16树17平面图及图着色
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图着色下的树顶点邻集的行为
注意 到 ， ． 厂是 ， ３的一个 Ｏ 全 等着 色 ．图 ｌｂ Ｔ （）中 的树 承认 一 个优 化全 着 色 ｇ 使 得 ， ｃ （） （） ［ ６． １ｃ ＝ ＝ １ ］ 图 （）中树 日 的着色 则包 含 了更多 的信 息．首先 ，树 日 承 认 一个 ，
（；，） １１２ 饱和全着色 ｈ ５＝ 。） ２ｖ ＝［６． ， ］ （ ≠ｃ （） １ ］接下来， ｈ满足 （） （） ， ≠ 对不
摘要：图着色下 的树顶点邻集的行为展示 了有趣的问题 ． 该文证 明了树顶点邻集的行为对一些 图全着色有着非常强的性质，或多 或少地 揭示了树顶点邻集 的行为与着色 猜想的一些关系． 作 者期望应用这种邻集的行 为去深刻地研 究图着色 问题 ．
关键词：图着色 ；可区分着 色；树．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ １主题分类： ５ １ 中图分类号： １． 文献标识码： ０Ｃ ５ ０２１ ４ Ａ
文章编号：１０—９８２ １） —６ ０ ０３３９ （ １０ ５ ￣１ ０ ２
１ 引言和术语
确定 图的着色 数是 ＮＰ困难 问题 ［１】在 图的全 着色 中， 够看到 一个现象 ： ， ６１ ，． 能 设 是图 Ｇ 的一个正常全着色， 对每一个顶点 ∈ （ ）总有 ｌ （ ） Ｕ Ｇ， ｛ ｕ ：Ｖ∈Ｅ Ｇ ） ｛ （）ｌ ａ ｕ＋１ ｆ ｖ （ ）ｕ ，札）＝ｄ （） ， 其 中 ｄ （） 示顶 点 ｔ的度数 ．因而 ，我 们称 ，为 图 Ｇ 的一个度 饱和 全着 色 ．那 么，对 于 ａｕ 表 ｔ 其他的图着色我们能够发现相似于上述现象的性质，且它们与着色之间存在何种关系 ？ 换 句话说， 我们期望认识那些 由许多个体 （ 顶点） 组成的庞大而复杂的系统 （ ． 图）这种思路早 已 被应用于图论的各种着色研究和 网络结构分析 ［ １１１２ ． ９ ０ ３８０ － ，，，］ 本文论及的图均为简单、连通、有限图，且采用标准的图论术语和记号 ［ ３ 除特别声 ２］ －． 明外 ，文 中出现 的集合 均为 非负整 数集合 ．为简便 起见 ，记 号 ［ｔ ］ ？， 表示整 数 集合 ｛ ｍ ＋ Ｔｎ ｍ， １… ，｝其 中 礼＞ｍ ０ 集合 ｓ的基 数为 ＝ 后 我 们也称 为 ｋ集 ．集 合 ｓ 的最 大和 ， ｎ， ． ， 最 小 者分别 记 为 ｍａ（ ） ｍｉ（） 个具 有 Ｐ个 顶 点和 ｑ条边 的 图 Ｇ 叫做 （，）图，记 ｘＳ 和 ｎＳ ．一 Ｐｑ Ｐ＝『 ａ ｌ Ｐ ｌ１在一个图 Ｇ 中，我们把一度顶点叫做叶子，所有度数为 ｄ的顶点集 ｖ（ ）或 ＝ Ｇ ． 合 记为 （ ． 而 ，图 Ｇ 中度 数为 ｄ的顶 点 的个 数 为 ｎ （ ＝ ｆｄＧ） Ｇ）从 ｄＧ） ｖ（ １ ． 定义 １ 图 Ｇ的一个正常 ｋ 着色 ．是将集合 ｓ ｖ ａ ｕ ａ 划分为 ｋ 厂 （ ） ） Ｅ（ 个相互不交的 非 空子集 ｓ ，ｚ… ， ， １ｓ ， 使得 每一 个子 集 中的任何 两个 元 素在 图 Ｇ 中既不相 邻 ，也 不关 联 ．对 ∈ ， 称 着 有色 ｉ记 作 ｆｘ ＝ ｉ 使 得 图 Ｇ 承 认正 常 ｋ着 色 的最小 的 叫做 Ｇ ， （） ． 的ｅ 着色数，记为 ）（ ） 简记 ｆＳ ＝｛ （） ∈ｓ ， ＝ｍ ｘｆＳ）或 ＝ｍａ（） （Ｇ ． （） ， ： ） ａ（（ ） ， ｘｆ．
（；，） １１２ 饱和全着色 ｈ ５＝ 。） ２ｖ ＝［６． ， ］ （ ≠ｃ （） １ ］接下来， ｈ满足 （） （） ， ≠ 对不
摘要：图着色下 的树顶点邻集的行为展示 了有趣的问题 ． 该文证 明了树顶点邻集的行为对一些 图全着色有着非常强的性质，或多 或少地 揭示了树顶点邻集 的行为与着色 猜想的一些关系． 作 者期望应用这种邻集的行 为去深刻地研 究图着色 问题 ．
关键词：图着色 ；可区分着 色；树．
Ｍ Ｒ（０ ０ ２ ０ １主题分类： ５ １ 中图分类号： １． 文献标识码： ０Ｃ ５ ０２１ ４ Ａ
文章编号：１０—９８２ １） —６ ０ ０３３９ （ １０ ５ ￣１ ０ ２
１ 引言和术语
确定 图的着色 数是 ＮＰ困难 问题 ［１】在 图的全 着色 中， 够看到 一个现象 ： ， ６１ ，． 能 设 是图 Ｇ 的一个正常全着色， 对每一个顶点 ∈ （ ）总有 ｌ （ ） Ｕ Ｇ， ｛ ｕ ：Ｖ∈Ｅ Ｇ ） ｛ （）ｌ ａ ｕ＋１ ｆ ｖ （ ）ｕ ，札）＝ｄ （） ， 其 中 ｄ （） 示顶 点 ｔ的度数 ．因而 ，我 们称 ，为 图 Ｇ 的一个度 饱和 全着 色 ．那 么，对 于 ａｕ 表 ｔ 其他的图着色我们能够发现相似于上述现象的性质，且它们与着色之间存在何种关系 ？ 换 句话说， 我们期望认识那些 由许多个体 （ 顶点） 组成的庞大而复杂的系统 （ ． 图）这种思路早 已 被应用于图论的各种着色研究和 网络结构分析 ［ １１１２ ． ９ ０ ３８０ － ，，，］ 本文论及的图均为简单、连通、有限图，且采用标准的图论术语和记号 ［ ３ 除特别声 ２］ －． 明外 ，文 中出现 的集合 均为 非负整 数集合 ．为简便 起见 ，记 号 ［ｔ ］ ？， 表示整 数 集合 ｛ ｍ ＋ Ｔｎ ｍ， １… ，｝其 中 礼＞ｍ ０ 集合 ｓ的基 数为 ＝ 后 我 们也称 为 ｋ集 ．集 合 ｓ 的最 大和 ， ｎ， ． ， 最 小 者分别 记 为 ｍａ（ ） ｍｉ（） 个具 有 Ｐ个 顶 点和 ｑ条边 的 图 Ｇ 叫做 （，）图，记 ｘＳ 和 ｎＳ ．一 Ｐｑ Ｐ＝『 ａ ｌ Ｐ ｌ１在一个图 Ｇ 中，我们把一度顶点叫做叶子，所有度数为 ｄ的顶点集 ｖ（ ）或 ＝ Ｇ ． 合 记为 （ ． 而 ，图 Ｇ 中度 数为 ｄ的顶 点 的个 数 为 ｎ （ ＝ ｆｄＧ） Ｇ）从 ｄＧ） ｖ（ １ ． 定义 １ 图 Ｇ的一个正常 ｋ 着色 ．是将集合 ｓ ｖ ａ ｕ ａ 划分为 ｋ 厂 （ ） ） Ｅ（ 个相互不交的 非 空子集 ｓ ，ｚ… ， ， １ｓ ， 使得 每一 个子 集 中的任何 两个 元 素在 图 Ｇ 中既不相 邻 ，也 不关 联 ．对 ∈ ， 称 着 有色 ｉ记 作 ｆｘ ＝ ｉ 使 得 图 Ｇ 承 认正 常 ｋ着 色 的最小 的 叫做 Ｇ ， （） ． 的ｅ 着色数，记为 ）（ ） 简记 ｆＳ ＝｛ （） ∈ｓ ， ＝ｍ ｘｆＳ）或 ＝ｍａ（） （Ｇ ． （） ， ： ） ａ（（ ） ， ｘｆ．
图论第一章课后习题解答
bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有 列。 定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的 定义 1 如果 V H V G ，E H E G ， 重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。 当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是 指满足 V(H) = V(G)的子图 H。 假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集 所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ； 它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。 若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。 假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图 称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的 导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。 定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。 定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点 集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。
园林表现技法
将近处植物的暗部用深绿色马克笔着色， 并将灌木、花草和后面针叶树的大色铺上
绘制近处的建筑、景观构筑物，详细表现 景观的材料质感
水系统着色、配景着色
整体调整
实例赏析
作业
第四节 景观效果图
两 点 透 视
三点透视（鸟瞰图）
三点透视又称“斜角透视”，是指 立方体的三条主向轮廓线均与画面 成一角度，这样三组线在画面上就 形成了三个灭点。 在两点透视的基础上，所有垂直于 地平线的纵线的延伸线都聚集在一 起，形成第三个灭点，这种透视关 系就是三点透视。
白玉兰
七叶树
第二节 景观植物的立面表现技法
一、树木整体的表现
树干 树冠 枝条
叶片 光影、明暗
树木光影的表现
利用线条或色彩区分明暗界面
不同质感植物的画法
二、乔木的立面表现方法
乔木的立面就是乔木的正立面或者侧立面投影，表现方法也分 为轮廓型、枝干型、枝叶型等三种类型。
整株枝条的画法
线条或者圆点表现枝叶的质感。
尤其要注意针叶树与阔叶树图例的区分
针叶树图例示例
阔叶树图例示例Leabharlann 常绿阔叶乔木 的平面表现方法
落叶阔叶乔木 的平面表现方法
二、灌木丛、 树林的
平面表现方法
三、其它
绿篱 花篱 花丛 花架 竹丛
草坪
地被
花坛
植物平面图表示
植被彩色图示表达
棕榈
一品红
瑞香
园林表现技法
第一节 景观植物的平面表现技法
一、乔木的平面表现方法
乔木的平面图就是树木树冠和树干的平面投影。 从表现方法上，常用的有轮廓型、枝干型、枝叶型。 轮廓型：确定种植点，绘制树木的平面投影的轮廓，可以是圆，也
二：平面图、对偶和作色、树和生成树
一个平面图，一定可以用四种颜色进行着色，
使得邻接的结点都有不同的颜色。
2、着色
图G的正常着色（简称着色）是指对它的每一个结点指定一 种颜色，使得没有两个邻接的结点有同一种颜色。如果图G在着 色时用了n种颜色，我们称G为n-色的。最小着色数用x(G)表示。 虽然目前还没有一个简单的方法，可以确定任一图G是n-色的。 但我们可以用韦尔奇鲍威尔(Welch Powell)对图G着色： a) 将图G中的结点按照度数的递减次序进行排列（这种排列可能 并不是唯一的，因为有些点有相同度数）；
3×5－6＝9＜10
K5
K3,3 推论： 如果图Ｇ＝<Ｖ,Ｅ>是连通的简单平面图，若v ≥ 3，
且每个区域至少由四条边围成，则有ｅ≤２v－４。
作业Ｐ317 (1) (2) (4)
7－6
对偶与着色
这个问题最早起源于地图着色，一个地图中相邻两个国家
以不同的颜色，那么最少需用多少种？
一百多年前，英国格色里(Guthrie)提出用四种猜想即可对地 图进行着色的猜想，1879年肯普(Kempe)给出该猜想的第一个证 明，但到了1890年希伍德(Hewood)发现肯普的证明是错误的，指
1 4
3
5
2 带权树 2
6
三、最小生成树
定义：在图G的所有生成树中，树权最小的那棵生成树， 称作最小生成树。 最小生成树的生成算法： (1)避回路法 (2)破圈法 作业Ｐ327 (3) (6)
deg(v ) 2e
i 1 i
v
故2e ≥6v，所以e ≥3v>3v-6，与ｅ≤3v-6矛盾。 定理3 任意平面图G最多是5-色的。
7-7
一、树
树与生成树
定义： 一个连通且无回路的无向图称为树。树中度数为1
代数结构-树
384
(1，2，5，6) (8，3，4，3)
6
7
离散数学 中国地质大学 计算机学院
18
生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
384 7
(1，2，5，6，3) (8，3，4，3，8)
离散数学 中国地质大学 计算机学院
19
生成树 (Spanning TCaryeleey定) 理：n个顶点的标号完全图Kn有nn-2棵生成树
w(e1)<=w(e1’)，从而w(T1)<=w(T*)。 依此进行，可以将ek加入到Tk-1中，将形成环，此环中必然然存在边ek’在T*中而不在T中，于是，删除ek’， 则得到生成树Tk。而显然，两边序列e1e2e3…ek 与 e1e2e3…ek’均不构成环，而按kruskal算法，必然有 w(ek)<=w(ek’)， 从而 w(Tk)<= w(Tk-1)<=w(T*) ……， 最后可以将em加入到Tm-1中，得到生成树Tm，且w(Tm)<=…<=w(Tk)<= w(Tk-1)<=… <=w(T1)<=w(T*)。 而此时， T所有边都加入到Tm中，即Tm=T。故w(T)<=w(T*) 因此，T为最小生成树。
(3，2，2，3，4，1)
S:(5，6，7，2，3，4)
5
1
32 6
4
8
7
因此，序列集合{t1,t2,…,tn}与Kn的生成树集合存在双射关系。
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29
2 生成树(Spanning Tree) 最小生成树(minimum spanning tree)
算法？ Kruskal算法
《图论》图的着色(课堂PPT)
PK3(3) = 6
19
6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
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6.2 色数多项式
a
a
a
b
cb
cb
c
a
a
a
b
cb
cb
c
PK3(3)=6
20
6.2 色数多项式
➢ 若干特殊图的 PG(k) 1) 零图： G=(V, E) ，n=|V|，|E|=0，PG(k)=kn 2) 树：根节点在 k 种颜色中任取，非根节点选取 与其父亲节点不同的颜色。 PG(k)=k(k-1)n-1 3) 完全图： PG(k)=k(k-1)(k-2)…(k-n+1) 4) 非连通图：设图G由不连通的G1和G2构成，则 由乘法原理：PG(k)=PG1(k)PG2(k)
6
6.1 色数
[临界图] G=(V, E)，若对G的任一真子图H均有
(H)<(G)，则称G为一个临界图。
➢ k 色临界图称为 k-临界图。
[性质]
① 任何 k 色图通过对边的反复删减测试最后可以得
到其 k-临界子图。
② 临界图是连通图。
证：设G1、G2为临界图G的两个连通分支，则
(G)=max{(G1), (G2)}。不妨设 (G)=(G1)，而
① 在图G中任取一边 e； ② 在图G中去掉 e，得新图G1；
在图G中收缩 e 的两端点，得新图G2，由上述有 PG(k) = PG1(k) - PG2(k)
③ 继续分解G1和G2，直到最后全部为零图。 ④ 利用 n 阶零图的 P(k)=kn 构造图G的色数多项式。
① 若 n=2，则G为 K2，PG(k)=k(k1)=k2k。
② 若 n>2，则G除一个 K2 外其它为孤立点：
PG(k)=k(k1)kn-2=knkn-1。
给地图着色--一种行之有效的树图法
３ 种 （ 余 ２ ， 为 口６ Ⅱ 还 种 设 、）
…
Ｂ
・ ・
ｌ ……同 Ｂ
， … …
・
ｂ Βιβλιοθήκη ｎ Ａ ｂ …
６ … …口
Ｉ … Ｂ …
， … …
３ 种
’
．
…
Ｂ
．
共有 ５ ４ （＋２ × ×３ ３
６
＋２ ：４ ０种 ） ２
口 … …Ａ
ｉ Ｉ
… …
３ 种
’
意 解方与巧 题 法 技
给地 图着 色—— 一种 行之 有 效 的树 图法
广西横 县第二 高级 中学（ ３ ３ ０ 周济 红 ５００ ）
有 四种不同的颜色可以给一 张地 图着色 ， 并且使 得任何两个相邻 的区域颜色不相 同， 这就是古代数学
的 一个 重 要 成 果 ， 明 给 不 同 的 区域 着 色 ， 一 个 历 说 是 分步 ： 着色 ： 一 ① 二 ②
ｒ ● ● ● （ 、 ● ｌ
以选择使用 ， 则不同的染色方法总数为
解： 画树 图如 下 ： 分步 ： ① ② ③
Ｅ Ｂ
种．
口 ６
图 ｌ
着色 ： Ｂ Ｃ Ａ 种 数 ： ４ ３ ５
着色 ： Ｂ Ｃ Ｄ Ａ
，… …
“
种 数 ： ４ ３ 同 Ａ … …ｂ ５
Ｅ
（） 区域 ３和 ５同 色 ， Ｃ 种 ， 域 ２和 ４同 ２若 有 ｊ 区
色共有 ａ 种 ， 则区域 １可在余下 的 ２种颜色 中任选 种， 有 种 ， 种 选 法共 有 Ｃ ａ ＝２ ． 此 ｛ ４种
一
综 上 所 述 ， 知 不 同 的着 色 方 法有 ７ 种 ． 可 ２ 【 ３ 将 一 个 四棱 锥 的 每 一 个 顶 点 染 上 一 种 例 】 ④ Ｄ 同 颜 色， 并使 同一条棱的两端 异色 ， 只有五种颜 色可 若 Ａ
23趣味的图论问题(2)
u1 u2 u3 v1 v2 v3
初 等 数 学 专 题 研 究
因此这9条铁路必定相交，除非它们不在同一个平面上 （地下铁路或立体交叉铁路）
例3：如果平面图G是简单图，那么它一定有一个次数不超 过5的顶点。 证明：不妨假设G是连通的，否则考虑它的每一个连通分支。 因为G是简单图，每个面至少有三条边，所以有 3 f ≤ 2m
初 等 数 学 专 题 研 究
下面的定理揭示了树的顶点数与边数的关系。 定理2：如果树T的顶点数为n，那么它的边数m = n－1。 证明：由定理1，树T至少有两个悬挂点，我们去掉一个悬 挂点和链接这个悬挂点的边得到一颗新树T1，它的顶点和 边数同时减少1，所以T1的顶点数n1与边数m1的差 n1－m1=(n－1)－(m－1)=n－m 即边数与顶点数的差保持不变，如此操作下去，最后一 定可以得到一个只有两个顶点的树。而两个顶点的树只 有一条边，所以有 n－m = 1 m = n－1。 即 这个定理是可逆的。 定理3：如果连通图G的顶点数n和边数m满足m = n－1, 那么图G就是一颗树。 证明我们就留作作业。
m f ≤ 2 m n≤ 3
初 等 数 学 专 题 研 究
如果每个顶点的次数都不小于6，那么有 6n≤2m 由欧拉公式得：
返回
例4：证明不存在7条棱的多面体 证明：
3 f ≤ 2m , 3n ≤ 2m
初 等 数 学 专 题 研 究
这与
矛盾，所以不存在7条棱的多面体。
例5：证明完全图k5不是平面图 证明：对于k5，n = 5, m = 10，如果k5是平面图，根据欧拉 公式得
二、树 为了证明欧拉公式，我们先引进“树”的概念： 一个没有圈的连通图称为树。
v1 v2 v3 v5 v8 v4 v6 v9 图5 v7 v10
山东科技大学 离散数学7-6对偶图与着色7-7 树+复习
7-8 根树及其应用
一、根树
1、有向树 定义7-8.1 如果一个有向图在不考虑边的方向时
是一棵树，那么，该有向图称为 有向树。
2、根树
定义7-8.2 一棵有向树,如果恰有一个 结点的入度为0，其余所有结点的入度都为1, 则称为根树(rooted tree)。 入度为0的结点称为T的树根。 出度为0的结点称为树叶。 出度不为0的结点称为分支点或内点。
7. 设a和b是格<A, ≤>中的两个元素，证明 (1)a∧b=b 当且仅当a∨b=a (2) a∧b < b和a∧b <a 当且仅当a与b是不可比较的 证明： (1)在格中吸收律满足, 则 由a∧b=b, a∨b=a∨(a∧b)=a 反之, 若a∨b=a, 则a∧b= (a∨b)∧b=b (2)若a∧b < b和a∧b <a, 即表明a∧b ≠b和a∧b ≠a, 用反证法： 假设a与b是可比较的, 则 a≤b，a∧b=a，矛盾; b≤a，a∧b=b，矛盾 因此a与b是不可比较的。 反之, a与b是不可比较的, 则a≤b和b≤a均不成立, 即a∧b ≠b和a∧b ≠a 根据∧的定义：a∧b≤a 和 a∧b≤b, 故 a∧b < b和a∧b <a
点中的某一个称为根,其他所有结点被分成有限个
在有向树中，结点的出现次序是没有意义的。 但实际应用中，有时要给出同一级中结点的相对 次序，这便导出有序树的概念。 4、有序数：在根树中规定了每一层上结点的次 序，称为有序树。
为表示结点间的关系，有时借用家族中的术语。
定义 在以v0为根的树中， （1）v1，v2,…，vk称为v0的 儿子，v0称为它们的 父亲。vi，vj 同为一顶点v的儿子时，称它们为兄弟。 （2）顶点间的父子关系的传递闭包称为顶点间
离散数学平面图
则满足欧拉公式 v – e + r = 2 即：6-9+r=2，解得r=5
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
又因为任取K3,3中三个结点，至少有两个点不邻接， 所以不能组成一个面，即K3,3中任何 一个面至少由四条边围成，即：所有面 的次数之和deg(r) >=4r=20 又由定理1知：deg(r)=2|E|=18 即18>=20矛盾不。论怎所么以画，K总3,有3不交是叉点平面图。
❖ 平面图基本性质
设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3, 则：e<=3v-6。等价于: 若不满足e<=3v-6，则G不是连通平面图。
例题：证明k5图不是平面图。
K5图中,v=5,e=10,10 3*v-6=35-6=9
但定理的条件只是必要条件。
如K3,3中v= 6,e =9, e<3v-6=12 满足条件，但K3,3不是平面图。
离散数学
❖ 图论
1 图的基本概念 2 路与回路 3 图的矩阵表示 4 欧拉图与汉密尔顿图 5 平面图 6 对偶图与着色 7 树与生成树
❖ 平面图基本概念
定义1：设G=<V,E>是一个无向图，如果能把G的所有结点和
边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点， 就称G是一个平面图。
(1)
G为k条边，再添加一条边，只有下述两种情况：
面数不变 点树加1 边数加1
点数不变 面数加1 边数加1
(Vk+1)-(ek+1)+rk=2成立
(Vk)-(ek+1)+(rk+1)=2成立
通过上述归纳法证明欧拉公式v-e+r=2成立。
❖ 平面图基本性质
例1：证明K3,3不是平面图
证：假设K3,3是平面图，
图论课件第七章图的着色
总结词
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
平面图的着色问题是一个经典的图论问题，其目标是在满足相邻顶点颜色不同 的条件下，使用最少的颜色对平面图的顶点进行着色。
详细描述
平面图的着色问题可以使用欧拉公式和Kuratowski定理进行判断和求解。此外 ，也可以使用贪心算法、分治策略等算法进行求解。
树图的着色问题
总结词
树图的着色问题是一个经典的图论问 题，其目标是使用最少的颜色对树图 的顶点进行着色，使得任意两个相邻 的顶点颜色不同。
分支限界算法
总结词
分支限界算法是一种在搜索树中通过剪枝和 优先搜索来找到最优解的算法。
详细描述
在图的着色问题中，分支限界算法会构建一 个搜索树，每个节点代表一种可能的着色方 案。算法通过优先搜索那些更有可能产生最 优解的节点来加速搜索过程，同时通过剪枝 来排除那些不可能产生最优解的节点。分支 限界算法可以在较短的时间内找到最优解，
尤其适用于大规模图的着色问题。
03
图的着色问题的复 杂度
计算复杂度
确定图着色问题的计算复杂度为NP-完全，意味着该问题在多项式时间 内无法得到确定解，只能通过近似算法或启发式算法来寻找近似最优解 。
图着色问题具有指数时间复杂度，因为对于n个顶点的图，其可能的颜色 组合数量为n^k，其中k为每个顶点可用的颜色数。
02
图的着色算法
贪心算法
总结词
贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的选 择，从而希望导致结果是最好或最优的算法。
详细描述
贪心算法在图的着色问题中的应用是通过逐个对顶点进行着色，每次选择当前未 被着色的顶点中颜色数最少的颜色进行着色，直到所有顶点都被着色为止。这种 算法可以保证最小化使用的颜色数量，但并不保证得到最优解。
基于IFS分形算法的树木形态分析与实现
由图 １粗略计算 可得各子 图的 ｒｑ ， 参数值 ， 如表 １所示。
表 １ 各子 图 的 ｒｑ值 ｌ
３ 树 木的 ＩＳ算 法设 计与 实现 Ｆ
在树木 的形态模拟方 面，Ｆ ＩＳ方法 为人们 表达树 木实体
提供 了很好 的帮助。为此 ， 利用 ＩＳ法构造 分形树 时必须找 Ｆ
出 自然界树木不规则 中的规则 ， 构造 相应 的模型 ， 能在计 才
１ ｒｑ的 确定 ），
ｒｑ表示 子 图在 ｘ Ｙ 向上的压缩 比 ， 由下面各式计 ， ，方 可
算求得 ： ｒ 子 图 Ｉ 宽 度／ Ｎ） ｗ ｉ ０，…
ｑ ，：子图 Ｉ 的高度／ 总高度
： ｉＨ （ ＝０ １ …Ｎ） ｈ／ ｉ ，…
关键词 ： 分形 ； 迭代 函数系统； 树木形态模拟 ； 随机迭代算法
中 图分 类 号 ：Ｐ ９ Ｔ３１ 文 献标 识 码 ： Ｂ
Ａｎ ｌ ｓｓ ａ ａ ｉ ａ ｉ ｎ ａ ｏ ｔ Ｔｒ ｅ Ｆｏ ｍ ｓ ａ ｙ ｉ ｎｄ Ｒｅ ｌｚ ｔｏ ｂ ｕ ｅ ｒ
Ｂａ ｅ ｎ Ｉ ａ ｔ ｌＡｌ ｏ ｉｈ ｓ ｄ ｏ ＦＳ Ｆｒ ｃ ａ ｇ ｒ ｔ ｍ
ａｙ ｅ ｂ ｕ ｅ ｅ ａｉ ｇ ｓ ｇｅ ｃ ｌｕ ｒｙ ｌｖ ｌ ｒｅ ａ ｒ ｅ ａ ｅ ｎ ｔａ ｉ ｏ ａ ａ ｄ ｍ ｔ ｒｔ ｎ ａｇ ｒ ｈ ，ａ ｄ ａｌ ｌ ｚ ｄ ａ ｏ ｔｇ ｎ ｒｔ ｉ ｌ ｏｏ ｒｇ ａ ｅ ｅ ａ ｔ ｔ ｓ ｂ ｓ ｄ ｏ ｒｄ ｔ ｎ ｌｒ ｎ ｏ ｉ ａｉ ｏ ｉ ｍ ｎ ｎ ｆ ｌ ｅ ｉ ｅ ｏ ｌ ｔ ｎ ｌ
其 中：
｛ 詈
图 １ 树 木 整 图 与子 图拼 贴 示 意 图
３２ 树 木 的 Ｉ Ｓ码 的设 计 ． Ｆ
彩色总平面图制作(完美版)
[设计心得]彩色总平面制作扫盲总平填色（一）——制作概述总平填色的制作需要使用的软件主要是AutoCAD和PhotoShop这两个软件。
AutoCAD主要的作用是：前期对图纸整理并通过虚拟打印来打印输出TIFF格式文件，后期整个制作流程中对图纸的观察。
PhotoShop 主要的作用是：对AutoCAD输出的TIFF格式文件进行色彩的填充、材质的赋予、光影的分布、环境的美化等一系列的操作。
其中图01是AutoCAD格式的规划图，图02是经过PhotoShop处理后的总平填色图。
总平填色的制作流程：一、图纸的整理。
通常图纸的整理是将图纸整理分为整体框架层和文字说明层两层，遇到较为复杂的图纸我们可以根据需要把图层划分的更加细致，如建筑层、停车位层、铺装层、水系层等。
（使用软件：AutoCAD）二、图纸的打印与输出。
我们常用的输出格式是TIFF不压缩格式，但AutoCAD中默认的打印输出设置中没有TIFF不压缩格式，需要我们另行添加。
（使用软件：AutoCAD）三、整体大环境的处理。
在这个环节中我们主要是将AutoCAD输出的整体框架层和文字说明层合并到一个画布里，要把规划内部和外部的绿地划分开，主干道和小区内部道路划分开，以及对水系的基本色彩填充。
（使用软件：PhotoShop）四、建筑的处理。
在这个环节中我们要将建筑的部分制作出来，包括主体建筑部分的制作、女儿墙的制作、光影关系的处理、坡屋顶的处理、玻璃顶的处理等。
在有的规划中需要对已有建筑和拟建进行区分，对住宅和公建、商业进行区分。
（使用软件：PhotoShop）五、水系的处理。
在这个环节中我们要将水系的光感、色感、质感处理到位，有些规划中小区中央景观组团中还有喷泉和瀑布的制作。
（使用软件：PhotoShop）六、铺装的添加。
在这个环节中我们要将规划中的硬质铺装根据AutoCAD中规划的变化来分别添加。
（使用软件：PhotoShop）七、绿化的处理。
着色问题与排队论
void GraphColor(int n, int c[ ][ ], int m) //所有数组下标从 1 开始 { for (i=1; i<=n; i++ ) //将数组 color[n]初始化为 0 color[i]=0; k=1; while (k>=1) { color[k]=color[k]+1; while (color[k]<=m) if Ok(k) break; else color[k]=color[k]+1; //搜索下一个颜色
12.1.1
顶点着色问题
一、基本定义 对图 G=(V,E)，设 S 是 V 的一个子集，若 S 中任意两个顶点在 G 中均不相邻，则称 S 为 G 的一个独立集，如果 G 不包含适合|S'|＞|S|的独立集 S'，则称 S 为 G 的最大独立集。 设 K 是 G 的一个独立集，并且对于 V\K 的任一顶点 v，K+v 都不是 G 的独立集，则 称 K 是 G 的一个极大覆盖。极大独立集的补集称为极小覆盖， V 的子集 K 是 G 的极小覆 盖当且仅当：对于每个顶点 v 或者 r 属于 K，或者 v 的所有邻点属于 K（但两者不同时成 立） 。 G 的一个 k 顶点着色是指 k 种颜色 1,2,…,k 对于 G 各顶点的一个分配，如果任意两个 相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色是正常的。换句话说，无环图 G 的一个正常 k 顶 点着色是把 V 分成 k 个（可能有空的）独立集的一个分类 (V1,V2,„,Vk)。当 G 有一个正常 k 顶点着色时，就成 G 是 k 顶点可着色的。 G 的色数 X（G）是指 G 为 k 可着色的 k 的最小值，若 X（G）=k，则称 G 是 k 色的。 ·160·
12.1.1
顶点着色问题
一、基本定义 对图 G=(V,E)，设 S 是 V 的一个子集，若 S 中任意两个顶点在 G 中均不相邻，则称 S 为 G 的一个独立集，如果 G 不包含适合|S'|＞|S|的独立集 S'，则称 S 为 G 的最大独立集。 设 K 是 G 的一个独立集，并且对于 V\K 的任一顶点 v，K+v 都不是 G 的独立集，则 称 K 是 G 的一个极大覆盖。极大独立集的补集称为极小覆盖， V 的子集 K 是 G 的极小覆 盖当且仅当：对于每个顶点 v 或者 r 属于 K，或者 v 的所有邻点属于 K（但两者不同时成 立） 。 G 的一个 k 顶点着色是指 k 种颜色 1,2,…,k 对于 G 各顶点的一个分配，如果任意两个 相邻顶点都分配到不同的颜色，则称着色是正常的。换句话说，无环图 G 的一个正常 k 顶 点着色是把 V 分成 k 个（可能有空的）独立集的一个分类 (V1,V2,„,Vk)。当 G 有一个正常 k 顶点着色时，就成 G 是 k 顶点可着色的。 G 的色数 X（G）是指 G 为 k 可着色的 k 的最小值，若 X（G）=k，则称 G 是 k 色的。 ·160·
中学地理教师基本功培训资料——简易地理板图(板画)绘画技巧
中学地理教师教学基本功培训资料简易地理板图（板画）绘画技巧简易地理板图（板画）绘画技巧地理板图又叫地理黑板图。
是地理教师在教学过程中，凭借自己的记忆和熟练技巧，用简单的工具（如各色粉笔）和简练的笔法，把复杂的地理事物和现象迅速描绘在黑板上的简略地理图画。
主要包括地理略图、形态图、剖面图和过程图等主要类型。
其中，后三种又被称为地理板画。
一、学习简易地理板图（板画）绘画的意义地理板图只取神似，不计细节，旨在抓住特征，突出重点，说明地理问题。
在地理教学中具有十分重要的作用。
所有教学技术手段都有自身的价值和存在的意义。
我们发展现代教学技术，并不是要抛弃一切传统的教学技术，而是要把现代教学技术和传统教学手段结合起来，努力挖掘所有教学技术手段的使用价值，积极促进各种技术手段之间的协同互补，从而促进教学技术体系整体协调发展。
二、简易地理板图（板画）速绘的基本要求简易地理板图的绘画具有三要素，即略、像、快。
评价地理板图的优劣，主要应从以下几个方面入手：1．板图形式简略、美观要求线条流畅、简练、清晰；色彩鲜明、爽目；富于表现性，使人看之悦目。
切忌支离破碎，随手乱画，为此必须做好原图的简化工作。
（图1、2）2．内容准确，重点突出讲求地理科学性，明确图上各种地理要素之间的关系；突出所要表达的主要地理事物和现象。
3．作图迅速，与语言同步要具有熟练的作图技巧，迅速成图；应与教学语言配合协调，同步进行。
切忌为作图而作图。
图1 澳大利亚略图图 2 五带的划分三、简易地理板图（板画）绘画技巧及训练地理板图的速绘历来都被看成是少数人的天赋，对多数人来说，是可望而不可及的。
传统的板图描绘技法大都落笔只画一点、一线，费时多、效率低，且技法难以掌握。
许多教师往往因画跟不上讲，影响教学进程而放弃。
近年来，随着教学改革的不断深入，有关专家已大胆地改革了传统的绘图方法，在作图速度上有很大突破，形成了简单易学的作图技巧。
归纳起来大致可包括绘图工具的制作、笔法的运用和作图要领等。
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
【国家自然科学基金】_顶点着色_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140803
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词 圈 随机图 重对数律 选色 路 补倍图 点色数 正则图 欧拉公式 平面图 完全图 地形可视化 圆色数 图3-着色问题 围长 剪枝策略 中偏差 roam r-圆着色 np完全问题 mycielski图 gpu编程 dna超级计算 (k,d)-着色
科研热词 对偶图 色数 森林 4着色 顶点着色 顶点folkman数 连通分支 边着色 色多项式 色唯一性 老鼠 编码 着色 瑕着色 无线传感器网络 广播调度问题 广义θ -图 平图 对策色数ⅱ 对策着色 对偶树 图顶点着色问题 图着色 四着色 唯一3-着色 可k-着色 分解 全着色 伴随多项式 伴随唯一性 临界图 下界 上界 θ 图 h路径pi hopfield神经网络 dna计算
推荐指数 4 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5
2014年 科研热词 顶点着色 纽结 方括号多项式 平面图 双色多项式 推荐指数 1 1 1 1 1
推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
图论第6章 平面图
(4) 平面图在加环或平行边后还是平面图。
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
例： 立方体是平面图。
凸多面体
平面图的理论与多面体的研究密切相关:事实上,由于 每个凸多面体P可以与一个连通可平面图G对应,G的顶点 和边是P的顶点和棱,那么G的每个顶点的度至少为3.由于 G是一个平面图,则P的面就是G的面,并且G的每一条边落 在两个不同面的边界上. 一个多面体P的顶点,棱和面的数目分别用V,E和F来表 示,而且,这些分别是连通图G的顶点,边和面的数目.故欧 拉公式可写成V-E+F=2,这就是著名的Euler凸多面体公式. 为方便起见,用Vn和Fn分别表示凸多面体P的n度 点和n度面的数目,则n3且 2E nVn nFn
n3 n3
多面体的一些性质定理
定理 每个凸多面体都至少有一个n度面,其中 3n5.
证明:设F3=F4=F5=0,则: 即有F1/3E,又
n 6
2E nFn 6Fn 6 Fn 6F
n 6 n 6
2E nVn 3Fn 3V
n 3 n 3
定理：设H是G容许的，则对H的每一个片B，有
) FG ( B, H
~
~
这里
) { f f F (H ) , F (H )为H 的面集, 且B在f 内可画出} FG ( B, H
~ 是G容许的,则存在G的一个平面表示 证明:若 H ~ ~ ~ ~ 的子图 G, s.t. H G .显然,H的片B所对应的
i 1
定理： 设G是简单平面图，则G的最小度(G)≤5。 证明：设 G有n个结点，m条边。当n≤6，因为G是 简单图，因此， (G)≤(G)≤5。以下证n≥7的情况， 若 (G)≥6 ，即每个结点的度数大于等于 6n， G 中所有结 点度数之和大于等于6n。于是 2m= deg(vi ) i 1 ≥6n，m≥3n＞3n–6，即m＞3n–6，矛盾。
园林手绘 第三讲
画树的步骤
1、先勾画树的整体轮廓，抓住树的形态特征 先勾画树的整体轮廓， 2、从树的顶部画起，逐渐向下绘制，注意树叶的 从树的顶部画起，逐渐向下绘制， 疏密，显隐关系。 疏密，显隐关系。 3、绘制底部的树枝和树干，注意树干与树枝的穿 绘制底部的树枝和树干， 插关系和上细下粗的生长规律。 插关系和上细下粗的生长规律。
正面图中绘制树木的窍门
1、先画出树木的基本形状，它们中包括那些圆的、椭 先画出树木的基本形状，它们中包括那些圆的、 圆的、柱形的、不规则的和圆锥形的的形状， 圆的、柱形的、不规则的和圆锥形的的形状，如果 是草图的话，画出这些轮廓形状就可以的。 是草图的话，画出这些轮廓形状就可以的。 注意使用蜿蜒构图、对比色、色调联系等技法， 2、注意使用蜿蜒构图、对比色、色调联系等技法，注 意留下空白。在画面上打一些点， 意留下空白。在画面上打一些点，最后用黑色勾画 轮廓。 轮廓。 建筑后面的树木，要比建筑色浅一点或深一点， 3、建筑后面的树木，要比建筑色浅一点或深一点，以 形成合适的对比，对照。 形成合适的对比，对照。 前景中的树木，树叶和树干的都要画出较为精细， 4、前景中的树木，树叶和树干的都要画出较为精细， 背景中的树木画出大致轮廓就可以。 背景中的树木画出大致轮廓就可以。
6、画树木或其他植物，要注意画阴影， 、画树木或其他植物，要注意画阴影， 以使它们与地面区分开来， 以使它们与地面区分开来，在树木 与阴影之间要留下细小缝隙 而已用白色铅笔来处理） （而已用白色铅笔来处理） 7、当树木靠着建筑或超过房顶时，它的形状要重叠在 、当树木靠着建筑或超过房顶时， 上。 8、如果要画很多树，可以刻一个一颗树的模印，用盖 、如果要画很多树，可以刻一个一颗树的模印， 树印的方法来处理，节省时间。 树印的方法来处理，节省时间。