三角函数周期的几种求法.doc
求三角函数的周期6种方法总结多个例子详细解答
如何求三角函数的周期三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法． 1、定义法例1． 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan)2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tan xT x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π．解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan xx =+π． ∴ 函数32tanx y =的周期是π23．例2. 求函数（m ≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m ≠0）的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜的最小正周期.解:∵)(x f ＝｜sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜－sin x ｜＋｜cos x ｜＝｜cos(x ＋2π)｜＋｜sin(x ＋2π)｜ ＝｜sin(x ＋2π)｜＋｜cos(x ＋2π)｜ ＝)2(π+x f对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是2π.注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立． 直接利用周期函数的定义求出周期。
精解三角函数的周期性
精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数，以正弦函数y = sin x为代表，是典型的周期函数.幂函数y = xα 无周期性，指数函数y = a x无周期性，对数函数y =log a x无周期，一次函数y = kx+b、二次函数y = ax2+bx+c、三次函数y = ax3+bx2 + cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数y=sin x的最小正周期在单位圆中，设任意角α的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此，正弦函数y=sin x的最小正周期2π.2、y=sin（ωx）的最小正周期设ω>0，y =sin（ωx）的最小正周期设为L .按定义y= sin ω（x+L）= sin（ωx+ ωL）= sinωx .令ωx = x则有sin （x+ ωL）= sin x因为sin x最小正周期是2π，所以有例如sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为3、正弦函数y=sin（ωx+φ）的周期性对正弦函数sin x的自变量作“一次替代”后，成形式y = sin （ωx+φ）. 它的最小正周期与y = sinωx的最小正周期相同，都是.如的最小周期与y = sin（3x）相同，都是.于是，余弦函数的最小正周期与sin x的最小正周期相同，都是2π.二、复合函数的周期性将正弦函数y = sin x进行周期变换x→ωx，sin x→sinωx后者周期变为而在以下的各种变换中，如（1）初相变换sinωx→si n（ωx+φ）；（2）振幅变换sin（ωx+φ）→A sin（ωx+φ）；（3）纵移变换A si n（ωx+φ）→A si n（ωx+φ）+m；后者周期都不变，亦即A si n（ωx+φ）+m与si n（ωx）的周期相同，都是.而对复合函数f（sin x）的周期性，由具体问题确定.1、复合函数f（sin x）的周期性【例题】研究以下函数的周期性：（1）2 sin x；（2）（2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【解答】（1）2sin x的定义域为R，值域为，作图可知，它是最小正周期为2π的周期函数.【说明】从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，log a x，sin x，，sin（sin x）都是最小正周期2π的周期函数.2、y= sin3x的周期性对于y = sin3x =(sin x)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.图上看到，y = sin3x没有比2π更小的周期，故最小正周期为2π.3、y= sin2x的周期性对于y = sin2x = (sin x)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2π可以通过作图判定，分别列表作图如下.图上看到，y = sin2x的最小正周期为π，不是2π.4、sin2n x和sin2n-1x的周期性y = sin2x的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到. 因为cos2x的周期是π，故sin2x的周期也是π.sin2x的周期，由cos x的2π变为sin2x的π. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此，正弦函数sin x的幂符合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为π；m = 2n–1时，sin m x的最小正周期是2π.5、幂复合函数举例【例1】求y =|sin x|的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【例2】求的最小正周期.【解答】最小正周期为2π.【例3】求的最小正周期.【解答】最小正周期为π.【说明】正弦函数sin x的幂复合函数.当q为奇数时，周期为2π；q为偶数时，周期为π.三、周期函数的和函数两个周期函数，如sin x和cos x，它们最小正周期相同，都是2π. 那么它们的和函数，即si nx + cos x的最小正周期如何和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何1、函数sin x + sin2 x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁依谁，或依赖一个第三者列表如下.表上看到函数sin x+sin2x的最小正周期是2π.2、函数sin x + sin2x的周期性依据上表，作sin x+sin2x的图像如右.从图上看到，函数的最小正周期为2π. 由si nx，sin2x的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍.从图上看到，sin x+sin2x仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.3、函数sin x+sin x的周期性sin x的最小正周期为2π，sin x的最小正周期是3π.们之间的和sin x + sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗即“和函数”的周期为3π吗不妨按周期定义进行检验. 设则x0+3π=因此3π不是sin x + sin x的最小正周期.通过作图、直观看到，sin x+sin x的最小正周期为6π，即sin x和sin x最小正周期的最小倍数.。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。
解：因为所以函数（m≠0）的最小正周期例2. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1. 或的最小正周期。
2. 的最小正周期。
3. 的最小正周期。
4. 的最小正周期例3. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例4. 求函数的最小正周期。
解：因为，所以函数的最小正周期为。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。
例5. 求函数的最小正周期。
解：因为所以函数的最小正周期为。
例6. 求函数的最小正周期。
解：因为其中，所以函数的最小正周期为。
四、最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。
注：1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例7. 求函数的最小正周期。
解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和的最小公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例8. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是，所以函数的最小正周期为T＝。
例9. 求函数的最小正周期。
解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期，sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T＝。
五、图像法利用函数图像直接求出函数的周期。
例10. 求函数的最小正周期。
解：函数的图像为图1。
如何求三角函数的周期解读
如何求三⾓函数的周期解读如何求三⾓函数的周期三⾓函数的的周期是三⾓函数的重要性质，对于不同的三⾓函数式，如何求三⾓函数的周期也是⼀个难点，下⾯通过⼏个例题谈谈三⾓函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三⾓函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到⼀个最⼩正数T ，对于函数定义域内的每⼀个x 值都能使x T x2sin )(2sin ＝+成⽴，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2．解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin=+π．∴当⾃变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到⼀个最⼩正数T ，对于函数定义域内的每⼀个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成⽴，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π．解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π．∴函数32tan x y =的周期是π23．注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的⾃变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，⽽是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于⾃变量x 取定义域内的每个值时，上式都成⽴．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是||2ωπ=T ，对于函数B x A y ++=)tan(ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ．例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期解： 34232ππ==T ． 3、把三⾓函数表达式化为⼀⾓⼀函数的形式，再利⽤公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ππ==22T ．例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利⽤公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ππ==22T ．例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴函数|cos ||sin |x x y +=的最⼩正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最⼩正周期分别为k T T T ,,21，如果找到⼀个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211， (k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最⼩正周期．例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期解：∵ x sin 的最⼩正周期是π21=T ， x 21cos的最⼩正周期是π42=T ．∴函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代⼊得 21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为21,n n 为正整数且互质，所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=?==T n T ．例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期解：∵ x 32s i n 的最⼩正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最⼩正周期是384322ππ==T ，由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以函数x x y 43cos 32sin +=的周期是ππ243811=?==T n T ．函数的周期性--函数的周期性不仅存在于三⾓函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习⼀般函数的周期性问题⼀.明确复习⽬标1.理解函数周期性的概念，会⽤定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运⽤函数的周期性处理⼀些简单问题。
三角函数的周期性怎么求 公式是什么
三角函数的周期性怎么求公式是什么
三角函数的周期性是数学中常考到的一个知识点，下面是周期性的计算方法及公式，供大家查阅参考，希望可以帮助到大家的复习。
三角函数的周期性怎么求公式是什么
1三角函数的周期性
三角函数的周期T=2π/ω。
完成一次振动所需要的时间，称为振动的周期。
若f(x)为周期函数，则把使得f(x+l)=f(x)对定义域中的任何x都成立的最小正数l，称为f(x)的（基本）周期。
在计算机中，完成一个循环所需要的时间；或访问一次存储器所需要的时间，亦称为周期。
周期函数的实质：两个自变量值整体的差等于周期的倍数时，两个自变量值整体的函数值相等。
如：f(x+6) =f(x-2)则函数周期为T=8。
2三角函数的周期通式的表达式
正弦三角函数的通式：y=Asin(wx+t）；余弦三角函数的通式：y=Acos(wx+t）；
正切三角函数的通式：y=Atan(wx+t);余切三角函数的通式：y=Actg(wx+t)。
在w>0的条件下：A:表示三角函数的振幅；三角函数的周期T=2π/ω；三角函数的频率f=1/T:
wx+t表示三角函数的相位；t表示三角函数的初相位。
三角函数 周期 高中数学
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期例5：求：y=2（23sinx-21cos3x ）-1例6：求y=tan （1+53xπ）的周期（2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tan ωx 的形式，再确定它的周期。
例7：求f （x ）=sinx ·cosx 的周期例8：求f （x ）=sin 2x 的周期例10：函数y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期。
例1、求下列函数的周期。
（1）x x f 2cos )(= （2）)421cos(2)(π---=x x f（3）|sin |)(x x f =例2、若函数)5sin(2)(π+=kx x f 的最小正周期为π32，求正数k 的值。
例3、若函数)(x f 的定义域为R ，且对一切实数x ，都有)()(x f x f =-，且)2()2(x f x f -=+，试证明)(x f 为周期函数，并求出它的一个周期。
例4、电流强度I 随时间t 变化的关系式是)3100sin(5ππ+ =t I ，),0[+∞∈t 。
（1）求电流强度I 的周期； （2）当0=t ，6001，1501（单位：s ）时，求电流强度I 。
巩固练习1、函数)23sin(x y -=π是（ ）A 、周期为π的奇函数B 、周期为π的偶函数C 、周期为π2的奇函数D 、周期为π2的偶函数2、如图是周期为π2的函数)(x f 在]2,0[π上的图象，请画出该函数在]4,2[ππ上的图象。
课堂小函数的周期性的定义，最小正周期的定义，简单三角函数的周期的求法。
求三角函数最小正周期的五种方法
，
的最小正周期
，由于 和 的最
所以函数
的最小正周期为 。
例 8. 求函数
的最小正周期。
解：因为
的最小正周期
，
最小公倍数是 ，
最小正周期
，由于 和 的
所以函数
的最小正周期为 T＝ 。
例 9. 求函数
的最小正周期。
解：因为 sinx 的最小正周期
，
的最小正周期
，
sin4x 的最小正周期
，由于
， 的最小公倍数是 2 。
求三角函数最小正周期的五种方法
张英
关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲 解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知 从何入手。本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法
直接利用周期函数的定义求出周期。
。
四、最小公倍数法
由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有 周期的最小公倍数即得。
注：
1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约 数）。
2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
例 7. 求函数
的最小正周期。
解：因为 csc4x 的最小正周期 小公倍数是 。
例 1. 求函数
（m≠0）的最小正周期。
解：因为
所以函数
（m≠0）的最小正周期
例 2. 求函数
的最小正周期。
解：因为
所以函数
的最小正周期为
。
二、公式法
利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.
三角函数的周期怎么求
三角函数是数学中一类重要的函数，它们的周期性是其
重要特征之一。
求三角函数的周期是数学中一个重要的问题，有多种方法可以求解。
首先，我们可以使用三角函数的定义来求解三角函数的
周期。
根据三角函数的定义，当x的值从0增加到2π时，三角函数的值会从一个值变化到另一个值，然后再变回原来的值，这就是三角函数的周期。
因此，三角函数的周期就是2π。
其次，我们可以使用三角函数的图像来求解三角函数的
周期。
从三角函数的图像可以看出，当x的值从0增加到2π时，三角函数的值会从一个值变化到另一个值，然后再变回原来的值，这就是三角函数的周期。
因此，三角函数的周期就是
2π。
最后，我们可以使用三角函数的公式来求解三角函数的
周期。
根据三角函数的公式，当x的值从0增加到2π时，三角函数的值会从一个值变化到另一个值，然后再变回原来的值，这就是三角函数的周期。
因此，三角函数的周期就是2π。
总之，三角函数的周期是2π，可以通过三角函数的定义、图像和公式来求解。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法spacetzs关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。
解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期 T m =10π||例2.求函数y x a =cot的最小正周期。
解：因为y x a x a a x a ==+=+cotcot()cot[()]ππ1 所以函数y x a=cot的最小正周期为T a =||π。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。
3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。
解：因为T ==πωω||而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。
例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
三角函数周期的几种求法解读
三角函数周期的几种求法深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1．定义法：定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。
例1．求函数y=3sin （332π+x ）的周期解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π）=3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。
∴函数y=3sin （332π+x ）的周期是T=3π。
例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π） = cos 6x +sin 6x= f （x ）∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x cox xx 3cos 3sin sin ----=xx x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=xx xx 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π2．公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ2、ωπ。
如何求三角函数周期
如何求三角函数的周期徐州大屯矿区第一中学 李秀学摘要：求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若函数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解，因此掌握方法很重要．关键词：三角函数 周期 方法三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期例1 求下列函数的周期 x y 2sin )1(= , 32tan )2(x y =． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使x T x 2sin )(2sin ＝+成立，同时考虑到正弦函数x y sin =的周期是π2． 解：∵ )(2sin )22sin(2sin ππ+=+=x x x , 即 x x 2sin )(2sin =+π．∴ 当自变量由x 增加到π+x 时，函数值重复出现，因此x y 2sin =的周期是π．(2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数T ，对于函数定义域内的每一个x 值都能使 32tan )(32tanx T x =+成立，同时考虑到正切函数x y tan =的周期是π． 解：∵ )23(32tan )32tan(32tanππ+=+=x x x , 即32tan )23(32tan x x =+π． ∴ 函数32tan x y =的周期是π23． 注意：1、根据周期函数的定义，周期T 是使函数值重复出现的自变量x 的增加值，如),2()2(x f T x f =+周期不是T ，而是T 21； 2、”“)()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对于自变量x 取定义域内的每个值时，上式都成立．2、根据公式求周期对于函数B x A y ++=)sin(ϕω或B x A y ++=)cos(ϕω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(ϕω或B x y ++=)cot(ϕω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期解： 34232ππ==T ． 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x ∴ ππ==22T ． 例5 已知函数),3cos 3(sin 3sin)(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2x x x y +=== ∴ ππ==22T ． 例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期解：∵()x x x x x x y 2sin 1|2sin |1|cos ||sin ||cos ||sin |22+=+=+=+= )4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|cos ||sin |x x y +=的最小正周期 242ππ==T ． 5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最小正周期分别为k T T T ,,21，如果找到一个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211，(k n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k +++= 的最小正周期． 例8 求函数x x y 21cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最小正周期是π21=T ， x 21cos的最小正周期是π42=T ． ∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代入得 21 4 2n n ππ=，即212n n =， 因为21,n n 为正整数且互质， 所以 1 ,221==n n ．函数x x y 21cossin +=的周期ππ42211=⨯==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期 解： ∵ x 32s i n 的最小正周期是ππ33221==T ，x 43cos 的最小正周期是384322ππ==T ， 由2211T n T n =， 2138 3n n ππ= ，2189n n = (21,n n 为正整数且互质), 得 9 ,821==n n ．所以 函数x x y 43cos 32sin+=的周期是ππ243811=⨯==T n T ．。
三角函数周期的三种求法
三角函数周期的三种求法作者：刘志军来源：《中学生数理化·教与学》2011年第07期职业高中数学（基础模块）上册第五章第三节中涉及函数周期的问题，学生往往对解决此类问题感到比较困难，而近年来职高对口升学又经常涉及三角函数周期的问题.本文结合职业高中学生知识水平的实际，总结了三角函数周期的三种求法.1．定义法周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，有ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）都成立，就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期.以后我们说到三角函数的周期，一般指的都是三角函数的最小正周期.针对一些简单的三角函数问题，通过变形可以利用上面的定义求得三角函数的周期.例1 求函数y=2sin（2x+π3）的周期.解：∵y=f（x）=2sin(2x+π3)=2sin（2x+π3+2π）=2sin（2x+2π+π3）=2sin［2(x+π)+π3］=f（x+π）.这就是说，当自变量由ｘ增加到x+π，且至少增加到x+π时，函数值重复出现.∴函数y=2sin（2x+π3）的周期T=π.点评：针对例1这种类型的问题我们可以推广到形如：y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），这些函数都可以通过以上的变形求出周期，事实上这些函数的周期和三角函数中w的值有关.例2 求f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期.解：∵f（x+π）=sin3(x+π)+sin5(x+π)cos3(x+π)+cos5(x+π)=-sin3x-sin5x-cos3x-cos5x=sin3x+sin5xcos3x+cos5x=f（x）.∴函数f（x）=sin3x+sin5xcos3x+cos5x的周期T=π.点评：类似例2的题目，可以结合三角函数的诱导公式变形而得.例3 求f（x）的周期.解：∵f（x+π2）（x+π2）（x+π2）（x）.∴f（x）的周期为T=π2.2．公式法（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tan（）的形式（其中A、w、为常数，且A≠0、w＞0、∈R），则可知道上述三个函数的周期分别是：2πw、2πw、πw.例4 求f（x）-的周期.解：∵f（x）--这里w=2.∴周期T=π.∴f（x）-的周期为T=π.3．最小公倍数法由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出其中每个函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数.（１）分数的最小公倍数的求法是：各分数分子的最小公倍数÷各分数分母的最大公约数.（2）对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法.（3）本方法主要用于快速解决一些填空题或选择题，但本方法不能用作大题的解答过程.例5 求三角函数y=sin4x＋sin8x的周期.解：y=sin4x的周期是T=π2,y=sin8x的周期是T=π4.所以函数y=sin4x＋sin8x的最小正周期是π2和π4的最小公倍数π2.例6 求函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期.解：函数y=sinx的最小正周期是T=2π，cos2x的最小正周期是T=π，y=sin4x的最小正周期是T=π2.∵π2、π、2π的最小公倍数是2π，∴函数y=sinx+cos2x+sin4x的最小正周期为T＝2π.以上三种求三角函数周期的方法适用于不同的题目类型，用的最多的是公式法，而最小公倍数法则可快速解答填空题和选择题.只要多练习，我们在求三角函数周期时就能灵活运用这三种方法，逐步提高解题效率.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
含绝对值三角函数最小正周期的几种求法
含绝对值三角函数最小正周期的几种求法一、定义：绝对值三角函数是指函数f(x) = ，sin(x)，或f(x) = ，cos(x)。
其图像在x轴上是以0为对称中心，以2π为周期的波动曲线。
二、最小正周期的定义：最小正周期是指最小的正数T，使得对于函数f(x)在自变量x的取值范围内，有f(x+T)=f(x)恒成立。
三、求解绝对值三角函数最小正周期的方法：1.利用定义求解：由最小正周期的定义，我们需要找到一个最小正数T，使得对于函数f(x)在0≤x<T的范围内，有f(x+T)=f(x)恒成立。
以f(x) = ，sin(x)，为例，我们需要找到一个最小正数T，使得对于0 ≤ x < T，有f(x + T) = f(x)恒成立。
根据sin函数的周期为2π，我们可以将T设定为π，即为T = π。
此时，对于0 ≤ x < π的范围内，有f(x + π) = ，sin(x + π)，= ，-sin(x)， = ，sin(x)， = f(x)，恒成立。
而在π ≤ x < 2π的范围内，有f(x + π) = ，sin(x + π)，= ，sin(x)， = f(x)，同样也恒成立。
因此，最小正周期T=π。
同理，对于函数f(x) = ，cos(x)，我们可以推导出最小正周期T = π/22.利用图像求解：绝对值三角函数的图像可以直观地给出最小正周期。
以f(x) = ，sin(x)，为例，我们可以通过绘制它的图像来找到最小正周期。
将函数f(x) = ，sin(x)，绘制在笛卡尔坐标系上，我们可以观察到该函数的一个周期长度是2π，波动曲线在0～2π范围内完整重复。
而在0～π的范围内，波动曲线关于y轴对称。
这意味着f(x + π) = ，sin(x + π)， = ，sin(x)， = f(x)。
因此，最小正周期T=π。
同理，对于函数f(x) = ，cos(x)，我们可以绘制其图像来观察最小正周期。
初中数学 如何求解三角函数的周期性问题
初中数学如何求解三角函数的周期性问题三角函数的周期性是指函数在一定范围内重复出现相同的数值。
不同的三角函数具有不同的周期性特点，下面将介绍三角函数的周期性问题以及求解方法。
1. 正弦函数的周期性正弦函数sin(x)的周期是2π，即在区间[0,2π]内，sin(x)重复出现相同的数值。
根据周期性，我们可以推导出以下性质：- sin(x+2π)=sin(x)，即sin函数的值在每一个周期内重复。
- sin(x+2kπ)=sin(x)，其中k为任意整数。
2. 余弦函数的周期性余弦函数cos(x)的周期也是2π，即在区间[0,2π]内，cos(x)重复出现相同的数值。
类似于正弦函数，可以推导出以下性质：- cos(x+2π)=cos(x)，即cos函数的值在每一个周期内重复。
- cos(x+2kπ)=cos(x)，其中k为任意整数。
3. 正切函数的周期性正切函数tan(x)的周期是π，即在区间[0,π]内，tan(x)重复出现相同的数值。
同样，可以推导出以下性质：- tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的值在每一个周期内重复。
- tan(x+πk)=tan(x)，其中k为任意整数。
4. 周期性问题的求解方法-方法一：观察函数图像通过观察三角函数的图像，我们可以直观地看出函数的周期性特点。
例如，正弦函数和余弦函数的图像是波动的曲线，可以看出函数的周期是2π；而正切函数的图像在每个π的间隔内重复。
-方法二：利用性质和恒等式根据三角函数的性质和恒等式，我们可以得出函数的周期性。
例如，通过sin(x+2π)=sin(x)可以得知正弦函数的周期是2π。
-方法三：使用周期性性质进行计算在具体计算中，我们可以利用三角函数的周期性性质进行简化。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，如果需要计算f(10π)，我们可以利用sin(x)的周期性知道f(10π)=sin(2π)=0。
总结：三角函数的周期性是指函数在一定范围内重复出现相同的数值。
求三类三角函数最小正周期的技巧
y
=
cot
ωx
的周期公式为
T
=
|
π ω
|
，三角函数
y
=
A
cot(ωx
+φ) + h、y = A tan(ωx + φ) + h 是 在 三 角 函 数 y = tan ωx、 y = cot ωx 的 基 础 上 平 移 所 得 ，所 以 在 求 y = A cot(ωx +φ) + h、y = A tan(ωx + φ) + h 的最小正周期时，要首先
方法集锦
求三类三角函数最小正周期的技巧
钟华生
三角函数具有周期性，若在三角函数 y = f (x) 中存
在一个非零的常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个 值时，都有 f (x + T) = f (x) ，则该三角函数 y = f (x) 为周
期函数，且非零常数 T 为该三角函数的最小正周期.一
般在讨论三角函数的周期性时，我们主要讨论其最小
nπ m
|||,
T
=
|
π ω
|
=
|||
-
π nπ m
|||
=
|||
m n
|||,
所
以函数
y
=
cot(3
-
nπ m
x)
的最小
正周
期为
T
=
|| |
m n
|| |
.
三、y = sina x + cosbx（a,b ≥ 2）类
由于 y = sina x + cosbx（a、b ≥ 2）类三角函数的幂
指数较高，所以在求其最小正周期时，要注意结合三
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法spacetzs关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手。
本文将介绍求三角函数最小正周期常用的五种方法，仅供参考。
一、定义法直接利用周期函数的定义求出周期。
例1.求函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期。
解：因为y m x =-cos()56π =-+=+-cos()cos[()]m x m x m 5625106ππππ 所以函数y m x =-cos()56π（m ≠0）的最小正周期 T m =10π||例2.求函数y x a =cot的最小正周期。
解：因为y x a x a a x a ==+=+cotcot()cot[()]ππ1 所以函数y x a=cot的最小正周期为T a =||π。
二、公式法利用下列公式求解三角函数的最小正周期。
1.y A x h =++sin()ωφ或y A x h =++cos()ωφ的最小正周期T =2πω||。
2.y A x h y A x h =++=++tan()cot()ωφωφ或的最小正周期T =πω||。
3.y x y x ==|sin ||cos |ωω或的最小正周期T =πω||。
4.y x y x ==|tan ||cot |ωω或的最小正周期T =πω||例3.求函数y x =|tan |3的最小正周期。
解：因为T ==πωω||而3 所以函数y x =|tan |3的最小正周期为T =π3。
例4.求函数y n mx =-cot()3π的最小正周期。
解：因为T n m==-πωωπ||||而， 所以函数y n m x =-cot()3π的最小正周期为T n m m n =-=ππ||||。
三、转化法对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为y A x h =++sin()ωφ等类型，再用公式法求解。
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三角函数周期的几种求法
深圳市福田区皇岗中学蔡舒敏
高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。
本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。
1.定义法：
定义：一般地y=c,对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值吋，
f (x+T) = f ( X )
都成立，那么就把函数y = f (x)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数來说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小止周期。
例1.求函数y=3sin (-% + -)的周期
3 3
解:Vy=f (x) =3sin (-x+—) =3sin (-% + —+2^-)
3 3 3 3
=3sin (拿+ 2兀 +彳)=3sin[|(x + 3^) + |]
二f (x+3兀)
这就是说，当自变量由x增加到x+3龙,且必增加至!J x+3龙时,函数值重复出现。
二函数y=3sin (-x + —)的周期是T二3龙。
3 3
例2：求f (x) =sin6x+cos6x 的周期
解Tf (x+—) = sin b (x+—) + cos6 (x+—)
2 2 2
二cos h x +sir?x二f (x)
.•.f （x） =sin6x+cos6x 的周期为T= —
2
例3：求f （x）二血兀+血3兀的周期
cosx + cos3x
解：Vf （x+兀）二曲（只+兀）+血如+兀）
COS（X + 7l） + COS（X + 71）
_ -sinx-sin3x
-cox - cos3x
_ sinx + sin 3x
cos x +cos 3^
二f （x）
■求f（X）二Siz + sin3兀的周期:T F
cos x +cos 3x
2.公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y二Asin （亦+ ©）、y二Acos （亦+炉）、y = tg （亦 + 0 ）形成（其中X、co、cp为常数，且A H O、®>O、0W R）,则可知道它们的周期分别是：—> —> -O
co co co
例4：求函数y=l-sinx+V3 cosx的周期
解：Vy=l-2 （- sinx- —cosx）
- 2 2
= 1-2 （cos —sinx-sin— cosx）
3 3
= l-2sin （x-—）
3
这里0二1 ・••周期T二2龙
例5：求：y=2 （— sinx--cos3x） -1
2 2
解：Vy=2 （— sinx-—cos3x） -1
2 2
=2sin (3x-— ) -1
6
这里⑵二3 ・•・周期为T二弐
3
例6：求y二tg (1+—)的周期
解：这里g二丸，・•.周期为：T=^-/ —=-
5 5 3
(2)如果f (x)是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinox、COSGX、tgcox的形式，再确定它的周期。
例7：求f (x) =sinx • cosx 的周期
解：Vf (x) =sinx • cosx=-sin2x
2
这里e二3, /.f (x)二sinx • cosx 的周期为T二龙
例8：求f (x) =sin2x的周期
解：Vf (x)二sir?x」_c°s2x
2
而cos2x的周期为7i, f (x) =sin2x的周期为T二帀
注：以上二题可以运用定义求出周期。
例9：求y=sin669x+ COS6QX的周期
解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。
• •_ • 6 丄 6
• y-sin GX+ cos cox
_ / • 2 丄 2 \ / • 4 • 2 2| 4 \
-(sin GX+ cos cox) (sin cox~sin cox e cos cox+ cos cox)
=(sinOx+ COS2^X)2-3 sinOx • cosSx
. 2 2
=1-3 sin(ox• cos cox
= 1-— sin 22(ox
4
=- + -cos4cox
8 8
而cos4ox的周期为T=^ = —f
2 co
•・.y二sin cox+ cosSx的周期为T二——
2\a)
例10：函数y=3sin2x-2 V3 sinx • cosx+5cos2x 的周期。
解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。
Vy=3sin2x-2V3 sinx • cosx+5cos'x
=3~2 V3 sinx • cosx+2cos'x
=3-V3 sin2x+cos2x+l
二4+2 (-cos2x-—sin2x
2 2
二4+2cos (2x+—)
3
•\y=3sin2x-2 V3 sinx • cosx+5cos2x 的周期为T=— = TI
2
3.定理法：
如果f(x)是儿个周期函数代数和形式的，即是：函数f (x) =f 1 (x) +f2(x),而fi(x)的周期为Ti, f2(x)的周期为T2,则f (x) 的周期为T二PT L P工，其中P K P2E N,且(Pi、P2) =1
事实上，由¥(既约分数)，得P2T1=P1T2
Vf (x+ P1T2) =fi (x+ P1T2) +f2 (x+ PJ2)
=fi (x+ P2L) + f2 (X+ Pl)
=fl (x) + f2 (x)
=f (x)
P1T2是f (x)的周期，同理Pd】也是函数f (x)的周期。
例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解:Vy=tg6x的周期为T尸,tg8x的周期为T尸刍
由P1T2= P2T1,得三二邑二纟,取Pl二4, P2=3
T2 P2 3
/.y=tg6x+ctg8x 的周期为T二P/L二彳。
J
例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期
解：Tsir^x的周期为Ti二龙，sin3x的周期为丁2二年
而I L=19即是T=2T F3T2,T2 2
/.y=sin2x+sin3x 的周期为T二2Ti二2龙
例13：求函数y=cos-+sin-的周期
解:Vcos^的周期为"6”，sin兰的周期为丁2二8龙
3 4
而三=切=3,即是T二4T L3T2
T2 & 4
.•.y=cos-+sin-的周期为T二3T尸24兀。
3 4
类似，y=sin--2sin-的周期为T二30兀，y二tg30+2ctg2&的周期为
T二龙。
由上述各例可知：尽管问题的形式多样复杂，但经过仔细观察、认真分析，都可以把它化成相关问题，运用有关知识，就可以解决。