2018年秋高中数学课时分层作业19空间向量与垂直关系新人教A版选修21

课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系

(建议用时：40分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b ＝(－2，－4，k )，若α⊥β，则k ＝( )

A ．4

B ．－4

C ．5

D ．－5 D [∵α⊥β，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－2－8－2k ＝0. ∴k ＝－5.]

2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →

＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )

A ．337，－15

7，4

B ．407，－15

7，4

C ．40

7

，－2,4

D ．4，40

7

，－15

B [∵AB →⊥B

C →，∴AB →·BC →

＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4， 又BP ⊥平面ABC ，∴BP →⊥AB →，BP →⊥BC →

，

则⎩

⎪⎨

⎪⎧

(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝40

7，y ＝－15

7

.]

3．在菱形ABCD 中，若PA →

是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )

【导学号：46342170】

A ．PA →⊥A

B → B ．PA →⊥CD →

C ．PC →⊥B

D →

D ．PC →⊥AB →

D [由题意知PA ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面上的线AB ，CD 都垂直，A ，B 正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD ⊥平面PAC ，故PC ⊥BD ，C 选项正确．]

4．已知点A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，点D 满足条件：DB ⊥AC ，DC ⊥AB ，AD ＝BC ，则点D 的坐标为( )

A ．(1,1,1)

B ．(－1，－1，－1)或⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，13，13

C ．⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，13，13 D ．(1,1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

3

，－13，－13

D [设D (x ，y ，z )，则BD →＝(x ，y －1，z )，CD →＝(x ，y ，z －1)，AD →＝(x －1，y ，z )，AC →

＝(－1,0,1)，

AB →＝(－1，1,0)， BC →

＝(0，－1,1)．

又DB ⊥AC ⇔－x ＋z ＝0 ①，

DC ⊥AB ⇔－x ＋y ＝0 ②， AD ＝BC ⇔(x －1)2＋y 2＋z 2＝2 ③，

联立①②③得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1

3

，所以点D 的坐标为(1,1,1)或

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－13，－13，－13.故选D ．] 5.如图3­2­14所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2

3

A 1D ，

AF ＝13

AC ，则( )

图3­2­14

A ．EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直

B ．EF ⊥A 1D ，EF ⊥A

C C ．EF 与B

D 1相交 D ．EF 与BD 1异面

B [建立分别以DA ，D

C ，D

D 1所在直线为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则DA 1→

＝(1,0,1)，

AC →

＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，

E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1

3

，0，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，0，

EF →

＝⎝

⎛⎭

⎪⎫13，13，－13

，∴EF →·DA 1→＝0，EF →·AC →

＝0， ∴EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC ．] 二、填空题

6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，

AP →

＝(－1,2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →

是平面ABCD 的一个法向量．其

中正确的是________(填序号)．

①②③ [AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →

，则AP ⊥AD ．又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，故AP →

是平面ABCD 的一个法向量．]

7．已知a ＝(0,1,1)，b ＝(1,1,0)，c ＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则

α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对.

【导学号：46342171】

0 [∵a ·b ＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a ·c ＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b ·c ＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a ，b ，c 中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]

8．已知空间三点A (－1,1,1)，B (0,0,1)，C (1,2，－3)，若直线AB 上存在一点M ，满足CM ⊥AB ，则点M 的坐标为________．

⎝ ⎛⎭

⎪

⎫－12，12，1 [设M (x ，y ，z )，∵AB

→＝(1，－1,0)，BM →＝(x ，y ，z －1)，CM →＝(x －1，y －2，z ＋3)，由题意，得⎩⎪⎨⎪

⎧

x －1－(y －2)＝0x ＝－y

z －1＝0

，∴x ＝－12，y ＝1

2

，z ＝1，∴点M 的坐标

为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，12，1.]

三、解答题

9.如图3­2­15，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，

M 是线段EF 的中点．求证：AM ⊥平面BDF .