高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷十答案

y1 x1
(x
源自文库
x2
)
y
y2 x2
y1 x1
(x
x2 )
y2
y
x22 x12 ( x 4( x1 x2 )
x2 )
1 4
x22
y
x2 4
x1
x
x
2 2
x1 x2 4
1 4
x22
……………………………………12 分
y x2 x1 x x1x2
4
4
即 y x2 x1 x 4 4
所以，直线 A ' B 恒过定点 (0, 4) .
20. (共 13 分）
……………………………………13 分
解：(Ⅰ)由变换 T 的定义可得 A1 : 0,1,1, 0, 0,1
…………………………………2 分
A0 : 1, 0,1
…………………………………4 分
(Ⅱ) 数列 A0 中连续两项相等的数对至少有 10 对
④当 a 1 时，在 (0, 1 ) 和 (1, ) 上 f '( x) 0 ，在 ( 1 ,1) 上 f '( x) 0
2
2a
2a
所以 f ( x ) 在 (0, 1 ) 和 (1, ) 上单调递增，在 ( 1 ,1) 上递减……………………………14 分
2a
2a
19．(共 13 分） 解：（I）由题意可得 O P O M ，
x1 2 z1
又CB (2, 2, 0)
则sin θ cos n, CB 2 2 3 ， 32 2 3
∴直线 C B 与平面 P D C 所成角的正弦值为 3 . ………………………………………14 分 3
18. (共 14 分）
解：（I）当 a 0 时， f ( x) x x ln x ， f '( x) ln x ， ………………………2 分
……………………………5 分
(Ⅱ)方法 1：连接 P F ，∵ O 为 AF 的中点， E 为 P A 中点，
∴OE // PF ，
∵ O E 平面 P D C ， P F 平面 P D C ，
∴ O E // 平面 P D C .
……………………………9
分
方法 2：由(Ⅰ)知 P O 平面 A B C D ，又 AB AD ，所以过 O 分别做 A D , A B 的平行线，
(Ⅲ) 设平面 P D C 的法向量为 n ( x1 , y1 , z1 ) ，直线 C B 与平面 P D C 所成角 θ ，
则
n
P
C
0
，即
x1
3 y1
2 z1 0 ，
n P D 0
x1 y1 2 z1 0
解得
y1
0
，令 z1 1 ，则平面 P D C 的一个法向量为 n ( 2 , 0,1) ，
2
16
12. 2
13.
t2 2t
, 4
(t
1) 2
,
(t为 偶 数 ) (t为 奇 数 )
14.
①② , 9
4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. （共 13 分）
解：（Ⅰ）
1 f ( x ) (1 cos 2 x )
3 sin 2 x
2
2
………………………2 分
1 sin(2 x ) ,
2 )
，P F
(1,1,
2 ) ，P D (1, 1,
2) ，
A
B
2 22
O
y
P C (1, 3, 2 ) .
∴OE 1 PF 2
∴OE / /PF ∵ O E 平面 P D C ， P F 平面 P D C ， ∴ O E // 平面 P D C ； 分
D
x
F
C
…………………………………9
2013 高考百天仿真冲刺卷
数学(理)试卷（十）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
B
C
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分）
9. 6
10. 11
11.
3 ，1
由
y x2
kx 4 4y
消
y
整理得
x2
4kx
16
0
，
………………………………6 分
则 16 k 2 64 0 ，即| k | 2 .
………………………………7 分
x1 x2 4 k , x1 x2 16 .
…………………………………9 分
直线 A ' B : y y2
y2 x2
lk 2 lk 4 2k 4
l3 l1 2 上述各式相加可得 lk 1 2 2 3
k 1
2 k 2 1 2 (1 4 2 ) 1 ( 2 k 1) ，
1 4
3
经检验， k
1 时，也满足 lk
1 (2k 3
1)
所以 lk
1 3
(2
k
1 (2k
1), k 为 奇 数 1), k 为 偶 数
以它们做 x, y 轴，以 O P 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：
A(1, 1, 0) ， B (1,1, 0) ， D (1, 1, 0)
P
F (1,1, 0) ， C (1, 3, 0) ， P (0, 0, 2 ) ，
11 E( , ,
2)，
E
2 22
则OE ( 1 , 1 ,
2
6
…………………………3 分
因为 f ( x ) 最小正周期为 π ,所以 2π π ，解得 ω 1 , …………………………4 分 2ω
所以 f ( x ) sin(2 x π ) 1 , 62
………………………… 5 分
所以 f ( 2π ) 1 .
3
2
…………………………6 分
（Ⅰ）证明：设 F 为 DC 的中点，连接 BF ，则
DF AB
E
∵ AB AD ， AB AD ， AB // DC ，
∴四边形 A B F D 为正方形， ∵ O 为 B D 的中点， ∴ O 为 A F , B D 的交点，
∵ PD PB 2 ，
A
B
O
D
F
C
∴ PO BD ，
………………………………2 分
所以 A2 中至少有 10 对连续相等的数对. ……………………………………………8 分
(Ⅲ) 设 Ak 中有 bk 个 01 数对，
Ak 1 中的 00 数对只能由 Ak 中的 01 数对得到，所以 lk 1 bk ，
Ak 1 中的 01 数对有两个产生途径：①由 Ak 中的 1 得到； ②由 Ak 中 00 得到，
3
6
f ( x ) 的单调减区间为[k , k 2 ], (k Z ). ………………………10 分
6
3
由 2 x π kπ π , (k Z）得 x k π π , (k Z ) .
6
2
26
所以， f ( x ) 图象的对称轴方程为 x k π π (k Z ) . …………………………13
26
分
16.（共 13 分）
解：(Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,…………………1 分
由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 1 ，
3
……………………3 分
4
则
P
(
A)
1
P
(
A)
1
2 3
65
81
.
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,
………………………6 分 …………………………7 分
由变换T 的定义及 A0 : 0,1 可得 Ak 中 0 和 1 的个数总相等，且共有 2 k 1 个，
所以 bk 1 lk 2 k ，
所以 lk 2 lk 2 k ，
由 A0 : 0,1 可得 A1 : 1, 0, 0,1 ， A2 : 0,1,1, 0,1, 0, 0,1
所以 l1 1, l2 1 ， 当 k 3 时，
若 k 为偶数， lk lk 2 2 k 2 lk 2 lk 4 2k 4
l4 l2 22
上述各式相加可得 lk 1 2 2 2 4
k 1
2k2
1(1 4
2
)
1 (2 k 1) ，
1 4
3
经检验， k
2 时，也满足 lk
1 (2k 3
1)
若 k 为奇数， lk lk 2 2 k 2
……………………………2 分
所以 O P O M 0 ，即 ( x, y )( x, 4) 0 ………………………………4 分
即 x 2 4 y 0 ，即动点 P 的轨迹W 的方程为 x 2 4 y
……………5 分
（II）设直线 l 的方程为 y kx 4 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，则 A '( x1 , y1 ) .
………………………………………………………………13 分
3
①当 a 0 时， 2ax 1 0 ，在 (0,1) 上 f '( x) 0 ，在 (1, ) 上 f '( x) 0
所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上递减；…………………………………………8 分
②当 0 a 1 时，在 (0,1) 和 ( 1 , ) 上 f '( x) 0 ，在 (1, 1 ) 上 f '( x) 0
2
2a
2a
所以 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( 1 , ) 上单调递增，在 (1, 1 ) 上递减；………………………10 分
2a
2a
③当 a 1 时，在 (0, ) 上 f '( x) 0 且仅有 f '(1) 0 ，
2
所以 f ( x ) 在 (0, ) 上单调递增； ……………………………………………12 分
由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 1 ，且每个人下电梯互不影响， 3
所以， X
1 B(4, ) .
3
……………………………9 分
X
0
1
2
3
4
16
32
24
8
1
P
81
81
81
81
81
………………………………11 分
E(X ) 4 1 4 . 33
………………………………13 分
P
17.(共 14 分)
所以 f (e) 0 ， f '(e) 1 ，
………………………4 分
所以曲线 y f ( x ) 在 (e, f (e)) 处的切线方程为 y x e .………………………5 分
（II）函数 f ( x ) 的定义域为 (0, )
f '( x ) (ax 2 x ) 1 (2 ax 1) ln x ax 1 (2 ax 1) ln x ，…………………………6 分 x
…………………………………5 分
证明：对于任意一个“0-1 数列” A0 ， A0 中每一个 1 在 A2 中对应连续四项 1,0,0,1，在 A0
中每一个 0 在 A2 中对应的连续四项为 0,1,1,0，
因此，共有 10 项的“0-1 数列” A0 中的每一个项在 A2 中都会对应一个连续相等的数对，
∵ BD AD2 AB2 2 2 ，
∴ PO PB2 BO 2 2 ， AO 1 BD 2 ， 2
在三角形 P A O 中， P O 2 A O 2 P A 2 4 ，∴ P O A O ，……………………………4 分
∵ AO BD O ，∴ P O 平面 A B C D ；
（
Ⅱ
）分别由
2k 2x 2k
，, k ( Z
)
2
6
2
3
2k 2x 2k ,(k Z )
2
6
2
可得 k
x k
,(k Z ) ，k
x k
2
, (k Z ).
………………8 分
3
6
6
3
所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为[k , k ], (k Z ) ；