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高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷十答案

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2020—2021年新高考总复习数学(理)第二次高考模拟冲刺卷及答案解析.docx

2020—2021年新高考总复习数学(理)第二次高考模拟冲刺卷及答案解析.docx

2019年二模突破冲刺交流试卷（01）高三数学（理）一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(2)5i z i +=(其中i 是虚数单位,满足21i=-),则复数z 的共轭复数在复平面中对应的点在第几象限（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.要得到函数sin 44y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A 向左平移π16个单位 B 向右平移π16个单位 C 向左平移π4个单位 D 向右平移π4个单位3.设x R ∈ ，则“31x +< ”是“220x x +-> ”的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x +y 为偶数”， 事件B 为“x y ≠”，则概率()P B A =（ ）A ．12B ．14C ． 13D ．235. 如果双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线与直线310x y -+=平行，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ． 2D ． 36. 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是( )A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直7.已知向量()()2016,2,,2016-==k b k a ρρ的夹角为钝角，则函数()201622++=k k k f 的最小值为（ ）A. 2013B. 2014C. 2015D.20168.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A (1)(1)(0)f f f <-<B (0)(1)(1)f f f <<-C (1)(0)(1)f f f -<<D (1)(0)(1)f f f <<- 9.执行如图所示的算法，则输出的结果是（ ）A ．1B ．43C ．54 D ．210.25()x x y ++的展开式中，42x y 的系数为( )A 15B 25C 30D 5011.已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=600,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为183，则球O 的表面积为( ) A ．36π B.64π C.144π D.256π12. 已知函数f(x)=|log 2x|-m(m>0)的零点分别为x 1,x 2(x 1<x 2),函数g(x)=|log 2x|8(0)21m m ->+的零点分别为x 3,x 4(x 3<x 4),则2413x x x x --的最小值为( )A.4√43B.8√43C.4√2D.8√2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

仿真冲刺卷参考答案 高考教学(理科)二轮复习

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参考答案仿真冲刺卷(一)1.A 函数y=ln(1-x)的定义域为M={x|x<1},N={x|x2-x<0}={x|0<x<1},结合选项M∩N=N正确,选A.2.A 由题意可得z==i-2,所以z-1=-3+i,|z-1|==.选A.3.C 因为=2,=4.5,所以=4.5-0.95×2=2.6,故选C.4.C 因为a<0,设a=-1,所以()-1=2,(0.2)-1=5,2a=-2,所以(0.2)a>()a>2a,故选C.5.A 首先函数为奇函数,排除C,D,又当x∈(0,1)时,y<0,排除B,故选A.6.B 设R为弦PQ的中点,如图所示,由|PQ|<6,知|OR|2>52-32=16,所以PQ的中点组成的区域为M是由圆O:x2+y2=25与圆:x2+y2=16组成的圆环,所以在O内部任取一点落在M内的概率为=,故选B.7.D 如图所示,在平行四边形ABCD中,=a,=b,=a+b,∠BAC=,∠DAC=,所以∠BCA=,在△ABC中,由正弦定理得===.故选D.8.A 第一次循环:s=s+8=10,k=k+1=2,此时不满足条件,继续循环; 第二次循环:s=s+8=18,k=k+1=3,此时不满足条件,继续循环;第三次循环:s=s+8=26,k=k+1=4,此时不满足条件,继续循环;第四次循环:s=s+8=34,k=k+1=5,此时应满足条件,结束循环,因此判断框内应填k>4.9.D 由a3,a7,a9成等比数列,则a3a9=(a7)2,即(a1+2d)(a1+8d)=(a1+6d)2,化简可得2a1d+20d2=0,由a1=20,d≠0,解得d=-2.则S10=10a1+×(-2)=110,故选D.10.B 因为y=f(x+2)为偶函数,所以y=f(x+2)的图象关于x=0对称,所以y=f(x)的图象关于x=2对称,所以f(4)=f(0).又f(4)=1,所以f(0)=1.设g(x)=(x∈R),则g′(x)==.又因为f′(x)<f(x),所以f′(x)-f(x)<0,所以g′(x)<0,所以y=g(x)在定义域上单调递减.因为f(x)<e x,所以g(x)<1.又因为g(0)==1,所以g(x)<g(0),所以x>0,故选B.11.A 由f(x+)=f(-x)得函数f(x)的一条对称轴为x=,因此sin(+φ)=±1⇒φ=+kπ(k∈Z),由f()=-1得sin(++kπ)+b=-1⇒b=-1±1⇒b=-2或0,故选A.12.B 当x<0时,f(x)为增函数,当x≥0时,f′(x)=e x-1+ax-a-1,f′(x)为增函数,令f′(x)=0,解得x=1,故函数f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,最小值为 f(1)=0.由此画出函数图象如图所示,令t=-f(x),因为f(x)≥0,所以t≤0,则有⇒-a=t-1,所以t=-a+1,所以 f(x)=a-1,要有三个不同实数根,则需<a-1<+,解得2<a<+2.13.解析:y′=ln x+1,设P(x0,y0),ln x0+1=2, 解得x0=e,则y0=e,所以P点坐标为(e,e).答案:(e,e)14.解析:由8a2-a5=0得公比q=2,所以==1+q2=5.答案:515.解析:作出不等式组对应的平面区域如图,由z=x-2y得y=x-z,平移直线y=x,由图象可知当直线y=x-z经过点A(2,4)时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,z min=2-8=-6;当直线y=x-z经过点O(0,0)时,直线y=x-z的截距最小,此时z最大,z max=0,故-6≤z≤0.答案:[-6,0].16.解析:据题意知,△PMF为等边三角形,PF=PM,所以PM⊥抛物线的准线.设P(,m),则M(-,m),等边三角形边长为+=12,F(,0),所以由PM=FM,得=12,解得p=6,m=±6,所以抛物线方程为y2=12x.答案:y2=12x17.解:(1)因为2a=3c,由正弦定理可得2sin A=3sin C,可得sin A=sin C,由tan B=2tan C,可得sin Bcos C=2sin Ccos B,两边同时加sin Ccos B,可得sin(B+C)=3sin Ccos B, 可得sin(B+C)=sin A=sin C=3sin Ccos B,由C∈(0,π),可得sin C≠0,所以cos B=,由B∈(0,π),可得B=.(2)由tan A=3,可得cos A=,sin A=,S △ABC=3=bc·,解得bc=4,又由2a=3c,a2=b2+c2-2bccos A,可得c2=b2+c2-4,联立bc=4,解得c2=+c2-4,化简整理可得5c4+16c2-448=0,解得c=2,b=,a=3,可得△ABC的周长为a+b+c=5+.18.(1)证明:取AP的中点M,连接DM,BM,因为DA=DP,BA=BP,所以PA⊥DM,PA⊥BM,因为DM∩BM=M,所以PA⊥平面DMB,又因为BD⊂平面DMB,所以PA⊥BD.(2)解:因为DA=DP,BA=BP,DA⊥DP,∠ABP=60°,所以△DAP是等腰直角三角形,△ABP是等边三角形,因为AB=PB=BD=2,所以DM=1,BM=.所以BD2=MB2+MD2,所以MD⊥MB,以MP,MB,MD所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(-1,0,0),B(0,,0),P(1,0,0),D(0,0,1),从而得=(1,0,-1),==(1,,0),=(1,-,0) ,==(1,0,1),设平面DPC的法向量n1=(x1,y1,z1),则即所以n 1=(-,1,-),设平面PCB的法向量n2=(x2,y2,z2),由得所以n 2=(,1,-),所以cos <n 1,n2>==,设二面角D PC B为α,所以sin α==.19.解:(1)列联表如下:甲产品乙产品合计合格品80 75 155 次品20 25 45合计100 100 200 K2=≈0.717<3.841,所以没有95%的把握认为两种产品的质量有明显差异.(2)依题意,生产1件甲、乙产品为合格品的概率分别为,,随机变量X可能取值为90,45,30,-15,P(X=90)=×=,P(X=45)=×=,P(X=30)=×=,P(X=-15)=×=.X的分布列为X 90 45 30 -15 P所以E(X)=90×+45×+30×-15×=66.20.解:(1)因为椭圆C的右焦点F(c,0),|PF|=2,所以c=,由题意得Q(2,1),因为Q(2,1)在椭圆C上,所以+=1,由a2-b2=3,得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由S△AQB=tan∠AQB,得QA·QBsin∠AQB=tan∠AQB,即QA·QBcos∠AQB=2,可得·=2,①当l垂直x轴时, ·=(-2,-1)·(-2,--1)=4+1-3=2,此时满足题意,所以此时直线l的方程为x=0;②当l不垂直x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1, 由消去y得(1+2k2)x2+4kx-4=0,所以x1+x2=,x1x2=,代入·=2可得 (x1-2,y1-1)·(x2-2,y2-1)=2,代入y1=kx1+1,y2=kx2+1,得(x1-2)(x2-2)+k2x1x2=2,化简代入得++2=0,解得k=,经检验满足题意,则直线l的方程为x-4y+4=0.综上所述,直线l的方程为x=0或x-4y+4=0.21.(1)解:g(x)=e x-(a+1)x,所以g′(x)=e x-(a+1).当x>0时,e x>1,故有当a+1≤1,即a≤0时,x∈(0,+∞),g′(x)>0;当a+1>1,即a>0时,e x>1,令g′(x)>0,得x>ln(a+1);令g′(x)<0,得0<x<ln(a+1),综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上是增函数;当a>0时,g(x)在(0,ln(a+1))上是减函数,在(ln(a+1),+∞)上是增函数.(2)证明:设h(x)=f(x)-(x2+x+1)=e x-x2-x-1,则h′(x)=e x-2x-1,令m(x)=h′(x)=e x-2x-1,则m′(x)=e x-2,因为x∈[,1],所以当x∈[,ln 2)时,m′(x)<0;m(x)在[,ln 2)上是减函数,当x∈(ln 2,1]时,m′(x)>0,m(x)在(ln 2,1]上是增函数,又m()=-2<0,m(1)=e-3<0,所以当x∈[,1]时,恒有m(x)<0,即h′(x)<0,所以h(x)在[,1]上为减函数,所以h(x)≤h()=-<0,即当x∈[,1]时,f(x)<x2+x+1.22.解:(1)由曲线C1的参数方程(t为参数), 消去参数t得x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ,由曲线C2的直角坐标方程x2+(y-2)2=4,即x2+y2-4y=0,得ρ=4sin θ,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=4sin θ.(2)联立得A(2sin α,α),所以|OA|=2sin α,联立得B(4sin α,α),所以|OB|=4sin α.所以|AB|=|OB|-|OA|=2sin α,因为0<α<π,所以当α=时,|AB|有最大值2.23.解:(1)f(x)>4,即|x|+|2x-1|>4,当x≥时,x+2x-1>4,解得x>;当0<x<时,x+1-2x>4,解得x∈⌀;当x≤0时,-x+1-2x>4,解得x<-1.综上可得,f(x)>4的解集为.(2)对任意正数a,b,不等式f(x)<++ab恒成立,可得f(x)小于++ab的最小值,由++ab≥2+ab≥2=3,当且仅当a=b=2时取得等号,即有f(x)<3,即|x|+|2x-1|<3,当x≥时,x+2x-1<3,解得≤x<;当0<x<时,x+1-2x<3,解得0<x<;当x≤0时,-x+1-2x<3,解得-<x≤0.综上可得,M={x|-<x<}.仿真冲刺卷(二)1.C 因为集合U={-1,0,1,2},所以集合A={y|y=,x∈U}={1,,},所以集合A的真子集个数为23-1=7个,故选C.2.A 因为=1-ni,所以m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,所以1+n=m且1-n=0,所以n=1,m=2,所以m+ni=2+i,故选A.3.B 根据题意,得a=-2e1-3e2,b=-4e1+e2,所以a+b=(-2e1-3e2)+(-4e1+e2)=-6e1-2e2,所以|a+b|===2.故选B.4.B 由题意得a<(ln x)min,因为x>e,所以ln x>1,所以a≤1,因为(-∞,1)⊂(-∞,1],(-∞,1)≠(-∞,1],因此一个充分不必要条件是a<1,选B.5.B 取特殊值,令a=,b=,则x=a b=()=,y=b a=()>,z=log b a=lo=2,则<()<2,即x<y<z,可排除A,C,D选项,故选B.6.C 由题意知原几何体为三棱锥,其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形,∠BCA为钝角,其中BC=2,BC边上的高为2,PC⊥底面ABC,且PC=2,由以上条件可知,∠PCA为直角,最长的棱为PA或AB,在直角三角形PAC中,由勾股定理得,PA===2,在钝角三角形ABC中,AB===2.故选C.7.C 设正方形的边长为1,则其面积为1,S 阴影=2(-)=-1,故在该正方形内随机取一点,此点取自两个弧田部分的概率为-1.8.B 当输入的x值为4时,b=2,第一次,不满足b2>x,满足x能被b整数,故输出a=0;当输入的x值为5时,第一次,不满足b2>x,也不满足x能被b整数,故b=3;第二次,满足b2>x,故输出a=1;即第一次输出的a的值为a1=0,第二次输出的a的值为a2=1,则a1-a2=0-1=-1.9.A f′(x)=e3x+2me2x+(2m+1)e x=t(t2+2mt+2m+1),t=e x>0,由题意得t2+2mt+2m+1=0有两个不同的正根,则⇒-<m<1-,故选A.10.A 因为相邻两支图象与坐标轴分别交于点A(,0),B(,0),所以函数的周期T=-==,则ω=2,此时f(x)=tan(2x+φ),又f()=tan(2×+φ)=tan(+φ)=0,得+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),因为0<|φ|<,所以当k=0时,φ=-,则f(x)=tan(2x-),因为f(x)与y=cos(2x-)的对称中心相同,所以f(x)与y=cos(2x-)的交点关于同一个对称中心对称, 由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,因为x∈[0,π],所以当k=0时,x=,即两个函数的对称中心都为(,0),由图象知两个函数只有两个交点,则=,所以x1+x2=.11.B 设A,B在l上的射影分别是A1,B1,过B作BM⊥AA1于M.由题意可得在Rt△ABM中,∠BAM=60°,cos 60°=====,解得m=3,故选B.12.A 因为函数y=f(x)关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<logπ3<1,log39=2,所以 0<logπ3<20.2<log39,所以b>a>c,故选A.13.解析:展开式中x2的系数是1×+a×=10+5a,所以10+5a=5,所以a=-1.答案:-114.解析:作出x,y满足约束条件:对应的平面区域如图(阴影部分),由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.由解得A(,-),代入目标函数z=2x+y得z=3.即目标函数z=2x+y的最大值为3.答案:315.解析:四棱锥P ABCD的体积为V=PD·S正方形ABCD=×1×22=,如图所示,易证PD⊥AD,PD⊥CD,PA⊥AB,PC⊥BC,所以四棱锥P ABCD的表面积为S=2××2×1+2××2×+22=6+2, 所以四棱锥P ABCD的内切球的半径为R===,因此,此球的最大表面积为4πR2=4π×()2=(14-6)π.答案:(14-6)π16.解析:函数f(x)=ax+sin x,g(x)=f(x)+f′(x)=ax+sin x+cosx+a,g(x)=f(x)+f′(x)在区间[-,]上单调递增,g′(x)=a+cos x-sin x≥0,可得a≥sin(x-),x∈[-.],可得x-∈[-,],sin(x-)∈[-,1].所以a的最小值为1.答案:117.解:(1)由S3=9,得a1+a2+a3=9⇒a2=3.又因为a1,a2,a5成等比数列,所以=a 1a5,即=(a 2-d)(a2+3d)⇒d2-2d=0,解得d=2或d=0(舍去),所以a1=a2-d=1,故a n=2n-1.(2)由题意b n-a n=2n-1,所以b n=2n-1+a n=2n-1+2n-1,所以T n=(1+2+22+…+2n-1)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+=2n-1+n2. 18.解:(1)如图(1),在正方体内作出截面EFGHIJ(或画出平面图形),它的形状是一个边长为的正六边形,可以计算出它的面积为.(2)法一如图(2),连接B1D1交A1C1于O点,连接BD1,BO,BD,因为所求平面∥平面A1BC1,所以所求角等于BD1与平面A1BC1所成的角,因为平面A1BC1⊥平面B1D1DB,所以线BD1在平面A1BC1的投影为BO, 所以∠D1BO即为所求的角,在△BOD 1中,BD1=,D1O=,BO=,由余弦定理知cos∠D1BO=,所以cos θ=.法二以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系, 则A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),可求出平面A1BC1的法向量为n=(1,1,1),又因为=(-1,-1,1),所以cos n, =-,所以cos θ=.19.解:(1)P(S)=××=,P(T)==.(2)ξ的可能值为0,1,2.①考虑ξ=0的情形,首先A盒中必须取一个红球放入B盒,相应概率为,此时B盒中有2红2非红;若从B盒中取一红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有2红2非红,从C盒中只能取一个非红球放入A 盒,相应概率为;若从B盒中取一非红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有1红3非红,从C盒中只能取一个非红球放入A盒,相应概率为.故P(ξ=0)=×[×+×]=.②考虑ξ=2的情形,首先A盒中必须取一个非红球放入B盒,相应概率为,此时B盒中有1红3非红;若从B盒中取一红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有2红2非红,从C盒中只能取一个红球放入A 盒,相应概率为;若从B盒中取一非红球放入C盒,相应概率为,则C盒中有1红3非红,从C盒中只能取一个红球放入A盒,相应概率为. 故P(ξ=2)=×[×+×]=.③P(ξ=1)=1--=.所以ξ的分布列为ξ0 1 2Pξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.20.(1)解:由椭圆定义可知,2a=|AF1|+|AF2|=+=4,所以a=2,因为c=,所以b=1,椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由可得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)>0,即4k2+1>m2,设E(x1,y1),F(x2,y2),又x1+x2=-,x1·x2=,所以·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)+km(-) +m2=0,所以4k2+4=5m2,因为d===,所以坐标原点O到直线l距离为定值.21.解:(1)f′(x)=(x-a)e x-x+a=(x-a)(e x-1),当a<0时,x∈(-∞,a)∪(0,+∞),f′(x)>0;x∈(a,0),f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.当a=0时,f′(x)≥0对x∈R恒成立,所以f(x)在R上单调递增.当a>0时,x∈(-∞,0)∪(a,+∞),f′(x)>0;x∈(0,a),f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)①当a≤0时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=-ae-+a=(1-e)a-<0,解得<a≤0.②当a>0时,由(1)知f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.当0<a≤1时,f(x)在[1,2]上单调递增.所以f(x)min=f(1)=-ae-+a=(1-e)a-<0对a∈(0,1]恒成立,则0<a≤1符合题意;当1<a<2时,f(x)在[1,a)上单调递减,在(a,2]上单调递增.所以f(x)min=f(a)=-e a+a2.设函数g(x)=-e x+x2,x∈(1,2),易得知x∈(1,2)时,x2∈(,2),-e x∈(-e2,-e),所以g(x)<0,故f(x)min=f(a)=-e a+a2<0对a∈(1,2)恒成立,即1<a<2符合题意.当a≥2时,f(x)在[1,2]上单调递减.所以f(x)min=f(2)=(1-a)e2-2+2a=(1-a)(e2-2)<0对a∈[2,+∞)恒成立,则a≥2符合题意.综上所述,a的取值范围为(,+∞).22.解:(1)C1:(x-2)2+y2=4,C2:x2+(y-2)2=4.(2)C1:ρ=4cos θ,联立极坐标方程θ=α,得ρA=4cos α.易得ρB=4sin α,所以|ρA-ρB|=4sin(α-)=2,所以sin(α-)=,因为0<α<π,所以α=π或π.23.解:(1)当a=-1时,g(x)=2|x|-1,f(x)≥g(x),即|x+1|≥2|x|-1,当x≥0时,x+1≥2x-1,即x≤2,此时0≤x≤2;当-1<x<0时,不等式等价为x+1≥-2x-1,即x≥-,此时-≤x<0;当x≤-1时,不等式-x-1≥-2x-1,得x≥0,此时无解.综上-≤x≤2,即不等式的解集为[-,2].(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,即|x+1|≥2|x|+a,则a≤|x+1|-2|x|有解即可,设h(x)=|x+1|-2|x|.则h(x)=由函数h(x)的图象(图略)可知,函数h(x)的最大值为h(0)=1,故要使a≤|x+1|-2|x|有解得a的取值范围为(-∞,1].仿真冲刺卷(三)1.D A={x|-3<x<1},B={x|x≥-1},所以A∪B={x|x>-3},∁U(A∪B)={x|x≤-3}.故选D.2.A 因为+z2=+(1+i)2=+2i=+2i=1-i+2i=1+i,所以选A.3.C 依题意可得q≠1,因为S3==6,S6==54,所以1+q3=9,所以q=2,故选C.4.B 因为a,b,c为正数,所以当a=2,b=2,c=3时,满足a+b>c,但a2+b2>c2不成立,即充分性不成立,若a2+b2>c2,则(a+b)2>c2+2ab>c2,由a,b,c为正数可得a+b>c成立,即必要性成立,则“a+b>c”是“a2+b2>c2”的必要不充分条件.故选B.5.D 向量=(3,-4),=(6,-3),=(3,1),=(2m,m+1),若∥,可得3m+3=2m,解得m=-3.故选D.6.B 由题意可知:这批米内夹谷约为1 534×≈169(石),故选B.7.C 由三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,其外接球与以俯视图为底面,以4为高的直三棱柱的外接球相同,且底面为底边长为4,高为2的等腰直角三角形,其外接圆的半径为2.由直三棱柱高为4,可得球心到底面距离为2,外接球半径为R==2,外接球的表面积S=4πR2=32π,故选C.8.C 因为y=是奇函数,向左平移一个单位得y=,所以y=图象关于(-1,0)中心对称,故排除A,D,当x<-2时,y<0恒成立,排除B.故选C.9.C 第1次执行循环体得k=2,S=a2+a3x0;第2次执行循环体得k=1,S=a1+(a2+a3x0)x0;第3次执行循环体得k=0,S=a0+(a1+(a2+a3x0)x0)x0,由于条件不成立,所以输出S.故选C.10.D 曲线x2+(y+2)2=1对应的圆心M(0,-2),半径r=1,作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,直线x-2y+1=0的斜率k=,则当P位于点(-1,0)时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|=-1=-1,当P位于(0,2)时,|PQ|取最大值,最大值为2+3=5.则|PQ|的取值范围是[-1,5].故选D.11.A 由题意可得F(,0),设P(,y 0)(y0>0),则=+=+=+(-)=+=(+,),可得k==≤=.当且仅当=时取得等号,选A.12.D 方程f(x)=kx+1有四个不相等的实根,等价于函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点,则x>0时有两个交点,x<0时有两个交点,易得①当直线y=kx+1与函数f(x)=-x2-x的图象相切时,k=或k=-(舍),所以有两个交点时,k>,②当直线y=kx+1与函数f(x)=2x-xln x的图象相切时,利用导数的几何意义可得k=1,有两个交点时,k<1,则函数f(x)的图象与直线y=kx+1有四个交点时,实数k的取值范围是<k<1,故选D.13.解析:由表格可知,==4,=258.将(,)代入方程,得258=3.8×4+a,所以a=242.8.答案:242.814.解析:因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x+1对称, (1,4)点与(3,2)点关于直线y=x+1对称,若g(1)=4,则f(3)=2,因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-2.答案:-215.解析:每行的第二个数构成一个数列{a n},由题意知a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,a n-a n-1=2(n-1)-1=2n-3,n≥3. 等式两边同时相加得a n-a2==n2-2n(n≥3),所以a n=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥3).当n=2时,a2=4-4+3=3符合上式,所以a n=n2-2n+3(n≥2).答案:n2-2n+316.解析:因为以(a n,S n)为坐标的点在曲线y=x(x+1)上,所以S n=a n(a n+1),即2S n=+a n,2S n+1=+a n+1,两式相减,得2a n+1=+a n+1-(+a n),即-a n+1=+a n,则-=a n+1+a n,又{a n}为正项数列,则a n+1-a n=1,又a1=1,即数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列, 则数列{a n}的通项公式为a n=n.答案:a n=n17.解:(1)在△ABC中,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,5=1+BC2+BC⇒BC2+BC-4=0,解得BC=,所以S △ABC=AB·BC·sin ∠ABC=×1××=. (2)因为∠BAD=90°,sin∠CAD=,所以cos∠BAC=,sin ∠BAC=,所以sin ∠BCA=sin (-∠BAC)=(cos∠BAC-sin ∠BAC)=×(-)=.在△ABC中,=,所以AC==,所以CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=5+16-2××4×=13,所以CD=.18.(1)证明:在梯形ABCD中,因为AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,所以四边形ABCD是等腰梯形,且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120°;所以∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°,所以AC⊥BC,又因为平面ACFE⊥平面ABCD,交线为AC,所以BC⊥平面ACFE.(2)解:由(1)知,以点C为原点,CA,CB,CF所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,a,0),A(a,0,0),D(,-a,0),F(0,0,a),E(a,0,a),则=(-a,0,0),=(0,-a,a),=(-a,,a),设平面BEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则令y1=1,则z1=1,得m=(0,1,1),设平面DEF的法向量为n=(x2,y2,z2),则令z2=1,则y2=-2,得n=(0,-2,1),所以cos<m,n>==-,又B EF D的平面角为锐角,即二面角B EF D的平面角的余弦值为.19.解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖”票或该节目可以获3张“获奖”票.因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为,且三人投票相互没有影响,所以某节目的投票结果是最终获一等奖的概率为P(A)=()2×+()3=.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=()3=,P(X=1)=()1()2=,P(X=2)=()2()1=,P(X=3)=()3=,所以X的分布列为X 0 1 2 3PE(X)=0×+1×+2×+3×=2.20.解:(1)由题意,椭圆的长轴长2a=4,得a=2,因为点(1,)在椭圆上,所以+=1得b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由直线l与圆O相切,得=1,即m2=1+k2,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0. 由题意可知圆O在椭圆内,所以直线必与椭圆相交,所以x1+x2=-,x1·x2=.y1·y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1·x2+km(x1+x2)+m2=k2·+km(-)+m2=,所以x1·x2+y1·y2=+=.因为m2=1+k2,所以x1·x2+y1·y2=.又因为·=-,所以=-,解得k2=,得k的值为±.21.(1)解:当a=0时,f(x)=e x(sin x-e),则f′(x)=e x(sin x-e)+e x cos x=e x(sin x-e+cos x), 因为sin x+cos x=sin(x+)≤<e,所以sin x+cos x-e<0,故f′(x)<0,则f(x)在R上单调递减.(2)证明:当x≥0时,y=e x≥1,要证明对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.则只需要证明对任意的x∈[0,+∞),sin x-ax2+2a-e<0. 设g(a)=sin x-ax2+2a-e=(-x2+2)a+sin x-e,看作以a为变量的一次函数,要使sin x-ax2+2a-e<0,则即因为sin x+1-e<0恒成立,所以①恒成立,对于②,令h(x)=sin x-x2+2-e,则h′(x)=cos x-2x,设x=t时,h′(x)=0,即cos t-2t=0.所以t=<,sin t<sin =,所以在(0,t)上,h′(x)>0,h(x)单调递增,在(t,+∞)上,h′(x)<0,h(x)单调递减,则当x=t时,函数h(x)取得最大值h(t)=sin t-t2+2-e=sin t-()2+2-e=sin t-+2-e=sin2t+sin t+-e=(+1)2+-e<()2+-e=-e<0,故②式成立,综上对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0.22.解:(1)因为C1的极坐标方程是ρ=,所以4ρcos θ+3ρsin θ=24,整理得4x+3y-24=0,所以C1的直角坐标方程为4x+3y-24=0.曲线C2:所以x2+y2=1,故C2的普通方程为x2+y2=1.(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3的方程为+=1, 则曲线C3的参数方程为(α为参数).设N(2cos α,2sin α),则点N到曲线C1的距离为d===(tan φ=)当sin (α+φ)=1时,d有最小值,所以|MN|的最小值为.23.解:(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x+2|,故f(x)=当x>1时,由2x+1≤5,得x≤2,故1<x≤2;当-2≤x≤1时,由3≤5,得-2≤x≤1,当x<-2时,由-2x-1≤5,得x≥-3,故-3≤x<-2,综上,不等式f(x)≤5的解集为[-3,2].(2)f(x)=|x-a|+x+≥(x-a)-(x+)=a+,所以g(a)=a+,因为a+=|a|+≥2=2,当且仅当|a|=,即a=±时,取“=”,所以g(a)min=g(±)=2.仿真冲刺卷(四)1.B 因为集合A={-3,-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1},所以A∩B={-1,0,1},故选B.2.C 因为z=(i+1)i=-1+i,所以复数z=(i+1)i在复平面内所对应的点为(-1,1),显然在直线y=-x上,故选C.3.D 命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”;命题“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,因此其逆否命题为假命题;命题“∃x∈R,使得2x2-1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2-1≥0”;“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”,为真命题.综上选D.4.D 因为抛物线x=上一点P到焦点F的距离为3,即P到准线x=-1的距离为3,所以点P到直线x=-2的距离为4,故选D.5.B 因为-=·,所以c2-a2=bccos A,所以c2-a2=bc·,化简可得:c2=a2+b2,所以△ABC是直角三角形.故选B.6.C 圆柱的底面直径为2,高h1为2,圆锥的底面直径为2,高h2为1, 该几何体的体积V=V圆柱-2V圆锥=πr2h1-πr2h2=,故选C.7.A 因为f(x)=ln x-2x+3,所以f′(x)=-2,所以切线斜率k=f′(1)=-1,且f(1)=1,所以曲线f(x)=ln x-2x+3在点(1,1)处的切线方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选A.8.A 作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(2,0),B(2,1),C(0,1).设z=F(x,y)=x-y,将直线l:z=x-y进行平移,可得当l经过点C时,z取到最小值;l经过点A时,z取到最大值,所以z最小值=F(0,1)=-1,z最大值=F(2,0)=2.所以z=x-y的取值范围是[-1,2].故选A.9.C 初始值k=9,S=1,是,第一次循环:S=,k=8,是,第二次循环:S=,k=7,是,第三次循环:S=,k=6,是,第四次循环:S=,k=5,否,输出k=5.故选C.10.D =π⇒ω==1,f(x+)=f(-x),则x=为对称轴,所以Asin(+φ)取最值,所以+φ=+kπ,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=.因此f(-x)=Acos x为偶函数且在x=0处取得最大值.故选D.11.A 连接AC,并取其中点为O,连接OM,ON,则OM∥BC,ON∥PA,所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角.由MN=BC=4,PA=4,得OM=2,ON=2,MN=4,cos∠ONM===,所以∠ONM=30°,即异面直线PA与MN成30°的角.故选A.12.B 因为函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,所以函数y=xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),所以当x∈(-∞,0)时,[xf(x)]′=f(x)+xf′(x)<0,函数y=xf(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,函数y=xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<ln 2<1,=2,所以0<ln 2<20.2<,所以b>a>c,故选B.13.解析:因为a=(3,3),b=(-2,m),所以a-b=(5,3-m),所以a·(a-b)=15+3(3-m)=21,解得m=1.答案:114.解析:完成给图中A、B、C、D四个区域进行染色,最少需要2种颜色,若使用两种颜色,则B,C,D三个区域同色,共有=12种不同染色方法;若使用三种颜色,则B,C,D有两个区域同色,共有=72种不同染色方法;若使用四种颜色,共有=24种不同染色方法;共有12+72+24=108(种)不同的染色方法.答案:10815.解析:a=sin xdx=-cos x=2,所以二项式的展开式的通项公式为T k+1==(-1)k·26-k·x3-k,由3-k=0时,k=3,所以常数项为T4=(-1)3·23=-160.答案:-16016.解析:对于①,因为f(-x)=-x·sin (-x)=xsin x=f(x),所以函数为偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称,故①正确;对于②,因为当x=2kπ+(k∈Z)时,f(x)=x,随着x的增大函数值也在增大,所以不会是周期函数,故②错;对于③,取M=1,当x 0=时,f()=≥1;故③正确;对于④,因为f′(x)=sin x+xcos x,当x=2kπ+(k∈Z)时,f′(2kπ+)=1(k∈Z),f(2kπ+)=2kπ+(k∈Z),所以切线方程为y-2kπ-=x-2kπ-(k∈Z),即切线方程为y=x,所以函数f(x)的图象上至少存在三个点,使得该函数在这些点处的切线重合,故④正确.答案:①③④17.解:(1)由a3+a9=22,且a5,a8,a13成等比数列,得解得所以a n=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(2)b n====1+=1+(-),所以S n=1+(1-)+1+(-)+…+1+(-)=n+(1-)=n+.18.(1)证明:由题意知在等腰梯形ABCD中,AB∥CD, 因为E,F分别为AB,CD的中点,所以EF⊥AB,EF⊥CD,所以折叠后,EF⊥DF,EF⊥CF,因为DF∩CF=F,所以EF⊥平面DCF,又MC⊂平面DCF,所以EF⊥MC.(2)解:因为平面BEFC⊥平面AEFD,平面BEFC∩平面AEFD=EF,且EF⊥DF,所以DF⊥平面BEFC,所以DF⊥CF,所以DF,CF,EF两两垂直,以F为坐标原点,分别以FD,FC,FE所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为DM=1,所以FM=1,所以M(1,0,0),D(2,0,0),A(1,0,2),B(0,1,2),所以=(0,0,2),=(-1,1,0),=(-1,0,2),设平面MAB的法向量m=(x1,y1,z1),则取x1=1,得m=(1,1,0),设平面ABD的法向量n=(x2,y2,z2),则取z2=1,得n=(2,2,1),所以cos<m,n>===.所以二面角M AB D的余弦值为.19.解:(1)根据列联表可以求得K2的观测值:k==≈11.43>6.635,故有99%的把握认为满意程度与年龄有关.(2)据题意,该8名员工的贡献积分及按甲、乙两种方案所获补贴情况为:积分 2 3 6 7 7 11 12 12 方案甲 2 400 3 100 5 200 5 900 5 900 8 700 9 400 9 400方案乙 3 000 3 000 5 600 5 600 5 600 9 000 9 000 9 000 由表可知,“A类员工”有5名,设从这8名员工中随机抽取4名进行面谈,恰好抽到3名“A类员工”的概率为P,则P==.20.解:(1)因为椭圆长轴长为2,所以2a=2.所以a=.又因为椭圆过点(-,1),代入椭圆方程,得+=1.所以b2=.所以椭圆方程为+=1,即x2+3y2=5.(2)因为直线l过点C(-1,0)且斜率为k,所以直线方程为y=k(x+1).由得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.因为直线与椭圆相交,所以Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,即12k2+5>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为线段AB中点的横坐标是-,则x1+x2=2×(-)=-1.即x1+x2==-1,解得k=±.21.解:(1)f′(x)=x-=,其中x∈[1,e],①当a≤1时,f′(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,又因为f(1)=0,所以函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.②当a≥e2时,f′(x)≤0恒成立,f(x)单调递减,又因为f(1)=0,所以函数f(x)在区间[1,e]上有唯一的零点,符合题意.③当1<a<e2时,f(x)在[1,]上单调递减,在[,e]上单调递增, 又f(1)=0,所以使f(x)在[1,e]有唯一零点,则f(e)<0,所以a>,所以<a<e2.综上所述,a的取值范围是{a a≤1或a>}.(2)在[1,e]上存在一点x0,使得f(x0)<--x0-成立,等价于x0+-aln x 0+<0在[1,e]上有解,即函数g(x)=x+-aln x+在[1,e]上的最小值小于零.g′(x)=1---==,①当a+1≥e时,即a≥e-1时,g(x)在[1,e]上单调递减,所以g(x)的最小值为g(e),由g(e)=e+-a<0可得a>,因为>e-1,所以a>;②当a+1≤1时,即a≤0时,g(x)在[1,e]上单调递增,所以g(x)的最小值为g(1),由g(1)=1+1+a<0可得a<-2;③当1<a+1<e时,即0<a<e-1时,g(x)在[1,a+1]上单调递减,在[a+1,e]上单调递增,可得g(x)的最小值为g(a+1),因为0<ln(a+1)<1,所以0<aln(a+1)<a,g(a+1)=a+1+-aln(a+1)+=a+2-aln(a+1)>2, 所以g(1+a)<0不成立.综上所述:可得所求a的取值范围是(-∞,-2)∪(,+∞).22.解:(1)由题意得点M的直角坐标为(2,2),曲线C的一般方程为(x-1)2+y2=4,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,因为直线l过M且与曲线C相切,所以=2,即3k2+4k=0,解得k=0或k=-,所以直线l的极坐标方程为ρsin θ=2或4ρcos θ+3ρsin θ-14=0.(2)因为点N与点M关于y轴对称,所以点N的直角坐标为(-2,2),则点N到圆心C的距离为=,所以曲线C上的点P到点N的距离的最小值为-2,最大值为+2, 曲线C上的点P到点N的距离的取值范围为[-2,+2].23.解:(1)f(x)=|x+2|-|2x-1|=故f(x)>-5的解集为(-2,8).(2)由|b+2a|-|2b-a|≥|a|(|x+1|+|x-m|)(a≠0)能成立,即≥|x+1|+|x-m|能成立,令=t,则|t+2|-|2t-1|≥|x+1|+|x-m|能成立,由(1)知,|t+2|-|2t-1|≤,又因为|x+1|+|x-m|≥|1+m|,所以|1+m|≤,解得-≤m≤,即实数m的取值范围是[-,].仿真冲刺卷(五)1.C 图中的阴影部分是M∩P的子集,不包含集合S,包含集合S的补集,即是∁U S的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁U S.故选C.2.B z====-i,则|z|=1.故选B.3.C 1>-2不能推出1>|-2|,反过来,若x>|y|,则x>y成立,故为必要不充分条件.故选C.4.B 法一依题意知,点P在双曲线的左支上,根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2×3=6,所以|PF2|=6+3=9,故选B.法二根据双曲线的定义,得||PF2|-|PF1||=2×3=6,所以||PF2|-3|=6,所以|PF2|=9或|PF2|=-3(舍去),故选B.5.B y=sin(4x-)=sin[4(x-)],故要将函数y=sin 4x的图象向右平移个单位长度.故选B.6.C a-b=(1-m,3),又(a-b)⊥c,所以(a-b)·c=4(1-m)+3m=0,m=4.故选C.7.C由题意,几何体的直观图如图,是正方体的一部分四棱锥P ABCD,几何体的表面积为1×1+2××1×1+2××1×=2+.故选C.8.A 令F(x)=,因为f(x)为奇函数,所以F(x)为偶函数,由于F′(x)=,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,所以F(x)=在(0,+∞)上单调递减,根据对称性,F(x)=在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=0, f(1)=0,数形结合可知,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选A.9.A 因为f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sin(ωx+φ+)且函数的最小正周期为π,所以T==π,所以ω=2,即函数f(x)=sin(2x+φ+),又f(-x)=f(x),所以函数为偶函数,所以φ+=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,。

高考数学模拟试题含答案详解

高考数学模拟试题含答案详解

高考数学模拟试题含答案详解一、选择题1. 已知函数 $ f(x) = x^2 4x + 3 $，求 $ f(2) $ 的值。

答案：将 $ x = 2 $ 代入函数 $ f(x) $，得 $ f(2) = 2^2 4\times 2 + 3 = 1 $。

2. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1 = 3$，公差为 $d = 2$，求第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。

答案：等差数列的通项公式为 $a_n = a_1 + (n 1)d$，代入$a_1 = 3$ 和 $d = 2$，得 $a_n = 3 + (n 1) \times 2 = 2n + 1$。

3. 已知等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 $b_1 = 2$，公比为 $q = 3$，求第 $n$ 项 $b_n$ 的表达式。

答案：等比数列的通项公式为 $b_n = b_1 \times q^{n1}$，代入 $b_1 = 2$ 和 $q = 3$，得 $b_n = 2 \times 3^{n1}$。

4. 已知三角形的两边长分别为 $a = 5$ 和 $b = 8$，夹角为$60^\circ$，求第三边长 $c$。

答案：利用余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 2ab \cos C$，代入 $a = 5$，$b = 8$，$C = 60^\circ$，得 $c^2 = 5^2 + 8^2 2 \times5 \times 8 \times \cos 60^\circ = 49$，所以 $c = 7$。

5. 已知函数 $ g(x) = \frac{1}{x} $，求 $ g(x) $ 的定义域。

答案：由于 $x$ 不能为 $0$，所以 $g(x)$ 的定义域为 $x \neq 0$。

二、填空题1. 已知函数 $ h(x) = \sqrt{4 x^2} $，求 $ h(x) $ 的定义域。

答案：由于根号内的值不能为负，所以 $4 x^2 \geq 0$，解得$2 \leq x \leq 2$。

高三高考冲刺第二次考试数学(理)试题Word版含答案

高三高考冲刺第二次考试数学(理)试题Word版含答案

理科数学答案B CCDA BADBC BA10.C 【解析】相当于将砝码分成了十一个小组，第i组有i个i克砝码。

若从i组中不取砝码相当于1，若从i组中取一个砝码有i种取法，相当于i ix。

所以选C11．B 12．A【解析】由题意可知32)]()([+='+xexfxf x，即32])([+='xexf x，所以Cxxexf x++=3)(2，xexxxff-++=∴=)13()(,1)0(2，由)(xf的图像可以知道13. 1±14. 33112016201711220162017201720182018=⋅⋅=⋅⋅=abbbaaaaaaaa15. 2416.734；因为)(xf是奇函数，所以四边形的对角线交于坐标原点，ABCD的面积为三角形OAB的四倍，17.（【解析】（1）当111,13;2,215n n nn S n n Z a S S n-==-≥∈=-=-且…………4分所以=215na n-……………………….6分（2）7817,7,,n nn a a n a a+=≠当时，异号；同号201267782021122021781211111=112111()22682351Ta a a a a a a aa a a a a a a a++-++=++-=-+=18.【解析】（Ⅰ）证明：，，，.，为中点底面平面⊥PAB 面ABCD ……………6分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系xyz O -，则)3,0,0(P ，)0,3,1(-D ，)0,2,1(C ∴(0,0,3),(1,3,0),(1,2,3),(2,1,0)OP OD CP CD ==-=--=-设平面OPD 的一个法向量为),,(111z y x m =，平面PCD 的法向量为),,(222z y x =则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0m OD m OP 可得⎩⎨⎧=+-=0303111y x z ，取11=y ，得31=x ，，即，由可得，取，得，，即故二面角的余弦值为.……………12分19. 【解析】：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=---------1分 31==73070⨯频率组距， ----2分 设在区间[0，30）上，a =频率组距，则130)21011051701(=⨯+++a ，解得2101=a ，-----3分补充频率分布直方图如右图；分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71， ①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------8分②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；---------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>> ∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 20. 【解析】：（1）由12BF F ∆为等腰直角三角形可得b c =，直线1:BF y xb =+被圆222x y b +=所截得的弦长为2，所以2,a b c ===，所以椭圆的方程为22142x y +=……………4分 （2）若直线l 的斜率不存在，则132S == 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122242(2),1212km m x x x x k k -+=-⋅=++，121222()212my y k x x m k +=++=+由题意点O 为PAC ∆重心，设00(,)P x y ，则1201200,033x x x y y y ++++==，所以0120122242(),()1212km mx x x y y y k k =-+==-+=-++，代入椭圆22142x y +=得 22222222242121(12)(12)2k m m k m k k ++=⇒=++， …………………………………8分 设坐标原点O 到直线l 的距离为d ，则PAC ∆的面积1212133222S AC d x x x mm m =⋅=-⋅=-⋅====综上可得PAC ∆面积S……………………………………………12分 21. 【解析】（Ⅰ）解：易知ln (ln )|e ||ln ln |0a f a a a a a =---=， 即ln a 为函数()f x 的一个零点；………………………（2分）当ln x a ≥时，有e 0x a -≥，则()e (ln )x f x a a x a =---，从而()e 0x f x a '=-≥，在[ln )a +∞，上恒成立，当ln x a <时，有e 0x a -<，则()e (ln )x f x a a x a =-+-，从而()e 0x f x a '=->在(ln )a -∞，上恒成立．综上，函数()f x 在R 上单调递增，有唯一零点ln a ． ………………………（5分） （Ⅱ）证明：记12()()()h x f x f x =-，则12()()()h x f x f x '''=-，当21ln ln x a a >≥时，1221()(e )(e )0x x h x a a a a '=---=->恒成立；当12ln ln a x a <<时，12()(e )(e )x x h x a a '=-+-，令()0h x '≥得12ln2a a x +≥；当12ln ln x a a <≤时，1212()(e )(e )0x x h x a a a a '=---=-<恒成立；可知函数()h x 在区间12ln 2a a +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间12ln 2a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，则函数()h x 的最小值为121212121211112222ln ln ln ln ln 22222a a a a a a a a a a h a a a a a a a a +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12112212ln ln ()ln2a a a a a a a a +=+-+，………（8分） 从而只需证：1211221221ln ln ()ln()ln 22a a a a a a a a a a ++-+<-112212121ln ln ()ln()2ln 20a a a a a a a a a ⇔+-+++<，记2112212121()ln ln ()ln()2ln 2g a a a a a a a a a a =+-+++，则21a a >2212212()1ln (1ln())ln ln()0g a a a a a a a '=+-++=-+<恒成立，从而函数2()g a 在区间1()a +∞，上单调递减，则21()()g a g a <111111111ln ln ()ln()2ln 2a a a a a a a a a =+-+++111112ln 2ln 22ln 20a a a a a =-+=．综上：存在x ∈R ，使得1221()()()ln 2f x f x a a -<-． ………………………（12分） 22.解：（1）1C 的普通方程为4)2(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 4=，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=…………………………………………………………………………4分 （2）联立(0)θαρ=≥与1C 的极坐标方程得α22cos 16||=OAα222cos 124||||+=+OB OA ，∴)16,4(||||22∈+OB OA ………………………………………………………………………………….10分23.解析：（1）不等式()1f x x ≤+可化为2110x x x -+---≤设函数211y x x x =-+---，则23,1,124, 2.x x y x x x x -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤.令0y ≤，解得243x ≤≤……………………….5分 （2）()121(2)1f x x x x x =-+----=≥ 当且仅当(1)(2)0x x --≤即12x ≤≤时取等，故1k =. 假设存在符合条件的整数,a b ，则21a b +=12(2)(2)a b a b a b +=++44b aa b=++48+=≥ 当且仅当4b a a b =即11,42a b ==时取等号，所以12a b +的最小值为8. 所以，不存在正数,a b ,同时满足：122,4a b k a b+=+=……………10分第11页共11页。

高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案

高考数学(理科)二轮复习模拟试卷及答案

(1)当 a＝ 1， b＝－ 1 时，求使 f(x)≥ 2 2的 x 的取值范围； (2)若 f (x)≥ 312恒成立，求 a－ b 的取值范围．
答案及解析
1． 解析： 选 B.由题意得 A
＝
y
log
1 22
≤
y≤
log
24
＝ { y|－ 1≤ y≤ 2} ＝ [－ 1， 2]，又
B＝ { x|
x≤2} ＝ [0，4] ，
所以 cos α＝
2 22 ＋（
＝ 2 ＝ 6， 2） 2 6 3
所以 cos 2α＝ 2cos2 α－1
2
＝ 2×
6 3
－
1＝
1 3.
故选 D.
4． 解析： 选 A. 满足题意时，椭圆上的点 P(acos θ，bsin θ)到圆心 O(0， 0)的距离：
d2＝ (acos θ－0) 2＋ (bsin θ － 0)2＞ r 2＝ a2－ b2，
D.
13 π＋ 4
22
1
8．函数 f(x)＝ x＋ x ln |x|图象的大致形状为 (
)
9．已知一次函数 f(x)＝kx＋ b 的图象经过点 P(1，2)和 Q(－ 2，－ 4)，令 an＝ f(n)f(n＋ 1)，
n∈ N *，记数列
1 an 的前
n 项和为
Sn，当 Sn＝ 265时， n 的值等于 (
故 B 正确； C 显然错误；
对于
D ，周期
T＝2π＝ π，g
3π ＝－
2，
2
8
2
故图象不关于点 38π， 0 对称．
7．解析： 选 A. 由三视图可知， 该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体， 其中：

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析(理科)

2023年高考数学模拟考试卷及答案解析（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（）A ．1B ．1-C ．15D ．15-【答案】D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-，故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D.2．已知()f x =A ，集合{12}B x ax =∈<<R ∣，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,1]-B ．[1,1]-C ．(,2][1,)-∞-+∞ D ．(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】B【分析】先根据二次不等式求出集合A ，再分类讨论集合B ，根据集合间包含关系即可求解.【详解】()f x =A ，所以210x -≥，所以1x ≥或1x ≤-，①当0a =时，{102}B x x =∈<<=∅R∣,满足B A ⊆，所以0a =符合题意；②当0a >时，12{}B x x a a=∈<<R∣，所以若B A ⊆，则有11a≥或21a≤-，所以01a <≤或2a ≤-（舍）③当0<a 时，21{}B x x aa=∈<<R ∣，所以若B A ⊆，则有11a≤-或21a≥（舍），10a -≤<，综上所述，[1,1]a ∈-，故选：B.3．在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（1d ，单位：m ）与制动距离（2d ，单位：m ）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度v （单位：km/h ）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述1d ，2d 与v 的函数关系的是（）A ．1d v α=，2d =B ．1d v α=，22d v β=C ．1d =，2d v β=D ．1d =，22d vβ=【答案】B【分析】设()()1d v f v =，()()2d v g v =，根据图象得到函数图象上的点，作出散点图，即可得到答案.【详解】设()()1d v f v =，()()2d v g v =.由图象知，()()1d v f v =过点()40,8.5，()50,10.3，()60,12.5，()70,14.6，()80,16.7，()90,18.7，()100,20.8，()110,22.9，()120,25，()130,27.1，()140,29.2，()150,31.3，()160,33.3，()170,35.4，()180,37.5.作出散点图，如图1.由图1可得，1d 与v 呈现线性关系，可选择用1d v α=.()()2d v g v =过点()40,8.5，()50,16.2，()60,23.2，()70,31.4，()80,36，()90,52，()100,64.6，()110,78.1，()120,93，()()140,123，()150,144.1，()160,164.3，()170,183.6，()180,208.作出散点图，如图2.由图2可得，2d 与v 呈现非线性关系，比较之下，可选择用22d v β=.故选：B.4．已知函数()ln ,0,e ,0,x xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【分析】分段求出函数()1y f x =-的解析式，利用导数判断其单调性，根据单调性可得答案.【详解】当10x ->，即1x <时，ln(1)(1)1x y f x x-=-=-，221(1)ln(1)1ln(1)1(1)(1)x x x x y x x -⋅-+--+--'==--，令0'>y ，得1e x <-，令0'<y ，得1e 1x -<<，所以函数()1y f x =-在(,1e)-∞-上为增函数，在(1e,1)-上为减函数，由此得A 和C 和D 不正确；当10x -≤，即1x ≥时，1(1)(1)e x y f x x -=-=-，()11(1)e (1)e x x y x x --'''=-+-11e (1)e x x x --=---=1e (2)xx ---，令0'>y ，得2x >，令0'<y ，得12x ≤<，所以函数()1y f x =-在(2,)+∞上为增函数，在[1,2)上为减函数，由此得B 正确；故选：B5．若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x 满足()()21f x f x >，则()f x 至少有（）个单调区间.A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据单调性与极值之间的关系分析判断.【详解】若函数()f x 存在一个极大值()1f x 与一个极小值()2f x ，则()f x 至少有3个单调区间，若()f x 有3个单调区间，不妨设()f x 的定义域为(),a b ，若12a x x b <<<，其中a 可以为-∞，b 可以为+∞，则()f x 在()()12,,,a x x b 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，（若()f x 定义域为(),a b 内不连续不影响总体单调性），故()()21f x f x <，不合题意，若21a x x b <<<，则()f x 在()()21,,,a x x b 上单调递减，在()21,x x 上单调递增，有()()21f x f x <，不合题意；若()f x 有4个单调区间，例如()1f x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，则()221x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得1x >或1x <-，则()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，在()()1,0,0,1-上单调递减，故函数()f x 存在一个极大值()12f -=-与一个极小值()12f =，且()()11f f -<，满足题意，此时()f x 有4个单调区间，综上所述：()f x 至少有4个单调区间.故选：B.6．已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则918222y x z x y --=+--的最小值为（）A ．132B ．372C ．12D ．2【答案】A【分析】由约束条件作出可行域，求出22y t x -=-的范围，再由91821922y x z t x y t --=+=+--结合函数的单调性求得答案．【详解】解：令22y t x -=-，则91821922y x z t x y t --=+=+--，由10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩作出可行域如图，则()()()2,12,1,0,1A B C ---，设点()(),2,2P x y D ，，其中P 在可行域内，2=2PD y t k x -∴-=，由图可知当P 在C 点时，直线PD 斜率最小，min 121=022CD t k -==-∴当P 在B 点时，直线PD 斜率不存在，∴1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭∵19z t t =+在1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，∴当12t =时min 132z =．故选：A ．7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC⊥C ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交，故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCC D 的中心，作,PH BC QG CD ⊥⊥,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形，则PQ HG ∥,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确；C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥,而11C D CD ∥,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误；D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ，1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC Ì平面ABCD ，故1C C AC ⊥,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂ ，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ，由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误，故选∶B8．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(,)d P C .若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集{(,)1}D Pd P C =≤∣所表示的图形的面积为（）A ．36B ．36-C ．362π-D ．36π-【答案】D【分析】根据题意画出到曲线C 的距离为1的边界，即可得到点集的区域，即可求解.【详解】根据题意作出点集(){}|1D P d P C =≤，的区域如图阴影所示，其中四边形ADEC ，ABKM ，BCFG 为矩形且边长分别为1,6，圆都是以1为半径的，过点I 作IN AC ⊥于N ，连接A I ,则1NI =，30NAI ∠= ，所以AN =则HIJ 是以6-为边长的等边三角形，矩形ABKM 的面积1166S =⨯=，2π3DAM ∠=，扇形ADM 的面积为212ππ1233S =⨯⨯=，21sin 602ABC S AB =⨯⋅ 21622=⨯⨯，21sin 602HIJ S HI =⨯⋅ (21622=⨯-18=-，所以()1233ABC HIJ S S S S S =++- ()π363183=⨯+⨯+--36π=-.故选：D.9．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个节目，要求必须有人去，但去几个人自行决定．其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，则该宿舍同学的去法共有（）A ．15种B ．28种C ．31种D ．63种【答案】C【分析】满足条件的去法可分为两类，第一类甲乙都去，第二类甲乙都不去，再进一步通过分类加法原理求出各类的方法数，将两类方法数相加即可.【详解】若甲和乙两名同学都去，则去的人数可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以满足条件的去法数为0123444444C +C C +C C 16++=种；若甲和乙两名同学都不去，则去的人数可能是1人，2人，3人，4人，则满足条件去法有12344444C C +C C 15++=种；故该宿舍同学的去法共有16+15=31种．故选：C.10．已知椭圆C 的焦点为12(0,1),(0,1)F F -，过2F 的直线与C 交于P ，Q 两点，若22143,||5PF F Q PQ QF ==，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2255123x y +=B ．2212y x +=C ．22123x y +=D ．22145x y +=【答案】B【分析】由已知可设22,3F Q m PF m ==可求出所有线段用m 表示，在12PF F △中由余弦定理得1290F PF ︒∠=从而可求.【详解】如图，由已知可设22,3F Q m PF m ==，又因为114||55PQ QF QF m =∴=根据椭圆的定义212,62,3QF QF a m a a m +=∴=∴=，12223PF a PF a a a m=-=-==在12PF F △中由余弦定理得222222111116925cos 02243PQ PF QF m m m F PQ PQ PF m m+-+-∠===⋅⋅⋅⋅，所以190F PQ ︒∠=22222211229943213PF PF F F m m m a m b ∴+=⇒+=∴===⇒=故椭圆方程为：2212y x +=故选：B11．已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（）A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将方程的根的问题转化为函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ22666x m ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：D12．已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】构造函数()1=ln ef x x x -，0x >，利用导函数得到其单调性，从而得到ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，变形后得到22ln2ex x ≤，当x =0.7x =后得到b c <；再构造()1=e x g x x --，利用导函数得到其单调性，得到1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，变形后得到21e 2x x ->，当0.5x =时，等号成立，令0.7x =得到a c >，从而得到a cb >>.【详解】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x '-，当0e x <<时，()0f x ¢>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98ee<⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=ex g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【点睛】构造函数比较函数值的大小，关键在于观察所给的式子特点，选择合适的函数进行求解.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设i ，j 是x ，y 轴正方向上的单位向量，23a b i j -=- ，3119a b i j +=+，则向量a，b的夹角为______．【答案】π4【分析】分别求出a ，b 的表达式，利用定义求出a ，b 的夹角即可.【详解】23a b i j -=-①，3119a b i j +=+②,3⨯+①②得714,2a i a i =∴=，2-⨯+②①得72121,33b i j b i j -=--∴=+ ，()22·33666a b i i j i i j ⋅=+=+⋅=2,a b ==cos ,2a b a b a b ⋅∴==⋅π,4a b ∴=14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为2c ，过C 的右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点，O 为坐标原点，若cos b c AFO =∠且3FB FA =，则C 的渐近线方程为__________.【答案】y =【分析】根据题设条件确定AB OA ⊥，进而可确定OA a FA b ==，，从而在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，结合正切的二倍角公式求解.【详解】因为3FB FA =，画出示意图如图，设AOF α∠=，因为cos b c AFO =∠，则cos b AFO c∠=，所以222sin a AFO c∠=，则sin a AFO c ∠=，所以tan aAFO b ∠=.又tan b a α=，所以π2AFO α∠+=，所以AB OA ⊥，根据sin ,cos OA FA a bAFO AFO c c c c ∠==∠==，所以OA a FA b ==，.又因为3FB FA，所以2AB b =.在直角△AOB 中，()2tan tan π2bAOB aα∠=-=，所以222222tan tan21tan 1bb a b a aααα=-==--，化简得：222b a =，所以b a =则渐近线方程为：y =，故答案为:y =.15．已知数列{}n a 满足首项11a =，123n n na n a a n ++⎧=⎨⎩，为奇数，为偶数，则数列{}n a 的前2n 项的和为_____________．【答案】4344n n ⨯--【分析】当n 为奇数时，由递推关系得()21332n n n a a a ++==+，构造{}3n a +为等比数列，可求出通项，结合12n n a a +=+即可分组求和.【详解】当n 为奇数时，()21332n n n a a a ++==+，即()2333n n a a ++=+，此时{}3n a +为以134a +=为首项，公比为3的等比数列，故()123212413333343333n nn n n n a a a a a a a a ----++++=创创+=+++，即12433n n a -=´-.()()()2123421211332121222n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=++++++=+++++++++ ()()01113212224334334332n n a a a n n--=++++=´-+´-++´-+ ()03132432434413nnn n n 骣-琪=´-+=´--琪琪-桫.故答案为：4344n n ⨯--【点睛】本题解题关键是根据题意找到相邻奇数项或偶数项之间的递推关系，从而求出当n 为奇数或n 为偶数时的通项公式，再通过相邻两项的关系求出前2n 项的和．16．在三角形ABC 中，2BC =，2AB AC =，D 为BC 的中点，则tan ADC ∠的最大值为___________.【答案】43##113【分析】设出AC x =，则2AB x =，由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，从而得到cos ADC ∠关系得到223x <<，换元后得到cos ADC ∠，由基本不等式求出最小值，结合()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，可求出tan ADC ∠的最大值.【详解】设AC x =，则2AB x =，因为D 为BC 的中点，2BC =，所以1BD DC ==，由三角形三边关系可知：22x x +>且22x x -<，解得：223x <<，在三角形ABD 中，由余弦定理得：()2212cos 2AD x ADB AD+-∠=，在三角形ACD 中，由余弦定理得：221cos 2AD x ADC AD+-∠=，因为πADB ADC ∠+∠=，所以()2222121cos cos 022AD x AD x ADB ADC ADAD+-+-∠+∠=+=，解得：22512AD x =-，由余弦定理得：225112cos x x ADC -+-∠=223x <<，令2511,929x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则3cos 5ADC ∠=，当且仅当1t t=，即1t =时，等号成立，此时25112x -=，解得：x =因为3cos 05ADC ∠≥>，故π0,2ADC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，由于()cos f x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()tan g x x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，故当cos ADC ∠取得最小值时，tan ADC ∠取得最大值，此时4sin 5ADC ∠=，4tan 3ADC ∠=.故答案为：43.【点睛】三角形中常用结论，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-，()tan tan A B C +=-，本题中突破口为由πADB ADC ∠+∠=得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理得到22512AD x =-，进而利用基本不等式求最值.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）数列{}n a 满足35a =，点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足233n n S b =-，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤．【答案】(1)21n a n =-；3nn b =(2)存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k n ka ab b ≤【分析】（1）根据等差数列的定义可得{}n a 为等差数列，由,n n S b 的关系可得{}n b 为等比数列，进而可求其通项，（2）根据数列的单调性求解最值即可求解.【详解】（1）点()1,n n P a a +在直线20x y -+=上，所以12n n a a +-=又35a =，∴11a =，则数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．∴21n a n =-又当1n =时，11233S b =-得13b =，当2n ≥，由233n n S b =-①，得11233n n S b --=-②由①－②整理得：13n n b b -=，∵130b =≠，∴10n b -≠∴13nn b b -=，∴数列{}n b 是首项为3，公比为3的等比数列，故3nn b =（2）设213nn n na n cb -==，由111121212163443333+++++-+-+--=-==n n n n n n n n n n nc c当1n =时，12c c =，当2n ≥时，1n n c c +<，所以当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b≤18．（12分）如图，将等边ABC 绕BC 边旋转90︒到等边DBC △的位置，连接AD．(1)求证：AD BC ⊥；(2)若M 是棱DA 上一点，且两三角形的面积满足2BMD BMA S S = ，求直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】（1）取BC 中点为O ，证明BC ⊥平面AOD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BM 与平面ACD 所成角的正弦值．【详解】（1）设O 是BC 的中点，连接AO ，DO ，由题知：AB AC =，DB DC =，则BC AO ⊥，BC DO ⊥，又AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂平面AOD ，所以BC ⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，所以AD BC ⊥．（2）由题知，OA 、BC 、OD 两两垂直，以O 为原点，,,OA OB OD方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，因为2BMD BMA S S = ，所以13AM AD =，设2AB a =，则OA OD ==，则),0,0A，()0,,0B a ，()0,,0C a -，()D，33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．所以),,0CA a =，),0,DA =，,BM a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =r，则00n CA ay n DA ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，可得()1,n = ，设直线BM 与平面ACD 所成的角为θ，则sin cos ,BM n θ=BM n BM n⋅==⋅所以直线BM 与平面ACD.19．（12分）甲、乙两位选手参加一项射击比赛，每位选手各有n 个射击目标，他们击中每一个目标的概率均为12，且相互独立．甲选手依次对所有n 个目标进行射击，且每击中一个目标可获得1颗星；乙选手按规定的顺序依次对目标进行射击，击中一个目标后可继续对下一个目标进行射击直至有目标未被击中时为止，且每击中一个目标可获得2颗星．(1)当5n =时，分别求甲、乙两位选手各击中3个目标的概率；(2)若累计获得星数多的选手获胜，讨论甲、乙两位选手谁更可能获胜．【答案】(1)516,116；(2)当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.【分析】（1）根据独立重复试验可计算甲击中3个目标的概率，由相互独立事件的概率计算公式可得乙击中3个目标的概率；（2）设X 为甲累计获得的星数，Y 为乙累计获得的星数，分别计算期望，分别讨论1,2,3n =及4n ≥的(),()E X E Y ，得出结论.【详解】（1）当5n =时，甲击中3个目标的概率为33215115C ()()2216P =⨯⨯=，乙击中3个目标，则前3个目标被击中，第4个目标未被击中，其概率为32111()2216P =⨯=.（2）设X 为甲累计获得的星数，则0,1,2,,X n = ，设Y 为乙累计获得的星数，则0,2,4,,2Y n = ，设击中了m 个目标，其中0m n ≤≤，则甲获得星数为m 的概率为C 11()C ()()222m m m n m nnn P X m -===，所以甲累计获得星数为0120C 1C 2C C ()2nn n n nnn E X ⋅+⋅+⋅++⋅= ;记01010C 1C C C (1)C 0C n n n n n n n n n S n n n =⋅+⋅++⋅=⋅+-⋅++⋅ ，所以0112(C C C )2,2n n n n n n n n S n n S n -=+++=⋅=⋅ ，所以12()22n n n nE X -⋅==,乙获得星数为2(01)m m n ≤≤-的概率为1111(2)()222m m P Y m +==⋅=，当m n =时，1(2)2nP Y m ==，所以乙累计获得星数为230242(1)2()22222n n n n E Y -=+++++ ，记230242(1)2222n n n T -=++++ ，则121242(1)20222n n n T --=++++ ，所以12111112(1)122()222222n n n n n n n n T T T ---+=-=+++-=- ，11()22n E Y -=-，当1n =时，1()()12E X E Y =<=，当2n =时，3()1()2E X E Y =<=，当3n =时，37()()24E X E Y =<=，当4n ≥时，()2()E X E Y ≥>所以当1,2,3n =时，乙更可能获胜；当4n ≥时，甲更可能获胜.20．（12分）已知抛物线2y =的焦点与椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>的右焦点重合，直线1:1x y l a b+=与圆222x y +=相切．(1)求椭圆Ω的方程；(2)设不过原点的直线2l 与椭圆Ω相交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，射线OM 与椭圆Ω相交于点P ，且O 点在以AB 为直径的圆上，记AOM ，BOP △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎣⎦【分析】（1）根据条件建立关于,a b 的方程组，即可求解椭圆方程；（2）根据数形结合可知12AOM BOP OMS S S S OP==△△，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论12S S 的值或范围.【详解】（1）∵抛物线2y =的焦点为)，∴c =从而223a b =+①，∵直线1:1x yl a b+=与圆222x y +==②，由①②得：ab ，∴椭圆Ω的方程为：22163x y +=（2）∵M 为线段AB 的中点，∴12AOM BOP OMS S S S OP==△△，（1）当直线2l 的斜率不存在时，2l x ⊥轴，由题意知OA OB ⊥，结合椭圆的对称性，不妨设OA 所在直线的方程为y x =，得22Ax =，从而22Mx =，26P x =，123M P OM x S S OP x ∴===（2）当直线2l 的斜率存在时，设直线()2:0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y 由22163y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222214260k x kmx m +++-=，由()()222216421260k m k m ∆=-+->可得：22630k m -+>（*）∴122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+，∵O 点在以AB 为直径的圆上，∴0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，∴()()221212121210x x y y k x x km x x m +=++++=，即()22222264102121m km k km m k k -⎛⎫+⨯+-+= ⎪++⎝⎭，2222,m k ⇒=+（**）满足（*）式．∴线段AB 的中点222,2121kmm M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若0k =时，由（**）可得：22m =，此时123OM S S OP ∴===，若0k ≠时，射线OM 所在的直线方程为12y x k=-，由2212163y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：2221221P k x k =+，12M POM x S S OP x ∴===随着2k 的增大而减小，∵0k ≠，∴20k >，∴1233S S ⎛∈ ⎝⎭综上，1233S S ∈⎣⎦【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．（12分）已知函数()e xf x ax a=--(1)当1a =时，证明:()0f x ≥.(2)若()f x 有两个零点()1212,x x x x <且22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，求12x x +的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦【分析】（1）()e 1x f x x =--，求导得min ()(0)0f x f ==，则()0f x ；（2）由题得11e x ax a =+，22e xax a =+，则21211e1x x x x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，则()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，从而设21[ln 2,2]t x x =-∈，得到()121e 2e 1t tt x x +++=-，利用导数研究函数()1e ()e 1ttt g t +=-的值域，则得到12x x+的范围.【详解】（1）证明:当1a =时,()e 1x f x x =--,则()e 1x f x '=-.当(,0)x ∈-∞时,()0f x '<,当,()0x ∈+∞时,()0f x '>,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,则min ()(0)0f x f ==,故()0f x .（2）由题意得1212e e 0x xax a ax a --=--=，则11e x ax a =+，22e xax a =+，从而21211e 1x xx x -+=+，()1212e e 2x x a x x +=++，()2121e e x x a x x -=-，故()()()()12212121212112e e 1e 2e ee1xx x x x x x x x x x x x x ---+-+++==--，因为22112,e 1x x +⎡⎤∈⎣⎦+，所以212e 2,e x x -⎡⎤∈⎣⎦，即[]21ln 2,2x x -∈，设21[ln 2,2]t x x =-∈,则()121e 2e 1t t t x x +++=-.设()1e ()e 1t tt g t +=-,则()22e 2e 1()e1t t tt g t --'=-.设2()e 2e 1t t h t t =--,则()()2e e 1t th t t '=--，由（1）可知()()2e e 10t th t t '=--在R 上恒成立,从而2()e 2e 1t t h t t =--在[ln 2,2]上单调递增,故min ()(ln 2)44ln 210h t h ==-->,即()0g t '>在[]ln 2,2上恒成立,所以()g t 在[ln 2,2]上单调递增,所以()212221e 23ln 2,e 1x x ⎡⎤+⎢⎥++∈-⎢⎥⎣⎦,即12243ln 22e 1,x x ⎡⎤+∈-⎢⎣-⎥⎦,即12x x +的取值范围为243ln 22,e 1⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过变形用含21x x -的式子表示出122x x ++，即()()212121121e 2e1x x x x x x x x ---+++=-，然后整体换元设21[ln 2,2]t x x =-∈，则得到()121e 2e 1t t t x x +++=-，最后只需求出函数()1e ()e 1tt t g t +=-在[ln 2,2]t ∈上值域即可.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)2±【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则1212221cos 4sin t t t t αα+==-+，∵2AM MB =，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a 、b 、c 为正数，且b c c a a ba b c+++≤≤.证明：(1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111abc≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥等式的基本性质可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a ba b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤，所以，111a b c≤≤，因为函数1y x =在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥，2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥+≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c+++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。

高优二轮仿真试卷数学理答案m

高优二轮仿真试卷数学理答案m

2 n. 综上所述b 2 n. n= 1 1 . n n+ 1
a 2 n1 , 因为a 即a = 1 2 . 1= n= q 2 因为S 故当n= n+ n, 1时 , b S1= 2 . n= 1= 2 2 ) 当nȡ 2 时, b S S n + n- ( n1 -( n-1) = n= nn1=
2 x2 y 故椭圆 C 的方程为 + = 1 . 4 3 ( ) 由题意, 直线 A 可设直线 A 2 B 的斜率存在, B 的方程为
{
8 k m 4 m21 2 ,1 ʑ x1+ x2= x2= 2x 2 . 3 + 4 k 3 + 4 k ȵ直线 MA 与 MB 斜率之积为
(
)
)
y y 1 1 ㊃ 2 = . ʑ x12 x22 4 ( ( ) ( ) ʑ 4 k x1+m ) k x2+m ) =( x12 x22 .
] ( ) 1 1 = 2(x - - (x + )l nx ) , x x 1 1 令 F( x) = 2(x- - (x+ )l nx ) , x x ( ( 2 1 + x) 1 x) l nx 1 , 则有 F '( x) = 2( ( nx ) = 1)l x x 1 1 , 当xɪ (0 在 (0 , ] 时, , ] 上单调递减, F '( x) < 0 F( x) e e 4 1 1 1 的最小值为 F ( F( x) = 2( e + + e) = , e e) e e
2 , a- a 0 1< , , 所以f 在( 单调递增; '( x) > 0 x) 0 +ɕ) f( ( ) , ( , 在( 单调递增; ②当1 ɤ aɤ 1时 , ' x ȡ 0 x 0 +ɕ) f f ) 2 , , 令 m( 得x1=①当a> 1时 , x) = 0 a+ a 0 x2= 1<

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案)

高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。

2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，请只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。

2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)

2023年全国新高考仿真模拟卷(二)数学试题(含答案解析)

2023年全国新高考仿真模拟卷（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2|log 1A x x =<，{}2|20B x x x =--<，则B A =ð（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣1，0]C ．（﹣1，2）D ．（﹣1，0）2．已知复数11i z =+，22i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．函数()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()lg f x x x =-，则()100f -=（）A ．98B ．98-C ．90D ．90-4．小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为13和14，且两人同时加班的概率为16，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（）A ．112B ．12C ．23D ．345．若22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值为（）A ．B C ．2D ．2+6．如图所示，在ABC 中，2B A =，点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，ACD BCD ∠=∠，则cos A 等于（）A ．23B ．34C ．35D ．457．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，398S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是（）A ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．已知x ∈R ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．233,2342⎛⎤⎡⎫ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭二、多选题9．体育王老师记录了16名小学生某周课外体育运动的时长（单位：h ），记录如下表．运动时长456789运动人数122452则这16名小学生该周课外体育运动时长的（）A ．众数为8B ．中位数为6.5C ．平均数为7D ．标准差为210．已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）A ．//m α，//n β，且//m n ，则//αβB ．//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C ．m α⊥，n β⊥，且//m n ，则//αβD ．m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥11．设1F ，2F 分别为椭圆221259x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1PF k ，2PF k 表示直线1PF ，2PF 的斜率，则下列说法正确的是（）A ．存在点P ，使得17PF =成立B ．存在点P ，使得1290F PF ∠=︒成立C ．存在点P ，使得217PF PF k k =成立D ．存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立12．设函数()sin 2sin cos xf x x x=+，则（）A ．()f x 的一个周期为πB ．()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =三、填空题13．在平行四边形OACB 中，E 是AC 的中点，F 是BC 边上的点，且3BC BF =，若OC mOE nOF =+，其中m ，n ∈R ，则m n +的值为______．14．请写出与曲线()sin f x x =在()0,0处具有相同切线的另一个函数：______．15．Rt ABC △中，其边长分别为3，4，5，分别以它的边所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的几何体的体积之和为______．16．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线右支上任意一点，若212PF PF 的最小值为2c，c ，则该双曲线的离心率是______．四、解答题17．设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且对*n ∀∈N ，kn n a S b n c +=⋅+恒成立，其中b ，k ，c 均为常数．(1)当0b =时，求数列{}n a 的通项公式；(2)当1k =时，若数列{}n a 为等差数列，求b ，c 的值．18．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为钝角．若ABC 的面积为S ，且()2224bS a b c a =+-．(1)证明：2B A π=+；(2)求sin sin A C +的最大值．19．某校团委针对“学生性别和喜欢课外阅读”是否有关做了一次不记名调查，其中被调查的全体学生中，女生人数占总人数的13．调查结果显示，男生中有16的人喜欢课外阅读，女生中有23的人喜欢课外阅读．(1)以频率视为概率，若从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，求其中恰有2人喜欢课外阅读的概率；(2)若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，求被调查的男生至少有多少人？附：()20P k χ≥0.0500.0100k 3.8416.635()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．20．如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB 的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．21．已知点M 是抛物线()2:20C x py p =>的对称轴与准线的交点，过M 作抛物线的一条切线，切点为P ，且满足2PM =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过()1,1A -作斜率为2的直线与抛物线C 相交于点B ，点()0,T t ()0t >，直线AT 与BT 分别交抛物线C 于点E ，F ，设直线EF 的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t k λ=？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()()22ln xf x x a a x=--∈R ．(1)求函数()f x 的极值；(2)当11a <时，若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >．①证明：12ln ln x x -<②证明：1201x x <<．参考答案：1．B【分析】解对数不等式化简集合A ，解一元二次不等式化简集合B ，根据补集运算可得结果.【详解】∵集合{}{}2|log 1|02A x x x x =<=<<，{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<，∴{}|10B A x x =-<≤ð，故选：B.【点睛】本题主要考查了对数与二次不等式的求解以及集合的补集运算.属于基础题.2．D【分析】求出12z z ⋅的代数形式，然后根据其实部为零，虚部不为零列式计算即可.【详解】 复数11i z =+，22i z a =+，∴()()()121i 2i 22i z z a a a ⋅=++=-++，12z z ⋅为纯虚数，20a ∴-=且20a +≠，2a ∴=.故选：D.3．A【分析】直接利用函数奇偶性及0x >时的解析式计算即可.【详解】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以()()100100f f -=-，又当0x >时，()lg f x x x =-，所以()()()100100lg10010098f f -=-=--=.故选：A.4．C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A ，“小陈加班”为事件B ，则()()()111,,436P A P B P AB ===，故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为()()()2|3P AB P B A P A ==.故选：C.5．D【分析】先利用倍角公式降次，再利用两角和的公式展开后转化为用tan 2α表示的等式，然后解方程即可.【详解】22cos 1sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 1cos 21sin 23παα⎛⎫∴+-=+ ⎪⎝⎭，1cos 22sin 222ααα∴+=，又cos 20α≠，则12tan 22αα=，解得tan 22α=.故选：D.6．B【分析】根据三角形的边角关系，结合角平分线定理、二倍角公式、正弦定理即可求得cos A 的值.【详解】在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，又点D 在线段AB 上，且满足23AD BD =，所以332,555AD AB c BD c ===，又ACD BCD ∠=∠，由角平分线定理可得AC BC AD BD =，所以3255b ac c =，则32b a =，又2B A =，所以sin sin 22sin cos B A A A ==，则sin cos 2sin BA A=，由正弦定理得3sin 32cos 2sin 224aB b A A a a ====.故选：B.7．B【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由1220a a +=，398S =，列方程求出1,a q ，进而可求出n S ，结合指数函数的性质求出n S 的最大、小值，列不等式组即可求出a 的取值范围【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1220a a +=，398S =，所以121(12)09(1)8a q a q q +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得131,22a q ==-，所以31111,2221112111,22nnn n nn S n ⎡⎤⎧⎛⎫⎛⎫--⎢⎥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎝⎭⎛⎫⎣⎦==--=⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩为奇数为偶数，当x 为正整数且奇数时，函数1()12xy =+单调递减，当x 为正整数且偶数时，函数1()12xy =-+单调递增，所以1n =时，n S 取得最大值32，当2n =时，n S 取得最小值34，所以34322a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1324a -≤≤.故选：B.8．D【分析】设()[]x g x x=，根据已知作出()g x 的草图，分析已知函数()[]()0x fx ax x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，即可得出答案.【详解】函数()[]()0x f x a x x=-≠有且仅有2个零点，则[]x a x=有且仅有2个解，设()[],1,00,01nx n x n n g x xxx ⎧≤<+≠⎪==⎨⎪≤<⎩，根据符号[]x 作出()g x的草图如下：则2334a <≤或322a ≤<，故选：D.9．AC【分析】根据表格数据计算得到众数，中位数，平均数和标准差即可判断结果【详解】由题意，这组运动时长数据中8出现了5次，其余数出现次数小于5次，故众数为8，A 正确；将16小学生的运动时长从小到大排列为：4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9，则中位数为7772+=，故B 错误；计算平均数为142526475829716⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；方差为()()()()()()2222222147257267477587297216s ⎡⎤=-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦，所以标准差为s ==D 错误.故选：AC 10．CD【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，即可得到正确答案.【详解】A 选项，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；B 选项，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交，也可能平行，故B 错误；C 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ；即C 正确；D 选项，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α；又n β⊥，根据面面垂直的判定定理可得：αβ⊥，即D 正确.故选：CD.11．ABD【分析】根据椭圆的性质逐项进行分析即可判断.【详解】由椭圆方程221259x y +=可得：5,3a b ==，4c ==，对于A ，由椭圆的性质可得：129a c PF a c =-≤≤+=，又因为点P 在第一象限内，所以159a PF a c =<<+=，所以存在点P ，使得17PF =成立，故选项A 正确；对于B ，设点00(,)P x y ，因为12(4,0),(4,0)F F -，所以100(4,)PF x y =--- ，200(4,)PF x y =--，则2222212000009161616972525PF PF x y x x x ⋅=-+=-+-=- ，因为005x <<，所以20025x ≤≤，所以2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则1290F PF ∠=︒成立，故选项B 正确；对于C ，因为1004PF y k x =+，2004PF y k x =-，若217PF PF k k =，则00(316)0x y +=，因为点00(,)P x y 在第一象限内，所以000,0y x >>，则00(316)0x y +=可化为：03160x +=，解得：01603x =-<不成立，所以不存在点P ，使得217PF PF k k =成立，故选项C 错误；对于D ，由选项B 的分析可知：2120167(7,9)25PF PF x ⋅=-∈- ，所以存在点P ，使得127PF PF ⋅=成立，故选项D 正确，故选：ABD.12．BD【分析】利用诱导公式化简可得()()πf x f x +=-，可判断选项A ；利用换元法和函数的单调性，可判断选项B 和C ；利用诱导公式化简可得()π2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可判断选项D ．【详解】对A ：()()()()()()sin 2πsin 22πsin 2πsin πcos πsin cos sin cos x x xf x f x x x x xx x+++===-=-+++--+，故π不是()f x 的周期，A 错误；对B ：令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则2sin 22sin cos 1x x x t ==-，则211t y t t t-==-，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()πππ0,,sin 0,1424x x ⎛⎫⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y t t =-在()0,∞+上单调递增，故()f x 在ππ,44⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；对C ：∵π3π,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()π0,π4x +∈，∴(]πsin 0,14x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则(π0,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又∵1y tt =-在(上单调递增，且|2x y ，∴1y t t =-在(上最大值为2，即()f x 在π3π,44⎛⎫- ⎝⎭，C 错误；对D ：()()πsin 2sin π2πsin 22ππ2cos sin sin cos sin cos 22x x x f x f x x x x xx x ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭-=== ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 图象的一条对称轴为直线π4x =，D 正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：若()()f m x f n x +=-，则()f x 关于直线2m nx +=对称，特别地()()2f x f a x =-，则()f x 关于直线x a =对称；若()()2f m x f n x b ++-=，则()f x 关于点,2m n b +⎛⎫⎪⎝⎭对称，特别地()()20f x f a x +-=，则()f x 关于点(),0a 对称.13．75##1.4【分析】先以{},OA OB 为基底向量求,OE OF uu u r uuu r，联立求解可得6362,5555OA OE OB OF OE =-=-uu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r ，再结合OC OA OB =+，代入运算即可得答案.【详解】由题意可得：11,23OE OA AE OA OB OF OB BF OB OA =+=+=+=+uu u r uu r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r uu r，联立1213OE OA OB OF OB OA ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得63556255OA OE OB OF OE ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，∵636243555555OC OA OB OE OF OF OE OE OF ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu r uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则43,55m n ==，故75m n +=.故答案为：75.14．3y x x =+（答案不唯一）【分析】利用导数的几何意义可求得在()0,0处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，由此可得曲线方程.【详解】sin y x = 的导函数为cos y x '=，又sin y x =过原点，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线斜率cos 01k ==，sin y x ∴=在原点()0,0处的切线方程为y x =；所求曲线只需满足过点()0,0且在0x =处的导数值1y '=即可，如3y x x =+，231y x '=+ ，又3y x x =+过原点，3y x x ∴=+在原点处的切线斜率1k =，3y x x ∴=+在原点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:3y x x =+（答案不唯一）.15．188π5【分析】分类讨论旋转轴所在的直线，结合锥体的体积公式运算求解.【详解】由题意不妨设：3,4,5AB AC BC ===，边BC 上的高为h ，则1122AB AC BC h ⨯=⨯，可得125AB AC h BC ⨯==，若以边AB 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径14r =，高为3AB =，故此时圆锥的体积为2113π416π3V =⨯⨯⨯=；若以边AC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为圆锥，其底面半径23r =，高为4AC =，故此时圆锥的体积为2214π312π3V =⨯⨯⨯=；若以边BC 所在直线为旋转轴，则所形成的几何体为两个共底面的圆锥，其底面半径3125r h ==，高为12,h h ，且125h h BC +==，故所得几何体的体积为()22223132312311111248πππ5ππ333355V h r h r h h r ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+⨯⨯=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；故体积之和为4818816π12πππ55++=.故答案为：188π5.16．22+【分析】设2PF m =，则m c a ≥-，根据双曲线的定义12PF m a =+，故221244PF a m a PF m=++，分2a c a ≥-与2a c a <-讨论，结合“对勾”函数的性质可求出离心率.【详解】设2PF m =，则m c a ≥-，由双曲线的定义知122PF PF a -=，∴12PF m a =+，()22212244PF m a a m a PF mm+==++，当2a c a ≥-，即13a c ≥时，221244PF a m a PF m =++84823a a c c ≥=>>，不符合题意；当2a c a <-，即3ce a=>时，244a y m a m=++在[),m c a ∈-+∞上单调递增，所以当m c a =-时212PF PF 取得最小值，故2442a c a a c c a-++=-，化简得2240c ac a --=，即2410e e --=，解得2e =（舍）或2e =3e >.综上所述，该双曲线的离心率是2故答案为:2.17．(1)1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N (2)1b =，1c =【分析】（1）根据1n n n a S S -=-，结合已知等式得出112n n a a -=，即可得出数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，即可得出数列{}n a 的通项公式；（2）利用关系式得出1a 、2a 、3a ，再根据等差中项列式，即可得出答案.【详解】（1）令1n =，则11a S b c +=+，即12a b c =+，11a = ，0b =，2c ∴=，则2nn a S +=，即2n n S a =-，当2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，化简得112n n a a -=，而11a =，则数列{}n a 是以首项为1，公比为12的等比数列，则数列{}n a 的通项公式1*1,2n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，（2）当1k =时，n n a S nb c +=+，令1n =，则11a S b c +=+，则12a b c =+，11a = ，2b c ∴+=，令2n =，则222a S b c +=+，则2122a b c a =+-，2b c += ，11a =，221a b ∴=+，令3n =，则333a S b c +=+，则31223a b c a a =+--，2b c += ，11a =，212b a +=，33144b a ∴=+， 数列{}n a 为等差数列，2132a a a ∴=+，即311144b b +=++，解得1b =，则21c b =-=.18．(1)证明见解析(2)98【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得cos sin A B =，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将sin sin A C +转化为关于cos B 的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=得2222cos bc A b c a =+-，4412cos sin 2bS b bc A ac B a a ∴==⨯，cos sin A B ∴=，cos cos 2πA B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，B 为钝角，则,2πA B -均为锐角，2B A π∴-=，即2B A π=+；（2）2ππsin sin sin sin cos cos 22cos cos 122A C B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫+=-++-=--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令cos B t =，B 为钝角，则()1,0t ∈-，2219sin sin 21248A C t t t ⎛⎫∴+=--+=-++ ⎪⎝⎭，当14t =-，即1cos 4B =-时，sin sin A C +取最大值，且为98.19．(1)47108；(2)12.【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率，可得结论；（2）设出男生人数，列出22⨯列联表，根据2 3.841χ≥及,,236x x x均为整数即可求解.【详解】（1）从该校全体学生中随机抽取2名男生和2名女生，记其中恰有2人喜欢课外阅读为事件A ，则()222211221152151247C C 63636633108P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）设被调查的男生人数为x ,则被调查的女生人数为2x，则22⨯列联表为：喜欢课外阅读不喜欢课外阅读合计男生6x56x x 女生3x 6x 2x 合计2x x32x若有95%的把握认为喜欢课外阅读和性别有关，则2 3.841χ≥，即223526663 3.84122x x x x x x xx x χ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭≥≥⋅⋅⋅，则 3.841810.2433x ⨯≥≈，因为,,236x x x均为整数，所以被调查的男生至少有12人.20．(1)DE ∥平面ABC ，证明见解析；5【分析】（1）分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，EP DO ∥且EP DO =，再利用线面平行的判定定理，即可得到答案；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，求出向量1,22DH ⎛= ⎝⎭uuu r 及平面ACE 的法向量()1,0,2m =-，代入夹角公式，即可得到答案；【详解】（1）DE ∥平面ABC ，理由如下：分别取,AC BC 的中点,O P ，连接,,DO EP OP ，因为AD CD =，所以DO AC ⊥，又平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC ，同理EP ⊥平面ABC ，所以EP DO ∥，又因为,ACD BCE 是全等的正三角形，所以EP DO =，所以四边形DOPE 是平行四边形，所以DE OP ∥，因为ED ⊄平面ABC ，OP ⊂平面ABC ，所以ED ∥平面ABC ；（2）连接BO ，则易知BO ⊥平面ACD ，以O 为坐标原点，分别以,,OD OA OB的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，令2AC =.则()()())110,0,0,0,1,0,0,1,0,,0,,0,22O A C D H P ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,2DE OP E ⎫=∴-⎪⎪⎭所以()310,2,0,,2222AC AE DH ⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z =，所以·0·0m AC m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以203022y y -=⎧⎪-+=则0y =，取2z =，1x ∴=-，则()1,0,2m =-，所以cos ,DH m DH m DH m ===设直线DH 与平面ACE 所成的角为θ，则sin cos ,DH m θ==21．(1)2x y =(2)存在，32λ=【分析】（1）利用导数求得切线方程2002x x y x p p =-，根据切线方程过点0,2p M ⎛⎫-⎪⎝⎭求得220x p =，再结合两点间距离公式运算求解；（2）根据题意联立方程求点B 的坐标，再分别求直线,AT BT 的方程和,E F 的坐标，代入斜率公式运算求解即可.【详解】（1）∵抛物线()2:20C x py p =>，则20,,22p x M y p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴x y p'=，设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则在点P 处的切线斜率0x k p =，故在点P 处的切线方程为()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p =-，∵切线过点0,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2022x p p -=-，解得220x p =，则2PM ===，解得12p =，故抛物线C 的方程为2x y =.（2）存在，32λ=，理由如下：由题意可得：直线AB 的方程为()121y x -=+，即23y x =+，联立方程223y x x y=+⎧⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩，即直线AB 与抛物线的交点坐标为()()1,1,3,9A B -，∵直线AT 的斜率1k t =-，故其方程为()1y t x t =-+，联立方程()21y t x t x y⎧=-+⎨=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或2x ty t =⎧⎨=⎩，即点()2,E t t，又∵直线BT 的斜率93tk -=，故其方程为93t y x t -=+，联立方程293t y x t x y -⎧=+⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩或239t x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点2,39t t F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线EF 的斜率为222933t t k t t t λ-===+，则32λ=.【点睛】存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．22．(1)()f x 有极小值()11f a =-，无极大值(2)①证明见详解；②证明见详解【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可求极值；（2）对①：根据分析可得12ln ln x x -<12ln 0t t t-->，构建()12ln g x x x x =--，利用导数证明；对②：令11m x =，整理可得()112ln f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，结合()g x 的单调性证明()0f m <，再结合()f x 的单调性即可证明.【详解】（1）由题意可得：()()()3222ln 121ln 2x x x f x x x x +='--=-，∵()3ln 1F x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()10F =，∴当01x <<时，()0F x <，当1x >时，()0F x >，即当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得()f x 有极小值()11f a =-，无极大值.（2）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，则()110f a =-<，解得1a >，当111a <<时，则()()2422424e e 4e 0,e e 0ef a f a --=-+>=-->，结合()f x 的单调性可知：()f x 在()0,1，()1,+∞内均只有一个零点，则2101x x <<<，构建()12ln g x x x x =--，则()()22212110x g x x x x-'=-+=≥当0x >时恒成立，故()g x 在()0,∞+上单调递增，①令1t =>，则12ln ln x x -<1121ln x x x x -，等价于221ln t t t-<，等价于12ln 0t t t-->，∵()g x 在()1,+∞上单调递增，则()()10g t g >=，即12ln 0t t t-->，故12ln ln x x -<②若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x >，令()110,1m x =∈，即11x m=，则()21212ln1112ln 01m f x f a a m m m m m m⎛⎫⎛⎫==--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得212ln a m m m =+，故()2222ln 12ln 112ln 2ln m mf m m a m m m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+=+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()0,1m ∈，则10m m+>，∵()g x 在()0,1上单调递增，则()()10g m g <=，即12ln 0m m m--<，∴()112ln 0f m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=+--< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当()0,1m ∈时恒成立，又∵()f x 在()0,1上单调递减，且()()20f m f x <=，∴2m x >，即211x x >，故1201x x <<.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形．（2）构造新的函数h (x )．（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值．（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。

高三下学期仿真考试(二)数学(理)试题Word版含答案

高三下学期仿真考试(二)数学(理)试题Word版含答案

冀州市中学届仿真考试二理科数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}042>-=x x x M ，{}8<<=x m x N ，若{}n x x N M <<=6 ，则=+n mA 、10B 、12C 、14D 、16（ ）2、设是虚数单位，则2|(1)|i i+-=（ ） A 、2 B 、22 C 、3 D 、103、某小区有1000户，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的户数估计约为（ ） 【参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=(33)99.74%P μσξμσ-<<+=】A 、17B 、23C 、34D 、464、给出下列结论：①命题“1sin ,≠∈∀x R x ”的否定是“1sin ,=∈∃x R x ”；②命题“6πα=”是“21sin =α”的充分不必要条件；③数列}{n a 满足“n n a a 31=+”是“数列}{n a 为等比数列”的充分不必要条件。

其中正确的是（ ） A 、①② B 、①③ C 、②③ D 、①②③5、若数列{n a }满足11n a +－1=nd a （d N n ,*∈为常数），则称数列{n a }为调和数列．已知数列{1nx }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则516x x +等于（ ）A 、10B 、20C 、30D 、40 6、在边长为1的正方形ABCD 中，且BE AD μ=，CF AB μ=-，则AE AF ⋅=（ ）A 、－1B 、1C 、22μ-D 、21μ- 7、我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a 等于（ ）A 、2B 、4C 、6D 、8 8、函数的大致图像为（ ）9、不等式组的解集记为D ，，有下面四个命题： p 1：，；p 2：，；p 3：，；p 4：，。

高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷十答案

高考二轮复习仿真冲刺试卷：数学理科试卷十答案

高考百天仿真冲刺卷 数学(理)试卷（十）参考答案一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32， 11613. 222, (4(1), (4t tt t t ⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数) 14. ①② , 9三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分）解：（Ⅰ） 1()(1cos 2)222f x x x =++ωω ………………………2分 1sin(2)26x =++πω, …………………………3分 因为()f x 最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………………………4分 所以1()sin(2)62πf x x =++, ………………………… 5分所以21()32πf =-. …………………………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………………8分 所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈………………………10分由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈.所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26k πx πk Z =+∈. (13)分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,…………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， ……………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .………………………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, …………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，1(4,)3X B . ……………………………9分11分14()433EX =⨯=. ………………………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵AB AD ⊥，ABAD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………2分∵BD ==∴PO =12AO BD ==在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AO BD O =，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . (9)分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：ADOCPBE F(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,22E --，则11(,222OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC =. ∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； (9)分(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为(2,0,1)n =，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>== ∴直线CB 与平面PDC 所成角的正弦值为3. ………………………………………14分18. (共14分） 解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ………………………2分 所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x <所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减；…………………………………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x <所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ……………………………………………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x <所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减……………………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ……………………………2分 所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………………………………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ……………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………………………………6分 则216640k ∆=->，即||2k >. ………………………………7分 12124,16x x k x x +==. …………………………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+ 212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+……………………………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). ……………………………………13分20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A …………………………………2分0:1,0,1A …………………………………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………………………………5分 证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. ……………………………………………8分 (Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12kk k b l +=+， 所以22kk k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==--，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+4242k k k l l ---=+312l l =+ 上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+-，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kk k k l k ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数………………………………………………………………13分。

普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(二)及答案

普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(二)及答案

普通高等学校招生全国统一考试仿真卷（二）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是（ ）A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内()i 2i -对应的点位于第三象限C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ⋅∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解 2．在下列函数中，最小值为2的是（ ）A 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为（ ）A ．30B ．25C ．22D ．20 4．已知曲线421y x ax =++在点()()11f --，处切线的斜率为8，则()1f -=（ ） A ．7 B ．－4 C ．－7 D ．45．已知1=a ，=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ）A ．1 B6．某几何体由上、下两部分组成，其三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则该几何体上部分与下部分的体积之比为（ ）A 7．已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象的一个对称中心为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ）A ．1 C ．2 8．《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”，可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d 的值为33，则输出的i 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 9．在ABC △中，，若2AB =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A10．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，心O 到平面ABC 的距离是（ ） A11．设等差数列{}n a 满足：71335a a =，()22222244747456cos cos sin sin cos sin cos a a a a a a a a -+-=-+，公差()2,0d ∈-，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．100πB ．54πC ．77πD ．300π12．若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019届高考数学(理)二轮复习：仿真冲刺卷(含答案)

2019届高考数学(理)二轮复习：仿真冲刺卷(含答案)

仿真冲刺卷(一)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数z=+i5的共轭复数为( )(A)1-2i (B)1+2i (C)i-1 (D)1-i2.(2018·安徽淮北一模)已知A={x|x2-2x-3≤0},B={y|y=x2+1},则A∩B等于( )(A)[-1,3] (B)[-3,2] (C)[2,3] (D)[1,3]3.“x<0”是“ln(x+1)<0”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2018·吉林调研)从某校高三年级随机抽取一个班,对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计,其结果的频率分布直方图如图所示:若某高校A专业对视力的要求在0.9以上,则该班学生中能报A专业的人数为( )第4题图(A)30 (B)25 (C)22 (D)205.(2018·吉林三模)已知平面向量a,b的夹角为120°,且a·b=-1,则|a-b|的最小值为( )(A) (B) (C) (D)16.(2018·太原模拟)已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(0)=-f(),在(0,)上有且仅有三个零点,则ω可能为( )(A)(B)2 (C)(D)7.执行如图所示的程序框图,输出的S值为-4时,则输入的S0的值为( )第7题图(A)7 (B)8 (C)9 (D)108.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和是S n,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,且a4+a5=-20,则的最大值为( )(A)(B)1 (C)(D)29.(2018·上饶校级一模)观察下列各式:=2·,= 3·,=4·,…,若=9·,则m等于( )(A)80 (B)81 (C)728 (D)72910.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )第10题图(A)29π (B)30π (C) (D)216π11.已知O为坐标原点,点A的坐标是(2,3),点P(x,y)在不等式组所确定的平面区域内(包括边界)运动,则·的取值范围是( )(A)[4,10] (B)[6,9] (C)[6,10] (D)[9,10]12.(2018·湖北武汉二月调考)若函数f(x)=ae x-x-2a有两个零点,则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,) (B)(0,) (C)(-∞,0) (D)(0,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·泉州质检)已知椭圆C:+=1的左顶点、上顶点、右焦点分别为A,B,F,则·= .14.已知函数f(x)=4x+1,g(x)=4-x.若偶函数h(x)满足h(x)=mf(x)+ ng(x)(其中m,n为常数),且最小值为1,则m+n= .15.(2018·河南一诊)已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,当n≥2时,恒有ka n=a n S n-成立,若S99=,则k= .16.(2018·浙江高考全真模拟)设函数f(x)=(1)若a=1,则f(x)的最小值为;(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,bsin(-C)- csin(-B)=a.(1)求B和C;(2)若a=2,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD(如图(1))中,AB=4,BC=5,对角线AC=3,将△ACD沿AC所在直线折起至△ACP的位置(如图(2)),使二面角P AC B为60°,G,H分别是PA,PC的中点.(1)求证:PC⊥平面BGH;(2)求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)据某市地产数据研究院的数据显示,2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示.为抑制房价过快上涨,政府从8月份开始采取宏观调控措施,10月份开始房价得到很好的抑制.(1)地产数据研究院研究发现,3月至7月的各月均价y(万元/平方米)与月份x之间具有较强的线性相关关系,试建立y关于x的回归方程(系数精确到0.01);政府若不调控,以此相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价.(2)地产数据研究院在2018年的12个月份中,随机抽取三个月份的数据作样本分析.若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X,求X的分布列和数学期望.附:回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= ,=-.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b≥1)的离心率e=,且椭圆C过点P(2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)直线的l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.求△PAB面积的最大值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρ (sin θ+cos θ)+4=0.(1)写出直线l的极坐标方程;(2)求直线l与曲线C交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ <2π).23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.(1)若不等式f(x)≤2-|x-1|有解,求实数a的取值范围;(2)当a<2时,函数f(x)的最小值为3,求实数a的值.仿真冲刺卷(一)1.A 因为z=+i5,所以z=+i=i(1-i)+i=1+2i.所以=1-2i.故选A.2.D A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3},B={y|y=x2+1}={y|y≥1},则A∩B={x|1≤x≤3}=[1,3],故选D.3.B ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.4.D 50×(1.00+0.75+0.25)×0.2=20,故选D.5.A 由题意可知-1=a·b=|a||b|cos 120°,所以2=|a||b|≤,即|a2|+|b|2≥4,当且仅当|a|=|b|时等号成立,|a-b|2=a2-2a·b+b2=a2+b2+2≥4+2=6,所以|a-b|≥,所以|a-b|的最小值为.6.C 由f(0)=-f()得sin(-)=-sin(-),所以-=+2kπ或π+2kπ,k∈Z,所以ω=+4k或2+4k,k∈Z,又f(x)在(0,)上有且仅有三个零点.所以T<<1.5T,由f(x)=0得ωx-=nπ,n∈Z,x=+,n∈Z,当n=0时x=,当n=1时x=,当n=2时x=,当n=3时x=,所以<≤得<ω≤,由ω=+4k,当k=1时ω=.故选C.7.D 根据程序框图,知当i=4时,输出S,因为第一次循环得到:S=S0-2,i=2;第二次循环得到:S=S0-2-4,i=3;第三次循环得到:S=S0-2-4-8,i=4;所以S0-2-4-8=-4,解得S0=10.8.A设数列{a n}的公差为d(d≠0),则由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列得(a1+d+1)2=(a1+1)(a1+3d+1),得d=a1+1,再由a4+a5=2a1+7d=-20,解得a1=-3,d=-2,故a n=-2n-1,S n=-n2-2n,则==≤=,当且仅当n=1时取等号,所以的最大值为.9.C =2·=2·,=3·=3·,=4·=4·,…所以=n·,所以=9·=9·,所以m=93-1=729-1=728;故选C.10.A 由三视图复原几何体,几何体是底面为直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,把它扩展为长方体,两者有相同的外接球,它的对角线的长为球的直径d==,球的半径R=.该三棱锥的外接球的表面积S=4×π×()2=29π,故选A.11.C 设z=·,则z=2x+3y,作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+3y得y=-x+z,平移直线y=-x,由图象可知当直线y=-x+z经过点C(3,0)时,直线y=-x+z的截距最小,此时z最小,此时z min=2×3=6,直线y=-x+z经过点B时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大,由解得即B(2,2),此时z max=2×2+3×2=10,故6≤z≤10.故选C.12.D 函数f(x)=ae x-x-2a的导函数为f′(x)=ae x-1,当a≤0时,f′(x)≤0恒成立,函数f(x)在R上单调递减,不可能有两个零点;当a>0时,令f′(x)=0,得x=ln ,函数在(-∞,ln )上单调递减,在(ln , +∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(ln )=1-ln -2a=1+ln a-2a.令g(a)=1+ln a-2a(a>0),g′(a)=-2,a∈(0,),g(a)单调递增,a∈(,+∞),g(a)单调递减,所以g(a)max=g()=-ln 2<0,所以f(x)的最小值为f(ln )<0,函数f(x)=ae x-x-2a 有两个零点.综上,实数a的取值范围是(0,+∞),故选D.13.解析:由椭圆方程知A(-2,0),B(0,),F(1,0),则=(2,),= (3,0),所以·=6.答案:614.解析:由题意,h(x)=mf(x)+ng(x)=m·4x+m+n·4-x,h(-x)=m·4-x+ m+n·4x,因为h(x)为偶函数,所以h(x)=h(-x),所以m=n,所以h(x)= m(4x+4-x)+m,因为4x+4-x≥2,所以h(x)min=3m=1,所以m=,所以m+n=.答案:15.解析:当n≥2时,恒有ka n=a n S n-成立,即为(k-S n)(S n-)=-,所以kS n-kS n-1-+S n S n-1=-.即k(S n-1-S n)=S n S n-1.所以k(-)=1,即-=.所以-=,-=,…-=,故-=.所以-=.所以=1+.可得S n=.由S99=,可得=,解得k=2.答案:216.解析:(1)当a=1时,f(x)=当x<1时,f(x)=2x-1为增函数,f(x)>-1,当x>1时,f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=-1,当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增,故当x=时,f(x)min=f()=-1,(2)设h(x)=2x-a,x<1,g(x)=4(x-a)(x-2a),x≥1,令h(x)=0,则2x=a,因为x<1,所以0<2x<2,即当0<a<2时,函数h(x)有一个零点;令g(x)=0,易知函数g(x)的零点与x=a,x=2a有关.当a≤0时,g(x)无零点;当a>0时,若2a<1时,即0<a<时,g(x)无零点.若a<1≤2a时,即≤a<1时,g(x)有一个零点.若a≥1时,g(x)有两个零点,综上所述,可知当≤a<1或a≥2时,函数f(x)恰有2个零点.答案:(1)-1 (2)≤a<1或a≥217.解:(1)由正弦定理,bsin(-C)-csin(-B)=a可化为sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.所以sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=,即sin Bcos C-cos Bsin C=1, 所以sin(B-C)=1.因为0<B<π,0<C<π,所以-π<B-C<π,所以B-C=.又A=,所以B+C=π,解得B=π,C=.(2)由(1)B=π,C=,由正弦定理,得b===4sin π.所以△ABC的面积S=absin C=×2×4sin πsin=4sinπsin=4cos sin=2sin =2.18.(1)证明:如图,过点C作CE∥AB,且CE=AB,连接BE,PE.因为AC2+AB2=BC2,所以AC⊥AB,所以四边形ABEC是矩形,AC⊥CE.又因为PC⊥AC,PC∩CE=C,所以AC⊥平面PEC,所以∠PCE=60°,因为PC=CE=4.所以△PCE是正三角形.因为BE∥AC,所以BE⊥平面PEC.所以BE⊥PE,所以PB==5=BC.而H是PC的中点,所以BH⊥PC.因为GH是△PAC的中位线,所以GH∥AC,所以GH⊥PC.因为GH∩BH=H,所以PC⊥平面BGH.(2)解:以CE的中点O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A (3,-2,0),B(3,2,0),P(0,0,2),C(0,-2,0),=(-3,2,2),=(0,4,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则即令x=2,则平面PAB的一个法向量为n=(2,0,3).由(1)知平面BGH的法向量为=(0,-2,-2).设平面PAB与平面BGH的夹角为θ,则cos θ=|cos<n,>|==.19.解:(1)计算可得=5,=1.072,(x i-)2=10,(x i-)(y i-)=0.64,所以== 0.064≈0.06,=-=1.072-0.064×5=0.752≈0.75,所以从3月份至7月份y关于x的回归方程为=0.06x+0.75.将x=12代入回归方程,得=0.06×12+0.75=1.47,所以若不调控,预测12月份该市新建住宅销售均价约为1.47万元/平方米.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)==,P(X=3)==,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=,所以X的分布列为因此,X的数学期望E(X)=1×+2×+3×=.20.解:(1)因为e2===,所以a2=4b2,则椭圆方程为+=1,即x2+4y2=4b2.因为椭圆过点P(2,1),所以代入上式得b2=2,a2=8,所以椭圆方程为+=1.(2)设l的方程为y=x+m,代入椭圆方程中整理得x2+2mx+2m2-4=0,所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4,Δ=4m2-4(2m2-4)>0⇒m2<4.则|AB|=×=.点P到直线l的距离d= =. 因此S△PAB=d|AB|=·=≤=2.当且仅当m2=2∈[0,4),即m=±时取得最大值2.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.②若k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2).从而当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增.而F(-2)=0,故当x≥-2时,F(x)≥0,即f(x)≤kg(x)恒成立.③若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是[1,e2].22.解:(1)因为直线l的参数方程为(t为参数), 所以消去参数t,得到直线l的普通方程x+y-2=0,再将代入x+y-2=0,得ρcos θ+ρsin θ=2. (2)联立直线l与曲线C的极坐标方程因为ρ≥0,0≤θ<2π,所以解得或所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2,0),(2,). 23.解:(1)由f(x)≤2-|x-1|,即为|x-|+|x-1|≤1.而由绝对值的几何意义知|x-|+|x-1|≥|-1|,由不等式f(x)≤2-|x-1|有解,所以|-1|≤1,即0≤a≤4.所以实数a的取值范围为[0,4].(2)当a<2时,知<1.所以f(x)=如图可知f(x)在(-∞,)上单调递减,在[,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f()=-+1=3,得a=-4<2(合题意),即a=-4.仿真冲刺卷(三)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,若a+bi=-(a,b∈R),则a+b的值是( )(A)0 (B)-i (C)- (D)2.设集合A={-1,0,1,2,3},B={x||x|≤2},则A∩B等于( )(A){-1,0,1,2} (B){-2,-1,0,1,2} (C){0,1,2} (D){1,2}3.已知a=log35,b=log30.6,c=0.21.2,则( )(A)b<c<a (B)a<c<b (C)c<b<a (D)a<b<c4.如图是近三年某市生产总值增速(累计,%)的折线统计图,据该市统计局初步核算,2018年一季度全区生产总值为1 552.38亿元,与去年同一时期相比增长12.9%(如图,折线图中其他数据类同).根据统计图得出正确判断是( )第4题图(A)近三年该市生产总值为负增长(B)近三年该市生产总值为正增长(C)该市生产总值2016年到2017年为负增长,2017年到2018年为正增长(D)以上判断都不正确5.甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是( )(A)258 (B)306 (C)336 (D)2966.设α∈(0,),β∈(0,),且tan β=,则( )(A)2β-α=(B)α-2β=(C)α+2β=(D)2α+β=7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为( )第7题图(A)64- (B)64-8π (C)64- (D)64-8.已知函数f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)= |f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )(A)有最小值-1,最大值1 (B)有最大值1,无最小值(C)有最小值-1,无最大值(D)有最大值-1,无最小值9.如果实数x,y满足关系又≥λ恒成立,则λ的取值范围为( )(A)(-∞,] (B)(-∞,3](C)[,+∞) (D)(3,+∞)10.定义[x]表示不超过x的最大整数,(x)=x-[x],例如[2.1]=2,(2.1) =0.1,执行如图所示的程序框图,若输入的x=5.8,则输出的z等于( )第10题图(A)-1.4 (B)-2.6(C)-4.6 (D)-2.811.已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=2px(p>0)有相同的焦点F,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点M(-3,t),|MF|=,则双曲线的离心率为( )(A)(B)(C)(D)12.(2018·湖南联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,其导函数为f′(x),若对任意的正实数x,都有xf′(x)+2f(x)>0恒成立,且f()=1,则使x2f(x)<2成立的实数x的集合为( )(A)(-∞,-)∪(,+∞) (B)(-,)(C)(-∞,) (D)(,+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.以抛物线y2=4x的焦点为圆心,与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为.14.在三棱锥P ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥的外接球的表面积为.15.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ABC=,则b的值为.16.(2018·北京东城区二模)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,则实数T的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且满足a n+1=S n+2n+1(n∈N*).(1)证明数列{}为等差数列;(2)求S1+S2+…+S n.18.(本小题满分12分)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AE⊥平面ABCD,EF∥CD,BC=CD=AE=EF=AD=1.(1)求证:CE∥平面ABF;(2)在直线BC上是否存在点M,使二面角E MD A的大小为?若存在,求出CM的长;若不存在,请说明理由.19.(本小题满分12分)(2018·孝义模拟)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x(万人)与餐厅所用原材(1)根据所给5组数据,求出y关于x的线性回归方程y=x+;(2)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为C= 投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L=销售收入-原材料费用)参考公式:==,=-.参考数据:x i y i=1 343,=558,=3 237.20.(本小题满分12分)(2018·安庆一中模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是E,F,离心率e=,过点F的直线交椭圆C于A,B两点,△ABE的周长为16.(1)求椭圆C的方程;(2)已知O为原点,圆D:(x-3)2+y2=r2(r>0)与椭圆C交于M,N两点,点P为椭圆C上一动点,若直线PM,PN与x轴分别交于G,H两点,求证: |OG|·|OH|为定值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x-ax2-2x(a<0).(1)若函数f(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若a=-且关于x的方程f(x)=-x+b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程(2018·宜昌调研)在极坐标系中,已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ,以极点为原点,极轴方向为x轴正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出圆C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)已知点M(,0),直线l与圆C交于A,B两点,求||MA|-|MB||的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)解不等式f(x)>0;(2)若∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围.1.D 因为a+bi=-==,所以a=,b=0,a+b=.2.A 因为集合A={-1,0,1,2,3},B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2},所以A∩B={-1,0,1,2}.故选A.3.A 由题意得a=log35>1,b=log30.6<0,0<c=0.21.2<1,所以b<c<a.选A.4.B 由折线统计图可知,增长率都是大于0的,故近三年该市生产总值为正增长,故选B.5.C 若7级台阶上每一级至多站1人,有种不同的站法;若1级台阶站2人,另一级站1人,共有种不同的站法.所以共有不同的站法种数是+=336.故选C.6.C 因为tan β==,所以cos αcos β=sin β+sin αsin β,所以cos αcos β-sin αsin β=sin β,即cos(α+β)=sin β=cos(-β).因为α,β∈(0,),所以α+β=-β,所以α+2β=.7.C 根据三视图画出该几何体的直观图.该几何体是一个棱长为4的正方体切去一个圆柱和一个圆锥.圆锥、圆柱底面半径为2,高为4.所以V=43-(4×22π+×22π×4)=64-π.故选C.8.C 作出函数g(x)=1-x2和函数|f(x)|=|2x-1|的图象如图1所示,得到函数h(x)的图象如图2所示,由图象得出函数h(x)有最小值-1,无最大值.9.A 设z==2+,z的几何意义是区域内的点到D(3,1)的斜率值加2,作出实数x,y满足关系对应的平面区域如图:由图形,可得C(,),由图象可知,直线CD的斜率最小值为=-,所以z的最小值为,所以λ的取值范围是(-∞,].故选A.10.C 模拟程序的运行,可得x=5.8,y=5-1.6=3.4,x=5-1=4;满足条件x≥0,执行循环体,x=1.7,y=1-1.4=-0.4,x=1-1=0;满足条件x≥0,执行循环体,x=-0.2,y=-1-1.6=-2.6,x=-1-1=-2;不满足条件x≥0,退出循环,z=-2+(-2.6)=-4.6.输出z的值为-4.6.故选C.11.C 由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(,0),准线方程为x=-,由M在抛物线的准线上,则-=-3,则p=6,则焦点坐标为F(3,0),所以|MF|==,则t2=,解得t=±,双曲线的渐近线方程是y=±x,将M代入渐近线的方程=3×,即=,则双曲线的离心率为e===,故选C.12.C 构造函数g(x)=x2f(x),当x>0时,依题意有g′(x)=x[xf′(x)+2f(x)]>0,所以函数g(x)在x>0上是增函数,由f(x)是奇函数,可知g(x)也是R上的奇函数,故g(x)在x<0时,也为增函数,且g(0) =0,g()=2f()=2,所以不等式x2f(x)<2⇔g(x)<g(),根据单调性有x<,故选C.13.解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,故所求圆的圆心为(1,0),半径为2,所以该圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.答案:(x-1)2+y2=414.解析:由题知,三棱锥P ABC的外接球的直径为=,则球的表面积为4π()2=14π.答案:14π15.解析:由正弦定理知==.所以a= c.又sin B=,则由S△ABC=acsin B=×c×c×==.故c2=4,则c=2.此时a=5.由sin B=及B为锐角知cos B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=14.故b=.答案:16.解析:化简函数f(x)的表达式,得f(x)=作出f(x)的图象如图所示.因为关于x的方程f(x+T)=f(x)有且仅有3个不同的实根,所以将f(x)的图象向左或向右平移|T|个单位后与原图象有3个交点,所以2<|T|<4,即-4<T<-2或2<T<4.答案:(-4,-2)∪(2,4)17.(1)证明:由条件可知,S n+1-S n=S n+2n+1,即S n+1-2S n=2n+1,整理得-=1,所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)可知,=1+n-1=n,即S n=n·2n,令T n=S1+S2+…+S n=1·2+2·22+…+n·2n, ①2T n=1·22+…+(n-1)·2n+n·2n+1, ②①-②得-T n=2+22+…+2n-n·2n+1,整理得T n=2+(n-1)·2n+1.18.(1)证明:如图(1),作FG∥EA,AG∥EF,连接EG交AF于点H,连接BH,BG.因为EF∥CD且EF=CD,所以AG∥CD,即点G在平面ABCD内.由AE⊥平面ABCD,知AE⊥AG,所以四边形AEFG为正方形,四边形CDAG为矩形,所以H为EG的中点,B为CG的中点,所以BH∥CE.因为BH⊂平面ABF,CE⊄平面ABF,所以CE∥平面ABF.(2)解:存在.求解过程如下:如图(2),以A为原点,AG为x轴,AD为y轴,AE为z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0).设M(1,y0,0),所以=(0,2,-1),=(1,y0-2,0).设平面EMD的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,得z=2,x=2-y0,所以n=(2-y0,1,2).又因为AE⊥平面AMD,所以=(0,0,1)为平面AMD的一个法向量,所以|cos<n,>|==cos =,解得y0=2±.故在直线BC上存在点M,使二面角E MD A的大小为,且CM=|2-(2±)|=.19.解:(1)由所给数据可得==10.4,==25,===2.5,=-=25-2.5×10.4=-1,则y关于x的线性回归方程为y=2.5x-1.(2)由(1)中求出的线性回归方程知,当x=15时,y=36.5,即预计需要原材料36.5袋,因为C=当t=35时,利润L=700×35-(400×35-20)=10 520;当t=36时,利润L=700×36-380×36=11 520,当t=37时,利润L=700×36.5-380×37=11 490.综上所述,餐厅应该购买36袋原材料,才能使利润获得最大,最大利润为11 520元.20.(1)解:由题意得4a=16,则a=4,由=,解得c=,则b2=a2-c2=9,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由条件可知,M,N两点关于x轴对称,设M(x1,y1),P(x0,y0),则N(x1,-y1),由题可知,+=1,+=1,所以=(9-),=(9-).又直线PM的方程为y-y0=(x-x0),令y=0得点G的横坐标x G=,同理可得H点的横坐标x H=.所以|OG|·|OH|=16,即|OG|·|OH|为定值.21.解:(1)对函数求导数,得f′(x)=-(x>0),依题意,得f′(x)<0在(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在x>0时有解.所以Δ=4+4a>0且方程ax2+2x-1=0至少有一个正根.再结合a<0,得-1<a<0.(2)a=-时,f(x)=-x+b,即x2-x+ln x-b=0.设g(x)=x2-x+ln x-b,则g′(x)=,所以当x∈(0,1)时,g′(x)>0;当x∈(1,2)时,g′(x)<0;当x∈(2,4)时,g′(x)>0.得函数g(x)在(0,1)和(2,4)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以g(x)的极小值为g(2)=ln 2-b-2;g(x)的极大值为g(1)=-b-, g(4)=-b-2+2ln 2; 因为方程g(x)=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,所以解之得ln 2-2<b≤-.22.解:(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.由消去t得x-y-=0,所以直线l的普通方程为2x-2y-1=0.(2)显然直线l过点M(,0),将代入圆C的直角坐标方程x2+y2-4x=0得t2-t-=0,则t1+t2=,t1t2=-<0,根据直线参数方程中参数的几何意义知||MA|-|MB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.23.解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,即4x2-4x+1>x2+4x+4,3x2-8x-3>0,解得x<-或x>3.所以不等式f(x)>0的解集为{x|x<-或x>3}.(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=故f(x)的最小值为f()=-,因为∃x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,所以4m-2m2>-,解得-<m<.即m的取值范围为（-,）.仿真冲刺卷(四)(时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)82.如图,在复平面内,复数z1和z2对应的点分别是A和B,则等于( )(A)+i (B)+i(C)--i (D)--i3.(2018·河南郑州一中质检)若a=sin xdx,则二项式(a-)6展开式的常数项是( )(A)160 (B)20 (C)-20 (D)-1604.小王的手机使用的是每月300M流量套餐,如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况,下列叙述中正确的是( )第4题图(A)1日～10日这10天的平均流量小于9.0M/日(B)11日～30日这20天,如果每天的平均流量不超过11M,这个月总流量就不会超过套餐流量(C)从1日～10日这10天的流量中任选连续3天的流量,则3日,4日,5日这三天的流量的方差最大(D)从1日～10日这10天中的流量中任选连续3天的流量,则8日,9日,10日这三天的流量的方差最小5.(2018·成都二诊)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+4)-f(x) =2f(2),若y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(2 018)等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)06.若≤≤2(n∈N*),则称{a n}是“紧密数列”.若{a n}(n=1,2,3,4)是“紧密数列”,且a1=1,a2=,a3=x,a4=4,则x的取值范围为( )(A)[1,3) (B)[1,3] (C)[2,3] (D)[2,3)7.(2018·安徽淮北一模)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )第7题图(A)(B)(C)(D)8.(2018·山东、湖北重点中学三模)在满足条件的区域内任取一点M(x,y),则点M(x,y)满足不等式(x-1)2+y2<1的概率为( )(A)(B)(C)1-(D)1-9.如图所示的程序框图中,输出s等于( )第9题图(A)45 (B)-55 (C)-66 (D)6610.(2018·山东、湖北重点中学三模)已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面,该棱柱的体积为2,AB=4,AC=2,∠BAC=60°,若在该三棱柱内部有一个球,则此球表面积的最大值为( )(A)8π(B)(16-8)π(C)2π(D)(4-2)π11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,若∠PMF=30°, ·=0,则等于( )(A) (B) (C)2 (D)12.若函数y=f(x)的图象上存在不同的两点M,N关于原点对称,则称点对(M,N)是函数y=f(x)的一对“和谐点对”(点对(M,N)与(N,M)看作同一对“和谐点对”).已知函数f(x)=则此函数的“和谐点对”有( )(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2018·山西太原模拟)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则实数λ+μ= .14.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同,甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和,丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的排序依次为.15.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,2S n=(n+1)a n,若存在唯一的正整数n使得不等式-ta n-2t2≤0成立,则实数t的取值范围为.16.已知曲线y=e x+a与y=(x-1)2恰好存在两条公切线,则实数a的取值范围为.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知1+=.(1)求A;(2)若BC边上的中线AM=2,高线AH=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)在三棱柱ABC A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=,D为AA1的中点,BD与AB1交于点O,CO ⊥侧面ABB1A1.(1)证明:BC⊥AB1;(2)若OC=OA,求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)(2018·江淮十校联考)某市级教研室对辖区内高三年级10 000名学生的数学一轮成绩统计分析发现其服从正态分布N(120,25),该市一重点高中学校随机抽取了该校成绩介于85分到145分之间的50名学生的数学成绩进行分析,得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估算该校高三年级数学的平均成绩;(2)从所抽取的50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的期望.附:若X～N(μ,σ2),则P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 3.20.(本小题满分12分)(2018·山东实验中学一诊)已知平面上的动点R(x,y)及两定点A(-2, 0),B(2,0),直线RA,RB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.设动点R的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上,且MQ∥NP,MQ⊥x轴.若直线MN和直线QP交于点S(4,0),那么四边形MNPQ的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.21.(本小题满分12分)(2018·晋中调研)已知函数f(x)=e x-ax2+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0时,g(x)≤f(x).请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t是参数).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|x+1|.(1)解不等式f(x)≤3;(2)记函数g(x)=f(x)+|x+1|的值域为M,若t∈M,证明:t2+1≥+3t.1.C 由题意得{2}⊆N⊆{0,1,2},因此集合N的个数是22=4个,选C.2.C 由题图知,z1=-2-i,z2=i,所以===--i.故选C.3.D 因为a=sin xdx=-cos x=2,所以(a-)6=(2-)6的展开式的通项为T r+1=(-1)r26-r·x3-r.令3-r=0,得r=3.故展开式的常数项是-8=-160,故选D.4.C(6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2)=9.14,故A错误;11×20+91.4=311.4>300,这个月总流量超过套餐流量,故B错误;结合图象可知C正确,D 错误.故选C.5.D 令x=-2,则f(2)-f(-2)=2f(2),所以f(2)=-f(-2),又y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,所以y=f(x)的图象关于y轴对称,f(x)为偶函数.所以f(2)=f(-2),所以f(2)=0,所以f(x+4)=f(x),所以T=4,f(2 018)=f(2)=0.故选D.6.C =∈[,2],依题意可得解得2≤x≤3,故x的取值范围为[2,3].故选C.7.B 由三视图得该几何体是从四棱锥P ABCD中挖去一个半圆锥,四棱锥的底面是以2为边长的正方形,高是2,圆锥的底面半径是1,高是2,所以所求的体积V=×2×2×2-×π×12×2=,故选B.8.B 由约束条件作出可行域,如图,则A(1,0),B(3,4),C(-2,9).所以AB==2,AC==3.tan∠BAC===1,所以∠BAC=.因为S△ABC=×2×3×sin=15.可行域落在(x-1)2+y2=1内的扇形面积为×π×12=.故所求概率为=.故选B.9.B 执行程序框图,第一次,s=0,n=1,T=1,s=1,不满足n>9,n=2;第二次,T=-4,s=-3,不满足n>9,n=3;第三次,T=9,s=6,不满足n>9,n=4;第四次,T=-16,s=-10,不满足n>9,n=5;第五次,T=25,s=15,不满足n>9,n=6;第六次,T=-36,s=-21,不满足n>9,n=7;第七次,T=49,s=28,不满足n>9,n=8;第八次,T=-64,s=-36,不满足n>9,n=9;第九次,T=81,s=45,不满足n>9,n=10;第十次,T=-100,s=-55,满足n>9,输出s=-55,故选B.10.C 已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱垂直于底面,AB=4,AC=2,∠BAC= 60°,则BC=2,所以BC⊥AC,此直角三角形内切圆半径r=-1,又因为该棱柱的体积为2,可得AA1=,而=<-1,所以若在该三棱柱内部有一个球,则此球半径的最大值为,球表面积的最大值为4π×()2=2π.故选C.11.B 因为抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l与坐标轴交于点M,P为抛物线第一象限上一点,F为抛物线焦点,N为x轴上一点,设P点到准线的距离为d,因为∠PMF=30°,则d=|PF|=|PM|,又因为·=0,所以PM⊥PN,故|PM|=|PN|,故==×=,故选B.12.B 作出f(x)=的图象如图所示,f(x)的“和谐点对”数可转化为y=e x(x<0)和y=-x2-4x(x<0)的图象的交点个数.由图象知,函数f(x)有2对“和谐点对”.13.解析:建系如图,设正方形ABCD边长为1,则=(1,),=(,1),=(1,1),由=λ+μ知所以2=λ+μ,所以λ+μ=.答案:14.解析:由条件可得②两边同加丙+乙,得甲+丙+2乙>乙+丁+2丙,所以乙>丙,。

2023年江西省稳派高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年江西省稳派高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年江西省稳派高考数学二模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D. 2. 已知复数z 满足，则z 的虚部为( )A. B.C. 3D. 3i3. 已知，，，则( )A.B. C.D.4. 在统计中，月度同比增长率是指本月和上一年同月相比较的增长率，月度环比增长率是指本月和上一个月相比较的增长率，如图是2022年1月至2022年12月我国居民消费价格月度涨跌幅度统计图，则以下说法错误的是( )A. 在这12个月中，我国居民消费价格月度同比增长率数据的中位数为B. 在这12个月中，月度环比增长率数据为正数的个数比月度环比增长率数据为负数的个数多3C. 在这12个月中，我国居民消费价格月度同比增长率数据的均值为D. 在这12个月中，我国居民消费价格月度环比增长率数据的众数为 5. 已知数列为等比数列，，，则数列的前10项和为( )A. 352B. 401C. 625D. 9136. 黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为附：圆台的侧面积，R ，r为两底面半径，l 为母线长，其中的值取3，( )A. B. C. D.7. 已知非零向量，，满足，，，，则( )A. B. 2 C. D. 48. 已知定义在R上的函数满足，为奇函数，则( )A. 0B. 1C. 2D. 39. 已知，，，则的最小值为( )A. 4B. 6C. 8D. 1210. 正割及余割这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔威发首先引入，，这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行.在三角中，定义正割，余割已知函数，给出下列说法：①的定义域为；②的最小正周期为；③的值域为；④图象的对称轴为直线其中所有正确说法的序号为( )A. ②③B. ①④C. ③D. ②③④11. 已知函数的定义域为，其导函数为，，，则( )A. 无极值B. 有极大值，也有极小值C. 有极大值，无极小值D. 有极小值，无极大值12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线l经过点交C于A，B两点，点M在C上，，，，则C的离心率为( )A. B. C. D.13.若命题“，”为真命题，则实数a的取值范围为______ 用区间表示14. 已知双曲线的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若C的虚轴长为4，则C的实轴长为______ .15. 2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆对外免费开放预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为______ .16. 在平面四边形ABCD中，，，，现将沿着AC折起，得到三棱锥，若二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为______ .17. 在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_____.求的值；若的面积为2，，求的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 如图，在多面体ABCEF中，平面ABC，，D为AB的中点，证明：平面CDF；求二面角的平面角的余弦值.19. 为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了A、B两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知A蛋糕的成本为60元/个，B蛋糕的成本为61元/个，两种蛋糕的售价均为68元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，A、B两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月天的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表.A蛋糕的销售量个37383940天数66108B蛋糕的销售量个37383940天数49125以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率；若每日生产A、B两种蛋糕各n个，根据以上数据计算，试问当与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？20. 已知抛物线C：的焦点为F，A，B分别为C上两个不同的动点，O为坐标原点，当为等边三角形时，求C的标准方程；抛物线C在第一象限的部分是否存在点P，使得点P满足，且点P到直线AB的距离为2？若存在，求出点P的坐标及直线AB的方程；若不存在，请说明理由.21.已知函数，其中当时，求的极值；若不等式对任意恒成立，证明：22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中，求的普通方程与直线l的直角坐标方程；直线l与曲线交于A，B两点，且A，B两点对应的极角分别为，，求的值.23. 已知函数当时，求不等式的解集；若的最小值为10，求实数a的值.答案和解析1.【答案】A【解析】解；由题得，，所以故选：先化简集合A和B，再根据交集的定义求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为，所以z的虚部为故选：利用复数定义及运算法则计算即可．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，，，所以；故选：根据中间值和符号求解．本题主要考查数的大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：这12个月我国居民消费价格月度同比数据由小到大依次为，，，，，，，，，，，，中位数为，平均数为，由数据可知我国居民消费价格月度环比的数据中，有6个月的数据为正数，3个月的数据为，3个月的数据为负数，所以月度环比数据为正数的个数比月度环比数据为负数的个数多3，且出现次数最多，故众数为，故选项A，B，D正确，C错误，故选：根据统计图分别求出消费价格月度同比数据的中位数和平均值；求出月度环比数据为正数的个数、月度环比数据为负数的个数，再求出月度环比数据的众数，即可得答案．本题考查统计图表的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：令，设数列的公比为q，因为，所以，即，所以由，得，所以，联立，解得，所以，所以，所以的前10项和为故选：根据条件构造数列，再根据条件列出等比数列的基本量的方程组，再根据通项公式求和．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设该圆台的母线长为l，两底面圆半径分别为R，其中，则，，，所以，故圆台部分的侧面积为，圆柱部分的侧面积为，故该黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为故选：首先求圆台母线长，再代入圆台和圆柱侧面积公式，即可求解．本题主要考查了圆台的结构特征，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：，，又，，，，，，，，又，，故选：根据数量积的运算律结合模的计算，即可求得答案．本题考查向量数量积的性质与定义，化归转化思想，方程思想，属基础题．8.【答案】C【解析】解：因为，所以，则函数是以6为周期的周期函数，所以故选：分析可知，函数是以6为周期的周期函数，再由即可得解．本题考查抽象函数及其运用，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：因为，所以，即，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为故选：条件等式两边取对数后，得，再结合换底公式，以及基本不等式“1”的妙用，即可求解．本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：函数，其中，即，所以①不正确；函数是周期为：，所以②正确；函数的值域：；所以③正确；可得，，所以图象的对称轴为直线所以④不正确；故选：化简函数的解析式，然后求解函数的定义域，周期，值域，对称轴，判断命题的真假即可．本题考查三角函数的图象与性质的应用，两角和与差的三角函数，函数的周期性、对称性的判断，是中档题．11.【答案】D【解析】解：由已知知，又，所以，令，则，又，令，所以，所以在上单调递增，又，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以的极小值为，无极大值．故选：根据题意赋值可求得，根据结构特征，构造函数，从而判断的函数值情况，即可判断的单调性，确定极值，即可得答案．本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：分别取A，B关于x轴的对称点，，连接，，，，由以及椭圆的对称性及几何知识可得，且A，M关于y轴对称，则，M关于原点对称，则四边形是平行四边形，所以，，又，所以，所以是等边三角形，又的周长为，所以，，中，由余弦定理，得，整理得，所以，故选：分别取A，B关于x轴的对称点，，连接，，，，利用椭圆的对称性，推出四边形是平行四边形，从而求出，，利用余弦定理求得a，c的关系式，可得答案．本题考查椭圆的几何性质，余弦定理的应用．化归转化思想，属中档题．13.【答案】【解析】解：因为，即函数的值域为所以实数a的取值范围为故答案为：求出函数的值域，结合存在量词命题为是真命题作答．本题主要考查了由命题的真假求解参数范围，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：由题意可知，双曲线C的一条渐近线为直线，故，故其实轴长为故答案为：由双曲线的渐近线方程得出，即可得出结果．本题考查双曲线的几何性质，属基础题．15.【答案】【解析】解：甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，故所求的概率为故答案为：利用计数原理和排列组合公式，分别计算甲、乙分配到同一个场馆的方法数和甲分配到游泳馆的方法数，根据古典概型的计算公式计算．本题主要考查古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图，取AC的中点E，AB的中点F，连接EF，DE，因为，所以，因为，，所以，，过点E作平面DAC，过点F作平面ABC，，因为点E，F分别是和的外心，所以点O是三棱锥的外接球的球心，由，得，，，所以，，，，，则三棱锥的外接球的半径，所以外接球的表面积故答案为：先求出外接球的球心，根据几何关系求出外接球的半径即可．本题主要考查了三棱锥的外接球问题，属于中档题．17.【答案】解：若选①，，则，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得若选②，，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得由的面积为2，得，所以，由可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为【解析】根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求的值；由面积公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周长．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】证明：为AB的中点，，，又平面ABC，平面ABC，，又，AE，平面ABFE，平面ABFE，又平面ABFE，，在中，，，，在中，，，，在直角梯形ABEF中，由勾股定理可得，，，，又，CD，平面CDF，平面CDF；解：由题知，过D作交EF于M，则平面ABC，可得，，以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，设为平面CEF的一个法向量，由，得，取，则，，平面CEF的一个法向量由知平面CDF的一个法向量为，设二面角的平面角为，易知为锐角，则；综上，二面角的平面角的余弦值为【解析】证明一条直线垂直于一个平面只要证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；建立空间坐标系，运用数量积求解．本题主要考查直线与平面垂直的证明，二面角的求法，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．19.【答案】解：设这两种蛋糕的日销量之和为X，则，，所以这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率为：；当时，两种蛋糕获利之和为元；当时，两种蛋糕获利之和为元，因为，所以当时，两种蛋糕的获利之和最大．【解析】设这两种蛋糕的日销量之和为X，计算出、、，相加可得所求事件的概率；计算出与时两种蛋糕所获利润的期望值，比较大小后可得出结论．本题考查古典概型的概率公式的应用，化归转化思想，属中档题．20.【答案】解：由对称性可知，当为等边三角形时，A，B两点关于x轴对称，当为等边三角形时，的高为，由题意知点在C上，代入，得，解得，所以C的标准方程为由知，根据题意可知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，，，联立，得，所以，即，且，，所以，由，得，所以，所以，即，又点P在C上，所以，即，①所以，解得，又点P在第一象限，所以，所以，又点P到直线AB的距离，化简得，②联立①②，解得或舍去或舍去，此时点，直线AB的方程为【解析】由对称性可知当为等边三角形时，A，B两点关于x轴对称，可得点在C上，代入，解得p，即得C的标准方程；设直线AB的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理和条件，得，由点P到直线AB的距离为2，可得，联立可解得答案．本题考查了抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．21.【答案】解：当时，，，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，，，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，的极小值为，无极大值；综上，当时，的极小值为e，无极大值．证明：由题意，对于，不等式恒成立，即恒成立，将上不等式看作以a为主元的一元二次不等式，对于任意的x恒成立，，当时，，上不等式显然成立，此时；当时，方程的解为，即或；就是a要大于函数的最大值，令，则，，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，即；，即a小于函数的最小值，令，则，，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，由条件，【解析】将代入的解析式，运用导数求函数的极值；将不等式看作一元二次不等式，运用一元二次不等式的解法求解．本题主要考查利用导数研究函数的极值，不等式的证明，本题的难点在于换个角度思考问题，运用参数分离显然不行，运用分类讨论会比较繁琐，将原不等式看作一元二次不等式来求解相对容易．22.【答案】解：曲线的参数方程为，可得，即，的普通方程，由，可得，直线l的直角坐标方程为；由可得曲线的极坐标方程①，直线l的极坐标方程为②，②代入①得，，化简得，，，，，，由题意可得，，，【解析】利用同角的正余弦的平方和为1可得的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化易求直线l的直角坐标方程；联立直线l与曲线的极坐标方程可求得，进而可得的值．本题考查参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标的互化，考查三角恒等变换，属中档题．23.【答案】解：时，函数；不等式可化为或或，解得或或x的值不存在；所以不等式的解集为；时，；时，；时，，最小值为0，不合题意，舍去；时，在和上单调递减，在上单调递增；所以最小值为，解得；时，在单调递减，在和上单调递增；所以最小值为，解得；综上，a的值为或【解析】时函数，利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式的解集即可；讨论和、时，求出最小值为10时a的值．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

2024年高考数学冲刺真题整理题型二及答案

2024年高考数学冲刺真题整理题型二及答案

冲刺2024年高考数学真题重组卷真题重组卷02（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（2023全国甲卷数学（理））若复数()()i 1i 2,R a a a +-=∈，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．22.（2023新课标全国Ⅱ卷）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）．A ．2B ．1C ．23D ．1-3.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ+=-C ．1λμ=D ．1λμ=-4.（2023新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种5.（2023•新高考Ⅱ）若21()()21x f x x a ln x -=++为偶函数，则(a = )A ．1-B ．0C ．12D ．16.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-7．（2021•新高考Ⅰ）若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( )A ．b e a<B ．a e b<C ．0ba e <<D ．0ab e <<8.（2023全国乙卷数学（文）(理)）设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（ ）A ．()1,1B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,4--二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2020—2021年高考总复习数学(理)第二次高考模拟突破冲刺卷及参考答案(精品试题).docx

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年二模突破冲刺交流试卷（03）高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为A .()1,1B ．()1,1-C ．()1,1--D ． ()1,1- 2. 已知两个集合(){}2ln 2++-==x x y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=212x e e xB 则=⋂B AA.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,21 B ． ⎥⎦⎤ ⎝⎛--21,1 C ．()e ,1-D ．()e ,23．随机变量~(0,1)N ξ，则()12P ξ≤≤=Ａ.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718 （参考数据：()0.6826P μσξμσ-≤≤+=，(22)0.9544P μσξμσ-≤≤+=，(33)0.9974P μσξμσ-≤≤+=）4．从9,8,7,6,5,4,3,2,1中不放回地依次取2个数，事件=A “第一次取到的是奇数”=B “第二次取到的是奇数”，则 ()=A B PA. 51 B ． 103C ．52D ．215．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．已知数列{}n a 满足: 当()*11,,p q p q N p q +=∈<时，2p p q a a +=，则{}n a 的前10 项和10S = A. 31B. 62C. 170D. 10237． 已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是 （ ）()31.21A f x x x =--()31.21B f x x x =+- ()31.21C f x x x =-+ ()31.21D f x x x =---8． 如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上. 当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于A. 212a B. 214a C. 224a D.234a 9．若正数,ab 满足：121=+b a则2112-+-b a 的最小值为（ ） 开始输入xk =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出k 正视方向图1图2C 1D 1B 1A1CDABMQN O xyA.2B.2 C. 22 D. 110．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为(1,2)-，点C 位于第一象限，AOC α∠=．若5BC =，则23sincos3cos 2222ααα+-= 25.5A -5.5B -5.5C25.5D11. 已知P B A ,,是双曲线12222=-by a x 上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线PB PA ,的斜率乘积32=⋅PB PA k k ，则该双曲线的离心率=e A . 25B ． 315 C ．210D ．2 12.已知函数()()21ln ,2+==x x g e x f x ，对()+∞∈∃∈∀,0,b R a ，使得()()b g a f =，则ab -的最小值为A . 22ln 1+ B ． 22ln 1- C ．12-eD ．1-e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案

2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学(理)试题—含答案

2019届高三下学期高三第二次模拟联考数学（理）试题—含答案2019学年度第二学期高三第二次模拟联考数学（理科）试卷年级班级姓名学号注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效。

4.作图题可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破弄皱，不准使用涂改液、修正带。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.已知，则（）A.{1,2}B.{1,2,3}C.{0,1,2}D.{1,2,3,4,}2.设复数满足，则复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如下图的茎叶图为某次10名学生100米跑步的成绩（s），由茎叶图可知这次成绩的平均数，中位数，众数分别为()A．51.95260B．525460C．51.95360D．5253624.已知随机变量服从正态分布，且，，等于（）A.0.2B．C．D．5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A．4B．2C．3D．56.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化、相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆被的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B．C．D．7.若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是()ABCD8.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．B.C.D.9.设x，y满足约束条件，则的最大值为A.B.C.-3D.310.将函数的图象，向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期为B．是函数的一条对称轴C．函数在区间上单调递增D．函数在区间上的最小值为11.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角．已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[－1，1]时，，则()A．B．C．D．第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2019届高三数学二模试卷理科附答案

2019届高三数学二模试卷理科附答案

2019届高三数学二模试卷理科附答案理科数学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019•乐山调研]若与互为共轭复数，则的值为（）A．B．C．D．2．[2019•济南外国语]已知集合，，则（）A．B．C．D．3．[2019•九江一模] 的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．[2019•榆林一模]已知向量，满足，，，则（）A．2 B．C．D．5．[2019•湘潭一模]以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．6．[2019•武邑中学]在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则角（）A．B．C．或D．或7．[2019•新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（）A．；B．；C．；D．；8．[2019•优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（）A．B．C．D．9．[2019•成都一诊]在各棱长均相等的四面体中，已知是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．[2019•长沙一模]已知是函数图象的一个最高点，，是与相邻的两个最低点．设，若，则的图象对称中心可以是（）A．B．C．D．11．[2019•湖北联考]已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．[2019•宜昌调研]已知椭圆：上存在、两点恰好关于直线：对称，且直线与直线的交点的横坐标为2，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019•泉州质检]若函数的图象在点处的切线过点，则______．14．[2019•湖北联考]设，满足约束条件，则的最大值为____．15．[2019•镇江期末]若，，则_______．16．[2019•遵义联考]已知三棱锥中，面，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019•潍坊期末]已知数列的前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和．18．（12分）[2019•开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25 50 100 50 25参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．19．（12分）[2019•湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．20．（12分）[2019•河北联考]在直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且．（1）求的方程；（2）试问：在轴的正半轴上是否存在一点，使得的外心在上？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）[2019•泉州质检]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019•九江一模]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（，），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019•湘潭一模]设函数．（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围．2019届高三第二次模拟考试卷理科数学（二）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】∵，，又与互为共轭复数，∴，，则．故选A．2．【答案】C【解析】∵集合，，∴，，∴．故选C．3．【答案】B【解析】，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除A，D，，排除C，故选B．4．【答案】A【解析】根据题意得，，又，∴，∴，∴．故选A．5．【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴，则该双曲线的方程为．故选D．6．【答案】A【解析】∵，，，∴由正弦定理可得，∵，由大边对大角可得，∴解得．故选A．7．【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数，∴该程序框图要算出所得到的和，①当时，，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此变成2，进入下一步；②当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成3，进入下一步；③当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成4，进入下一步；④当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成5，进入下一步；⑤当时，用前一个加上，得，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此变成6，进入下一步；⑥当时，用前一个加上，得，刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的值，由以上的分析，可得图中判断框应填“”，执行框应填“”．故选C．8．【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有，，，共4个基本事件，根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选C．9．【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体中棱长为2，取中点，连结，，∴是棱的中点，∴，∴是异面直线与所成角（或所成角的补角），，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为，故选C．10．【答案】D【解析】结合题意，绘图又，，∴周期，解得，∴，，令，得到，∴，令，，得对称中心，令，得到对称中心坐标为，故选D．11．【答案】B【解析】偶函数满足，即有，即为，，可得的最小正周期为4，故①错误；②正确；由，可得，又，即有，故为奇函数，故③正确；由，若为偶函数，即有，可得，即，可得6为的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选B．12．【答案】C【解析】由题意可得直线与直线的交点，，设，，则，，∵、是椭圆上的点，∴①，②，①﹣②得：，∴，∴，∴，∴，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】函数，可得，∴，又，∴切线方程为，切线经过，∴，解得．故答案为1．14．【答案】5【解析】作出，满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线，然后把直线向可行域平移，结合图形可知，平移到点时最大，由可得，此时．故答案为5．15．【答案】【解析】由得，即，又，解得，∴．16．【答案】【解析】取的中点，连结、，∵平面，平面，∴，可得中，中线，由，，，可知，又∵，、是平面内的相交直线，∴平面，可得，因此中，中线，∴是三棱锥的外接球心，∵中，，，∴，可得外接球半径，因此，外接球的表面积，故答案为．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，，成等差数列，∴，当时，，∴，当时，，，两式相减得，∴，∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴．（2），∴，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：优等生非优等生总计学习大学先修课程50 200 250没有学习大学先修课程100 900 1000总计150 **** ****由列联表可得，因此在犯错误的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i）由题意得所求概率为．（ii）设获得高校自主招生通过的人数为，则，，，1，2，3，4，∴的分布列为0 1 2 3 4估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为．19．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面中，，，且，∴，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，∵，，∴，又∵，，平面，平面，∴平面．（2）方法一：在线段上取点，使，则，又由（1）得平面，∴平面，又∵平面，∴，作于，又∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴是二面角的一个平面角，设，则，，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系，且由（1）知是平面的一个法向量，设，则，，∴，，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，它背向二面角，又∵平面的法向量，它指向二面角，这样，二面角的大小为，即，即，∴满足要求的点存在，且．20．【答案】（1）；（2）在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．【解析】（1）联立，得，则，，从而．∵，∴，即，解得，故的方程为．（2）设线段的中点为，由（1）知，，，则线段的中垂线方程为，即．联立，得，解得或，从而的外心的坐标为或．假设存在点，设的坐标为，∵，∴，则．∵，∴．若的坐标为，则，，则的坐标不可能为．故在轴的正半轴上存在一点，使得的外心在上．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】解法一：（1），①当时，↘极小值↗∴在上单调递减，在单调递增．②当时，的根为或．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．若，即，在上恒成立，∴在上单调递增，无减区间．若，即，0 0↗极大值↘极小值↗∴在，上单调递增，在上单调递减．综上：当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，无减区间；当时，在，上单调递增，在上单调递减．（2）∵，∴．当时，恒成立．当时，．令，，设，∵在上恒成立，即在上单调递增．又∵，∴在上单调递减，在上单调递增，则，∴．综上，的取值范围为．解法二：（1）同解法一；（2）令，∴，当时，，则在上单调递增，∴，满足题意．当时，令，∵，即在上单调递增．又∵，，∴在上有唯一的解，记为，↘极小值↗，满足题意．当时，，不满足题意．综上，的取值范围为．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）；；（2）2．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，∴曲线的极坐标方程为，设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，，∵，∴，∴，，∴的极坐标方程为．（2）由题设知，，当时，取得最小值为2．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵，∴的解集为．（2）∵，∴，即，则，∴．。

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学(理科)第二次模拟考试卷及答案解析(全国卷)

2024年高考数学（理科）第二次模拟考试卷及答案解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}5log 1A xy x ==-∣，集合{}Z03B y y =∈≤≤∣，则()R A B ⋂=ð（）A ．()0,1B ．[]0,1C ．∅D ．{}0,1【答案】D【分析】先表示出集合,A B ，再由交集和补集的运算得出结果即可.【详解】集合(){}{}5log 11A xy x x x ==-=>∣∣，集合{}{}Z030,1,2,3B y y =∈≤≤=∣，集合{}R |1A x x =≤ð，所以()R A B ⋂=ð{}0,1.故选：D2．设i 为虚数单位，且()1i 2z +=，则z =（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i+【答案】D【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得共轭复数.【详解】由题意可得：()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-，所以z =1i +.故选：D.3．若向量,a b 满足||4,||3a b == ，且(23)(2)61a b a b -⋅+= ，则a 在b上的投影向量为（）A ．12b- B ．13b - C ．23bD ．23b - 【答案】D【分析】由向量数量积的运算律可得6a b ⋅=- ，再由投影向量的定义求a 在b上的投影向量.【详解】由22(23)(2)44361a b a b a a b b -⋅+=-⋅-= ，则6a b ⋅=-，由a 在b 上的投影向量612333||||a b b b b b b ⋅-⋅=⨯=-.故选：D4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为12,12n S a a +=且123,6,a a a +成等差数列，则105S S 为（）A ．244B ．243C ．242D ．241【答案】A【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前n 项和公式，即可求解.【详解】由题意可知，1212a a +=且()13226a a a +=+，设等比数列的公比为q ，则2111112a a q a q a a q +=++，得3q =，()()10110510555113131313244131313a S S a ---===+=---.故选：A5．第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆,,A B C 开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为（）A ．35B ．2150C ．611D ．34【答案】B【分析】首先得甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，进一步由组合数排列数即可得所求概率.【详解】不考虑甲是否去场馆A ，所有志愿者分配方案总数为2233535322C C C A 150A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，甲去场馆,,A B C 的概率相等，所以甲去场馆B 或C 的总数为21501003⨯=，甲不去场馆A ，分两种情况讨论，情形一，甲去场馆B ，场馆B 有两名志愿者共有11243224C C A =种；情形二，甲去场馆C ，场馆B 场馆C 均有两人共有1243C C 12=种，场馆B 场馆A 均有两人共有24C 6=种，所以甲不去场馆A 时，场馆B 仅有2名志愿者的概率为24126422110010050++==.故选：B ．6．已知函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--，则()f x 是（）A ．奇函数，且在(0,e)上是增函数B ．奇函数，且在(0,e)上是减函数C ．偶函数，且在(0,e)上是增函数D ．偶函数，且在(0,e)上是减函数【答案】A【分析】求出函数的定义域，利用奇偶函数的定义及复合函数的单调性法则判断即可.【详解】若函数()ln(e )ln(e )f x x x =+--有意义，则e 0e 0x x ->⎧⎨+>⎩，解得e e x -<<，即函数()f x 的定义域为(e,e)-，因为()()()()()ln e ln e ln e ln e ()f x x x x x f x ⎡⎤-=--+=-+--=-⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，函数e 2e ()ln(e )ln(e )ln ln 1e e x f x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+--==-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，因为函数2e1e u x=-+-在(0,e)上递增，函数ln y u =在定义域上递增，所以函数()f x 在(0,e)上是增函数.故选：A 7．“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两条直线平行，对应方程系数的关系求解，分两个方面判断即可．【详解】若直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，易得:sin 0,cos 0θθ≠≠，故：1sin 121cos 1θθ-=≠，则111ππsin cos ,sin 2,sin 21,22π(),π()22224k k k k θθθθθθ====+∈=+∈Z Z 得不到π4θ=，故不是充分条件；反之，当π4θ=时1sin 121cos 1θθ-=≠成立，故直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行，是必要条件；故“直线1sin 102x y θ+-=与cos 10x y θ++=平行”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：B ．8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 为C 的右顶点，以12F F 为直径的圆与C 的一条渐近线交于P ，Q 两点，且3π4PAQ ∠=，则双曲线C 的离心率为（）ABCD ．3【答案】C【分析】联立圆与渐近线方程，得到()(),,,P a b Q a b --，进而得到π4OAQ ∠=，利用直线斜率得到方程，求出2b a =，得到离心率.【详解】由题意得，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，(),0A a ，渐近线方程为b y x a=±，联立222x y c by xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得x a =±，不妨令()(),,,P a b Q a b --，故π2OAP ∠=，因为3π4PAQ ∠=，所以3πππ424OAQ ∠=-=，所以0tan 1π4AQ b k a a --===--，解得2b a =，故离心率c e a ==.故选：C9．4211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（）.A ．11B ．11-C ．8D ．7-【答案】B 【分析】将21x x+看成一个整体，得到41421()(1)rr r r T C x x -+=+-，再展开421()r x x -+得到430r m --=，分别取值得到答案.【详解】将21x x +看成一个整体，展开得到：41421((1)rrr r T C x x-+=+-421()rx x -+的展开式为：4243144m r m m m r mm r r T C x x C x-----+--=⋅=取430r m --=当0m =时，4r =系数为：40440(1)1C C ⨯⨯-=当1m =时，1r =系数为：11143(1)12C C ⨯⨯-=-常数项为11211-=-故答案选B【点睛】本题考查了二项式定理，将21x x +看成整体展开，再用一次二项式展开是解题的关键，计算较为复杂.10．若函数()()π3cos 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭恒有()()2πf x f ≤，且()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则ω的值为（）A ．16-B ．56C ．116D ．56或116【答案】D【分析】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，可求出16k ω=-，再由ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，求出ω的范围，即可得出答案.【详解】由题意可得当2πx =时，()f x 取得最大值，所以π2π2π3k ω+=，16k ω=-，k ∈Z ．由()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，得ππ1362T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，所以02ω<≤．所以56ω=或116．经检验，56ω=或116均满足条件．故选：D ．11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则下列说法不正确的是（）A ．当三棱锥1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O 的表面积为3π2B ．异面直线1DD 与1B FC ．点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP D ．过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+【答案】D【分析】对于A ：转化为长方体的外接球分析运算；对于B ：根据异面直线夹角分析运算；对于C ：根据面面平行分析判断；对于D ：根据平行关系求截面，进而可得周长.【详解】对于A ：三棱锥1B BEF -的外接球即为以1BB 、BE 、BF 为邻边的长方体的外接球，因为11BB =，12BE BF ==，可得外接球的半径4R =，所以外接球的表面积23π4π2S R ==，故A 正确；对于B ：因为11//DD BB ，则异面直线1DD 与1B F 所成角为1∠BB F ，且11BB =，12BF =，可得12B F =，所以111cos BB BB F B F ∠==所以，异面直线1DD 与1B FB正确；对于C ：取11A B 、11A D 、11C D 的中点M 、Q 、N ，连接AM 、MN 、QN 、DN ，，由题意可得：1//AE B M ，1AE B M =，则1AEB M 为平行四边形，所以1//B E AM ，因为四边形1111D C B A 为正方形，M 、N 分别为11A B 、11C D 的中点，则11//A M D N ，11A M D N =，所以，四边形11A D NM 为平行四边形，所以，11//MN A D ，11MN A D =，又因为11//AD A D ，11AD A D =，可得//MN AD ，MN AD =，则AMND 为平行四边形，所以//AM DN ，可得1//B E DN ，因为1B E ⊂平面1B EF ，DN ⊄平面1B EF ，则//DN 平面1B EF ，因为11//AA CC ，11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC ，因为E 、F 分别为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，同理可得11//QN A C ，则11//EF AC ，可得//QN EF ，因为EF ⊂平面1B EF ，QN ⊄平面1B EF ，则//QN 平面1B EF ，因为DN QN N =I ，DN 、QN ⊂平面DNQ ，所以平面//DNQ 平面1B EF ，则点P 在线段QN 上，可得11122QN A C ==，2DQ QN ==，所以当点P 为线段QN 的中点时，DP QN ⊥，DP 4=，故C 正确；对于D ：连接AC 、11A C ，因为E 、F 为AB 、BC 的中点，则//EF AC ，又因为11//AA CC ，11AA CC =，则11AAC C 为平行四边形，可得11//AC A C ，则11//EF AC ，过1D 作11//KL AC ，设11KL AB K = ，11KL BC L = ，则//KL EF ，可得111KA AB =，111LCBC =，连接KE 、LF ，设1KE AA G = ，1LF CC H = ，连接1D G 、1D H ，可得过点1D 、E 、F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为五边形1EFHDG ，因为12KA AE =，12LC CF =则1223GA AG ==，1223HC CH ==，可得113D G D H ==，6GE HF ==，EF所以截面周长为22+D 错误；故选：D.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.12．若点P 既在直线20l x y -+=:上，又在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，C 的左、右焦点分别为12,F F ，122F F =，且12F PF ∠的平分线与l 垂直，则C 的长轴长为（）AB C D 【答案】B【分析】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，由12F PF ∠的平分线与l 垂直可得12F PN F PM ∠=∠，即可得1F N P 与2F PM 相似，结合点到直线的距离可得相似比，从而可求出1PF 、2PF ，结合椭圆定义即可得长轴长.【详解】过点1F 、2F 分别作1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，作12F PF ∠的平分线PH 与x 轴交于H ，由122F F =，故()11,0F -、()21,0F ，则1F N =，2F M =，由PH l ⊥且PH 为12F PF ∠的平分线，故12F PH F PH ∠=∠，故12F PN F PM ∠=∠，又1F N l ⊥、2F M l ⊥，故1F N P 与2F PM 相似，故1122132F N NP PF F M MP PF ===，由20l x y -+=:，令0y =，则2x =-，故直线l 与x 轴交于点()2,0G -，故NG ==2MG ==，故22MN =-=由112213F N NP PF F MMPPF ===，故144NP MN ==，344MP MN ==，故14PF ==，24PF ==，由椭圆定义可知，122PF PF a +=，故2a =即C故选：B.【点睛】关键点睛：本题关键在于作出1F N 、2F M 垂直直线l 于点N 、M ，再将12F PF ∠的平分线与l 垂直这个条件转化为12F PN F PM ∠=∠，从而得到相似三角形，结合点到直线距离公式及122F F =得到1PF 、2PF 的值.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知()()5cos 2,tan tan 46αβαββ+=+=-，写出符合条件的一个角α的值为.【答案】2π3（答案不唯一）【分析】根据题目条件得到()1cos cos 6αββ+=和()2sin sin 3αββ+=-，从而求出()121cos cos 632ααββ⎡⎤=+-=-=-⎣⎦，进而求出角α的值.【详解】()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ⎡⎤+=++=+-+⎣⎦，故()()5cos cos sin sin 6αββαββ+-+=，()tan tan 4αββ+=-，即()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()()sin sin 4cos cos αββαββ+=-+，故()55cos cos 6αββ+=，即()1cos cos 6αββ+=，则()()2sin sin 4cos cos 3αββαββ+=-+=-，则()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ⎡⎤=+-=+++⎣⎦121632=-=-，可取2π3α=.故答案为：2π314．在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC 若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP的几何特点列方程组求出半径即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为12tan A AO ∠=2r ，所以111AA BB CC ===，2113323O P AP ==⨯=，同理16O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以)212PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C 中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-= ⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()222236PQ r ⎫=+⎪⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以棱台的体积为143V =+=⎝⎭．故答案为：12.15．已知函数()32f x x ax b =++满足对任意的实数m ，n 都有()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，则曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为．【答案】30x y -=【分析】构造函数()()2g x f x =+，将已知等式转化为()()()g mn g m g n =，再利用赋值法求得()0g 与()1g ，进而求得,a b ，再利用利用导数的几何意义即可得解．【详解】因为()()()()()222f mn f m f n f m f n =+++，所以()()()()()222+=++f mn f m f n ，设()()3222g x f x x b x a +++=+=，则()()()g mn g m g n =，令0m n ==，则()()200g g =，则()00g =，或()01g =，若()01g =，则由()()()00g g m g =，得()1g m =，显然不成立，所以()00g =，即20b +=，则2b =-令1m =，则()()()1g n g g n =，由于()g n 不恒为0，故()11g =，即121a b +++=，则0a =，此时()32f x x =-，经检验，满足要求，则()13f -=-，()23f x x '=，所以()13f '-=，所以曲线()y f x =在=1x -处的切线方程为()331+=+y x ，即30x y -=．故答案为：30x y -=16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则22b c bc+的取值范围为.【答案】342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用三角形面积公式与余弦定理，可得sin 2cos 2A A +=，再根据同角关系式可得sin A ，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，结合条件可得tan C 取值范围，进而求得bc 的取值范围，令b t c =，则221b c t bc t +=+，然后由对勾函数的单调性即可求出．【详解】在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由()222S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以()sin sin sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5A C bB AC A C c C C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C π<<，2B A C ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-== ⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221b c b c t bc c b t+=+=+，由对勾函数单调性知1y t t =+在3,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当1t =时，2y =；当35t =时，3415y =；当53t =时，3415y =，所以342,15y ∈⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即22b c bc+的取值范围是342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：342,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得435tan 5b c C =+，进而可以求解.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若114(1)n n n n n b a a ++=-⋅，求{}n b 的前1012项和1012T ．【答案】(1)21n a n =-(2)101220242025T =【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，则211a a d d =+=+，51414a a d d =+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()21114d d +=⨯+，得220d d -=，又因为{}n a 是公差不为零的等差数列，所以2d =，即()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-....................................................6分（2）由（1）知()()11114411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，1012123410111012T b b b b b b =++++++ 11111111111133557792021202320232025⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12024120252025=-=.....................................................12分18．（12分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BN BC的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，14=BN BC 【分析】（1）利用勾股定理证明CD BD ⊥，再根据面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；....................................................6分（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =-- ．....................................................7分设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =- ，....................................................9分假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，设BN BC λ=uuu r uu u r ，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 602n AN n AN ⋅︒== ，整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．....................................................12分19．（12分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布．对于一个给定的连续型随机变量X ，定义其累积分布函数为()()F x P X x =≤．已知某系统由一个电源和并联的A ，B ，C 三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立．(1)已知电源电压X （单位：V ）服从正态分布(40,4)N ，且X 的累积分布函数为()F x ，求(44)(38)F F -；(2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间．已知随机变量T （单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为()0,011,04tt G t t <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.（ⅰ）设120t t >>，证明：1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-；（ⅱ）若第n 天元件A 发生故障，求第1n +天系统正常运行的概率．附：若随机变量Y 服从正态分布2(,)N μσ，则(||)0.6827P Y μσ-<=，(||2)0.9545P Y μσ-<=，(||3)0.9973P Y μσ-<=．【答案】(1)0.8186(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）716．【分析】（1）根据正态分布的对称性即可结合()()F x P X x =≤的定义求解，（2）（ⅰ）根据条件概率的计算公式集合()()F x P X x =≤的定义以及()G t 的定义域即可求解，（ⅱ）根据独立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）由题设得(3842)0.6827P X <<=，(3644)0.9545P X <<=，所以(44)(38)(44)((4044)(3840)F F P X P X P X P X -=-=+≤≤≤≤≤≤1(0.68270.9545)0.81862=⨯+=...................................................3分（2）（ⅰ）由题设得：[]12111122222()()()1()1()(|)()()1()1()P T t T t P T t P T t G t P T t T t P T t P T t P T t G t >⋂>>-≤->>===>>-≤-=1121221111444111144t t t t t t -⎛⎫-- ⎪⎝⎭===⎛⎫-- ⎪⎝⎭，21121212()1()1()4t t P T t t P T t t G t t ->--≤-=--==,所以1212(|)()P T t T t P T t t >>=>-．...................................................8分（ⅱ）由（ⅰ）得1(1|)(1)1(1)1(1)4P T n T n P T P T G >+>=>=-=-=≤，所以第1n +天元件B ，C 正常工作的概率均为14．为使第1n +天系统仍正常工作，元件B ，C 必须至少有一个正常工作，因此所求概率为2171(1)416--=．....................................................12分20．（12分）已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，若ABC 的三个顶点都在抛物线E 上，且满足0FA FB FC ++= ，则称该三角形为“核心三角形”．(1)设“核心三角形ABC ”的一边AB 所在直线的斜率为2，求直线AB 的方程；(2)已知ABC 是“核心三角形”，证明：ABC 三个顶点的横坐标都小于2．【答案】(1)210x y --=(2)证明见解析【分析】（1）设AB 的方程为2y x t =+，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据(1,0)F 及0FA FB FC ++= 得到点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线方程，求出1t =-，得到直线方程；（2）设直线BC 的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出点A 的坐标为()2342,4m n m ---，代入抛物线方程，得到2342n m =-，由根的判别式得到2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标242m <，同理可证另两个顶点横坐标也小于2.【详解】（1）设直线AB 的方程为2y x t =+，与24y x =联立得2220y y t -+=，由480t ∆=->得12t <，设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则12122,2+==y y y y t ，所以()12121212x x y y t t +=+-=-，由题意知(1,0)F ，因为()()()1122330,1,,1,,1,FA FB FC FA x y FB x y FC x y ++==-=-=- ，所以()1231233,(0,0)x x x y y y ++-++=，所以12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，故()333122x t t y ⎧=--=+⎨=-⎩即点C 的坐标为(2,2)t +-，代入抛物线E 的方程得：44(2)t =+，解得1t =-，满足条件12t <，所以直线AB 的方程为210x y --=．....................................................6分（2）证明：设直线BC 的方程为x my n =+，与24y x =联立得2440y my n --=，()2Δ160m n =+>，所以22323,4,4n m y y m y y n >-+==-，所以()22323242x x m y y n m n +=++=+．由（1）知12312330x x x y y y ++=⎧⎨++=⎩，所以2113424x m n y m ⎧=--⎨=-⎩，即点A 的坐标为()2342,4m n m ---．又点A 在抛物线24y x =上，所以()22164342m m n =--，所以2342n m =-，又2n m >-，所以212m <，所以点A 的横坐标2234242m n m --=<，同理可证，B ，C 两点的横坐标也小于2．所以ABC 三个顶点的横坐标均小于2．....................................................12分【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21．（12分）已知函数1()ln 1f x x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，0a >．(1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)证明：()111sin sin sin ln 2122n n n n++++<∈++N ．【答案】(1){}1(2)证明见解析【分析】（1）利用导数求函数()f x 的最小值，转化恒成立条件列不等式可求a 的取值集合；（2）利用小问（1）构造不等式，赋值结合累加法证明1111ln 21232n n n n>+++++++ ，再结合正弦函数性质和不等式性质即可证明结论.【详解】（1）由题可知函数()f x 的定义域为{}0x x >，221()a x a f x x x x -'=-= ，令()0f x '=，得x a =，由x ，()f x ，()f x '列表如下()()min ln 1f x f a a a ==-+，因为()0f x ≥恒成立，所以ln 10a a -+³，(0,)a ∈+∞．令()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x -'=-=，由x ，()g x ，()g x '列表如下x ()0,11()1,∞+()g x +0-()g x '递增极大值递减()()max 10g x g ∴==．又()0,1a ∈ ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，(1,)∈+∞a ，()ln 1(1)0g a a a g =-+<=，1a ∴=，故a 的取值集合为{}1．....................................................5分（2）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥，即1ln 10x x+-≥，11ln 1x x x x -≥-=，ln(1)1x x x ∴+≥+（当0x =时，“=”成立），令1()x n n+=∈N ，111ln 1111n n n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+，则11ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭，()1ln 1ln 1n n n +->+，由累加法可知()()()()()()()1ln 1ln 11ln 2ln 121ln 3ln 231ln 2ln 212n n n n n n n n n n n n ⎫+->⎪+⎪⎪+-+>⎪+⎪⎬+-+>⎪+⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-->⎪⎭累加可得1111ln(2)ln 1232n n n n n n ->+++⋅⋅⋅++++，即1111ln 21232n n n n>+++++++ ，令()sin h x x x =-，,()0x ∈+∞，()cos 10h x x '=-≤ 恒成立，()h x ∴在区间(0,)+∞上单调递减，()(0)0h x h <=∴，sin x x ∴<，11111111sin sin sin sin 12321232n n n n n n n n∴++++>++++++++++ ，1111ln 2sinsin sin sin ()1232n n n n n +∴>++++∈+++N ....................................................12分【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知曲线C 的参数方程为2cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 过点()0,1P ．(1)求曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1132PA PB +=，求直线l 的倾斜角．【答案】(1)22143x y +=.(2)π4或3π4.【分析】（1）利用参数方程转普通方程即可求解.（2）写出直线l 的参数方程，参数方程代入22143x y +=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，利用韦达定理代入1132PA PB +=中，化简即可求解.【详解】（1）由曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），得cos 2sin xαα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22sin cos 1θθ+=，2212x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=（为焦点在x 轴上的椭圆）....................................................4分（2）设直线l 的倾斜角为θ，直线l 过点()0,1P ∴直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入22143x y +=，可得()()22i 14cos 13s n t t θθ+=+，()2222222234123484120cos 12sin sin cos sin sin t t t t t t θθθθθθ⇒++=⇒++++-=()22sin s 8n 30i 8t t θθ∴++-=，设A ，B 两点所对的参数为12,t t ，221221883sin sin s 3in t t t t θθθ∴+=-⋅=-++，曲线C 与y轴交于((0,，两点，()0,1P ∴在曲线C 的内部，12,t t ∴一正一负，1212t t t t ∴+=-，而1132PA PB +=，121232t t t t +∴=⋅，121232t t t t -∴=⋅，2211222212294t t t t t t -⋅+∴=⋅，()222121212944t t t t t t ∴+-⋅=⋅，22222sin sin si 88984334si 3n n θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得21sin 2θ=，θ为直线l 的倾斜角，[)0πθ∈，，[]1sin 0,θ∈∴，sin θ∴π4θ∴=或3π4θ=，直线l 的倾斜角为π4或3π4.....................................................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【答案】(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][()4,∞∞-⋃+．....................................................4分（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211(24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．..................................................10分。

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26
分
16.（共 13 分）
解：(Ⅰ) 设 4 位乘客中至少有一名乘客在第 2 层下电梯的事件为 A ,…………………1 分
由题意可得每位乘客在第 2 层下电梯的概率都是 1 ，
3
……………………3 分
4
则
P
(
A)
1
P
(
A)
1
2 3
65
81
.
(Ⅱ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4,
………………………6 分 …………………………7 分
（
Ⅱ
）分别由
2k 2x 2k
，, k ( Z
)
2
6
2
3
2k 2x 2k ,(k Z )
2
6
2
可得 k
x k
,(k Z ) ，k
x k
2
, (k Z ).
………………8 分
3
6
6
3
所以,函数 f ( x ) 的单调增区间为[k , k ], (k Z ) ；
（Ⅰ）证明：设 F 为 DC 的中点，连接 BF ，则
DF AB
E
∵ AB AD ， AB AD ， AB // DC ，
∴四边形 A B F D 为正方形， ∵ O 为 B D 的中点， ∴ O 为 A F , B D 的交点，
∵ PD PB 2 ，
A
B
O
D
F
C
∴ PO BD ，
………………………………2 分
①当 a 0 时， 2ax 1 0 ，在 (0,1) 上 f '( x) 0 ，在 (1, ) 上 f '( x) 0
所以 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上递减；…………………………………………8 分
②当 0 a 1 时，在 (0,1) 和 ( 1 , ) 上 f '( x) 0 ，在 (1, 1 ) 上 f '( x) 0
x1 2 z1
又CB (2, 2, 0)
则sin θ cos n, CB 2 2 3 ， 32 2 3
∴直线 C B 与平面 P D C 所成角的正弦值为 3 . ………………………………………14 分 3
18. (共 14 分）
解：（I）当 a 0 时， f ( x) x x ln x ， f '( x) ln x ， ………………………2 分
所以 f (e) 0 ， f '(e) 1 ，
………………………4 分
所以曲线 y f ( x ) 在 (e, f (e)) 处的切线方程为 y x e .………………………5 分
（II）函数 f ( x ) 的定义域为 (0, )
f '( x ) (ax 2 x ) 1 (2 ax 1) ln x ax 1 (2 ax 1) ln x ，…………………………6 分 x
由题意可得每个人在第 4 层下电梯的概率均为 1 ，且每个人下电梯互不影响， 3
所以， X
1 B(4, ) .
3
……………………………9 分
X
0
1
2
3
4
16
32
24
8
1
P
81
81
81
81
81
………………………………11 分
E(X ) 4 1 4 . 33
………………………………13 分
P
17.(共 14 分)
2
6
…………………………3 分
因为 f ( x ) 最小正周期为 π ,所以 2π π ，解得 ω 1 , …………………………4 分 2ω
所以 f ( x ) sin(2 x π ) 1 , 62
………………………… 5 分
所以 f ( 2π ) 1 .
3
2
…………………………6 分
………………………………………………………………13 分
3
所以，直线 A ' B 恒过定点 (0, 4) .
20. (共 13 分）
……………………………………13 分
解：(Ⅰ)由变换 T 的定义可得 A1 : 0,1,1, 0, 0,1
…………………………………2 分
A0 : 1, 0,1
…………………………………4 分
(Ⅱ) 数列 A0 中连续两项相等的数对至少有 10 对
由变换T 的定义及 A0 : 0,1 可得 Ak 中 0 和 1 的个数总相等，且共有 2 k 1 个，
所以 bk 1 lk 2 k ，
所以 lk 2 lk 2 k ，
由 A0 : 0,1 可得 A1 : 1, 0, 0,1 ， A2 : 0,1,1, 0,1, 0, 0,1
所以 l1 1, l2 1 ， 当 k 3 时，
……………………………2 分
所以 O P O M 0 ，即 ( x, y )( x, 4) 0 ………………………………4 分
即 x 2 4 y 0 ，即动点 P 的轨迹W 的方程为 x 2 4 y
……………5 分
（II）设直线 l 的方程为 y kx 4 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，则 A '( x1 , y1 ) .
2013 高考百天仿真冲刺卷
数学(理)试卷（十）参考答案
一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
B
C
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目，第一空 3 分，第二空 2 分）
9. 6
10. 11
11.
3 ，1
以它们做 x, y 轴，以 O P 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：
A(1, 1, 0) ， B (1,1, 0) ， D (1, 1, 0)
P
F (1,1, 0) ， C (1, 3, 0) ， P (0, 0, 2 ) ，
11 E( , ,
2)，
E
2 22
则OE ( 1 , 1 ,
…………………………………5 分
证明：对于任意一个“0-1 数列” A0 ， A0 中每一个 1 在 A2 中对应连续四项 1,0,0,1，在 A0
中每一个 0 在 A2 中对应的连续四项为 0,1,1,0，
因此，共有 10 项的“0-1 数列” A0 中的每一个项在 A2 中都会对应一个连续相等的数对，
2
16
12. 2
13.
t2 2t
, 4
(t
1) 2
,
(t为 偶 数 ) (t为 奇 数 )
14.
①② , 9
4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. （共 13 分）
解：（Ⅰ）
1 f ( x ) (1 cos 2 x )
3 sin 2 x
2
2
………………………2 分
1 sin(2 x ) ,
④当 a 1 时，在 (0, 1 ) 和 (1, ) 上 f '( x) 0 ，在 ( 1 ,1) 上 f '( x) 0
2
2a
2a
所以 f ( x ) 在 (0, 1 ) 和 (1, ) 上单调递增，在 ( 1 ,1) 上递减……………………………14 分
2a
2a
19．(共 13 分） 解：（I）由题意可得 O P O M ，
所以 A2 中至少有 10 对连续相等的数对. ……………………………………………8 分
(Ⅲ) 设 Ak 中有 bk 个 01 数对，
Ak 1 中的 00 数对只能由 Ak 中的 01 数对得到，所以 lk 1 bk ，
Ak 1 中的 01 数对有两个产生途径：①由 Ak 中的 1 得到； ②由 Ak 中 00 得到，
由
y x2
kx 4 4y
消
y
整理得
x2
4kx
16
0
，
………………………………6 分
则 16 k 2 64 0 ，即| k | 2 .
………………………………7 分
x1 x2 4 k , x1 x2 16 .
…………………………………9 分
直线 A ' B : y y2
y2 x2
lk 2 lk 4 2k 4
l3 l1 2 上述各式相加可得 lk 1 2 2 3
k 1
2 k 2 1 2 (1 4 2 ) 1 ( 2 k 1) ，
1 4
3
经检验， k
1 时，也满足 lk
1 (2k 3
1)
所以 lk
1 3
(2
k
1 (2k
1), k 为 奇 数 1), k 为 偶 数
y1 x1
(x
x2
)
y
y2 x2
y1 x1
(x
x2 )
y2
y
x22 x12 ( x 4( x1 x2 )
x2 )
1 4
x22
y
x2 4
x1
x
x
2 2
x1 x2 4
1 4
x22
……………………………………12 分
y x2 x1 x x1x2
4
4
即 y x2 x1 x 4 4
2
2a
2a
所以 f ( x ) 在 (0,1) 和 ( 1 , ) 上单调递增，在 (1, 1 ) 上递减；………………………10 分
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