数列的概念与简单表示法

2021年新高考数学总复习第六章《数列》

数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

概念含义

数列按照一定顺序排列着的一列数

数列的项数列中的每一个数

数列的通项数列{a n}的第n项a n

通项公式

数列{a n}的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f(n)表示，这个公式

叫做数列的通项公式

前n项和数列{a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和

2.数列的表示方法

列表法列表格表示n与a n的对应关系

图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法

通项公式把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式

使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等

表示数列的方法

3.a n与S n的关系

若数列{a n}的前n项和为S n，

则a n＝

⎩⎪

⎨

⎪⎧S1，n＝1，

S n－S n－1，n≥2.

4．数列的分类

分类标准类型满足条件

项数

有穷数列项数有限

无穷数列项数无限

项与项间的

大小关系

递增数列a n＋1> a n

其中n∈N*

递减数列a n＋1< a n

常数列a n＋1＝a n

概念方法微思考

1．数列的项与项数是一个概念吗？

提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？

提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×)

(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)

(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)

(4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．(×)

(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)

(6)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＝S n－S n－1.(×)

题组二教材改编

2．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝.

答案21

解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.

3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝.

答案5n－4

题组三易错自纠

4．已知a n＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{a n}是递增数列，则实数λ的取值范围是．

答案(－3，＋∞)

解析因为{a n}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有a n＋1>a n，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)

因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.

5．数列{a n}中，a n＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是．