等比数列基本题型汇总经典讲义

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等比数列知识点总结典型例题

等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：〔1〕如果,,a A b 成等比数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个〔〔2〕数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：〔1〕当1q =时，1n S na = 〔2〕当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---〔,,','A B A B 为常数〕 5、等比数列的判定方法：〔1〕用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列〔2〕等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列〔3〕通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：假设()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列7、等比数列的性质：〔2〕对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。

〔3〕假设*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

(经典)讲义：等比数列及其前n项和

（经典）讲义：等比数列及其前n项和1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1·q n－1.Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，同乘q得：qS n＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1q n，两式相减得(1－q)S n＝a1－a1q n，∴S n＝a1?1－q n?1－q(q≠1)．7.1由a n＋1＝qa n，q≠0并不能立即断言{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.7.2在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．8.等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{a n}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n}中，a n≠0且a2n＋1＝a n·a n＋2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列．632++若已“知三求二”.1.,成公比为的公比为q,成等比数列理解例题1:在等比数列中，（1）已知13,2,a q ==求66,a S ；（2）已知1112.7,,,390n a q a =-=-=求n ；（3）已知141,64,a a =-=求q 和4S ；（4）已知3339,22a S ==求1,a q ；分析:在等比数列中有五个重要量1,,,,,n n a a q n S 只要已知任意三个，就可以求出其他两个.其中1a 和q 两个最重要的量,通常要先求出1a 和q . 解:(1)55613296a a q ==⋅=.66161S =(2)n a (3) (4) a S ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ （2 2∴ 当知识体验:已知等比数列的五个量1,,,,n n a a q n S 中的任意三个求其他两个时,要用等比数列的通项公式以其及前n 项和公式.理解例题分析: 解法一: 2m m S S ⎧=⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩解法二: ②可利用等比数列中连续等段和成等比的性质即性质(1)求解.三、例题（一）题型分类全析1．等比数列前n 项和公式的基本运算例1：在等比数列的{}n a 中:31648,216,40,n a a a a S -=-==求公比q ,1a 及n . 思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n .本题有关等比数列前n 项和的基本运算的考查.解:由已知可得总结：在求数列的基本量问题时,把条件转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.例2 已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和n S ,若3692S S S +=,求该数列的公比q .思路直现:由已知两个条件，可建立关于1,a q 的方程组，分别解出1,a q 的值，代入n S 即可求出n . 解: 若1q =,则1n S na =,36111369S S a a a ∴+=+=,91218S a =,此时3692S S S +≠∴96320q q q --=,即63210q q --=,即33 故2笔记不明确,转化为关于1,a q 的方程组求解. 本题考查了等比数列前n 项和公式的运用和分类讨论的思想.因不知q 的2例3思路直现:解: {n a2,S S ∴故4S 4,S ∴笔记：次k 项和,成等比数列来解决3,n n S S ,例4 首项为1的等比数列的和为思路: 解： q ∴=故8n =阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较低.增根. 本题考查了等比数列的性质. 注意S qS =偶奇这个性质是在项数为偶数这一前提下成立的. 建议：巧用特例，熟记等差等比数列奇偶项的一些性质.3．某些特殊数列的求和例5: (1)已知数列{}n a 的通项公式2n n a n =+，求该数列的前n 项和n S ； (2)已知数列{}n a 的通项公式23n n n a =+，求该数列的前n 项和n S . 解:(1)123n n S a a a a =++++ (2)笔记:例6思路:解：n S 笔记:的前n 考查数列的分组求和问题.例7:（2007天津）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．思路直现: (1)由递推关系式构造出数列n a n -,并证明其是等比数列. (2)利用分组求和法求出{}n a 的前n 项和. (3)考虑用作差法证明. (Ⅰ)证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n N *∈．本小题考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式、不等式的证明利用递推关所以数列{}n a n -是首项为111a -=，且公比为4的等比数列． (Ⅱ)解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=， 14n n a n -∴=+．(Ⅲ)证明：对任意的n N *∈，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪⎝⎭21(34)02n n =-+-≤．所以不等式14n n S S +≤，对任意n N *∈皆成立．笔记: 本题实际上第一步的证明起到一个提示的作用,即应从递推关系出发构造出n a n -的形式,并证明其为等比数列.例8: （3414n n n n a a b a --⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（I ）令n c （II 思路:(1) （II 阅题: 解答本题的方法,应整体考虑.系式证明数列成等比. 利用分组求和法求和利用作差比较法证明不等式. 建议：学会解题的技巧，有时候题目的四、习题一、选择题1.（2008福建) 设{}n a 是公比为正数的等比数列，若151,16a a ==,则数列{}n a 前7项的和为A.63B.64C.127D.128 2.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，25124a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=A.16(14)n --B.16(12)n --C.32(14)3n --D.32(12)3n --3.（2008海南）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A. 2B. 4C.152 D. 1724．(2007陕西) 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32,14n n S S == 则4n S 等于A.80B.30C. 26D.16 5．（2006辽宁）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A.122n +- B. 3n C. 2n D.31n -6.数列11111,2,3,4,24816的前n 项和为（）211n 111n -211n 11n 7.2n ++=B.112n --8.9 15n 712-2. C. 分析：{}n a 为等比数列，352a a q ∴=，311242q q ∴=⋅⇒=设1n n n b a a +=，{}n b ∴是首项为8，公比为14的等比数列.122311218[1()]324(14)1314n n n n na a a a a ab b b -+-+++=+++==--，3. C 分析: 414421(1)1215122a q S qa a q ---===-4. B 分析: {}n a 为等比数列，23243,,,n n n n n n n S S S S S S S ∴---成等比2322()()n n n nnS S S S S -=-即22222(14)(2)6n n n S S S -=-⇒=或24n S =-{}n a 各项均为正数，故2n n S S >，故26n S =，432,4,8,n n S S ∴-成等比，所以4316n n S S -=，430n S ∴=5. D 分析: 解：依题意，()f n 为首项为2，公比为328=的前4n +项和，根据等比数列的求和公式可得D6.C 分析：因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列，则2212112221(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++++++=++⇒+=++⇒+=2(12)01n a q q q ⇒+-=⇒=，即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。

等比数列知识点及经典习题

等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：，q 称为。

2、通项公式：，首项：1a ；公比：q推广：。

3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：或。

注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，n S = ；（2）当1q ≠时，n S = 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}nn n a A BA B a =⋅⋅≠⇔为等比数列（4）前n 项和公式：A B A S n n -∙=. 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n mn m a a q-=，特别的，当1m =时，便得到等比数列的通项公式。

因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

（2）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则。

特别的，当2m n k +=时，得 (注：12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅) （3）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}nka ，{}n k a ⋅，{}k n a ，{}n n k ab ⋅⋅，{}n n a b （k 为非零常数）均为数列。

《等比数列》讲义

《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的世界里，等比数列是一种非常有趣且重要的数列形式。

那到底什么是等比数列呢？简单来说，等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。

这个常数就被称为公比，通常用字母 q 来表示（q≠0）。

例如，数列 2，4，8，16，32就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，公比 q ＝ 2。

再比如数列 10，5，25，125，0625也是等比数列，公比 q ＝ 05。

二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是研究等比数列的重要工具，它可以帮助我们快速求出数列中的任意一项。

通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。

以等比数列 2，4，8，16，32为例，首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2。

那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 2×2^4 ＝ 2×16 ＝ 32，与数列中的实际值相符。

通项公式的作用非常大，只要知道了首项、公比和项数，就可以轻松求出任意一项的值。

三、等比数列的性质1、等比中项如果在 a、b 两个数之间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a、b 的等比中项。

根据等比数列的定义可得：G^2 ＝ ab ，所以 G ＝±√（ab) 。

例如，在 2 和 8 之间插入一个等比中项 G，G ＝±√（2×8) ＝ ±4 。

2、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。

比如在等比数列 3，6，12，24，48中，a2×a5 ＝ 6×48 ＝ 288 ，a3×a4 ＝ 12×24 ＝ 288 ，两者相等。

四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式有两种情况：当公比 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 。

2024年等比数列知识点总结与典型例题精华版

等比数列知识点总结与经典例题1、等比数列的定义：，称为公比()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且q ２、通项公式：，首项:;公比：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠1a q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=３、等比中项：（1）假如成等比数列，那么叫做与的等差中项，即:或,,a A b A a b 2A ab=A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个((2）数列是等比数列{}n a 211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前项和公式：n n S （1）当初,1q =1n S na =（2）当初，1q ≠()11111n n n a q a a qS qq--==--（为常数）11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---,,','A B A B 5、等比数列的判定措施：（1)用定义：对任意的，都有为等比数列n 11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，(2）等比中项:为等比数列21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔(3)通项公式:为等比数列()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔6、等比数列的证明措施:依据定义：若或为等比数列()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且1{}n n n a qa a +=⇔7、等比数列的性质：(2）对任何，在等比数列中,有。

*,m n N ∈{}n a n m n m a a q -=（3)若，则。

尤其的,当初，得 *(,,,)m n s t m n s t N +=+∈n m s t a a a a ⋅=⋅2m n k +=2n m k a a a ⋅=注:12132n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅⋅⋅等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1.等比数列中,， ,求．{}n a 1964a a ⋅=3720a a +=11a 思绪点拨:由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出有关和的二元方程组,解出和1a q 1a ，可得;或注意到下标，能够利用性质可求出、,再求.q 11a 1937+=+3a 7a 11a 等差数列等比数列定义da a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式da a n n +=-1；mda a n m n +=-q a a n n 1-=；mn m n q a a -=通项公式dn a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a )中项2kn k n a a A +-+=(0,,* k n N k n ∈))0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（0,,* k n N k n ∈）前n 项和)(21n n a a nS +=dn n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≥--=--==)2(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅解析：法一:设此数列公比为,则q 8191126371164(1)20(2)a a a a q a a a q a q ⎧⋅=⋅=⎪⎨+=+=⎪⎩由(２)得:..........(3） 241(1)20a q q +=∴.10a >由（1)得： , ∴ ．．..．．(4)421()64a q =418a q =(3）÷(4)得：, 42120582q q +==∴,解得或422520q q -+=22q =212q =当初,，；22q =12a =1011164a a q =⋅=当初,，．212q =132a =101111a a q =⋅=法二：∵,又,193764a a a a ⋅=⋅=3720a a +=　∴、为方程的两实数根,3a 7a 220640x x -+=　∴ 或⎩⎨⎧==41673a a ⎩⎨⎧==16473a a ∵， ∴或.23117a a a ⋅=271131a a a ==1164a =总结升华:①列方程(组)求解是等比数列的基本措施，同时利用性质能够减少计算量;②解题过程中详细求解时，要设法降次消元,常常整体代入以达降次目标，故较多变形要用除法(除式不为零).举一反三:【变式１】{ａn }为等比数列，a １=３,ａ９＝76８，求a 6。

《等比数列》讲义

《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的奇妙世界里，等比数列是一个非常重要的概念。

那到底什么是等比数列呢？想象一下，有一组数，从第二项开始，每一项与它前一项的比值都相等，这个固定的比值被称为公比，用字母 q 表示。

这样的一组数，就被称为等比数列。

例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，这里的公比 q 就是 2。

再比如，数列 10，5，25，125，0625……也是等比数列，公比 q 为05。

等比数列的通项公式是：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n-1}＼），其中\（a_n\）表示第 n 项的值，＼（a_1\）表示首项。

这个通项公式非常重要，它就像是一把钥匙，能让我们轻松找到等比数列中任意一项的值。

二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，掌握了这些性质，能让我们更深入地理解和解决与等比数列相关的问题。

性质 1：如果\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）是正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），那么在等比数列中，＼（a_m ＼times a_n ＝a_p ＼times a_q\）。

比如说，在等比数列 2，4，8，16，32……中，如果\（m ＝ 2\），＼（n ＝ 4\），＼（p ＝ 1\），＼（q ＝ 5\），因为\（m ＋ n ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6\），＼（p ＋ q ＝ 1 ＋ 5 ＝ 6\），所以\（a_2 ＼times a_4 ＝ 4 ＼times 16 ＝ 64\），＼（a_1 ＼times a_5 ＝ 2 ＼times 32 ＝ 64\），两者相等。

性质 2：在等比数列中，连续若干项的和构成的新数列也是等比数列。

例如，对于等比数列 1，2，4，8，16…… ，前两项的和是 3，前三项的和是 7，前四项的和是 15，它们构成的新数列 3，7，15……也是等比数列。

性质 3：若等比数列的公比\（q ＞ 1\），则数列单调递增；若\（0＜q ＜1\），则数列单调递减；若\（q ＜0\），则数列的项正负交替。

等比数列复习精品讲义

）
A.
n2 4
+
7n 4
B.
n2 3
+
5n 3
C.
n2 2
+
3n 4
D. n2 + n
4．等比数列的基本性质，(其中 m,n,p,q ∈ N ∗) （1）若 m + n = p + q ，则 am ⋅ an = ap ⋅ aq
（2）qn
−
m
=
an am
，
an2
=
an
−
m
⋅
an
+
m(n
∈
N
∗)
等比数列复习精品讲义
1．定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0)，即：aan +n1 = q(q ≠ 0)．
2．递推关系与通项公式
递推关系： an + 1 = anq; 通项公式： an = a1 ⋅ qn − 1; 推广： an = am ⋅ qn − m
（
）
A. 12
B. 10
C. 8
D. 2 + log35
12．已知等比数列 {an} 满足 an > 0,n = 1,2, ⋯，且 a5 ⋅ a2n - 5 = 22n(n ≥ 3)，则当 n ≥ 1 时，log2a1
+ log2a3 + ⋯ +log2a2n - 1 =（
）
A. n(2n - 1)
）
A. 等差数列
（3）an 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列 .

《等比数列》讲义

《等比数列》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。

例如，数列2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比q ＝2。

等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。

二、等比数列的性质1、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。

根据等比数列的定义，有 G²＝ ab ，所以 G＝±√（ab) 。

2、通项公式的推广an ＝ am×q^（n m) （m，n 为正整数）3、若 m ＋ n ＝ p ＋ q （m，n，p，q 为正整数），则 am×an ＝ap×aq 。

例如，在等比数列中，若 a3×a7 ＝ 16 ，a4 ＋ a6 ＝ 10 ，因为 3 ＋7 ＝ 4 ＋ 6 ，所以 a3×a7 ＝ a4×a6 ＝ 16 ，联立 a4 ＋ a6 ＝ 10 ，可解出a4 ＝ 2 ，a6 ＝ 8 或 a4 ＝ 8 ，a6 ＝ 2 ，从而求出公比 q 。

4、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。

三、等比数列的判定方法1、定义法若 an ／ an 1 ＝ q （n ≥ 2，q 为常数且q ≠ 0），则数列{an}为等比数列。

2、等比中项法若 an²＝ an 1 × an ＋ 1 （n ≥ 2，an 1 ，an ，an ＋1 ≠ 0），则数列{an}为等比数列。

3、通项公式法若 an ＝ c×q^n （c，q 为非零常数），则数列{an}为等比数列。

四、等比数列的应用1、经济领域在金融领域，等比数列常用于计算复利。

等比数列及其前n项和考点与题型归纳

等比数列及其前n 项和考点与题型归纳一、基础知识1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项，且等比中项有两个. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.-(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列与指数型函数的关系当q >0且q ≠1时，a n ＝a 1q·q n 可以看成函数y ＝cq x，其是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x的图象上；对于非常数列的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，若设a ＝a 11－q，则S n ＝－aq n＋a (a ≠0，q ≠0，q ≠1)．由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝－aq x＋a 图象上一系列孤立的点．对于常数列的等比数列，即q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1.由此可知，数列{S n }的图象是函数y ＝a 1x 图象上一系列孤立的点．二、常用结论汇总——规律多一点设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．·(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ；若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中m ，n ，p ，q ，s ，r ∈N *.(3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m(k ，m ∈N *)．(4)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n 也是等比数列．(5)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 考点一等比数列的基本运算[典例] (2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.%(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m .[解] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．]若a n ＝2n －1，则S n ＝1－2n1－2＝2n－1.由S m ＝63，得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.[题组训练]1．已知等比数列{a n }单调递减，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4D ．22~解析：选B 由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，则a 23＝a 2a 4＝1，又a 2＋a 4＝52，且{a n }单调递减，所以a 2＝2，a 4＝12，则q 2＝14，q ＝12，所以a 1＝a 2q＝4.2．(2019·长春质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．32解析：选C 设公比为q (q >0)，S 6－S 4＝a 5＋a 6＝6a 4，因为a 2＝2，所以2q 3＋2q 4＝12q 2，即q 2＋q －6＝0，所以q ＝2，则a 5＝2×23＝16.3．(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，~则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q ＝74，S 6＝a11－q 61－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：32考点二等比数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． ^[证明] 因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2. 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法].1．掌握等比数列的4种常用判定方法定义法中项公式法通项公式法前n 项和公式法2．等比数列判定与证明的2点注意~(1)等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法、前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等比数列．(2)证明一个数列{a n }不是等比数列，只需要说明前三项满足a 22≠a 1·a 3，或者是存在一个正整数m ，使得a 2m ＋1≠a m ·a m ＋2即可．[题组训练]1．数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．证明：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，所以a 1＝2，由a 1＋a 2＝2a 2－4得a 2＝6. 由于S n ＝2a n －2n ，故S n ＋1＝2a n ＋1－2n ＋1，后式减去前式得a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －2n，即a n ＋1＝2a n ＋2n，|所以a n ＋2－2a n ＋1＝2a n ＋1＋2n ＋1－2(2a n ＋2n)＝2(a n ＋1－2a n )，又a 2－2a 1＝6－2×2＝2，所以数列{a n ＋1－2a n }是首项为2、公比为2的等比数列．2．(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．解：(1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1.>∴数列{a n }是一个以2为首项，1为公差的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)．②①②两式相减，得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)．}∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．考点三等比数列的性质考法(一) 等比数列项的性质[典例] (1)(2019·洛阳联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－2}D ．－ 2 或2(2)(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n >0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.[答案] (1)B (2)A。

必修五第二章等比数列复习讲义

等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列； ② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1：等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。

（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。

变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______.变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（）（A ）16（n --41）（B ）16（n --21）（C ）332（n --41）（D ）332（n --21）（2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( ) A ．81 B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（） A.3 B.1 C.0 D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。

等比数列知识点及题型归纳

等比数列知识点及题型归纳一、等比数列简介等比数列是数学中常见的一种数列。

如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比都相等，则这个数列被称为等比数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r表示公比，n表示项数。

二、等比数列的性质：1. 常比：等比数列中，公比r始终是一个常数。

2. 正比和负比：如果公比r>1，则称等比数列为正比数列；如果0<r<1，则称等比数列为负比数列。

3. 倒数和倒数的倒数：对于等比数列，如果公比r不等于1，则相邻两项的倒数也是一个等比数列，并且它们的公比是1/r。

4. 等比中项：对于等比数列，存在一个项x，称为等比中项，它满足x²=a1*a(n+1)，其中a1表示第一项，an表示最后一项。

5. 等比数列的和：等比数列的前n项和可以表示为Sn = a1 * (1-r^n) / (1-r)，其中a1表示第一项，r表示公比。

三、等比数列的常见题型：1. 求第n项：已知等比数列的首项和公比，求第n项的值。

2. 求前n项和：已知等比数列的首项和公比，求前n项和的值。

3. 求公比：已知等比数列的首项和第n项，求公比的值。

4. 求等比中项：已知等比数列的首项和最后一项，求等比中项的值。

5. 求满足条件的项数：已知等比数列的首项和公比，求满足条件的项数。

6. 判断数列性质：已知数列的前几项，判断数列是等比数列还是等差数列。

7. 求等差数列对应项：已知等差数列和等比数列的相同位置上的项相等，求该等差数列的对应项。

四、等比数列的应用：等比数列在实际生活和工作中有着广泛的应用。

以下是一些等比数列的典型应用场景：1. 财务计算：等比数列可以用来计算贷款或投资的复利。

2. 科学研究：等比数列的合理运用可以帮助科学家研究自然界中的各种现象。

3. 经济分析：等比数列可以用来分析经济增长和衰退的趋势。

4. 工程计划：等比数列可以用来计算任务的进度和耗时。

专题10 数列 10.2等比数列题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

（
）
A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
2．设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，且 S5•S6＝﹣15，则 d 的取值范
，若 a1＝﹣7，则 d 的值为
围是
．
3．设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 a7＝5，S5＝﹣55，则 nSn 的最小值为
4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若 a3﹣a2＝5，则 a4+8a2 的最小值为（
＋3k
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
高中数学一轮复习讲义
题型一. 等比数列的基本量
1．
（2013•北京）若等比数列{an}满足 a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比 q＝
Sn＝
；前 n 项和
．
2．
（2010•辽宁）设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，已知 3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比
1－q
1－q
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若 m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ap·aq＝a2r ．
(2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠－1)．
＝
．
题型三.等比数列的前 n 项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝2，S30＝14，则 S40 等于（
A．80
B．30
2．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若

等比数列知识点整理与经典例题讲解

等比数列复习1、等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n n n a a a a +-=(2)n ≥。

如 ※（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____（答：56）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2、等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。

如等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和q .（答：6n =，12q =或2）3、等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a q q -=-。

如等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。

4、等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。

提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个提醒：（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q …（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…33,,,aq aq qa q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q 。

等比数列讲义

等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1：等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。

（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。

变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______. 变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（）（A ）16（n--41）（B ）16（n--21）（C ）332（n --41）（D ）332（n--21）（2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( )A ．81B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2B.73C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（）A.3B.1C.0D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。

等比数列知识点总结及题型归纳

等比数列知识点总结及题型归纳一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。

当这个比值大于1时，称为增长等比数列；当比值在0和1之间时，称为衰减等比数列。

1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的第n项为：an = a₁ * r^(n-1)。

2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，前n项和为Sn，则有：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。

3. 等比数列的性质（1）两项间的比值永远相等，即 an / a(n-1) = r。

（2）等比数列从第二项开始，每一项都是前一项与公比的乘积。

（3）等比数列的前n项和与公比无关，只与首项和项数有关。

二、等比数列的题型归纳1. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a₁和公比r，求等比数列的第n项an。

解法：根据通项公式an = a₁ * r^(n-1)进行计算。

2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的前n 项和Sn。

解法：根据前n项和公式Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)计算。

3. 求等比数列的首项或公比已知等比数列的前两项a₁和a₂，或其中一个项an和其前一项a(n-1)，求等比数列的首项a₁或公比r。

解法：通过已知项之间的比值an / a(n-1) = r，或者利用前n项和公式解方程进行计算。

4. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和第n项an，求等比数列的项数n。

解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)解方程求解n的值。

5. 求等比数列的部分项已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的部分项（例如第m项）am。

解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)计算am的值。

6. 求等比数列中的缺项已知等比数列的部分连续项，求等比数列中的缺项。

解法：通过项与项之间的比值an / a(n-1) = r进行推导，找出缺项并进行计算。

等比数列考点及经典例题讲解

等比数列及其前n 项和考纲解读 1.利用等比数列的通项公式前n 项和公式进行基本量的计算；2.利用等比数列的有关性质进行运算；3.结合常见变形判断证明等比数列．[基础梳理]1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q . 特别地，若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列，即(S 2m －S m )2＝S m (S 3m －S 2m )(m ∈N *，公比q ≠－1)．(4)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列．(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k .[三基自测]1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32答案：C2．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127D ．128答案：C3．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．答案：12,484．(必修5·习题2.5B 组改编)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________.答案：345．(2017·高考全国卷Ⅲ改编)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 2＋a 3＝－3，则公比q 为__________．答案：3[考点例题]考点一等比数列的性质及基本量的计算|方法突破[例1] (1)(2018·甘肃两市六校联考)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n－2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(2)已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.(3)(2017·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. ①求{a n }的通项公式；②求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．[解析] (1)因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2，又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4，由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3，故选A.(2)∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ，化简得，2q 2－5q ＋2＝0，即(2q －1)(q －2)＝0，由题意知，q >1.∴q ＝2.(3)①设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .②由①可得S n ＝a 1(1－q n )1－q＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． [答案] (1)A (2)2[方法提升]解决等比数列的基本运算常用方法[跟踪训练]1．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，则2S n ＋a n ＝( ) A ．1 B.13 C.12D ．2解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为2a 1＋3a 2＝1，a 3＝3a 4，所以2a 1＋3a 1q ＝1 ①，a 1q 2＝3a 1q 3②，由②得q ＝13，代入①得a 1＝13，所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n ，S n ＝13×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12×⎝⎛⎭⎫1－13n ，则2S n ＋a n ＝1. 答案：A2．(2018·沈阳模拟)已知各项不为0的等差数列{a n}满足2a2－a27＋2a12＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b3b11等于()A．16 B．8C．4 D．2解析：由等差数列性质得a2＋a12＝2a7，所以4a7－a27＝0，又a7≠0，所以a7＝4，b7＝4，由等比数列性质得b3b11＝b27＝16，故选A.答案：A考点二等比数列的判定或证明|方法突破[例2](1)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列(2)已知数列{a n}的前n项和为S n＝a n－1(a是不为0的实数)，则{a n}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．是等差数列或是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列(3)(2018·泰安模拟)数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＋1＝4a n＋2(n∈N*)，设b n＝a n＋1－2a n.①求证：{b n}是等比数列；②设c n＝a n3n－1，求证：{c n}是等比数列．[解析](1)设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，即a26＝a3·a9.(2)当a＝1时，{a n}的各项都为0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a≠1时，由S n＝a n－1知，{a n}是等比数列，但不是等差数列，故选C.(3)证明：①a n＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－4a n－2＝4a n＋1－4a n.b n＋1 b n＝a n＋2－2a n＋1a n＋1－2a n＝(4a n＋1－4a n)－2a n＋1a n＋1－2a n＝2a n＋1－4a na n＋1－2a n＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{b n}是公比为2，首项为3的等比数列．②由①知b n ＝3·2n －1＝a n ＋1－2a n ，所以a n ＋12n －1－a n 2n －2＝3.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －2是等差数列，公差为3，首项为2.所以a n2n －2＝2＋(n －1)×3＝3n －1.所以a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2.所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2.所以数列{c n }为等比数列．[答案] (1)D (2)C[方法提升]等比数列的判断与证明的常用方法[跟踪训练]1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)解析：由已知得a n ＋1a n ＝－13，则数列{a n }是公比为－13的等比数列，因为a 2＝－43，所以a 1＝4，则数列{a n }前10项的和S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10)．答案：C2．已知{a n }是各项均为正数的等差数列，lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n，n ＝1,2,3，….判断{b n }是否为等比数列？解析：∵lg a 1，lg a 2，lg a 4成等差数列，∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，即a 22＝a 1a 4. 又设等差数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，即d 2＝a 1d .当d ＝0时，{a n }是一个各项均为正数的常数列， ∴{b n }是等比数列．当d ≠0时，d ＝a 1>0，a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝2n d ，b n ＝1a 2n ＝1d ·12n ＝12d ·⎝⎛⎭⎫12n －1.故{b n }是首项为b 1＝12d ，公比为12的等比数列．考点三等比数列前n 项和及综合应用|方法突破角度1 等比数列的求和问题[例3] (1)(2018·大同模拟)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18C.578D.558(2)(2018·唐山模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为__________．[解析] (1)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝a 2a 4＝16得，a 3＝4，即a 1q 2＝4，又a 6＝a 1q 5＝32，解得a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，b n ＝a n ＋a n ＋1＝2n －1＋2n ＝3·2n －1，所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，所以S 5＝3(1－25)1－2＝93.[答案] (1)A (2)93 [方法策略][跟踪训练]1．(2018·沈阳模拟)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝__________.解析：因为S 99＝30，即a 1(299－1)＝30.又因为数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，所以a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833)1－8＝4a 1(299－1)7＝47×30＝1207.答案：1207角度2 等比数列的综合问题[例4] 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .[解析] (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1. 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .(2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1) ＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n －1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n －1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎨⎧32(5×3n －32－1)，n 是奇数，32(3n2－1)，n 是偶数.[方法提升][跟踪训练]2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{}a n 是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即(λ－1)a n ＋1＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1. [真题感悟]1.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝__________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2)＝－3，两式相除，得1＋q 1－q2＝13，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3＝－8. 答案：－82.[考点三](2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________.解析：因为在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，因为S n ＝126，所以2－2n ＋11－2＝126，解得2n ＋1＝128，所以n ＝6.答案：63.[考点一](2016·高考全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n的最大值为________．解析：设公比为q ， ∴a 1＋a 1q 2＝10，① a 1q ＋a 1q 3＝5，② ∴①②得1＋q 2q (1＋q 2)＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝8.∴a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1. 当n ≥5时，a n <1. ∴a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64. 答案：64。

等比数列基本题型汇总经典讲义

等比数列知识点总结典型例题

(经典)讲义：等比数列及其前n项和

等比数列知识点及经典习题

《等比数列》 讲义

2024年等比数列知识点总结与典型例题精华版

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等比数列复习精品讲义

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等比数列及其前n项和考点与题型归纳

必修五 第二章 等比数列复习讲义

等比数列知识点及题型归纳

专题10 数列 10.2等比数列 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)

等比数列知识点整理与经典例题讲解

等比数列讲义

等比数列知识点总结及题型归纳

等比数列考点及经典例题讲解

《等比数列》讲义

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必修五第二章等比数列复习讲义

专题10 数列 10.2等比数列题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(原卷版)