高数函数极限方法总结 (课堂PPT)
合集下载
大学高数第一章函数和极限ppt课件
16
幂函数图像（a 0时）
17
幂函数图像（a 0时）
18
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 图像必经过点(0,1)
19
对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
32
例 证明 lim | x | 0 x 0
证：因为 lim | x | lim (x) 0 ，
x0
x0
{x
|
x
2
k
,
k
Z } ,余
切函数定义域为 {x | x k , k Z} ，二者周期T均为
，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。
22
正切、余切函数基本图像
正切函数图像片段
23
余切函数有限次四则运算和有限 次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数， 称为初等函数。 例如： y lg x 、y x tan x sin(1 ex )
幂函数图像（a 0时）
17
幂函数图像（a 0时）
18
指数函数基本性质
解析式: y ax (a>0，且a 1) 基本特征:定义域为实数集R，值域为(0,+∞)，函数 图像必经过点(0,1)
19
对数函数基本性质
解析式: y loga x(a 0,且a 1)
基本特征:定义域为(0,+∞)，值域为实数集R，图像
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
x x0
x x0
lim | x | lim x 1，
x
x x0
x x0
左右极限不相等，所以， lim | x | 不存在. x0 x
也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在
32
例 证明 lim | x | 0 x 0
证：因为 lim | x | lim (x) 0 ，
x0
x0
{x
|
x
2
k
,
k
Z } ,余
切函数定义域为 {x | x k , k Z} ，二者周期T均为
，值域均为(- ∞,+ ∞) ,互为倒数。
22
正切、余切函数基本图像
正切函数图像片段
23
余切函数有限次四则运算和有限 次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数， 称为初等函数。 例如： y lg x 、y x tan x sin(1 ex )
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小是函数极限的必要条件，即如果函数在某点的极限存在，那么函数在该点的值必定是无穷小。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
大学数学函数的极限-PPT
注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
高数极限讲解PPT课件
即
于是 故复合函数
lim f (u)
u u0
f [(x0 )]
第15页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
是由连续函数链
复合而成 ,
x R*
因此
在 x R* 上连续 .
y
y sin 1
x
o
x
第16页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 .设
均在
上连续, 证明函数
也在
上连续.
证:
f (x) g(x)
根据连续函数运算法则 , 连续 .
f (x) g(x)
可知
也在
上
第17页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、初等函数的连续 性基本初等函数在定义区间内连续
连续函数经四则运算仍连续
连续函数的复合函数连续 例如,
y 1 x2 的连续区间为 y ln sin x 的连续区间为 而 y cos x 1 的定义域为
第19页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 求
解:
原式
3 sin
x
ln(1
2
x)
3 2x
x
说明: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim 1 u(x) v(x) e
x x0
lim v(x)u(x)
e xx0
第20页/共37页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
性已知函数
在区间 I 上连续,
即:
一般情形, 与 , x0 都有关.
了一致连续的概念 .
定义:
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
高数极限方法优秀PPT
是否有定义无关.因而考察 x x0 时的极限时，规定
x x0 .
引例2
f
(x)
x 1 k(k
2)
x1 x 1,
2. 当x x0时，函数 f ( x) 有极限且在 x＝x0 处有 定义，则其极限值与该点的函数值f ( x)的大小无关.
也就是说 lim x x0
f (x)
f ( x0 )不一定成立 .
x返回0
结束
x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
f (0 ) lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 . x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 证明 lim C C (C 为常数 ) x x0
对应的函数值f ( x)的变化趋势. x 1时， f ( x) 2 我们可以说，当x 1时，
yyy 2
1
(1,2)
xx
10 1 x
函数f ( x) x2 1( x 1)的极限为2. x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【结论】
1. 当x x0时，函数 f ( x) 有无极限与函数在该点
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1 . 设函数 f ( x)在点 x0 的某去心邻域内有定义 ,
若 0, 0,当 0 x x0 时, 有 f ( x) A
则称常数 A 为函数 f (x)当x x0时的极限, 记作
lim f ( x) A 或 f ( x) A (当x x0 )
x
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
lim arctan x
极限的求法总结.ppt
lim 1 (1 1 ) 1 n 2 2n 1 2
例
lim(
x1
1 x 1
2
x2
) 1
lim( 1 2 ) lim( x 1 2 ) x1 x 1 x2 1 x1 x2 1 x2 1
lim
x1
x 1 x2 1
lim
x1
x
1 1
1 2
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
y y 1 x
1
o
y x2 1 x
8.分子（母）有理化求极限
【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
例 求极限 lim ( x2 3 x2 1) x
lim (
x
x2 3
0ab,00当,当n n
m, m,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
练习1 练习2
求 lim 2x 2 5x 1. x1 x 2 4x 8
求 lim 2n 1 . n n2 n
练习3 练习4
lim (2x 3)20 (3x 2)30
x
(2x 1)50
lim (2x 1)4 (x 1)78
x
(x 1)82
lim x
x4
(2
1 x
)4
x78
(1
1 x
)78
x82 (1
1 x
)82
24
16
5.先变形再求极限
(利用求和化简，拆项技巧，合并化简等)
归纳高数极限PPT.ppt
由图容易看出：
lim arctan x ,
x
2
2
y arctan x x
lim arctan x ,
x
2
由定理可知： lim arctan x 不存在. x
2
请同学们 自己证一下.
.精品课件.
18
二. x x0 时, f (x) 的极限
x x0 时函数的 极限, 是描述当 x 无限 接近 x0 时, 函数 f (x) 的变化趋势.
想想：如何从几何的角度来表示该定义？
| f (x) a | a f (x) a
.精品课件.
5
lim f (x) a 的几何意义
x
y
y f (x)
y a ya
y a
O
X
x
当 x X 时, a f (x) a , 即函数的图
形夹在两条平行线 y a 和 y a 之间.
非
常
非
常
严
格
！
.精品课件.
24
例5
证明 lim 2(x2 4) 8 . x2 x 2
证 0, 要 2(x2 4) (8) ,
x2
x 2
只要 | 2(x 2) 8 | 2 | x 2 | 2 | x (2) |
故取 , 则当 0 | x (2) | 时, 有
第二章 极 限
数列的极限 函数的极限 无穷小量与无穷大量 极限的运算 极限存在定理 两个重要极限 无穷小量的比较
结束
.精品课件.
1
第二节 函数的极限
一. x 时, f (x) 的极限 二. x x0 时, f (x) 的极限 三. 函数极限的性质 四. x x0 时, f (x) 的左、右极限
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。
Hale Waihona Puke .1414、函数的连续性
.
15
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快 于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来 了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
二.F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A,
limF(x)=limG(x)=A 则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) 则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x) 即 A≤limf(x)≤A 故 limf(Xo)=A
.
9
9、收敛数列的性质
4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
.
11
11、极限的四则运算性质
.
12
12、利用单侧极限
.
13
12、函数极限的定义
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在 常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正 数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε
.
7
7、换元法、代换法
.
8
8、夹逼法则（迫敛法则）：
数列极限 适当变形，放缩和扩大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。
+2，……）， （2）当n→∞，limYn =a；当n→∞ ，limZn =a， 那么，数列{Xn}的极限存在，且当 n→∞，limXn =a。
各项的拆分相加
（来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数
.
16
16、用罗必塔法则求极限（上下分别 求导）
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 LHopital 法则、洛必达法则 （所以面对数列极限时候先要转化成 求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必 要条件 ）
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收 敛。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。 （求出极限）
.
10
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式
相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小
1 X
，最后凑指数部分。
.
6
6．等价无穷小代换法 x 0 x ~ s x ~ t i x ~ a n a x n ~ r a c x ~ r l 1 s c n x ) ~ ei x t ( 1n an
1co x~s1x2,1abx1~abxa∧x—1～xlna(a是固定的，x是变量)
2
【说明】 (1) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (2)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 (3)只能在乘除时使用，但是不是说一定在加减的时候不能 用，但是前提要证明拆分后极限依然存在。
能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ，
.
17
17、对数恒等式、幂指函数
limf (x)g(x)
.
18
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
.
19
.
5
5．应用两个重要极限公式（重要公式法）
sin x lim 1 x0 x
li(1 m 1 )x li(1 m 1 )n li(1 m x )1 x e
x n x
n
x 0
0
第一个重要极限
0
第二个重要极限（1+0）∧∞。
强行代入，定型定法
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
先凑出１，再凑
高数函数极限方法总结
周凌伊
.
1
1、直接代入法
分母不为零
.
2
2．约去零因子法
0 0
.
3
3、抓大头法
一般分子分母同除最高次方；对于多项式函数
0
lx im bamnxxmn
an1xn1 a0 bm1xm1 b0
an
bn
mn mn mn
.
4
4．分子(母)有理化法
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 及时分离极限式中的非零因子是解题的关键
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无 穷！）
（导数存在、极限存在） （必须是 0比0 无穷大比无穷大） （当然还要注意分母不能为0 ） 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大与无穷小成倒数的关系） 0 的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就
Hale Waihona Puke .1414、函数的连续性
.
15
15、特殊型
x的x次方 快于 x！ 快于 指数函数 快于 幂数函数 快 于 对数函数 （画图也能看出速率的快慢） 当x 趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来 了
等比等差数列公式应用
（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
二.F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A,
limF(x)=limG(x)=A 则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有 F(x)≤f(x)≤G(x) 则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x) 即 A≤limf(x)≤A 故 limf(Xo)=A
.
9
9、收敛数列的性质
4.有限个无穷大之积是无穷大 5.无穷大与有界函数之和是无穷大，之积不一定 6.同号无穷大之和是无穷大
.
11
11、极限的四则运算性质
.
12
12、利用单侧极限
.
13
12、函数极限的定义
设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在 常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正 数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值 f(x)都满足不等式： |f(x)-A|<ε
.
7
7、换元法、代换法
.
8
8、夹逼法则（迫敛法则）：
数列极限 适当变形，放缩和扩大
一.如果数列{Xn},{Yn}及{Zn}满足下列条件： （1）从某项起，即当n>n。，其中n。∈N，有Yn≤Xn≤Zn。 (n=n。+1，n。
+2，……）， （2）当n→∞，limYn =a；当n→∞ ，limZn =a， 那么，数列{Xn}的极限存在，且当 n→∞，limXn =a。
各项的拆分相加
（来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数
.
16
16、用罗必塔法则求极限（上下分别 求导）
【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 LHopital 法则、洛必达法则 （所以面对数列极限时候先要转化成 求x趋近情况下的极限， 当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必 要条件 ）
1.收敛数列与其子数列收敛同一个数 2、（极限存在性定理）单调递增有上 界函数收敛，单调递减有下界函数收 敛。（证明） 利用每项数列趋于同一数方程求解。 （求出极限）
.
10
10、无穷小和无穷大的性质：
无穷小与有界函数的处理办法 尤其对正余旋的复杂函数与其他函数相乘的形式
相同极限条件下 1.有限个无穷小的和是无穷小，无限个不一定 2.无穷小与有界函数的乘积是无穷小 3.有限个、无限个无穷小的乘积是无穷小
1 X
，最后凑指数部分。
.
6
6．等价无穷小代换法 x 0 x ~ s x ~ t i x ~ a n a x n ~ r a c x ~ r l 1 s c n x ) ~ ei x t ( 1n an
1co x~s1x2,1abx1~abxa∧x—1～xlna(a是固定的，x是变量)
2
【说明】 (1) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； (2)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 (3)只能在乘除时使用，但是不是说一定在加减的时候不能 用，但是前提要证明拆分后极限依然存在。
能把幂上的函数移下来了， 就是写成0与无穷的形式了 ，
.
17
17、对数恒等式、幂指函数
limf (x)g(x)
.
18
18、利用Taylor公式求极限
泰勒展开式公式 (含有e的x次方的时候 ，尤 其是含有正余弦的加减的时候要特别注意E
.
19
.
5
5．应用两个重要极限公式（重要公式法）
sin x lim 1 x0 x
li(1 m 1 )x li(1 m 1 )n li(1 m x )1 x e
x n x
n
x 0
0
第一个重要极限
0
第二个重要极限（1+0）∧∞。
强行代入，定型定法
第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：
先凑出１，再凑
高数函数极限方法总结
周凌伊
.
1
1、直接代入法
分母不为零
.
2
2．约去零因子法
0 0
.
3
3、抓大头法
一般分子分母同除最高次方；对于多项式函数
0
lx im bamnxxmn
an1xn1 a0 bm1xm1 b0
an
bn
mn mn mn
.
4
4．分子(母)有理化法
分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 及时分离极限式中的非零因子是解题的关键
（还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不可能是负无 穷！）
（导数存在、极限存在） （必须是 0比0 无穷大比无穷大） （当然还要注意分母不能为0 ） 0乘以无穷 无穷减去无穷 （ 应为无穷大与无穷小成倒数的关系） 0 的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于（指数幂数）方程 方法主要是取指数还取对数的方法， 这样就