相关习题（1）已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ）A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)（2010年全国课标卷）（2）已知函数()|lg |.f x x =若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.(3,)+∞D.[3,)+∞ （2010年全国I 卷） 12.是否存在这样的实数a ，使得()sin f x ax x =+存在两切线相互垂直.（2011年北京大学保送生）13.求证：方程2270x x --=只有5x =一个根. （2008年南开大学） 14. 设0x >，（1）求证：21e 12xx x >++； （2）若21e 1e 2xyx x =++，求证：0.y x << （2013年卓越） 15.已知()(1)e 1.xf x x =-- （1）求证：当0x >时，()0f x <； （2）若数列{}n x 满足1e1n x n x +=-，11x =，求证：数列{}n x 单调递减，且1.2n x > （2013年华约） 相关习题（1）.已知e 1()ln x f x x-=，11a =，1()n n a f a +=.（i ）求证：e e 10xxx -+≥恒成立； （ii ）试求()f x 的单调区间；（iii ）求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. （2012年清华大学保送生）第四讲．三角函数知识要求1.三角公式的灵活运用2.了解布洛卡点3.合理运用平面几何知识解决三角形问题典型例题1. 已知sin(20)cos(10)cos(10)x x x +=++-，求ta n x 的值. （2010年浙江大学） 相关习题（1）. 求值：444sin 10sin 50sin 70.++ （2010年清华大学）（2）. 比较1)sin cos 22x y x y -+与1的大小. （2013年清华大学夏令营） 2.. 在单位圆221x y +=上有三点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y 满足：1230x x x ++=，1230.y y y ++=求证：2222221231233.2x x x y y y ++=++=（2011年北京大学保送生）3. 已知方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解，求实数a 的值.（2012年北约）相关习题（1）方程2(sin cos )30x x ++=是否有解？若有解，求出所有的解；若无解，说明理由.（2009年清华大学）4.在ABC ∆内存在一点O ，满足BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，求证：ABC ∆的三边构成等比数列. （2011年北京大学保送生）5.设函数()|sin ||cos |f x x x =+，讨论函数()f x 的性质（有界性、奇偶性、单调性、周期性等），并求出极值. （2007年上海交通大学） 相关习题（1）. .函数()2(sin 2sin3f x x x x =-，且[0,2].x π∈ （i ）求函数()f x 的最大值与最小值；（ii ）求方程()f x =. （2012年清华大学保送生试题）6. 求证：边长为1 （2008年北约）相关习题（1）. 设,,A B C 为边长为1的三角形三边长上各一点，求222AB BC CA ++的最小值.（2013年北约联考）（2）一个圆内接四边形的四个边长依次为1，2，3，4，求这个圆的半径.（2009年北京大学）7.已知ABC ∆不是直角三角形.(1)证明:tan tan tan tan tan tan .A B C A B C ++=⋅⋅(2)若tan tan 1tan B CC A+-=，且sin 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列，求cos2A C-的值. (2011年华约七校联考) 相关习题63 .在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B 的最大值. （2013年卓越） 8. 设,,,a b A B 均为已知实数，对任意x ∈R ，cos2sin2cos sin 1A x B x a x b x +++≤恒成立，求证：222a b +≤且221.A B +≤ （第19届IMO ）（2009年哈尔滨工业大学） 相关习题（1）.已知对任意x 均有cos cos21a x b x +≥-恒成立，求a b ω=+的最大值.（2009年北京大学）第五讲．等式与不等式知识要求1.研究等式成立的条件，并进行求值；2.掌握不等式的解法3.掌握几个重要的不等式，如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等典型例题1..已知1abc =-，221a bc c+=，222a b b c c a t ++=，求555ab bc ca ++的值. （2013年清华大学保送生试题）相关习题（1）已知225x y =+，225y x =+，求32232x x y y -+的值. （2013年北约）2. 若α、β、π(0,)2γ∈，且222cos cos cos 1.αβγ++=求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （2013年中国科技大学夏令营） 相关习题（1）有小于1的正数：12,,,n x x x 满足12 1.n x x x +++=求证：33311221114.n nx x x x x x +++>--- （2010年浙江大学） 3. 求证：对任意的,x y R ∈，不等式223(1)x xy y x y ++≥+-总成立.（2009年中国科技大学）4.. 设12342x x x x ≥≥≥≥，且2341.x x x x ++≥求证：212341234()4.x x x x x x x x +++≤ （2013年清华大学夏令营）相关习题（1）. 已知*n ∈N ， 2.n ≥求证：1(1) 3.nn+< （2013年中国科技大学夏令营）5. （1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2（2004年同济大学）（2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） 相关习题（1）. 如图，一条公路的两侧有六个村庄，要建一个车站，要求到六个村庄的路程之和最小，应该选在哪里最合适？如果在P 的地方增加了一个村庄，并且沿着地图的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？（2010年浙江大学）（2）. 求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值. （2011年北约）3.. 若正数,,a b c 1a b c ++=.求证：1111000()()().27a b c a b c ++++≥（2008年南京大学） 相关习题（1）. 设n 为正整数，求证：111(1)(1).1nn nn ++<++ （2008年山东大学）（2）设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：222111()()()a b c a b c+++++的最小值.（2008年南开大学）4. 设P 为ABC ∆内一点，它到三边,,BC CA AB 的距离分别为123,,,d d d S 为ABC ∆的面积，求证：2123().2a b c a b c d d d S++++≥ （2009年南京大学）（1）.在实数范围内求满足方程组2229,4862439.x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩的实数,,x y z 的值.（2008年同济大学） 1A 2A 3A 4A 5A 6A BCD EFP（2）.设实数,,a b c 222323.2a b c ++=求证：3927 1.a b c ---++>（2008年西安交通大学）（3）求函数1()2f x x =(06)x <<的最大值. （2013年中国科技大学夏令营）5. 已知,,0x y z >，3x y z ++=，求证：3232321.x y zx y z y z x z x y++≤++++++ （2013年北京大学“百年数学” 金秋科学体验营）相关习题（1）.已知,,A B C 是锐角三角形ABC ∆的三个内角，求tan tan tan A B C ++的最小值.（2010年北京科技大学）（2）. 已知A 、B 、π(0,)2C ∈，且222sin sin sin 1A B C ++=.求A B C ++的最大值.（2013年清华大学夏令营）6.求实数k 的最大值，使得对于任意正实数x ，y ，z ，均有3333|()()()|.x y z xyz k x y y z z x ++-≥--- （2013年北京大学单独招生）7. 求证：在ABC ∆中，3cos cos cos .2A B C ++≤ （2013年中国科技大学夏令营）。
高一数学讲义 第二章 不等式
高一数学讲义 第二章 不等式§2．1不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系 ().a b a b a b a b a b a b 1->⇔>⎧⎪2-=0⇔=⎨⎪3->0⇔<⎩（）；（）； 若a 、b +∈R ，则()()().aa b b aa b b aa b b ⎧4>1⇔>⎪⎪⎪5=1⇔=⎨⎪⎪6<1⇔<⎪⎩；；2．不等式的性质 （1）（对称性或反身性）a b b a >⇔<； （2）（传递性）a b b c a c >>⇒>，；（3）（可加性）a b a c b c >⇒+>+，此法则又称为移项法则； （同向可相加）a b c d a c b d >>⇒+>+，； （4）（可乘性）a b c ac bc >>0⇒>，；a b >，c ac bc <0⇒<； （正数同向可相乘）a b c d ac bd >>0>>0⇒>，； （5）（乘方法则）()n n a b n a b >>0∈⇔>>0N ； （6）（开方法则）()a b o n n >>∈2⇔>0N ，≥；（7）（倒数法则）a b ab a b11>>0⇒<，. 我们证明性质（4）如果a b >，且c >0，那么ac bc >；如果a b >，且c <0，那么ac bc <. 证明：()ac bc a b c -=-. .a b a b >∴->0，根据同号相乘得正，异号相乘得负，得 当c >0时，()a b c ->0，即ac bc >； 当c <0时，()a b c -<0，即ac bc <.由性质（4），又可以得到：推论：如果a b >>0，且c d >>0，那么ac bd >．（同学们可以自己证明）很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：如果a b >>0，那么()n n a b n n >∈2N ，且≥. 例1．设()f x ax bx 2=+，且()()f f 1-12214，≤≤≤≤，求()f -2的取值范围.解：因()()f a b f a b 1-1=-221=+4，，≤≤≤≤为 所以()()f f a 3-1+1=26，≤≤ 又()f a b a b a -2=4-2=2-2+2， 所以()f 5-210≤≤.例2．已知二次函数()f x ax bx c 2=++的图像过点()-10，，问是否存在常数a b c ，，，使不等式()()x f x x 21+1≤≤2对一切x ∈R 都成立？ 解：假设存在常数a b c ，，，满足题意， ()f x 的图像过点()-10，， ()f a b c ∴-1=-+=0又不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立， ∴当x =1时，()()f 21111+12≤≤，即a b c 1++1≤≤， a b c ∴++=1由①②可得：a c b 11+==22，，()f x ax x a 211⎛⎫∴=++- ⎪22⎝⎭，由()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立得：()x ax x a x 22111⎛⎫++-1+ ⎪222⎝⎭≤≤恒成立， ()ax x a a x x a 22⎧11⎛⎫-+-0 ⎪⎪22∴⎝⎭⎨⎪2-1+-20⎩≥≤的解集为R ， a a a >0⎧⎪∴11⎨⎛⎫-4-0 ⎪⎪42⎝⎭⎩≤且()a a a 2-1<0⎧⎪⎨1+82-10⎪⎩≤， 即()a a 2>0⎧⎪⎨1-40⎪⎩≤且()a a 21⎧<⎪2⎨⎪1-40⎩≤， a c 11∴=∴=44，，∴存在常数a b c 111===424，，使不等式()()x f x x 211+2≤≤对一切x ∈R 都成立. 例3．已知()()f x x a x 2=+2-2+4，（1）如果对一切()x f x ∈>0R ，恒成立，求实数a 的取值范围； （2）如果对[]()x f x ∈-31>0，，恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）()a a 2∆=4-2-16<0⇒0<<4；（2）()()a f ⎧--2<-3⎪⎨-3>0⎪⎩或()a ⎧-3--21⎪⎨∆<0⎪⎩≤≤或()()a f ⎧--2>1⎪⎨1>0⎪⎩，解得a ∈∅或a 1<4≤或a 1-<<12，∴a 的取值范围为1⎛⎫-4 ⎪2⎝⎭，.基础练习1．判断下列命题是否成立，并说明理由． （1）如果a b c d ><，，那么a c b d +>+； （2）如果a b c d >>，，那么a c b d -2>-2； （3）如果a b c d >>，，那么ac bd >. 2．对于实数a b c ，，中，判断下列命题的真假： ①若a b >，则ac bc 22>； ②若ac bc 22>，则a b >；③若a b <<0，则a ab b 22>>；④若a b <<0，则a b 11<；⑤若a b <<0，则b a a b>； ⑥若a b <<0，则a b >； ⑦若c a b >>>0，则a bc a c b>--； ⑧若a b a b11>>，，则a b >0<0，.3.设n >-1，且n ≠1，则n 3+1与n n 2+的大小关系是________. 4．比较下列两个数的大小：（1与2（2）2（3）从以上两小题的结论中，你能否得出更一般的结论？并加以证明． 5．已知()()()f x ax c f f 2=--41-1-125，，≤≤≤≤，求()f 3的取值范围. 能力提高6．若不等式()()a x a x 2-2+2-2-4<0对一切x ∈R 成立，求a 的取值范围. 7．若关于x 的方程x ax a 22++-1=0有一正根和一负根，求a 的取值范围.8．关于x 的方程()m x m x 2-3+3=的解为不大于2的实数，求m 的取值范围．9．已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ） A ．2枝玫瑰花价格高； B ．3枝康乃馨价格高； C ．价格相同； D ．不确定．§2．2一元二次不等式及其解法求不等式的解集叫做解不等式，如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式就叫做同解不等式，一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形．像x x 2-5<0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 下面，我们来探究一元二次不等式x x 2-5<0的解集： （1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系： 容易知道：二次方程有两个实数根：x x 12=0=5， 二次函数有两个零点：x x 12=0=5，于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． （2）观察图像，获得解集画出二次函数y x x 2=-5的图像，如图2-1，观察函数图像，可知：x图2-1当x <0，或x >5时，函数图像位于x 轴上方，此时，y >0，即x x 2-5>0； 当x 0<<5时，函数图像位于x 轴下方，此时，y <0，即x x 2-5<0； 所以，不等式x x 2-5<0的解集是{}|x x 0<<5. 探究一般的一元二次不筹式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式： ()ax bx c a 2++>0>0，或()ax bx c a 2++<0>0，一般地，怎样确定一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集呢？从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：（1）抛物线y ax bx c 2=++与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax bx c 2++=0的根的情况；（2）抛物线y ax bx c 2=++的开口方向，也就是a 的符号. 总结结果：（1）抛物线()y ax bx c a 2=++>0与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax bx c 2++=0的判别式b ac 2∆=-4三种取值情况（∆>0∆=0∆<0，，）来确定．因此，要分二种情况讨论；（2）a <0可以转化为a >0，分∆>0∆=0∆<0，，三种情况，得到一元二次不等式ax bx c 2++>0与ax bx c 2++<0的解集.一元二次不等式ax bx c 2++>0或()ax bx c a 2++<0≠0的解集；设相就的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的两根为x 1、x 2且x x 12≤，b ac 2∆=-4，则不等式的解不等式的解集经常用区间来表示.区间是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点. a b ∀∈R ，，且a b <.{}|x a x b <<称为开区间，记为；()a b ，； {}|x a x b ≤≤称为闭区间，记为[]a b ，； {}|x a x b <≤称为左闭右开区间，记为[)a b ，；{}|x a x b <≤，称为左开右闭区间，记为(]a b ，.以上都是有限区间，以下是无限区间：[){}|a x x a +∞=，≥、(){}|a x x a +∞=>，、(]{}|a x x a -∞=，≤、(){}|b x x b -∞=<，、实数集()=-∞+∞R ，，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.区间长度的定义：两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度. 例1．解不等式x x 2-+2-3>0.解：整理，得x x 2-2+3<0.因为∆<0，方程x x 2-2+3=0无实数解， 所以不等式x x 2-2+3<0的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅. 例2．已知{}|A x x x 2=-3+20≤，(){}|B x x a x a 2=-+1+0≤， （1）若AB ，求a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求a 的取值范围. 解：{}|A x x =12，≤≤当a >1时，{}|B x x a =1≤≤；当a =1时，{}B =1；当a <1时，{}|B x a x =1≤≤.（1）若AB ，则a a a >1⎧⇒>2⎨>2⎩；（2）若B A ⊆，当a =1时，满足题意；当a >1时，a 2≤，此时a 1<2≤；当a <1时，不合题意. 所以，a 的取值范围为[)12，.例3．已知关于x 的不等式()()kx k x 2--4-4>0，其中k ∈R .（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A Z B =（其中Z 为整数集）．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由. 解：（1）当k =0时，()A =-∞4，；当k >0且k ≠2时，()A k k 4⎛⎫=-∞4++∞ ⎪⎝⎭，，；当k =2时，()()A =-∞44+∞，，；（不单独分析k =2时的情况不扣分） 当k <0时，A k k 4⎛⎫=+4 ⎪⎝⎭，.（2）由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数无限； 当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为k k4+-4≤时取等号当且仅当k =-2时取等号，所以当k =-2时，集合B 的元素个数最少. 此时()A =-44，，故集合()B =-3-2-10123，，，，，，.例4，已知a 为实数，关于x 的二次方程()()x a x a a 227-+13+--2=0有两个实根分布在()()0112，，，上，求a 的取值范围.解：令()()()f x x a x a a 22=7-+13+--2，由二次函数图像知 ()()().f f f 0>0⎧⎪1<0⎨⎪2>0⎩，，即.a a a a a 222⎧--2>0⎪-2-8<0⎨⎪-3>0⎩，，解得a -2<<-1或a 3<<4. 所以a 范围是()()-2-134，，.基础练习1．设a b c a b c 111222，，，，，均为非零实数，不等式a x b x c 2111++>0，a x b x c 2222++>0的解集分别是集合M N ，，则a b c a b c 111222==是“M N =”的充要条件对吗？ 2．已知不等式ax bx c 2++>0的解集为{}|x x 2<<4，求不等式cx bx a 2++<0的解集. 3．不等式()ax ab x b 2++1+>0的解是x 1<<2，求a b ，的值. 4．若不等式x kx 2-+-4<0的解集为R ，求实数k 的取值范围. 5．已知不等式ax x 2-3+6>4的解集为{}|x x x b <1>或. （1）求a 、b ； （2）解不等式x cax b->0-（c 为常数）. 能力提高6．若关于m 的不等式()mx m x m 2-2+1+-10≥的解集为空集，求m 的取值范围. 7．已知不等式组x x a a x a 22⎧-+-<0⎨+2>1⎩的整数解恰好有两个，求a 的取值范围．8．已知()f x ax bx c 2=++在[]01，上满足()f x 1≤，试求a b c ++最大值.§2．3分式不等式像x x 16<-1-1这样，只含有一个未知数，并且分母含未知数的不等式，称为分式不等式，解分式不等式，关键是将它变为整式不等式去解，其一般特征为： 分式不等式()()f xg x >0（或0≥）或()()f xg x <0（或0≤）要正确运用以下同解原理.（1）()()f xg x ≥0（或<0）与()()f x g x ⋅>0（或<0）同解.（2）()()f x g x 0≥（或0≤）与不等式组()()()f x g x g x ⎧⋅0⎪⎨≠0⎪⎩≥()()()f x g x g x ⎛⎫⎧⋅0⎪ ⎪⎨ ⎪≠0⎪⎩⎝⎭或≤同解. 例1．解不等式x x x x 22-9+117-2+1≥.解：移项，通分得x x x x 22-6+5+40-2+1≥，()()()x x x 22+13-4∴0-1≤ 转化为()()()()x x x x 22⎧2+13-4-10⎪⎨-1≠0⎪⎩，，≤ ()()x x x ⎧2+13-40⎪∴⎨-1≠0⎪⎩，，≤ 则所求不等式的解集为x x x ⎧14⎫-<11<⎨⎬23⎩⎭或≤≤.例2．解关于x 的不等式()x a x x ax222+-1+3>1+.解：原不等式等价于x x x ax22-+3>0+.由于x x 2-+3>0对x ∈R 恒成立， ∴x ax 2+>0，即()x x a +>0当a >0时，{}|x x a x <->0或； 当a =0，{}|x x x ∈≠0R 且； 当a <0时，{}|x x x a <0>-或.例3．k 为何值时，下式恒成立：x kx kx x 322+2+<14+6+3.解：原不等式可化为：()()x k x k x x 222+6-2+3->04+6+3，而x x 24+6+3>0，∴原不等式等价于()()x k x k 22+6-2+3->0，由()()k k 2∆=6-2-4⨯2⨯3-<0得k 1<<3. 基础练习1．解下列不等式： （1）x x x x 22-3+2<0-2-3；（2）x x -30-2≥； （3）x x1>； （4）()()x x x x 232-2≥+1>0++1；（5）x x x x 2215-11+2<0-2+3+2.2．已知关于x 的不等式k x bx a x c++<0++的解集为()()-2-123，，，求关于x 的不等式kx bx ax cx -1+<0-1-1的解集. 3．若a b c >>，a 、b 、c 为常数，求关于x 的不等式()()()x a x c x b 2-->0-的解集. 4．解不等式x x x x 1111+>++4+5+6+3. 5．若不等式x ax x 2+0+4+3≥的解集为{}|x x x -3<<-12或≥，求实数a 的值.6．若m n >>0，求关于x 的不等式()()mx n x x --20-1≥解集.§2．4 高次不等式像x x x 22+3>2+6这样，只含有一个未知数，并且未知数的次数高于两次的不等式称为高次不等式. 我们研究()()()()x x x x -1+1-2-3<0的解，此不等式的左端是关于x 的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，首先解方程()()()()x x x x -1+1-2-3=0得x 的四个解分别为1，-1，2，3．然后将x 的取值分成5段，使得四个因式x x x x -1+1-2-3，，，的积为负的范围就是所求的解集. 列表：借助于数轴并根据积的符号法则表示为图2-2.图2-2由图可知：原不等式的解集为()()23-11，，． 此方法为“数轴标根法”也可以叫“串线法”，高次不等式常常用“数轴标根法”来解，其步骤是： ①等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积．（未知数系数一定为正数） ②把各因式的根标在数轴上. ③用曲线穿根，（奇次根穿透，偶次根不穿透）看图像写出解集． 例1．解不等式x x x 32+3>2+6.解：原不等式化为()(x x x +3>0∴原不等式的解为x x -3<<例2．解不等式：()()()()x x x x x 2+1-20-3-5≤.解：原不等式等价于()()()x x x x -20-3-5≤或x =-1.标根（见图2-3）；图2-3解集为[](){}0235-1，，.基础练习1．解不等式x x x 32+3>2+6.2．解不等式()()x x x x 22-4-5++2<0. 3．解不等式()()()()x x x x 23+2-1+1-2<0. 能力提高4．对于一切x 1⎡⎤∈-2⎢⎥2⎣⎦，，不等式ax x x 32-++10≥恒成立，求实数a 的取值范围．5．设P x x x x 432=+6+11+3+31，求使P 为完全平方数的整数x 的值.6．已知x y a x y b c >0>0=+=，，，m 使得对于任意正数x y ，可使a b c ，，为三角形的三边构成三角形，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由. 7．已知函数()()x k k x f x x x 42242++2-4+4=+2+4的最小值是0，求非零实数k 的值.§2．5无理不等式像x3-不等式，关键是把它同解变形为有理不等式组．无理不等式一般有如下几种形式：()()()()f xg xf xg x⎧0⎫⎪⇒⎪⎬⎪⇔0⎨⎪⎭⎪>⎪⎩定义域≥≥例1>0.解：根式有意义∴必须有：xxx3-40⎧⇒3⎨-30⎩≥≥≥又有x-3x-3解之：x1>2∴{}{}|x x x x x x⎧1⎫>3>=>3⎨⎬2⎩⎭()()()()f xg xf xg x2⎧0⎪⎪⇔0⎨⎪>⎡⎤⎪⎣⎦⎩≥≥或()()fxg x⎧0⎪⎨<0⎪⎩≥例2x>4-3.解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：()xx xx x x222⎧4-30⎪⎪-+3-20⎨⎪-+3-2>4-3⎪⎩≥≥Ⅱ：x xx2⎧-+3-20⎨4-3<0⎩≥解Ⅰ：xx xx4⎧⎪3⎪64⎪12⇒<⎨53⎪⎪63<<⎪52⎩≤≤≤≤解Ⅱ：x4<23≤∴原不等式的解集为xx⎧6⎫<2⎨⎬5⎩⎭≤.()()()()()f xg x g xf xg x2⎧0⎪⎪⇔>0⎨⎪<⎡⎤⎪⎣⎦⎩型≥例3x +2. 解：原不等式等价于()x x x x x x 222⎧2-6+4⎪⎪+2>0⎨⎪2-6+4<+2⎪⎩≥0x x x x 21⎧⎪⇒>-2⎨⎪0<<10⎩或≥≤{}|x x x ⇒2<100<1或≤≤ 例4>.解：要使不等式有意义必须：x x x x x 1⎧2+10-⎧1⎪⇒⇒-2⎨⎨+102⎩⎪-1⎩≥≥≥≥≥.>)22∴>，即()x >-+1.x +10≥，∴不等式的解为x 2+10≥ 即x 1≥-2.基础练习1．解下列不等式：（1> （2）x x 3-3+3 （3> （4）(x -10. 2>3. 3>. 4>1.5．满足x 3-x 的集合为A ；满足()x a x a 2-+1+0≤的x 的集合为B . （1）若A B ⊂，求a 的取值范围； （2）若A B ⊇，求a 的取值范围；（3）若A B 为仅含一个元素的集合，求a 的值． 6．求不等式()x x 224<2+9的解集.7．求使关于x k 有解的实数k 的最大值. §2.6 绝对值不等式1．含有绝对值不等式有以下两种基本形式：（1）()x a a a x a <>0⇔-≤≤（()x a a a x a >0⇔-≤≤≤）， （2）()x a a x a x a >>0⇔><-或（()x a a x a x a >0⇔-或≥≥≤）. 2．解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号，一般有以下方法： （1）定义法；（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()f x g x <）； （4）图像法或数形结合法. 例1．解不等式x x 2-5+5<1.解法一：利用不等式()x a a <>0的解集是{}|x a x a -<<和整体的思想()()f x f x <1⇔-1<<1，因此，这个不等式可化为x x x x 22⎧-5+5<1⎪⎨-5+5>-1⎪⎩ ①②解不等式①得解集{}|x x 1<<4 解不等式②得解集{}|x x x <2>3或∴原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集，即解集为{}|x x x 1<<23<<4或解法二：平方去绝对值．原不等式可化为：()()xx x x 22-5+6-5+4<0，即()()()()x x x x -2-3-4-1<0 利用“数轴标根法”（见图2-4），图2-4∴原不等式的解集是{}|x x x 1<<23<<4或.例2．解关于x 的不等式()x m m 2-1<2-1∈R .解：若m 2-10≤，即m 12≤，则x m 2-1<2-1恒不成立，此时原不等式无解；若m 2-1>0，即m 1>2，则()m x m -2-1<2-1<2-1，所以m x m 1-<<. 综上，当m 12≤时，原不等式的解集为∅；当m 1>2时，原不等式解集为{}|x m x m 1-<<. 例3．解下列不等式： （1）x 4<2-37≤； （2）x x -2<+1； （3）x x 2+1+-2>4.解：（1）原不等式可化为x 4<2-3≤7或x 2-3<-4-7≤，∴原不等式解集为17⎡⎫⎛⎤-2-5⎪ ⎢⎥22⎣⎭⎝⎦，，.（2）原不等式可化为()()x x 22-2<+1，即x 1>2， ∴原不等式解集为1⎛⎫+∞ ⎪2⎝⎭，.（3）当x 1-2≤时，原不等式可化为x x -2-1+2->4，x ∴<-1，此时x ∴<-1；当x 1-<<22时，原不等式可化为x x 2+1+2->4，∴x >1，此时x 1<<2；当x 2≥时，原不等式可化为x x 2+1+-2>4， ∴x 5>3，此时x 2≥. 综上可得：原不等式的解集为()()-∞-11+∞，，.例4．某段城铁线路上依次有A 、B 、C 三站，km AB =5，km BC =3，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行中，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度km/h v 匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． （1）分别写出列车在B 、C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围. 解：（1）列车在B 、C 两站的运行误差（单位：分钟）分别是 v 300-7和v 480-11 （2）由于列车在B 、C 两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 v v 300480-7+-112≤ 当v 3000<7≤时，①式变形为v v300480-7+-112≤，解得v 300397≤≤. 当v 300480<711≤时，①式变形为v v 3004807-+-112≤，解得v 300480<711≤. 当v 480>11时，①式变形为v v3004807-+11-2≤， 解得v 480195<114≤. 综上所述，v 的取值范围是195⎡⎤39⎢⎥4⎣⎦，.基础练习1.解不等式x x x 2-1<++1.2．已知{}|A x x a =2-3<，{}|B x x =10≤，且A B ，求实数a 的取值范围．3．求不等式x x 3+14+2>5的解集. 4．求不等式x x -1+-5<7的解集.5．（1）对任意实数x x x a +1+-2>，恒成立，求a 的取值范围. （2）对任意实数x x x a -1-+3<，恒成立，求a 的取值范围.能力提高6．在一条公路上，每隔km 100有个仓库（如图2-5），共有5个仓库，一号仓库存有10t 货物，二号仓库存20t ，五号仓库存40t ，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km 需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？五四三二一图2-57．若关于x 的不等式x x a -4++3<的解集不是空集，求a 的范围．§2.7绝对值的不等式的性质定理：a b a b a b -++≤≤证明：()a a a a b a b a b b b b ⎫-⎪⇒-+++⎬-⎪⎭≤≤≤≤≤≤a b a b ⇒++≤ ①又a a b b =+- b b -=由①a a b b a b b =+-++-≤ 即 a b a b -+≤ ② 综合①②：a b a b a b -++≤≤.注意：1︒左边可以“加强”同样成立，即a b a b a b -++≤≤.2︒这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．3︒a b ，同号时右边取“=”，a b ，异号时左边取“=”. 推论1．n n a a a a a a 1212++++++……≤. 推论2．a b a b a b --+≤≤. 证明：在定理中以b -代b 得：()()a b a b a b a b --+-+-+-≤≤≤，即a b a b a b --+≤≤.例1．设a b <1<1，，求证a b a b ++-<2.证明：当a b +与a b -同号时，a b a b a b a b a ++-=++-=2<2； 当a b +与a b -异号时，()a b a b a b a b b ++-=+--=2<2. a b a b ∴++-<2.例2．已知()f x a b ≠时，求证：()()f a f b a b -<-. 证明：()()f a f b -===()()a b a b a b a b a ba b+-+-=++≤a b =-.基础练习1．ab >0，则①a b a +> ②a b b +< ③a b a b +<- ④a b a b +>-四个式中正确的是（ ） A.①②B.②③C.①④D.②④2．x 为实数，且x x m -5+-3<有解，则m 的取值范围是（ ）A.m >1B.m 1≥C.m >2D.m 2≥ 3．不等式a b a b+1+≤成立的充要条件是（ ）A.ab ≠0B.a b 22+≠0C.ab >0D.ab <04．已知a b ≠，a b a b m n a ba b-+==-+，，那么m 、n 之间的大小关系为（ ）A.m n >B.m n <C.m n =D.m n ≤能力提高5．已知()()f x x ax b a b 2=++∈R ，，求证：()()()f f f 1+22+32≥. 6．实数x 1、x 2、…、x 2007∈R ，满足x x x x x x 213220072008-+-++-=2007…，设kk x x x y k12+++=…，k =123，，…，2007.求y y y y y y 213220072006-+-++-…的最大值.§2.8 含字母系数的不等式像()ax a x 2-+1+1<0这样，只含有两个或两个以上的未知数的不等式，称为含字母系数的不等式．解不等式时，对字母的取值要进行恰当的分类，分类时要不重、不漏，然后根据分类进行求解． 例1．解关于x 的不等式()ax a x 2-+1+1<0其中a >0 解：由一元二次方程()ax a x 2-+1+1<0的根为x x a121-1=，知 （1）当a1>1，即a 0<<1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-6： 故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，.图2-6（2）a10<<1，即a >1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-7：图2-7故原不等式的解为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，. （3）a1=1，即a =1时二次函数()y ax a x 2=-+1+1的草图为图2-8：故原不等式的解为∅.图2-8综上，当a 0<<1时原不等式的解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a >1时原不等式解集为a 1⎛⎫1 ⎪⎝⎭，；当a =1时原不等式解集∅.例2．解关于x 的不等式()x x a a 2---1>0. 解：原不等式可以化为：()()x a x a +-1->0. 若()a a >--1即a 1>2，则x a >或x a <1-. 若()a a =--1即a 1=2，则x x x 211⎛⎫->0⇒≠∈ ⎪22⎝⎭R ，.若()a a <--1即a 1<2，则x a <或x a >1-. 例3．关于x 的不等式()ax a x a 2+-1+-1<0对于x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 解：当a >0时不合题意，a =0也不合题意，必有：()()a a a a a a a 22<0⎧<0⎧⎪⇒⎨⎨3-2-1>0∆=-1-4-1<0⎪⎩⎩()()a a a a <0⎧1⎪⇒⇒<-⎨3+1-1>03⎪⎩.例4．解不等式：aa x >1--2. 解：原不等式可化为：()()a x a x -1+2->0-2，即()()()a x a x -1+2--2>0⎡⎤⎣⎦.当a >1时，原不等式与()a x x a -2⎛⎫--2>0 ⎪-1⎝⎭同解.若a a -22-1≥，即a 0<1≤时，原不等式无解：若a a -2<2-1，即a <0或a >1， 于是a >1时，原不等式的解为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，.当a <1时，若a <0，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，；若a 0<<1，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，. 综上所述：当a >1时，解集为()a a -2⎛⎫-∞2+∞ ⎪-1⎝⎭，，；当a 0<<1时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，； 当a =0时，解集为∅；当a <0时，解集为a a -2⎛⎫2 ⎪-1⎝⎭，.基础练习1．设a b >0>0，，解关于x 的不等式ax bx -2≥.2．解关于x 的不等式：()()x a x x x 22-+1+1>1-1（其中a >1）.3．解关于x 的不等式：()m x x 2+1-4+10≤()m ∈R . 4．解关于x 的不等式：ax x x 2-1>0--2．5．关于x 的不等式()()()m x m x m 2+1-2-1+3-1<0的解是一切实数，求实数m 的取值范围． 能力提高6．设m m ∈≠0R ，，解关于x 的不等式x m x m m m 211⎛⎫-++-<0 ⎪⎝⎭.7．设不等式()()x m x 22-1>-1对满足m 2≤的一切实数m 的值都成立，求x 的取值范围. 8．若关于x 的不等式ax +2<6的解休是()-12，，求不等式xax 1+2≤的解集. 9．设不等式x ax a 2-2++20≤的解集为M ，如果[]M ⊆14，，求实数a 的取值范围． 10．已知不等式xy ax y 22+2≤对于[][]x y ∈12∈23，，，恒成立，求a 的取值范围. §2．9基本不等式及其应用图2-9是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？图2-9将图中的“风车”抽象成如图2-10，在正方形ABCD 中有个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边长为a b ，.这样，4个直角三角形的面积的和是ab 2，正方形的面积为a b 22+.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a b ab 22+2≥.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有a b ab 22+=2. 定理1（基本不等式1）：C图2-10一般的，如果a b ∈R ，，那么a b ab 22+2≥（当且仅当a b =时取“=”号） 证明：因为()a b ab a b 222+-2=-当a b ≠时，()a b 2->0，当a b =时，()a b 2-=0， 所以，()a b 2-0≥，即a b ab 22+2≥.特别的，如果a b >0>0，，我们用分别代替a 、b，可得a b +≥()a ba b +>0>02， 通常我们称a b+2为a 、ba 、b 的几何平均数. 例1．已知x 、y 都是正数，求证： （1）y xx y+2≥； （2）()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.证明：x y ，都是正数x yx y x y y x2233∴>0>0>0>0>0>0，，，，， （1）x y y x +=2≥即x yy x+2≥. （2）x y x y x y 2233+0+>0+0，，≥≥≥()()()x y x y x y x y 223333∴+++=8≥ 即()()()x y x y xy x y 223333+++8≥.说明：在运用定理：a b+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形. 例2．（1）用篱笆围成一个面积为2m 100的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）段长为m 36的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：（1）设矩形菜园的长为m x ，宽为m y ，则xy =100，篱笆的长为()m x y 2+.由x y+2x y +≥()x y 2+40≥.等号当且仅当x y =时成立，此时x y ==10.因此，这个矩形的长、宽都为m 10时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）设矩形菜园的宽为m x ，则长为()m x 36-2，其中0x <<18， 其面积()()x x S x x x x 22112+36-236⎛⎫=36-2=⋅236-2=⎪2228⎝⎭≤ 当且仅当x x 2=36-2，即x =9时菜园面积最大，即菜园长m 18，宽为9m 时菜园面积最大为2162m . 归纳：1．两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a b +∈R ，，且a b M +=，M 为定值，则M ab 24≤，等号当且仅当a b =时成立.2．两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a b +∈R ，，且ab P =，P 为定值，则a b +≥，等号当且仅当a b =时成立.定理2（基本不等式2）：如果a b c +∈R ，，，那么a b c abc 333++3≥（当且仅当a b c ==时取“=”）证明： ()a b c abc a b c a b ab abc 3333322++-3=++-3-3-3 ()()()()a b c a b a b c c ab a b c 22⎡⎤=+++-++-3++⎣⎦()a b c a ab b ac bc c ab 222⎡⎤=+++2+--+-3⎣⎦()()a b c a b c ab bc ca 222=++++---()()()()a b c a b b c c a 2221⎡⎤=++-+-+-⎣⎦2. a b c ∈+R ，，， ∴上式0≥.从而a b c abc 333++3≥.推论：如果a b c ∈+R ，，，那么a b c ++3a b c ==时取“=”）证明：a b c 333++++≥≥a b c++⇒3由此推出：a b c abc 3++⎛⎫⎪3⎝⎭≥.例3．求证：（1）()a b c a b c 111⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥9；（2）a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥.证明：（1） a b c ，，都是正数a b c a b c ++111∴>0++>03，≥ ()a b c a b c 111⎛⎫∴++++=9 ⎪⎝⎭≥.（2）a b c ，，都是正数a b c b c a ∴++3≥，b c a a b c ++3≥. a b c b c a b c a a b c ⎛⎫⎛⎫∴++++9 ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≥. 例4．一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平正比，与它的长度l 的平方成反比，见图2-11．lda图2-11（1）将此枕木翻转90︒（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗?为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来成长方体形的枕木，木材长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？解：（1）由题可设安全负荷ad y k l 212=⋅（k 为正常数），则翻转90︒后，安全负荷da y k l 222=⋅.因为y dy a 12=，所以，当d a 0<<时，y y 12<，安全负荷变大；当a d 0<<时，y y 12>，安全负荷变小.（2）如图2-12，设截取的枕木宽为a ，高为d ，则图2-12a d R 222⎛⎫+= ⎪2⎝⎭即a d R 222+4=4 枕木长度不变，u ad 2∴=最大时，安全负荷最大．u d d ∴====当且仅当d R d 222=-2，即取d a ==，时，u 最大，即安全负荷最大. 定理3（基本不等式3）*ni a a a n a R i n n+12+++∈∈1N …，，≤≤.这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）．这里涉及到“平均数”的概念.如果n a a a n +12∈>1R ，，…，，且n +∈N ，则na a a n12+++…叫做这n 做这n 个正数的几何平均数．定理3的语言表述为：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基础练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()a b b c c a abc +++8≥. 2．设a b c +∈R ，，，且ab bc ca ++=108，求ab bc cac a b++的最小值. 3．（1）若x >0，求()f x x x9=4+的最小值； （2）若x <0，求()f x x x9=4+的最大值. 4．（1）若x ≠0，求x x1+的取值范围； （2）若ab =1，求a b +的取值范围； （3）若x 5<4，求x x 14-2+4-5的最大值； （4）若x >2，求x x x 2-3+3-2的最小值；（5）若x y >0，，且x y 19+=1，求x y +的最小值；（6）若x y >0，，x y +=1，求x y41+的最小值；（7）求y 2y 2=（8）若a b >0，，且ab a b =++3，求ab 的取值范围.5．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3m 4800，深为m 3，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每2m 1的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？6．某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层m 21000的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高%5．已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？ 能力提高7．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清冼一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ． （1）试规定()f 0的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质；（3）设()f x x 21=1+，现有()a a >0单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．8．设a a a a 11211>-1≠=1+1+，.（1a a 12，之间； （2）a a 12，；（3.9．设常数a b +∈R ，，试探求不等式()ax a b b 2=+-1+>0对任意x >1成立的充要条件. 10.已知集合(){}|D x x x x x x k 121212=>0>0+=，，，（其中k 为正常数）. （1）设u x x 12=，求u 的取值范围；（2）求证：当k 1≥时，不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤对任意()x x D 12∈，恒成立；（3）求使不等式k x x x x k 22212⎛⎫⎛⎫112⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥对任意()x x D 12∈，恒成立誓k 2的范围.11．已知a b c +∈R ，，，且满足()()kabc a b a b c a b c22++++4++≥，求k 的最小值.§2.10 不等式的证明证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容方方面面．如与数列、三角函数、函数等相结合，解答时需要综合运用这些知识.不等式的证明，由于题型多变，技巧性强加上无固定程序可循，因此常有一定的难度，解决个困难的出路在于深刻理解不等式证明中应用的数学思维方法和数学思想方法，熟练掌握等式的性质和一些基本不等式.不等式的证明常用方法有：比较法、分析法、综合性、反证法． 1，比较法比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式： ①求差比较法，步骤是：作差——变形——判断．变形方向：变为一个常数；或变为平方和形式；或变为因式之积的形式． 这种比较法是普遍适用的，是无条件的.它的理论依据是实数大小关系：a b a b a b a b a b a b ->0⇔>⎧⎪-=0⇔=⎨⎪-<0⇔<⎩应用范围：常用于指（对）数式的比较．这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定. 例1．若a b n >0>1，，，则n n n n a b a b ab -1-1++≥ 证明：()()()()n n n n n n a b a b ab a a b b a b -1-1-1-1++=---()()n n a b a b A -1-1=--=.若a b >，则n n a b -1-1>，则A >0； 若a b <，则n n a b -1-1<，则A <0； 若a b =，则A =0. ∴原不等式成立.②求商比较法，步骤是：作商——变形——判断. 做商法是依据当b >0，且ab>1时，则a b >，反之则亦然． 例2．设a b c ，，为正数，证明()a b c a n ca b c abc ++3≥.证明：易知上式是轮换的，不妨设a b c ≥≥. 上式即()a b ca b c a b c abc ++333≥a bb ca ca b c b c a c a b a b c a b a a b c b c c ---222+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=1 ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥.∴原不等式成立．比较法是证明不等式最基本，也是最常用的方法之一，它主要有作差或作商，变形，判断三个步骤． 基础练习1．（1）若x >1，求证：x x x31>+-1； （2）若a b ∈R ，，求证：a b ab a b 22+++-1≥；（3）若a b <<0，求证：a b a b a b a b2222++<--；（4）若a b >0>0，，求证：a b b a a b a b ≥. 2．若x y z a b c +∈∈R R ，，，，，，则()b c c a a b x y z xy yz zx a b c222+++++2++≥. 3．若a b c ，，为不全相等的正数，则a b ab b c a c ac abc 22222++++>6. 4．已知ab R +∈，且a b ≠，求证：()()()a b a ab b a b 222222--+<-.2．分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法，分析法也称逆推法.例3>1+(22>即12+>16+2即35>19+，即4，即15<16(22>即12+>16+35>19+即35>19+，即4，即15<16例4．已知n ∈N ，求证：n n n n 111111111⎛⎫⎛⎫1++++++++ ⎪ ⎪+1352-12462⎝⎭⎝⎭……≥① 证明：要证明不等式（1），只须证()n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫1+++++1++++ ⎪ ⎪352-12462⎝⎭⎝⎭……≥②②式左边即n n n n 111⎛⎫+++++ ⎪22352-1⎝⎭…③ ②式右边即n n n 11111111⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪24622462⎝⎭⎝⎭……④n n n n 1111111⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪22462462⎝⎭⎝⎭…… 比较③和④可知要证②式成立，只须证明 n n 1111⎛⎫++++ ⎪22462⎝⎭…≥⑤ n n111111++++++352-1462……≥⑥ ⑤，⑥两式显然成立，故不等式①成立．用分析法证明不等式时，应注意每一步推理都要保证能够反推回来．分析法的优点就是比较符合探索题解的思路，缺点就是叙述往往比较冗长，因此，思路一旦打通，可改用综合法解答，它适用于条件简单而求证复杂或从条件无从下手的题． 基础练习1<2．设,x y >0>0，证明不等式：()()x yxy11223323+>+.3．已知,,a b c 分别为一个三角形的三边之长，求证c a b a b b c c a++<2+++. 4.若,,x y z +∈R ，且x y z xyz ++=，证明不等式y z z x x yx y z x y z 2⎛⎫+++111++2++ ⎪⎝⎭≥.5，已知,,x y z ∈+R ，且x y z 222++=1，求证：x y z x y z 222++1-1-1-6．已知,,a b c 01≤≤，求证：a b cbc ca ab ++2+1+1+1≤. 3．综合法综合法是“由因导果”，即从已知条件出发，依据不等式性质，函数性质或熟知的基本不等式，逐步推导出要证明的不等式．例5．已知△的三边长为,,a b c ，且a b c s ++=2，求证：()()()abcs a s b s c ---8≤. 证明：由条件得：,,s a s b s c ->0->0->0 ()()()s a s b c s a s c s a b 222-+-1⎛⎫∴--=2--= ⎪244⎝⎭≤.同理：()()()(),a b s b s c s c s a 22----44≤≤.三式相乘再开方得()()()abcs a s b s c ---8≤.在实际应用中，常常用分析法寻找思路，用综合法表述，即所谓的综合分析法，这样使得叙述不会太过于冗长，请看下例：例6．设,,,a b x y R ∈，且,a b x y 2222+=1+=1，试证：ax by +1≤. 证法1：用分析法。
基本不等式(讲课稿)
2.2 基本不等式（第一课时 )【目标引领】1. 学会推导并掌握基本不等式,理解不等式的意义.2. 探索了解基本不等式的证明过程,领悟数形结合思想的应用.3. 会应用基本不等式求简单的最值问题.【自学探究】复习回顾: 1.(a-b)2= （a+b)2= 2.如何比较两个实数的大小？ 3.∀a,b ∈R,a 2+b 2≥ ,当且仅当 时,等号成立.4.如果a>0,b>0,我们用a ,b 分别代替上式中的a,b,可得 ，当且仅当时,等号成立. 【合作解疑】基本不等式: 通常称 为基本不等式.其中,2a b +叫做正数a,b 的算术平均数，b a 叫做正数a,b 的几何平均数。
思考：能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？探究: 如图，AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上一点，AC=a ，BC=c ．过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD,BD ．你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？【精讲点拨】例1 已知x>0,求x+x 1的最小值。
巩固练习：1. 已知x>2,求x+2-x 1的最小值. 2. 已知x<0,求x+x1的最大值。
例2 已知0<x<2,求x(2-x)的最大值。
例3 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2P ;（2）如果积x+y 等于定值S ，那么当x=y 时，和xy 有最大值241S ;巩固练习:P46 练习 1、2、3、4、5【课后小结】:【当堂达标】1.若a,b ∈R,且ab>0,则下列不等式中，恒成立的是（ ）A. ab a 2b 22>+B.a+b ≥ 2abC. ba a 2b 11>+ D.2≥+b a a b 2若x,y 为正实数，且x+4y=1,则xy 的最大值为3.已知x>23,求函数y=2x-2+321-x 的最小值.4.已知0<x<21,求21x(1-2x)的最大值.【作业布置】：P48习题2.2 复习巩固 1、2 综合运用 4、5。
上海市华师大二附中自主招生高考数学应试辅导第2讲 不等式(1).doc
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式的证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大试题中，不等式部分通常占1%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广：需要适当补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、柯西不等式的证明2121212,,2((112111n n n na b R a b a bn a a a a na a n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②分析：证明：柯西不等式的推论一柯西不等式的推论二柯西不等式的应用，a a a A n 22221+++= 设nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b xb b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤,即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤ 22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n na a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++柯西不等式练习1、 2.已知21x y +=,求22x y +的最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+的最小值．第三部分 真题精析：证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即 2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例222,sin cos 1sin cos ,sin cos ,2y y x x t x x t x x t y t y t ==++-⎡+==∈⎣=+令则且显然，关于是单调递增的（，复旦）（，同济）关键步骤提示：=<=<=。
不等式专题标准讲义
不等式专题讲义一、知识清理知识点：一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 要区别方程与不等式: 方程表示的是相等的关系;不等式表示的是不相等的关系.3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc, cbc a >.(3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc, cbc a <2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式)一般地:如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向: ①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈; ②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1.只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母; ②去括号; ③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数; 当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为abx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.五. 一元一次不等式与一次函数 定义与定义式自变量x 和因变量y 有如下关系：y=kx+b ； 则此时称y 是x 的一次函数。
2023年自主招生数学专题讲义不等式
第二讲：不等式————————————————————————————————————————————第一部分 概述不等式部分包括：解不等式；不等式旳证明在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数波及到不等式旳证明；交大试题中，不等式部分一般占10%-15%，其中波及到某些考纲之外旳特殊不等式 常用不等式及其推广：需要合适补充一点超纲知识 柯西不等式均值不等式及其推广第二部分 知识补充：1、 2121212,,2((112111n n n n na b R a b a bn a a a a na a a n n a a a +∀∈+≥≥≥++++++≥≥≥++有平方平均）算术平均）调和平均）推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====柯西不等式设是实数则当且仅当或存在一个数使得时等号成立222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥柯西不等式旳证明分析：，a a a A n 22221+++= 设证明：柯西不等式旳推论一柯西不等式旳推论二nn b a b a b a B ++=2211，b b b C n 22221+++= 222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++≥②2AC B 不等式就是②≥()2222121122222121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x b b b ==+++++++++若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f 又∴二次函数()f x 的判别式0△≤, 即2222222112212124()4()()0n n nn a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++≤ 证明： 22222212212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯≥ 例1已知12,,,n a a a 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++≤22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++≥222212121()n n a a a a a a n ∴++++++≤2111,nn i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则柯西不等式旳应用柯西不等式练习1、2.已知21x y +=,求22x y +旳最小值. 3.设,x y R +∈,且x+2y =36,求12x y+旳最小值．第三部分 真题精析：例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 222222222()()()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a∴===不成立.∴222222()()a b c d ab bc cd da +++>+++ 2222 a b c d ab bc cd da +++>+++即2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴=++≥++++4111,b a ,, 2≥+=+∈+ba Rb a 求证设例22sin cos ,sin cos 2sin cos 1sin cos ,sin cos ,22x x y y x x x xt x x t x x t ==++-⎡+==∈⎣令令则且（，复旦）（，同济）关键环节提醒：2(1)2(1)121k k k k k k k k k k +=<=<=-+++-。
中考数学复习讲义课件 重点中学自主招生试题分类专题 题型二 方程与不等式
18．已知关于x的方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0. (1)若这个方程有实数根，求k的取值范围； (2)若以方程x2－2(k－3)x＋k2－4k－1＝0的两个根 为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y＝m/x的图 象上，求满足条件的m的最小值．
用水加满，这时容器内纯酒精与水之比为13，则容
器的容积为()
9．满足等式 x y＋y x－ 2021x－ 2021y＋ 2021xy＝2021 的
正整数对的个数是( B)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 由 x y＋y x－ 2021x－ 2021y＋ 2021xy＝2021，得 ( xy－ 2021)( x＋ y＋ 2021)＝0. ∵ x＋ y＋ 2021＞0，∴ xy－ 2021＝0， ∴ xy＝ 2021，故 xy＝2021. 又 2021 是质数，且 x，y 都为正整数，
题型精讲
C
[归纳总结] 求代数式的值是经典题目，方法很多 很灵活，但基本思路要么变换已知，要么变换未知， 要么已知未知一起变，直到能代入求值．其中整体 思想的运用不容忽视，因为很多方程不需解，只需 变换成可以整体代入的形式即可求值． [易错分析] 解答本题时容易忽略题目中的隐含条 件，即二次根式有意义的条件，误将x＝4和x＝5代 入式子错选D答案．
m＋1＝1，2，3，6， m＝0，1，2，5，
即
m－1＝1，3，
m＝2，4，
S△ABC＝12×2 3× （2＋ 2）2－（ 3）2＝ 9＋12 2. 综上，△ABC 的面积为 1 或 9＋12 2.
单招数学不等式知识点汇总
单招数学不等式知识点汇总1. 引言不等式是数学中常见的一类关系式，它描述了数值之间的大小关系。
对于单招数学考试来说，掌握不等式的基本性质和解题方法非常重要。
本文将逐步介绍单招数学不等式的知识点和解题思路，帮助读者提高解题能力。
2. 基本概念2.1 不等式符号不等式中常见的符号包括“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等。
了解这些符号的含义是理解不等式的基础。
2.2 不等式性质不等式有一些基本的性质，如传递性、对称性和加法性等。
掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和运用不等式。
2.3 不等式的解集表示不等式的解集可以用数轴、区间和集合等形式表示。
熟悉这些表示方法有助于我们清晰地描述不等式的解集。
3. 常见类型的不等式3.1 一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0的不等式，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的关键是确定不等式的正负性，然后确定解集。
3.2 二次不等式二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解二次不等式的常用方法是求解二次方程，找出方程的根，并根据根的位置确定不等式的正负性。
3.3 绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax + b| > c的不等式，其中a、b和c为已知数，x为未知数。
解绝对值不等式的关键是分情况讨论，根据绝对值的定义确定不等式的正负性。
3.4 分式不等式分式不等式是形如f(x) > g(x)的不等式，其中f(x)和g(x)为分式函数。
解分式不等式的方法是找出不等式的公共分母，然后根据分子的正负性确定不等式的解集。
4. 解题技巧与策略4.1 利用性质化简不等式有时候，不等式的形式较复杂，难以直接求解。
这时，我们可以利用不等式的性质进行化简，使其更容易求解。
4.2 利用图像法解不等式对于一些几何问题，可以通过绘制函数图像的方式解决不等式。
上海市六年级数学自招班 第02讲 不等式 学生版
如果 a b ，且 m 0 ，那么 am bm （或 a b ）； mm
如果 a b ，且 m 0 ，那么 am bm （或 a b ）。 mm
7． 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，可概括为：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）化成 ax b （或 ax b ）的形式（其中 a 0 ）；
2
3
（4） 0.20.3 0.4x 1 0.50.1 0.2x 1 1
0.03
0.06
6
4
举一反三： 解下列不等式并把解集在数轴上表示出来
（1） 5x 4 7 x 1
（2） 4( x 1) 3(2 x 5) 24
（3） 2x 1 1 2x 1
3
2
（4） 2 x 1 2 x 5 6 x 7 1
2x
2、求使代数式
3
x
3
的值不大于 1 的最大整数
x
7
5
3、 m 为何正整数时，关于 x 的方程 5 x 3m m 15 的解是非正数？
4
24
6
1、三个连续的正偶数的和不超过 30 ，求这三个数.
2、当 x 2 时， x2 3mx 2 的值是负数，求 m 的取值范围。
3、已知 2a
2
33a
（5） 3(3x 8) 2(4x 3) 8x 4( x 6)
8
cb。
6、当 a
0 时， 5a 2a ；当 a
时， 5a 2a 。
7、解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来。
（1） x x 1 1 x x 8
3
26
（2） x x 2 2x 1 x 1
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第二讲：不等式
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第一部分 概述
不等式部分包括：解不等式；不等式的证明
在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；
交大试题中，不等式部分通常占10%-15%，其中涉及到一些考纲之外的特殊不等式 常用不等式及其推广：
需要适当补充一点超纲知识
柯西不等式
均值不等式及其推广
第二部分 知识补充：
1、
柯西不等式的证明
1212,,2
((112111n n
a b R a b a b
n a a a n
n a a a +∀∈+≥≥≥++++≥≥≥
++L L 有平方平均）算术平均）调和平均）
推广到个正实数，有123123,,,,,,,,,,0(1,2,,),(1,2,,),n n i i i a a a a b b b b b i n k a kb i n ====L L L L n
柯西不等式设是实数则
当且仅当或存在一个数
使得时等号成立222222
212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥n n b a b a b a B Λ++=2211，
b b b C n 2
2221+++=Λ222222212121122()()()n n n b a a a b b b a b a b a b +++++++L L L ≥②
证明：
柯西不等式的推论一
柯西不等式的推论二
柯西不等式的应用
2AC B 不等式就是②≥()222
2121122222
121,2,()()2() ()i i n n n n a i n a f x a a a x a b a b a b x
b b b ==+++++++++L L L L 若全部为零，则原不等式显然成立。
若不全部为零，构造二次函数0)()()()(2222211≥++++++=n n b x a b x a b x a x f Λ又∴二次函数()f x 的判别式0△≤,
即2222222112212124()4()()0n n n
n a b a b a b a a a b b b ++-++⋅+++L L L ≤ 证明： 22
2222
12212(111)() (111)n n a a a a a a ++++++⨯+⨯++⨯L L L ≥ 例1已知12,,,n a a a L 都是实数，求证： 222212121()n n a a a a a a n ++++++L L ≤
22221212() ()n n n a a a a a a ∴++++++L L ≥222212121()n n
a a a a a a n ∴++++++L L ≤2
111,n
n i i i i i a R a n a +==⎛⎫⎛⎫∈≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑设则例2 已知,,,a b c d 是不全相等的正数，证明： 2222a b c d ab bc cd da +++>+++ 证明： 2
22222222
()()
()≥a b c d b c d a ab bc cd da +++++++++ ∵,,,a b c d 是不全相等的正数，a b c d b c d a
∴
===不
柯西不等式练习
1、 2.已知21x y +=,求2
2
x y +的最小值. 3.设,x y R +
∈,且x+2y =36,求
1
2
x y
+的最小值．
第三部分 真题精析：
（2004，复旦）
2223 231,x y z x y z ++=++例已知求的最小值.14
1143,71,14132114
11)32()321)((:2
222222222222取最小值
时
即当且仅当证明z y x z y x z y x z y x z y x z y x ++=====≥++∴
=++≥++++41
11,b a ,, 2≥+=+∈+b
a R
b a 求证设
例222
2
sin cos ,sin cos 2sin cos 1
sin cos ,sin cos ,2212,2
x x y y x x x x
t x x t x x t t y t y t +==++-⎡+==∈⎣-=+令令则且显然，关于是单调递增的
（2004，同济）
关键步骤提示：
2(1)2(1)
121
k k k k k k k k k k +=
<=<=-+++-。