四川省石室中学2019届高三一诊模拟数学(理)试题
成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学理试卷(含答案)
四川省成都石室中学2019届高三12月一诊模拟数学理试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，集合，那么集合A.[0,1）【答案】C【解析】解：解；；；；B. C. D.得，；；．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2.若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的A. C.充分不必要条件充要条件B.D.必要不充分条件既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：向量，是非零向量，，夹角为，“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3.已知等差数列中，前n项和，满足，则A.54B.63C.72D.81【答案】B【解析】解：等差数列，故选：B．中，前n项和，满足，，．利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.已知双曲线C：A. B.，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为C. D.【答案】A【解析】解：双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．5.下列结论正确的是A. C.当当且时，时，无最小值B.D.当当时，时，【答案】B【解析】解：当误；时，，可得；当时，，，故A错由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；第2 页，共17 页当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6.的展开式中，常数项为14，则A.【答案】D 【解析】解：B.14的展开式的通项为C. D.2．取，得．则，即．故选：D．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，再由常数项为14求得a值．本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则A.【答案】AB. C. D.【解析】解：根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数又由当为奇函数，则有，变形可得，时，，则有，解可得；故选：A．根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8.已知，则的面积为A.A. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，，，有，则可得，则则故选：A．根据向量数量积和面积公式可求得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．1，9.如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体，可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线第4 页，共17 页与所成角，再由余弦定理求解．本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．10.已知函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象，已知分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为A.【答案】BB. C. D.【解析】解：函数，将图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，可得的图象；再向左平移个单位，得到函数的图象．已知分别在，处取得最大值和最小值，，．则，故当时，取得最小值为，故选：B．利用三角恒等变换化简的解析式，再利用函数的图象变换规律求得的解析式，根据正弦函数的最值条件求得的最小值．本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的最值，属于中档题．11.已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则面积的最小值为A.【答案】C【解析】解：物线C：，，抛物线C：，B. C. D.的焦点坐标为，设，，，，过点A的切线方程为，过点B的切线方程为，则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，，由，消y可得，，，，点Q到直线AB的距离当时，此时面积最小，最小值为，故选：C．先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得Q的坐标表示出点Q到直线AB的距离，设直线AB的方程，抛物线联立求，根据韦达定理和弦长公式求出AB，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题，且，则方程的实数12.已知函数，根的个数不可能为A.3B.4C.5D.6【答案】D【解析】解：设，则，由题意知有两个根，，且，，不妨设，则，，当或时，，当时，，则在时，取得极小值，第6 页，共17 页在处取得极大值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有5个不同的解，当，当，即方程时，方程，有4个不同的解，时，方程，有3个不同的解，的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．利用换元法设，则，结合t的范围，以及，的根的个数，利用数形结合进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件【答案】12【解析】解：x，y满足约束条件由图象可知：，则的最大值______．的可行域如图，目标函数过点z取得最大值，，故答案为：12．先画出x，y满足约束条件时的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】【解析】解：模拟程序的运行，可得当当当当时，，此时；时，，此时；时，，此时；时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15.已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为______．【答案】【解析】解：由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，．令，则时，．时，．，数列恒成立，的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．第8 页，共17 页故答案为：．由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是______；该几何体外接球的表面积为；若G为EC中点，则平面AEF；的最小值为3．【答案】【解析】解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得0，，0，，1，，1，，1，，0，，即有1，，1，，由，可得，故正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为，即有该几何体外接球的表面积为，故正确；若G为EC中点，可得1，，0，，0，，1，，设平面AEF的法向量为y，，可得，且，可设，可得一个法向量为，由，可得则平面AEF，故正确；，设t，，当时，取得最小值，故错误．故答案为：．以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得D，A，B，C，F，E的坐标，由，的坐标表示，可判断；确定球心为矩形BDEF的对角线交点，求得半径，可判断；求得G的坐标，求得平面AEF的法向量，计算可判断；设出G的坐标，由两点的距离公式，结合二次函数的最值求法，可判断．本题考查空间线面的位置关系和空间线线角的求法，以及向量法解决空间问题，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，一点．求c；若，求．的面积为，F为边AC上【答案】本题满分为12分解：，，的面积为，解得：，分由余弦定理可得：由可得，，分在，，分中，由正弦定理，可得：，，分，，分，分【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b的值，根据余弦定理可得c的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图，在四棱锥求证：平面中，底面为菱形，已知，，．平面ABCD；求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．第10 页，共17 页【答案】证明：如图，过D作，连结EO，，，，≌，，，，，由勾股定理逆定理得，，，，面ABE，面ABCD，平面面ABE，平面ABCD．面ABE，解：由知，，，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得0，，，，0，，，2，，，设面CED的法向量y，，则，取，得设直线AE与平面CED所成角为，0，，则，直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD．由，，，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE与平面CED的所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：月份月份代码x 市场占有率123456 111316152021请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：报废年限车型AB 1年2年3年4年总计10304020100 15403510100经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数回归直线方程为其中：，．，第12页，共17页【答案】解：散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：05001000XP元．B款单车的利润Y的分布列为：YP2007001200元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【解析】画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；求出分布列，求出数学期望比较即可判断．本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．20.已知圆：，点，C为圆上任意一点，点P在直线OC上，且满足，，点P的轨迹为曲线E．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线O M、ON 的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】解：由，可得，则点P的轨迹是以则，，为焦点的椭圆，，则曲线E的方程为，设，，则，消y可得，，，当当由于时，，时，，对任意k恒成立，则，，，综上所述．第14 页，共17 页【解析】由题意可得点P的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出曲线E的方程，设，根据韦达定理结合斜率公式，以及，可得，再分类讨论，根据判别式即可求出的取值范围本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要灵活运用圆锥曲线性质，注意合理地进行等价转化，是中档题．21.已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，对任意的实数，若存在正实数，，使得，求的最小正整数值．【答案】解：的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，设，对恒成立，在令，，可得，可得由n为正整数，可得n的最小值为4，即递减，的最小值为4．舍去，【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得a，m的方程，解得m，a；由题意可得可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，再由不等式恒成立和一次函数的单调性，解不等式可得所求最小值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及若点，求的最小值；的最大值．【答案】解：曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：直线与曲线交于A，B两点，为参数，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程将直线与方程联立方程，得：为参数的参数分别为，，，，，，，当时，取最大值70．【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由的最小值．最小时，圆心距最大为，能求出将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】解：解不等式当时，函数，化为，即，，第16 页，共17 页解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；在上的最大值为，而函数；即b的取值范围是【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。
成都石室中学12月份一诊模拟数学(理科参考答案)
x2 y 2 1 ； ……………………5 分 6 2
6km x1 x2 3k 2 1 x2 y 2 1 3m 2 6 2 2 2 (1 3 k ) x 6 kmx 3 m 6 0 x x 2 6 1 2 3k 2 1 y kx m 12(2 m2 6k 2 ) 0
· · · · · · · · · · · 9分
n (1,0,1)
设直线 AE 与平面 CED 的所成角为
sin cos n, EA
3 6 6 ,则直线 AE 与平面 CED 的所成角的正弦值为 .· · · · · · · · · · · 12 分 4 4 22
（2）由（1）可知 DO EO, DO AB, EO AB ，如图，以 O 为坐标原点， OE 为 x 轴正方向， OB 为
理科数学参考答案 第1页 共 6页
y 轴正方向， OD 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 O xyz
由已知得 E
· · · · · · · · · · · 7分
2
……………………10 分
2 2 2
由 12(2 m 6k ) 0 对任意 k 恒成立，则 m 2 6k 0 m 2 ， ( 标注：对于任意的 k ，直线 l : y kx m均与椭圆相交，直接得到点 (0, m) 位于椭圆内部，也可得
理科数学参考答案
第3页 共 6页
CBF 2 CBF 3 4
2 2
· · · · · · · · · · · 9分 · · · · · · · · · · · 10 分
四川省2019届高三第一次诊断性测试数学(理)试题含答案.doc
四川省2019届高三第一次诊断性考试数学试题（理科）第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4 = {（x,y）|x+y = 2}, B = {（x,y）|x-y = 4},则集合A B=（）A. x = 3, y = —1B. (3,-1) c. {3,-1} D. {(3,-1)}2.复数2 + i的共辘复数是（)A. 2-iB. -2-zC. i-2D. z + 23.下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）上单调递增的函数是（)1A. y =——B. y =COSXC. y ——x~D. y"xTT4.为了得到函数^ = 2sin（x —一）的图像，只需把函数y = 2sinx的图像上所有点（）5IT TTA.向左平行移动上个单位长度B.向右平行移动上个单位长度9 7TC.向左平行移动一个单位长度D.向右平行移动一个单位氏度5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在［40,90］之间，英得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（）▲频率B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在（60,80）的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55—r 216. 设椭圆—+ ^ = 1(7« >0,n>0)的焦点与抛物线x 2=8y 的焦点相同，离心率为一，则府 iv 2 m —n=( )A. 2>/3 —4B. 4—3>/3C. 4>/3 —8D. 8-4^57. 执行如图所示的程序框图，若输入x = 8,则输出的y 值为( )&已知等差数列｛%｝的公差为2,若4，色，勺成等比数列，贝艸色｝前10项的和为(9•己知函数/(切的导函数为/(X ),且满足f(x) = 2xf \e) + lnx (其中幺为自然对数的底数)，则 f(e )=( )10.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(X -2)2 + /=1都相切，则 双曲线C的离心率是()?7 cID. 3A. 10B. 8C. 6D. -8C. 一1D. 1A. 2或迹B. 2或羽C.、疗或鱼D.巫或世3 2 3 211.己知函数/(x) = ^(sinx+cosx),记广(兀)是/⑴的导函数，将满足f \x) = 0的所有正数兀从小到大排成数列｛%｝,〃"，贝|擞列｛/(兀)｝的通项公式是( )A. (_1)'匕一俗“B. (一1)卄»必C. (一1)〃八”D. (_1)"5一曲)“12.如图，在RtAABC中，ZACB = 90°, AC = l f BC = x(x>Q), D 是斜边AB 的中点, 将ABCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB丄AD,则兀的取值范圉A. (—,2)B. [73,2^3]C. (0,2)D.((),舲]第II卷(共90分)二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知向量a = (—1,1), b = (8,k),若allb,则实数R 二_______________ •x-y>014.若满足约束条件< x+y-l<Q ,贝ijz = 2x+y的最大值为__________________ .j + l>09"x _ 2 y < o'一，则/(2019)= _______________ ./(x-2) + l,x>016.已知直线I: y = kx与圆x2 +y2— 2x-2y+ 1 = 0相交于A, B两点，点M (0, h),且MA丄MB,若〃w (1,2),则实数R的収值范围是2三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•)17.MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,己知sinA + cosA = 0.(1)求tan A ；｛（2）若b = 2 , c = 3,求\ABC的面积.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格:人数兀10152025303540件数y471215202327（1）在给定的能标系屮画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数y与进店人数兀是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）,预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）._ _ 7 _ ___ 7参考数据：兀=25 , y = 15.43 ,工彳=5075,7(x)2 = 4375 , Ixy = 2700,工兀％ = 3245.1=1 1=1A工I-心_ _参考公式：回归方程y = hx+a,其中 --------------- , a = ^-^x.£彳_论）2/=130252015105O19.如图所示，四棱锥S- ABCD中，SA丄底面ABCD, ZABC = 90° , AE =品,BC = 1,AD = 2^, ZACD = 60°, E 为CD 的中点.5 10 15 20 25 30 35 40 :(1)求证：BCH平面SAE；(2)求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.20.已知椭圆C的屮心在原点0,直线/:x+73y-V3= 0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.(1)求椭圆C的方程；(2)若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON = 0,求|M/V|的最小值.21.已知函数/(x) = xlnx.(1)求曲线y = /(%)在点(1,/(1))处的切线方程；(2)设b>a>0,证明：0v/(a) + /(b)-2/(仝空)<@ —讪2.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程V在平面直角坐标系兀Oy中，曲线P的参数方程为< 4 (f为参数)，在以坐标原点为极点,yhx轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为Q2-8QCOS&+15=0.(1)求曲线P的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)点M为曲线P上的动点，N为曲线C上的动点，求|MN|的最小值.23.选修4-5：不等式选讲已知f(x) =| x+11 +1 兀一11, g(x) = -a.(1)若a = -4f求不等式f(x)-g(x)<0的解集;(2)若函数/(兀)的图像与函数g(Q 的图像有交点，求G 的取值范围.试卷答案一、 选择题1-5: DADBC 6-10: ABABA 11、 12： CD二、 填空题13. -814.3 15. 1010 16. (1,6-阿)(64-^23,-Foo)三、 解答题17. (1)因为sinA+cosA = \/2cos(A-450) = 0,所以 cos(A-45°) = 0,又0°<A<180°,所以A —45° =90°, 即 4 = 135°,所以 tan A = tan 135° =-1.(2)由(1)得A = 135°,乂 b = 2,(所以S E1, . 4 1 o Q V2 3^2= —bcsm A = —x2x3x ——= ----- . 2 2 2 218. (1)图形(略)由散点图可以判断，商品件数y 与进店人数兀线性相关7 _ _(2)因为工兀y =3245,兀= 25, y = 15.43, /=!7 _ ___工#=5075, 7(x)2=4375, Ixy = 2700, Z=17____A工栩- 7xy所以b= ------------ —丫#-7(疔1=1所以 sin A = sin 135° V2 23245-2700 5075-4375a = = 15.43-0.78x25 = -4.07所以回归方程y = 0.78x 一4.07 , 当x = 80时，y = 0.78x80-4.07 = 58 (件)所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件.19. (1)证明：因为 AB =羽,BC = 1, ZABC = 90°, 所以 AC = 2f ABC A = 60°,在 AACQ 中，AD = 2羽,AC = 2f ZACD = 60°, 由余弦定理可得：AD 2 = AC 2 + CD 1 -2 AC CD cos ZACD 解得：CD = 4所以AC 2 + AD~ = CD 2,所以AACD 是直角三角形， 又E 为CD 的中点，所以AE = -CD = CE2又ZACD = 60°,所以AACE 为等边三角形， 所以 ZCAE = 60° = ZBCA ,所以 BC//AE, 又AEu 平面SAE f BC Q 平面SAE f 所以BC//平面SAE.(2)解：rtl (1)可知ZBAE = 90°,以点4为原点，以AB, AE f AS 所在直线分别为兀轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 5(0,0,2), B(A /3,0,0), C(J§,l,0), £>(-73,3,0).所以5B = (>/3,0,-2), SC = (巧,1,一2), 50 = (-73,3,-2).即 fV3x-2z = 0[\/3x+ y-2z = 0设n = (x, y, z)为平面SBC 的法向量,则SB"[/? 5C = 0设兀=1 则严0, 即平面SBC的一个法向量为n = (1,0,所以cos < n, SD >=""-2馆|w|l5D|V21 ~7~所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为—.720.(1)因为l:x+\l^y-羽=0与x轴交点为(、疗,0),与y轴交点为(0,1),又直线/与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(、疗,0), (0,1),故所求椭圆方程为亍yN(-r2 sin 0. /; cos0),其中 /; =| OM \, r2 =| ON |,从而—+ —r = —+ 1 =—・r； r； 3 31 1 厂2 2又(斥+才)(=+ =)= 2 +七+ (当且仅当时取等号)故所求|MN|的最小值为乔.21.(1)由题意/(I) = 0,又/G) = lnx+1,所以广(1) = 1，因此y = /(兀)在点(1,/(!))处的切线方程为y-0 = lx(x-l),即x-y-l = 0(2)证明：因为Ovcvb,所以->1由于/(d) + /(b)-2/(9^) = alna + blnb-2 匕也n竺么aln2L + bln2-2 2 2 a + b a + b2 2设函数F(Q = In ——+ x\n—— (x > 1)1 + x 1 + x2 YF\x) = [In 2 - ln(l + x) + x In 2x - x ln(l + x)] * = In ----1 + x2 Y当兀>1时，^>1,所以F,(x)>0,1 + x所以F(x)在(1,+oo)上是单调递增函数，又F(l) = 0,所以F(兀)>0(兀>1),所以F(-) > 0 ,即/s)+ /(b) —2/(学)>0a 2bzy A A A② f(a) + f(b) - 2/(——)<(b-a)ln2等价于In —- + — In -^― < 0, "2 1 +八1 +色a a令x = — >1 ,a4 x设两数g(x) = ln ------ + xln — (x>\)1+x1+xxg \x) = [ln4 - ln(l + x) + x\nx -xln(l + x)]1 = In —1 + xX当兀〉1时，0<——<1,所以gd)<0,1 + x所以g(兀)在(l,+oo)上是单调递减函数,又g(l) = 0 ,所以gM < 0 (x > 1)所以g (纟)< 0 ,即/(d) + f(b)— 2/(学)<(b-a)\n2a 2综上①②可得：0 v /⑺)+ /(b) — 2/(出)v @ —a) In 2.22. (1)将曲线P的参数方程消去参数Z,得尸=4兀，将°2=兀2 +丿2, x = pcos0代入曲线C的极坐标方程得%2-8X4-/+15 = 0,即(X-4)2+尸=] (2)由(1)知，圆C的圆心C(4,0),半径r = lt2由抛物线的参数方程，设点M(-,r)4则 | MC|=J(^-4)2+(r-0)2-t2 +16 =£ J(F -8)2 +192所以当尸=8即F = ±2血时，| MC |取得最小值丄V192 =2^3,4此时I MN\的最小值为|MC|inin -r = 2V3-l.23. (1)不等式f(x)-g(x)< 0 可化为|x + l| + |x-l|<4,当%<-1时，不等式化为-2%<4,解得x>—2,故—2vx5—1；当—lvx< 1时，不等式化为2<4成立，故-1<X<1；当兀〉1时，不等式化为2x<4,解得兀<2,故1 <兀<2,综上得若。
成都石室中学高2019级“一诊”模拟考试(理综)
成都石室中学高2019级一诊”模拟考试理综试题可能用到的相对原子量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Fe 56 Cu 64 Ag 108第I卷本卷共21小题，每小题6分，共126分一.选择题：（本大题共13小题，每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1 .下列有关无机盐功能的说法不正确的是（）A. 由碘参与组成的甲状腺激素，是内环境的成分之一B. —定浓度的NaCI溶液可溶解DNA可用于DNA的粗提取与分离C. NaHPQ/Na z HPQ可作为缓冲物质，在血浆中维持PH呈相对稳定的状态D. 用CaCl2处理细菌，可增大细菌细胞膜通透性，有利于目的基因的导入2.下图为体液免疫过程，分析图形。
哪项说法符合题意（）细胞D抗原T细胞A T细胞 4细胞 S细胞 1某种球蛋白f IA. 细胞B为B淋巴细胞，由造血干细胞在骨髓中发育而成B. 细胞E产生的是淋巴因子，可加强免疫效应C. 细胞E产生的球蛋白具有特异性识别功能D. 所有抗原一定要经过细胞A、细胞B才能被细胞C所识别3.右图为人体进食后，某种营养物质在人血液中含量的变化曲线，二对该图的相关叙述不正确的是（）-A. 该营养物质的含量变化可引起下丘脑某区域兴奋=B. 该营养物质以主动运输的方式进入血浆，导致AB段上升C. BC段下降与胰岛B细胞分泌的胰岛素有关二D. CD段上升的主要原因是肾上腺素和甲状腺激素协同作用，匚促进肝糖元分解■:.4•科学家从苏云金芽孢杆菌中提取抗虫的基因，“放入”棉细胞'中，然后培育出了抗虫棉植株。
下列有关抗虫棉植株培育的叙述，正确的是（A. 只能用鸟枪法提取抗虫基因B. 用同种限制酶对供体细胞DNA和质粒切割，可获得相同的黏性末端C. 苏云金芽孢杆菌和抗虫棉细胞中，前者基因的编码区是不连续的D. 要提高抗虫物质的合成速率，只能对抗虫基因的编码区进行修饰5•“白菜-甘蓝”是用细胞工程的方法培育出来的蔬菜新品种，它具有生长周期短、耐热性强和易于储存等优点，下图所示是“白菜-甘蓝”培育过程，相关叙述错误的是（）白號期BHA盘亠第鲨c、②（©③m E G ------- H廿故期电B上4期电° "A. 细胞A和C放在蒸馏水中后的体积大小不同B. 与杂种细胞F相比，G的全能性更高C. 过程④和⑤都会进行细胞的分裂和分化D. ⑤在一定的高温环境中培养得到符合要求的H6、有关下列说法不正确的是( )A、二氯丙烷(GHCI2)的同分异构体共有3种B蛋白质溶液具有丁达尔效应，说明该蛋白质分子直径约1nm~ 100 nmC光导纤维被广泛应用，制造它的主要原料是二氧化硅D福尔马林溶液可以使蛋白质变性，所以农业上可以用福尔马林溶液浸制生物标本7、设N A表示阿伏加德罗常数的值，下列说法中正确的是( )A 4.6 g乙醇中含有的C— H键的个数为0.6 N AB 34 gH2O2中含有的阴离子数为NkC标准状况下，11.2 LCHCI 3中含有的分子数为0.5 N AD 9.2gNQ和N2O4混合气体中含有的原子总数为0.6N A8、短周期元素W X、Y、Z的原子序数依次增大，W与Y、X与Z位于同一主族，W与X可形成共化合物WX, Y原子的内层电子总数是其最外层电子数的 2.5倍。
成都石室中学 一诊模拟试卷数学 理科
成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集R U =，集合{|A x y ==，集合12{|,0}B y y x x ==>，那么集合()U C A B =A ．∅B ．(0,1]C ．(0,1)D ．(1,)+∞2．若向量,a b 是非零向量，则“||||a b a b +=-”是“,a b 夹角为2π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3. 已知等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足7235S S -=，则9S = A ．54B ．63C ．72D ．814. 已知双曲线C ：2221(0)9y x b b-=>，其焦点F 到C 的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为 ABC ．23D ．325. 下列结论正确的是A ．当0x >且1x ≠时，1ln 2ln x x+≥ B ．当0x >时，ln x x > C ．当2x ≥时，1x x-无最小值 D ．当2x ≥时，12x x +≥6．72(a x的展开式中，常数项为14，则a =A ． 14-B ． 14C ．2-D ． 27.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)=(2)f x f x +-，且当(2,0)x ∈-时，2()log (3)f x x a =++，若(13)2(7)1f f =+，则a =A ．43-B ．34-C ．43D ．348．已知()cos22,cos68AB =，()2cos52,2cos38AC =，则ABC △的面积为A ．12BCD ．19. 如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱111ABCA B C ，其三视图如图所示，则异面直线1B A 与1A C 所成角的余弦值为A.45 B.C.D.10.已知函数()3sin 22f x x x =，将()f x 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，已知()g x 分别在1x ，2x 处取得最大值和最小值，则12x x +的最小值为 A.3π B.23π C.π D.43π11. 已知抛物线2:C y ax =的焦点坐标为(0,1)，点(0,3)P ，过点P 作直线l 交抛物线C 于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线，两切线交于点Q ，则QAB ∆面积的最小值为A． B． C． D．12. 已知函数2()24(0)f x ax bx a a =+->，241()exx x g x ++=，且(2e)0f ->，则方程[()]0f g x =的实数根的个数不可能为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =+的最大值为 . 14. 执行如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出y 的值为______.15. 已知数列{}n a 中，121n n a a +=-，12a =，设其前n 项和为n S ，若对任意的*n N ∈，(1)23nSn k n +-≥-恒成立，则k 的最小值为________.16. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，且1ED FB ==，G 为线段EC 上的动点，则下列结论中正确的是_________.①EC AF ⊥；②该几何体外接球的表面积为3π； ③若G 为EC 中点，则//GB 平面AEF ； ④22AG BG +的最小值为3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17.（本题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知6C π=，2a =，ABC ∆F 为边AC 上一点.（1）求c ；（2）若CF =，求sin BFC ∠.18.（本题满分12分）如图，在四棱锥E ABCD -中，底面为菱形,已知60DAB EAB ∠=∠=︒，2AD AE ==，DE =.（1）求证：平面ABE ⊥平面ABCD ；（2）求直线AE 与平面CED 的所成角的正弦值．19．（本题满分12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系； （2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年12月份的市场占有率；（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？回归直线方程为ˆˆˆybx a =+，其中20. （本题满分12分）已知圆221:(2)24O x y ++=，点2(2,0)O ，C 为圆1O 上任意一点，点P 在直线1O C 上，且满足222O C O M =，20PM CO ⋅=，点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+（不与坐标轴重合）与曲线E 交于,M N 两点，O 为坐标原点，设直线OM 、ON 的斜率分别为1k 、2k ，对任意的斜率k ，若存在实数λ，使得12()0k k k λ++=，求实数λ的取值范围.21. （本题满分12分）已知函数()=ln 1f x a x -，其中0a ≠，()2=1g x x -，()()()h x f x g x =+.（1）若23y x =-是()f x 的一条切线，求a 的值；（2）在（1）问的前提下，对任意的实数[1,2]λ∈，若存在正实数12,x x ，使得()1212()()h x h x x x λ+=+，求12x x +的最小正整数值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. 选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为:2cos (1sin x t t y t αα=+⎧⎨=-+⎩为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为：=6cos 8sin ρθθ-，直线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，（1）求曲线2C 的普通方程及AB 的最小值； （2）若点(2,1)P -，求22PA PB +的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲（1）当2a =时，解不等式()2f x x +<；（2的解集非空，求b 的取值范围.。
成都石室中学高一诊模拟考试数学(理)试题
成都石室中学高20XX 届一诊模拟考试数学试题（理科）NO 姓名 考试时间选择题 填空题 解答题总分第I 卷 （选择题部分 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，把答案涂在答题卷上.） 1.若复数112m ii +++是实数，则实数m =（ ） A.12 B. 1 C. 32D. 22. 已知向量(),1a t =与()4,b t =共线且方向相同，则a b ⋅=（ ）A. 10-B. 1C. 2-D. 103. 已知集合{}220A x x x =--<，{}2log B x x m =>，若A B ⊆，则m 的取值范围是（ ）A.(]0,4B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4. 在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a =（ ）A.3 B. 3- C. 3± D. 3±5. 将两颗骰子各掷一次，设事件A 为“两个点数不相同”，B 为“至少出现一个1点”，则概率()P A B =（ ）A. 1011B. 511C. 518D. 5366. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）A. 11B. 63C. 13D. 657. 网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积是（ ）A. 83B. 73C. 53D. 438. 函数()21cos 24f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A. ()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B.()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D.(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 三棱锥P ABC -内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，4A π=，2BC =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为（ ）StartEnd 1,0i S ==50?S >21S S =+NYOutput i21i i =+A.B.C.D. 10. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12F F 、，过1F 作圆222x y a +=的切线分别交双曲线的左、右两支于B C 、点，且2BC CF =，则双曲线的离心率的平方为（ ）A.5+ B.4+ C.3+D. 1+11. 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 所在平面内一点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成角分别为12,θθ（12,θθ均不为0），若12θθ=， 则三棱锥1A DPC -体积的最大值是（ ）A. 2B. 3C.154 D. 19412. 已知数列{}n a 满足143n n a a n ++=+且*2,0n n N a n ∀∈+≥，则2016a 的取值范围是（ ）A. []4028,4043B. []4026,4042C. []4017,4029D. []4024,4036二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在相应的位置上.） 13. 若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 .14. 在()()512x x +-的展开式中，3x 的系数为 .15. 已知22:1O x y +=，若直线2y +上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线相互垂直，则实数k 的最小值为 .16. 设函数()()()22ln f x x a x a =-+-，其中0,x a R >∈，存在0x 使得()012f x ≤成立，则实数a 的取值范围为 .A 1E三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 如图，点P 在ABC ∆内，2AB CP ==，3BC =，P B π∠+∠=，记∠（I ）试用α表示AP 的长；（II ）求四边形ABCP 的面积的最大值，并求此时α的值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F .（I ）求证：AB EF ； （II ）若2PA PD AD ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值.B AP ECBD F19. 20XX 年，我省数学学科将使用新课标全国卷作为高考用卷.现有一所学校（以下简称A 校），为了调查该（I ）根据以上数据，能否有90%的把握认为A 校师生“支持使用新课标全国卷”与“师生身份”有关？ （II ）现将这100名师生按教师、学生身份进行分层抽样，从中抽取10人，试求恰好抽取到持“反对使用新课标全国卷”态度的教师2人的概率；（III ）将上述调查所得到的频率视为概率，从A 校所有师生中，采用随机抽样的方法抽取4位师生进行深入调查，记被抽取的4位师生中持“支持新课标全国卷”态度的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .【参考公式】()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【参考数据】20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -、，过2F 的直线l 交椭圆于不同的两点M N 、，当l x ⊥轴时，3MN =.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）1F MN ∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数()1tx x f x xe e =-+，其中R t ∈，e 2.71828=是自然对数的底数.（I ）当0t =时，求函数()f x 的最大值；（II ）证明：当11t e<-时，方程()1f x =无实根；（III ）若函数()f x 是()0,+∞内的减函数，求实数t 的取值范围.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（I ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设P 是曲线1C 上的动点，求P 到2C 上的点的距离的最小值.成都市成都七中高三年级第一学期半期考试数学试题（理科）答案。
四川省成都石室中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
石室中学高2019届2018～2019学年下期二模考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，集合，.若，则复数等于（）A.1 B. -1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由复数的概念得到集合Q，计算集合P与集合Q的补集，即可确定出复数z.【详解】,,则，即zi=-1,z=,故选：C【点睛】本题考查集合的交集运算和复数的运算，属于简单题.2.已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将平方得到cos sin，再将所求平方，结合为第二象限角即可得到答案.【详解】∵，平方得，∴2cos sin＝﹣∴，∵为第二象限角，∴【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查之间关系的应用，属于基础题.3.已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（）A.， B. ，C.， D. ，【答案】A【解析】分析：首先根据平均数的求解方法，代入式子，求得，利用方差的定义和计算公式，求得，从而可以判断其大小关系，求得结果.详解：根据题意有，而，故选C.点睛：该题考查的是有关一组数据的平均数和方差的计算公式，所以在解题的过程中，利用平均数和方差的公式，求新添一个值之后的平均数和方差，从而得到结果.4.设，则使成立的必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，然后再结合题意对每个选项进行验证、判断后可得结果．【详解】由可得，解得．选项A中，“”是“”成立的充要条件，所以A不符合题意；选项B中，由“”成立不能得到“”成立，反之，当“”成立时，“”成立，所以“”是“”的必要不充分条件，所以B符合题意；选项C中，“”是“”的既不充分也不必要条件，所以C不符合题意；选项D中，“”是“”的充分不必要条件，所以D不符合题意．故选B．【点睛】解题的关键是正确理解“使成立的必要不充分条件”的含义，即由可得所选结论成立，而由所选的结论不能得到成立．本题考查对充分、必要条件概念的理解，属于基础题．5.设等比数列的前项和为，公比为.若，，则（）A. 3B.C.D. 2【分析】根据题意分析可得等比数列{a n}的公比q≠±1，进而由等比数列的前n项和公式可得q＝2，从而可得a1值.【详解】等比数列{a n}中，若S6＝9S3，则q≠±1，若S6＝9S3，则，解可得q3＝8，则q＝2，又由S5＝62，则有S5＝＝31a1＝62，解得a1＝2；故选：D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．6. 甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游，则周六、周日都有同学参加郊游的情况共有（）A. 2种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】D【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁四位同学各自在周六、周日两天中随机选一天郊游的情况有种，其中周六或周日没有同学参加郊游的情况有种，故周六、周日都有同学参加郊游的情况共有种.考点：计数原理．7.函数的零点构成一个公差的等差数列，要得到的图象，可将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】【分析】由题意得函数周期为π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．再根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．【详解】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可得函数的周期为π，即＝π，得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+）．函数＝sin（+2x+）＝sin[2（x+）+]，【点睛】本题考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图像和性质的应用，考查图像的平移变换规律，要注意平移是在给变量x 本身做变化．8.已知动直线与圆相交于，两点，且满足，点为直线上一点，且满足，若为线段的中点，为坐标原点，则的值为（）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，则为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，故选A．9.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球体积的最小值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】先用锥体体积公式以及三角形的面积公式得AB•BC＝6，利用余弦定理得出AC的最小值，再利用正弦定理得△ABC 的外接圆半径的最小值r，利用公式可得球半径R的最小值，再利用球体体积公式可得出答案．【详解】因为P A⊥平面ABC，三棱锥P﹣ABC的体积为，得，另一方面，可得AB•BC＝6，由余弦定理得＝AB2+BC2﹣AB•BC≥2AB•BC﹣AB•BC＝AB•BC＝6，当且仅当时，等号成立，则AC≥，所以，△ABC的外接圆的直径的最小值为2r=，则球O的半径的最小值为，因此，球O的体积的最小值为．故选：B．【点睛】本题考查球体体积计算，考查利用锥体体积公式以及三角形的面积公式，考查基本不等式，考查计算能力，属于中等题．10.已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，设,右焦点E,由椭圆的对称性，知是平行四边形，所以在中，由余弦定理得,，选C.【点睛】本题的关键是要看到椭圆的对称性把，转化到焦点中，再应用比值及余弦定理，可得离心率。
2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷和答案(理科)
2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{y|y＝x，x＞0}，那么集合（∁U A）∩B＝（）A．∅B．（0，1]C．（0，1）D．（1，+∞）2．（5分）若向量，是非零向量，则“|+|＝|﹣|”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n，满足S7﹣S2＝35，则S9＝（）A．54B．63C．72D．814．（5分）已知双曲线C：＝1（b＞0），其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lnx+≥2B．当x＞0时，x＞lnxC．当x≥2时，x﹣无最小值D．当x≥2时，x+≥26．（5分）（）7的展开式中，常数项为14，则a＝（）A．﹣14B．14C．﹣2D．27．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），且当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝log2（x+3）+a，若f（13）＝2f（7）+1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知＝（cos22°，cos68°），＝（2cos52°，2cos38°）．则△ABC的面积为（）A．B．C．D．19．（5分）如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1，其三视图如图所示，则异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝3sin2x+cos2x，将f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，已知g（x）分别在x1，x2处取得最大值和最小值，则|x1+x2|的最小值为．（）A．B．C．πD．11．（5分）已知抛物线C：y＝ax2的焦点坐标为（0，1），点P（0，3），过点P作直线l 交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，则△QAB 面积的最小值为（）A．6B．6C．12D．1212．（5分）已知函数f（x）＝ax2+2bx﹣4a（a＞0），g（x）＝，且f（﹣2e）＞0，则方程f[g（x）]＝0的实数根的个数不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x，y满足约束条件，则z＝5x+y的最大值．14．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x＝12，则输出y的值为．15．（5分）已知数列{a n}中，a n+1＝2a n﹣1，a1＝2，设其前n项和为S n，若对任意的n∈N*，（S n+1﹣n）k≥2n﹣3恒成立，则k的最小值为．16．（5分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED＝FB＝1，G为线段EC上的动点，则下列结论中正确的是①EC⊥AF；②该几何体外接球的表面积为3π；③若G为EC中点，则GB∥平面AEF；④AG2+BG2的最小值为3．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，a＝2，△ABC 的面积为，F为边AC上一点．（1）求c；（2）若CF＝BF，求sin∠BFC．18．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面为菱形，已知∠DAB＝∠EAB＝60°，AD ＝AE＝2，DE＝．（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；（2）求直线AE与平面CED的所成角的正弦值．19．（12分）基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验．某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：（1）请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率； （3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的A ，B 两款车型报废年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下： 经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？ 参考数据：，，．参考公式：相关系数＝，回归直线方程为其中：，．20．（12分）已知圆O1：（x+2）2+y2＝24，点O2（2，0），C为圆O1上任意一点，点P在直线O1C上，且满足，＝0，点P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（不与坐标轴重合）与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2，对任意的斜率k，若存在实数λ，使得λ（k1+k2）+k＝0，求实数λ的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣1，其中a≠0，g（x）＝x2﹣1，h（x）＝f（x）+g（x）．（1）若y＝2x﹣3是f（x）的一条切线，求a的值；（2）在（1）间的前提下，对任意的实数λ∈[1，2]，若存在正实数x1，x2，使得h（x1）+h（x2）＝λ（x1+x2），求x1+x2的最小正整数值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为：（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ﹣8sinθ，直线C1与曲线C2交于A，B两点，（1）求曲线C2的普通方程及|AB|的最小值；（2）若点P（2，﹣1），求|P A|2+|PB|2的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+1，（1）当a＝2时，解不等式f（x）+x＜2；（2）若存在a∈[﹣，1]，使得不等式f（x）≥b+|2x+a2|的解集非空，求b的取值范围．2019年四川省成都市石室中学高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：解lnx≥0得，x≥1；∴A＝[1，+∞）；∵x＞0；∴；∴B＝（0，+∞）；∴∁U A＝（﹣∞，1）；∴（∁U A）∩B＝（0，1）．故选：C．2．【解答】解：∵|+|＝|﹣|⇔||2+||2+2＝||2+||2﹣2⇔＝0，∵向量，是非零向量，∴＝0⇔⊥⇔，夹角为∴“|+|＝|﹣|”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，前n项和S n，满足S7﹣S2＝35，∴a3+a4+a5+a6+a7＝5a5＝35，∴a5＝7，∴S9＝＝9a5＝63．故选：B．4．【解答】解：双曲线C：＝1（b＞0），其焦点F（0，）到C的一条渐近线y＝的距离为2，可得＝2，可得b＝2，a＝3，所以c＝，所以双曲线的离心率为：e＝．故选：A．5．【解答】解：当x＞1时，lnx＞0，可得lnx+≥2；当）＜x＜1时，lnx＜0，lnx+≤﹣2，故A错误；由y＝x﹣lnx的导数为y′＝1﹣，当x＞1时，函数y递增；当0＜x＜1时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即x﹣lnx≥1，即x＞lnx，故B正确；当x≥2时，x﹣递增，可得x＝2时，取得最小值，故C错误；当x≥2时，x+递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．6．【解答】解：（）7的展开式的通项为．取，得r＝6．则，即a＝2．故选：D．7．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+2）＝f（x﹣2），则有f（x+4）＝f（x），即函数的周期为4，故f（13）＝f（1），f（7）＝f（﹣1），若f（13）＝2f（7）+1，则有f（1）＝2f（﹣1）+1，又由函数f（x）为奇函数，则有﹣f（﹣1）＝2f（﹣1）+1，变形可得f（﹣1）＝﹣，又由当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝log2（x+3）+a，则有log2（2）+a＝a+1＝﹣，解可得a＝﹣；故选：A．8．【解答】解：根据题意，＝（cos22°，sin22°），＝（2sin38°，2cos38°），有||＝1，||＝2，则•＝2（cos22°sin38°+sin22°cos38°）＝2sin60°＝可得cos A＝＝，则∠A＝30°则S△ABC＝||||sin∠A＝×故选：A．9．【解答】解：如图所示，可以将四三棱柱补形为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可得B1D∥A1C，则异面直线B1A与A1C所成角为∠DB1A，由三视图可知，，∴cos．即异面直线B1A与A1C所成角的余弦值为．故选：D．10．【解答】解：∵函数f（x）＝3sin2x+cos2x＝2（sin2x+cos2x）＝2sin（2x+），将f（x）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得y＝2sin（x+）的图象；再向左平移个单位，得到函数g（x）＝2sin（x+）的图象．已知g（x）分别在x1，x2处取得最大值和最小值，∴x1+＝2kπ+k∈Z，x2+＝2nπ﹣n∈Z．则|x1+x2|＝|2kπ+2nπ﹣|，故当k+n＝0时，|x1+x2|取得最小值为，故选：B．11．【解答】解：物线C：y＝ax2的焦点坐标为（0，1），∴＝1，∴a＝，抛物线C：x2＝4y，设A（x1，x12），B（x1，x12），∵y＝x2，∴y′＝x，过点A的切线方程为y＝x1x﹣x12，过点B的切线方程为y＝x2x﹣x22，则两切线的交点为Q（，），由AB过点（0，3），设直线方程为y＝kx+3，由，消y可得x2﹣4kx﹣12＝0，∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣12，∴Q（2k，﹣3），∴|AB|＝•|x1﹣x2|＝•＝4•，∵点Q到直线AB的距离d＝∴S△QAB＝×4•×＝4（k2+3）≥12当k＝0时，此时面积最小，最小值为12，故选：C．12．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝0，由题意知f（t）＝0有两个根t1，t2，且t1t2＝＝﹣4＜0，∵f（﹣2e）＞0，∴不妨设﹣2e＜t1＜0，则t2＝﹣＞，g′（x）＝，当x＜﹣3或x＞1时，g′（x）＜0，当﹣3＜x＜1时，g′（x）＞0，则在x＝﹣3时，g（x）取得极小值g（﹣3）＝﹣2e3，在x＝1处取得极大值g（1）＝，当x→﹣∞，f（x）→+∞，x→+∞，f（x）→0，则由图象知，当﹣2e＜t1＜0，＜t2＜时，方程g（x）＝t，有5个不同的解，当﹣2e＜t1＜0，t2＝时，方程g（x）＝t，有4个不同的解，当﹣2e＜t1＜0，t2＞时，方程g（x）＝t，有3个不同的解，即方程f[g（x）]＝0的实数根的个数为3或4或5，不可能是6个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z＝5x+y过点A（2，2）时z取得最大值，z max＝12，故答案为：12．14．【解答】解：模拟程序的运行，可得当x＝12时，y＝5，此时|y﹣x|＝7；当x＝5时，y＝，此时|y﹣x|＝；当x＝时，y＝﹣，此时|y﹣x|＝；当x＝﹣时，y＝﹣，此时|y﹣x|＝＜1；故输出的y的值为：﹣．故答案为：﹣．15．【解答】解：由a n+1＝2a n﹣1，变形为：a n+1﹣1＝2（a n﹣1），a1﹣1＝1，∴数列{a n﹣1}是公比为2，首项为1的等比数列．∴a n＝1+2n﹣1．∴S n＝+n＝2n﹣1+n．∵对任意的n∈N*，（S n+1﹣n）k≥2n﹣3恒成立，∴k≥．令b n＝，则n＝1时，b1＝﹣＜0．n≥2时，b n＞0．b n+1﹣b n＝﹣＝，数列{b n}的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．∴n＝3时，数列b n取得最大值，b3＝．故答案为：．16．【解答】解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，可得D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），F（1，1，1），E（0，0，1），即有＝（0，1，﹣1），＝（0，1，1），由•＝0+1﹣1＝0，可得EC⊥AF，故①正确；由球心在过正方形ABCD的中心的垂面上，即为矩形BDEF的对角线的交点，可得半径为＝，即有该几何体外接球的表面积为4π•＝3π，故②正确；若G为EC中点，可得G（，1，），＝（﹣，0，），＝（﹣1，0，1），＝（0，1，1），设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），可得﹣x+z＝0，且y+z＝0，可设x＝1，可得一个法向量为（1，﹣1，1），由•＝﹣+＝0，可得⊥．则GB∥平面AEF，故③正确；设G（0，t，1﹣t）（0≤t≤1），AG2+BG2＝1+t2+（1﹣t）2+1+（1﹣t）2+（1﹣t）2＝4t2﹣6t+5＝4（t﹣）2+，当t＝时，取得最小值，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵C＝，a＝2，△ABC的面积为＝ab sin C＝，∴解得：b＝2，…3分∴由余弦定理可得：c＝＝＝2， (6)分（2）∵由（1）可得a＝c＝2，∴A＝C＝，∠ABC＝π﹣A﹣C＝，…7分∵在△BCF中，由正弦定理，可得：sin∠CBF＝，∵CF＝，∴sin∠CBF＝，…9分∵∠CBF，∴∠CBF＝，…10分∴sin∠CBF＝sin（∠CBF+∠BCF）＝sin（+）＝sin cos+cos sin＝．…12分18．【解答】证明：（1）如图，过D作DO⊥AB，连结EO，∵∠DAB＝∠EAB＝60°，AD＝AE＝2，AO＝AO，∴△DAO≌△EAO，∴∠DOA＝∠EOA＝90°，DO＝EO＝，∵DE＝，∴DO2+EO2＝DE2，由勾股定理逆定理得∠DOE＝90°，∴DO⊥EO，∵DO⊥AB，AB∩EO＝O，AB⊂面ABE，EO⊂面ABE，∴DO⊥面ABE，∵DO⊂面ABCD，∴平面ABE⊥平面ABCD．解：（2）由（1）知DO⊥EO，DO⊥AB，EO⊥AB，如图，以O为坐标原点，分别以OE，OB，OD为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由已知得E（，0，0），A（0，﹣1，0），D（0，0，），C（0，2，），∵＝（），＝（0，﹣2，0），＝（﹣，﹣1，0），设面CED的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，1），设直线AE与平面CED所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，∴直线AE与平面CED的所成角的正弦值为．19．【解答】解：（1）散点图如图所示＝（11+13+16+15+20+21）＝16，∴＝76，∴r＝≈0.96，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2）＝＝2，又＝（1+2+3+4+5+6）＝3.5，∴＝﹣＝9，∴回归直线方程为＝2x+9，2018年2月的月份代码x＝7，∴y＝23，所以估计2018年2月的市场占有率为23%．（3）用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：∴E（X）＝﹣500×0.1+0×0.3+500×0.4+1000×0.2＝350（元）．B款单车的利润Y的分布列为：∴E（Y）＝﹣300×0.15+200×0.4+700×0.35+1200×0.1＝400（元）以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．20．【解答】解：（1）由|CP|＝|PO2|，可得|PO2|+|PO1|＝2＞4，则点P的轨迹是以O1O2为焦点的椭圆，则a＝，c＝2，∴b＝＝，则曲线E的方程为+＝1，（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则，消y可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，∴△＝36k2m2+4（1+3k2）（3m2﹣6）＝12（2﹣m2+6k2）＞0∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵λ（k1+k2）+k＝λ（+）+k＝λ（+）+k＝λ[2k+]+k＝当k＝0时，λ∈R，当k≠0时，λ＝＝，由于△＝12（2﹣m2+6k2）＞0对任意k恒成立，则m2＜2+6k2，∴0≤m2＜2，∴﹣≤λ＜0，综上所述λ∈[﹣，0）．21．【解答】解：（1）f（x）＝alnx﹣1的导数为f′（x）＝，设y＝2x﹣3与f（x）相切于（m，n），可得2m﹣3＝alnm﹣1，2＝，化为mlnm﹣m+1＝0，设F（x）＝xlnx﹣x+1，导数为F′（x）＝lnx，当x＞1时，F（x）递增；0＜x＜1时，F（x）递减，可得x＝1处F（x）取得最小值0，则m＝1，a＝2；（2）h（x1）+h（x2）＝λ（x1+x2），可得2lnx1x2+x12+x22﹣4＝λ（x1+x2），即（x1+x2）2﹣λ（x1+x2）﹣4＝2x1x2﹣2lnx1x2，设x1x2＝t＞0，令m（t）＝2t﹣2lnt，m′（t）＝2﹣，0＜t＜1时，m（t）递减；t＞1时，m（t）递增，可得m（t）≥m（1）＝2，即有（x1+x2）2﹣λ（x1+x2）﹣4≥2，设x1+x2﹣＝n＞0，n2﹣λn﹣6≥0对λ∈[1，2]恒成立，令φ（λ）＝﹣nλ+n2﹣6，﹣n＜0，φ（λ）在[1，2]递减，可得φ（λ）≥φ（2）＝n2﹣2n﹣6≥0，可得n≥1+（n≤1﹣舍去），由n为正整数，可得n的最小值为4，即x1+x2的最小值为4．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C2的极坐标方程为：ρ＝6cosθ﹣8sinθ，∴ρ2＝6ρcosθ﹣8ρsinθ，∴曲线C2的普通方程为x2+y2＝6x﹣8y，即（x﹣3）2+（y+4）2＝25．∵直线C1的参数方程为：（t为参数），直线C1与曲线C2交于A，B两点，∴|AB|最小时，圆心距最大为，∴|AB|的最小值为：2＝2．（2）设直线C1上点A，B对应参数方程（t为参数）的参数分别为t1，t2，将直线C1与C2方程联立方程，得：（t cosα﹣1）2+（t sinα+3）2＝25，∴t2﹣2t cosα+6t sinα﹣15＝0，∴t1+t2＝2cosα﹣6sinα，t1t2＝﹣15，∴|P A|2+|PB|2＝＝（2cosα﹣6sinα）2+30＝4cos2α+36sin2α﹣24sinαcosα+300＝34+16（1﹣cos2α）﹣12sin2α＝50﹣20sin（2α+γ）≤70（sin），当sin（2α+γ）＝﹣1时，取最大值70．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|2x+2|+1，解不等式f（x）+x＜2化为|2x+2|+1+x＜2，即|2x+2|＜1﹣x，∴x﹣1＜2x+2＜1﹣x，解得﹣3＜x＜﹣，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣}；（2）由f（x）≥b+|2x+a2|，得b≤|2x+a|﹣|2x+a2|+1，设g（x）＝|2x+a|﹣|2x+a2|+1，则不等式的解集非空，等价于b≤g（x）max；由g（x）≤|（2x+a）﹣（2x+a2）|+1＝|a2﹣a|+1，∴b≤|a2﹣a|+1；由题意知存在a∈[﹣，1]，使得上式成立；而函数h（a）＝|a2﹣a|+1在a∈[﹣，1]上的最大值为h（﹣）＝，∴b≤；即b的取值范围是（﹣∞，]．。
【全国百强校】四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试题
2
a b c d a c b d
0.05 3.841 0.025 5.024
n ad bc
2
．
2
k0
0.10 2.706
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
k0
20.（本小题满分 12 分） 如图 O 为坐标原点， 圆 O : x 2 y 2 4, 点 F1( 3, 以线段 F1 M 为直径的圆 N 0), F2( 3, 0)， 内切于圆 O，切点为 P，记点 M 的轨迹为曲线 C. （I）证明： | F1M | | F2 M | 为定值，并求曲线 C 的方程； （II）设 Q 为曲线 C 上的一个动点，且 Q 在 x 轴的上方，过 F2 作直线
1.设 z A． 0
1 i 2i ，则 | z | 1 i
B．
1 2
C． 1
D． 2
2.设集合 A x | y log 2 ( 2 x ) ，若全集 U A ， B x | 1 x 2，则 CU B A．
,1
B． ,1
C． 2,
18届涨100分学生达20人 罗老师18215571552
周末班、寒暑假班、全日制、志愿填报、自主招生 中学小班教学、一对一教学，针对性布局
书山有路勤为径 优径皆在为学溪
认为直播答题模式可持续 认为直播答题模式不可持续
360 240
280 120
(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过 0.5% 的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别 有关系？ (II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默 认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答 题游戏中，前 8 个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该 网友本场答题个数 X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率. 参考公式： K 临界值表：
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试(一)数学理科试题(解析版)
成都石室中学高2019届高考适应性考试(一)数学试卷(文科)一、选择题1.已知集合{}021,0,1,2|{}Ax x B -≤≤＝,＝，则A B ⋂＝（ ） A. []0,2 B. {}0,1,2C. ()1,2－D. {}1,0,1－【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】因为{}{|},021,0,1,2A x x B =≤≤=-，则{}0,1,2A B =I ， 故选:B .【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2.设i 为虚数单位，则复数21z i=-在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简z ，求得z 对应的坐标，由此判断对应点所在象限. 【详解】()()()2121111i z i i i i +===+--+Q ，∴对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限. 故选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点所在象限，属于基础题.3.计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A. 32-B.32C. 23-D.23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】原式2222221log cos 2log cos log 232322πππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.4.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知，图中D 中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大， 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D ．5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ==，，1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ） A.32B.33C.155D.105【答案】C 【解析】 【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论. 【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ， 过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,3,2,5Rt ADD DD AAAD AD ∆===∴=， 111315cos 5DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为15.故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.6.执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A. 5i ≤B. 6i ≤C. 7i ≤D. 8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.7.已知平面向量a b r r，满足21a b a r r r ＝，＝,与b r 夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥r r r r+－，则实数λ的值为（ ）A. 7-B. 3-C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()20a b a b λ+-=⋅r r r r，结合向量数量积的运算律，建立λ方程，求解即可.【详解】依题意得22113a b cos π⋅=⨯⨯=-r r 由()()20a b a b λ+-=⋅r r r r ，得()222210a b a b λλ-+-⋅=r r r r即390λ-+=，解得3λ=. 故选:D .【点睛】本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题. 8.已知三棱柱1116.34ABC AB C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )A.B. C.132D. 【答案】C 【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1329.若函数()222y sin x ϕϕπ⎛⎫<⎪⎝+⎭=的图象经过点012π⎛⎫⎪⎝⎭，，则函数()()()22f x sin x cos x ϕϕ=-+-图象的一条对称轴的方程可以为( ) A. 24x π=-B. 3724x π=C. 1724x π=D. 1324x π=-【答案】B 【解析】【分析】由点012π⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ的值，化简()f x 解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得()f x 的对称轴，由此确定正确选项.【详解】由题可知220,122sin ππϕϕ⎛⎫⨯+=< ⎪⎝⎭.6πϕ=-所以()2cos 266f x sin x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5226412x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令52,122x k k Z πππ+=+∈， 得,242k x k Z ππ=+∈ 令3k =，得3724x π=故选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.10.已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A. 12B. 10C. 9D. 8【答案】C 【解析】 【分析】求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB【详解】抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =，解得y =±(A ，则直线AF 的方程为))22y x x =-=--，由)228y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，解得((,4,A B -，所以9AB ==.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.11.过点P 的直线l 与曲线y =交于A B ，两点，若25PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的斜率为( )A. 2B. 2C. 2+或2D. 21【答案】A 【解析】 【分析】利用切割线定理求得,PA AB ，利用勾股定理求得圆心到弦AB 的距离，从而求得30APO ∠=︒，结合45POx ∠=o ，求得直线l 的倾斜角为15o ，进而求得l 的斜率.【详解】曲线y =2213x y +=的上半部分，圆心为()0,0设PQ 与曲线y =相切于点Q ， 则()2PQ PA PB PA PA AB =⋅=⋅+2225375PA PO OQ -=== 所以5,2PA AB ==，O 到弦AB =1sin 2APO ===∠，所以30APO ∠=︒，由于45POx ∠=o ，所以直线l 的倾斜角为453015-=o o o ，斜率为()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30-=-==+⨯o ooooo o故选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A. 510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 510,23⎛⎫⎪⎝⎭C. 102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 102,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数()'fx ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围.【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-，要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+，令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t+在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13.在()()6411 x y ++的展开式中，23x y 的系数为________．【答案】60 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，求出6(1)x +含2x 的系数和4(1)y +含3y 的系数，相乘即可. 【详解】()()6411 x y ++的展开式中， 所求项为：2233232364654602C x C y x y x y ⨯=⨯=， 23x y 的系数为60.故答案为:60.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.14.已知矩形 ABCD ，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据,A B 为焦点，得2c =；又2AC BC a -=求得a ，从而得到离心率. 【详解】,A B 为焦点 24c ⇒= 2c ⇒=C 在双曲线上，则2AC BC a -=又5AC == 22a ⇒= 1a ⇒=2ce a∴== 本题正确结果：2【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题. 15.已知函数()1xxf x e e-=--，则关于x 的不等式(2)(1)2f x f x ++>-的解集为_______．【答案】1(,)3-+∞ 【解析】 【分析】判断()()1g x f x =+的奇偶性和单调性，原不等式转化为()()()2?11g x g x g x -+=--＞，运用单调性，可得到所求解集．【详解】令()()1g x f x =+，易知函数()g x 为奇函数，在R 上单调递增，()()()()21221110f x f x f x f x ++>-⇔++++＞，即()()210g x g x ++＞，∴()()()2?11g x g x g x -+=--＞ ∴21x x ＞--，即x ＞13- 故答案为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.已知数列{}n a 满足1211,3a a ==对任意2,*n n N ≥∈，若()111123n n n n n a a a a a -+-++=，则数列{}n a 的通项公式n a =________．【答案】121n - 【解析】 【分析】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=可得1111112()n n n n a a a a +--=-，利用等比数列的通项公式可得1112n n na a +-=，再利用累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】由()111123n n n n n a a a a a -+-++=，得1111112()n n n n a a a a +--=- 21112a a -=，数列111{}n n a a +-是等比数列，首项为2，公比为2，1112n n na a +∴-=，11112,2n n n n a a --≥-=， 11221111111111()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+L 121222212112nn n n ---=++++==--L ， 111,1n a ==，满足上式，121n n a =-. 故答案为:121n -. 【点睛】本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.三、解答题17.在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲$453y x =+； 乙$4105y x =-+；丙$ 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的. （1）试判断谁的计算结果正确？（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）乙同学正确（2）分布列见解析， ()32E X =【解析】【分析】（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【详解】（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，6.5,79x y ==Q ，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：$4105y x =-+（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列()199130123202020202E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.18.已知在平面四边形ABCD 中，3,,1,4ABC AB AD AB ABC π∠=⊥=V 的面积为12. （1）求AC 的长；（2）已知CD =ADC ∠为锐角，求tan ADC ∠.【答案】（1（2）4.【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式求得BC ，利用余弦定理求得AC .（2）利用余弦定理求得cos CAB ∠，由此求得sin DAC ∠，进而求得sin ADC ∠，利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC ∠.【详解】（1）在 ABC V 中，由面积公式：11sin 242ABC S AB BC ABC BC =⨯⨯⨯∠==VBC ∴=在 ABC V 中，由余弦定理可得：22225AC AB BC AB BC cos ABC +⋅∠-⋅==AC ∴=（2）在 ABC V 中，由余弦定理可得：2222AB AC BCcos CAB AB BC +-∠==⋅ ()2sin DAC sin DAB CAB sin CAB π⎛⎫∠=∠-∠=-∠ ⎪⎝⎭5sin DAC cos CAB ∴∠=∠= 在 ADC V 中，由正弦定理可得:sin sin AC CD ADC DAC =∠∠，sin ADC ∴∠= ADC ∠Q 为锐角cos ADC ∴∠==. tan 4ADC ∴∠=【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19.如图，在四面体DABC 中，AB BC DA DC DB ⊥==，.（1）求证:平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若30CAD ∠=︒，二面角 C AB D --为60o ，求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（23【解析】【分析】（1）取AC 中点,F 连接,FD FB ，得,DF AC ⊥AB BC ⊥，可得FA FB FC ==，可证DFA DFB V V ≌，可得DF FB ⊥，进而DF ⊥平面ABC ，即可证明结论；（2）设,,E G H 分别为边,,AB CD BD 的中点，连,,,,DE EF GF FH HG ，可得//GF AD ，//,//GH BC EF BC ，可得FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角，BC AB ⊥，可得EF AB ⊥，DEF ∠为二面角 C AB D --的平面角，即60DEF ∠=o ，设AD a =，求解FGH ∆，即可得出结论.【详解】（1）证明:取AC 中点,F 连接,FD FB ，由,DA DC =则,DF AC ⊥AB BC ⊥Q ，则FA FB FC ==，故DFA DFB V V ≌，2DFB DFA π∠=∠=，,,DF AC DF FB AC FB F ⊥⊥⋂=QDF ⊥∴平面ABC ，又DF ⊂平面ACD ，故平面ABC ⊥平面ACD（2）解法一:设,G H 分别为边,CD BD 的中点，则//,//FG AD GH BC ，FGH ∠（或补角）是异面直线AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点，则//EF BC ，由,AB BC ⊥知EF AB ⊥.又由（1）有DF ⊥平面,ABC DF AB ∴⊥，,EF DF F AB =⊥I 平面.,D F B E E D A ∴⊥，所以DEF ∠为二面角C AB D --的平面角，60DEF ∴∠=o ，设,DA DC DB a ===则2a DF AD CAD =⋅∠= 在Rt DEF △中，332a EF a =⋅= 从而1326GH BC EF a === 在Rt BDF V 中，122a FH BD ==， 又122a FG AD ==， 从而在FGH V 中，因FG FH =，132GH cos FGH FG ∴∠==， 因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.解法二:过点F 作FM AC ⊥交AB 于点,M由（1）易知,,FC FD FM 两两垂直，以F 为原点，射线,,FM FC FD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系F xyz -.不妨设2AD =，由30CD AD CAD =∠=︒,，易知点,,A C D的坐标分别为()0,,()(), 0,0,1A C D则 (0)AD =u u u r显然向量()0,0,1k =r 是平面ABC 的法向量已知二面角 C AB D --为60︒，设(),,0B m n，则223,,()m n AB m n +==+u u u r设平面ABD 的法向量为(),,n x y z =r ，则(0000z AD n AB n mx n y +=⎧⋅=⇒⎨⋅=++=⎩⎪⎩u u u v v u u u v v 令1y =，则n n m ⎛+=- ⎝r由||1,2k n cos k n k n ⋅<>===u u r r r r r r由上式整理得29210n +-=，解之得n =舍)或9n =B ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭CB ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2,AD CB cos AD CB AD CB ⋅<>===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r因此，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明平面与平面垂直，考查空间角，涉及到二面角、异面直线所成的角，做出空间角对应的平面角是解题的关键，或用空间向量法求角，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的左，右焦点，点2(P -在椭圆E 上，且抛物线24y x =的焦点是椭圆E 的一个焦点．（1）求a ,b 的值：（2）过点2F 作不与x 轴重合的直线l ，设l 与圆2222x y a b +=+相交于A ，B 两点，且与椭圆E 相交于C ，D 两点，当111F A F B ⋅=u u u v u u u v 时，求△1F CD 的面积． 【答案】（1）2,1a b ==；（246. 【解析】【分析】（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出a ，b ；（2）设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与圆的方程可以求出2t ，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．【详解】（1）24y x ＝焦点为F （1，0），则F 1（1，0），F 2（1，0）， 122P F +P F 22a ＝＝2a =c ＝1，b ＝1，（Ⅱ）由已知，可设直线l 方程为1x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y联立2213x ty x y =+⎧⎨+=⎩得22(1)220t y ty ++-=，易知△＞0，则1221222t t +12t +1y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩11 F A F B ⋅u u u v u u u v ＝1122(1)(1)x x y y +++＝1212(ty +2)(ty +2)+y y ＝22121222-2t t +1y y +2t y +y +4t +1（）（）＝ 因为111F A F B =⋅u u u r u u u r ，所以222-2t t +1＝1，解得21t 3＝ 联立22112x ty x y +⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝ ，得22t +2y +2ty-10（）＝，△＝82t +1（）＞0 设3344C ,),(,)x y B x y （，则3423422t y +y t +21y y 2t -⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎩＝＝1F CD 12341S F F y -y 23∆⋅＝ 【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．21.已知函数()2, 2.718282a f x xlnx x x a R e =--∈≈⋅⋅⋅,是自然对数的底数. （1）若a e =-，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点12,x x ，求a 的取值范围，并证明:1212x x x x >+.【答案】（1）减区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明见解析. 【解析】【分析】（1）当a e =-时，求得函数()f x 的导函数()'f x 以及二阶导函数()''f x ，由此求得()f x 的单调区间.（2）令()'0f x =求得ln x a x =，构造函数()ln x g x x=，利用导数求得()g x 的单调区间、极值和最值，结合()f x 有两个极值点，求得a 的取值范围.将12,x x 代入()f x lnx ax '=-列方程组，由()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x +<==++证得1212x x x x >+. 【详解】（1）()'f x lnx ax lnx ex =-=+Q ，10e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭'∴=， 又()1"0f x e x=+>，所以()'f x 在(0)+∞，单增， 从而当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0, f x f x <递减， 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 递增.（2）()f x lnx ax '=-.令()ln '0x f x a x =⇒=， 令()ln x g x x =，则()21ln x g x x-'= 故()g x 在()0,e 递增，在(,)e +∞递减，所以()()max 1g x g e e==.注意到当1x >时()0g x >， 所以当0a <时，()f x 有一个极值点， 当10a e <<时，()f x 有两个极值点， 当1a e≥时，()f x 没有极值点， 综上10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为12,x x 是()f x 的两个极值点，所以11112222ln 0ln ln 0ln x ax x ax x ax x ax -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ 不妨设12x x <，得121x e x <<<，因为()g x 在(,)e +∞递减，且122x x x +>，所以()()1212212212ln ln ln x x x x x a x x x x x ++<⇒<++ 又()()12121212ln ln ln x x x x a x x a x x +=+⇒=+ 所以()()121212121212ln ln x x x x x x x x x x x x +<⇒>+++ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的倾斜角为30°，且经过点()2,1A ．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线2:cos 3l ρθ=，从原点O 作射线交2l 于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足12OM ON ⋅=，记点N 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求出直线1l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求AP AQ⋅的值． 【答案】（Ⅰ）22112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，()22400.x x y x -+=≠；（Ⅱ）3.【解析】【分析】（Ⅰ）直接由已知写出直线l 1的参数方程，设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得1112ρρθθ=⎧⎨=⎩，即ρ＝4cos θ，然后化为普通方程；（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得到关于t 的一元二次方程，再由参数t 的几何意义可得|AP |•|AQ |的值．【详解】（Ⅰ）直线l 1的参数方程为x 2tcos30y 1tsin30=+⎧⎪=+⎨⎪⎩o o ，（t 为参数）即2112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．设N （ρ，θ），M （ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0）， 则1ρρ121θθ=⎧=⎨⎩，即3ρ12cos θ⋅=，即ρ=4cosθ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2-4x+y 2=0（x ≠0）.（Ⅱ）将l 1的参数方程代入C 的直角坐标方程中，得221(2t)42(1t)02⎛⎫+-+++= ⎪ ⎪⎝⎭，即2t t 30-=，t 1，t 2为方程的两个根， ∴t 1t 2=-3，∴|AP|•|AQ|=|t 1t 2|=|-3|=3．【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．23.已知函数()|2||4|f x x x =++-.(1)求不等式()3f x x ≤的解集；(2)若()|1|f x k x ≥-对任意x ∈R 恒成立，求k 的取值范围.【答案】(1)[)2,+∞；(2)(],2-∞.【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，分为4x >，2x <-，24x -≤≤三种情形，分别求出不等式的解集即可； （2）通过分离参数思想问题转化为331111k x x ≤++---，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到k 的范围.【详解】(1)当4x >时，原不等式等价于243x x x ++-≤，解得2x ≥-，所以4x >，当2x <-时，原不等式等价于243x x x ---+≤，解得25x ≥，所以此时不等式无解， 当24x -≤≤时，原不等式等价于243x x x +-+≤，解得2x ≥，所以24x ≤≤综上所述，不等式解集为[)2,+∞.(2)由()1f x k x ≥-，得241x x k x ++-≥-，当1x =时，60≥恒成立，所以R k ∈；当1x ≠时，24131333111111x x x x k x x x x ++--++--≤==++-----. 因为3333111121111x x x x ⎛⎫⎛⎫++-≥++-= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当且仅当3311011x x ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭即4x ≥或2x -≤时，等号成立， 所以k 2≤；综上k 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.。
四川省成都石室中学高三数学上学期“一诊”模拟试题 理 新人教A版
数学(理科)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1) B．(1,1)- C．(1,1)- D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4- B．41- C．4 D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1 D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i== B．12,4a i== C．8,3a i== D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=xxf的图像关于直线32π=x对称,它的周期是π,则（）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a 、b满足(1,0),(2,4)a b ==，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-,(2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。
2019届四川省成都石室中学高三适应性考试数学理科试题
成都石室中学高2021届高考适应性测试〔、选择题1 .集合 A= x|0 x2 ,B={ 1,0,1,2},那么 A B=〔〕 A. 0,2 B. 0,1,2C. -1,2【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义,即可求解.【详解】由于 A {x|0 x 2}, B 1,0,1,2 ,那么 AI B 0,1,2 , 应选：B . 【点睛】此题考查集合间的运算,属于根底题.. .. ...... ....... . (2)2.设i 为虚数单位,那么复数 z ——在复平面内对应的点位于 〔〕1 iA.第一象限B.第二象限C.第三象限【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简 z,求得z 对应的坐标,由此判断对应点所在象限2 2 1 i【详解】Q z —— ------------------- 1 i, 对应的点的坐标为 1,1 ,1 i 1 i 1 i应选：A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于根底题、一,,5 …3 .计算log 2 sin —cos ——等于〔〕4 3利用诱导公式、特殊角的三角函数值,结合对数运算,求得所求表达式的值A.3 B.— 2C.2 D.—3〕数学试卷〔文科〕D. —1,0,1D.第四象限位于第一象限【详解】原式 log 2 -- cos 2— log 2 cos - 23 23应选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式,考查对数运算,属于根底题4 .党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能 社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活泼度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济比照试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最【答案】D 【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D 中共享与不共享的企业经济活泼度的差异最大, 它最能表达共享经济对该部门的开展有显著效果,应选5 .在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中,AB 1, AD亚,AA J 3,那么直线DD 1与平面ABC 1所成角的余弦值为〔〕能表达共享经济对该部门的开展有显著效果的图形是〔1O KK QiUa ¥«*布事声串D.3血2 2.共享经济是公众将闲置资源通过D.D.【解在长方体中AB / /C 1D 1,得DD i 与平面ABC i 交于D 1,过D 做DO A 〕于O ,可证DO 平面ABCR , 可得 DD i A 为所求解的角,解 Rt ADD/即可求出结论.【详解】在长方体中 AB//C 1D 1,平面ABC 1即为平面ABC 1D 1, 过 D 做 DO AD i 于 O , Q AB 平面 AA i D i D ,DO 平面 AAD i D, AB DO, AB I AD i D,DO 平面ABC i D i , DD i A 为DD i 与平面ABC i 所成角,在 Rt ADD i ,DD i AA V 3, AD V 2, AD i 展,DD i 「3 .i5cos DD i A ---------- -=. ------------AD i .5 5【点睛】此题考查直线与平面所成的角,定义法求空间角要表达“做〞 “证〞 “算〞,三步骤缺一不可, 属于根底题6 .执行下面的程序框图,假设输出的 S 的值为63,那么判断框中可以填入的关于 i 的判断条件是〔直线DD i 与平面ABC i 所成角的余弦值为应选：C.B. iC. i 7D. i 8【解析】【分析】根据程序框图,逐步执行,直到S的值为63,结束循环,即可得出判断条件【详解】执行框图如下:初始值: 0,i 1,第一步: 1,i 2 ,此时不能输出,继续循环;第二步: 3,i 3,此时不能输出,继续循环;第三步: 7,i 4 ,此时不能输出,继续循环;第四步: 15,i 5,此时不能输出,继续循环;第五步: 15 16 31, i 1 6 ,此时不能输出,继续循环;第六步: 31 32 63, i 1 7 ,此时要输出, 结束循环;故,判断条件为i6.应选B【点睛】此题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果, 即可确定判断条件,属于常考题型.7. r r 一一…’•平面向量a,b满足a=2,b=1,a与b 夹角为2 「,r一,且(a+3b) (2a— b),那么实数的值为()A. 7B. 3C. 2D. 3【解析】【分析】由可得r2a 0 ,结合向量数量积的运算律,建立方程,求解即可.【详解】依题意得2 cos一r2a 0,r2得2a3r2b 3.应选：D .【点睛】此题考查向量数量积运算,向量垂直的应用, 考查计算求解水平,属于根底题8.三棱柱ABC AB1c l的6个顶点都在球O的球面上.假设AB3, AC 4, AB AC,A. X 一24 B.37x —24 C. x1724D. X1324【分析】定正确选项【详解】由题可知2sin 2 -0,12人 5令 2x - - k ,k Z , 12 2 /口 k 倚 x — —, k Z24 237令k 3,得x 3— 24应选：B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴 的求法,属于中档题.10.F 为抛物线C : y 2 8x 的焦点,点A 1,m 在C 上,假设直线 AF 与C 的另一个交点为 B ,那么AB ()【答案】C 【解析】 【分析】求得A 点坐标,由此求得直线 AF 的方程,联立直线 AF 的方程和抛物线的方程,求得 B 点坐标,进而求 得AB【详解】抛物线焦点为 F 2,0,令x 1 , y 28 ,解得y2%/2 ,不妨设A 1,2行,那么直线AF 的方程为 y 2 x 22V2 x 2,由,2 2石*x 2 ,解得 A 1,2^2 , B 4, 4 V 2 ,所以1 2y 28xAB J 4 1 24& 2& 29.应选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的弦长的求法,属于根底题^由点—,0求得12的值,化简f x 解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得f x 的对称轴,由此确所以 f x sin 2x cos 2x 一6 672 sin 2x 一 —6 4\ 2 sin 2x12A. 12B. 10C. 9D. 811.过点P〔2强276〕的直线l与曲线y 713 x2交于A,B两点,假设uur uuu2PA 5AB ,那么直线l的斜率为A. 2 3B. 2 .3C. 2 .,3或2 .3D. 2【解析】【分析】利用切割线定理求得PA , AB,利用勾股定理求得圆心到弦AB的距离,从而求得APO 30 ,结合POx 45°,求得直线l的倾斜角为15°,进而求得l的斜率.【详解】曲线y .,桁口为圆X213的上半局部,圆心为0,0 ,半径为而.设PQ与曲线y J13~X2相切于点Q,_ 2那么PQ PA PB PA PA 所以|PA 5, AB| 2, AB7一PA5PO OQ 35.到弦AB的距离为.3 1 2.3, sin APO 2、3 2,3OP广厂一,所以APO 30 ,由于2.6 2 2POx 45°,所以直线l的倾斜角为45°30°15°,斜率为tan15°tan 45°30°tan 45°tan30°1 tan 45°tan30°2 3.应选：A【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题 12.假设函数f x mx 2 e x 〔e 2.71828…为自然对数的底数〕在区间1,2上不是单调函数,那么实数m 的取值范围是 A. 一,2 5 10B. 5 10 2, 3C.2130c 10 D. 2,一3求得f x 的导函数f ,由此构造函数 2 m x 2 m,根据题意可知g x 在〔1,2〕上有变号零点.由此令g 0 ,利用别离常数法结合换元法, 求得 m 的取值范围.2 m, x 在区间1,2上不是单调函数, 在〔1,2〕上有变号零点,令 0, 那么 x 22x2,3 ,那么问题即m1 _在t1t 2,3上有零点,由于t -在2,3上递增,所以m 的取值t范围是52应选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查方程零点问题的求解策略,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题 .二、填空题6 4 2 313.在1 x 1 y 的展开式中,x2y3的系数为 .【答案】60【解析】【分析】根据二项展开式定理,求出(1 x)6含x2的系数和(1 y)4含y3的系数,相乘即可.6 4【详解】1 x 1 y的展开式中,所求项为：c2x2C：y3.4x2y360x2y3,2x2y3的系数为60.故答案为：60.【点睛】此题考查二项展开式定理的应用,属于根底题^14.矩形ABCD , AB= 4 , BC =3 ,以A, B为焦点,且过C, D两点的双曲线的离心率为【答案】2【解析】【分析】根据A,B为焦点,得c 2；又AC| |BC 2a求得a ,从而得到离心率.【详解】A, B为焦点2c 4 c 2C在双曲线上,那么AC BC 2a又AC J AB2 BC25 2a 2 a 1e c 2a此题正确结果：2【点睛】此题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题,属于根底题^15 .函数f(x) e x e x1,那么关于x的不等式f (2x) f (x 1) 2的解集为…1【答案】(,) 3【解析】 【分析】判断g x f x 1的奇偶性和单调性, 原不等式转化为g 2x > 0 x 1 g x 1 ,运用单调性, 可得到所求解集. 【详解】令g x f x 1 ,易知函数g x 为奇函数,在 R 上单调递增,f 2x f x 12 f 2x 1 f x 1 1 >0,即 g 2x g x 1 >0,. . g 2x > g x 1 g x 112x> x 1 ,即 x> 一3,1故答案为一,3【点睛】 此题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式,考查转化思想和运算水平,属于中档题. __ ____ ,一 1 .16 .数列 a n 满足a 1 1,a 2—对任意n 2,n N * ,假设a na n1 2a n13a nd 〔,那么数列 a n 的3通项公式a n .【解析】 【分析】 ,八八1 1〜11、 …生——一由a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1可得 ------ ---- 2( ------------- ),利用等比数列的通项公式可得a n 1 a n a n a n 11 1 1 1——2,数列｛—— —｝是等比数列,首项为 2,公比为2, a 2 a 1 a n 1 a na n 11 a n2n ,再利用累加法求和与等比数列的求和公式, 即可得出结论【详解】由1a n a n 1 2a n 13a n 1a n 1 ,得一 a n 1a n2(i—)a n 1【点睛】此题考查数列的通项公式,递推公式转化为等比数列是解题的关键,利用累加法求通项公式,属 于中档题.三、解做题17.在国家“群众创业,万众创新〞战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入 .为了对新研发的产品进变量x,y 且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲y 4X 53 ；乙$ 4x 105；丙§ 4.6X 104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确？(2)假设由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1,那么称该检测数据是“理想数据〞,现从检测数据中随机抽取 3个,求“理想数据〞的个数 X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)乙同学正确3(2)分布列见解析, E X -2a no n2, n 2,— a na n 1n n 12,1 a n 1) a n 11 1 ( ------------- )a n 1 a n 2 a 2 a 12n 12n 21 2n2nn 1,— 1 ,满足上式, a 11 2n 1故答案为1 2n 1【分析】〔1〕由可得甲不正确,求出样本中央点 〔X,］〕代入验证,即可得出结论；〔2〕根据〔1〕中得到的回归方程,求出估值,得到“理想数据〞的个数,确定“理想数据〞的个数X 的可能值,并求出概率,得到分布列,即可求解 ^【详解】〔1〕变量x,y 具有线性负相关关系,故甲不正确,Q X 6.5,y 79,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为：$ 4x 105〔2〕由〔1〕得到的回归方程,计算估计数据如下表:“理想数据〞有3个,故“理想数据〞的个数X 的取值为：0,1,2,3 .c °C 31C 2斗工P X 1CC 3旦C 6320 'C 3 2021 3 0P X 2 外—P X 1 瞪C 3 20 'C 3于是“理想数据〞的个数 X 的分布列,以及离散型随机变量的分布列和期望,意在 考查逻辑推理、数学计算水平,属于中档题1 202092020 20.................................... . ― 3 — — — ____ 1 18 .在平面四边形 ABCD 中, ABC ——,AB AD, AB 1,VABC 的面积为一.42(1)求AC 的长;(2)CD 画, ADC 为锐角,求tan ADC . 2【答案】(1)有；(2) 4. 【解析】 【分析】tan ADC 4(1)利用三角形的面积公式求得BC ,利用余弦定理求得 AC .(2)利用余弦定理求得 cos CAB,由此求得sin DAC ,进而求得sinADC,利用同角三角函数的基本关系式求得tan ADC .(1)在V ABC 中,由面积公式:S V ABCAB BC sin ABC BCBC在V ABC 中,由余弦定理可得:AC AB BC22 AB BC cos ABC 5AC 75(2)在VABC 中,由余弦定理可得:cos CABABAC |2 |BC2|AB | |BC |2.5 5sin DAC sin( DAB CAB)sinCAB2sin DAC〜r 2 -5 cos CAB----------------------5在VADC 中, 由正弦定理可得：ACCDsin ADC sin DAC 'sin ADC4<17 17Q ADC 为锐角cos ADC .1 sin 2ADC.17 17【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面积公式,考查同角三角函数的根本关系式,属于中档题.19 .如图,在四面体DABC中,AB BC, DA DC DB.〔1〕求证：平面ABC 平面ACD ；〔2〕假设CAD 30 ,二面角C AB D为60°,求异面直线AD与BC所成角的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析⑵31 6 【解析】【分析】〔1〕取AC 中点F,连接FD,FB ,得DF AC, AB BC ,可得FA FB FC, 可证VDFA^VDFB ,可得DF FB ,进而DF 平面ABC ,即可证实结论；〔2〕设E,G,H 分别为边AB,CD,BD 的中点,连DE,EF ,GF , FH ,HG ,可得GF//AD ,GH //BC,EF//BC ,可得FGH 〔或补角〕是异面直线AD与BC所成的角,BC AB ,可得EF AB, DEF为二面角C AB D的平面角,即DEF 60°,设AD a,求解FGH ,即可得出结论.【详解】〔1〕证实：取AC中点F,连接FD,FB ,由DA DC,那么DF AC,Q AB BC,那么FA FB FC ,故VDFA^VDFB, DFB DFA 一,2Q DF AC, DF FB, AC FB F 二• DF 平面ABC ,又DF 平面ACD ,故平面ABC 平面ACD(2)解法一：设G,H 分别为边CD, BD 的中点,那么 FG //AD,GH //BC ,FGH (或补角)是异面直线 AD 与BC 所成的角.设E 为边AB 的中点,那么EF//BC, 由 AB BC,知 EF AB . 又由〔1〕有DF 平面ABC, DF AB,EFI DF F,AB 平面 DEF, DE AB.,所以 DEF 为二面角C AB D 的平面角, DEF设 DA DC DB a,那么 DF AD CAD -2在RtADEF 中,EF a 旦旦a2 36从而 GH -BC EF —a 26「 1又 FG -AD2从而在VFGH 中,因FG FH ,12GH 近 FG 6在 RtVBDF 中,FH -BD60°,cos FGH因此,异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为解法二：过点F 作FM AC 交AB 于点M ,8A,C,D 的坐标分别为A(0, 73,0),C(0,73,0), D 0,0,1二面角C AB设B m, n,0 ,那么muur3,AB (m,n 、.3,0) r设平面ABD的法向量为n x,y,z , uuiv v 皿AD n 那么uuiv vAB n mx n二1一3r r cosk,n uur r ik nl -r-r-k n由上式整理得9n22、3n 解之得n 囱〔舍〕或n4.6 7.3 八----- , ------ ,09 9cos juuruurrAD,CBHJLTAD41321 0 ,uuuCBJJJCBjuir uurAD CB4.692,30----- ,0 ,92—3-c 2 32 -------由〔1〕易知FC,FD,FM两两垂直,以F为原点,射线FM , FC,FD分别为x轴,y轴, z轴的正半轴,建立空间直角坐标系 F xyz. 不妨设AD 2,由CD AD, CAD易知点juur那么AD(0, ,3,1)r显然向量k 0,0,1 是平面ABC的法向量因此,异面直线 AD 与BC 所成角的余弦值为 31.【点睛】此题考查空间点、线、面位置关系,证实平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直 线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推 理、数学计算水平,属于中档题2 - 、1(a> b>0)的左,右焦点,点P( 1,—)在椭圆E 上,且抛物线b 222y 4x 的焦点是椭圆E 的一个焦点.(1)求a , b 的值：uuuv uuuvD 两点,当F 1A F 1B 1时,求^ F i CD 的面积.【解析】 【分析】(1)由根据抛物线和椭圆的定义和性质,可求出(2)设直线i 方程为x ty 1,联立直线与圆的方程可以求出t 2,再联立直线和椭圆的方程化简,由根与系数的关系得到结论,继而求出面积.【详解】(1) y 2= 4x 焦点为 F (1, 0),那么 F 1 (1 , 0), F 2 (1, 0),2a= PF 1 + PF 2 =2五,解得 a 衣,c=1, b = 1,(n)由,可设直线l 方程为x ty 1, A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)2X20.F i, F 2分别是椭圆E ： -2 a (2)过点F 2作不与x 轴重合的直线l ,设l 与圆x 222_ 2 .y a b 相交于A, B 两点,且与椭圆 E 相交于C,【答案】(1) a夜,b 1 ； (2)迤 7x= ty 1 联立 x 22 ,得(t 2+2) y 2+2ty-1 =0 , △= 8(t 2+1) >0—y =1 21,8 3 _ 4 . 6 ----------- ------- 77 3【点睛】此题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用,同时考查利用根与系数的关系,解决直线与圆, 直线与椭圆的位置关系问题.意在考查学生的数学运算水平.a 2 _ ____21.函数f x xlnx - x x, a R, e 2.71828 是自然对数的底数2(1)假设a e,讨论f x 的单调性；(2)假设f x 有两个极值点x,x 2,求a 的取值范围,并证实：x 1x 2 x 1 x 2. 公一 ,、口 c 1 2 、口 1 -1…【答案】(1)减区间是 0,-,增区间是 一,；(2)0,-,证实见解析.eee【解析】 【分析】'''(1)当a e 时,求得函数f x 的导函数f x 以及二阶导函数 f x ,由此求得f x 的单调区间2t x ty 122联立 22 得(t 1)y 2ty 2 0 ,易知△> 0,那么x y 3 y i y 2 t 2+iy 〔y 22 p+1uuuz uuv F i A F i B=(x i1)(x 21) y 1y 2= (ty i +2)(ty 2+2)+y 1y 2=(t 2 +1)/ 、 2-2t 2y 1y 2 + 2t (y i +y 2)+4=- t +1uuu uuu 由于F 1A F 1B1,所以孕_ = 1,t 2+ 1解得t 2= 13设C9芈),B(x 4, y 4),那么丫3+丫42t t 2+2 y 3 y 4=i t 22S F 1CDIn xIn x ……,,,---,构造函数g x -利用导数求得 g x 的单调区间、极值和最值,结合f x 有两个极值点,求得 a 的取值范围.将x,x 2代入f x lnx ax 列方程组,由0,一 一 1又f" x - e 0 ,所以f x 在〔0,〕单增, x 一, 「一从而当x 0,-时,f ' x 0, f x 递减,e,1 , .............当x -, 时,f x 递增.e1 ln x2x故g x 在0,e 递增,在〔e,〕递减,1所以g x m g e —.注意到当x 1时g x 0 , e 所以当a 0时,f x 有一个极值点,1 .当0 a -时,f x 有两个极值点,.. 1 , • ............ 当a —时,f x 没有极值点, C 1综上a 0,- e由于x,x 2是f x 的两个极值点,不妨设x x 2,得1x 1e x 2,(2)令 f (x )= 0求得 a ln x i x 2 lnx 2 ------------- --------- a ln x 1x 2 x x 2 x 2x 1 x 2证彳x x 1 x 2 x 1 x 2.【详解】〔1〕 Q f' xlnx ax lnx ex,(2) f x lnx ax .令 f ' x 0ln xln x 所以ln 斗 ln x 2 a% 0 ax 2 0ln % a4 ln x 2 ax 2由于g x 在(e,)递减,且X i X 2 X 2,m 、Jn x i X 2lnx 2 In X i X 2所以 ---------- ------ 2------------------------aX 1 X 2X 2X 1 X 2In x 1 x 2 In x 1x 2 所以 ---------- ----------- X 1X 2X 1 x 2X i X 2X iX 2【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数研究函数的极值点,考查利用导数 证实不等式,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题^22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线I i 的倾斜角为30°,且经过点A 2,1 .以坐标原点.为极点,x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,直线I 2： cos 3,从原点.作射线交I 2于点M 点N 为射线OMk 的点,满足OM ON i2,记点N 的轨迹为曲线C.(I)求出直线Ii 参数方程和曲线 C的直角坐标方程;又 In % In X 2a X 1 X 2In x 1x 2 x 1 x 2(n)设直线I i与曲线C交于P, Q两点,求AP AQ值.21t24x(I)直接由写出直线即p= 4cos 0,然后化为普通方(n)将Ii的参数方程代入|AP|?|AQ| 的值.【详解】(I )直线Ii的参数数方程,直角坐标万程得到关于t的o30°, (t为参数)工可得0 x 0 . ； ( n) 3.,小(P1, 91),P1>0)t的几2y为y 1(t为参数),X2,t i t 2=-3 , |AP|?|AQ|=|t i t 2|=|-3|=3 .【点睛】此题考查简单曲线的极坐标方程,考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化,练习了直线参数方 程中参数t 的几何意义的应用,是中档题.的范围.当2 x 4时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x,解得x 2,所以2 x 4综上所述,不等式解集为 2,Jt21 t2 (t 为参数).设 N (p, 9) , M (p 1,.1), (p > 0, p 1>0),P1P 12那么9 01,即P 3 一 一 ------ 12 ,即 p =4cos 0 , cos 0,曲线C 的直角坐标方程为 x 2-4x+y 2=0 (xw 0).(D) 将l i 的参数方程代入 C 的直角坐标方程中,得(2 餐 2 4 2 “1 卡..即t 2 —t 3 0, t 1, t 2为方程的两个根, 223.函数 f(x) |X 2| |x 4|.(1)求不等式 f(x) 3x 的解集;(2)假设 f(x) 1|对任意x R 恒成立, k 的取值范围.【答案】(1) 2, ；(2) ,2(1)通过讨论x 的范围,分为x 4, 2, x 4三种情形,分别求出不等式的解集即可;(2)通过别离参数思想问题转化为 ,根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到 k【详解】(1)当x 4时,原不等式等价于 4 3x, 解得x 2 ,所以x 4,当x 2时,原不等式等价于 x 2 x 4 3x, 解得x 2 ,所以此时不等式无解, 5(2)由f X由于1时, 1时, 1x31当且仅当1所以k 2 ；0恒成立,所以4或XW 2时,等号成立,综上k的取值范围是,2 .【点睛】此题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式性质以及分类讨论思想,转化思想,属于中档题.。
成都石室中学高2019级 “一诊”模拟考试(数学理)
成都石室中学高2019届一诊模拟一.选择题(本题共有12小题, 每题5分,共60分,每题恰有一个答案) 1. 已知1z i =+，则21z1z ++等于 （ ）A ． 4355i + B ． 4355i - C ．i D ．i -2. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 （ ）A.sin()2y x π=+ B.cos(2)2y x π=+ C.sin(2)2y x π=+ D.cos()2y x π=+3.(81展开式中不含4x 项的系数的和为 （ ）A.-1B.0C.1D.24.若函数()log a f x x =（其中0,1)a a >≠满足(5)2f =，则15(2l o g 2)f -的值为 （ ）A ．5log 2 B. 2log 5 C.4 D.25.将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中,每个班级至少安排1名学生,其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有 ( )A. 18种B. 24种C. 54种D. 60种6．设{}n a 、{}n b 分别为等差数列与等比数列，且114a b ==，441a b ==,则以下结论一定成立的是()A ．22a b >B ．33a b <C ．55a b >D ．66a b >7.已知函数()cos(),f x x R θθ=+∈.若0()()lim1x f x f xππ→+-=，则函数f(x)的解析式为（ ）A.()sin f x x =-B. ()cos f x x =-C. ()sin f x x =D. ()cos f x x =8. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P .ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为 （ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9759.设,,a b c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a 与b 不共线,a c ⊥,||||a c =,则||b c ⋅的值一定等于 ( )A ．以,a b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以,b c 为两边的三角形面积C ．,a b 为两边的三角形面积 D. 以,b c 为邻边的平行四边形的面积 10.已知p 是r 的充分条件而非必要条件,q 是r 的充分条件,s 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件.现有下列命题： ①s 是q 的充要条件； ②p 是q 的充分非必要条件；③r 是q 的必要非充分条件； ④p s ⌝⌝是的必要非充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是 （ ）A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D. ②④⑤11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于．．6 ．时再增选一名代表. 那么各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为 （ ）A.y ＝[10x ]B.y ＝[310x +]C.y ＝[410x +]D.y ＝[510x +]12. 如图,在长方形ABCD 中，，E 为线段DC 上一动点，现将∆AED 沿AE 折起,使点D在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为 ( ) AC ．2πD ． 3πBA二.填空题(每题4分,共16分)13.设()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2),则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 .14.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf '=+，则(5)f '=15.将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 对折成120的二面角,则B,D 在四面体A-BCD 的外接球球面上的距离为16．已知定义域为 0+∞（，） 的函数f(x)满足： 对任意x 0∈+∞（，），恒有 f(2x)=2f(x)成立；当x ]∈（1，2时，f(x)=2-x 。
四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学(理)试卷附答案
成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i iiz 211++-=，则=||z A ．0 B ．12C ．1D 2 2.设集合{})2(log |2x y x A -==，若全集A U =，{}21|<<=x x B ，则U C B = A ． (),1-∞B ．(],1-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3.命题“0x ∀>，1ln 1x x≥-”的否定是 A ．0x ∀>，1ln 1x x<-B ．00x ∃>，001ln 1x x <-C ．00x ∃≤，001ln 1x x <-D ． 0x ∀>，1ln 1x x≤- 4.在如图的程序框图中，若输入77,33m n ==，则输出的n 的值是 A ．3 B ．7 C ．11 D ．335.在区间[0，2]上随机取一个数x ，使232sin≥x π的概率为 A ．13 B ．12C ．23D ．346. 《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该 “堑堵”的体积为A. 2B.32C. 1D. 462+ 7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，2531=+a a 且4542=+a a ，则=nn a S A ．14n - B ．41n - C ．12n - D ．21n -8.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，()()11f x f x +=-+，且当01x ≤≤时，()11cos f x x=-，则下列结论正确的是 ()32129f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19322f f f ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()22913f f f ⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()19223f f f ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知约束条件为32402020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，若目标函数y kx z +=取最大值时的最优解有无数多个,则k 的值为A. 1B. 1-C. 32- D. 1-或110.已知抛物线x y 42=的一条弦AB 经过焦点,F O 为坐标原点，点M 在线段OB 上，且3OB OM =，点N 在射线OA 上，且3ON OA =，过,M N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,C D ,则CD 的最小值为A ．4B ．6C ．8D ．1011.向量c b,a,满足：||4=a ，||42=b ，b 在a 上的投影为4，()()0-⋅-=a c b c ，则⋅b c 的最大值是A. 24B. 2824-C. 2824+D. 2812．已知函数()(1)(2)e e x f x m x x =----，若关于x 的不等式0)(>x f 有且只有一个正整数解，则实数m 的最大值为A ．3e e 2+B ．2e e 2+C ．3e e 2-D ．2e e 2-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.若nxx )1(-的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 ．14. 直线:2(5)l y x =过双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右焦点F 且与双曲线C 只有一个公共点，则C 的离心率为 ．15.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若134,12AB AC AB AC AA ==⊥=,,,则球O 的直径为 ．16.函数2()32cos (0)2xf x x ωωω=->，已知()f x 在区间2(,)33ππ-恰有三个零点，则ω的范围为 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.（本小题满分12分）某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立.实体店销售量（单位：件）频率组距0.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012706560555045403530250频率组距网店销售量（单位：件）70656055504540350.0680.0460.0440.0100.0080.004（Ⅰ）若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天,实体店和网店都盈利的概率；（Ⅱ）根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值（精确到0.01）． （Ⅲ）若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,2,2cos ,c b c C b === ,D E 分别为线段BC 上的点，且BD CD =，BAE CAE ∠=∠．(I)求线段AD 的长； (II)求ADE ∆的面积．19.（本小题满分12分）直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金. 随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如下表：男 女 认为直播答题模式可持续 360 280 认为直播答题模式不可持续240120(I)根据表格中的数据，能否在犯错误不超过0.5%的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？(II)随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次.已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项.求该网友本场答题个数X 的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率.参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820.（本小题满分12分）如图O 为坐标原点，圆 22:4,O x y +=点 ),(),,(030321F F -，以线段M F 1为直径的圆N 内切于圆O ，切点为P ，记点M 的轨迹为曲线C .（I ）证明：12||||F M F M +为定值，并求曲线C 的方程；（II ）设Q 为曲线C 上的一个动点，且Q 在x 轴的上方，过2F 作直线Q F l 1//，记l 与曲线C 的上半部分交于R 点，求四边形21F RQF 面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数()ln m xf x x=，()()1g x n x =-+，其中0mn ≠. （I ）若m n =，讨论()()()h x f x g x =+的单调区间； （II ）若()()0f x g x +=的两根为12,x x ，且12x x >，证明：()121220g x x mx x ++<+.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线041=-+y x C :，曲线为参数）θθθ(sin 1cos :2⎩⎨⎧+==y x C ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（I ）求曲线21C C ,的极坐标方程； （II ）射线),(:200παραθ<<≥=l 分别交21C C , 于N M ,两点，求||||OM ON 的最大值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()13f x x x =-+-．（I ）解不等式()1f x x ≤+；（II ）设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0,0,a b a b c >>+=，求证：11122≥+++b b a a ．石室中学高2019届2018~2019学年上期入学考试数学参考答案（理科）1-5：CBBCA 6-10：ADDBA 11-12：CA 13、-20 14、5 15、13 16、7(3,]217解：（Ⅰ）由题意，任取一天，实体店盈利的概率1(0.0320.0200.0122)50.38P =++⨯⨯= 网店盈利的概率21(0.0040.020)50.88P =-+⨯= 由实体店和网店销售量相互独立， 故任取一天,实体店和网店都盈利的概率0.380.880.3344.P =⨯= .…………3分 （Ⅱ）因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，销售量低于55的直方图面积为()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>故网店销售量的中位数的估计值为0.5-0.3450+552.350.34⨯≈（件）…………6分（Ⅲ）由题意，实体店销售量不低于40件的概率31(0.0120.0140.024)54P =-++⨯=……7分故3~(3,)4X B ,X 的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为()3033101464P X C ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭, ()2133********P X C ⎛⎫==⋅-=⎪⎝⎭, ()22333272()14464()P X C ==⋅-=, ()3333273()464P X C ==⋅=,分布列为X 0 1 2 3 P16496427642764…………11分因为3~(3,)4X B ,所以期望为39(X)344E =⨯=.…………12分18.解：（1）根据题意，2=b ，4=c ，b C c =cos 2，则412cos ==c b C ；又由4141642cos 2222=-+=-+=a a ab c b a C ，解可得4=a即4=BC ，则2=CD ， 在ACD ∆中，由余弦定理得：6cos 2222=⋅-+=C CD AC CD AC AD ， 则6=AD ；…………………（6分）（2）根据题意，AE 平分BAC ∠，则21==AB AC BE CE ， 变形可得：3431==BC CE ，41cos =C ，则415sin =C ， 615=-=∆∆∆ACE ACD ADE S S S …………………（12分） 19、解析：（I ）依题意，2K 的观测值()210003601202402801257.87960040064036012k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 故可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；…………5分 （Ⅱ）由题意X 的取值为10,11,12，且后四个题每个题答对的概率为13.………………6分 224(X 10);339P ==⨯=2121228(X 11)33333327P ==⨯⨯+⨯⨯=；2233331217(X 12)()()33327P C C ==⨯+=.故X 的分布列为…………………………………………9分记该网友当期可平分奖金为事件A ，则3344441211()()()3339P A C C =⨯+=.X10 11 12 P49827727故该网友当期可平分奖金的概率为19. ………………………12分 20、解：（1）由题知：O ，P ，N 三点共线，连2MF则4222221=+=+=+||||||||||||ON NP ON MN MF MF ， 所以点M 的轨迹是以21F F ,为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，，则动点M 的轨迹方程是．……………………………………4分（2）如图：PR F QPR PQMR F PQF S S S S 12121===………………………………6分 因为l 不与y 轴垂直，设PR ：3+=ty x ， ),(),,(2211y x Q y x P所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x ty x 消去x 有：0132422=-++ty y t )(由弦长公式可得：41441616122222++=++⋅+=t t t t t PR )(||又因为点1F 到直线l 的距离2132td +=所以S ＝131344134212222+++=++⋅=⋅t t t t d PR ||……………10分因为R t ∈，所以3213122≥+++t t （当2=t 等号成立）所以],(20∈S ……………………12分21、解:（Ⅰ）由已知得()()()ln (1)xh x =f x +g x =m x x--，所以()2221ln 1(1ln )x h'x =m =x x x xm-⎛⎫---⎪⎝⎭，……………2分 当01x <<时，2210,ln 0,1ln 0x x x x ->->∴-->Q ；当1x >时，2210,ln 0,1ln 0x x x x -<-<∴--<Q ．……………3分 故若0m >，)(h x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞；若0m <，)(h x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞．……………5分 （Ⅱ）依题意()111ln 1x m n x x =+， ()2111ln ...+m x n x x ∴=①， 同理，()2222+ln ...m x n x x =②由①-②得，()()()221112212122l 1+nx m n x x x x n x x x x x =--=-++，……………7分 ()()121212ln1x m x n x x x x ∴++=-，()11212221ln g (1)xx x n x x x m m x x +-++==-，……………8分要证()121220g x x mx x ++<+，即证：122112ln 20xx x x x x +<-+，即证：11212221ln+01x x x x x x ->+（），……………9分 令121x t x =>，即证()1ln +20,11t p t t t t -=>∀>+． ()()()()222114'011t p t t t t t -=-=>++Q ，……………10分()p t ∴在区间[)1,∞+上单调递增，()()10,1p t p t ∴>=∀>成立．故原命题得证．……………12分22. 解：（1） 因为，，，所以的极坐标方程为04=-+θρθρsin cos ， 因为的普通方程为 ， 即 ，对应极坐标方程为 ．……………………5分 （2）因为射线),(:200παραθ<<≥=l ，则),(),,(αραρ21N M ，则αρααρsin ,cos sin 2421=+=，所以)cos (sin sin ||||αααρρ+==2112ON OM ＝414242+-)sin(πα 又 ，),(43442πππα-∈-， 所以当 242ππα=-，即83πα= 时，||||ON OM 取得最大值 412+……10分 23、解：①当1<x 时，不等式可化为124+≤-x x ，1≥x ．又∵1<x ，∴∈x ∅；②当31≤≤x 时，不等式可化为12+≤x ，1≥x ．又∵31≤≤x ，∴31≤≤x ．③当3>x 时，不等式可化为142+≤-x x ，5≤x ．又∵3>x ，∴53≤<x ．综上所得，51≤≤x ．∴原不等式的解集为]5,1[．…………………（5分）（Ⅱ）证明：由绝对值不等式性质得，|1||3||(1)(3)|2x x x x -+-≥-+-=， ∴2=c ，即2=+b a ．令m a =+1，n b =+1，则1>m ，1>n ，1,1-=-=n b m a ，4=+n m ，n n m m b b a a 2222)1()1(11-+-=+++n m n m 114++-+=mn 4=1)2(42=+≥n m ， 原不等式得证．…………………（10分）。
2019届四川省成都石室中学高三上学期入学考试数学(理)试题(解析版)
四川省成都石室中学2019届高三上学期入学考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设，则A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】解：，则．故选：C．利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．2.设集合，若全集，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：，，，故选：B．求出集合A的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及利用补集的定义进行求解即可．3.命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是，；故选：B．直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．本题考查命题的否定，基本知识的考查．4.在如图的程序框图中，若输入，，则输出的n的值是A. 3B. 7C. 11D. 33【答案】C【解析】解：该程序的作用是：用较大的数字m除以较小的数字n，得到商和余数r，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，直到余数r为零即整除时，最后得到m，n的最大公约数．，的最大公约数是11，则输出的n的值是11．故选：C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．本题考查用辗转相除法求两个数的最大公约数，本题是一个基础题，在解题时注意数字的运算不要出错，注意与更相减损术进行比较．5.在区间上随机取一个数x，使的概率为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，，，即，．故选：A．根据正弦函数的性质得出x的范围，从而得出概率．本题考查了几何概型的概率计算，属于中档题．6.《九章算术》中，将底面是等腰直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为A. 2B.C. 1D.【答案】A【解析】解：根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边为，斜边为2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，几何体的体积为．故选：A．根据三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图中的数据求出几何体的体积．本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了体积的计算问题，是基础题．7.已知等比数列的前n项和为，，且，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q，，，解得：，，，，故选：D．设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而求出的值，表示出与，即可求出之比．此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．8.已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时，，则下列结论正确的是A. B.C. D.【答案】D【解析】解：是R上的奇函数；又；；；即；的周期为4，且时，；在上单调递增；，，；；；；．故选：D．先根据是R上的奇函数，并且，可得出，即得出的周期为4，从而得出，，，根据时的解析式可判断出在上单调递增，从而可得出，进而得出，从而比较出的大小关系．考查奇函数的定义，周期函数的定义，以及增函数的定义，余弦函数的单调性．9.已知约束条件为，若目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则k的值为A. 1B.C.D. 或1【答案】B【解析】解：由约束条件为作出可行域如图，化目标函数为，若，则，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为，不合题意；若，则，要使目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则直线与直线重合，此时．故选：B．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对k分类可知，若，则，由图可知使目标函数取得最大值的最优解唯一，为，不合题意；若，则，要使目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则直线与直线重合，由此求得k值．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.已知抛物线的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，点M在线段OB上，且，点N在射线OA上，且，过M，N向抛物线的准线作垂线，垂足分别为C，D，则的最小值为A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】A【解析】解：设直线AB的方程为，代入抛物线，可得，设，，则，，，点的纵坐标为，，点的纵坐标为，，当且仅当时，取等号，即的最小值为4，故选：A．设直线AB的方程为，代入抛物线，可得，利用基本不等式即可得出结论本题考查的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11.向量，，满足：，，在上的投影为4，，则的最大值是A. 24B.C.D.【答案】C【解析】解：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，，，在上的投影为4，设的夹角为，，，．，，设，又，，，，整理可得，，法一：令，，则，根据正弦函数的性质可知，最大值是，法二：设，当直线与圆的相切时，b取最值，此时由点到直线的距离公式可得，，，的最大值故选：C．法一：以所在的直线为x轴，以的起点为原点，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的运算及正弦函数的性质即可求解；法二：设，当直线与圆的相切时，b取最值，由点到直线的距离公式可求本题主要考查了向量数量积的基本运算及圆的参数方程的应用，点到直线的距离公式及直线与圆相切的性质的应用．12.已知函数，若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，，设，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，当时，，当，，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，，，故实数m的最大值为，故选：A．若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得．本题考查了函数图象及单调性，导数的应用，转化思想、数形结合思想，是难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为______．【答案】【解析】解：的展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，，，，它的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故答案为：．由题意利用二项式系数的性质求得，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式中的常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.直线l：过双曲线C：的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，则C的离心率为______．【答案】【解析】解：双曲线C：的渐近线方程为，因为线l：过双曲线C：的右焦点F且与双曲线C只有一个公共点，所以，又因为，解得，．，故答案为：8，2．结合双曲线的性质，推出a、b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题给出双曲线方程，求经过双曲线的右交点且与双曲线只有一个公共点的直线的条数着重考查了直线的方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．15.已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上若，，，，则球O的直径为______．【答案】13【解析】解：因为三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面，经过球的球心，球的直径是侧面的对角线的长，因为，，，，所以球的直径为：13．故答案为：13通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．16.函数，已知在区间恰有三个零点，则的范围为______．【答案】【解析】解：根据题意，令可得；恰有三个交点，那么：，且，解得：，且当时，可得故答案为：．利用三角函数公式化简，令，结合在区间恰有三个零点，根据三角函数的性质即求解；本题考查三角函数的恒等变形，涉及正弦函数的图象以及性质，关键是掌握三角函数的恒等变形的公式．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量单位：件进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知实体店与网店销售量相互独立．Ⅰ若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于50件可盈利，网店每天销量不低于45件可盈利，求任取一天，实体店和网店都盈利的概率；Ⅱ根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值精确到．Ⅲ若将上述频率视为概率，记该服装店未来三天实体店销售量不低于40件的天数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ由题意，任取一天，实体店盈利的概率，网店盈利的概率，由实体店和网店销售量相互独立，故任取一天，实体店和网店都盈利的概率分Ⅱ因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为：，销售量低于55的直方图面积为．故网店销售量的中位数的估计值为件分Ⅲ由题意，实体店销售量不低于40件的概率分故～，X的可能取值为0，1，2，相应的概率为：，，，，的分布列为：分因为～，，所以期望为分【解析】Ⅰ推导出任取一天，实体店盈利的概率，网店盈利的概率，由实体店和网店销售量相互独立，能求出任取一天，实体店和网店都盈利的概率．Ⅱ网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为，销售量低于55的直方图面积为由此能求出网店销售量的中位数的估计值．Ⅲ实体店销售量不低于40件的概率从而～，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．本题考查概率、中位数的求法，考查离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，D，E分别为线段BC上的点，且，．求线段AD的长；求的面积．【答案】解：根据题意，，，，则；又由，解得，即，则，在中，由余弦定理得：，则；根据题意，AE平分，则，变形可得：，，则，．【解析】在中，利用余弦定理计算BC，再在中利用余弦定理计算AD；根据角平分线的性质得出CE，于是．本题考查应用余弦定理解三角形，涉及角平分线的性质，关键是掌握余弦定理的形式和变形应用．19.直播答题是最近很热门一款游戏，其答题规则如下：每次都有12道题，每题三个选项中恰有一个正确选项，若中途答错，则退出游戏，若正确回答完12题就可以平分当期奖金随着直播答题的发展，平台“烧钱大战”模式的可持续性受到了质疑，某网站随机选取1000名网民进行了调查，得到的数据如表：Ⅰ根据表格中的数据，能否在犯错误不超过的前提下，认为对直播答题模式的态度与性别有关系？Ⅱ随着答题的发展，某平台推出了复活卡，每期游戏中回答错误后自动使用复活卡复活，即默认此题回答正确，并可接着回答下一题，但一场仅可使用一次已知某网友拥有复活卡，在某期的答题游戏中，前8个题都会，第九题到第十二题都不会，他选择从三个选项中随机选择一个选项求该网友本场答题个数X的分布列，并求该网友当期可平分奖金的概率．参考公式：．临界值表：【答案】解：依题意，的观测值，故可以在犯错误的概率不超过的前提下，认为对直播大题模式的态度与性别有关系；分Ⅱ由题意X的取值为10，11，12，且后四个题每个题答对的概率为；分；；；故X的分布列为分记该网友当期可平分奖金为事件A，则；故该网友当期可平分奖金的概率为分【解析】依题意计算的观测值，对照临界值得出结论；Ⅱ由题意知X的取值，计算对应的概率值，写出分布列，再求出该网友当期可平分奖金的概率．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列计算问题，是中档题．20.如图O为坐标原点，圆O：点，，以线段为直径的圆N内切于圆O，切点为P，记点M的轨迹为曲线C．Ⅰ证明：为定值，并求曲线C的方程；Ⅱ设Q为曲线C上的一个动点，且Q在x轴的上方，过作直线，记l与曲线C的上半部分交于R点，求四边形面积的取值范围．【答案】Ⅰ证明：由题知：O，P，N三点共线，连接，则，点M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，其中，，，则，则动点M的轨迹方程是；Ⅱ解：如图：．设l：，，，联立，消去x有：．，．由弦长公式可得：．又点到直线l的距离．当且仅当等号成立．四边形面积的取值范围是．【解析】Ⅰ由题知：O，P，N三点共线，连接，可得，由此可知M的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，则轨迹方程可求；Ⅱ，由题意设l：，与椭圆方程联立，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求点到直线l的距离，代入三角形面积公式，然后利用基本不等式求最值．本题考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知函数，，其中．Ⅰ若，求的单调区间；Ⅱ若的两根为，，且，证明：．【答案】解：Ⅰ由已知得，所以，当时，，，即，当时，，，即．故的单调递增区间为，单调递减区间为，Ⅱ依题意，，，同理，，，由得，，，，要证，即证：，即证：，令，即证，，，在区间上单调递增，，成立．故原命题得证．【解析】Ⅰ利用导数和函数单调性的关系即可求出，Ⅱ由的两根为，，且，可得，要证证，只要证明，构造函数，利用导数即可求出本题考查了导数和函数的关系，以及导数和函数的最值得关系，考查了运算能力和问题解决能力，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线：，曲线：为参数，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ射线l：分别交，于M，N两点，求的最大值．【答案】解：因为，，，所以的极坐标方程为，因为的普通方程为，即，对应极坐标方程为，因为射线l：，则，，则，，所以，又，，，所以当，即时，取得最大值．【解析】用，代入的普通方程可得的极坐标方程；先把的参数方程化成普通方程，在把，代入可得的极坐标方程；因为射线l：，则，，则，，所以，再由得范围可求得最大值．本题考查了曲线的普通方程和参数方程化成极坐标方程，三角函数的性质，属基础题，23.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ设函数的最小值为c，实数a，b满足，，，求证：．【答案】本小题满分10分选修：不等式选讲Ⅰ解：，即．当时，不等式可化为，．又，；当时，不等式可化为，．又，．当时，不等式可化为，．又，．综上所得，，或，即．原不等式的解集为分Ⅱ证明：由绝对值不等式性质得，，，即．令，，则，，，，，，原不等式得证分【解析】Ⅰ，即通过当时，当时，当时，去掉绝对值符号，求解即可．Ⅱ由绝对值不等式性质得，，推出令，，利用基本不等式转化求解证明即可．本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力．。
2018年12月四川省成都石室中学12月份一诊模拟试卷理科数学和文科数学解析汇编
”的 2
D．既不充分也不必要条件
C．充要条件
因为向量 a, b 是非零向量，所以等价于 a b ，故选：C 3. 已知等差数列 {an } 中，前 n 项和 S n 满足 S7 S2 35 ，则 S9 = A． 54 【答案】B 【 解 析 】 由 等 差 数 列 的 性 质 可 得 ： a3 a 4 a5 a 6 a7 5a5 35 ， ∴ a5 7 ， 则 B． 63 C． 72 D． 81
B1 A 与 A1C 所成角的余弦值为
A.
4 5
4 5 25
B.
8 5 5
8 5 25
C.
D.
【答案】D 【解析】设异面直线 B1 A 与 A1C 所成角为 以 A 为原点， AC 为 x 轴， AB 为 y 轴， AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系 则 A(0,0,0), B1 (0, 2, 4), C (3,0,0), A1 (0,0, 4) ，
成都石室中学高 2019 届十二月份一诊模拟试卷 数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．已知全集 U R ，集合 A {x | y ln x} ，集合 B { y | y x 2 , x 0} ，那么集合 (CU A) A． 【答案】C 【解析】解 ln x 0 得 x 1， A [1, ), B (0, ) ，CU A (,1) ， B． (0,1] C． (0,1) D． (1, )
7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x 2)=f ( x 2) ，且当 x (2,0) 时， f ( x) log 2 ( x 3) a ， 若 f (13) 2 f (7) 1，则 a A．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
石室中学高2019届“一诊”模拟考试
数学试题（理科）
考试时间：120分钟 总分 150分
一．
选择题（第题5分，共50分）
1.已知集合{}
-2A x x =≥，集合{
}
2
4B x x =≤，则集合()
R B A ⋂=ð（） A.()2∞，+ B.[)2∞，+ C.()()2-∞⋃∞，-2，+ D.(][)22-∞⋃∞，-，+
2.已知a b ，
均为单位向量，且它们的夹角为60
，那么a b -= （） A.1
D.12
3.设a b R ∈，，i 是虚数学单位，则 “0a =”是“复数a bi +为纯虚数”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若某程序框图如图所示，则执行该程序输出P 的值是（）
A ．21
B ．26
C ．30
D ．55
5．已知,αβ是平面，,m n 是直线，则下列命题不正确的是（）
A ．若,,m n m α⊥∥
则n α⊥B ．若,,m m αβ⊥⊥则αβ∥ C ．若m m n α⊥，，∥则αβ⊥
D ．若m n ααβ⋂=，∥
，则m n ∥ 6．一个四棱锥的底面为正方形，其三
视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（） A ．2
B
．
C.2
D.
7．函数()2232x
log e lnx a f x x --+=的一个极值点在区间()12，内，则实数a 的取值范围是（） A ．()13， B ．()12， C ．()03， D ．()02，
俯视图
侧视图
正视图
8．将标号为123456，
，，，，的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒子放2个，其中标为12，的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（）
A ．12种
B ．16种
C ．18种
D ．36种
9．点F 为椭圆()22
2210b x y a b
a +>>=的一个焦点，若椭圆上存在点A 使AOF 为正三角形，那么
椭圆的离心率为（） A
B
C
D
1
10．已知函数()()lg 03636x x f x f x x ⎧<⎪=⎨
-<⎪⎩，，
≤≤，设方程()()2x
b x b f R -+∈=的四个实根从小到大依
次为1234x x x x ，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中正确的个数为（） （1）()()1234100661x x x x <<--<<或；（2）()()1234100661x x x x <<--<>且； （3）123499125x x x x <<<<或；（4）1234925361x x x x <<<<且。
A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
第II 卷（非选择题，共100分）
二．
填空题（第题5分，共25分）
11．若4cos 5α=-
，且α为第三象限角，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭。
12．7
2x x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，2
x 的系数是。
（用数字作答）
13．函数()110,1x
y a a a ->+=≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，
则
11
m n
+的最上值为。
14．点()P a b ，在函数2
3ln x y x +=-的图象上，点
()Q c d ，在函数2y x =+的图象上，则
()
()2
2
a c
b d +--的最小值为。
15．正方体1111ABCD A BC D -为棱长为1，
动点P Q ，
C 1
D 1
A 1
分别在棱1BC CC ，上，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ，设,B P xC Q y ==，其中[]01x y ∈，，，下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①当0x =时，S 为矩形，其面积最大为1； ②当1
2
x y ==时，S 为等腰梯形； ③当11122x y ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，，时，设S 与棱11C D 的交点为R ，则112RD y =-；
④当1y =时，以1B 为顶点，S 为底面的棱锥的体积为定值1
3。
三．
解答题（16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）
16．设ABC 的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知112cos 4
a b C ===，，
， （I ）求ABC 的周长；（II ）求()cos A C -的值。
17．为了解甲、乙两厂的产品质量，已知甲厂生产的产品共有98件，采用分层抽样的方法从甲、乙
两厂生产的产品中分别抽取出14件和5件，测量产品中的微量元素x y ，的含量（单位：毫克）。
下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（I ）当产品中微量元素x y ，满足1755x y ，且≥≥时，该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（II ）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取2件产品中优等品数ξ的分布列及其均
值（即数学期望）。
18．正项等差数列{}n a 中，已知12315a a a ++=，且1232513a a a +++，，构成等数列{}
n b 的前三项。
（I ）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （II ）求数列{}n n a b 的前n 项和n T 。
19．如图，在四棱锥P D ABC -中，四边形ABCD 是边长
为1的菱形，且60DAB ∠=
，2P P D B A P ===，
E F ，分别是BC PC ，的中点。
（I ）证明：AD DEF ⊥平面； （II ）求二面角P AD B --的余弦值。
20．已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为12F F ，，且122FF =，点
312⎛⎫
⎪⎝⎭
，在该椭圆上。
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A B ，两点，若2B AF 的内切圆半径为7
，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
21．已知函数()ln x
g x x
=
，()()f x g x ax =-。
（I ）求函数()g x 的单调区间；
（II ）若函数()f x 在区间()1∞，+上是减函数，求实数a 的最小值；
（III ）若存在212x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，，，
（e 是自然对数的底数）使()()'f x f x a +≤，求实数a 的取值范围。