【精准解析】天津市南开中学2021届高三上学期第四次月考数学试卷

，故 ，
故 ，
因为 时函数递减，所以 有最大值2．
考点：数列及其应用
7.已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ，则 的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率 ，由
，解得 ，所以 ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，故选C.
即a（ a）2 2（ a） a ，
化简可得a2+a﹣1 0，解得 a ，
故此时a的范围为（0， ．
综上可得，a的范围为（0， ，
故选：B．
【点睛】本题关键是转化为在 上，函数y＝f（x+2a）的图象应在函数y＝f（x）的图象的下方．
二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. 是虚数单位，复数 ____________.
设数列 的n项和为 ，
所以
（3）由（1）（2）可知
所以 ①；
②
①减②得
所以
所以
【点睛】数列求和的方法技巧：
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
19.如图，点 是椭圆 ： ( )的一个顶点， 的长轴是圆 ： 的直径. ， 是过点P且互相垂直的两条直线，其中 交椭圆 于另一点D， 交圆 于A，B两点.
（2）设函数 ，判断 的零点的个数；
（3）设 是 的极值点， 是 的一个零点，且 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）2；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得切线的斜率 ，由两直线平行斜率相等，即可列式求出实数 的值；
（2）由题可知， ，求导得 ，构造新函数 ，利用导数研究函数的单调性和零点得出 在 内有唯一解，设为 ，分类讨论求出 的单调区间，由此得出 是 的唯一极值点，通过求解 和 ，结合零点存在性定理，即可判断 的零点的个数；
【详解】解：依题意随机变量 ，所以 ，
故答案为： ；
14.设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】∵4x2+y2+xy=1
∴ ，
当且仅当 时，等号成立.
此时 ，所以 .
即2x+y的最大值是 .
故答案 ： .
15.已知圆O 半径为2，A，B是圆O上两点，且 ， 是圆O的一条直径，若动点P满足 ( ， )，且 ，则 的最小值为____________.
【详解】因为函数 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，则 ，
，
因为函数 是偶函数，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，
所以函数 ，
令 ， ，
所以 ， ，故①错误；
因为 ， ，
可知函数图象的对称点为 ， ，当 时，对称点为 ，故②正确；
令 ， ，解得 ， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，故③正确；
【分析】
（1）以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，然后写出每个点的坐标，然后算出 和 的坐标即可；
（2）算出 和平面 的法向量，然后可算出答案；
（3）设 ，然后算出平面 的法向量，平面 的法向量可取 ，然后可建立方程求解.
【详解】
以 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
则
（1） ，
所以 ，即异面直线 与 所成的角的余弦值为
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质得到 即可.
【详解】
故答案为：
13.小明的投篮命中率为 ，各次投篮命中与否相互独立.他连续投篮三次，设随机变量X表示三次投篮命中的次数，则 ___________； ____________.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
依题意可得随机变量 服从二项分布，再根据二项分布的概率公式及期望公式计算可得；
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】 ， ， ， ，所以 ，选D.
4.已知底面边长为1，侧棱长为 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故 ，即得 ，所以该球的体积 ，故选D.
（2）依题意求出 的通项公式，即可求出 的前n项和为 ，再利用裂项相消法求出数列 的n项和；
（3）依题意可得 ，再利用错位相减法求和即可；
【详解】解：（1） 数列 前 项和为 ，且 ( )，即 ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，整理得： ，
数列 是首项、公比均为3的等比数列，
；
（2）由（1）可得 ，所以数列 的前n项和 ，则
【详解】解：（1）由题意可得 ， ，即 ．
椭圆 的方程为 ；
（2）设 ， ， ， ， ， ．
由题意可知：直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为 ．
又圆 的圆心 到直线 的距离 ．
．
又 ，故直线 的方程为 ，联立 ，消去 得到 ，解得 ，
．
三角形 的面积 ，
令 ，则 ，
，
，当且仅 ，即 ，当 时取等号，
三､解答题：本大题共5个小题，共75分.
16.在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 .
（1）求角A的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析】
（1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角 ；
（2）利用余弦定理和基本不等式得出 的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值．
点晴：本题考查的是椭圆，双曲线的离心率及双曲线的渐近线.根据题目中椭圆和双曲线的方程可得椭圆 的离心率 ，双曲线 的离心率 ，由
，化简整理解得 ，所以双曲线 的渐近线方程为
8.己知函数 ( ， )，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且函数 是偶函数.关于函数 给出下列命题：
①函数 的图象关于直线 轴对称；
故选：
【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于中档题.
6.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，这个等比数列前n项的积为Tn(n≥2)，则Tn的最大值为 ( )
A. B.
C.1D.2
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：设共有 项，由题意 ， ，
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及数量积的定义，结合题中条件，化简 ，根据 及二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】 ，
因为 是圆O的一条直径，
所以 ，
所以所求 =
因为A，B是圆O上两点，且 ，
所以 ，
所以所求 = ，
因为 ，
所以当 时， 有最小值，且为-3，
故答案为：-3
【点睛】解题的关键是熟练掌握向量的线性运算及数量积公式，并灵活应用，结合二次函数图象与性质，进行求解，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
②函数 的图象关于点 中心对称；
③函数 在 上单调递减；
④把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，然后再将所得的图象向左平移 个单位长度，即可得到函数 的图象.
其中真命题共有（）个
A.1B.2C.0D.4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据已知题意可知 ，则有 ，根据 求出 ，结合函数 是偶函数还可得到 的值；由上述分析可得函数 ，再利用正弦函数的图象和性质就能判断各个命题的真假，从而得解.
2.已知a， ，且 ，则“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
通过举特例可得答案.
【详解】当 时满足 ，但不满足 ，故由 推不出
当 时满足 ，但不满足 ，故由 推不出
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
故选：D
3.已知 ， ， ，则
（2） ， ，
设平面 的法向量 ，则 ， ，所以可取
设 与平面 所成的角为 ，则
所以 与平面 所成的角为
（3）平面 的法向量可取
设 ，则
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
可取
因为平面 与平面 所成的锐二面角的大小为60°
所以 ，所以 ，解得 或 （舍）
所以 ，所以
【点睛】关键点睛：用向量求解空间中的角的问题时，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，准确的进行运算.
把函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的 ，解析式变为 ，
然后再将图象向左平移 个单位长度后，解析式变为 ，得不到函数 的图象，故④错误.
综上，②③是真命题.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题是一道有关三角函数的题目，掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键.
9.已知函数 ( ).设关于x的不等式 的解集为集合A.若 ，则实数a的取值范围是（）
考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.
5.函数 的图像大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据在 和 时的取值情况即可判断.
【详解】解： 定义域为 ，
即函数 是奇函数，图象关于原点对称，故 错误；
当 是， ， ， ，故 ，故 错误；
当 且， 时， ， ，故 ，故 错误， 正确；
18.已1）求数列 的通项公式；