函数的图像与零点精彩试题
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
专题14 运用函数的图像研零点问题一、题型选讲题型一： 运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为 【答案】 5【解析】因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．【答案】 4【解析】设g (x )＝ln xx 2，则由g ′(x )＝x －ln x ·2x x 4＝1－2ln x x 3＝0，可得x ＝e ，所以g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，当x →＋∞时，g (x )→0，故g (x )在(1，＋∞)上的最大值为g (e)＝12e ＞18.在同一平面直角坐标系中画出y ＝|f (x )|与y ＝18的图像可得，交点有4个，即原函数零点有4个．易错警示 答案中出现了3和5这两种错误结果，3的主要原因是弄错了(1，＋∞)上的单调性或者忘了处理绝对值，5的主要原因是没有发现图像趋近于x 轴．题型二 运用函数图像研究复合函数零点个数复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =⎡⎤⎣⎦的根的个数例3、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎨⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．【答案】11 【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ， 32<x <2. 设x ∈[2n －1,2n)(n ∈N *)，则x2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ，①当x 2n －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ＝12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x 2n －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n)，所以f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ＝12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n)，所以无解．综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x ∈[2n －1,2n)时，因为f (x )＝12n －1·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·2n －1＝12n －1.令g (x )＝32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32·2n －1＝12n －1，所以当x ∈[2n －1,2n)时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点．下面证明：当x ∈[2n －1,2n)时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．当x ∈[2n －1,3·2n －2]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以x ∈[2n －1,3·2n －2]时，有一零点x ＝3·2n －2；当x ∈(3·2n －2,2n)时，y ＝f (x )＝12n －1－12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3，g (x )＝32x ，k 2＝g ′(x )＝－32x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13·22n －3，－322n ＋1，所以k 1<k 2.又因为f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以当x ∈[2n －1,2n)时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法3 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝32x 的图像，如图，交点在x 1＝32，x 2＝3，x 3＝6，…，x n ＝3·2n －2处取得．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题三类问题之间的联系：即函数的零点⇔方程的根⇔函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。
函数的图像与零点试题
点为 x= ，
∴| | ，即 A 中的函数符合题意
故选 A．
9．若 a 2 ，则方程 x3 3ax2 3 0 在(0,2)上恰好有（B ）个
根
A．0
B． 1
C．2
D． 3
10.已知函数 f（x）=
，若方程 f（x
）+2a﹣1=0 恰有 4 个实数根，则实数 a 的取值 范围是（ A ）
A （﹣ ，0] B [﹣ ，0] C [1， ）
∴f（x0）=0 ∵f（x）=2x+ 是单调递增函数，且 x1∈（1，
x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）
故选 B． 7.如图是函数 f（x）=x2+ax+b 的部分图象，函数 g（x）=ex﹣f'（x）的零点所在的区间是（k，k+1 ）（k∈z），则 k 的值为（ C ）
． =8x﹣2 ． x+1）2
．
． x﹣ ）
解答： 解：∵g（x）=4x+2x﹣2 在 R 上连续，且 g（ ）
= = ＜0，g（ ）=2+1﹣2=1＞0．
设 g（x）=4x+2x﹣2 的零点为 x0，则
又 f（x）=8x﹣2 零点为 x= ；f（x）=（x+1）2 的零点为 x=﹣1 f（x）=ex﹣1 零点为 x=0；f（x）=ln（x﹣ ）零
（ A ） A、在区间（0，1），（1，2）内均有零点 B、
在区间（0，1）内有零点，在区间（1，2）内无 零点
C、在区间（0，1），（1，2）内均无零点 D、 在区间（0，1）内无零点，在区间（1，2）内有 零点
5.已知 x1 是方程 x 2x 3的根, x2 是方程 x log2 x 3的根，
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练专题04 函数的图象、零点及应用考点1 作函数的图象 1.作出下列函数的图象． (1)y ＝⎩⎨⎧－2x ＋3，x ≤1，－x 2＋4x －2，x >1；(2)y ＝2x ＋2；【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．(2)y ＝2x ＋2的图象是由y ＝2x 的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．考点2 识图与辨图2.已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )【答案】D【解析】法一：先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象； 然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 法二：先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数()21xy x e =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为()21xy x e =-，则()21xy x e '=+，1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+<，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()210x y x e '=+>，所以函数()21x y x e =-在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，且12x <时，()210xy x e =-<，所以BCD 均错误，故选：A.4．（2021·吉林高三模拟）函数()6cos 2sin xf x x x=-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数()6cos 2sin xf x x x=-为奇函数，所以排除选项BC ，又当0x >时，()f x 第一个零点为2x π=，所以令4x π=，则有222sin 0,cos0242x x ππ--=>=>，所以排除D.故选：C 考点3 函数图象的应用 考向1 研究函数的性质5.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．6．（2021·山东烟台高三模拟）设函数()2,01,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．()0,∞+ C ．()1,0- D ．(),0-∞【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示：所以，函数()f x 在(),0-∞上为减函数，且当0x ≥时，()1f x =， 因为()()12f x f x +<，观察图象可得2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是(),0-∞.故选：D. 考向2 求不等式解集7.若不等式(x －1)2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2] B.)1,22(C ．(1，2) D ．(2，2) 【答案】A【解析】要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．8.（2021·甘肃省会宁县第一中学高三模拟）已知)(f x 在R 上是可导函数，)(f x 的图象如图所示，则不等式)()(2230x x f x '-->解集为（ ）A ．)()(,21,-∞-⋃+∞B ．)()(,21,2-∞-⋃C ．)()()(,11,02,-∞-⋃-⋃+∞D ．)()()(,11,13,-∞-⋃-⋃+∞ 【答案】D【解析】原不等式等价于()22300x x f x '⎧-->⎪⎨>⎪⎩或()22300x x f x '⎧--<⎪⎨<⎪⎩，结合)(f x 的图象可得，3111x x x x ><-⎧⎪⎨-⎪⎩或或或1311x x -<<⎧⎨-<<⎩，解得1x <-或3x >或11x -<<．故选：D ． 考点4 函数图象对称性的应用9.已知lga ＋lgb ＝0，函数f(x)＝a x 与函数g(x)＝－log b x 的图像可能是( )【答案】B【解析】∵lga ＋lgb ＝0，∴lgab ＝0，ab ＝1，∴b ＝1a .∴g(x)＝－log b x ＝log a x ，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图像关于直线y ＝x 对称，故选B.10．（2021·云南高三模拟）已知函数()f x 是R 上的奇函数，且满足()()11f x f x =+-，当(]0,1x ∈，()ln f x x =，则下列关于函数()f x 叙述正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为1B ．函数()f x 在()0,2021内单调递增C ．函数()f x 相邻两个对称中心的距离为2D ．函数()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点 【答案】D【解析】由()()11f x f x =+-得：()()2f x f x +=，()f x ∴最小正周期为2，A 错误； 当(]0,1x ∈时，()ln f x x =，又()f x 为R 上的奇函数，则()00f =， 可得()f x 大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 在()0,2021上没有单调性，B 错误；()f x 的对称中心为()()0,k k Z ∈，则相邻的对称中心之间距离为1，C 错误；()ln y f x x =+在区间()0,2021内的零点个数等价于()f x 与ln y x =-在()0,2021内的交点个数，在平面直角坐标系中画出()f x 与ln y x =-大致图象如下图所示：由图象可知：()f x 与ln y x =-在每个()()2,22k k k Z +∈内都有1个交点，且在区间内的交点横坐标等于或小于21k +，∴两个函数在()0,2021内有1010个交点，即()ln y f x x =+在区间()0,2021内有1010个零点，D正确.故选：D.11．（2021·山东淄博高三模拟）已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x x ∈≠R ，，且满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()()0f x f x --=得函数()f x 为偶函数，排除A 、B 项， 又当0x >时，()ln 1f x x x =-+，∴(1)0f =，()20f e e =-<.故选:D 考点5 判断函数零点所在的区间12.设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间)1,1(e，(1，e)内均有零点B ．在区间)1,1(e，(1，e)内均无零点C ．在区间)1,1(e 内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间)1,1(e内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】D【解析】法一：图象法 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图， 显然y ＝f (x )在)1,1(e内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈),1(e e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在),1(e e 上单调递减．又f )1(e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．13．（2021·黑龙江高三模拟）函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2B ．()1,0-C ．()0,1D ．()2,1--【答案】D【解析】如图，绘出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数29y x =+的图像，结合图像易知，函数()1293xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点所在的一个区间是()2,1--，故选：D.考点6 判断函数零点(或方程根)的个数14.(2021·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解方程法，令f (x )＋3x ＝0， 则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.15．（2021·山东潍坊高三模拟）已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（ ） A ．()1,0- B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C【解析】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．故选：C ．16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）函数4()log (||1)cos f x x x π=+-的零点个数为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】令()4log (||1)x g x =+ ，因为10x +>恒成立，则()g x 的定义域为R ， 由()()44log (||1)log (||1)x g x x g x --+=+==，所以()g x 为偶函数， 当0x >时，()4log (1)g x x +=，在()0,∞+上单调递增，令()cos h x x π=， 分别画出()g x 与()h x 的函数图象，由图可知，()g x 与()h x 有六个交点， 即函数4()log (||1)cos f x x x π=+-有六个零点.故选: D.考点7 函数零点的应用 考向1 根据零点的范围求参数17.若函数f(x)＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，2) C ．(0，3) D ．(0，2) 【答案】C【解析】由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a －3)<0，解之得0<a<3.18．（2021·浙江高一期末）已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞【答案】A【解析】函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，即函数()y f x =与()h x k =的图象有三个交点，分别画出()y f x =与()h x k =的图象，如图所示，5(1)2f -=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点.故选：A.19．（2021·江西高三模拟）设函数,10()11,01(1)x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，若函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1,{0}4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】因为()(),1011,011x x f x x f x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩所以(),1011,011x x f x x x -<≤⎧⎪=⎨+<<⎪-⎩，其图象如下：函数()4y f x t =-在区间()1,1-内有且仅有一个零点，等价于()40f x t -=在区间()1,1-内有且仅有一个实数根，又等价于函数()y f x =的图象与直线4y t =在区间()1,1-内有且仅有一个公共点. 于是41t ≤-或40t =，解得14t ≤-或0t =.故选：D 考向2 已知函数零点或方程根的个数求参数20．（2020·湖南高三模拟）已知函数2141,0()1,02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()g x f x a =-恰好有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[0,1) B ．(0,1)C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由条件可知()0f x a -=()a f x ⇒=()()g x f x a =-恰好有3个零点，等价于y a =与()y f x =有3个交点，如图画出函数的图象，由图象可知112a <≤.故选：D21.(2021·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】]2,41[-【解析】∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝2)412(-x －14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈]2,21[，∴2)412(-x －14∈]2,41[-∴实数a 的取值范围是]2,41[-考点8 用函数图象刻画变化过程22.甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是( )A ．甲是图①，乙是图②B ．甲是图①，乙是图④C ．甲是图③，乙是图②D ．甲是图③，乙是图④ 【答案】B【解析】由题知速度v ＝st 反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．23．（2021·重庆高三模拟）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，xhr H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅，令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =，于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒=⋅，而,,r H v 都是常数，即2323H v r π是常数，所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h tr π=⋅，203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=⋅>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A 24．（2021·浙江高三模拟）如图，设有圆O 和定点C ，当l 从0l 开始在平面上绕O 匀速旋转（旋转角度不超过90︒）时，它扫过圆内阴影部分面积S 是时间t 的函数，它的图像大致是如下哪一种（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】当直线l 从初始位置0l 转到经过点C 的过程中阴影部分面积增加的越来越快，图像越来越“陡峭”；l 从过点C 的位置转至结束时阴影部分面积增加的越来越慢，图像越来越“平缓”，故选：C.考点9 应用所给函数模型解决实际问题25.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表： 月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3 4元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元 D ．10元 【答案】A【解析】根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0<x ≤5，4＋12x －5，x >5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.26．（2021·湖南高三期末）某工厂8年来某种产品年产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示.以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速度越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年到第八年每年的年产量保持不变. 其中说法正确的序号是________. 【答案】②④【解析】由图可知，前3年的产量增长的速度越来越慢，故①错误，②正确； 第三年后这种产品的产量保持不变，故③错误，④正确； 综合所述，正确的为：②④. 故答案为：②④.27．（【百强校】福建师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题）如图所示，边长为 1的正方形PABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减； ④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1，2] 其中判断正确的序号是_______．(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②④【解析】当2x 1-≤<-时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆当1x 1-≤<时，P 的轨迹是以B 为圆心，半径为2的14圆 当1x 2≤<时，P 的轨迹是以C 为圆心，半径为1的14圆当2x 3≤≤时，P 的轨迹是以A 为圆心，半径为1的14圆 故函数的周期为4因此最终构成图象如下所示：①根据图象的对称性可知函数()y f x =是偶函数；故正确②由图可得()f x 的周期为4，故正确③函数()y f x =在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故错误 ④在区间[1，1]上的值域是[1，2]，故正确 综上，正确的序号是①②④考点10 构建函数模型解决实际问题 考向1 构建二次函数模型28.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计) 【答案】2 500【解析】设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x4 m ，则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2＋200x )． 当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2)．29．（2021·四川高三模拟）某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为6元，即最初3km （不含3km ）计费6元.若某人乘坐该市的出租车去往13km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么他需要支付的车费为_____. 【答案】19.2【解析】乘车距离为x km ，车费为y 元，由题意得：6,036 1.2,346 1.22,456 1.23,56x x y x x <<⎧⎪+≤<⎪⎪=+⨯≤<⎨⎪+⨯≤<⎪⎪⎩， 所以当13x =时，()6132 1.219.2y =+-⨯=元，所以他需要支付的车费为19.2元，故答案为：19.230（2021·河南郑州一中高三模拟）在“绿水青山就是金山银山”的环保理念指引下，结合最新环保法规和排放标准，各企业单位勇于担起环保的社会责任，采取有针对性的管理技术措施，开展一系列卓有成效的改造．已知某化工厂每月收入为100万元，若不改善生产环节将受到环保部门的处罚，每月处罚20万元．该化工厂一次性投资500万元建造垃圾回收设备，一方面可以减少污染避免处罚，另一方面还能增加废品回收收入．据测算，投产后的累计收入是关于月份x 的二次函数，前1月、前2月、前3月的累计收入分别为100.5万元、202万元和304.5万元．当改造后累计纯收入首次多于不改造的累计纯收入时，x =（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】A【解析】不妨设投产后的累计收入2y ax bx c =++，则100.520242304.593a b c a b c a b c =++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得1,100,02a b c ===， 211002y x x ∴=+， ∴改造后累计纯收入为215001005002y x x -=+-， 不改造的累计纯收入为()10020x -，令()21100500100202x x x +->-， 即212050002x x +->， 解得201014x >-+201014x <--，20101417.4x ∴>-+，x N *∈，x 的最小值为18.故选：A 考向2 构建指数函数、对数函数模型31.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况【答案】B【解析】设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n 元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．32.声强级1L （单位：dB ）与声强I 的函数关系式为：11210lg 10I L -⎛⎫= ⎪⎝⎭.若普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ） A ．610倍B ．510倍C ．410倍D ．310倍【答案】B【解析】设普通列车的声强为1I ，高速列车的声强为2I ，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以1129510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2124510lg 10I -⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()11129510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得12.5lg I -=，所以 2.5110I -=， ()22124510lg 10lg 1210I I -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，解得27.5lg I -=，所以7.5210I -=， 两式相除得 2.5517.52101010I I --==， 则普通列车的声强是高速列车声强的510倍.故选：B.33．（2020·重庆市酉阳第一中学校高三月考）为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（Hipparchus ，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：22112.51g E m m E -=-，联系两个天体的星等1m ､2m 和它们对应的亮度1E ､2E .这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是1.26，猎户星座的“参宿一”星等是1.76，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.567B ．1.568C ．1.569D ．1.570 【答案】B【解析】设“十字架三”的星等是1m ，“参宿一”的星等是2m ，“十字架三”的亮度是1E ，“参宿一”的亮度是2E ，则1 1.26m =，2 1.76m =，设12E rE =， 两颗星的星等与亮度满足22112.51gE m m E -=-， 211.76 1.26 2.51g E E ∴-=-，0.21210E E =0.22101 2.30.2 2.7(0.2) 1.568r ∴=≈+⨯+⨯=，∴与r 最接近的是1.568，故选B ． 考向3 构建分段函数模型34（2021·广东江门市·高三模拟）某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．【答案】7916【解析】当01t ≤≤时，函数图象是一个线段，由于过原点与点()1,4，故其解析式为4,01y t t =≤≤，当 1t ≥时，函数的解析式为12t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()1,4M 在曲线上，所以1142a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得 3a =， 所以函数的解析式为31,12t y t -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭， 综上，34(01)()1(1)2t t t y f t t -≤<⎧⎪==⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意有340.2510.252t t -≥⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤， 所以服药一次治疗疾病有效的时间为17951616-=个小时，故答案为：7916． 35．（2020·福建三明市·三明一中高三期中）某在校大学生提前创业，想开一家服装专卖店，经过预算，店面装修费为10000元，每天需要房租水电等费用100元，受营销方法、经营信誉度等因素的影响，专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是21300,0300()245000,300x x x P x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≥⎩，则总利润最大时店面经营天数是__________，最大总利润是__________．【答案】200 10000元【解析】由题意，0300x ≤<时，221130010010000(200)1000022y x x x x =---=--+，200x ∴=时，10000max y =；300x ≥时，4500010010000350001005000y x x =--=-≤，200x ∴=天时，总利润最大为10000元 故答案为：200, 10000元。
高中函数零点问题精选题型
零点问题与数形结合题型一、直接做图1 函数 ()1|1|f x x =--‖ 的图像与直线 y k = 有且仅有四个不同的交点, 则实数 k 的取值范围是_________2 已知函数 ()22x f x =- 与 y b = 有两个交点, 则实数 b 的取值范围是_________3 已知函数 ||()2||,x f x x =+ 若关于 x 的方程 ()f x k = 有两个不同的实根, 则实数k 的取值范围是_________.已知函数 ()|lg |,f x x = 若 0a b << 且 ()(),f a f b = 则 2a b + 的范围是_________4 设函 21,0(),1,0x x f x x x ⎧-=⎨+<⎩ 若函数 ()a f x = 有两个实根 ()1212,,x x x x < 则 12x x + 的取值范围是_________5 若关于 x 的不等式 23344a x xb -+ 的解集恰好是 [a, b],则 a b +=_________6 关于 x 的不等式 201x px q ++ 的解集为 [3,4], 则 p q +=_________7 已知函数 22,||3(),6,||3x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩ 若 0,m n << 且 ()(),f m f n = 则 2n m +的取值范围是_________题型二、变形后做图1 直线 1y = 与曲线 2||y x x a =-+ 有 4 个交点, 则 a 的取值范围 是_________2 若关于 x 的方程 2||2x kx x =+ 有 4 个不同的实数解, 则实数 k 的范围为_________3 已知函数 21(),()32f x x h x =+= 解关于 x 的方程 433log (1)24f x ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦22log ()log (4)h a x h x ---。
利用函数的图像探究函数的性质经典习题附答案
利用函数的图像探究函数的性质经典习题附答案题型一、运用图像研究函数零点的个数知识点拨：运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像，观察图像交点的个数。
由于答案依赖于图像因此，要正确规范的做出图像，该标的关键的点、线要标出，另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整，变成常见的函数。
例题1、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上【解析】因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分别画出y＝f(x)和y ＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．题型二、根据函数的零点确定参数的范围知识点拨：求解函数的零点问题的填空题，其基本策略是应用数形结合的方法来加以解决，在应用数形结合思想时，一般地会将函数的零点问题转化为两个函数的图像的交点问题来加以解决，此时，为了方便起见，转化后的两个函数，其中一个是不含参数的函数，另一个是含有参数的函数，即转化为“一静一动”两个函数，这样，通过研究“动”函数的图像与“静”函数的图像的相对位置关系就可以得到问题的解。
例题2、【解析】注意到x<－1时，f(x)＝x2－2ax的零点是可求的，即x＝0(舍去)或x＝2a，为此，就需要对2a是否小于－1来进行讨论，若2a大于或等于－1，则需要x≥－1时，f(x)有三个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究；若2a小于－1，则需要x≥－1时，f(x)有两个零点，从而通过数形结合的方式来加以研究，进而得到问题的答案．由x2－2ax＝0得x＝0或x＝2a，因为x<－1，所以x＝0不合题意．题型三、运用函数图像解决多元问题知识点拨：解决多元问题的最值问题主要思想就是把多元问题转化为单元问题，要通过函数的图像找到各个参数的关系，但要注意参数的范围。
高考数学重难点分析：函数的零点与函数的图像(题型战法)(原卷版)
第二章 函数2.7.1函数的零点与函数的图像（题型战法）知识梳理一 函数的零点1.函数的零点一般地，如果函数y ＝f (x )在实数α处的函数值等于零，即f (α)＝0，则称α为函数y ＝f (x )的零点．函数的零点方程的根函数图象与轴交点的横坐标两函数交点的横坐标 2.零点存在性定理（判定函数零点的） 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。
注意：①不满足的函数也可能有零点.②若函数在区间上的图象是一条连续曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件. 一 函数的图像变换1.平移变换图象左、右平移 图象上、下平移2.对称变换,图象关于轴对称 ,图象关于轴对称3.翻折变换：,把轴右边的图象保留，然后将轴左边部分关于轴对称把轴上方的图象保留，轴下方的图象关于轴对称题型战法⇔⇔x ⇔()y f x =[],a b ()()0f a f b ⋅<()y f x =(,)a b (,)c a b ∈()0f c =c ()()0f a f b ⋅<()f x [],a b()()0f a f b ⋅<()f x [],a b ()()a x f y x f y +=→=()0>a ()0<a ()()b x f y x f y +=→=()0>b ()0<b ()()x f y x f y -=→=y ()→=x f y ()x f y -=x ()→=x f y ()x f y =y y y ()→=x f y ()x f y =x x x题型战法一 求函数的零点典例1．函数()2f x x =+的零点为（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．2-变式1-1．二次函数221y x x =+-的零点是（ ）A ．12，1- B ．12-，1 C ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,0 D ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0-变式1-2．函数11y x=+的零点是（ ） A ．(1,0)- B ．1x =- C ．(0,1) D ．0x =变式1-3．函数()422x xf x =--的零点是（ ）A ．()1,0B ．1C ．12D ．1-变式1-4．函数()8f x ax =+的零点为4，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-题型战法二 求函数的零点的个数典例2．函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式2-1．函数()3ln xf x x =+的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3变式2-2．已知函数2,1,()2, 1.x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数()||y f x x =-零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3变式2-3．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，满足f （x ＋2）＝f （﹣x ），当x ∈[0，1]时()2sin f x x π=，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8变式2-4．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(4)()(2)f x f x f +-=，当(0,2)x ∈时，2()231=-+f x x x ，则函数()y f x =在[4,4]-上零点的个数为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13题型战法三 比较零点的大小与求零点的和典例3．已知函数()24x f x x =+-，()e 4x g x x =+-，()ln 4h x x x =+-的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<变式3-1．若31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ． c a b <<B ． c b a <<C ． a c b <<D ．b c a <<变式3-2．已知函数22()2,()log ,()log 2xf x xg x x xh x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<变式3-3．函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的所有零点之和为（ ） A ．0 B ．2π C ．4π D ．6π变式3-4．已知函数()f x 是定义域在R 上的偶函数，且()()11f x f x =+-，当[]0,1x ∈时，()3f x x =，则关于x 的方程()cos f x x π=在15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有实数解之和为（ ）A ．1B ．3C ．6D ．7题型战法四 零点所在区间典例4．已知函数333y x x =+-的零点所在区间（ ） A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,3变式4-1．函数()e 26xf x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()3,4B ．()2,3C ．()1,2D ．()0,1变式4-2．函数2()log 4f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5变式4-3．若()2xf x x a =++的零点所在的区间为()2,1-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．32,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．73,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．50,4⎛⎫⎪⎝⎭变式4-4．设0x 是函数()23xf x x =+的零点，且()0,1x k k ∈+，k Z ∈，则k =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2题型战法五 根据函数的零点求参数典例5．已知函数()()221,11,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．(]0,1C ．(]1,0-D ．[)0,1变式5-1．函数2()2f x x x a =-+在区间(2,0)-和(2,3)内各有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(3,0)- B ．(3,)-+∞ C ．(,0)-∞ D ．(0,3)变式5-2．若直线y =2a 与函数21xy =-的图象有且只有一个公共点，则a 的取值范围（ ） A ．1(0,)2B ．1[,)2+∞C ．1{0}(,)2⋃+∞D ．1{0}[,)2⋃+∞变式5-3．设函数()2,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则使方程()f x k =的实数解个数为1时，k 的取值范围为（ ） A ．(−∞,0)B ．0,1C ．0,1D ．()1,+∞变式5-4．已知函数()2log ,1,2,1x x f x x a x ⎧=⎨-<⎩恰有2个零点，则a 的取值范围是 A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞ C ．() ,2-∞ D ．(],2-∞题型战法六 图像的变换问题典例6．函数2x y -=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．变式6-1．函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2()log g x x =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．变式6-2．函数()ln(1)f x x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位的大致图像为( )A ．B ．C ．D ．变式6-3．函数3x y -=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．变式6-4．函数2log ||y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．题型战法七 利用函数解析式选择图像典例7．函数()ln xf xx=的图像大致为（）A．B．C．D．变式7-1．已知函数()() e e1x x xf xx--=-，则()f x的图象大致是（）A．B．C．D．变式7-2．函数sin xyx=的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．变式7-3．函数sin exx xy =的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．变式7-4．函数()e e 2||x x f x x -=+-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．题型战法八 利用动点研究函数图像典例8．如图所示，已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设P 点运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图像是( )A ．B ．C ．D ．变式8-1．如图，OAB 是边长为2的正三角形，记OAB 位于直线(0x t t =<≤2）左侧的图形的面积为()f t ，则()y f t =的大致图像为（ ）A ．B ．C．D．变式8-2．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是A．B．C．D．变式8-3．某科技公司为测试新型无人机的操控能力，设计了如图所示的平面路线图A→B→C→D.无人机从A处出发匀速飞行到B处，沿圆弧BC飞行到C处后提速，沿CD飞行到D处停止.记无人机飞行的时间为t，与D处的距离为h，则下列四个图象中与该事件吻合最好的是（）A ．B ．C ．D ．变式8-4．直角梯形OABC 中，//AB OC ，1AB =，2OC BC ==，直线l ：x t =截该梯形所得位于l 左边图形面积为S ，则函数()S f t =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．。
函数的零点专题含答案
函数的零点专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f (x )=x 3−2x +2，在下列区间中，一定包含f (x )零点的区间是（ ）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(0,1)D.(1,2)2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y =ln xB.y =x 2+1C.y =cos xD.y =sin x3. 函数f (x )={x +1,x ≤0，lg x,x >0的零点是（ ） A.(−1,0),(1,0)B.−1，1C.(−1,0)D.−14. 函数f (x )=√x −x 的零点的个数是( )A.3个B.2个C.1个D.0个5. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日—尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”( )A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天6. 函数y =x 2−1的零点是( )A.1B.±1C.(1,0)D.(±1,0)7. 函数f(x)=2x −2x −a 的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1, 3)B.(1, 2)C.(0, 3)D.(0, 2)8. 已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则f(x)=a x +x −b 的零点所在的区间是( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)9. 函数y =(2x −2−x )sin x 在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知三次函数f (x )=13x 3−(4m −1)x 2+(15m 2−2m −7)x +2在定义域R 上无极值点，则m 的取值范围是( )A.m <2或m >4B.m ≥2或m ≤4C.2≤m ≤4D.2<m <411. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)12. 已知函数f (x )=2x +ln x ，下列判断正确的是（ ） A.函数f (x )的单调递减区间为(−∞,2]B.x =2是函数f (x )的极大值点C.函数g (x )=f (x )−x 有且只有一个零点D.函数g (x )=f (x )−x 在其定义域内单调递增13. 已知函数f (x )={x +1x ,x >2,ln (x +a ),x ≤2的图象上存在关于直线x =2对称的不同两点，则实数a 的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(e 52−2,+∞)C.(−∞,2e −1)D.(−∞,e 52)14. 函数f (x )=|x −2|−2−x 的零点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.315. 已知函数f (x )=xe x ，要使函数g (x )=m [f (x )]2−2f (x )+1恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A.[−e 2−2e,0]B.[−e 2+2e,0]C.(−e 2−2e,0]∪{1}D.(−e 2+2e,0]∪{1}16. 已知定义在R 上的函数y =f (x )，对任意x 都满足f (x +2)=f (x )，且当−1≤x ≤1时f (x )=2x 2，则函数g (x )=f (x )−ln |x|的零点个数为( )A.12B.14C.15D.1617. 函数f (x )=(3x −1)ln x 的零点个数是________.18. 若函数f(x)=log 2(x +a)的零点为2，则a =________．19. 函数f(x)=(x+1)ln x x−3的零点是________．20. 已知函数f(x)={2x +3,x ≤−32,x 2,−32<x <1,4x,x ≥1.若f(x)＝2，则x ＝________．21. 设函数y ＝a x −4，(a >0, a ≠1)，若其零点为2，则a ＝________．22. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4,x ≥λ,x 2−4x +3,x <λ．当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．23. 已知函数y =f (x )在R 上连续且可导， y =f (x +1)为偶函数且f (2)=0，其导函数满足(x −1)f ′(x )>0，则函数g (x )=(x −1)f (x )的零点个数为________.24. 给出一个满足以下条件的函数f (x )=________.①f (x )的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②f (x )是偶函数；③f (x )在(0,+∞)不是单调函数；④f (x )有无数个零点．25. 已知函数f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，则y =f [f (x )]−5的所有零点之和为________.26. 已知函数g(x)，ℎ(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足g(x)+ℎ(x)=e x +sin x −x ，则函数g(x)的解析式为________；若函数f(x)=3|x−2020|−λg(x −2020)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为________．27. 已知函数f (x )={e ln x x (x >1),x 2−1(x ≤1),若函数g (x )=f(f (x ))−af (x )+a +1恰有5个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．28. 已知函数 f (x )={1−12|1−x|,x ≤2，12f (x −2),2<x ≤6， 则函数g (x )=xf (x )−1的零点个数为________.29. 定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=−f (x )，f (x +4)=f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )={x 2，0≤x <1，2−x ，1≤x <2，则函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数为________.30. （10分） 已知函数f(x)＝log a (5−2x)，其中a >0，且a ≠1．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅲ)比较f(−1)与f(1)的大小．参考答案与试题解析函数的零点专题含答案一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 3 分 ，共计48分 ）1.【答案】A【考点】函数的零点【解析】无【解答】解：f (−2)=−2，f (−1)=3，根据零点存在性定理可知答案．故选A ．2.【答案】C【考点】函数的零点函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A ，y =ln x 的定义域为(0, +∞)，则函数不是偶函数；对于B ，由y =x 2+1≥1，得函数y =x 2+1没有零点，不满足条件；对于C ，cos (−x)=cos x ，即函数y =cos x 是偶函数且函数存在零点，满足条件. 对于D ，sin (−x)=−sin x ，即函数y =sin x 为奇函数.故选C .3.【答案】B【考点】函数的零点【解析】根据函数解析式，对x 的取值范围所对应的直线进行求解即可，属于基础题.【解答】解：已知函数f(x)={x +1,x ≤0,lg x,x >0,当x ≤0时，设函数g(x)=x +1，令g(x)=0，解得x =−1，则函数g(x)=x +1的零点为−1，当x >0时，设函数ℎ(x)=lg x ，令ℎ(x)=0，解得x =1，综上可得,函数f(x)={x +1,x ≤0,lg x,x >0的零点是−1，1. 故选B .4.【答案】B【考点】函数的零点【解析】根据方程√x −x =0根的个数判断，利用函数零点和方程根之间的关系，求解即可.【解答】解：由题意知函数f(x)=√x −x 的定义域为[0,+∞)，令f(x)=0，则√x −x =0，即√x =x ，解得x 1=0，x 2=1，故函数f(x)=√x −x 的零点的个数是2个.故选B .5.【答案】B【考点】数列的求和函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：设需要n 天时间才能打穿，则2n −12−1+1−(12)n 1−12≥5，化为：2n −22n −4≥0，令f(n)=2n −22n −4， 则f(3)=8−14−4>0，f(2)=4−12−4<0，∴ f(x)在(2, 3)内存在一个零点．又函数f(x)在x ≥1时单调递增，因此f(x)在(2, 3)内存在唯一一个零点，∴ 需要3天时间才能打穿．故选B ．6.【答案】B函数的零点与方程根的关系【解析】首先使得函数等于0，解出关于x的一元二次方程的解，即可得到函数的零点. 【解答】解：令y=x2−1=0，解得x=1或−1，∴函数y=x2−1的零点为±1.故选B.7.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由题意可得f(1)f(2)＝(0−a)(3−a)<0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得f(1)f(2)=(0−a)(3−a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0, 3).故选C．8.【答案】B【考点】函数的零点指数式与对数式的互化【解析】根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0,f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出:函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是(−1, 0). 故选B．9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查了函数的奇偶性和零点以及函数的图象，属于基础题，根据奇偶性的定义可得f(x)为偶函数，排队B；再令f(x)=0可得函数的零点为−π，0，π，排队CD，从而得到结论．【解答】解：函数定义域[−π,π]关于原点对称，且f(−x)=(2−x−2x)sin(−x)=−(2x−2−x)(−sin x)=(2x−2−x)sin x=f(x)，∴ f(x)是偶函数，故排除A；令f(x)=0，即(2x−2−x)sin x=0，∴2x−2−x=0或sin x=0，又x∈[−π,π]，∴解得x=−π，0，π，排除C，D.故选B.10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】由题意，对函数进行求导，由其导函数无变号零点，根据根的判别式可求得m的取值范围．【解答】x3−(4m−1)x2+(15m2−2m−7)x+2，定义域为R，解：已知函数f(x)=13则f′(x)=x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7，因为函数f(x)在定义域上无极值点，则f′(x)=x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7无变号零点，所以x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7≥0恒成立，而Δ=4(4m−1)2−4(15m2−2m−7)=64m2−32m+4−60m2+8m+28=4(m2−6m+8)≤0，解得2≤m≤4.故选C．11.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由g(x)=0得f(x)=−x−a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，f(x)和y=−x−a的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞).故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】利用导数判断函数的单调性即可逐项判定.【解答】解：由题意得，函数的的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=−2x2+1x=x−2x2，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴x=2时，f(x)取得极小值，故A错误，B错误.∵g(x)=f(x)−x=2x+ln x−x，x>0，则g′(x)=−x2+x−2x2<0，∴函数g(x)=f(x)−x=2x+ln x−x在(0,+∞)上单调递减，∵f(1)−1=2+ln1−1=1>0，f(2)−2=1+ln2−2=ln2−1<0，∴函数g(x)=f(x)−x有且只有1个零点，故C正确，D错误. 故选C.13.B【考点】函数的零点分段函数的应用利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，函数f(x)的图象上存在关于x=2对称的不同两点，则存在x1>2，x2≤2，且x1+x2=4，使得x1+1x1=ln(x2+a)，则e x1+1x1=x2+a，因此a=e x1+1x1−x2=e x1+1x1+x1−4，设g(x)=e x+1x+x−4，x>2．故问题转化为存在x∈(2,+∞)，使得函数g(x)=e x+1x+x−4与y=a有交点，又g′(x)=e x+1x⋅(1−1x2)+1>0在x∈(2,+∞)上恒成立，所以函数g(x)在x∈(2,+∞)上单调递增，故g(x)>g(2)=e 52−2，因此，为使函数g(x)=e x+1x+x−4与y=a有交点，只需a>e 52−2．故选B．14.【答案】D【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x−2|，y=2−x的图象．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为3．故选D．15.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点函数的零点与方程根的关系根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查了根据函数零点个数求解参数范围．由导数求f(x)的最值．可得草图．借助图象将问题转化为二次函数的根的分布问题．分情况求解．【解答】解：∵ f(x)=xe x．∴f′(x)=(x+1)e x，易知f(x)在(−∞,−1)单调递减，(−1,+∞)单调递增，∴ f(x)min=f(−1)=−1e，且当x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0，故f(x)大致图象如下：令f(x)=t，若g(x)有且只有一个零点，则方程mt2−2t+1=0只有一个实根t满足t≥−1e，当m=0时，显然t=12满足，当m≠0时，Δ=4−4m≥0，∴ m≤1，当m=1时，方程只有一个根t=1满足，当m<1且m≠0时，若m>0，则方程两根t1+t2=2m >0，t1t2=1m>0，∴t1>0，t2>0，不满足题意，∴ m<0，则t1=2+√4−4m2m ，t2=2−√4−4m2m，∵t1t2=1m<0，∴t1，t2异号，只需2+√4−4m2m =1+√1−mm<−1e，解得m>−e2−2e，∴−e2−2e<m<0，综上所述．m的范围为(−e2−2e,0]∪{1}．故选C．16.【答案】B【考点】函数的零点函数的图象【解析】本题考查函数图象交点问题．【解答】解：∵ f(x+2)=f(x)，∴ T=2，∵当−1≤x≤1时，f(x)=2x2，即可平移获得f(x)图象，函数g(x)=f(x)−ln(x)零点个数即f(x)与ln|x|交点个数，可知f(x)与ln|x|均为偶函数，故只零考虑x>0部分，当x>0时，f(x)与ln|x|的图象如图所示，当x>0，ln|x|=2时，x=e2，∵7<e2<9，∴当x>0，共7个交点，故x<0部分也有7个交点，∴7+7=14（个）.故选B．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】1【考点】函数的零点【解析】先得出方程，求出方程的根，再判断零点的个数.【解答】解：函数f(x)=(3x −1)ln x 定义域为(0,+∞)，令f (x )=(3x −1)ln x =0，解得x =1，则零点个数为1个.故答案为：1.18.【答案】−1【考点】函数的零点【解析】函数f(x)=log 3(ax 2−x +a)有零点可化为方程ax 2−x +a =1有解，从而解得．【解答】解：根据题意，若函数 f(x)=log 2(x +a) 的零点为2，则f(2)=log 2(a +2)=0 ,即 a +2=1，解得 a =−1.故答案为：−1.19.【答案】1【考点】函数的零点【解析】令f(x)＝0，求出方程的根即函数的零点即可．【解答】函数f(x)的定义域是(0, 3)∪(3, +∞)，显然x +1>0，x −3≠0，令f(x)＝0，即(x+1)ln x x−3=0，即ln x ＝0，解得：x ＝1，20.【答案】 −√2【考点】函数的零点【解析】根据题意，在每个段上求值，检验，求出x 即可．【解答】当x ≤−32时，f(x)＝2x +3＝2，得x =−12，不成立；当−32<x <1时，x 2＝2，x =±√2，所以x =−√2；当x ≥1时，4x ＝2，x =12，不合题意；综上x =−√2，21.【答案】2【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】(1,4),(1,3]∪(4,+∞)【考点】函数零点的判定定理函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】当λ=2时，由f (x )<0得{x −4<0x ≥2’或{x 2−4x +3<0x <2,’解得2≤x <4或1<x <2，所以f (x )<0的解集为(1,4)．由x −4=0得x =4，由x 2−4x +3=0得x =1或x =3，因为函数f(x )恰有2个零点，所以{4>λ1<λ3≥λ，或{4<λ1<λ3<λ，解得1<λ≤3或λ>4．本题考查分段函数的性质．求解分段函数问题，要根据自变量的值分别讨论函数在每一段上的性质．23.【答案】3【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点函数奇偶性的性质【解析】由题意得到函数关于x =1对称，且当x >1时，函数单调递增，x <1时函数单调递减，进而得到函数的零点个数.【解答】解：∵ y =f(x +1)为偶函数，∴ y =f(x)关于x =1对称，∵ f(2)=0，∴ f(0)=0.又(x −1)f′(x)＞0，∴ 当x >1时，函数单调递增，x <1时函数单调递减，∴ f(x)有两个零点，分别为0和2，又当x =1时，g(x)=(x −1)f(x)=0，∴ 函数g(x)=(x −1)f(x)的零点有0，1，2，共有三个零点.故答案为：3.24.【答案】x sin x (答案不唯一)【考点】函数的零点奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，分析可得则f (x )可以由三角函数变换得到，由此可得答案．【解答】解：根据题意，要求函数f (x )满足4个条件，则f (x )可以由三角函数函数变换得到，比如f (x )=x sin x ．故答案为：x sin x (答案不唯一)．25.【答案】4−√212【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，令t =f (x )，则易得f (t )=5的解为： t 1=4， t 2=−2， 当f (x )=4时，结合f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，得： x 1=72，x 2=1−√212， 当f (x )=−2时，结合f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，可知方程f (x )=−2无解． 故y =f [f (x )]−5的所有零点之和为： x 1+x 2=72+1−√212=8−√212=4−√214. 故答案为：4−√212. 26.【答案】g (x )=e x +e −x 2,−1或12 【考点】函数的零点函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数g (x )，ℎ(x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以g (−x )=g (x )，ℎ(−x )=−ℎ(x ).因为g (x )+ℎ(x )=e x +sin x −x ①，所以g(−x)+ℎ(−x)=e−x−sin x+x，即g(x)−ℎ(x)=e−x−sin x+x②，①②联立，可解得g(x)=e x+e−x2.令F(x)=3|x|−λg(x)−2λ2，则F(−x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，所以f(x)=F(x−2020)=3|x−2020|−λg(x−2020)−2λ2关于x=2020对称，因为f(x)有唯一的零点，所以f(x)的零点只能为x=2020.即f(2020)=1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或λ=12.故答案为：g(x)=e x+e−x2；−1或12.27.【答案】−12<a<0【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题分段函数的应用由函数零点求参数取值范围问题函数的零点【解析】无【解答】解：分析f(x)的图像以便于作图，当x>1时，f′(x)=e(1−ln x)x2，f′(x)>0⇒1<x<e，f′(x)<0⇒x>e，所以f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，f(e)=e ln ee=1，且当x→+∞时f(x)>0且f(x)→0，所以x轴为曲线f(x)的水平渐近线；当x≤1时，f(x)=x2−1，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且f(0)=−1．由此作图，图像如图，设f(x)=t，则由g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1=0得f(t)−at+a+1=0⇒f(t)=at−a−1=a(t−1)−1，若函数g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1恰有5个不同的零点，则关于x的方程g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1=0恰有5个不同的实根，则结合函数y=f(x)的图像及直线y=a(x−1)−1得f(t)=a(t−1)−1恰有2个不等的实根，得t=t1=f(x)∈(−1,0)，t=t2=f(x)∈(0,1)，t1=t=f(x)∈(−1,0)有2个不等的实根，t=t2=f(x)∈(0,1)有3个不等的实根，∴−12<a<0．故答案为：−12<a<0．28.【答案】7【考点】函数的零点与方程根的关系函数的零点分段函数的应用【解析】无【解答】解：令g(x)=0可得：f(x)=1x ，画出y=f(x)和y=1x的图象可以，共有7个交点．故答案为：7.29.【答案】5【考点】函数的周期性函数的零点函数奇偶性的判断函数的图象【解析】由题可知f (x )为奇函数，且周期为4，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与y =log 5|x|在R 上的图象，根据函数图形的交点个数即可得到函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数.【解答】解：∵ f (−x )=−f (x )，∴ f (x )为奇函数.又∵ f (x +4)=f (x )，∴ f (x )的周期为4.根据x ∈[0,2)时，f (x )={x 2，0≤x <1，2−x ，1≤x <2，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与y =log 5|x|在R 上的图象，如图所示，由图可知，共有5个交点，故函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数为5个.故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计10分 ）30.【答案】（1）因为函数f(x)＝log a (5−2x)，所以令7−2x >0，所以函数f(x)的定义域为；（2）令f(x)＝0，即log a (5−4x)＝0，即5−4x ＝1，所以f(x)的零点为2； (Ⅲ)f(−6)＝log a 7，f(1)＝log a 3，当a >8时，函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 7>log a 3，即f(−7)>f(1)； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 为减函数，所以log a 6<log a 3，即f(−1)<f(1)．【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
函数零点练习题
函数零点练习题函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标之值，也就是函数f(x)= 0的解。
在数学中，寻找函数的零点是一个常见的问题，因为理解和求解函数的零点有助于我们对函数的性质和行为有更深入的了解。
本文将介绍一些函数零点练习题，帮助读者提高对函数零点的求解能力。
练习一：线性函数的零点首先我们来看一个简单的例子，求解线性函数的零点。
线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。
要求解线性函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。
由于线性函数的图像是一条直线，所以零点即为直线与x轴的交点。
例如，考虑函数f(x) = 2x - 3，我们将f(x)置为零得到方程2x - 3 = 0。
解这个方程我们得到x = 3/2，即函数f(x) = 2x - 3与x轴交于点(3/2, 0)。
因此，线性函数f(x) = 2x - 3的零点为x = 3/2。
练习二：二次函数的零点接下来我们来看一个二次函数的例子，求解二次函数的零点。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
同样地，要求解二次函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。
而求解二次函数的零点，可以通过配方法、因式分解或者求根公式等方式进行。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们将f(x)置为零得到方程x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解得到(x - 1)(x - 3) = 0，解这个方程我们得到x = 1和x = 3，即函数f(x) = x^2 - 4x + 3与x轴交于点(1, 0)和(3, 0)。
因此，二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x = 1和x = 3。
练习三：三角函数的零点除了线性函数和二次函数，我们还可以考虑求解三角函数的零点。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的零点是三角函数图像与x轴的交点。
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型(解析版)
热点2-4 函数的图象与函数的零点10大题型函数图象问题依旧以考查图象识别为重点和热点，难度中档，也可能考查利用函数图象解函数不等式等。
函数的零点问题一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大。
一、函数图象辨识的方法步骤图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”1、求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；2、判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；3、找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；4、判断单调性：可取特殊值判断单调性.二、作函数图象的一般方法1、直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．2、转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．3、图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．4、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换；②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换．例如：()=+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤．31y f x()2=-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标y f x的为平移变换．（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求；②横坐标的多次变换中，每次变换只有x发生相应变化．三、零点个数的判断方法1、直接法：直接求零点，令()0=f x，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间[],a b上是连续不断的曲线，且()()0f a f b，⋅<结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.3、图象法：（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数()f x的f x的图象，函数()图象与x轴交点的个数就是函数()f x的零点个数；（2）两个函数图象：将函数()g x的差，根据f x拆成两个函数()h x和()()()()f x的零点个数就是函数()y h x和=f x h xg x，则函数()=⇔=()y g x的图象的交点个数=4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数四、已知零点个数求参数范围的方法1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解；2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．【题型1 函数图象的画法与图象变换】【例1】（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象（1）12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）()2log 1y x =+【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】（1）因为1()2xy f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以11()()22xxf x f x -⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数为偶函数，关于y 轴对称，因此只需要画0x >时的函数图形即可，11()==22xxf x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用对称性即可得解.（2）将函数 2log y x = 的图象向左平移 1个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去, 即可得到函数()2log 1y x =+ 的图象,如图所示.【变式1-1】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）为了得到函数()2ln e y x =的图象，可将函数ln y x =的图象（ ）A ．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2e 倍B ．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e C ．向下平移两个单位长度 D ．向上平移两个单位长度 【答案】BD【解析】()22ln e ln e ln ln 2y x x x ===++,可将函数ln y x =的图象向上平移两个单位长度得到ln 2y x =+， 可将函数ln y x =的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e 得到()2ln e y x =.故选：BD【变式1-2】（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）已知函数()f x 的图象如图1所示，则图2所表示的函数是（ ）A ．()1f x -B ．()2f x --C ．()1f x --D ．()1f x -- 【答案】C【解析】由图知，将()f x 的图象关于y 轴对称后再向下平移1个单位即得图2，又将()f x 的图象关于y 轴对称后可得函数()y f x =-， 再向下平移1个单位，可得()1y f x =--所以解析式为()1y f x =--，故选：C.【变式1-3】（2022秋·北京·高三首都师范大学附属中学校考阶段练习）函数12xy -=的图像可看作是把函数2xy =经过以下哪种变换得到（ ）A ．把函数2x y =向右平移一个单位B ．先把函数2x y =的图像关于x 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位C ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位D ．先把函数2x y =的图像关于y 轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变 【答案】D【解析】选项A ：函数2xy =向右平移一个单位得到12x y -=；选项B ：先把函数2xy =的图像关于x 轴对称得到2x y =-，然后向左平移一个单位得到12x y +=-；选项C ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后向左平移一个单位得到(1)122x x y -+--==；选项D ：先把函数2xy =的图像关于y 轴对称得到2xy -=，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到1222x xy --=⨯=；故选：D【变式1-4】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且在()2,+∞单调递增，()40f =，()4g x x =，则函数()()2y f x g x =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()22f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，则()2f x +的图象关于直线0x =即y 轴对称，()2f x +是偶函数，()4g x x =为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()()2y f x g x =+是偶函数，图象关于y 轴对称，排除AD 选项.()()()()4222200f f f f =+=-==，由于()f x 在()2,+∞上递增，在(),2-∞上递减， 所以()f x 有且仅有2个零点：0和4，另外有()30f <，所以()2f x +有且仅有2个零点：2-和2，()g x 有唯一零点：0， 所以()()2y f x g x =+有且仅有3个零点：2-、0和2. 当1x =时，()110g =>，()()()()121310y f g f g =+⋅=⋅<， 从而排除C 选项，故B 选项正确.故选：B【变式1-5】（2022秋·北京海淀·高三统考期中）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（ ）A ．()12log f x x = B ．()2log f x x = C ．()2x f x =D ．()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】对于A ，()112:1log 1C f x x +=+，()211112222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=-，A 错误；对于B ，()12:1log 1C f x x +=+，()22222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=+，B 正确；对于C ，()1:121x C f x +=+，()22:224x xC f x ==，C 错误；对于D ，()11:112x C f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，()2211:224x xC f x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：B.【题型2 由复杂函数解析式选择图象】【例2】（2022·四川资阳·统考二模）函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵()()()()332cos 2cos e e e ex xx x x x x xf x f x -----==-=-++， ∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误；又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x xx ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.【变式2-1】（2022秋·江西·高三九江一中校联考阶段练习）函数()sin 2xf x =的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】注意到()sin 2xf x =过点()0,1，故可排除C ，D 选项.因2xy =在R 上单调递增，sin x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 则由复合函数单调性相关知识点可知，()sin 2xf x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故排除B 选项.故选：A【变式2-2】（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）函数()3sin 3291x x x f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】易得函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，已知函数()3sin 3cos329133x xx xx x f x π-⎛⎫+ ⎪⎝⎭==--，()()()cos 3cos33333x x x x x xf x f x ----===---，∴函数()f x 为奇函数，排除A 选项；当0x +→时，0cos31x <<，31x >，31x -<，则330x x -->， 所以()0f x >，排除C 选项；当x →+∞时，1cos31x -≤≤，3x →+∞，30x -→，则33x x --→+∞， 所以()0f x →，排除D 选项；故选：B.【变式2-3】（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）函数()2e2xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由()2e 2xf x x=，则其定义域为()()00-∞∞，，+，因为()()()22ee22xxf x f x xx --===-，故函数为偶函数， ()222e ,0e 22e ,02xx x x x f x x x x -⎧>⎪⎪==⎨⎪<⎪⎩，()()()33e 2,02e 2,02x x x x x f x x x x -⎧->⎪⎪=⎨--<'⎪⎪⎩，令()0f x '=，解得2x =±，可得下表：x(),2-∞-2-()2,0-()0,22()2,+∞()f x ' -+-+()f x极小值极小值故选：A.【变式2-4】（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）函数()()ln 0sin ax x f x a x+=在[2π-,2π]上的大致图像可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【解析】①当0a =时，()ln sin x f x x=，()()ln sin x f x f x x-=-=-，函数()f x 为奇函数，由0x →时()f x →∞，1x =±时()0f x =等性质可知A 选项符合题意； ②当a<0时，令()ln ||,()g x x h x ax ==-，作出两函数的大致图象，由图象可知在(1,0)-内必有一交点，记横坐标为0x ，此时0()0f x =，故排除D 选项；当02πx x -<<时，()()0g x h x ->，00x x <<时，()()0g x h x -<， 若在(0,2π)内无交点，则()()0g x h x -<在(0,2π)恒成立， 则()f x 图象如C 选项所示，故C 选项符合题意；若在(0,2π)内有两交点，同理得B 选项符合题意.故选：ABC.【题型3 根据函数图象选择解析式】【例3】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知函数()y f x =的部分图象如图所示，则下列可能是()f x 的解析式的是（ ）A ．()cos f x x x =+B ．()cos f x x x =-C ．()cos xf x x= D ．()cos xf x x=【答案】B【解析】A. ()010f =>，故错误；B.因为()010f =-<，且()1sin 0f x x '=+≥，则()f x 在R 上递增，故正确；C.()f x 的定义域为{}|0x x ≠关于原点对称， 又 ()()()cos cos x xf x f x x x--===---，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；D. ()f x 的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭关于原点对称，又()()()cos cos x xf x f x x x---===--，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故错误；故选：B【变式3-1】（2022秋·湖北宜昌·高三校联考期中）已知函数()f x 的图象如图所示，则该函数的解析式为（ ）A ．2()e e x x xf x -=+ B ．()3e e x x f x x -+= C ．2()e ex x x f x -=-D ．()2e e x xf x x -+=【答案】D【解析】由题图：()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，排除A ；当333e e e e e e (),()()()x x x x x xf x f x f x x x x ---+++=-==-=--，故3e e ()x xf x x -+=是奇函数，排除B.当()()()()222,e e e e e e x x x x x x x x x f x f x f x ----=-==-=----，故2()e ex x x f x -=-是奇函数，排除C.故选：D【变式3-2】（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()()2211x f x x x -=- B ．()2211x f x x x -=- C ．()22211x f x x x -=- D ．()()22211x f x x x -=-【答案】B【解析】根据图像可得：所求函数为奇函数，且当()0,1x ∈时，()0f x <；对CD ：定义域关于原点对称，且都有()()f x f x =-，均为偶函数，故错误；对A ：当()0,1x ∈时，()0f x >，故错误；故选：B.【变式3-3】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知函数()f x 的部分图像如图，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()()e e sin x xf x x -=- B ．()()e e sin x x f x x -=+C ．()()e e cos x x f x x -=-D ．()()e e cos x xf x x -=+【答案】B【解析】由于图像关于原点对称，所以()f x 为奇函数，对于A ：由()()e e sin x xf x x -=-得：()()()()()e e sin e e sin x x x x f x x x f x ---=--=-=，()f x 为偶函数，故可排除A ；对于D ：由()()e e cos x xf x x -=+得：()()()()()e e cos e e cos x x x x f x x x f x ---=+-=+=，()f x 为偶函数，故可排除D ；由图知()f x 图象不经过点π,02⎛⎫⎪⎝⎭，而对于C ：ππ22ππe e cos 022f -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除C ；故选：B【变式3-4】（2022秋·湖北·高三枣阳一中校联考期中）已知函数()sin f x x =，()g cos x x =，()p x x =，则图像为下图的函数可能是（ ）A ．()()2p x y f x =+B ．()()2y g f x x =+C ．()()2p x y f x =+D ．()()2p x y f x =+【答案】D【解析】对于A ，2sin xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故A 不符合； 对于B ，sin 2cos xy x =+该函数为奇函数，由已知图象可得函数y 的图象不关于原点对称，故B 不符合； 对于C ，2sin x y x=+由于[]sin 1,1x ∈-，所以02sin x y x=≥+，由于已知图象y 的值域中存在负值，故C 不符合； 对于D ，2sin xy x=+不是奇函数，[]sin 1,1x ∈-，所以R y ∈，故D 图象符合.故选：D.【题型4 根据实际问题作函数图象】【例4】（2022·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =； 当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =； 当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =， 结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.【变式4-1】（2022·四川泸州·统考模拟预测）如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【变式4-2】（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）（多选）水滴进玻璃容器，如图所示（单位时间内进水量相同），则下列选项匹配正确的是（ ）A ．()2a -B ．()3b -C ．()4c -D ．()1d - 【答案】AB【解析】在a 中，容器是圆柱形的，水高度的变化速度应是直线型，与（2）对应，故A 正确；在b 中，容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，与（3）对应，故B正确；在c 中，容器为球型，水高度的变化为快—慢—快，与（1）对应，故C 错误；在d 中，容器上粗下细，水高度的变化为先快后慢，与（4）对应，故D 错误.故选：AB.【变式4-3】（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ；在区间ππ⎛⎫⎪⎝⎭，2上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ，又由当12x x π+=时，有()12()f x f x =-，()f x 的图象关于点(,0)π2对称，排除D ，故选：A【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,且BD CD ⊥,AB BD CD ==,点P 在棱AC 上运动,设CP 的长度为x ,若PBD △的面积为()f x ,则()f x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】作PQ BC ⊥于点Q ,作QR BD ⊥于点R ,连接到PR ,由已知可得,PQ AB QR CD ∥∥,且AB ⊥平面BCD , 所以PQ ⊥平面BCD ,又BD ⊂平面BCD ,所以PQ BD ⊥,,,,QR BD PQ QR Q PQ QR ⊥=⊂平面PQR ，BD ∴⊥平面PQR ,PR ⊂平面PQR ，BD PR ∴⊥,设1,AB BD CD ===3AC ∴=,133PQ PQ =∴, 33133QR BQ x x QR BC --==∴222332233333x x PR x x ⎛⎫-⎛⎫∴=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故23()22336f x x x =-+其函数图像是关于直线3x 对称的图像且开口上,故选项B,C,D 错误．故选:A ．【题型5 函数零点所在区间问题】【例5】（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4 【答案】C【解析】因为函数()()52lg 21f x x x =--+在1(,)2-+∞上单调递减，所以函数()f x 最多只有一个零点， 因为(0)(1)5(52lg3)5(3lg3)0f f ⋅=--=->，(1)(2)(52lg3)(54lg5)(3lg3)(1lg5)0f f ⋅=----=-->， (2)(3)(52lg3)(56lg7)(3lg3)(1lg7)0f f ⋅=----=---<， (3)(4)(56lg7)(58lg9)(1lg7)(3lg9)0f f ⋅=----=---->，所以函数()()52lg 21f x x x =--+零点所在的区间是()2,3.故选：C【变式5-1】（2022秋·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）函数81()log 3f x x x=-的一个零点所在的区间是（ ）A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，3.5)D ．(3.5，4) 【答案】A【解析】因为函数81log ,3y x y x==-在()0,∞+上单调递增， 所以，81()log 3f x x x =-在()0,∞+上单调递增， 因为()()8811111log 1,2log 23366f f =-=-=-=，()()120f f ⋅<， 所以，函数只有一个零点，且位于()1,2区间内.故选：A ．【变式5-2】（2022秋·辽宁辽阳·高三统考阶段练习）若函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()10,1--B ．()1,10C ．()1,11D ．()11,1-- 【答案】D【解析】因为函数y x a =+与lg y x =均在()1,10上单调递增，所以()lg f x a x x =++在()1,10上单调递增.要使函数()lg f x a x x =++()110x <<有零点，则只需要()()10100f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩即可， 即10110a a +<⎧⎨+>⎩，解得111a -<<-.故选：D.【变式5-3】（2022秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知()23e x f x x =-，函数()f x 的零点从小到大依次为,12i x i =､､，若[),1(i x m m m ∈+∈Z ），请写出所有的m 所组成的集合___________.【答案】{}1,0,3-【解析】()f x 的零点可以转化为函数e x y =和23y x =图象交点的横坐标，图象如右所示，由图可知共三个零点，()1130f --=->e ，()010f =-<，所以在[)1,0-上存在一个零点； ()130f =->e ，则在[)0,1上存在一个零点；()33270f =->e ，()44480f =-<e ，则在[)3,4上存在一个零点；所以{}1,0,3m ∈-.【变式5-4】（2022秋·安徽·高三合肥一六八中学校联考阶段练习）（多选）已知函数()e 1x f x a x b =-+，若()f x 在区间[]1,222a b +（ ）A ．1eB eC ．2eD ．1 【答案】BCD【解析】设()f x 在区间[]1,2上零点为m ，则e 10m a m b -+=，所以点(),P a b 在直线e 10m x y m --=上，()()222200a b a b OP +-+-，其中О为坐标原点．又()2220e 10ee 11m m mmm OP ⋅-+-≥=-+，记函数()2e m m g m =，[]1,2m ∈，()2222211122e e e e m m m mg m m m'==⎛⎫ -⎪⎝⎭- 因为[]1,2m ∈，所以()g m 在[]1,2m ∈上单调递增 所以()g m 最小值为()11g e=，所以221e a b +≥，故选：BCD.【题型6 函数的零点与零点个数问题】【例6】（2022秋·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考阶段练习）若函数(),R y f x x =∈，满足()()2f x f x +=，且(]1,1x ∈-时，()f x x =，则函数()f x 的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】C【解析】由题意得()f x 的周期为2，作出()y f x =与4log y x =的函数图象，数形结合得共有6个交点，故选：C【变式6-1】（2022·天津河西·统考二模）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()2()0f x f x -+=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的解析式为()[](]πcos ,1,021,0,1x x f x x x ⎧∈-⎪=⎨⎪-∈⎩，则函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由(2)()0f x f x -+=知()f x 的图象关于(1,0)对称，由(2)()0f x f x ---=知()f x 的图象关于=1x -对称，作出()f x 与||1()()2x g x =在[3-,3]上的图象：由图可知函数()f x 与函数1()2xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象在区间[]3,3-上的交点个数为4．故选：B ．【变式6-2】（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=-，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为（ ）A ．2024B ．2025C ．2026D ．2027 【答案】D【解析】由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0x ∈，1]时，()f x x =,对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-，得()()()(4)(2)=f x f x f x f x +=-+--=， 所以函数()f x 在[0，)∞+上以4为周期，()()2f x f x +=-, 做出函数()f x 一个周期[0，4]的图象：当0x >时，0x -< ，由()()g x g x =-得：()2025=log f x x - 令2025log 1x -=-，则2025x =，因为202545061=⨯+，而在第一个周期有3个交点，后面每个周期有2个交点，所以共有505231013⨯+=个交点，当0x <时，0x -> ，由()()g x g x =-得：()()2025=log f x x ---,令x t -=，得()2025=log f t t -，由上述可知，()2025=log f t t -有505231013⨯+=个交点，故()()2025=log f x x ---有505231013⨯+=个交点，又0x =时，(0)(0)g g =，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为210131=2027⨯+．故选：D ．【变式6-3】（2022秋·河北·高三期中）函数21()cos sin 14f x x x x x =+--零点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D 【解析】()()()()()2211()cos sin 1cos sin 144f x x x x x x x x x f x -=-+-----=+--=, ()f x ∴是R 上的偶函数，1()cos 2f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭,①当[]0,2πx ∈时,令()0f x '>,得π03x <<或5π2π3x <≤， 令()0f x '<,得π5π33x <<.()f x ∴在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭和5π,2π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,在π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.()()22π5π5π315π100,0,2ππ0333432f f f f ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==⨯-⨯-<=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0π5π,33x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭,使得()00,()f x f x =∴在[]0,2π上有两个零点.②当(2,)x π∈+∞时,2211()cos sin 1044f x x x x x x x =+--<-<，()f x ∴在()2π,+∞上没有零点，由①②及()f x 是偶函数可得()f x 在R 上有三个零点.故选：D.【变式6-4】（2022秋·江苏南京·高三期末）若函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+- ，(1)0(0)(2)1f f f -===， ，则曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】由题意函数()f x 的定义域为Z ，且()()()[()()]f x y f x y f x f y f y ++-=+-，(1)0(0)(2)1f f f -===，，令1y =，则[]()(1)(1)()(1)1(1())f x f x f x f f x f f ++-==+-，令1x =，则2(2)(0)(1)f f f +=，即2(1)2f =，令2x =，则(3)(1)(2)(1)f f f f +=，即(3)0f =， 令3x =，则(4)(2)(3)(1)f f f f +=，即(4)1f =-， 令4x =，则(5)(3)(4)(1)f f f f +=，即(5)(1)f f =-，令5x =，则(6)(4)(5)(1)f f f f +=，即2(6)1(1),(6)1f f f -=-∴=-，令6x =，则(7)(5)(6)(1)f f f f +=，即(7)(1)(1),(7)0f f f f -=-∴=， 令7x =，则(8)(6)(7)(1)f f f f +=，即(8)10,(8)1f f -=∴=， 依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取0,1,2,3，时，函数|()|y f x =的值依次为， ，即每四个值为一循环， 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(2,1)； 令=1x -，则(0)(2)(1)(1)0,(2)1f f f f f +-=-=∴-=-， 令2x =-，则(1)(3)(2)(1)(1),(3)(1)f f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令3x =-，则2(2)(4)(3)(1)(1),(4)1f f f f f f -+-=-=-∴-=-，令4x =-，则(3)(5)(4)(1)(1),(5)0f f f f f f -+-=-=-∴-=， 令5x =-，则(4)(6)(5)(1)0,(6)1f f f f f -+-=-=∴-=， 令6x =-，则(5)(7)(6)(1)(1),(7)(1)f f f f f f f -+-=-=∴-=，令7x =-，则2(6)(8)(7)(1)(1),(8)1f f f f f f -+-=-=∴-=，依次类推，可发现此时当Z x ∈，且x 依次取1,2,3---，时，函数|()|y f x =的值依次为0,121,0121,0，，，，，， ，即每四个值为一循环， 此时曲线|()|y f x =与2log y x =的交点为(1,0),(2,1)--；故综合上述,曲线|()|y f x =与2log y x =的交点个数为3，故选：B【题型7 根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2022秋·广东中山·高三小榄中学校考阶段练习）已知函数()2ln ,045,0x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若方程()0f x a -=有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围为_________． 【答案】(1,5]【解析】由题知：方程()0f x a -=有4个不同的实数解，即()f x a =有4个不同的实数解．作出()f x 图像（如图所示），即直线y a =与曲线()y f x =有4个公共点． 易知：15a <≤．【变式7-1】（2022秋·新疆喀什·高三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考阶段练习）已知函数()34,0,0x x x f x lnx x ⎧-≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x x a =+-有3个零点，则实数a的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,2C ．(],1-∞D ．(],2-∞ 【答案】B【解析】令()()0g x f x x a =+-=，即()f x x a +=，令()()x f x x ϕ=+，当0x ≤时，()33x x x ϕ=-，()233x x ϕ'=-，令()0x ϕ'>得：1x >或1x <-，结合0x ≤，所以1x <-，令()0x ϕ'<得：11x -<<，结合0x ≤得：10-<≤x ，所以()x ϕ在=1x -处取得极大值，也是最大值，()()max 12x ϕϕ=-=，当x →-∞时，()x ϕ→-∞，且()00ϕ=，当0x >时，()ln x x x ϕ=+，则()110x xϕ'=+>恒成立，()ln x x x ϕ=+单调递增，且当0x →时，()x ϕ→-∞，当x →+∞时，()x ϕ→+∞，画出()x ϕ的图象，如下图：要想()()g x f x x a =+-有3个零点，则[)0,2a ∈故选：B【变式7-2】（2022·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()e 1x f x =-，若关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解，则m 的取值范围为（ ）A ．e 1e 1,65--⎛⎫⎪⎝⎭ B ．e 1e 1,64--⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．e 1e 1,86--⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,e 1- 【答案】B【解析】∵()()2f x f x =-，∴函数()f x 关于直线1x =对称，又()f x 为定义在R 上的偶函数，故函数()f x 关于直线0x =对称，作出函数()y f x =与直线()1y m x =+的图象，要使关于x 的方程()()()10f x m x m =+>恰有5个解， 则函数()y f x =与直线()1y m x =+有5个交点，∴6e 14e 1m m >-⎧⎨<-⎩，即e 1e 164m --<<.故选：B.【变式7-3】（2022秋·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）若函数()2,,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩满足存在t R ∈使()f x t =有两个不同的零点，则a 的取值范围是______． 【答案】()(),00,1-∞⋃【解析】如图所示，画出函数()2,,x x af x x x a ≤⎧=⎨>⎩的图象.结合图象可知，()(),00,1a ∈-∞⋃【变式7-4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3112,21ln ,2x m x f x x x m x ⎧--<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是________．【答案】1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】设函数()3112,21ln ,2x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，根据题意函数()f x 恰有3个零点， 即为函数()g x 的图象与直线y m =有3个公共点，当12x ≥时，可得2()(3ln 1)g x x x '=+，令()0g x '=，得131e 2x -=>，当131[,e )2x -∈时，函数()g x 单调递减；当13(e ,)x -∈+∞时，函数()g x 单调递增，所以当13e x -=时，函数()g x 取得极小值，极小值为131e 3e g -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又由11()ln 2028g =-<，作出()g x 的图象，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是1ln 2,(0,1)3e8⎛⎤-- ⎥⎝⎦．【题型8 复合函数的零点问题】【例8】（2022秋·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知函数()()1ln 1,121,1x x x f x x -⎧->⎪=⎨+≤⎪⎩，则函数()()1y f f x =+的零点个数为______. 【答案】2【解析】先由函数画出草图如图，∴函数()f x 的零点为=2x ，令()1=2f x +，得()=1f x ，∴函数()()1y f f x =+的零点个数就是方程()=1f x 解的个数，也就是函数()f x 的图像与直线=1y 交点的个数，由图可知函数()f x 的图像与直线=1y 有两个不同的交点A ，B ，∴()()1y f f x =+的零点个数为2，【变式8-1】（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数()||1f x x =-，关于x 的方程2()|()|0f x f x k -+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根． 其中真命题的序号为（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④ 【答案】C【解析】设||1t x =-，则1t-，当1t =-时，0x =,当1t >-时，x 有两解．则原方程等价为2||0t t k -+=，即2211||(||)24k t t t =-+=--+．画出||1t x =-以及211(||)24k t =--+的图象， 由图象可知，（1）当0k <时，1t >，此时方程恰有2个不同的实根； （2）当0k =时，1t =或0=t 或1t =-， 当1t =时，x 有两个不同的解， 当0=t 时，x 有两个不同的解，当1t =-时，x 只有一个解，所以此时共有5个不同的解．（3）当104k <<时，112t -<<-或102t -<<或102t <<或112t <<，此时对应着8个解．（4）当14k =时，12t =-或12t =．此时每个t 对应着两个x ，所以此时共有4个解．综上正确的是①③④．故选：C【变式8-2】（2022秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数()π4sin sin 3f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，讨论函数()()()()21g x f x m f x m =-++⎡⎤⎣⎦的零点个数． 【答案】（1）πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）答案详见解析 【解析】（1）()134sin sin cos 22x f x x x ⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭1cos 23sin 2x x =-+π2sin 216x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 由πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈， 解得ππππ63k x k -+≤≤+，Z k ∈，故()f x 递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈. （2）π2,π63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ72,π666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()π2sin 21[0,3]6f x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，画出()f x 在区间π2,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，令()f x t =，则()()()()211g x t m t m t t m =-++=--，[]0,3t ∈，由()()10t t m --=，结合()f x 图象得：①当1m =时，()0g t ≥，1t =，即()1f x =，此时零点唯一； ②当23m ≤<时，1t =或()1t m f x =⇔=或()f x m =，此时三个零点； ③当3m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()3f x =，此时两个零点； ④当3m >时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时只有一个零点；⑤当0m =时，1t =或t m =⇔()1f x =或()0f x =，此时两个零点； ⑥当01m <<，12m <<时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =，此时有两个零点；⑦当0m <时，1t =或t m =⇔()1f x =或()f x m =（无解），此时有一个零点；综上所述：当()(){},03,1m ∈-∞⋃+∞⋃时，只有一个零点；[)(){}0,11,23m ∈⋃⋃时，只有两个零点；[]2,3m ∈，有三个零点.【变式8-3】（2022秋·河南焦作·高三统考期中）已知函数()()12,024,24x x f x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-<<⎩，方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=（其中0θπ<<）有6个不同的实根，则θ的取值范围是（ ）A ．π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π2π0,,π33⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．50ππ,,66π⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．π0,3⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】因为当24x <<时，有()()4f x f x =-，故()f x 在()0,2上图象与在()2,4上的图象关于2x =对称，故()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 下面仅在()0,2上讨论()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=的解.因为()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=，故()1f x =或()sin f x θ=， 当()1f x =时，则有：12102x x x ⎧+-=⎪⎨⎪<<⎩，解得x . 因为方程()2(1sin )()sin 0f x f x θθ⎡⎤+⎦⋅⎣-+=在()0,2上有3个不同的实数根. 故()sin f x θ=在()0,2上有2个不同的实数根且与x 相异，故12sin 02π2x x x θθ⎧+-=⎪⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解，整理得到()22sin 1002π2x x x θθ⎧⎪-++=⎪<<⎨⎪⎪≠⎩有两个不同的解.设()2(2sin )10g x x x θ=-++=，则2(0)0(2)02sin 022(2sin )40g g θθ>⎧⎪>⎪⎪⎨+<<⎪⎪+->⎪⎩，解得10sin 2θ<<，故π5π0,,π66θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【变式8-4】（2022秋·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m 【答案】C【解析】令(),0t g x t =≥，当1m =时，方程为()10f t t +-=，即1f t t ，作出函数()y f t =及1y t =-的图象， 由图象可知方程的根为0=t 或1t =， 即()20x x -=或()21x x -=， 作出函数()()2g x x x =-的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD 错误； 当0m =时，方程为()0f t t +=，即()f t t =-， 由图象可知方程的根01t <<，即()()20,1x x t -=∈， 结合函数()()2g x x x =-的图象，可得方程有四个根， 所有根的和为4，满足题意，故A 错误.故选：C.【题型9 函数零点的大小与范围】【例9】（2022秋·河北保定·高三校联考阶段练习）已知0x >，函数()25xf x x =+-，()24g x x x =+-，()2log 3h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()25xf x x =+-单调递增,且()()551.6 1.65555(1.6)2 3.42 3.4256454.354240,f =-=-=-<()24250,f =+->由零点的存在性定理可知()f x 有唯一零点a 且1.62a <<;因为()24g x x x =+-在()0+∞，单调递增, 且()211140,(1.6) 1.6 2.4 2.56 2.40g g =+-<=-=->,由零点的存在性定理可知()g x 有唯一零点b 且1 1.6b <<;因为()2log 3h x x x =+-在()0+∞，单调递增，且()21230h =+-=, 由零点的存在性定理可知()h x 有唯一零点2c =，所以b a c <<.故选:C.【变式9-1】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log 2,32x x f x x g x x x h x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】A【解析】由题可得,,a b c 即为2y x =-的图象分别与2xy =，2log y x =，3x y =的交点的横坐标，如图，画出函数图象，由图可得，b c a >>.故选：A.【变式9-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数()g x 的定义域为R ，()1g x +为奇函数，()g x 为偶函数，当01x ≤≤时，()()221g x x =--，则方程()11g x x =-，在区间[-5,7]上所有解的和为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4 【答案】B【解析】第一步：判断函数()g x 与11y x =-的图象的特征并作出图象 ∵()1g x +为奇函数，∴()()11g x g x -=-+，即()()2g x g x -=-， ∴()g x 的图象关于点(1,0)对称． 又()()()42222g x g x g x +=++=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()222g x g x g x ---=-+=---=⎡⎤⎣⎦()()()g x g x g x ---=-=⎡⎤⎣⎦，∴()g x 是周期为4的周期函数，显然，函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称，在同一直角坐标系中，分别作出函数()g x 与函数11y x =-的图象如图所示．（画出函数图象，注意“草图不草”）第二步：确定交点个数，进而求解 由可知，函数()g x 与11y x =-的图象在[-5,7]上共有8个交点，且两两关于点(1,0)对称，∴方程()11g x x =-在[-5,7]上所有解的和为428⨯=．故选：B【变式9-3】（2022秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数ln ,0<2,()=ln(4),2<<4,x x f x x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩若直线=y m 与()f x 的图像有四个交点，且从左到右四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，则()123412++4+=x x x x x x （ ）A ．12B ．16C ．18D ．32 【答案】C【解析】作出函数()f x 的图像如图所示：()f x 的图像关于直线=2x 对称.由图可知：1423+=+=4x x x x ，且12340<<1<<2<<3<<4x x x x .所以341<4<2,0<4<1x x --.由12ln ln x x =可得：12ln ln x x -=，所以121x x =. 同理可得()()34441x x --=，所以()3434=4+15x x x x -.于是()()()1234123412++4+=1+4+15+4+x x x x x x x x x x -()()1423=4++4+14x x x x -=18.故选：C【变式9-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，则（ ） A ．122x x << B ．12111x x += C ．124x x < D ．122322+≥+x x 【答案】ABD【解析】令2()log (1)0f x x m =--=，()1x >则2log (1)x m -=，令2log (1)y x =-，y m =，则函数2()log (1)(0)=-->f x x m m 的两个零点为12,x x 12()x x <，即为函数2log (1)y x =-，y m =交点的横坐标， 作图如下图所示：故1212x x <<<，故A 正确；根据题意得()12()0f x f x ==，即2122log (1)log (1)x x -=-， 因为1212x x <<<，所以2122log (1)0,log (1)0x x -<->， 故2122log (1)log (1)0x x -+-=，即212log (1)(1)0x x --=，所以12(1)(1)1x x --=，即()12120x x x x -+=，所以12111x x +=，故B 正确；因为12122x x x x +≥，所以()121212122x x x x x x x x -+≤-，即121220x x x x -≥， 所以124x x ≥，当且仅当12x x =时取等号， 又因1212x x <<<，所以124x x >，故C 错误；()2112121212211223322x xx x x x x x x x ⎛⎫+++=+++ ≥⎪⎝⎭=，当且仅当21122x x x x =，即212x x =时，取等号，故D 正确.故选：ABD.【变式9-5】（2022秋·天津武清·高三校考阶段练习）已知函数()2log ,02{12,22x x f x x x <<=-+≥，如果互不相等的实数,,a b c ，满足()()()f a f b f c ==，则实数abc 的取值范围_____. 【答案】(2,4)【解析】()2log ,0212,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，画出函数图象，如图所示：不妨设a b c <<，其中22log log a b -=，故1ab =，且()2,4c ∈，所以abc 的取值范围是(2,4).【题型10 二分法及其应用】【例10】（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）某同学用二分法求函数()237x f x x =+-的零点时，计算出如下结果：()()1.50.33, 1.250.87f f ==-，()()()()1.3750.26, 1.43750.02, 1.40650.13, 1.4220.05f f f f =-==-=-，下列说法正确的有（ ）A ．1.4065是满足精度为0.01的近似值.B ．1.375是满足精度为0.1的近似值C ．1.4375是满足精度为0.01的近似值D ．1.25是满足精度为0.1的近似值 【答案】B【解析】()()1.43750.020, 1.40650.130f f =>=-<，又1.4375 1.40650.0310.01-=>,A 错误；()()1.3750.260, 1.43750.020f f =-<=<，又1.4375 1.3750.0620.1-=<， ∴满足精度为0.1的近似值在()1.375,1.4375内，则B 正确，D 错误；()()1.4220.050, 1.43750.020,1.4375 1.4220.01550.01f f =-<=>-=>，C 错误.故选：B.【变式10-1】（2022·全国·高三专题练习）在用二分法求方程32100x x +-=在(1,2)上的近似解时，构造函数()3210x f x x =+-，依次计算得()150f =-<，()230f =>，()1.50f <，()1.750f >，()1.6250f <，则该近似解所在的区间是（ ）A ．()11.5， B ．()1.51.625， C ．()1.6251.75， D ．()1.752， 【答案】C【解析】根据已知()150f =-<，()1.50f <，()1.6250f <，()1.750f >，()230f =>，根据二分法可知该近似解所在的区间是()1.625,1.75．故选：C.【变式10-2】（2022·全国·高三专题练习）用二分法求如图所示的函数()f x 的零。
函数的零点测试带详细解答
一、选择题 1．函数11y x=-的图象与函数()2sin 24y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 82．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ）A.B.C. D. 不能确定3．设函数3y x =与21xy =+的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．已知函数() 2 0ln 0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，（k R ∈），若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.2k ≤B.10k -<<C.21k -≤<-D.2k ≤-5．设函数若有三个不等实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.6．定义域为R 的函数lg |x 2|,x 2(x)1,2f x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345(x x x x)f x ++++的值等于（ ）A.4lg 2B.3lg 2C.2lg 2D.lg 27．已知实数,0,(x)lg(x),x 0,x e x f ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2(x)f(x)t 0f ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为（ ）A.(,2]-∞-B.[1,)+∞C.[2,1]-D.(,2][1,)-∞-+∞8．函数，若方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.9．若函数则当时，函数的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410．已知函数，方程，，则方程的根的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题11．若函数()|21|x f x m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．参考答案1．D【解析】试题分析：由于函数11y x=-与函数()2sin 24y x x π=-≤≤均关于点()1,0成中心对称，结合图形以点()1,0为中心两函数共有8个交点，则有18212x x +=⨯=，同理有2736452,2,2x x x x x x +=+=+=，所以所有交点的横坐标之和为8.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用. 2．B【解析】试题分析：方程的解等价于的零点.由于在上连续且单调递增，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B ．考点：函数的零点． 【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定与应用，其中熟记函数零点的判定方法和函数零点的存在性定理是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于基础题，本题的解答中，方程的解等价于的零点，利用函数零点的存在定理，即可得到零点的区间，得到结论．3．B 【解析】 试题分析：设()()()32111210,28410x f x x f f =--=--<=--> ()()120f f ∴<，所以函数在区间(1,2)内有零点，即函数3y x =与21xy =+的图象的交点横坐标0x 所在的区间是()1,2考点：方程的根与函数零点4．D 【解析】试题分析：由下图可得22k k-≥⇒≤-，故选D.考点：函数与方程.5．D【解析】试题分析：由下图可得，故选D.考点：函数与方程.6．B【解析】试题分析：当2x=时，()1f x=，则由2(x)bf(x)c0f++=，所以12,1x c b==--，当2x>时，()log(2)f x x=-，由2(x)bf(x)c0f++=得[lg(2)]blg(2)c0x x-+-+=，解得2lg(2)112x x-=⇒=或3lg(2)210bx b x-=⇒=+，当2x<时，()log(2)f x x=-，由2(x)bf(x)c0f++=得[log(2)]blog(2)c0x x-+-+=，解得4log(2)18x x-=⇒=-或3log(2)210bx b x-=⇒=-，所以12345(x x x x)(10)lg1023lg2f x f++++==-=，x故选B.考点：函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的性质，一元二次函数的图象与性质，对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中按照题设条件分别根据三种情况分类讨论求出关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=的5个不同的实数解，即可求解12345(x x x x )f x ++++的值.7．A 【解析】试题分析：设()m f x =，作出函数()f x 的图象，如图所示，则1m ≥时，()m f x =有两个根，当1m <时，()m f x =有一个根，若关于x 的方程2(x)f(x)t 0f ++=有三个不同的实根，则等价为2t 0m m ++=由两个不同的实数根，且1m ≥或1m <，当1m =时，2t =-，此时由220m m +-=，解得1m =或2m =-，满足()1f x =有两个根，()2f x =-有一个根，满足条件；当1m ≠时，设()2t h m m m =++，则()10h <即可，即110t ++<，解得2t <-，综上实数t 的取值范围为2t ≤-，故选A.考点：根的存在性及个数的判断. 【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 8．D【解析】试题分析：方程恰有两个不相等的实数根，等价于函数与图象恰有两个不同的交点，由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意，因为为直线的截距，由图易得上直线的截距为，由可得，由可得，所以的取值范围为，故选D．考点：函数的零点问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、一元二次函数的图象与性质、函数的图象等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的考查，本题的解答中把方程恰有两个不相等的实数根，转化为函数与图象恰有两个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．9．D【解析】试题分析：先作出函数的图象,如图所示.当时,令有,则或,当,存在两个零点;当时,存在两个零点,故函数的零点个数为.选D.考点：根的存在性及个数判断.【方法点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数的判断,属于中档题. 本题方法: 先画出函数的草图，求函数的零点个数,就是求的根的个数,利用分段函数的解析式,得到或,再转化为函数与的图象的交点个数,或者转化为函数与的图象的交点个数.做本题时注意数形结合思想. 10．D【解析】试题分析：因为，所以或，作函数的图象如图，结合图象可知，有两个不同的根，，有三个不同的根，且个根都不相同，故方程的根的个数是，故选D ．考点：分段函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于，所以或，作函数的图象，根据图象可知有两个不同的根，，有三个不同的根，合起来就一共有个不同的实根．对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时候也转化为两个函数交点来求解． 11．()0,1 【解析】试题分析：令()0f x =，所以21x m =-有两个交点，画出21x-的图象如下图所示，由图可知()0,1m ∈.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令()0f x =，变为两个函数,21x y m y ==-，先画出21x-的图象，然后将x 轴下方的图象向上翻折，得到21xy =-的图象，由图可知，()0,1m ∈有两个交点.。
函数零点习题(强烈推荐)
（A）没有零点（B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点
17、若函数 ( 且 )有两个零点，则实数a的取值范围
是 .
18、方程 的解是
20、已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 在区间 上有四个不同的根 ,则 -8
函数的零点
1、函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（）A.4B.3C.2D.1
2、函数 的零点必落在区间（）
A. B. C. D.(1,2)
3、数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过0.25，则 可以是（）
A. B.
C. D.
5．（10上海文）若 是方程式 的解，则 属于区间（）
A．（0，1）.B．（1，1.25）.C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）
7．（10天津文）函数 的零点所在的一个区间是（）
A． B． C． D．
9．（10浙江文）已知 是函数 的一个零点，若 ， ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
14.（11天津）．对实数 和 ，定义运算“ ”： 设函数 若函数 的图像与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
21．（11北京）已知函数 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的根，则数k的取值范围是_______
22．（08湖北文）方程 的实数解的个数为．
29．（09江西文）设函数
（1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；
（2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围
30．（09天津文）设函数
（Ⅰ）当 曲线 处的切线斜率；
高考常考题-函数的零点问题(含解析)
函数的零点问题一、题型选讲 题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。
作图与根分布综合的题目，英中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要 注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调)立义在R 上的奇函数金)满足Λx+4)=Λx),且在区间[2, 4)上例3、【2018年高考全国III 卷理数】函数/(x) = COS^3Λ + ^ ∣^[0,π]的零点个数为 ______ 题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范囤.(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法.它的本质就是将 函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便 地研究问题.(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画岀函数的图像，然后数形结合求解.1∏Λ∖X≥ 1例4. (2020届山东省枣庄.滕州市髙三上期末)已知/(X) = {…、f ,若函数y = ∕(x)-l 恰有f(2-x) + k,x<∖一个零点，则实数A ∙的取值范围是( )A. (l,4∙s) B ・ ILC. (YU)D ・(Y M]Z、21og^ x,x≥∖. Z 、例5、(2020全国高三专题练习(文))函数/(M = [f(w]) JI yl ，若方程f(x) = ~2x + m 有且只有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是()A. (-oo,4)B. (Y ,4]C. (-2,4)D. (-2,4]2-x,2≤x<3x-4,3≤x<4则函数y=∕ω-iog s H 的零点的个数为 ____________x<b例2、(2017苏锡常镇调研)若函数Λx)=≤ IInx<x>l, )则函数y=^χ)∣~∣的零点个数为 ______若函数F(X) =/(x)-g(x)在［0,2)上只有两个零点，则实数R 的值不可能为A.丄 3 3 C.——4例6、［2020年高考天津】已知函数f(x) = < Λ j'0,若函数g(γ) =γ,(j).∣AΛ^2点，则k 的取值范围是A. (→>,-∣)U(2√2,+oo)B ∙ U(0,2√Σ)c ・(Y,0)U(0,2√Σ) D ・ YO)U(2√Σ,S例7. ［2019年髙考浙江】已知t 函数f(x) = < 1x,x < O1 c ・若函数一F --(α + l)f +ax.x≥O 13 2y = f(x)-cιx -b 恰有3个零点，则A. Λ<-L b<0B. αv -l, b>0C. α>-l, XoD ・ α>-l, b>Q例8. (2020浙江学军中学髙三3月月考)已知函数/(X)=(A -÷4)V5≤X <-3J 若函数 /(x-2),x≥-3g(x) = ∕α)-W(X+ 1)1有9个零点，则实数M 的取值范围是()A.［科丿B.1 1)匕'FD.1 1 <55例9.(2020届浙江省杭州市第二中学髙三3月月考)已知函数/(X)=2/V 『心2'B- 4D ・-1-2彳伙WR)恰有4个零二、达标训练1、(2019 IlJ 东师范大学附中高三月考)函数/(x) = √-W 的零点所在区间为()A- (一 1'O)B- [θ,^j C - (Al D- (1'2)e 丫 X V 02、 【2018年髙考全国I 卷理数】已知函数/(X)=g(χ) = f(χ) + x + a •若g(x)存在2个lnx, x>O,零点，则α的取值范用是A. [一 1, 0)B. [0, +∞)C. [-1, +oo)D. [1, +∞)3、 (2020届浙江省“山水联盟"髙三下学期开学)已知αbwR,函数f(x) = <(A+(l)e +αr "≤°,若函x,x>0数y = f{x)-ax-b 恰有3个零点，则()A. a>∖J)>OB. d>l,D<0C. a<tb>OD. a<^b<O4. (2020届山东实验中学髙三上期中)设定义在/?上的函数/(X)满足/(→) + /(X) = X 2,K 当X WO 时,__________ ・若函数沧)恰有2个零点，则2的取值范圉是 _____________≥∕(1~x ))2}且★为函数 g(x) = e λ-y[ex-aZR 疋为自然对数的底数)的一个零点，则实数α的取值可能是()A. 1√E 2D ・√72√7(0<x≤l)5、(2020届山东师范大学附中髙三月考)已知函数fW = ∖2—(X > DIX若方程/(兀)=一力+ α有三个不同的实根，则实数α的取值范围是 _______6、［2018年髙考浙江】已知z∈R.函数沧)=<X - 4, % ≥ Λ X 2-4x + 3,x<2,当z=2时，不等式√(x)vθ的解集是广(X)Vx .己知存在如Λ 2+2ax + a,x ≤ O 74202O届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数f(x) = \e x_ex I ,,若存在实数+-a2,x>O X 3使得函数y = f(χ)-k有6个零点，则实数。
2014函数零点与图像+练习
一 函数零点与零点个数的判断：例1、7.函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0 B ．1C ．2 D ．3 二 有关二次函数的零点问题：例2、关于x 的一元二次方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，当a 为何实数时(1)有两不同正根；(2)不同两根在(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；(4)在(1,3)内有且只有一解三 用二分法确定函数的零点问题例3、如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )．A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．③④四、用二分法确定函数的零点在下列区间，例4函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为()．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 4．方程0)(=x f 在[0，1]内的近似解，用“二分法”计算到445.010=x 达到精确度要求。
那么所取误差限ξ是（ ）A ．0.05B ．0.005C ．0.0005D ．0.00005五 判断函数图象的形状：例5、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x 在同一直角坐标系下的图象大致是( )．5、函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．六 函数图象的变换：例5、已知)(x f y =的图象，作下列函数的图象：（1）)(x f y =；（2）)(x f y =5、若函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )． 七 函数图象的应用例7．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )．A ．[－1,1＋22]B ．[1－22，1＋22]C ．[1－22，3]D ．[1－2，3]练习：1、 函数3()233f x x x =+-的零点所在的区间为( )A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)2.函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是 ( )(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）3.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）4、已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是__ ___..若函数f(x)=x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .5.已知x 是函数f(x)=2x + 11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则( ) （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0（C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞06．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋3a 没有零点，则实数a 的取值范围是()A ．a ＜13 B ．a ＞13C ．a ≤13 D ．a ≥137.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．已知函数f (x )＝log a x ＋x－b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.8．设a ，b ，k 是实数，二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足：f (k －1)与f (k )异号，f (k ＋1)与f (k )异号．在以下关于f (x )的零点的命题中，真命题是( )A ．该二次函数的零点都小于k B ．该二次函数的零点都大于k C ．该二次函数的两个零点之差一定大于2D ．该二次函数的零点均在区间(k －1，k ＋1)内9.函数()ln ,0,0,0x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则方程()()20f x f x -=的不相等实数根的个数是（）A 5 B 6 C 7 D 8. 10．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b11． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a ＞b )的图像如图K10－1所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图像是( )12．已知图K10－4①是函数y ＝f (x )的图像，则图K10－4数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)13.函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( )A ．0 B ．1C ．2 D ．3 14．已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )A ．－1<a <1B ．a >1或a <－2C ．－2<a <1D ．a >2或a <－1 15.对于函数()2f x x mx n =++，若()()0,0f a f b >>，则函数()f x 在区间(),a b 内（ ）A 一定有零点B 一定没有零点C 可能有两个零点D 至多有一个零点16. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()f x T f x +=（T 是非零常数），则方程()0f x =在区间[],T T -上根的个数可能是（ ）A 1 B 2 C 3 D 517. 设 αβ，是二次方程2260x kx k -++=的两个实根，则对()()2211αβ-+-的正确判断是（ ） A 最小值为494- B 最小值为8 C 无最小值D 无法确定 18. 函数()22f x x ax b =-+的零点一个在区间()01，上，另一个在区间()12，上，则23a b +的取值范围是（ ） A ()29，B []29，C ()49，D []49，. 19、函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )．20．设a >1，对于实数x ，y 满足：|x |－log a 1y＝0，则y 关于x 的函数图像是( )21．正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B 22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图像大致是( )22．若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，则a的取值范围是________．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，关于x 的方程2|1|x m -=有三个不相等的实数根，则实数m 的值是 若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为________． 设24)(x x f -=，若n m <<0，且)()(n f m f =，则n m +的取值范围是 。
函数零点习题(强烈推荐)
1、函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（）A.4B.3C.2D.1
2、函数 的零点必落在区间（）
A. B. C. D.(1,2)
3、数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过上海文）若 是方程式 的解，则 属于区间（）
A．（0，1）.B．（1，1.25）.C．（1.25，1.75）D．（1.75，2）
15（11陕西）函数f(x)= —cosx在[0，+∞）内（）
（A）没有零点（B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点
17、若函数 ( 且 )有两个零点，则实数a的取值范围
是 .
18、方程 的解是
20、已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 在区间 上有四个不同的根 ,则 -8
7．（10天津文）函数 的零点所在的一个区间是（）
A． B． C． D．
9．（10浙江文）已知 是函数 的一个零点，若 ， ，则（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
14.（11天津）．对实数 和 ，定义运算“ ”： 设函数 若函数 的图像与 轴恰有两个公共点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）已知函数 有三个互不相同的零点0， ，且 。若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围。
21．（11北京）已知函数 若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______
22．（08湖北文）方程 的实数解的个数为．
29．（09江西文）设函数
（1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值；
（2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围
30．（09天津文）设函数
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高三数学函数的图像、零点一：选择题1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0）2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定3.已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ）（A ）)31,0( （B ）)21,31(（C ）)32,21( （D ）)1,32(4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1，2）有零点5.已知1x 是方程32=⋅x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ⋅=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.106.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ）A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2）故选B ．7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ）A．﹣1或0 B．0 C．﹣1或1 D．0或1解答：解；∵二次函数f（x）图象的对称轴x=﹣∈（﹣1，﹣），∴1＜a＜2，由g（x）=e x﹣2x﹣a=0得e x=2x+a分别作出函数y=e x和y=2x+a的图象，如图所示．从而函数y=e x和y=2x+a的图象的两个交点的横坐标分别在区间（﹣1，0）和（1，2）上．∴函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（﹣1，0）和（1，2）；∵函数g（x）=e x﹣f'（x）的零点所在的区间是（k，k+1）（k∈z），∴k=﹣1或1故选C．8.若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（A）A．f（x）=8x﹣2 B．f（x）=（x+1）2C．f（x）=e x﹣1 D．f（x）=ln（x﹣）解答：解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续，且g（）==＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则又f（x）=8x﹣2零点为x=；f（x）=（x+1）2的零点为x=﹣1f（x）=e x﹣1零点为x=0；f（x）=ln（x﹣）零点为x=，∴||，即A中的函数符合题意故选A．9．若2>a ，则方程03323=+-ax x 在(0,2)上恰好有（B ）个根A ．0B ． 1C ．2D ． 3 10.已知函数f （x ）=，若方程f （x ）+2a ﹣1=0恰有4个实数根，则实数a 的取值围是（ A ） A ． （﹣，0] B ．[﹣，0] C ．[1，）D ．（1，]解答： 解：由f （x ）=，要使方程f （x ）+2a ﹣1=0有4个不同的实根，即函数y=f （x ）与函数y=1﹣2a 的图象有4个不同的交点，如图， 由图可知，使函数y=f （x ）与函数y=1﹣2a 的图象有4个不同的交点的1﹣2a 的围是[1，2）， ∴实数a 的取值围是（﹣，0]． 故选A ．11.函数f （x ）=tanx ﹣（﹣2π≤x ≤3π）的所有零点之和等于（ B ） A ． π B ． 2πC ． 3πD ． 4π解答：解：函数f （x ）=tanx ﹣（﹣2π≤x ≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==的交点的横坐标．由于函数y=tanx 的图象关于点（，0）对称， 函数y=的图象也关于点（，0）对称，故函数y=tanx 与函数y=的交点关于点（，0）对称，如图所示：设函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点分别为：x1、x2、x3、x4，则由对称性可得x1+x4=π，x2+x3=π，∴x1+x2+x3+x4=2π，故选B．12.定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值围是（B）A．（，1）B．（，1）∪（1，+∞）C．（0，）D．（，1）解答：解：因为函数f（x）是偶函数，所以令x=﹣1得，f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）﹣f（1）=f（x），即函数的周期是2．由y=f（x）﹣log a（|x|+1）=0得f（x）=log a（|x|+1），令y=f（x），y=log a（|x|+1），当x＞0时，y=log a（|x|+1）=log a（x+1），函数过点（0，0）．若a＞1，则由图象可知，此时数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上没有零点，所以此时此时满足条件．若0＜a＜1，则由图象可知，要使两个函数y=f（x）与y=log a（x+1），有三个交点，则y=m（x）=log a（x+1）不能过点B（4，﹣2），即m（4）＜﹣2，即log a5＜﹣2，解得，此时．所以满足条件的a的取值围a＞1或．故选B．13.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0的实数根个数为（B）A．6 B．7 C．8 D．9 解答：解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0，等价6t2﹣t﹣1=0，解得t=或t=，当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）==（2|x﹣3|﹣1），若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）==（2|x﹣5|﹣1），作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：当t=时，f（x）=对应3个交点．∵函数f（x）是奇函数，∴当x＜0时，由f（x）=，可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，综上共有7个交点，即方程有7个根．故选：B14.已知函数，若方程f（x）=t（t∈R）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值围是（C）A．（30，34）B．（30，36）C．（32，34）D．（32，36）解答：解：先画出函数，的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），0＜a＜1，1＜b＜4，4＜c＜6﹣，d＞6．∴﹣log2a=log2b，c+d=12，cd＞24．即ab=1，c+d=12，∴abcd=cd=c（12﹣c）=﹣c2+12c（4＜c＜6）的围为（32，34）．故选C．二：填空题15．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______。
416.已知函数f （x ）=k•4x ﹣k•2x+1﹣4（k+5）在区间[0，2]上存在零点，则实数k 的取值围是 （﹣∞，﹣4]∪[5，+∞） ．解答：解：令t=2x ，则t ∈[1，4]，∴f （t ）=k•t 2﹣2k•t ﹣4（k+5）=k （t ﹣1）2﹣5（k+4）在[1，4]上有零点， ∴f （1）f （4）≤0即可，即﹣5（k+4）（4k ﹣20）≤0， 解得k≥5或k≤﹣4， 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）．17.已知函数，则关于x 的方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0的实根的个数是 5 ． 解答：解：方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0等价于f （x ）=2或f （x ）=1 ∵函数，∴﹣1≤x ≤1，f （x ）∈[﹣1，1]，|x|＞1时，f （1）＞0，∴f （x ）=1时，cos或x 2﹣1=1，∴x=0或x=±，f （x ）=2时，x 2﹣1=2，∴x=，综上知方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0的实根的个数是5． 故答案为：5．18.若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值围是k＞1．解答：解：由于关于x的方程有四个不同的实根，x=0是此方程的1个根，故关于x的方程有3个不同的非零的实数解．∴方程=有3个不同的非零的实数解，即函数y=的图象和函数g（x）=的图象有3个交点，画出函数g（x）的图象，如图所示：故0＜＜1，解得k＞1，故答案为：k＞1．三：解答题19.已知函数（k，m为常数）．（1）当k和m为何值时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数？（2）若不论k取什么实数，函数f（x）恒有两个不同的零点，数m的取值围．解答：解：（1）因为函数f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴由此得6kx=0总成立，故k=0．∴，又该函数过点（1，0），∴，得m=所以，当m=，k=0时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数．（2）由函数f（x）恒有两个不同的零点知，方程恒有两个不等实根，故△=＞0恒成立，即恒成立，而﹣9k2+12k=，故只须，即，解得0＜m＜．所以，当0＜m＜时，函数f（x）恒有两个不同的零点．20.已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量，，满足，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，数b的取值围．解答：解：（1）∵A，B，C三点共线，∴∴（2）方程f（x）=2x+b即令，∴当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，∴φ（x）有极小值为=即为最小值．又φ（0）=ln2，，又﹣ln2=∴ln5﹣＞ln2．∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln2．21.已知函数f（x）=lnx，，（I）设函数F（x）=ag（x）﹣f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值围；（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）成立，数m的取值围．解答：解：（I）F（x）=ag（x）﹣f（x）=ax2﹣lnx，F′（x）=ax﹣=（x＞0）∴函数F（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数若F（x）没有零点，须且只须F（）＞0，即+lna＞0，即0设g（a）=，∵g′（a）=∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0∴g（a）＞0，即当a＞0时，0恒成立故若F（x）没有零点，则a的取值围为（0，+∞）（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）成立，即若x1＞x2＞0，总有mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）成立，即函数h（x）=mg（x）﹣xf（x）=mx2﹣xlnx，在（0，+∞）上为增函数，即h′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立即m≥在（0，+∞）上恒成立设G（x）=，则G′（x）=∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，∴G（x）≤G（1）=1∴m≥122.定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：且h（﹣3）=﹣2．（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；（Ⅱ）对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）﹣x2g（x2）成立，求a的取值围；（Ⅲ）设，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．解答：解：（Ⅰ）∵，①，在①中以﹣x代替x得：，即，②由①②联立解得：g（x）=e x﹣3．∵h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，由h（﹣3）=﹣2，解得a=﹣1．∴h（x）=﹣x（x+2）+1=﹣x2﹣2x+1，∴g（x）=e x﹣3，h（x）=﹣x2﹣2x+1．（Ⅱ）设ϕ（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=e x﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，依题意知：当﹣1≤x≤1时，ϕ（x）min≥F（x）max，∵F′（x）=﹣e x+（1﹣x）（e x﹣3）+3=﹣xe x+3，在[﹣1，1]上单调递减，∴F′（x）min=F′（1）=3﹣e＞0，∴F（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴F（x）max=F（1）=0，∴，解得：﹣3≤a≤7，∴实数a的取值围为[﹣3，7]．（Ⅲ）设t=a+5，由（Ⅱ）知，2≤t≤12，f（x）的图象如图所示：设f（x）=T，则f（T）=t当t=2，即a=﹣3时，T1=﹣1，T2=ln5，f（x）=﹣1有两个解，f（x）=ln5有3个解；当2＜t＜e2﹣3，即﹣3＜a＜e2﹣8时，T=ln（t+3）且ln5＜T＜2，f（x）=T有3个解；当t=e2﹣3，即a=e2﹣8时，T=2，f（x）=T有2个解；当e2﹣3＜t≤12，即e2﹣8＜a≤7时，T=ln（t+3）＞2，f（x）=T有1个解．综上所述：当a=﹣3时，方程有5个解；当﹣3＜a＜e2﹣8时，方程有3个解；当a=e2﹣8时，方程有2个解；当e2﹣8＜a≤7时，方程有1个解．。