随机过程与排队论习题
（整理）随机过程课后习题
（整理）随机过程课后习题习题⼀1．设随机变量X 服从⼏何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和⽅差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是⼀随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数；（2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为⾃然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独⽴，具有相同的⼏何分布，试求的分布。
5．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数为⼀特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独⽴同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协⽅差矩阵，再求的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独⽴，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的⼆项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协⽅差矩阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独⽴，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独⽴，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --?>?Γ??≤?=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ?+--<（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
《排队论》习题解答
故方案I比方案II好。
2018/11/23 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－9
习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。
如果 1 台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均 10 天，而计算机损坏时由 1 名 工程师维修，维修 1 台计算机的时间是负 指数分布的，平均 5天。求： 2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
m 1
2! 1 i ( ) i 0 ( 2 i )! 2
2
1
2 0. 4 5
P{计算机损坏无法运行}＝p2
2! 1 2! 1 ( ) 2 p0 ( ) 2 0.4 0.2 ( 2 2)! 2 ( 2 2)! 2
计算机科学与工程学院 顾小丰 18－11
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ 2018年11月23日星期五
习题1
病人以每小时3人的泊松流到达医院，假
设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服 从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为 15分钟。
（a) 医生空闲时间的比例？ （b) 有多少病人等待看医生？ （c) 病人的平均等待时间？ (d) 一个病人等待超过一个小时的概率？
3 4 ( 1 4 ) 3 1 e e 4 4
3
≈0.276 即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。
2018/11/23
计算机科学与工程学院
顾小丰
18－4
习题2
一台计算机有 2 个终端，假定计算一个题目
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
(完整)随机过程复习试题及答案,推荐文档
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
证明：当12n 0t t t t <<<<<L 时，1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x )≤L =n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤L =n n P(X(t)x X(t )=x )≤3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p pl l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
证明：{}(n)ij k IP P X(n)=j X(0)=i P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈⎧⎫==⎨⎬⎩⎭U ={}k I P X(n)=j,X(l)=k X(0)=i ∈∑ ={}{}k IP X(l)=k X(0)=i P X(n)=j X(l)=k,X(0)=i ∈∑g =(l)(n-l)ik kjPP ∑，其意义为n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。
4.设{}N(t),t 0≥是强度为λ的泊松过程，{}k Y ,k=1,2,L 是一列独立同分布随机变量，且与{}N(t),t 0≥独立，令N(t)k k=1X(t)=Y ,t 0≥∑，证明：若21E(Y <)∞，则[]{}1E X(t)tE Y λ=。
上海交大研究生课程随机过程和排队论习题答案
随机过程与排队论课程部分习题答案第一章1－1 解：因为，,)1()1,()1|(>>=>x p x x p x x p 其中， ⎰∞+--==>1)1(λλλe dx e x p x所以，{=>)1|(x x p )1(0--x e λλ 11>≤x x ，[]λλλ11)1|(1|1)1(+==>=>⎰⎰∞+--∞+∞-dx e x dx x x xp x x E x1－3 解：因为，y dx ye y e y Yf y x f y Y x f y y y y 1)(),()|(0=====⎰--,其中，+∞<<<<y yx 00所以，[]31|2022y dx y x y Y x E y =⋅==⎰1－4解：令，{=Y 210迷宫第一次选择左边，走出分钟徊第一次选择左边，但徘第一次选择右边561,31,21210===p p p令N 为耗子徘徊的时间均值；[]27][65][]|[+====∑N E i Y p i Y N E N E i所以，[]N E ＝21。
平均徘徊21分钟1－8解：Y 的概母函数qZ pZZ P -=1)(所以，[]()p q p P Y E 11)1(2'=-==，222][][][p qY E Y E Y Var =-=1－10 证明：（略）1－11 解：a ）N S 的概母函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==λλqZ p Z P G Z H 1exp ))(()(N S 的均值：p q S E N λ=][，方差，2)1(][p q qS Var N +=λb ）（1）证明：N S 的概率母函数为))1(exp())(exp()(-=-+=Z p Zp q Z H λλλ所以，N S 是均值为p λ的泊松分布。
（2）)()(),(y S P n N P y S n N P n N =⋅==== yn y n q p y n y n e n --⋅-⋅⋅=λλλ)!(!!!)!(!y n y q p e yn y n -=--λλ 得证（3）!)(),()(),()|(y e p yS n N P y S p y S n NP y S n N P py N N N N λλ-⋅=========()y n y n q e yn q ≥-=--,)!(λλ，证毕1－13 解：)()('x F x f =，且[]θλλθθ+==-K e E f x )(*所有, []λθθθKd df x E =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0*)(1－15解：[]()22*1)(θθθθ---==e e E f x第二章2－2 解：na a a a a a n p qq p p q p q U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=2－5 证明：（略）2－7 证明：（略）2－8 解：)(1t N 时间t 内通过的小车数，)(2t N 时间t 内通过的大车数 a ）950.011)1)((36005.01≈-=-=≥-⨯-e e t N Pb ）[])(67105710)(|)(1辆=+==t N t N Ec ）066.0)5)(45)((12＝，＝=t N t N P2－9解：a ）顾客到达的时间的分布是均匀分布，所以，3/1)20(=p p ＝分钟内到达顾客在开始9/1)202(2=p p ＝分钟内到达个顾客在开始b ）至少有一个顾客在开始20分钟内到达的概率95)1(12=--=p p b2－11解：)1)1(exp())(()(qZ Z Z P G t M --=λ的概母函数：所以，p tP t X tE t M E i λλλ=⋅==)1(][)](['同时， 22)2(][)]([p p q t X tE t M Var +==λλ第三章3－1 解：1）根据定义，此过程为马氏链。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
排队论习题答案
排队论习题答案排队论习题答案排队论是运筹学中的一个重要分支，研究的是排队系统中的等待时间、服务时间以及系统的稳定性等问题。
在实际生活中，我们经常会遇到排队的情况，比如超市、银行、医院等地方。
那么，如何有效地解决排队问题，减少等待时间呢？下面我将通过几个习题来探讨排队论的解题方法。
习题一：某银行有两个窗口，分别为A窗口和B窗口，顾客到达的时间间隔服从指数分布，平均每10分钟到达一人。
A窗口的服务时间服从均值为5分钟的指数分布，B窗口的服务时间服从均值为7分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答一：首先，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μA=1/5=0.2人/分钟，平均服务率μB=1/7≈0.1429人/分钟。
根据排队论的基本原理，当λ<μ时，系统稳定，顾客平均等待时间为0。
当λ>μ时，系统不稳定，顾客平均等待时间为ρ/(μ-λ)，其中ρ为系统繁忙率。
由于该题目中有两个窗口，所以我们需要计算两个窗口的繁忙率ρA和ρB。
ρA=λ/μA=0.1/0.2=0.5，ρB=λ/μB=0.1/0.1429≈0.7。
由于两个窗口的繁忙率不相等，我们需要使用排队网络的方法来求解。
根据排队网络的基本原理，顾客平均逗留时间等于顾客在每个窗口的平均逗留时间之和。
根据排队网络的公式，顾客在A窗口的平均逗留时间为1/(μA-λ)≈5分钟，顾客在B窗口的平均逗留时间为1/(μB-λ)≈7.5分钟。
所以，顾客平均逗留时间为5+7.5=12.5分钟。
习题二：某医院门诊部有一个窗口，顾客到达的时间间隔服从泊松分布，平均每10分钟到达一人。
窗口的服务时间服从均值为8分钟的指数分布。
求顾客平均等待时间和平均逗留时间。
解答二：同样地，我们需要计算平均到达率λ和平均服务率μ。
根据题目给出的信息，平均到达率λ=1/10=0.1人/分钟，平均服务率μ=1/8=0.125人/分钟。
随机过程课后习地的题目
习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nk k X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f tn e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
期末随机过程试题及答案
《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则这个随机过程的状态空间。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t+a 。
评卷人二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A )=P(B A )P(C AB)。
2.设{X (t ),t ?0}是独立增量过程,且X (0)=0,证明{X (t ),t ?0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ijik kjk Ip p p l l ∈=∑，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
排队论习题
排队论习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--排队论习题1、某大学图书馆的一个借书柜台的顾客流服从泊松流，平均每小时50人，为顾客服务的时间服从负指数分布，平均每小时可服务80人，求：（1）顾客来借书不必等待的概率 3/8（2）柜台前平均顾客数 5/3（3）顾客在柜台前平均逗留时间 1/30（4）顾客在柜台前平均等待时间 1/802、一个新开张的理发店准备雇佣一名理发师，有两名理发师应聘。
由于水平不同，理发师甲平均每小时可服务3人，雇佣理发师甲的工资为每小时14元，理发师乙平均每小时可服务4人，雇佣理发师乙的工资为每小时20元，假设两名理发师的服务时间都服从负指数分布，另外假设顾客到达服从泊松分布，平均每小时2人。
问：假设来此理发店理发的顾客等候一小时的成本为30元，请进行经济分析，选出一位使排队系统更为经济的理发师。
3、一个小型的平价自选商场只有一个收款出口，假设到达收款出口的顾客流为泊松流，平均每小时为30人，收款员的服务时间服从负指数分布，平均每小时可服务40人。
（1）计算这个排队系统的数量指标P0、L q、L s、W q、W s。
（2）顾客对这个系统抱怨花费的时间太多，商店为了改进服务准备队以下两个方案进行选择。
1）在收款出口，除了收款员外还专雇一名装包员，这样可使每小时的服务率从40人提高到60人。
2）增加一个出口，使排队系统变成M/M/2系统，每个收款出口的服务率仍为40人。
对这两个排队系统进行评价，并作出选择。
4、汽车按泊松分布到达某高速公路收费口，平均90辆/小时。
每辆车通过收费口平均需时间35秒，服从负指数分布。
司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30秒，但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才使用，问上述条件下新装置能否被采用。
5、有一台电话的共用电话亭打电话的顾客服从λ=6个/小时的泊松分布，平均每人打电话时间为3分钟，服从负指数分布。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程试题及答案
.1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程复习题
随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。
2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。
试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。
3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。
若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。
6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。
7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。
试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。
8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。
随机过程复习题
随机过程复习题一、随机过程的数字特征及平稳性1、设随机过程Z (t ) =X sin t +Y cos t ，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以2/3和1/3的概率取值-1和2，讨论Z(t)的平稳性。
2、设随机过程()Xt e t -=ξ （t >0），其中随机变量X 具有在区间（0，T ）中的均匀分布。
试求随机过程ξ（t ）的数学期望和自相关函数。
3、有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}和{η(t )，-∞<t <∞}，设ξ(t )=A sin(ω t +Θ)，η(t )=B sin(ω t +Θ+φ), 其中A ，B ，ω，φ为实常数，Θ均匀分布于[0，2π]，试求R ξη(s ,t )4、设有随机过程{ξ(t )，-∞<t <∞}，ξ(t )=η cos t , 其中η为均匀分布于（0，1）间的随机变量，即()()112311212(a)=cos cos (b)C =cos cos 1212R t ,t t t t ,t t t ξξξξ试证：5、随机过程ξ(t )=sin(Ut )，其中U 是在[0，2π]上均匀分布的随机变量。
若t ∈T , 而T =[0，∞）, 试分析ξ（t ）的平稳性。
6、随机过程()()0=cos +t A t ξωθ；式中：A 、ω0是实常数；θ是具有均匀分布的随机变量：()2(0=20(f πθθπ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其他） 分析ξ(t )的平稳性。
7、随机过程ξ(t )=A cos(ωt +Φ )，-∞<t <+∞，其中A, ω,Φ 是相互统计独立的随机变量，E A =2, D A =4, ω 是在[-5, 5]上均匀分布的随机变量，Φ 是在[-π，π]上均匀分布的随机变量。
试分析ξ(t)的平稳性和各态历经性。
8、设(){}+∞<<∞-t t X ,的均值函数为m X (t )，协方差函数为C X (t )，而ϕ(t )是一个普通函数，令()()()t t X t Y ϕ+=，+∞<<∞-t ，试求(){}+∞<<∞-t t Y ,的均值函数和协方差函数。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
《排队论》习题解答
故方案I比方案II好。
习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。 如果1台计算机正常工作时间服从负指数 分布，平均10天，而计算机损坏时由1名 工程师维修，维修1台计算机的时间是负 指数分布的，平均5天。求：2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
(2 2 !2)(!1 2)2p 0(2 2 !2)(!1 2)20.40.2
解(续)
平均发生故障的计算机数
m
N jpj p1 2p2 j0
( 1 p 0 p 2 ) 2 p 2 ( 1 0 . 4 0 . 2 ) 2 0 . 2 0 . 8
系统中平均运行的计算机数为2-0.8＝1.2(台)
解
单位时间内的纯收入为
f8 (1p K )5 8 (1(1 1 )k 1 K )5
方案I(λ＝10人/小时，μ＝30人/小时，K＝3)：
f81 0 (1(11 1(3 1 )3 1 ()4 3)3)53 072
方案II(λ＝10人/小时，μ＝40人/小时，K＝2):
f81 0 (1(11 1(4 1 )4 1 )(3 4)2)54 0 12 .83
11 3(1 3)211930.6923
P{由于停机无法发射}＝p2
(12 1 1 1 )1 !!1 2 11!(1 3)21 9 31 1 30 .0 7 6 9
习题6
在一商店，顾客以泊松流到达收银台， 平均5分钟到达9个顾客；而服务员每5分钟能 服务10个顾客，服务时间服从指数分布。商 店经理希望将顾客等待时间不超过1分钟。他 有两个方案： 1. 增加一名服务同样效率的服务员,即提高 服务率一倍。 2. 增加一新柜台。
排队论习题及答案
《运筹学》第六章排队论习题1. 思考题（1）排队论主要研究的问题是什么；（2）试述排队模型的种类及各部分的特征；（3）Kendall 符号C B A Z Y X /////中各字母的分别代表什么意义；（4）理解平均到达率、平均服务率、平均服务时间和顾客到达间隔时间等概念； （5）分别写出普阿松分布、负指数分布、爱尔朗分布的密度函数，说明这些分布的主要性质；（6）试述队长和排队长；等待时间和逗留时间；忙期和闲期等概念及他们之间的联系与区别。
2．判断下列说法是否正确（1）若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（2）假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（3）若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、3、5、7，┉名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布； （4）对1//M M 或C M M //的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流； （5）在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（6）一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（7）排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（8）在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统；（9）在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长； （10）在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。
3．某店有一个修理工人，顾客到达过程为Poisson 流，平均每小时3人，修理时间服从负指数分布，平均需19分钟，求： （1）店内空闲的时间； （2）有4个顾客的概率； （3）至少有一个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）等待服务的顾客数； （6）平均等待修理的时间；（7）一个顾客在店内逗留时间超过15分钟的概率。
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计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ ： 2012年5月8日星期二 年 月 日星期二
习题1 习题1
病人以每小时3人的泊松流到达医院， 病人以每小时3人的泊松流到达医院，假 设该医院只有一个医生服务， 设该医院只有一个医生服务，他的服务时间服 从负指数分布， 从负指数分布，并且平均服务一个顾客时间为 15分钟 分钟。 15分钟。 医生空闲时间的比例？ （a) 医生空闲时间的比例？ 有多少病人等待看医生？ （b) 有多少病人等待看医生？ 病人的平均等待时间？ （c) 病人的平均等待时间？ 一个病人等待超过一个小时的概率？ (d) 一个病人等待超过一个小时的概率？
m i 1 m i m ⋅ m! p 0 = ∑ ρ + ∑ i−c ρ + c! i = c c c! i = 0 i!
c −1 i K −1 i K
1− 1 1 1 1+ 1
K+ m
1 i ∑ c i−c (m − i + K )! ρ i=K
−1
−1
1 1 i 1 ⋅ 1! 1 1 i = ∑ ( ) + ∑ 1i−1 (1 − i + 1)! ( 3 ) 1! i =1 i = 0 i! 3
20122012-5-8
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18－ 18－7
解
单位时间内的纯收入为
(1 − ρ)ρK f = 8λ(1 − pK ) − 5µ = 8λ(1 − ) − 5µ k+1 1− ρ
方案I 方案I(λ＝10人/小时，μ＝30人/小时，K＝3)： 10人 小时， 30人 小时，
(1 − 1 3)(1 3)3 f = 8 ×10 × (1 − ) − 5 × 30 = −72 4 1 − (1 3)
20122012-5-8
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18－ 18－12
习题5 习题5
某电视台有2 部发射机， 部发射1 部备用。 某电视台有 2 部发射机 ， 1 部发射 1 部备用 。 如果1 部正常工作时间服从负指数分布， 平均9 如果 1 部正常工作时间服从负指数分布 ， 平均 9 而调整维修1部机器的是负指数分布的， 天，而调整维修1部机器的是负指数分布的，平 均3天。求无备用机而正常运转的概率和由于停 机无法发射的概率。 机无法发射的概率。
20122012-5-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－ 18－6
−1
习题3 习题3
考虑一个M/M/1/K排队系统， λ＝10人/小 排队系统， ＝ 人 小 考虑一个 排队系统 小时， ＝ 。 时，µ＝30人/小时，K＝2。管理者想改进服务 ＝ 人 小时 机构， 提出了两个方案。 方案I： 机构 ， 提出了两个方案 。 方案 ： 增加等待空 K＝3；方案II：提高服务率，µ＝40人/小 间，K＝3；方案II：提高服务率，µ＝40人/小 假设在单位时间内单位服务成本5元和每 时 。 假设在单位时间内单位服务成本 元和每 服务一个顾客收益8元不变得情况下 元不变得情况下， 服务一个顾客收益 元不变得情况下 ， 哪个方 案获得更大的收益？ 小时， 案获得更大的收益？当λ＝30人/小时，又有什 ＝ 人 小时 么结果？ 么结果？
20122012-5-8
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18－ 18－5
解
由题设知， 5(题 小时) 3(题 小时) 由题设知， λ＝5(题/小时)，µ＝3(题/小时)，c＝2，
该系统按M/M/c/∞型处理。 该系统按M/M/c/∞型处理。ρ = 5 3 , ρc = 5 6 M/M/c/
2 −1 ρj cρc (5 3) j 2 ⋅ (5 3)2 −1 p 0 = [∑ + ]−1 = [∑ ] + c!(c − ρ) j! 2!⋅ (2 − 5 3) j= 0 j! j= 0
m! i = ∑ ρ i = 0 ( m − i )!
m −1
1! 1 i ( ) = ∑ i = 0 (1 − i )! 3
1
−1
3 = = 0.75 4
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18－ 18－14
解( 续)
对M/M/1/1+1/1型系统 M/M/1/1+1/1型系统 1+1/1
方案II( 方案II(λ＝10人/小时，μ＝40人/小时，K＝2): II 10人 小时， 40人 小时，
(1 − 1 4)(1 4)2 f = 8 ×10 × (1 − ) − 5 × 40 = −123.8 3 1 − (1 4)
故方案I比方案II好。 方案I 方案II好 II
20122012-5-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－ 18－8
20122012-5-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－ 18－16
解
方案1 9/5(个 分钟) 4(个 分钟), 方案1 λ＝9/5(个/分钟)，µ＝4(个/分钟), 9/20＜ 该系统按M/M/1/ 型处理， M/M/1/∞型处理 ρ＝9/20＜1，该系统按M/M/1/ 型处理，平均等 待时间
(1 − 3 4)(3 4)2 f = 8 × 30 × (1 − ) − 5 × 40 = −31.35 3 1 − (3 4)
比方案II好 故方案I比方案 好。 方案 比方案
20122012-5-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－ 18－9
习题4 习题4
某系统利用2台计算机进行容错处理。 某系统利用2台计算机进行容错处理。 如果1 如果 1 台计算机正常工作时间服从负指数 分布， 平均10 天 ， 而计算机损坏时由1 名 分布 ， 平均 10天 而计算机损坏时由 1 10 工程师维修， 维修 1 台计算机的时间是负 工程师维修 ， 维修1 指数分布的，平均5 指数分布的，平均5 天。求：2台计算机都 正常运行的概率和由于计算机损坏无法运 行的概率，系统中平均运行的计算机数。 行的概率，系统中平均运行的计算机数。
20122012-5-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－ 18－2
解
由题设知， 3(人 小时) 4(人 小时) 由题设知， λ＝3(人/小时)，µ＝4(人/小时)，ρ
3 该系统按M/M/ M/M/1 型处理。 ＝ ，该系统按M/M/1/∞型处理。 4
1 P{医生空闲 医生空闲} P{系统空闲 系统空闲} a) P{医生空闲}＝P{系统空闲}＝p0＝1－ρ＝ 4
m! i = ∑ ρ i = 0 ( m − i )!
m −1
2! 1 i ( ) = ∑ i = 0 ( 2 − i )! 2
2
−1
2 = = 0.4 5
P{计算机损坏无法运行 ＝p2 计算机损坏无法运行}＝ 计算机损坏无法运行
= 2! 1 2! 1 ( )2 p0 = ( ) 2 × 0.4 = 0.2 ( 2 − 2)! 2 ( 2 − 2)! 2
9 1 1 2 = 1 + + ( ) = ≈ 0.6923 13 3 3
−1
P{由于停机无法发射 ＝p2 由于停机无法发射}＝ 由于停机无法发射
11 ⋅ 1! 1 2 9 1 ( ) × = = ≈ 0.0769 2 −1 (1 − 2 + 1)!⋅ 1 ⋅ 1! 3 13 13
＝0.25。 25。 ρ2 (3 / 4)2 9 b) 平均等待对长 Nq = = = = 2.25
1− ρ 1− 3/ 4 4
即平均有2 25个病人等待看医生 即平均有2.25个病人等待看医生
3/4 3 ρ = = = 0.75 c) 平均等待时间 Wq = µ(1 − ρ ) 4(1 − 3 / 4) 4
3 − 4 ( 1− 4 ) 3 − 1 = e = e 4 4
3
≈0.276 即病人等待超过一个小时的概率约为0 276。 即病人等待超过一个小时的概率约为0.276。
20122012-5-8
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18－ 18－4
习题2 习题2
一台计算机有2 个终端， 一台计算机有 2 个终端 ， 假定计算一个题目 的时间服从负指数分布，平均20分钟。 20分钟 的时间服从负指数分布，平均20分钟。假定题目 是以泊松流到达， 平均每小时到达5 是以泊松流到达 ， 平均每小时到达 5 个 。 求积压 题目的概率及平均积压的题目数。 题目的概率及平均积压的题目数。
解( 续)
小时： 当λ＝30人/小时： ＝ 人 小时 方案I(λ＝ 人 小时 小时， ＝ 人 小时 小时， ＝ ： 方案 ＝30人/小时，µ＝30人/小时，K＝3)：
1 f = 8λ(1 − pK ) − 5µ = 8 × 30 × (1 − ) − 5 × 30 = 30 3+1
方案II(λ＝30人/小时，µ＝40人/小时，K＝2): ＝ 人 小时 小时， ＝ 人 小时 小时， ＝ 方案
20122012-5-8
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18－ 18－13
解
由题设知， 由题设知，λ＝1/9(台/天)， µ＝1/3(台/天)，ρ 型处理， ＝ ， ＝ 1/3， 该系统按 ， 该系统按M/M/c/m+k/m型处理 ， c＝ 1， 型处理 m＝1，k＝1。 ＝ ， ＝ 。 若无备用机器， 即 K＝ 0， 化为M/M/c/m/m 若无备用机器 ， ＝ ， 化为 型系统： 型系统： P{无备用机而正常运转 ＝p0 无备用机而正常运转}＝ 无备用机而正常运转
即病人的平均等待时间为0 75小时 小时， 45分钟 分钟。 即病人的平均等待时间为 0.75 小时 ， 即 45 分钟 。
20122012-5-8 计算机科学与工程学院 顾小丰 18－ 18－3
解( 续)
P{等待超过一个小时 等待超过一个小时} d) P{等待超过一个小时} ＝P{Wq＞1} ＝1－P{Wq≤1} ＝1 －W q( 1 ) ＝ρe-µ(1-ρ)