河南省洛阳市2018届高三二练考试数学(理)试题
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试(理数)
2018年第三全真模拟考试【新课标I 卷】数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则AB 的子集个数为（ ）A ．4B ． 8C ． 16D ．32 2.已知复数534iz i=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 3.“lg lg m n >”是“11()()22mn<”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设随机变量(1,1)XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587 C.7028 D ．75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A ．133升 B ．176升 C.199 升 D ．2512升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．1()62g π=B ．()g x 在区间57(,)88ππ上是增函数 C.2x π=是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8π-是()g x 图像的一个对称中心7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2OA OB OF =+，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B C. 2+ D 8.在ABC △中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4 C.83 D ．1039.若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++的值为（ ） A ．20172018B ．1 C. 0 D ．1-10.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．45πB ．57π C. 63π D ．84π11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．1(,2)2 C. 1(0,)2D ．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 ．14.设x ，y 满足约束条件1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则||3y z x =+的最大值为 ．15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c，其中40cos c xdx π=，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，1260F PF ∠=︒，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=.（1）求角A 的大小； （2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a .18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望.20. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . （1）求直线AP 斜率k 的取值范围；（2）求|||PA PQ ⋅的最大值. 21. 已知函数2()(1)2xt f x x e x =--，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=现以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.数学（理科）参考答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15.1123π+ 16.221159x y += 三、解答题17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. （2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=，所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A==又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =.18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴BC AD ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，sin DE AD DAB =⋅∠=，∴3(0,,)22D a，∴1(0,,)22AD a =-，(,2,0)AC a a =-. 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即10220ay ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩， 不妨取1z =，则y =x =(23,m =. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， ∴cos ,m n ||||m nm n ⋅==14=.故二面角D AC B --的余弦值为14.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()()33135C C C +⋅=. （2）m 的所有取值有1，2，3.1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，34361(3)5C P m C ===，故131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=.由题意可知2(3,)3n B ，故2()323E n =⨯=.而1510X m n =+，所以()15()10()50E X E m E n =+=.20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x=+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716.21.（1）由于'()()x xf x xe tx x e t =-=-.1）当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减，当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立， 即证明23()(1)2xg x x e x x =--+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310xxe x -+≥即可.令()1x h x e x =--，则'()1xh x e =-，当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，∴min ()(0)0h x h ==，即x R ∀∈，1xe x ≥+，那么，当0x ≥时，2xxe x x ≥+，所以31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>，∴310xxe x -+≥恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos 22ρθρθ+=即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=.（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆. ∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<.（2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅.又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞.所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。
河南省洛阳市2018届高三考前综合练习二理数试题 含解析
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数212ii+-（ ） A ．i B ．i - C ．42i + D ．1i + 【答案】D 【解析】 试题分析：()()21225511255i i i ii i +-++===+-，故选D. 考点：复数的运算 2.若1:1,:1p x q x><，则p 是q 的（ ） A ． 既不充分也不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件 【答案】D 考点：逻辑命题3.将函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移8π个单位，所得的函数关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．34π B ．4π C ．0 D ．4π- 【答案】B 【解析】考点：y=Asin （ωx+φ）的图象变换 4.若110(1)xS edx =-⎰，120S xdx =⎰，130sin S xdx =⎰，则（ ）A ．231S S S >>B ．132S S S >>C ．213S S S >>D ．123S S S >> 【答案】D 【解析】 试题分析：111001(1)|22x x S e dx e x e =-=-=->⎰， 12120011|22S xdx x ===⎰ ，113001sin cosx |1cos12S xdx ==-=-<⎰， 123S S S ∴>>，故选D.考点：定积分；比较大小5.若如图所示的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．5?n ≤ B ．6?n ≤ C ．7?n ≤ D ．8?n ≤【答案】B【方法点睛】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．考点：程序框图6.设,x y满足约束条件3020x y ax yx y--≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，若目标函数z x y=+的最大值为2，则实数a的值为（）A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】【解析】试题分析：先作出不等式组20x yx y-≥⎧⎨+≥⎩的图象如图，∵目标函数z=x+y的最大值为2，∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，由图象知x+y=2如平面区域相交A，由02x y x y -=+=⎧⎨⎩ 得x=1,y=1, 即A （1，1），同时A （1，1）也在直线3x-y-a=0上， ∴3-1-a=0，则a=2，故选：A ．考点：简单的线性规划7.如图所示22⨯方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1，2，3，4中的任何一个，允许重复，若填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则不同的填法共有（ ） A ．192种 B ．128种 C ．96种 D ．12种【答案】C考点：排列组合及简单的计数问题8.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +=（ ）A ． 6B ．7C ．8D ．9 【答案】D考点：一元二次方程根与系数的关系；等差数列和等比数列的性质9.设双曲线22221x y a b -=的两渐近线与直线2a x c=分别交于,A B 两点，F 为该双曲线的右焦点，若006090AFB <∠<，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B ．(1,2) C． D．)+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：双曲线的两条渐近线方程为2y x b a a c x ±=＝，时，aby c =±，2260901FB a ab a ab A B AFB k c c c c ∴︒<∠<︒<<（，），（，-），，，2222211111132333ab a a c e e a b c a c c<<<<∴<<∴<-<<<--，，，，． 故选B考点：双曲线的简单性质10.在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12π C ．32π D ．36π 【答案】 【解析】试题分析：根据三棱锥为正三棱锥，可证明出AC ⊥SB ，结合SB ⊥AM ，得到SB ⊥平面SAC ，因此可得SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式，可得正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积．取AC 中点，连接BN 、SN ，∵N 为AC 中点，SA=SC ，∴AC ⊥SN ， 同理AC ⊥BN ，∵SN ∩BN=N ，∴AC ⊥平面SBN ，∵SB ⊂平面SBN ，∴AC ⊥SB ，∵SB ⊥AM 且AC ∩AM=A ， ∴SB ⊥平面SAC ⇒SB ⊥SA 且SB ⊥AC ， ∵三棱锥S-ABC 是正三棱锥，∴SA 、SB 、SC 三条侧棱两两互相垂直．∵底面边长AB =∴侧棱SA=2，∴正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R R =∴= ， ∴正三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是2412S R ππ== ，故选：B ．考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体11.设,a b 为单位向量，若向量c 满足()c a b a b -+=-，则c 的最大值是（ ） A．． 2 C ．1 【答案】A考点：平面向量的几何性质12.已知函数()y f x =的定义域的R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足11()1()1n nf a f a +=+，（*n N ∈），且1(0)a f =，则下列结论成立的是（ ）A ．20132016()()f a f a >B ．20142015()()f a f a >C ．20162015()()f a f a <D ．20142015()()f a f a <【解析】试题分析：∵()()()f x f y f x y ∙=+恒成立， ∴令x =-1，y =0，则101f f f -=-（）（）（）， ∵当x<0时，11001f x f f >∴-≠∴=（），（），（），()()1111011111n n n n f a f a f f a a f ++=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴==，（） ，111110011n n n nf a f a a a a ++∴+==∴+=++（）（），，111n na a +=-+∴，2341212a a a =-=-=∴，，， ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，2013320141201522016312122a a a a a a a a ∴==-====-==-，，，，故选：B ．考点：抽象函数的应用【方法点睛】1. 换元法：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法；2. 方程组法：运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题；3. 待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题；4. 赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决；5. 转化法：通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便；6. 递推法：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解；7. 模型法：模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法；应掌握下面常见第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】13π+ 【解析】试题分析：由题根据所给三视图易知该几何体为水平放置的半个圆柱与一个直三棱锥，故所求几何体的体积为211112211323ππ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+. 考点：三视图求体积14.已知对任意实数x ，有6270127()(1)m x x a a x a x a x ++=++++.若135732a a a a +++=，则m =________.【答案】0考点：二项式定理【方法点睛】赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n、(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．15.已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=（0k >）上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，,A B 为切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为________. 【答案】2 【解析】考点：直线和圆的位置关系；点到直线的距离公式16.数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=（*n N ∈），设n S 为{}n b 的前n 项和，若125308a a =>，则当n S 取得最大值时n 的值为________. 【答案】16 【解析】试题分析：设{a n }的公差为d ，由1251125376810 0855n a a a d a a d a n d ⎛⎫=∴=-∴∴<∴=-⎭<⎪> ⎝,，，，，从而可知116n ≤≤时，017n a n >≥，时，0n a <． 从而121417181515161716161718000b b b b b b a a a b a a a =>>>>>><>=>，，，故1413114151516S S S S S S S >>>><，，．1518151815161617151869694000055555a d a d a a d d db b a a a a =->=<∴+=-+=<∴+=+>，，，（），所以1614S S >，故S n 中S 16最大． 考点：数列的函数特性【方法点睛】数列与函数的特性问题主要是通过研究数列通项的单调性、周期性，最值来解决有关数列的问题，属于综合性题目，一定要注意数列单调变化对项的正负的影响，决定了数列求和的最值问题.三、解答题 ：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且25sin sin cos 3a A Bb A a +=.（1）求ba；（2）若22285c a b =+，求角C .【答案】(1)53b a =；（2）23C π=（2）设5(0)b t t =>，则3a t =，于是222222889254955c a b t t t =+=+∙=. 即7c t =.由余弦定理得222222925491cos 22352a b c t t t C ab t t +-+-===-∙∙. 所以23C π=. 考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系 18.（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件甲、乙为正品的概率；（2）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元。
河南洛阳市2018届高三数学12月统考试题理科附答案
河南洛阳市2018届高三数学12月统考试题（理科附答案）河南省洛阳市2018届高三上学期第一次统一考试（12月）数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A．B．C．D．2.若（是虚数单位），则等于（）A．3B．2C．0D．-13.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：（1）对，都有；（2）对，且，都有．①；②；③；④以上四个函数中，“优美函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．34.已知向量，，若，则实数的值是（）A．-4B．-1C.1D．45.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和C.求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和6.设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（）A．7B．8C.13D．147.已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（）A．B．C.D．8.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（）A．B．C.D．9.若，则二项式的展开式中的常数项为（）A．-15B．15C.-240D．24010.在中，角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A．B．C.D．11.已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，直线与曲线从上到下依次相交于点，则（）A．16B．4C.D．12.已知函数满足，且当时，，则方程在上的所有根之和为（）A．8B．9C.10D．11第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，则．14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有种（用数字作答）．15.在半径为4的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为．16.已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．19.如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面．（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．21.已知函数，（），且曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值及函数的最大值；（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:CABDC6-10:DCADB11、12：AD二、填空题13.14.3615.16.三、解答题17.（1）当时，，∵，∴.∵，∴当时，，两式相减得，∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.（2）∵，∴，∴，，两式相减得.∴.18.（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，则.（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时，.所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：228234240247254∴.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为.所以甲公司送餐员日平均工资为元.由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.因为，故推荐小王去乙公司应聘.19.（1）由题，为的中点，可得，∵平面平面，，∴平面.又∵平面，∴.∴平面.∴平面平面.（2）取的中点，的中点，连接，∵，∴.∵平面平面平面，∴平面.分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则.即.可取.同理，可得平面的法向量..所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.20.（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为：，由.解得，故椭圆的方程为.（2）设当直线的斜率为0时，显示不符合题意. 当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以，，①因为，所以，又点在椭圆上，∴又∵，∴，②将，及①代入②得，即或.故直线的方程为或.21.（1）函数的定义域为，，因不的图象在点处的切线方程为，所以.解得.所以．故．令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以当时，取得最大值．（2）∵，∴，∵，∴，，所以存在即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为，令，因为，所以在单调递减，从而，即的取值范围是22.（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．由曲线的极坐标方程得，，∴曲线的直角坐标方程为（2）设曲线上任意一点为，则点到曲线的距离为．∵∴，，当时，，即；当时，，即．∴或．23.（1）当时，原不等式可化为．①当时，原不等式可化为，解得，所以；②当时，原不等式可化为，解得，所以；③当时，原不等式可化为，解得，所以．综上所述，当时，不等式的解集为．（2）不等式可化为，依题意不等式在恒成立，所以，即，即，所以．解得，故所求实数的取值范围是．。
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(理)及答案
洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的子集个数为（ ）{|||2}A x Z x =∈≤2{|1}B y y x ==-A B A ．4 B ． 8 C ． 16 D ．322.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（ ）534iz i=+i z z A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“”是“”的（ ）lg lg m n >11()()22m n <A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件4.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷(1,1)X N ABCD 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）10000注：若，则，.2(,)X N μσ ()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．B ． C. D ．60386587702875395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A ．升 B ．升 C. 升 D ．升13317619925126.将函数的图像向平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是()cos(2)4f x x π=-8π()g x （ ）A ． B ．在区间上是增函数 1(62g π=()g x 57(,88ππC.是图像的一条对称轴 D ．是图像的一个对称中心2x π=()g x (,0)8π-()g x 7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F 1F 3πy 和双曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（ ）A B 11()2OA OB OF =+A ．2B D 2+8.在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，ABC △P 2BP PC =P AB AC M N 若，，则的最小值为（ ）AM mAB = (0,0)AN nAC m n =>>2m n +A ．3 B ．4 C.D ．831039.若，则的值为2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++ ()x R ∈2017122017201820182018a a a+++ （ ）A ．B ．1 C. 0 D ．201720181-10.在三棱锥中，平面，，，，是边上P ABC -PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =Q BC 的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（PQ ABC 3πP ABC -）A ．B ． C. D ．45π57π63π84π11.记数列的前项和为.已知，，则（ ）{}n a n n S 11a =1()2()n n n n S S a n N *+-=∈2018S =A ． B ． C. D ．10093(21)-10093(21)2-20183(21)-20183(21)2-12.已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范2()22ln x f x x e x=-()2ln g x e x mx =+m 围是（ ）A ．B ． C. D ．(4,0)-1(,2)21(0,)2(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出的值为 ．i 14.设，满足约束条件，则的最大值为 ．x y 1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩||3y z x =+15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16.已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的1(,0)F c -2(,0)Fc 4cos c xdx π=⎰l 点，且与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，P x y A B O AOB △，则此椭圆的方程为 ．1260F PF ∠=︒三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，内角，，的对边分别为，，且.ABC △A B C a b c sin ()sin sin b B c b C a A +-=（1）求角的大小；A（2）若，且的面积为.3sin sin 8B C =ABC △a 18. 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的摄影恰ABCD AC ACD △D ABC 好落在边上.AB（1）求证：平面平面；ACD ⊥BCD （2）当时，求二面角的余弦值.2ABAD=D AC B --19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对23每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题m n 得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.X 20. 已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点2:C y x =-A B 12-32C 在，之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.P A B A B B AP Q （1）求直线斜率的取值范围；AP k （2）求的最大值.|||PA PQ ⋅21. 已知函数，其中.2()(1)2x t f x x e x =--t R ∈（1）讨论函数的单调性；()f x（2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.3t =1122()()2t f x x f x x x +-->-1x R ∈10x >请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平l sin(4πρθ+=O x 面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.1C 12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩ϕ（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l 1C （2）若曲线为曲线关于直线的对称曲线，点，分别为曲线、曲线上的动点，点2C 1C l A B 1C 2C 坐标为，求的最小值.P (2,2)||||AP BP +23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.()3|||31|f x x a x =-++g()|41||2|x x x =--+（1）求不等式的解集；()6g x <（2）若存在，，使得和互为相反数，求的取值范围.1x 2x R ∈1()f x 2()g x a试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15. 16.1123π+221159x y +=三、解答题17.（1）由，由正弦定理得，即，sin ()sin sin b B c b C a A +-=22()b c b c a +-=222b c bc a +-=所以，∴.2221cos 22b c a A bc +-==3A π=（2）由正弦定理，可得，，simA sin sin a b c B C ==sin sin a B b A =sin sin a Cc A=所以.1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a CA A A=⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==又，.3sin sin 8B C =sin A =2=4a =18.（1）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，∴.D ABC E DE DE ⊥ABC DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴.又，所以ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥AD CD ⊥平面，而平面，∴平面平面.AD ⊥BCD AD ⊂ACD ACD ⊥BCD （2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，B BC x AB y 如图所示.设，则，∴，.AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（1）知，又，∴，，AD BD ⊥2ABAD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，，cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AE a =-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.3(0,)2D a a 1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =- 设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z =则，即，00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10220ay ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则，.1z=y=x =m =而平面的一个法向量为，ABC (0,0,1)n =∴.故二面角的余弦值为.cos ,m n ||||m n m n ⋅==14=D AC B --1419.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.12224233621((33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()(33135C C C +⋅=（2）的所有取值有1，2，3.m ，，，故1242361(1)5C C P m C ===2142363(2)5C C P m C ===34361(3)5C P m C ===.131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=由题意可知，故.而，所以2(3,3n B 2()323E n =⨯=1510X m n =+.()15()10()50E X E m E n =+=20.（1）由题可知，，设，，所以11(,)24A --39(,)24B -2(,)p p P x x -1322p x -<<，故直线斜率的取值范围是.21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-AP k (1,1)-（2）直线，直线，联立直线，方程可知点11:24AP y kx k =+-93:042BQ x ky k ++-=AP BQ的横坐标为，Q 223422Q k k x k --=+||PQ =()Q px x -22341)222k k k k --=+-+=，所以，令1||)2p PA x =+)k =-3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，，则，当3()(1)(1)f x x x =-+11x -<<2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+时，当时，故在上单调递增，在112x -<<-'()0f x >112x -<<'()0f x <()f x 1(1,2--上单调递减.1(,1)2-故，即的最大值为.max 127()()216f x f =-=||||PA PQ ⋅271621.（1）由于.'()()xxf x xe tx x e t =-=-1）当时，，当时，，递增，0t ≤0x e t ->0x >'()0f x >()f x 当时，，递减；0x <'()0f x <()f x 2）当时，由得或.0t >'()0f x =0x =ln x t =①当时，，当时，，递增，01t <<ln 0t <0x >'()0f x >()f x 当时，，递减，ln 0t x <<'()0f x <()f x 当时，，递增；ln x t <'()0f x >()f x ②当时，，递增；1t ='()0f x >()f x ③当时，.1t >ln 0t >当时，，递增，ln x t >'()0f x >()f x 当时，，递减，0ln x t <<'()0f x <()f x当时，，递增.0x <'()0f x >()f x 综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；0t ≤()f x (,0)-∞(0,)+∞当时，在，上是增函数，在上是减函数；01t <<()f x (,ln )t -∞(0,)+∞(ln ,0)t 当时，在上是增函数；1t =()f x (,)-∞+∞当时，在，上是增函数，在上是减函数.1t >()f x (,0)-∞(ln ,)t +∞(0,ln )t （2）依题意，1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+1212()()f x x x x ⇔+++恒成立.1212()()f x x x x >-+-设，则上式等价于，()()g x f x x =+1212()()g x x g x x +>-要证明对任意，恒成立，1212()()g x x g x x +>-1x R ∈2(0,)x ∈+∞即证明在上单调递增，又，23()(1)2x g x x e x x =--+R '()31x g x xe x =-+只需证明即可.令，则，310x xe x -+≥()1xh x e x =--'()1xh x e =-当时，，当时，，0x <'()0h x <0x >'()0h x >∴，即，，那么，当时，，所以min ()(0)0h x h ==x R ∀∈1x e x ≥+0x ≥2x xe x x ≥+；当时，，，31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥0x <1x e <31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>∴恒成立.从而原不等式成立.310x xe x -+≥22.解：（1）∵，sin()4πρθ+=sin cos ρθρθ+=即，∴直线的直角坐标方程为；cos sin 4ρθρθ+=l 40x y +-=∵，∴曲线的普通方程为.12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩1C 22(1)(2)4x y +++=（2）∵点在直线上，根据对称性，的最小值与的最小值相等.P 4x y +=||AP ||BP 曲线是以为圆心，半径的圆.1C (1,2)--2r =∴.所以的最小值为.min 1||||AP PC r =-23==||||AP BP +236⨯=23.解：（1）∵，()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当时，解得，此时无解.2x ≤-336x -+<1x >-当时，，解得，即.124x -<≤516x --<75x >-7154x -<≤当时，，解得，即，综上，的解集为.14x <336x -<3x <134x <<()6g x <7{|3}5x x -<<（2）因为存在，，使得成立.所以1x 2x R ∈12()()f x g x =-{|(),}y y f x x R =∈.{|(),}y y g x x R =-∈≠∅ 又，()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+由（1）可知，则.9()[,)4g x ∈-+∞9()(,]4g x -∈-∞所以，解得.9|31|4a +≤1351212a -≤≤故的取值范围为. a 135[,]1212-。
河南省洛阳市2018届高三第二次统一考试数学(文)试题有答案AKUAKw
洛阳市2018届高三第二次统一考试数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合22{|1,},{|3}M y y x x R N x y x ==-∈==- ，则M N =I （ ） A ．[3,3]- B ．[3]- C ．φ D ．(3]-2. 已知i 为虚数单位，a R ∈，如果复数21aii i--是实数，则a 的值为（ ） A ．4- B ．2- C ．2 D ．43. 在边长为2的正三角形ABC ∆内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是（ ） A ．313π-B ．33πC ．316π-D ．36π 4. 已知点1(,)2a 在幂函数()(1)af x a x =-的图象上，则函数()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的渐近线方程为320x y ±=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．132 B ．133 C ．102 D ．1536. 定义12nnp p p +++L 为n 个正整数12,,,n p p p L 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=L （ ） A ．817 B ．919 C ．1021 D ．1123 7. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ） A ．172π B ．9π C ．192π D ．10π8. 已知:p 关于x 的不等式13x x m -+-<有解，:q 函数()(73)xf x m =-为减函数，则p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数()21cos 12x xf x x +=⋅-，则()y f x =的图象大致是（ ）10. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是1.99，则（ ） A ．98a = B ．99a = C ．100a = D ．101a =11. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，PC 为球O 的直径，该三棱锥的体积为26，则球O 的表面积为（ ） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π12. 已知函数()()24,0,1ln ,0x x x f x g x kx x x x ⎧+≤==-⎨>⎩，若方程()()0f x g x -=在(2,2)x ∈-有三个实根，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(1,ln )eB ．3(ln 2,)2eC ．3(,2)2D ．3(1,ln 2)(,2)2e U第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数,x y 满足11y x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值是 ．14.已知1,2,()3a b a b b ==+⋅=r r r r r，设a r 与b r 的夹角为θ，则θ等于 ．15已知圆C 的圆心时直线20x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与圆22(2)(3)9x y -+-=相外切，若过点(1,1)P -的直线l 与圆C 交于两点，当最小时，直线l 的方程为. ． 16.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且113,222n n n a a S +==-，则5a = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，已知扇形的圆心角23AOB π∠=，半径为42，若点C 是»AB 上一动点（不与点,A B 重合）.（1）若弦4(31)BC =-，求»BC的长； （2）求四边形OACB 面积的最大值.18. 已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，PA ⊥平面,4,ABCD PA AB AC AB AC ===⊥，点,E F 分别在线段,AB PD 上. （1）证明：平面PDC ⊥平面PAC ； （2）若三棱锥E DCF -的体积为4，求FDPD的值.19.已知药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该中药用昆虫的6组观测数据如表：经计算得：6666211111126,33,()()557,()84,66i i i i i i i i i x x y y x x y y x x ========--=-=∑∑∑∑621()3930ii y y =-=∑，线性回归模型的残差平方和为62 6.00661ˆ()236.64,3167i i y ye =-=≈∑，分别为观察数据中温度和产卵数1,2,3,4,5,6i =，（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1 ）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程0.2103ˆ0.06xy e =，且相关指数20.9952R =，试与（1）中的回归模型相比.①用2R 说明哪种模型的拟合效果更好；②用拟合效果更好的模型预测温度为035C 时该中药用昆虫的产卵数（结果取整数）.附：一组数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分为121()()ˆˆˆ,()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑，相关指数22121ˆ()()nii nii y yR y y ==-=-∑∑20. 在直角坐标xOy 中，已知椭圆E 中心在原点，长轴长为8，椭圆E 的一个焦点为圆22:420C x y x +-+=的圆心.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设P 是椭圆E 上y 轴左侧的一点，过P 作两条斜率之积为12的直线12,l l ，当直线12,l l 都与圆C 相切时，求P 的坐标. 21.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式(1)()ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C 的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. （1）当0α=时，求AB 的长度； （2）求22PA PB +的取值范围. 23.已知函数()1(0)2f x x a a a=-+≠. （1）若不等式()()1f x f x m -+≤恒成立，求实数m 的最大值； （2）当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，求实数a 的取值范围.。
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学(理)试卷(精编含解析)
详解：∵
，
∵
则
，
∴阴影部分的面积为
．
∴正方形
中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是 6587．
故选 D．
点睛：本题考查了正态分布、几何概型，正确理解正态分布的定义是解题的关键，属于中档题．
5. 《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节 的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，现自上而下取第 1,3,9 节，则这 3 节的容积之和为（ ）
详解：
，则 的子集个数为（ ）
，可求
的子集个数 ，
的子集个数为 故选 C. 点睛：本题考查集合的运算以及子集的个数，属基础题.
2. 已知复数 A. 第四象限
（ 是虚数单位），则 的共轭复数 对应的点在（ ） B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
【答案】A
【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求 的共轭复数即可．
洛阳市 2017-2018 学年高中三年级第三次统一考试
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 设集合
，
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】C
【解析】分析：求出集合 A,B，得到
取
的外接圆圆心为 ，作
，
解得
；
为 的中点，
由勾股定理得
∴三棱锥
的外接球的表面积是
设直线 与平面
故选 B. 点睛：本题考查了几何体外接球的应用问题，解题的关键求外接球的半径，是中档题．
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）2．（5分）若复数z满足为虚数单位），则|z|＝（）A．B．3C．4D．53．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n 5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．56．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．97．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值于最大值的和为（）A．B．C．D．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）设函数，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0，则的最小值为（）A．1B．2C．D．410．（5分）若锐角φ满足，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，以F1F2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，线段MF1与双曲线的左支交于点N，若点N恰好平分线MF1，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则向量在向量方向上的投影为．14．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若4S＝a2﹣（b﹣c）2，且b+c＝4，则S的最大值为．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．16．（5分）已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2（a＞0）交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝5，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是数列{b n}的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC的中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠PBC＝90°，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率．（1）六六月份这种冰激凌一天需求量X（单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：桶）为多少时，Y的数学期望取得最大值？20．（12分）如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2＝是椭圆T：＝1（0＜b＜4）的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆T的左顶点，且GA⊥BC．（1）求椭圆T的标准方程；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线角椭圆于E，F两点，试判断直线EF与圆G的位置关系并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣＝0相切，求实数a的值；（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，证明．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ＝2sin（θ﹣），直线l的参数方程为（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a＝0时，求|AB|的长度；（2）求|P A|2+|PB|2的取值范围．23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）【解答】解：由A＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1≤x＜3}则A∩B＝{x|0＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若复数z满足为虚数单位），则|z|＝（）A．B．3C．4D．5【解答】解：∵虚数单位），∴+3＝＝＝﹣1﹣3i，∴＝﹣4﹣3i，∴z＝﹣4+3i．则|z|＝＝5．故选：D．3．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sin A＞sin B”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤，此时有sin（π﹣A）＝sin A＞sin B综上，△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充分条件2°研究sin A＞sin B，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n【解答】解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．故选：B．5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5＝（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）＝﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．6．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝20，i＝1不满足条件n是奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，执行循环体，满足条件n是奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值于最大值的和为（）A．B．C．D．【解答】解：由约束条件x，y满足约束条件，则作可行域如图，∵＝＝2+，即z﹣2＝，其几何意义是可行域内的动点与定点P（﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A时，k P A最大，z＝2+＝，当可行域内的动点为B时，k PB最小，z＝2+＝0，∴的最小值与最大值的和为+0＝，故选：D．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40个，其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p＝＝．故选：C．9．（5分）设函数，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b ﹣4）＝0，则的最小值为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：根据题意，，则f（﹣x）＝2017（﹣x）+sin（）+＝﹣（＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数；＝2017x+sin﹣+1，则f′（x）＝2017+cos+＞0，函数f（x）为增函数，若f（2a）+f（b﹣4）＝0，则f（2a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b），则有2a＝4﹣b，即2a+b ＝4，则＝（+）＝（4++）＝1+（+）≥1+×2×＝2，当且仅当b＝2a时等号成立；故选：B．10．（5分）若锐角φ满足，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：锐角φ满足，∴1﹣2sinφcosφ＝，∴sin2φ＝；又sinφ＞，∴2φ＝，解得φ＝；∴函数f（x）＝cos2（x+φ）＝＝+cos（2x+），∴2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z），即[kπ+，kπ+]，k∈Z．故选：D．11．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，以F1F2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，线段MF1与双曲线的左支交于点N，若点N恰好平分线MF1，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：∵F1F2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M，∴MF1⊥MF2，∵点N恰好平分线MF1，∴|NF1|＝|MF1|，设|MF1|＝2m，则|MF2|＝2m﹣2a，∴|NF2|＝m+2a，在Rt△NMF2中，|NF2|2＝|MN|2+|MF2|2，∴（m+2a）2＝m2+（2m﹣2a）2，整理解得m＝3a，∴|MF2|＝2m﹣2a＝4a，在Rt△F1MF2中，|F1F2|2＝|MF1|2+|MF2|2，∴4c2＝（6a）2+（4a）2＝52a2，即c＝a，∴e＝＝故选：A．12．（5分）已知函数，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．B．C．1+ln2D．1﹣ln2【解答】解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，y＝+ln，则b＝2，则b﹣a＝2﹣lny﹣1，则（b﹣a）′＝2﹣，∴（b﹣a）′递增，∴y＝时，（b﹣a）′＝0，∴（b﹣a）′有唯一零点，∴y＝时，b﹣a取最小值，2﹣lny﹣1＝1+ln2，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则向量在向量方向上的投影为﹣2．【解答】解：根据题意，，则•＝2×3+4×（﹣4）＝﹣10，||＝＝5，则向量在向量方向上的投影＝＝﹣2；故答案为：﹣2．14．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若4S＝a2﹣（b﹣c）2，且b+c＝4，则S的最大值为2．【解答】解：∵满足4S＝a2﹣（b﹣c）2，b+c＝4，∴4××bc sin A＝2bc﹣（b2+c2﹣a2）＝2bc﹣2bc cos A，化为sin A＝1﹣cos A，又∵sin2A+cos2A＝1，∴解得：sin A＝1，∴S＝bc sin A＝bc≤（）2＝2，当且仅当b＝c＝2时取等号．故答案为：2．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为直角三角形，面P AC为等边三角形，且面P AC⊥底面ABC，取BC中点G，则G为三角形ABC的外心，过G作平面ABC的垂线，取等边三角形P AC 的外心为H，过H作平面P AC的垂线，则两垂线交于点O，O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，OG＝＝，GC＝＝，∴OC＝，∴三棱锥外接球表面积为4π×＝．故答案为：．16．（5分）已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2（a＞0）交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则a＝2．【解答】解：联立方程组，消元得：ax2﹣2x﹣2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝．∴A（，），∵，即＝，即，∴AP⊥AQ．∴，即x1x2﹣（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+＝0，又y1y2＝a2x12x22＝4，y1+y2＝2（x1+x2）+4＝，∴+﹣2＝0，解得：a＝2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝5，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是数列{b n}的前n项和，若对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）根据题意，因为a3＝5，a1，a2，a5成等比数列，所以，解得a1＝1，d＝2，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1．（2）因为，所以，依题意，对任意正整数n，不等式，当n为奇数时，，即，所以；当n为偶数时，，即，所以；所以实数a的取值范围是．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝AB＝BC，∠ABC＝90°，D为AC的中点．（1）求证：AB⊥PD；（2）若∠PBC＝90°，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：取AB的中点为O，连接OD，OP，∵P A＝PB，∴AB⊥OP，∵OD∥BC，∠ABC＝90°，∴AB⊥OD，又OD∩OP＝O，∴AB⊥平面POD，从而AB⊥PD；（2）解：∵∠PBC＝90°，即PB⊥BC，∴BC⊥平面PBA，∴OD⊥平面PBA，∴OD⊥OP，以O为坐标原点，OB，OD，OP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设OB＝1，则，∴，设是平面PDB的一个法向量，则，即，不妨设z＝1，则，∴，同理可求得平面PDC的一个法向量为，∴，∵二面角B﹣PD﹣C是锐二面角，∴其余弦值为．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率．（1）六六月份这种冰激凌一天需求量X（单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y（单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n（单位：桶）为多少时，Y的数学期望取得最大值？【解答】解：（1）由已知得，X的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件A1，最高气温位于区间[20，25）为事件A2，最高气温不低于25为事件A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知，故六月份这种冰激凌一天的需求量X（单位：桶）的分布列为：（2）结合题意得当n≤200时，E（Y）＝2n≤400，当200＜n≤400时，，当400＜n≤600时，，当n＞600时，，所以当n＝400时，Y的数学期望E（Y）取得最大值640．20．（12分）如图，已知圆G：（x﹣2）2+y2＝是椭圆T：＝1（0＜b＜4）的内接△ABC的内切圆，其中A为椭圆T的左顶点，且GA⊥BC．（1）求椭圆T的标准方程；（2）过点M（0，1）作圆G的两条切线角椭圆于E，F两点，试判断直线EF与圆G的位置关系并说明理由．【解答】解：（1）设与圆G切于点D，BC交x轴于点H，连接DG，由，得，解得，又点，在椭圆上，故，解得b2＝1，故所求椭圆T的标准方程为．（2）设过点M（0，1）与圆相切的直线方程为y﹣1＝kx，则，即32k2+36k+5＝0，设MF，ME的斜率分别为k1，k2，则，将y﹣1＝kx，代入，得（16k2+1）x2+32kx＝0，解得或0，设F（x1，k1x1+1），E（x2，k2x2+1），则，于是直线EF的斜率为，从而直线EF的斜率为，将代入上式化简得，则圆心（2，0）到直线EF的距离，故直线EF与圆G相切．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y＝f（x）与直线x﹣y﹣1﹣＝0相切，求实数a的值；（2）若函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，证明．【解答】解：（1）由f（x）＝lnx﹣ax，得，设切点横坐标为x0，依题意得，解得，即实数a的值为1．（2）不妨设0＜x1＜x2，由，得lnx2﹣lnx1＝a（x2﹣x1），即，所以，令，则，设，则，即函数g（t）在（1，+∞）上递减，所以g（t）＞g（1）＝0，从而，即．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．曲线C的方程是ρ＝2sin（θ﹣），直线l 的参数方程为（t为参数，0≤a＜π），设P（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点．（1）当a＝0时，求|AB|的长度；（2）求|P A|2+|PB|2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C的方程是ρ＝2sin（θ﹣），化为，化为ρ2＝2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴x2+y2＝2y﹣2x，曲线C的方程为（x+1）2+（y﹣1）2＝2．当α＝0时，直线l：y＝2，代入曲线C可得x+1＝±1．解得x＝0或﹣2．∴|AB|＝2．（2）设t1，t2为相应参数值t2+（4cosα+2sinα）t+3＝0，△＞0，∴≤1，∴t1+t2＝﹣（4cosα+2sinα），t1t2＝3．∴|P A|2+|PB|2＝＝（4cosα+2sinα）2﹣6＝20sin2（α+φ）﹣6，∴|P A|2+|PB|2∈（6，14]．23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a ＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．第21页（共22页）【解答】解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）＝|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，＝∴，∴或，∴，∴实数a 的取值范围是．第22页（共22页）。
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)
2018年全国高考新课标2卷理科数学试题(解析版)2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标2卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知1+2i/(1-2i)，则结果为：A。
--iB。
-+iC。
--iD。
-+i解析：选D。
2.已知集合A={(x,y)|x+y≤3,x∈Z,y∈Z }，则A中元素的个数为：A。
9B。
8C。
5D。
4解析：选A。
问题为确定圆面内整点个数。
3.函数f(x)=2/x的图像大致为：A。
B。
C。
D。
解析：选B。
f(x)为奇函数，排除A。
当x>0时，f(x)>0，排除D。
取x=2，f(2)=1，故选B。
4.已知向量a，b满足|a|=1，a·b=-1，则a·(2a-b)=：A。
4B。
3C。
2D。
2-2xy解析：选B。
a·(2a-b)=2a-a·b=2+1=3.5.双曲线a^2(x^2)-b^2(y^2)=1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为：A。
y=±2xB。
y=±3xC。
y=±2x/abD。
y=±3x/ab解析：选A。
e=3，c=3ab=2a。
6.在ΔABC中，cosC=1/5，BC=1，AC=5，则AB=：A。
42B。
30C。
29D。
25解析：选A。
cosC=2cos^2(C/2)-1=-1/5，AB=AC+BC-2AB·BC·cosC=32，AB=42.7.为计算S=1-1/3+1/5-1/7+……+(-1)^n-1/(2n-1)，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入：开始N=0,T=1i=1是N=N+1/T=T+(-1)^N-1/(2N-1)i<100否S=N-T输出S结束A。
河南省洛阳市2018届高三第三次统一考试数学试题(理)含参考答案
洛阳市2017-2018学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（理）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则的子集个数为（ ）{|||2}A x Z x =∈≤2{|1}B y y x ==-A B A ．4 B ． 8 C ． 16 D ．322.已知复数（是虚数单位），则的共轭复数对应的点在（ ）534i z i=+i z z A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“”是“”的（ ）lg lg m n >11()(22m n <A ．充要条件 B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4.设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷个点，(1,1)X N ABCD 10000则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）注：若，则，.2(,)X N μσ ()0.6826P X μσμσ-<<+≈(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．B ． C. D ．60386587702875395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ）A ．升B ．升 C. 升 D ．升13317619925126.将函数的图像向平移个单位，得到函数的图像，则下列说法不正确的是（ ()cos(2)4f x x π=-8π()g x ）A ．B ．在区间上是增函数 1()62g π=()g x 57(,)88ππC.是图像的一条对称轴 D ．是图像的一个对称中心2x π=()g x (,0)8π-()g x 7.设双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与轴和双22221(0,0)x y a b a b -=>>1F 2F 1F 3πy 曲线的右支分别交于点、，若，则该双曲线的离心率为（ ）A B 11()2OA OB OF =+A ．2B D 28.在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若ABC △P 2BP PC = P AB AC M N ，，则的最小值为（ ）AM mAB = (0,0)AN nAC m n =>> 2m n +A ．3 B ．4 C. D ．831039.若，则的值为（ 2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++ ()x R ∈2017122017201820182018a a a +++ ）A ． B ．1 C. 0 D ．201720181-10.在三棱锥中，平面，，，，是边上的一P ABC -PA ⊥ABC 23BAC π∠=3AP =AB =Q BC 动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）PQ ABC 3πP ABC -A ． B ． C. D ．45π57π63π84π11.记数列的前项和为.已知，，则（ ）{}n a n n S 11a =1()2()n n n n S S a n N *+-=∈2018S =A ． B ． C. D ．10093(21)-10093(21)2-20183(21)-20183(21)2-12.已知函数与的图像有4个不同的交点，则实数的取值范围2()22ln x f x x e x=-()2ln g x e x mx =+m 是（ ）A ． B ． C. D ．(4,0)-1(,2)21(0,2(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出的值为 ．i 14.设，满足约束条件，则的最大值为 ．x y 1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩||3y z x =+15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为，，其中，直线与椭圆相切于第一象限的点1(,0)F c -2(,0)F c 40cos c xdx π=l ，且与，轴分别交于点，，设为坐标原点，当的面积最小时，，则P x y A B O AOB △1260F PF ∠=︒此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，内角，，的对边分别为，，且.ABC △A B C a b c sin ()sin sin b B c b C a A +-=（1）求角的大小；A（2）若，且的面积为.3sin sin 8B C =ABC △a 18. 如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面内的摄影恰好落ABCD AC ACD △D ABC 在边上.AB（1）求证：平面平面；ACD ⊥BCD （2）当时，求二面角的余弦值.2AB AD=D AC B --19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为，且甲、乙两位同学对每个题目23的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是，，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得m n 15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和的期望.X 20. 已知抛物线，点，在抛物线上，且横坐标分别为，，抛物线上的点在，2:C y x =-A B 12-32C P A之间（不包括点，点），过点作直线的垂线，垂足为.B A B B AP Q （1）求直线斜率的取值范围；AP k （2）求的最大值.|||PA PQ ⋅21. 已知函数，其中.2()(1)2x t f x x e x =--t R ∈（1）讨论函数的单调性；()f x （2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）.3t =1122()()2t f x x f x x x +-->-1x R ∈10x >请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直l sin(4πρθ+=O x 角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.1C 12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩ϕ（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；l 1C （2）若曲线为曲线关于直线的对称曲线，点，分别为曲线、曲线上的动点，点坐标2C 1C l A B 1C 2C P 为，求的最小值.(2,2)||||AP BP +23.选修4-5：不等式选讲已知函数，.()3|||31|f x x a x =-++g()|41||2|x x x =--+（1）求不等式的解集；()6g x <（2）若存在，，使得和互为相反数，求的取值范围.1x 2x R ∈1()f x 2()g x a试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15. 16.1123π+221159x y +=三、解答题17.（1）由，由正弦定理得，即，所以sin ()sin sin b B c b C a A +-=22()b c b c a +-=222b c bc a +-=，∴.2221cos 22b c a A bc +-==3A π=（2）由正弦定理，可得，，simA sin sin a b cBC ==sin sin a B b A =sin sin a C c A=所以.1sin 2ABC S bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A=⋅⋅2sin sin 2sin a B C A ==又，，解得.3sin sin 8B C =sin A =2=4a =18.（1）设点在平面上的射影为点，连接，则平面，∴.D ABC E DE DE ⊥ABC DE BC ⊥∵四边形是矩形，∴，∴平面，∴.又，所以ABCD AB BC ⊥BC ⊥ABD BC AD ⊥AD CD ⊥平面，而平面，∴平面平面.AD ⊥BCD AD ⊂ACD ACD ⊥BCD（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，B BC x AB y 如图所示.设，则，∴，.AD a =2AB a =(0,2,0)A a (,0,0)C a 由（1）知，又，∴，，AD BD ⊥2AB AD=30DBA ∠=︒60DAB ∠=︒∴，，，cos AE AD DAB =⋅∠12a =32BE AB AE a=-=sin DE AD DAB =⋅∠=∴，∴，.3(0,)2D a1(0,)2AD a =- (,2,0)AC a a =- 设平面的一个法向量为，ACD (,,)m x y z = 则，即，00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩10220ay ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩不妨取，则.1z=y=x =m = 而平面的一个法向量为，ABC (0,0,1)n = ∴.故二面角的余弦值为.cos ,m n ||||m n m n ⋅= =14=D AC B --1419.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率.12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()(33135C C C +⋅=（2）的所有取值有1，2，3.m ，，，故1242361(1)5C C P m C ===2142363(2)5C C P m C ===34361(3)5C P m C ===.131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=由题意可知，故.而，所以.2(3,)3n B 2()323E n =⨯=1510X m n =+()15()10()50E X E m E n =+=20.（1）由题可知，，设，，所以11(,24A --39(,)24B -2(,)p p P x x -1322p x -<<，故直线斜率的取值范围是.21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-AP k (1,1)-（2）直线，直线，联立直线，方程可知点的横11:24AP y kx k =+-93:042BQ x ky k ++-=AP BQ Q 坐标为，223422Q k k x k --=+||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+=，所以，令，1||2p PA x =+)k =-3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+3()(1)(1)f x x x =-+，则，当时，当11x -<<2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+112x -<<-'()0f x >时，故在上单调递增，在上单调递减.112x -<<'()0f x <()f x 1(1,)2--1(,1)2-故，即的最大值为.max 127()(216f x f =-=||||PA PQ ⋅271621.（1）由于.'()()x x f x xe tx x e t =-=-1）当时，，当时，，递增，0t ≤0x e t ->0x >'()0f x >()f x 当时，，递减；0x <'()0f x <()f x 2）当时，由得或.0t >'()0f x =0x =ln x t =①当时，，当时，，递增，01t <<ln 0t <0x >'()0f x >()f x 当时，，递减，ln 0t x <<'()0f x <()f x 当时，，递增；ln x t <'()0f x >()f x ②当时，，递增；1t ='()0f x >()f x ③当时，.1t >ln 0t >当时，，递增，ln x t >'()0f x >()f x 当时，，递减，0ln x t <<'()0f x <()f x 当时，，递增.0x <'()0f x >()f x 综上，当时，在上是减函数，在上是增函数；0t ≤()f x (,0)-∞(0,)+∞当时，在，上是增函数，在上是减函数；01t <<()f x (,ln )t -∞(0,)+∞(ln ,0)t 当时，在上是增函数；1t =()f x (,)-∞+∞当时，在，上是增函数，在上是减函数.1t >()f x (,0)-∞(ln ,)t +∞(0,ln )t （2）依题意，1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+1212()()f x x x x ⇔+++恒成立.1212()()f x x x x >-+-设，则上式等价于，()()g x f x x =+1212()()g x x g x x +>-要证明对任意，恒成立，1212()()g x x g x x +>-1x R ∈2(0,)x ∈+∞即证明在上单调递增，又，23()(1)2x g x x e x x =--+R '()31x g x xe x =-+只需证明即可.令，则，310x xe x -+≥()1x h x e x =--'()1xh x e =-当时，，当时，，0x <'()0h x <0x >'()0h x >∴，即，，那么，当时，，所以min ()(0)0h x h ==x R ∀∈1x e x ≥+0x ≥2x xe x x ≥+31x xe x -+≥；当时，，，2221(1)0x x x -+=-≥0x <1x e <31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>∴恒成立.从而原不等式成立.310x xe x -+≥22.解：（1）∵，sin(4πρθ+=sin cos θρθ+=即，∴直线的直角坐标方程为；cos sin 4ρθρθ+=l 40x y +-=∵，∴曲线的普通方程为.12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩1C 22(1)(2)4x y +++=（2）∵点在直线上，根据对称性，的最小值与的最小值相等.P 4x y +=||AP ||BP 曲线是以为圆心，半径的圆.1C (1,2)--2r =∴.所以的最小值为.min 1||||AP PC r =-23=-=||||AP BP +236⨯=23.解：（1）∵，()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当时，解得，此时无解.2x ≤-336x -+<1x >-当时，，解得，即.124x -<≤516x --<75x >-7154x -<≤当时，，解得，即，综上，的解集为.14x <336x -<3x <134x <<()6g x <7{|3}5x x -<<（2）因为存在，，使得成立.所以1x 2x R ∈12()()f x g x =-{|(),}y y f x x R =∈.{|(),}y y g x x R =-∈≠∅ 又，()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+由（1）可知，则.9()[,)4g x ∈-+∞9()(,]4g x -∈-∞所以，解得.9|31|4a +≤1351212a -≤≤故的取值范围为. a 135[,]1212-。
2018届河南省洛阳市高三第二次统一考试理科综合试题及答案 (2)
2017——2018学年高中三年级第二次统一考试理科综合试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
其中第Ⅱ卷33～40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共126分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科自填写在答题卷上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卷上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题巷上无效。
3．非选择题用0．5毫米黑色墨水签字笔直接写在答题卷上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4．考试结束后，请将答题卷上交。
可能用到相对原子质量：H－1 Li－7 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24Ca－40 Cr－52 Cu－64 Au－197一、选择题（每小题给出的4个选项中只有一个选项符合题意，共13小题，每小题6分。
）1．有关人体成熟红细胞的叙述中，正确的是A．细胞中无染色体，只进行无丝分裂 B．细胞中无线粒体，只进行被动运输C．细胞中有血红蛋白，只运输却不消耗氧 D．细胞中无遗传物质，只转录却不复制2．下列生命系统的活动中，不是单向进行的是A．植物细胞发生质壁分离过程中，水分子的运动B．蛋白质合成过程中，核糖体在mRNA上的移动C．食物链和食物网中，能量和物质的流动 D．两个神经元之间，兴奋的传递3．用32p标记了果蝇精原绍胞DNA分子的双链，再将这些细胞置于只含31p的培养液中培养，发生了如下图A→D和D→H的两个细胞分裂过程。
相关叙述正确的是A．BC段细胞中一定有2条Y染色体 B．EF段细胞中可能有2条Y染色体C．EF段细胞中含32p的染色体一定有8条D．FG段细胞中含32p的染色体可能有8条4．Ⅰ型糖尿病可能因人的第六号染色体短臂上的HLA—D基因损伤引起。
该损伤基因的表达使胰岛B细胞表面出现异常的HLA－D抗原，T淋巴细胞被其刺激并激活，最终攻击并使胰岛B 细胞裂解死亡。
2018年河南省洛阳市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=lnx}，B={x|x+1x−3≤0}，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（0，3]C．（﹣1，0）D．（3，+∞）【解答】解：由A＝{x|y＝lnx}＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1≤x＜3}则A∩B＝{x|0＜x＜3}，故选：A．2．（5分）若复数z满足为i(z+3)=3−i(i虚数单位），则|z|＝（）A．√13B．3C．4D．5【解答】解：∵i(z+3)=3−i(i虚数单位），∴z+3=3−ii=−i(3−i)−i⋅i=−1﹣3i，∴z=−4﹣3i，∴z＝﹣4+3i．则|z|=√(−4)2+32=5．故选：D．3．（5分）在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：1°由题意，在△ABC中，“A＞B”，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A若A，B都是锐角，显然有“sin A＞sin B”成立，若A，B之一为锐角，必是B为锐角，此时有π﹣A不是钝角，由于A+B＜π，必有B＜π﹣A≤π2，此时有sin（π﹣A）＝sin A＞sin B综上，△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充分条件2°研究sin A＞sin B，若A不是锐角，显然可得出A＞B，若A是锐角，亦可得出A＞B，综上在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的必要条件综合1°，2°知，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”成立的充要条件，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列四个命题中不正确的是（）A．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥nC．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥n【解答】解：A选项中的命题是正确的，分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直，故不是正确选项；B选项中的命题是错误的，因为m∥α，n⊥β且α⊥β成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故是正确选项；C选项中的命题是正确的，因为m⊥α，α∥β可得出m⊥β，再由n∥β可得出m⊥n，故不是正确选项；D选项中的命题是正确的因为n⊥β且α∥β，可得出n⊥α，再由m⊥α，可得出m∥n故不是正确选项．故选：B．5．（5分）在（1+x）2（1﹣x）5展开式中，含x5项的系数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5【解答】解：（1+x）2（1﹣x）5＝（1+2x+x2）（1﹣5x+10x2﹣10x3+5x4﹣x5），∴展开式中含x5项为﹣x5+2x•5x4+x2•（﹣10x3）＝﹣x5；∴含x5项的系数是﹣1．故选：B．6．（5分）数学家发现的“3x+1猜想”是指：任取一个自然数，如果它是偶数，我们就把除以2，如果它是奇数，我们就是它乘以3在加上1，在这样一个变换下，我们就得到一个新的自然数，如果反复使用这个变换，我们就会得到一串自然数，猜想就是：反复进行上述运算后，最后结果为1，现根据此猜想设计一个程序框图如图所示，执行该程序框图输入的n＝20，则输出的结果为（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得n＝20，i＝1不满足条件n是奇数，n＝10，i＝2不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝5，i＝3不满足条件n＝1，执行循环体，满足条件n是奇数，n＝16，i＝4不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝8，i＝5不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝4，i＝6不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝2，i＝7不满足条件n＝1，执行循环体，不满足条件n是奇数，n＝1，i＝8满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为8．故选：C．7．（5分）若x，y满足约束条件{x−2y+1≤03x−y+3≥02x+y−3≤0，则z=2x+y+2x+2的最小值于最大值的和为（）A．−32B．−12C．32D．52【解答】解：由约束条件x ，y 满足约束条件{x −2y +1≤03x −y +3≥02x +y −3≤0，则作可行域如图，∵z =2x+y+2x+2=2x+4+y−2x+2=2+y−2x+2， 即z ﹣2=y−2x+2，其几何意义是可行域内的动点 与定点P （﹣2，2）连线斜率，由图可知，当可行域内的动点为A 时，k P A 最大，z ＝2+3−20+2=52， 当可行域内的动点为B 时，k PB 最小，z ＝2+0−2−1+2=0， ∴z =2x+y+2x+2的最小值与最大值的和为52+0=52， 故选：D ．8．（5分）如果一个三位数的各位数字互不相同，且各数字之和等于10，则称此三位数为“十全十美三位数”（如235），任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为（ ） A ．1320B ．720C ．12D ．512【解答】解：任取一个“十全十美三位数”，包含的基本事件有：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631， 145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532， 307，370，703，730，406，460，604，640，共40个， 其中奇数有20个，∴任取一个“十全十美三位数”，该数为奇数的概率为p=2040=12．故选：C．9．（5分）设函数f(x)=2017x+sinx2018+2019x−12019x+1，已知正实数a，b满足f（2a）+f（b﹣4）＝0，则1a +2b的最小值为（）A．1B．2C．2√2D．4【解答】解：根据题意，f(x)=2017x+sinx2018+2019x−12019x+1，则f（﹣x）＝2017（﹣x）+sin（−x2018）+2019−x−12019−x+1＝﹣（2017x+sinx2018+2019x−12019x+1=−f（x），则函数f（x）为奇函数；f(x)=2017x+sin x2018+2019x−1x=2017x+sinx2018−22019x+1+1，则f′（x）＝2017+12018cosx2018+2ln2019×2019x(2019+1)＞0，函数f（x）为增函数，若f（2a）+f（b﹣4）＝0，则f（2a）＝﹣f（b﹣4）＝f（4﹣b），则有2a＝4﹣b，即2a+b ＝4，则1a +2b=2a+b4（1a+2b）=14（4+ba+4a b）＝1+14（ba+4ab）≥1+14×2×√b a×4a b=2，当且仅当b＝2a时等号成立；故选：B．10．（5分）若锐角φ满足sinφ−cosφ=√22，则函数f（x）＝cos2（x+φ）的单调增区间为（）A．[2kπ−5π12，2kπ+π12]，(k∈Z)B．[kπ−5π12，kπ+π12]，(k∈Z)C．[2kπ+π12，2kπ+7π12]，(k∈Z)D．[kπ+π12，kπ+7π12]，(k∈Z)【解答】解：锐角φ满足sinφ−cosφ=√2 2，∴1﹣2sinφcosφ=1 2，∴sin2φ=1 2；又sin φ＞√22，∴2φ=5π6， 解得φ=5π12； ∴函数f （x ）＝cos 2（x +φ） =1+cos(2x+2φ)2 =12+12cos （2x +5π6）， ∴2k π﹣π≤2x +5π6≤2k π，k ∈Z ； 解得k π−11π12≤x ≤k π−5π12，k ∈Z ；∴f （x ）的单调增区间为[k π−11π12，k π−5π12]（k ∈Z ）， 即[k π+π12，k π+7π12]，k ∈Z ． 故选：D ．11．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，以F 1F 2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ，线段MF 1与双曲线的左支交于点N ，若点N 恰好平分线MF 1，则双曲线离心率为（ ） A ．√13B ．√11C ．√7D ．√5【解答】解：如图所示：∵F 1F 2为直径为圆与双曲线右支上的一个交点为M ， ∴MF 1⊥MF 2，∵点N 恰好平分线MF 1， ∴|NF 1|=12|MF 1|，设|MF 1|＝2m ，则|MF 2|＝2m ﹣2a ， ∴|NF 2|＝m +2a ，在Rt △NMF 2中，|NF 2|2＝|MN |2+|MF 2|2， ∴（m +2a ）2＝m 2+（2m ﹣2a ）2， 整理解得m ＝3a ， ∴|MF 2|＝2m ﹣2a ＝4a ，在Rt △F 1MF 2中，|F 1F 2|2＝|MF 1|2+|MF 2|2，∴4c2＝（6a）2+（4a）2＝52a2，即c=√13a，∴e=ca=√13故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣1，g(x)=12+ln x2，若f（a）＝g（b）成立，则b﹣a的最小值为（）A．ln2−12B．ln2+12C．1+ln2D．1﹣ln2【解答】解：设y＝e a﹣1，则a＝1+lny，y=12+lnb2，则b＝2e y−1 2，则b﹣a＝2e y−12−lny﹣1，则（b﹣a）′＝2e y−12−1y，∴（b﹣a）′递增，∴y=12时，（b﹣a）′＝0，∴（b﹣a）′有唯一零点，∴y =12时，b ﹣a 取最小值， 2ey−12−lny ﹣1＝1+ln 2，故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若a →=(2，4)，b →=(3，−4)，则向量a →在向量b →方向上的投影为 ﹣2 ． 【解答】解：根据题意，a →=(2，4)，b →=(3，−4)， 则a →•b →=2×3+4×（﹣4）＝﹣10， |b →|=√32+(−4)2=5，则向量a →在向量b →方向上的投影a →⋅b →|b →|=−105=−2；故答案为：﹣2．14．（5分）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若4S ＝a 2﹣（b ﹣c ）2，且b +c ＝4，则S 的最大值为 2 ． 【解答】解：∵满足4S ＝a 2﹣（b ﹣c ）2，b +c ＝4， ∴4×12×bc sin A ＝2bc ﹣（b 2+c 2﹣a 2）＝2bc ﹣2bc cos A ， 化为sin A ＝1﹣cos A ， 又∵sin 2A +cos 2A ＝1， ∴解得：sin A ＝1， ∴S =12bc sin A =12bc ≤12（ b+c 2）2＝2，当且仅当b ＝c ＝2时取等号．故答案为：2．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为100π3．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面三角形ABC 为直角三角形，面P AC 为等边三角形，且面P AC ⊥底面ABC ，取BC 中点G ，则G 为三角形ABC 的外心，过G 作平面ABC 的垂线，取等边三角形P AC 的外心为H ，过H 作平面P AC 的垂线，则两垂线交于点O ，O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心， OG =12PH =2√33，GC =12BC =√7， ∴OC =(2√33)2+(√7)2=5√33， ∴三棱锥外接球表面积为4π×(5√33)2=100π3． 故答案为：100π3．16．（5分）已知直线y ＝2x +2与抛物线y ＝ax 2（a ＞0）交于P ，Q 两点，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线，交抛物线于点A ，若|AP →+AQ →|=|AP →−AQ →|，则a ＝ 2 ． 【解答】解：联立方程组{y =2x +2y =ax2，消元得：ax 2﹣2x ﹣2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=−2a． ∴A （1a，1a ），∵|AP →+AQ →|=|AP →−AQ →|，即AP →2+AQ →2+2AP →⋅AQ →=AP →2+AQ →2−2AP →⋅AQ →， 即AP →⋅AQ →=0， ∴AP ⊥AQ ．∴y 1−1ax 1−1a⋅y 2−1a x 2−1a=−1，即x 1x 2−1a （x 1+x 2）+y 1y 2−1a （y 1+y 2）+2a 2=0， 又y 1y 2＝a 2x 12x 22＝4，y 1+y 2＝2（x 1+x 2）+4=4a+4， ∴2a +3a−2＝0，解得：a ＝2． 故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n 2+4n−2，S n 是数列{b n }的前n 项和，若对任意正整数n ，不等式2S n +(−1)n+1⋅a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解（1）根据题意，因为a 3＝5，a 1，a 2，a 5成等比数列，所以{a 1+2d =5(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)，解得a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ﹣1． （2）因为b n =1n 2=1(2n−1)2+4n−2=12=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 所以S n =b 1+b 2+⋯+b n =12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)， 依题意，对任意正整数n ，不等式1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，当n 为奇数时，1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，即a ＞−1+12n+1，所以a ＞−23；当n 为偶数时，1−12n+1+(−1)n+1a ＞0，即a ＞1−12n+1，所以a ＜45； 所以实数a 的取值范围是(−23，45)．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，D 为AC 的中点．（1）求证：AB ⊥PD ；（2）若∠PBC ＝90°，求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取AB 的中点为O ，连接OD ，OP ， ∵P A ＝PB ，∴AB ⊥OP ， ∵OD ∥BC ，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥OD ，又OD ∩OP ＝O ， ∴AB ⊥平面POD ， 从而AB ⊥PD ；（2）解：∵∠PBC ＝90°，即PB ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PBA ，∴OD ⊥平面PBA ，∴OD ⊥OP ，以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 设OB ＝1，则B(1，0，0)，P(0，0，√3)，D(0，1，0)，C(1，2，0)， ∴BD →=(−1，1，0)，PD →=(0，1，−√3)，DC →=(1，1，0)，设m →=(x ，y ，z)是平面PDB 的一个法向量，则{m →⋅BD →=0m →⋅PD →=0，即{−x +y =0y −√3z =0， 不妨设z ＝1，则x =y =√3，∴m →=(√3，−√3，−1)， 同理可求得平面PDC 的一个法向量为n →=(√3，−√3，−1)，∴cos〈m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−17，∵二面角B ﹣PD ﹣C 是锐二面角，∴其余弦值为17．19．（12分）某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本每桶5元，售价每桶7元，未售出的冰激凌以每桶3元的价格当天全部成立完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C ）有关．如果最高气温不低于25，需求量600桶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为400桶，如果最高气温低于20，需求量为200桶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 （10，15） （15，20） （20，25） （25，30） （30，35） （35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频数代替最高气温位于该区间的概率． （1）六六月份这种冰激凌一天需求量X （单位：桶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为Y （单位：元），当六月份这种冰激凌一天的进货量n （单位：桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？【解答】解：（1）由已知得，X 的可能取值为200，400，600，记六月份最高气温低于20为事件A 1，最高气温位于区间[20，25）为事件A 2，最高气温不低于25为事件A 3， 根据题意，结合频数分布表，用频率估计概率，可知P(X =200)=P(A 1)=1890=15，P(X =400)=P(A 2)=3690=25，P(X =600)=P(A 3)=3690=25，故六月份这种冰激凌一天的需求量X （单位：桶）的分布列为：X 200 400 600 P152525（2）结合题意得当n ≤200时，E （Y ）＝2n ≤400， 当200＜n ≤400时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+45×n ×2=65n +160∈(400，640]，当400＜n ≤600时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+25×[400×2+(n −400)×(−2)]+25×n ×2=−25n +800∈[560，640)， 当n ＞600时，E(Y)=15×[200×2+(n −200)×(−2)]+25×[400×2+(n −400)×(−2)]+25×[600×2+(n −600)×(−2)]=1760−2n ＜560， 所以当n ＝400时，Y 的数学期望E （Y ）取得最大值640．20．（12分）如图，已知圆G ：（x ﹣2）2+y 2=49是椭圆T ：x 216+y 2b2=1（0＜b ＜4）的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆T 的左顶点，且GA ⊥BC ． （1）求椭圆T 的标准方程；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，试判断直线EF 与圆G 的位置关系并说明理由．【解答】解：（1）设B(83，y 0)，y 0＞0，AB 与圆G 切于点D ，BC 交x 轴于点H ，连接DG ，由DG AG=HB AB，得236=0√9+y 0，解得y 02=59，又点B(83，y 0)，在椭圆上，故64916+y 02b2=49+59b 2=1，解得b 2＝1，故所求椭圆T 的标准方程为x 216+y 2=1．（2）设过点M （0，1）与圆(x −2)2+y 2=49相切的直线方程为y ﹣1＝kx ， 则23=√1+k2，即32k 2+36k +5＝0， 设MF ，ME 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=−98，k 1k 2=532， 将y ﹣1＝kx ，代入x 216+y 2=1，得（16k 2+1）x 2+32kx ＝0，解得x =−32k 16k 2+1或0，设F （x 1，k 1x 1+1），E （x 2，k 2x 2+1），则x 1=−32k 116k 12+1，x 2=−32k 216k 22+1，于是直线EF 的斜率为k EF =k 2x 2−k 1x 1x 2−x 1=k 2+k 11−16k 1k 2=34，从而直线EF 的斜率为y +32k 1216k 12+1−1=34(x +32k 116k 12+1)，将32k 12=−36k 1−5代入上式化简得y =34x −73，则圆心（2，0）到直线EF 的距离d =|32−73|√1+916=23，故直线EF 与圆G 相切．21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax （a ∈R ）．（1）若曲线y ＝f （x ）与直线x ﹣y ﹣1﹣ln 2＝0相切，求实数a 的值； （2）若函数y ＝f （x ）有两个零点x 1，x 2，证明1lnx 1+1lnx 2＞2．【解答】解：（1）由f （x ）＝lnx ﹣ax ，得f′(x)=1x −a ，设切点横坐标为x 0，依题意得{1x 0−a =1x 0−1−ln2=lnx 0−ax 0，解得{x 0=12a =1，即实数a 的值为1．（2）不妨设0＜x 1＜x 2，由{lnx 1−ax 1=0lnx 2−ax 2=0，得lnx 2﹣lnx 1＝a （x 2﹣x 1），即1a=x 2−x 1lnx 2−lnx 1，所以1lnx 2+1lnx 1−2=1ax 1+1ax 2−2=x 2−x 1lnx 2−lnx 1(1x 1+1x 2)−2=x 2x 1−x 1x 2−2ln x 2x 1ln x 2x 1， 令t =x2x 1＞1，则ln x2x 1＞0，x2x 1−x1x 2−2ln x2x 1=t −1t −2lnt ，设g(t)=t −1t −2lnt ，则g′(t)=t 2−2t+1t 2＞0，即函数g （t ）在（1，+∞）上递减， 所以g （t ）＞g （1）＝0，从而x 2x 1−x 1x 2−2ln x 2x 1ln x 2x 1＞0，即1lnx 2+1lnx 1＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的方程是ρ=2√2sin(θ−π4)，直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =2+tsinα（t 为参数，0≤α＜π），设P （1，2），直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． （1）当α＝0时，求|AB |的长度； （2）求|P A |2+|PB |2的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 的方程是ρ＝2√2sin （θ−π4），化为ρ2=2√2ρ(√22sinθ−√22cosθ)， 化为ρ2＝2ρsin θ﹣2ρcos θ， ∴x 2+y 2＝2y ﹣2x ，曲线C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝2． 当α＝0时，直线l ：y ＝2，代入曲线C 可得x +1＝±1．解得x ＝0或﹣2． ∴|AB |＝2．（2）设t 1，t 2为相应参数值t 2+（4cos α+2sin α）t +3＝0，△＞0， ∴35＜sin 2(α+φ)≤1，∴t 1+t 2＝﹣（4cos α+2sin α），t 1t 2＝3．∴|P A |2+|PB |2=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=（4cos α+2sin α）2﹣6＝20sin 2（α+φ）﹣6，∴|P A |2+|PB |2∈（6，14]．23．已知函数f(x)=|x −a|+12a (a ≠0)（1）若不等式f （x ）﹣f （x +m ）≤1恒成立，求实数m 的最大值；（2）当a ＜12时，函数g （x ）＝f （x ）+|2x ﹣1|有零点，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）∵f(x)=|x −a|+12a ，∴f(x +m)=|x +m −a|+12a ， ∴f （x ）﹣f （x +m ）＝|x ﹣a |﹣|x +m ﹣a |≤|m |， ∴|m |≤1，∴﹣1≤m ≤1，∴实数m 的最大值为1； （2）当a ＜12时，g(x)=f(x)+|2x −1|=|x −a|+|2x −1|+12a ={−3x +a +12a +1，x ＜a −x −a +12a +1，a ≤x ≤123x −a +12a−1，x ＞12∴g （x ）在（﹣∞，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增．∴g(x)min =g(12)=12−a +12a =−2a 2+a+12a≤0， ∴{0＜a ＜12−2a 2+a +1≤0或{a ＜0−2a 2+a +1≥0，∴−12≤a ＜0，∴实数a 的取值范围是[−12，0)．。
2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(1、2、3卷)参考答案
2502018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CBABD ABDCA BA第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分）13．6 14．63- 15．16 16．2-三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，∴sin =5ADB ∠.由题设知，90ADB ∠<︒，∴cos ADB ∠==.（2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=. 在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC=+-⋅∠25825255=+-⨯⨯=.∴5BC =.18．（本小题满分12分） 解：（1）由已知可得，BF ⊥PF ，BF ⊥EF ，∴BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ， ∴平面PEF ⊥平面ABFD . （2）作PH ⊥EF ，垂足为H . 由（1）得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF 的方向为y 轴正方向，BF 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H −xyz .由（1）可得，DE ⊥PE .又DP =2，DE =1，∴PE.又PF =1，EF =2，∴PE ⊥PF .可得3,22PH EH ==，且3(0,0,0),(0,0,1,,0)22H P D -，3(1,22DP =．3(0,0,)2HP =为平面ABFD 的法向量．设DP 与平面ABFD 所成角为θ，则3sin 4HP DP HP DPθ⋅==⋅. ∴DP 与平面ABFD所成角的正弦值为4． 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1. 由已知可得，点A的坐标为(1,)2或(1,2-． ∴AM 的方程为20x -=或20x --=．（2）当l 与x 轴重合时， 0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，∴OMA OMB ∠=∠．251当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)A x y ，22(,)B x y，则12x x MA ，MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--． 由1122,y kx k y kx k =-=-得 []()()12121223()422MA MB k x x x x k k x x -+++=--．将(1)(0)y k x k =-≠代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=． ∴22121222422=,2121k k x x x x k k -+=++，∴[]121223()4k x x x x -++3332441284021k k k k k k --++==+． 从而0MA MB k k +=，∴MA ，MB 的倾斜角互补， ∴OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠． 20．（本小题满分12分） 解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()(1)f p C p p =-，且 21821720()[2(1)18(1)]f p C p p p p '=---217202(110)(1)C p p p =--．令()0f p '=，得0.1p =． 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>； 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<． ∴()f p 的最大值点为0.1p =． （2）由（1）知，0.1p =．（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)Y B ，202254025X Y Y =⨯+=+．∴(4025)4025490EX E Y EY =+=+=．（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于400EX >，∴应该对余下的产品作检验． 21．（本小题满分12分）解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，且22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-．（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2,1a x ==时，()0f x '=， ∴()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，2a x -=或2a x +=.当2a a x ⎛⎛⎫+∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当x∈⎝⎭时，()0f x '>. ∴()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增．（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点时，当且仅当2a >．由于()f x 的两个极值点12,x x 满足21=0x a x -+，∴121x x =，不妨设12x x <，则21x >． 1212()()f x f x x x --121212ln ln 11x x a x x x x -=--+-1212ln ln 2x x a x x -=-+-2522222ln 21x ax x -=-+-，∴1212()()2f x f x a x x -<--等价于 22212ln 0x x x -+<． 设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)=0g ，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <． ∴22212ln 0x x x -+<，即 1212()()2f x f x a x x -<--．（二）选考题：22. （本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]解:（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，解得43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为423y x =-+．23．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即2(1),()2(11),2(1).x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩∴不等式()1f x >的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭． （2）当(0,1)x ∈时11x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时1ax -<1成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时1ax -≥1； 若a >0，1ax -<1的解集为20x a<<，∴21a≥，∴02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．2532018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 DABBA ABCCA CD第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．2y x = 14．9 15．12-16．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（本小题满分12分）解：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．∴{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．∴当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18．（本小题满分12分）解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+17.5×9=256.5（亿元）．（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：（i ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y =–30.4+13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为为(1)(0)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2(1),4y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． ∴ 216160k ∆=+>，212224=k x x k++． ∴AB AF BF =+212244(1)(+1)=k x x k +=++．由题设知2244=8k k+，解得k =–1（舍去），k =1．∴l 的方程为y =x –1．（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），∴AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+． 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005,(1)(1)16,2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩ 解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩∴所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 20．（本小题满分12分） 解：（1）∵4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥，且OP =254连结OB .因为2AB BC AC ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，且OB AC ⊥，122OB AC ==．由222OP OB PB +=知OP OB ⊥． 由OP OB ⊥，OP AC ⊥知 OP ⊥平面ABC ．（2）如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．由已知得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O B A -，(0,2,0)C，(0,0,P ，(0,2,AP =．取平面P AC 的法向量(2,0,0)OB =． 设(,2,0)(02)M a a a -<≤，则(,4,0)AM a a =-．设平面P AM 的法向量为(,,)x y z m =．由0,0,AP AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m即20,(4)0y ax a y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩得,).y a x z a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩可取),,)a a -m =．所以cos OB <>=m,由已知得cos 2OB <>=m,．=． 解得4a =或4a=-（舍去）.∴4(,)333-m =．又∵(0,2,PC =-，∴3cos PC <>=m, ∴PC 与平面P AM 所成角的正弦值为4． 21．（本小题满分12分）解：（1）当a =1时，()1f x ≥等价于2(1)10x x e -+-≤．设函数2()(1)1xg x x e-=+-，则22()(21)(1)x x g x x x e x e --'=--+=--． 当1x ≠时，()0g x '<， ∴()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，∴当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．（2）设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当a >0时，()(2)x h x ax x e -'=-．当(0,2)x ∈时，()0h x '<；当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>．∴()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．∴2(2)14h ae -=-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即214a e <，()h x 在255(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即214a e =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即214a e >，由于(0)1h =，∴()h x 在(0,2)内有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2x e x >，∴334221616(4)11()a a a a h a e e =-=-34161110(2)a a a>-=->．∴()h x 在(2,4)a 内有一个零点， ∴()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，214a e =．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）[选修4－4：坐标系与参数方程] 解：（1）曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为 (tan )2tan y x αα=+-． 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为x =1． （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos t αα+++ sin )80t α-=．①∵曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，∴方程①有两个解12,t t ，且1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+． 由参数t 的几何意义得120t t +=．∴2cos sin 0αα+=，于是直线的斜率tan 2k α==-． 22．（本小题满分10分） [选修4—5：不等式选讲] 解：（1）当a =1时，24(1),()2(12),26(2).x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩当1x ≤-时，由()240f x x =+≥得2x ≥-，即21x -≤≤-；当12x -<≤时，()20f x =>； 当2x >时，由()260f x x =-+≥得 3x ≤，即23x <≤． 综上可得()0f x ≥的解集为[]2,3-． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥． 而22x a x a ++-≥+，且当x=2时等号成立．∴()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥． ∴a 的取值范围是(][),62,-∞-+∞．2562018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅲ）理科数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（共60分） 1-12 CDABC ADBCB CB第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题（共20分） 13．1214．3- 15．3 16．2 （一）必考题：共60分. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．C解：∵{}[)101,A x x =-≥=+∞，{}012B =，，， ∴ {}1,2AB =，∴选C ．2．D解：∵()()212223i i i i i i +-=-+-=+， ∴选D ． 3．A解：选A ． 4．B解：由已知条件，得2217cos 212sin 1239αα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，∴选B ．5．C解：由已知条件，得 251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1034r -=，解得2r =， x 4的系数为22552240rr C C ==， ∴选C ．6．A解：由已知条件，得(2,0),(0,2)A B --，∴||AB == 圆22(2)2x y -+=的圆心为(2,0)，∴圆心到直线20x y ++=的距离为= ∴点P 到直线20x y ++=的距离的取值范围为d ≤≤+d ≤≤，∴1||[2,6]2ABP S AB d ∆=⋅∈.∴选A ． 7．D解：令0x =，得2y =，∴A,B 不能选. 令321424()02y x x x x '=-+=-->，得2x <-或02x <<，即函数在0⎛ ⎝⎭内单调递增， ∴选D ． 8．B解：由已知条件知，X ～B (10,p )，且 10p (1－p )=2.4，解得p =0.6或p =0.4． 又由P （X=4）< P （X=6）得，即4466641010(1)(1)C p p C p p -<-，0.5p >，∴p =0.6． ∴选B ． 9．C解：由已知条件，得2222cos 44ABC a b c ab CS ∆+-==cos 1sin 22ab C ab C ==，即tan 1C =，∴4C π=．∴选C ． 10．B解：如图，ABC ∆为等边三角形，点O 为,,,A B C D 外接球的球心，E 为ABC ∆的重心，点F 为边BC 的中点.当点D 在EO 的延长上，即DE ⊥面ABC 时，三棱锥D ABC -体积取得最大值．V =，5分，．1=2，x，且196π．257258当366x πππ≤+≤时有1个零点，3,629x x πππ+==；当326x πππ<+≤时有1个零点，343,629x x πππ+==； 当192366x πππ<+≤时有1个零点，573=,629x x πππ+=． ∴零点个数为3，∴填3． 16．2解：由已知条件知，抛物线C 的焦点为(1,0)F ． 设22121212(,),(,)()44y yA yB y y y ≠，则由A ,F ,B 三点共线，得221221(1)(1)44y y y y -=-，∴12=4y y -． ∵∠AMB =90º，∴221212(1,1)(1,1)44y y MA MB y y ⋅=+-⋅+-，221212(1)(1)(1)(1)44y y y y =+++-⋅-2121(2)04y y =+-=， ∴12=2y y +．∴212221124244y y k y y y y -===+-，∴填2． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17─21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（本小题满分12分） 解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则由534a a =，得2534a q a ==，解得2q =±. ∴12n n a -=或1(2)n n a -=-.（2）由（1）知，122112nn n S -==--或1(2)1[1(2)]123n n n S +-==--+，∴2163mm S =-=或1[1(2)]633m m S =--=（舍）， ∴6m =.18．（本小题满分12分） 解：（1）第一种生产方式的平均数为184X =，第二种生产方式平均数为274.7X =，∴12X X >，∴第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，即第二种生产方式的效率更高. （2）由茎叶图数据得到中位数80m =，∴列联表为（3）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()24015155510 6.63520202020⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19．（本小题满分12分） 解：（1）由已知条件知，在正方形ABCD 中，AD CD ⊥.∵正方形ABCD ⊥半圆面CMD ，平面ABCD 半圆面CMD CD =， ∴AD ⊥半圆面CMD .∵CM 在平面CMD 内，∴AD CM ⊥，即CM AD ⊥.259OM (0,0,1)(0,-1,0)0)又∵M 是CD 上异于C ，D 的点， ∴CM MD ⊥.又∵AD DM D =， ∴CM ⊥平面AMD ， ∵CM 在平面BMC 内，∴平面AMD ⊥平面（2）由条件知，2ABC S ∆=是常数， ∴当点M 到平面ABCD 的距离.最大，即点M 为弧CD 的中点时，三棱锥M – ABC 体积最大.如图，以CD 中点O 为原点，过点O 且平行于AD 的直线为x 轴，OC ，OM 所在直线为y ,Z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ,则由已知条件知，相关点的坐标为 A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1) ，且(0,2,0)AB =，(2,1,1)MA =--.由（1）知，平面MCD 的法向量为(1,0,0)=m .令平面MXB 的法向量为(,,)x y z =n ，则(,,)(0,2,0)=20,(,,)(2,1,1)20AB x y z y MA x y z x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅--=--=⎪⎩，n n 即0,2y z x ==， ∴取(1,0,2)=n.∴cos ,⋅<>==⋅m nm n m n ，∴sin ,5<>=m n ，即面MAB 与MCD 所成二面角的正弦值.为5.20．（本小题满分12分）解：（1）设直线l 的方程为y kx t =+，则由22,143y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(43)84120k x ktx t +++-=，①由22226416(43)(3)0k t k t ∆=-+->，得2243t k <+．②设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,x x 是方程①的两个根，且122843ktx x k -+=+，121226()243ty y k x x t k +=++=+． ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴1228243ktx x k -+==+，121226()2243ty y k x x t m k +=++==+． ∵0m >，∴0t >，0k <，且2434k t k+=-.③由②③得22243434k k k ⎛⎫+-<+ ⎪⎝⎭，解得12k >或12k <-.∵0k <，∴12k <-.（2）∵点()()10M m m >，是线段AB 的中点，且FP FA FB ++=0，∴2FP FM +=0，即2FP FM =-.④ 由已知条件知，()()10M m m >，，()10F ，.令(,)P x y ，则由④得：(1,)2(0,)x y m -=-，即1,2x y m ==-， ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得26034m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -.又222211221,14343x y x y +=+=， ∴两式相减，得2112211234y y x xx x y y -+=--+. 又12123=2,22x x y y m ++==，∴21122112314y y x xk x x y y -+==-=--+， 243744k t k +=-=，∴直线l 的方程为74y x =-+. 将71,4k t =-=代入方程①，得 2285610x x -+=，解得121,11414x x =-=+，1233414414y y =+=-.∴3(2FA x ==+， 32FP =,3(2FB x == ∴=2FA FB FP +，即,,FA FP FB 成等差数列，且该数列的公差28d =±． 另解：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减，得2112211234y y x xk x x y y -+==--+. ∵线段AB 的中点为()()10M m m >，， ∴122x x +=，122y y m +=，34k m=-． 由点()()10M m m >，在椭圆内得21143m +<，即302m <<． ∴12k <-.（2）由题设知(1,0)F .令(,)P x y ，则由FP FA FB ++=0得1122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=，∴1212=3(),()x x x y y y -+=-+. 由得=1,2x y m =-<0. ∴P 的坐标为(1,2)m -.由于点P 在椭圆上，得214143m +=，解得34m =或34m =-（舍去），且3(1,)2P -，且32FP =. (FA x =122x=-，同理222xFB =-.∴12=2222x xFA FB +-+-124322x xFP +=-==，即,,FA FP FB 成等差数列．把34m =代入34k m =-得1k =-，且3(1,)4M∴直线l 的方程为74y x =-+. 把直线方程与椭圆方程联立，消去y 得：2285610x x -+=，于是有121212,28x x x x +==．设成等差数列的公差为d ，则26121122d FB FA x x =-=-==， d =±21．（本小题满分12分）解：由条件知，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．（1）若0a =，则函数()(2)ln(1)2f x x x x =++-，且1()ln(1)11f x x x'=++-+， 2211()1(1)(1)xf x x x x ''=-=+++． ∴(0)0f =，(0)0f '=，(0)0f ''=． ∴当10x -<<时，()0f x ''<，∴当10x -<<时，()f x '单调递减． ∴()(0)0f x f ''>=，∴当10x -<<时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f <=，即()0f x <． 当x > 0时，()0f x ''>，∴当x > 0时， ()f x '单调递增．∴()(0)0f x f ''>=，∴当x > 0时，()f x 单调递增， ∴()(0)0f x f >=，即()0f x >． 综上可得，当10x -<<时，()f x <0； 当x > 0时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当x >0时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与x=0是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数2()()2f x g x x ax =++22ln(1)2xx x ax =+-++． 由于当min x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，220x ax ++>， ∴()g x 与()f x 符号相同． 又(0)(0)0g f ==，∴0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()g x 的极大值点．22212(2)2(12)()12x ax x ax g x x x ax ++-+'=-+++（） 22222(461)(1)(2)x a x ax a x x ax +++=+++． 如果610a +>，则当6104a x a+<<-，且m i n 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '>，∴0x =不是()g x 的极大值点．如果610a +<，则22461=0a x ax a +++存在根10x <．∴当1(,0)x x ∈，且m in 1,x ⎧⎪<⎨⎪⎩时，()0g x '<，∴0x =不是()g x 的极大值点． 如果61=0a +，则322(24)()(1)(612)x x g x x x x -'=+--．当(1,0)x ∈-时，()0g x '>； 当(0,1)x ∈时，()0g x '<. ∴0x =是()g x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点．综上，16a =-．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
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河南省洛阳市2018届高三年级二练
数学（理）试题
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 150 分．考试时间 120 分钟。
第I 卷（选择题，共 60 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，将答题卷交回．
一、选择超：本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N 中元素个数为
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ．不确定
2．i 是虚数单位，则(1)
i i i +的模为 A ．12 B
．2
C
D ． 2 3．某项测量中，测量结果2~(1,)(0)X N σσ>，若 X 在（0， 1 ）内取值的概率为 0．4 ，
则 X 在（0, 2 ）内取值的概率为
A ．0．8
B ．0．4
C ．0．3
D ．0．2 4
．已知(n x 的展开式中第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 A ． 128 B ． 64 C ． 32 D ．16
5．设n S 是等差数列｛a n ｝的前 n 项和。
若533S S =，则96
S S A ．32 B ．53
C ． 2
D ． 3 6．已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则
实数m 的取值范围是
A ． （(,0)(2,)-∞+∞
B ．[0，2]
C ．R
D ．φ
7· 已知正数x ，y 满足20,350.x y x y -≤⎧⎨
-+≥⎩则22111z og x og y =++的最大值是 A ． 8 B ． 4 C ． 2 D ． 1
8．已知双曲线22
145
x y -=上一点 P 到 F （ 3 ，0）的距离为 6，O 为坐标原点，1(),||2
OQ OP OF OQ =+= 则 A ． 1 B ． 2
C ． 2 或 5
D ． 1 或 5
9．对任意非零实数 a , b ，若 a *b 的运算原理如图所示，
0sin x
xdx =⎰
A B
C D 10．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线 3x π
=对称，且()012f π
=，则ω的最小值是
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
11．动点 P 在正方体A BCD 一 A 1B 1C 1D 1的对角线 BD 1上，过 P 作垂直于平面 BB 1 D 1D
的直线，与正方体表面交于 M , N 两点，设|BP|= x ， △ BMN 的面积是 y , 则函数()y f x =的图象大致为
12．已知正数是 a , b , c 满足：534,1111c a b c a c nb a c nc nb na -≤≤-≥+-则的取值范
围是
A ．(],17n -∞
B ．[]212,12n n -
C ．31,15n ⎡
⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[]1,17n
第 Ⅱ 卷（非选择题，共 90 分）
二、坡空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分．共 20 分
13．正三角形 A BC 中， D 是边 BC 上的点， AB =3，BD = l ，则AB ·AD = 。
14．设 a > 0 , b > 0 ，则“a 2+b 2≥1”是“ a + b ≥ ab ＋ l ”成立的 条件．（填“充
分不必要” , “必要不充分” , “充要” , ' …既不充分也不必要” ．）
15．已知等比数列{a n }满足 a n ＞ 0 , n = l , 2 , 3 ， … ，且 a 5·a 2n －5=22n （ n ≥ 3 ），则
当
n ≥1） 1 时，2123221111n og a og a og a -+++= 。
16．如图，平面四边形 ABCD 中，
BD ⊥ CD ，将其沿对角线 BD 拆成四面体 A …一 BCD ，
使平面 A ' BD ⊥平面 BCD ，若四面体 A‟一 BCD 顶点在
同一个球面上，则该球的体积为 。
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步赚．
17．（本题满分 12 分）
已知函数()sin()sin() 1.33f x x x x ππ=++-++
（1）若 [0,]2x π∈ 求()f x 的值域；
（2） △ ABC 中，角 A , B , c 的对边为 a , b ，c ，若()1,1,2f B b c π+===求a 的值。
18．（本题满分 12 分）
某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5组制出
频率分布直方图如图所示．
（1）求a ， b , c , d ;
（2）该校决定在成绩较好的 3 , 4 , 5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应
各抽多少名学生？
（3）在（2）的前提下，已知面试有 4 位考官，被抽到的 6 名学生中有两名被指定甲
考官面试，其余 4 名则随机分配给 3 位考官中的一位对其进行面试，求这 4 名
学生分配到的考官个数 X 的分布列和期望．
19．（本题满分 12 分）
如图分别为三棱锥 S 一 ABC 的直观图与三视图，在直观图中 SA = SC , M , N 分别
为 AB , SB 的中点．
（l ）求证 AC ⊥SB ;
（2）求二面角 M 一 NC 一 B 的余弦值．
20．（本题满分 12 分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右顶点分别为 A 1, A 2 ，上、下顶点分别为 B 1 , B 2，左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 e ．
（l ）若| A 1 B 1 B 1 F 1B 2 F 2的面积为 S 1, ，四边形 A 1 B 1A 2B 2的面积
为
S 2，且122S S =
，求椭圆 C 的方程； （2）若 F 2（ 3 , 0） ，设直线 y =kx 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点， M , N 分别为线
段 P F 2，QF 2的中点，坐标原点 O 在以 MN e <≤，求实数k 的取值范围。
21．（本题满分 12 分）
已知()1,f x nx a =是大于0的实数．
（1）若1()12a f x ax a x
-≤++-在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （2）设2()()2F x f x ax x =+-，若函数()F x 有两个极值点，证明()F x 的极小值小于一32
· 请考生在第 22 、 23 、 24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。