2019届江苏省高考应用题模拟试题选编(一)
2019年高考数学原创押题预测卷 01(江苏卷)(考试版)
数学试题 第1页（共6页） 数学试题 第2页（共6页）绝密★启用前2019年高考数学原创押题预测卷01（江苏卷）数学Ⅰ（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1．已知集合2{|0}5x A x x -=<+，2{|230,}B x x x x =--≥∈R ，则A B =_________. 2．已知i 为虚数单位，若12i 1ia+++是纯虚数，则实数a =_________.32，则圆锥的体积为_________.4．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为91，现场作的7个分数的茎叶图有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则5个剩余分数的方差为_________.5．函数2()log 1()f x x =-的定义域为_________.6．某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为_________.7．如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是_________.8．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线的距离等于13，则双曲线C的离心率为_________. 9．将函数π()sin()6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为_________.10．已知函数2()log )f x x =是奇函数，(),0()21,0x f x x g x x ≤⎧=⎨->⎩，则((1))g g -=_________.11．已知ABC △中，4,3,60,AC BC ACB E ==∠=︒为边AC的中点，2133AD ABAC =+，则C D B E ⋅的值为_________.12．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =且223b c abc +=+，b-的取值范围是_________. 13．已知数列{}n a 满足当12121k k n --<≤-(,)k n **∈∈N N 时，2n kka =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足10n S >的n 的最小值为_________.14．设定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)f x f x =-,且当[1,2]x ∈时,23()f x x x =-.若方程()0f x bx +=有5个不同的实数根,则实数b 的取值范围为_________.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知2a =，c =cos 4A =-．数学试题 第3页（共6页） 数学试题 第4页（共6页）（1）求sin C 和b 的值； （2）求πcos(2)3A +的值．16．（本小题满分14分）在三棱锥P ﹣ABC 中，AP =AB ，平面P AB ⊥平面ABC ，∠ABC =90°，D ，E 分别为PB ，BC 的中点． （1）求证：DE ∥平面P AC ； （2）求证：DE ⊥AD ．17．（本小题满分14分）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半球体组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3:2，工艺品的体积为334πcm .现设圆柱的底面半径为2cm x ，工艺品的表面积为2cm S ，半球与圆柱的接触面积忽略不计.（1）试写出S 关于x 的函数关系式并求出x 的取值范围； （2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？并求出最小值.18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:2l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，若0OA OB ⋅≤（O 为坐标原点），求k 的取值范围.19．（本小题满分16分）已知函数32()4f x ax bx a =++(,a b 为常数). （1）若1,3a b ==，①求函数()f x 在区间[4,2]-上的最大值及最小值；②若过点(1,)t可作函数()f x 的三条不同的切线，求实数t 的取值范围； （2）当[1,4]x ∈时，不等式20()4f x x ≤≤恒成立，求a b +的取值范围.20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项的和为,n S 且,2n nS n =+数列{}n b 满足1b =且对任意正整数n 都有1n n b b +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：数列{}n b 为等差数列；（3）令3,n n c =-问是否存在正整数,,m k 使得5,,m m k c c c +成等比数列？若存在，求出,m k 的值，若不存在，说明理由.数学试题 第5页（共6页） 数学试题 第6页（共6页）数学Ⅱ（附加题）（考试时间：30分钟 试卷满分：40分）注意事项：1．本试卷均为非选择题（第21题~第23题）。
2019年江苏省高考第一次模拟考试数学试卷(含答案)
2019年江苏省高考第一次模拟考试数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：应用题(含答案)
第 1 页 共 17 页 江苏省各地2019届高考模拟考试数学试题分类汇编：
应用题
1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）某公园内有一块以O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP AB BQ ==，120PAB QBA ∠=∠=，且AB ，PQ 在点O 的同侧.为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O 处的距离都不超过60米.设,(0,
)3OAB παα∠=∈.问：对于任意α，上述
设计方案是否均能符合要求？。
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(01)
绝密★启用前江苏省2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（1）数学I参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．1．复数z 满足22z =-，则z = ▲ ．2．设集合(1,3],{2,4}A B =-=，则A B = ▲ ．3．双曲线2221x y -=的渐近线方程为 ▲ ．4．从集合{2,0,1,2,3}中任意取出两个不同的元素，则这两个元素之和为偶数的概率是 ▲ ．5．下图是某市2014年11月份30染指数在0~50之间时,空气质量为优；在51~100之间时, 间时, 空气质量为轻微污染；在151~200之间时, 11月份空气质量为优或良的天数是 ▲ 天．6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ▲ ．7．函数()sin()(0,02)6f x A x A πωω=+><<，若2()3f A π=，则函数y =f (x )的最小正周期为 ▲ ．8．函数2()cos2f x x x =+，若(2)(1)f a f a =-，则实数a 的值为 ▲ ．(第5题图) (第6题图) ★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号9．已知正项等差数列{a n }的前12项和为30，则4a 4+9a 9的最小值为 ▲ ．10．三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，侧棱1AA ⊥平面11AB C ，且11AA =，则此三棱柱的体积为 ▲ ．11．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，11,32AD AB AE AC ==，若2512BE CD ⋅=-，则BC =▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，圆C ：(x －a )2＋(y －a +2)2＝1，若圆C 上存在点M ，使MA 2+MO 2=10，则实数a 的取值范围 ▲ ．13. 已知实数,x y 满足0,50,x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥0,-3≤若不等式222()()a x y x y ++≤恒成立，则实数a 的最大值是 ▲ ．14．函数2()x f x a x =-（1a >）有三个不同的零点，则实数a 的取值范围 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,，且满足sin B =3sin C ，5AB AC -=,52AB AC ⋅=． (1)求22b c +的值； (2)求)sin(B A -的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1、ACC 1A 1均为正方形，∠BAC =90°，D 为BC 中点． (1)求证：A 1B//平面ADC 1; (2)求证：C 1A ⊥B 1C .(第16题图) A 1C 1 B 1B ACDBCEA D(第11题图)A 1B 1C 1C BA(第10题图)17． (本小题满分14分)如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个大型物流中心E 和F ．为缓解交通压力，决定从P 地分别向AC 和BD 修建公路PE 和PF ，其中EPF ∠为直角，设EPA α∠=(02πα<<)． （1）为减少对周边区域的影响，试确定E 和F 的位置，使△P AE 和△PFB 的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E 和F 的位置，使P 到E 和F 的距离之和最小．18． (本小题满分16分)如图，椭圆E : 2214x y +=的左顶点和下顶点分别为A ，B ，动直线l 与线段AB 平行，且与x 轴、y 轴交于C 、D 点（异于椭圆E 的顶点），直线AD 、BC 分别与椭圆E 交于M 、N 点. (1) 当点M 是AD 中点时，求直线l 的方程； (2) 设直线AN 、BM 的交点为P ，求证：P 点落在定直线上．19．(本小题满分16分)已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足22n nn S a a =+，*n N ∈.B F D(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)如果对任意正整数n都成立，求证：实数c 的最大值为1．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )=13x 3+ax 2-x +b ，其中a ,b 为实常数．(1) 当a =-1时，若函数f (x )在[0，1]上的最小值为13，求b 的值； (2) 讨论函数f (x )在区间(a ,+∞)上的单调性；(3) 若曲线y =f (x )上存在一点P ，使得在P 点处的切线与过P 点的切线相互垂直，求a 的取值范围．江苏省2019年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学Ⅱ（附加题）注意事项 1． 本试卷共2页，均为非选择题（第21题～第23题，共4题）。
2019届江苏高考应用题模拟试题选编(一
2019届江苏高考应用题模拟试题选编（一）1、（江苏省扬州2019届高三第一学期开学测试数学）如图所示，左图上有一个小型水车，右图是该水车的抽象简图。
简图上圆周被16 个点16 等分，每个点都代 表一个水筒，l 代表水面。
水车的原理是利用水流冲击水筒，使水车顺时针匀速转动，水筒浮出左侧水面即 进入盛水状态，而达到点 P 位置的水筒会将筒内的水流入水道，进入无水状态。
图中所示即为水车的初始 状态，该状态下恰有一个水筒处于点 P 位置（注：设初始状态下在水面及水面以上且在 P 点左侧的水筒处 于盛水状态，但恰位于 P 点的水筒处于无水状态）.现水车受到水流冲击，从初始状态开始匀速转动一周（起 始位置在 P 点的水筒再度转到 P 点且其中的水完全流入水道后即意味着水车转完一周）所用时间为t min ，每个水筒经过一次 P 点能固定流出100 (6t - t 2 - 4)mL 水，其中t 是正常数且1 ≤ t ≤ 4 ，该数值受水流速度 影响，记水车从初始状态转动一周流入水道的总水量为V mL.（1）求V 关于 t 的函数表达式；（2）已知水车转动一周的时间段内，平均每分钟流出的水量越高说明水车效率越高，试求出水车在 t 为何 值时效率最高，并求出在此情况下水车转动一周的时间段内平均每分钟流出的水量.2、（江苏省扬州大学附属中学高三（上）第一次月考数学试卷）图1是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A 、D 、E 、B 四点共线，通过测量得知起重臂BD =30米，平衡臂AD =8米，CA 、CB 均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD 上需要加拉杆CE ，且3:2:=ED BE ，记βα=∠=∠CED CAD ,. （1）若CD ⊥AB ，现要求βα2≥，问CD 的长至多为多少米?（2）若CD 不垂直于AB ，现测得︒=︒=15,30βα，求CD 的长.（选用下列参考数据进行计算:3045293,10421915sin ,11728015cos ≈≈︒≈︒）图1BCEDA3、（江苏南京市2019届高三年级学情调研卷）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝1att +；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为()f x 万元．（1）求函数()f x 的解析式；（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．4、（2018年上海市七宝中学高考模拟考试卷（三模））业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为为常数）A A (元，之后每年会投入一笔研发资金，n 年后总投入资金记为)(n f ，经计算发现100≤≤n 时，)(n f 近似地满足naq p A n f ⋅+=9)(，其中322-=a ，q p ,为常数，A f =)0(.已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍，问：（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动是投入资金的8倍； （2）研发启动后第几年的投入资金的最多？5（江苏省江阴高级中学2018届数学最后一卷）某经销商计划销售一款新型的电子产品，经市场调研发现以下规律：当每台电子产品的利润为x (单位：元，x ＞0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：若x 不超过25，则q (x )＝2400x ＋11；若x 大于或等于225，则销售量为零；当25≤x ≤225时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数)．(1) 求函数q (x )的表达式；(2) 当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值．6（2018届上海交通大学附属中学毕业考数学试卷）某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm 的A 型和长度为518mm 的B 型两种钢管. 工厂利用长度为4000mm 的钢管原材料，裁剪成若干A 型和B 型钢管. 假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比为废料率.（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%，请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管，一根A 型和一根B 型钢管为一套毛坯，按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛坯？最终的废料率为多少?7（江苏省兴化一中2018届高考第四次模拟考试数学试卷）如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD （AC 为楼间距），两楼的楼高分别为 m a ， m b ，其中b a >．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：①90BMD ∠=︒，②楼间距与两楼的楼高之和的比(0.8,1)λ∈．（１）求楼间距AC （结果用,a b 表示）；（２）若45CBD ∠=︒，是否能满足委托单位的设计要求？8、（江苏省南通市通州区2017-2018学年下学期高二期末学业质量监测高二数学）9、（苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷数学.）如图，长方形材料ABCD中，已知AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ,PF AD ⊥于F ，且1PE =，PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上．（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．DN10、（江苏省无锡市普通高中2017-2018学年期末考试数学试题）如图所示，ABC ∆是临江公园内一个等腰三角形．．．．．形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰60CA CB ==米，2cos 3CAB ∠=.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC ，AB 上分别取点E ，F （异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF （宽度不计），使得三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.（1）若水上观光通道的端点E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），求此时水上观光通道EF 的长度；（2）当AE 为多长时，观光通道EF 的长度最短？并求出其最短长度.11、（2018年上海高考数学试题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作时间的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0＜x ＜100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为12、（2018年江苏高考数学试题）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．1、2、（1）∵30=BD ，且3:2:=ED BE12=BE ，18=ED 又因为CD ⊥AB在中和CED Rt ACD Rt ∆∆8tan CDAD CD ==α 22)18(1182tan 1tan 22tan 18tan CD CD CD DE CD -=-=⇒==ββββ 要求βα2≥⇒≥βα2tan tan ≥8CD 2)18(1182CD CD-6≤CDCD 的长至多为6米（2）∵00013515,30=∠⇒=∠=∠ACE CED CAD , 26818=+=+=AD DE AE 在三角形ACE 中，由正弦定理得⇒∠=∠CAD CE ACE AE sin sin 21330sin 135sin 2600=⇒=CE CE在三角形CDE 中，由余弦定理得CED DE CE DE CE CD ∠⋅⋅-+=cos 2222得1172801822618213(222⋅⋅-+=）CD22=CDCD 的长为22米3、解（1）由题意得，bt Q t atP =+=,14、►解：（1）由题意知(0)f A =，(3)3f A =．所以99314AA p q A A p q ⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩解得18p q =⎧⎨=⎩．所以9(n)18nA f a =+⋅．……4分 令()8f n A =，得9818nA A a =+⋅，解得641=na ， 即641232=-n ，所以9n =．所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．……………7分 （2）由（1）知9()18nAf n a=+⋅ 第n 年的投入资金＝()(1)f n f n --1991818n n A Aa a -=-+⋅+⋅．…………9分9972(1)72(1)188(18)(8)8(1)64n n n n n nnA a A Aa a A a a a a a a a a a a a ⋅--=-==+⋅+⋅+⋅+⋅+++≤==……………………12分当且仅当64nnaaa=，即2(21)31264n--=等号，此时n＝5．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．……………………14分5、解：(1) 当25≤x≤225时，由⎩⎨⎧a－b·25＝400，a－b·225＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝600，b＝40.………………2分故q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2400x＋11，0<x≤25，600－40x，25＜x≤225，0，x>225.………………4分(2) 设总利润f(x)＝x·q(x)，由(1)得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧240000xx＋11，0<x≤25，60000x－4000x x，25＜x≤225，0，x>225.………………6分当0＜x≤25时，f(x)＝240000xx＋11＝240 000[x+11－11x＋11]，f(x)在(0，25]上单调递增，所以当x＝25时，f(x)有最大值1000 000. (8分)当25＜x≤225时，f(x)＝60 000x－4000x x，f'(x)＝60 000－6000x，令f'(x)＝0，得x＝100. ………………10分当25<x<100时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当100<x≤225时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝100时，f(x)有最大值2000 000. ………………12分当x>225时，f(x)＝0.答：当x等于100元时，总利润取得最大值2000 000元．………………14分)6、解（1）设每根原料可裁剪成a根A型钢管和b型钢管，则⎩⎨⎧≤+∈∈4000518698,baNbNa⎩⎨⎧≤≤≤≤∈∈⇒61,41,baNbNa方案一：⎩⎨⎧==52ba，废料率最小为%35.0%100)4000518569821(=⨯⨯+⨯-方案二：⎩⎨⎧==24ba，废料率最小为%3.4%100)4000518269841(=⨯⨯+⨯-（2）设用方案一裁剪x根原材料，用方案二裁剪y根原材料，共裁剪得z套毛坯，则⎪⎩⎪⎨⎧+=+≤+∈∈yxyxyxNyNx254200,，yxz42+=得⎩⎨⎧==6040y x ，套320max =z ，废料率为%72.2100%3.460%35.040=⨯+⨯ 答：最多可裁剪320套毛坯，最终的废料率为.%72.27、解：（1）解：（1）∵在ABM ∆中，2tan 2a aBMA c c ∠==，在CDM ∆中，2tan 2b bDMC c c ∠==，∵90BMD ∠=︒，∴90BMA DMC ∠+∠=︒，∴tan tan 1BMA DMC ∠⋅∠=，即24c ab =，∴c = ………5分 （2）在CBD ∆中，过点B 作CD 的垂线，垂足为E ，∴tan a CBE c ∠=，tan b aDBE c-∠=， ∴tan tan tan tan()1tan tan CBE DBECBD CBE DBE CBE DBE∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠221a b a bc c c a b a a c ab c c-+==-+--⋅， ………8分∵tan tan 451CBD ∠=︒=，∴22a c ab bc +-=， ………10分设2b k a =（1k >），由（1）可得2c ka =， ∴222223242a k a k a k a +-=，即322310k k --=， 设32()231f k k k =--，1k >，∴2()666(1)0f k k k k k '=-=->，∴函数()f k 单调递增，又∵70f =<，100f =>，k <<1k k +<∴22211c k a b k k kλ===∈+++，∴(0.8,1)λ∈， ………13分∴能满足委托单位的设计要求．答：(1)楼间距AC为;(2)能满足委托单位的设计要求． ………………14分8、9解：（1）在直角△NFP 中，因为PF =FPN θ∠=，所以NF θ，所以11(1)22NAP S NA PF θ∆=⋅= ……………………………2分 在直角△MEP 中，因为1PE =，π3EPM θ∠=-， 所以πtan()3ME θ=-，所以11πtan()]1223AMP S AM PE θ∆=⋅=-⨯． ………………………………4分所以31πtan tan()223NAP AMP S S S θθ∆∆=+=+-，π[0,]3θ∈． ……………………………………………………………………………………7分（注：定义域错误扣1分）（2）因为31πtan tan()223S θθ=+-3tan 2θ=++ …9分令1t θ=+，由π[0,]θ∈，得[1,4]t ∈， ……………11分所以24)3S t t ==++………………12分22=． ………………14分当且仅当t =时，即tan θ时等号成立． ………………15分此时，AN =min 2S =+答：当AN =AMPN 的面积S 最小，最小值为216分 10、解：（1）在等腰ABC ∆中，过点C 作CH AB ⊥于H ， 在Rt ACH ∆中，由cos AH CAB AC ∠=，即2603AH =，∴40AH =，80AB =， ∴三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.∴AE AF EF CE BC BF EF ++=+++，即()()606080AE AF AE AF +=-++-， ∴100AE AF +=.∵E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），∴40AE =，60AF =，在AEF ∆中，2222222cos 4060240602003EF AE AF AE AF CAB =+-⋅∠=+-⋅⋅⋅=，∴EF ==.即水上观光通道EF 的长度为.（2）由（1）知，100AE AF +=，设AE x =，AF y =，在AEF ∆中，由余弦定理，得 ()2222224102cos 33EF x y x y CAB x y xy x y xy =+-⋅∠=+-=+-. ∵22502x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴()2222102100505033EF ≥-⨯=⨯.∴3EF ≥x y =取得等号，所以，当50AE =米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为3米. 11、解（1）9018002-+xx ＞40 由于x ＞0，故900652+-x x ＞0解得45＜x ＜100故当45＜x ＜100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间（2）当0＜30≤x 时，%)1(40%30)(x x x g -+⨯=1040x -= 当30＜100≤x 时，%)1(40%)9018002()(x x xx x g -+⨯-+= 581013502+-=x x 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=581013501040)(2x x x x g当0＜5.32≤x 时，)(x g 单调递减当5.32＜60≤x 时，)(x g 单调递增说明，当S 中有少于32.5%的成员自驾时，上班时间人均递减；自驾32.5%时，人均通勤时间达到最小值；大于32.5%时，人均通勤时间再次逐渐增大。
2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(含附加及详细解答,共8套)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x(x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证：（1）平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； （2）MN ∥平面ABC .16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.（1）若A ＝5π12，求边c 的大小；（2）若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．（1）求开学第二天选择A餐厅的人数；（2）若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．18. (本小题满分16分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． （1）求a n 和T n ；（2）若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．（1） 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； （2） 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围；（3） 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d (c ，d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．C. (选修45：不等式选讲)已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知CA＝CB＝1，AA1＝2，∠BCA＝90°.（1）求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；（2）求二面角BAB1C平面角的余弦值．23. 在数列{a n}中，已知a1＝20，a2＝30，a n＋1＝3a n－a n－1(n∈N*，n≥2)．（1）当n＝2，3时，分别求a2n－a n－1a n＋1的值，并判断a2n－a n－1a n＋1(n≥2)是否为定值，然后给出证明；（2）求出所有的正整数n，使得5a n＋1a n＋1为完全平方数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3. 102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z |＝14＋94＝102.4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e .5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x <4时，f (x )＝f (x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f (log 23－3)＝f (log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f (log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos(α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315. 10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V P ACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立． 12. n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n－⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n .13. 4 解析：y ＝2x x －1－f (x )的零点即为2x x －1＝f (x )的解，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )有四个交点．∵y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f (x )≥0及x >0，得a ≤ex e x 的解集恰为[m ，n ]，设 g (x )＝exe x ，则g ′(x )＝e （1－x ）e x，由g ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x >1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，且g (1)＝1，g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝exex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C .又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP . ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1.又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP .又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC .(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c .由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B , 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)， 第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)，而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M (0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4，∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4，即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k2－1，故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k2－1，即y ＝k ⎝⎛⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0， 则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12，此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12，∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n .(2分)b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n －3恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大，∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min ＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n ＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min .(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9，当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9.综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f (x )＝ln x ＋2e x，得f ′(x )＝1－2x －xln xxe x，x ∈(0，＋∞)，(1分)∴ 曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e .∵ f (1)＝2e ，∴ 曲线y ＝f (x )切线方程为y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由xe x f (x )>m ，得k >mx－ln x ，令F (x )＝mx－ln x ，则k >F (x )max ，又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e ]．当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e ]上单调递减， ∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e ]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e <m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e ]上单调递减， k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln (－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e ]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e )＝me－1，综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e <m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫me －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1. 令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)，因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －xln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －xln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0，∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x －(x ＋1)>0，即e x x ＋1>1， ∴ 1－x －xln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)21. A . 解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4，(4分) 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14，所以A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－1316 16.(10分) B. 解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )， 所以直线l 的普通方程为y ＝3x .(2分)因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)， 所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2，2]). (4分) 联立解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y ＝12x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6， 由x ∈[－2，2]，则x ＝23，y ＝6(舍去)，故P 点的直角坐标为(0，0)．(10分)C. 证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32) ≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33， 即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.(10分)22. 解：如图，以{CA →，CB →，CC 1→}为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A 1(1，0，2)，B 1(0，1，2)，所以CB 1→＝(0，1，2)，AB →＝(－1，1，0)，AB 1→＝(－1，1，2)，BA 1→＝(1，－1，2)．(1) 因为cos 〈CB 1→，BA 1→〉＝CB 1→·BA 1→|CB 1→||BA 1→|＝35×6＝3010， 所以异面直线BA 1与CB 1夹角的余弦值为3010.(4分)(2) 设平面CAB 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AB 1→＝0，m ·CB 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0， 取平面CAB 1的一个法向量为m ＝(0，2，－1)．设平面BAB 1的法向量为n ＝(r ，s ，t )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－r ＋s ＋2t ＝0，－r ＋s ＝0， 取平面BAB 1的一个法向量为n ＝(1，1，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝25×2＝105. 易知二面角BAB 1C 为锐角， 所以二面角BAB 1C 平面角的余弦值为105.(10分) 23. 解：(1) 由已知得a 3＝70，a 4＝180，所以当n ＝2时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500；当n ＝3时，a 2n －a n －1a n ＋1＝－500.(2分)猜想：a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)．下面用数学归纳法证明：① 当n ＝2时，结论成立．② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即a 2k －a k －1a k ＋1＝－500.将a k ＋1＝3a k －a k －1代入上式，可得a 2k －3a k a k －1＋a 2k －1＝－500，则当n ＝k ＋1时，a 2k ＋1－a k a k ＋2＝a 2k ＋1－a k (3a k ＋1－a k )＝a 2k ＋1－3a k a k ＋1＋a 2k ＝－500，故当n ＝k ＋1时结论成立， 根据①②可得a 2n －a n －1a n ＋1＝－500(n ≥2)成立．(4分)(2) 将a n －1＝3a n －a n ＋1代入a 2n －a n －1a n ＋1＝－500，得a 2n ＋1－3a n a n ＋1＋a 2n ＝－500，则5a n ＋1a n ＝(a n ＋1＋a n )2＋500，5a n a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋a n )2＋501.设5a n ＋1a n ＋1＝t 2(t ∈N *)，则t 2－(a n ＋1＋a n )2＝501，即[t －(a n ＋1＋a n )](t ＋a n ＋1＋a n )＝501.又a n ＋1＋a n ∈N *，且501＝1×501＝3×167，故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－1，a n ＋1＋a n ＋t ＝501或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＋a n －t ＝－3，a n ＋1＋a n ＋t ＝167，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝251，a n ＋1＋a n ＝250或⎩⎪⎨⎪⎧t ＝85，a n ＋1＋a n ＝82. 由a n ＋1＋a n ＝250，解得n ＝3； 由a n ＋1＋a n ＝82，得n 无整数解， 所以当n ＝3时，满足条件．(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________． 8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________. 9. 若直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的________条件．10. 已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 3，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则f (2 019)＝________．11. 设点O ，P ，Q 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝4x 的交点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a ≥c >0，且3a －b ＋c ＝0，则ac b的最大值为__________． 13. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则S 9的最大值是________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 在区间[a －1，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：（1）AM ∥平面PBC ；（2）平面BDP ⊥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C . （1）求a 的值；（2） 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．17. (本小题满分14分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .（1）若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；（2）若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．18. (本小题满分16分)某公司一种产品每日的网络销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．（1）求m 的值；（2）假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.（1）求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列； （2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )． （1）若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值；（2）若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（3）若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)1. {x |－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3. 6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f (x )＋f (－x )＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f (log 23)＋f (－log 23)＝1.8. 2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425.9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m (m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )的周期为4，∴ f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1.11. 5 解析：不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12. 36 解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c ＝c a 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81. 14. 1或0 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a <2时，f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝max {f (a －1)，f (a ＋1)}，又f (x )max －f (x )min＝4，f (x )max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f (x )min ＝f (a －1)，f (x )max ＝f (a ＋1)， ∴ f (a ＋1)－f (a －1)＝4，无解． 综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN .又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC .(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT .∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD .同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC . ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD .∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD .∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC . 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC .(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A <π，∴ sin A ＝63.由于角A 为锐角，得cos A ＝33.由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分)17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1，解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2.∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →，∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e >12.又0<e <1，∴ 12<e <1，即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分)18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6).令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值，故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13，所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32，由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分) 20. 解：(1) 函数g (x )的定义域为(－1，＋∞)， g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1，则g (0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f (x )的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h (x )＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x )＝x ＋k ＋1x ＋1.令φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，∵ φ′(x )＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，即h ′(x )在[0，2]上为增函数，∴ h ′(x )max ＝h ′(2)＝k ＋73.∵ h (x )在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x )≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h ′(x )max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73，即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分)(3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e2.∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ，∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2，f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)， 且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e2⊆(f (x )min ，min {f (－1)，f (4)})，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ，∴e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)21. A . 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) B. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3，可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3，所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3，所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.(10分) C ．证明：由题得a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4) ＝a 5(a －b )－(a －b )b 5 ＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)．(4分) 又a ≥0，b ≥0，∴ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0， 即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 33×⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1136.(3分) (2) ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝724， P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎫133×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1124，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫133×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫23×13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 13×⎝⎛⎭⎫123＝524， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝124， 所以ξ(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分)23. 解：(1) 110(2分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个． 当A B ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B )有错误!C 错误!＝(3n －2n )个．同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有(3n －2n )个．故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{x |x －x 2≥0}，B ＝{x |y ＝lg(2x －1)}，则集合A ∩B ＝________．2. 已知复数z ＝11＋i＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝________．3. 某学校高三年级有700人，高二年级有700人，高一年级有800人，若采用分层抽样的办法，从高一年级抽取80人，则全校总共抽取________人．4. 已知a ∈R ，则“a >2”是“1a <12”的________条件．5. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数差的绝对值小于2的概率是________．6. 执行如图所示的伪代码，最后输出的S 值为________． n ←1 S ←0While S <9S ←S ＋(－1)n ＋n n ←n ＋1 End While Print S7. 曲线f (x )＝x －cos x 在点(π2，f (π2))处的切线方程为________．8. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx －1（x ≥1），2x －x 2（x <1）是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________． 9. 若sin α＝35且α是第二象限角，则tan(α－π4)＝________．10. 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右端点分别为A ，B ，点C (0，b2)，若线段AC 的垂直平分线过左焦点F ，则椭圆的离心率为________．11. 已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝a n ＋2a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 6成立，则实数a 的取值范围是________．12. 已知x ，y 为正实数，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值为________．13. 已知向量a ，b 是单位向量，若a·b ＝0，且|c －a|＋|c －2b |＝5，则|c －b |的最小值是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≤0，x ln x ，x >0，g (x )＝kx －1，若方程f (x )－g (x )＝0在x ∈(－2，2)上有三个实数根，则实数k 的取值范围是______________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，∠PBC ＝∠BAD ＝90°.求证： （1）BC ⊥平面P AB ；（2）AD ∥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3.（1）求a 的值；（2）设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．17. (本小题满分14分)如图，某地要在矩形区域OABC 内建造三角形池塘OEF ，E ，F 分别在AB ，BC 边上，OA ＝5 m ，OC ＝4 m ，∠EOF ＝π4，设CF ＝x ，AE ＝y .（1）试用解析式将y 表示成x 的函数；（2）求三角形池塘OEF 的面积S 的最小值及此时x 的值．18. (本小题满分16分)在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点P (2，1)，直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分． ① 求直线l 的斜率；② 若P A →·PB →＝0，求直线l 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n}是首项为a，公比为q的等比数列，且a n>0.（1）若a＝1，a1，a3＋2，a5－5成等差数列，求a n；（2）如果a2a4n－2＝a4n，①当a＝2时，求证：数列{a n}中任意三项都不能构成等差数列；②若b n＝a n lg a n，数列{b n}的每一项都小于它后面的项，求实数a的取值范围．20. (本小题满分16分)设函数f(x)的导函数为f′(x)．若不等式f(x)≥f′(x)对任意实数x恒成立，则称函数f(x)是“超导函数”．（1）请举一个“超导函数” 的例子，并加以证明；（2）若函数g(x)与h(x)都是“超导函数”，且其中一个在R上单调递增，另一个在R上单调递减，求证：函数F(x)＝g(x)h(x)是“超导函数”；（3）若函数y＝φ(x)是“超导函数”且方程φ(x)＝φ′(x)无实根，φ(1)＝e(e为自然对数的底数)，判断方程φ(－x－ln x)＝e－x－ln x的实数根的个数并说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修42：矩阵与变换)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 00n ，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，属于特征值2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，求矩阵A .B. (选修44：坐标系与参数方程)在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝2sin θ，过极点O 的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，求直线l 的方程．C. (选修45：不等式选讲) 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.（1）按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？（2）若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．23. 已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2，1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.（1）求抛物线C的标准方程；（2）问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(三)1. ⎝⎛⎦⎤12，1 解析：A ＝{x |0≤x ≤1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x ≤1. 2. 22 解析：z ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，∴ |z |＝22.3. 220 解析：设全校总共抽取x 人，则x 700＋700＋800＝80800，∴ x ＝220.4. 充分不必要 解析：由1a <12，得a <0或a >2，∴ “a >2”是“1a <12”的充分不必要条件．5. 16解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，有6个结果，绝对值小于2的只有一个，即取2个数差的绝对值小于2的概率是16.6. 10 解析：当n ＝1时，S ＝0；当n ＝2时，S ＝3；当n ＝3时，S ＝5；当n ＝4时，S ＝10.7. 2x －y －π2＝0 解析：f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1＋sin π2＝2，切线方程为y －π2＝2⎝⎛⎭⎫x －π2，即2x －y －π2＝0.8. [2，＋∞) 解析：由题知，k >0且k ×1－1≥2×1－12， ∴ k ≥2.9. －7 解析：∵ sin α＝35且α是第二象限角，∴ cos α＝－45，∴ tan α＝－34，∴ tan⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7.10. 4－13 解析：k AC ＝b2a ，AC 中点为P ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 4，k FP ＝b 4c －a2，由题知，k AC ·k FP ＝－1，∴ 3a 2－8ac ＋c 2＝0，∴ e 2－8e ＋3＝0，∴ e ＝4±13，又0<e <1， ∴ e ＝4－13.11. (－6，－5) 解析：a n ＝a ＋n －1，b n ＝1＋2a ＋n －1＝1＋2n ＋a －1，由y ＝1x 的图象可得6<1－a <7，∴ －6<a <－5.12. 18 解析：∵ 2x ＋y ＋6＝xy ，∴ xy －6＝2x ＋y ≥22xy ，令t ＝2xy ，则12t 2－6≥2t 即t 2－4t －12≥0，∴ t ≥6，∴ xy ≥18，当且仅当2x ＝y ＝6时“＝”成立，∴ xy 的最小值为18.13. 55解析：设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，将c 的起点放在原点，则|c －a |＋|c －2b |的几何意义是c 的终点到向量a ，2b 的终点M (1，0)，N (0，2)的距离之和，由于点(1，0)，(0，2)的距离为5，故c 的终点在线段MN 上，∴ |c －b |的最小值即为点(0，1)到直线MN 的距离，即55.14. (1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2 解析：显然x ＝0不是方程f (x )－g (x )＝0的解，由f (x )－g (x )＝0，得k ＝h (x )＝⎩⎨⎧x ＋1x ＋4，x ＜0，ln x ＋1x，x >0，由图象可得实数k 的取值范围是(1，ln 2e )∪⎝⎛⎭⎫32，2. 15. 证明：(1) 如图，在平面P AB 内过点P 作PH ⊥AB 于H ， 因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PH ⊂平面P AB ， 所以PH ⊥平面ABCD .(4分)。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此直接改写每段话。
2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1.已知集合A为{x-1<x<1}，集合B为{-1≤x≤2}，则AB 的并集为[ -1.2 )。
2.复数z=2i/(1-i)的实部是2/5.3.甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋。
已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为0.06.4.某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为23.2.5.根据XXX所示的伪代码，当输出y的值为2时，则输入的x的值为e。
6.在平面直角坐标系xOy中，圆x^2+y^2-4x+4y+4=0被直线x-y-5=0所截得的弦长为4.7.如图，三个相同的正方形相接，则XXX∠XXX的值为1.8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD上一点，且PE=2ED。
设三棱锥P-ACE的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则.9.已知F是抛物线C:y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。
若M是FN的中点，则FN的长度为16.10.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=xlnx，则不等式f(x)<-e的解集为(1/e。
e)。
11.钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）。
现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为3.12.如图，在△ABC中，点M为边BC的中点，且AM=2，点N为线段AM的中点，若AB×AC=28，则NB×NC的值为21.13.已知正数x，y满足x+y+1/x+1/y=10，则x+y的最小值是4.14.设等比数列{an}满足：a1=2，an=cos(πn/2)+3sin(πn/2)，其中n∈N，且nπ/2∈(0.π/2)。
2019年江苏省20套物理高考模拟试卷含详细解析
江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(一)物理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题共35分)一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1. 下列说法符合物理学史实的是()A. 楞次发现了电磁感应现象B. 伽利略认为力不是维持物体运动的原因C. 安培发现了通电导线的周围存在磁场D. 牛顿发现了万有引力定律，并测出了万有引力常量2. 北斗卫星导航系统空间计划由35颗卫星组成，包括5颗静止轨道卫星(轨道高度约为36 000 km)、27颗中轨道卫星(轨道高度约为21 600 km)、3颗倾斜同步轨道卫星．则中轨道卫星与静止轨道卫星相比，围绕地球做圆周运动的()A. 向心加速度更大B. 线速度更小C. 角速度更小D. 周期更大3. 发电厂的输出电压为U1，发电厂至用户间输电导线的总电阻为R，通过导线的电流为I，用户得到的电压为U2，则下列输电导线上损耗功率的表达式中错误的是()A. (U1－U2)IB. I2RC. U21R D.（U1－U2）2R第3题图第4题图4. 一小孩站在岸边向湖面抛石子．a、b两粒石子先后从同一位置抛出后，各自运动的轨迹曲线如图所示，两条曲线的最高点位于同一水平线上，忽略空气阻力的影响．关于a、b 两粒石子的运动情况，下列说法正确的是()A. 在空中运动的加速度a a>a bB. 在空中运动的时间t a<t bC. 抛出时的初速度v a>b bD. 入水时的末速度v′a<v′b5. 在沿斜面向上的恒力F作用下，一物体从光滑斜面的底端由静止开始向上运动，在某一高度撤去恒力，物体继续沿斜面向上运动(斜面足够长，以地面为零势能面)．则在物体整个向上运动的过程中，下列关于物体动能E k、重力势能E p随时间t变化；速度大小v、机械能E 随位移x 变化的图象中，正确的是( )二、 多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6. 下列说法正确的是( )A. 光和电子都具有波粒二象性B. 放射性元素的半衰期与原子所处的化学状态和外部条件有关C. 比结合能越大，原子中核子结合的越牢固，原子核越稳定D. 大量处于n ＝4激发态的氢原子向低能级跃迁时，最多可产生4种不同频率的光子7. 如图所示，现有一匝数为n ，面积为S ，总电阻为R 的闭合线圈，垂直放置于一匀强磁场中，磁场的磁感应强度B 随时间均匀增大，变化率ΔB Δt＝k ，则( ) A. 线圈中产生逆时针方向的感应电流 B. 线圈面积具有扩张的趋势C. 线圈中产生的感应电动势为kSD. 线圈中感应电流的大小为nkS R第7题图 第8题图第9题图 第10题图8. 甲、乙两个电源的路端电压U 和电流I 的关系图象如图所示，设两个电源的内阻分别为r 甲、r 乙．若将一定值电阻R 分别接到两个电源上，设R 消耗的功率分别为P 甲、P 乙．下列对两个物理量大小关系判断正确的是( )A. r 甲 >r 乙B. r 甲<r 乙C. P 甲>P 乙D. P 甲<P 乙9. 如图所示，平行板电容器的两极板A 、B 接于电池两极，一带负电小球悬挂在电容器内部．闭合开关S ，电容器充电，这时悬线偏离竖直方向的夹角为θ，则( )A. 保持开关S 闭合，略向右移动A 板，则θ增大B. 保持开关S 闭合，略向右移动A 板，则θ不变C. 断开开关S ，略向上移动A 板，则θ增大D. 断开开关S ，略向上移动A 板，则θ不变10. 如图所示，竖直固定的光滑直杆上套有一个质量为m 的小球，初始时静置于a 点．一原长为l 的轻质弹簧左端固定在O 点，右端与小球相连．直杆上还有b 、c 、d 三点，且b 与O 在同一水平线上，Ob ＝l ，Oa 、Oc 与Ob 夹角均为37°，Od 与Ob 夹角为53°.现释放小球，小球从a 点开始下滑，达到d 点时速度为0，在此过程中弹簧始终处于弹性限度内．下列说法正确的是(重力加速度为g ，sin 37°＝0.6)( )A. 小球在b 点时加速度为g ，速度最大B. 小球从a 点下滑到c 点的过程中，小球的机械能先增大后减小C. 小球在c 点的速度大小为3glD. 小球从c 点下滑到d 点的过程中，弹簧的弹性势能增加了2512mgl 第Ⅱ卷(非选择题 共85分)三、 简答题：本题分必做题(第11、12题)和选做题(第13题)两部分，共30分．请将解答填写在相应的位置．【必做题】11. (10分)小明要利用多用电表和电阻箱测量电源的电动势和内阻．(1) 如图甲所示是多用电表内部结构的简化电路图，内有3个挡位，对应3种测量功能．小明现要将其作为电流表使用，选择开关S 应接________(选填“1”“2”或“3”)．小明调节好多用电表后连接电路，如图乙所示是他正准备接入最后一根导线(图中虚线所示)时的实验电路．请指出图中在器材连接或操作上存在的两个不妥之处：________；________．(2) 调节电阻箱，记录多组电阻箱示数R 和多用电表示数I ，作出R 1I的图线如图丙所示．由此可求得电动势E ＝________V ，内阻r ＝________Ω.(结果均保留两位有效数字)(3) 本实验方案存在系统误差，这是由于多用电表________(选填“分流”或“分压”)而引起的，测得的E 测、r 测与真实值比较：E 测________E 真，r 测________r 真．(均选填“<”“＝”或“>”)12. (8分)“探究加速度与力的关系”的实验装置如图甲所示．(1) 实验的五个步骤如下：a. 将纸带穿过打点计时器并将一端固定在小车上；b. 把细线的一端固定在小车上，另一端通过定滑轮与小桶相连；c. 平衡摩擦力，让小车做匀速直线运动；d. 接通电源后释放小车，小车在细线拉动下运动，测出小桶(和砂)的重力mg，作为细线对小车的拉力F，利用纸带测量出小车的加速度a；e. 更换纸带，改变小桶内砂的质量，重复步骤d的操作．按照实验原理，这五个步骤的先后顺序应该为________(将序号排序)．(2) 实验中打出的某一条纸带如图乙所示．相邻计数点间的时间间隔是0.1 s，由此可以算出小车运动的加速度是________m/s2.(3) 利用测得的数据，可得到小车质量M一定时，运动的加速度a和所受拉力F(F＝mg，m为砂和小桶质量，g为重力加速度)的关系图象(如图丙所示)．拉力F较大时，aF图线明显弯曲，产生误差．若不断增加小桶中砂的质量，aF图象中各点连成的曲线将不断延伸，那么加速度a的趋向值为________(用题中出现的物理量表示)．为避免上述误差可采取的措施是________．A. 每次增加桶内砂子的质量时，增幅小一点B. 测小车的加速度时，利用速度传感器代替纸带和打点计时器C. 将无线力传感器捆绑在小车上，再将细线连在力传感器上，用力传感器读数代替砂和小桶的重力D. 在增加桶内砂子质量的同时，在小车上增加砝码，确保砂和小桶的总质量始终远小于小车和砝码的总质量13. 【选做题】本题包括A、B两小题，请选定其中一题作答，若两题都做，则按A小题评分．A. (选修模块33)(12分)(1) 下列说法正确的是________．A. 相对湿度越大，人感觉越潮湿B. 单晶体有确定的熔点，多晶体没有确定的熔点C. 分子间的引力和斥力都随分子间距的减小而增大D. 一定量的理想气体，当分子热运动加剧时，压强必增大(2) 如图所示，有一个红酒瓶状的玻璃容器水平放置，左侧“瓶身”的体积为300 cm3，右侧“瓶颈”是一段内部横截面积为0.5 cm2、有效长度为40 cm的玻璃管，管内有一段长度可忽略不计的水银柱，密闭了一定质量的气体在容器内．当大气压为1.0×105 Pa、密闭气体温度为27 ℃时，水银柱刚好位于玻璃管最左侧，现缓慢升高密闭气体温度．则当温度升高到________℃时，水银柱会掉出容器；在此过程中，密闭气体从外界吸收的热量为12 J，则在这一过程中密闭气体的内能变化了________J.(3) 水的摩尔质量为M＝18 g/mol，水的密度为ρ＝1.0×103 kg/m3，阿伏加德罗常数N A ＝6.0×1023 mol－1.求：①一个水分子的质量．②一瓶600 mL的纯净水所含水分子数目．B. (选修模块34)(12分)(1) 下列说法正确的是________．A. 均匀变化的磁场产生均匀变化的电场B. 相对论认为时间和空间与物质的运动状态无关C. 在干涉现象中，振动加强点的位移可能比减弱点的位移小D. 在单缝衍射实验中，减小缝的宽度，中央条纹变宽变暗(2) 一列简谐横波沿x轴正方向传播，t＝0时刻的波形如图所示，此时波恰好传播到A 点处(x＝6 m)．起振后A处质点在8 s时间内的运动路程是16 cm，则该列波的波速是________m/s；位于x＝18 m处的质点在t＝________s时刻将第一次到达波谷位置．(3) 现有一三棱柱工件，由折射率为n＝2的透明玻璃材料制成．如图所示，其截面ABC 为直角三角形，∠ACB＝30°.现有一条光线沿着截面从AC边上的O点以45°的入射角射入工件，折射后到达BC边．求：①光线射入工件时的折射角；②光线第一次射出工件时与界面的夹角．四、计算题：本题共4小题，共55分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14. (8分)(1) 用频率为ν的紫光照射某金属(极限频率为ν0)，且ν>ν0.已知普朗克常量为h.求：①该金属的逸出功W；②光电子的最大初动能E k.(2) 质量为m＝1 kg的小球由高h＝0.45 m处自由下落，落到水平地面后，以v t＝2 m/s 的速度向上反弹，已知小球与地面接触的时间为t＝0.1 s，取g＝10 m/s2.求：①小球落地前速度v的大小；②小球撞击地面过程中，地面对球平均作用力F的大小．15. (15分)如图所示，两根足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距L，导轨上端连接着阻值为R的定值电阻，质量为m的金属杆ab与导轨垂直并接触良好，金属杆和导轨的电阻不计．整个装置处于与导轨平面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中．金属杆由静止释放，下落高度h后开始做匀速运动，已知重力加速度为g.求：(1) 金属杆做匀速运动的速度大小v；(2) 下落高度h的过程中，通过金属杆中的电量q；(3) 下落高度h的过程中，电阻R上产生的热量Q.16. (16分)如图所示，倾角为37°的光滑倾斜轨道AB与粗糙的竖直放置的半圆形轨道CD通过一小段圆弧BC平滑连接，BC的长度可忽略不计，C为圆弧轨道的最低点．一小物块在A点从静止开始沿AB轨道下滑，进入半圆形轨道CD，运动半周后恰好能通过轨道CD 的最高点D，最后落回到倾斜轨道AB上．已知小物块可以看做质点，质量m＝0.4 kg，半圆形轨道半径R＝0.4 m，A点与轨道最低点的高度差h＝1.25 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：(1) 小物块运动到C点时对半圆形轨道压力F的大小；(2) 小物块在半圆形轨道上运动过程中克服摩擦力所做的功W；(3) 小物块从D点落回到倾斜轨道AB上的运动时间t(结果可保留根号)．17. (16分)如图所示，足够大的荧光屏ON垂直xOy坐标面，与x轴夹角为30°，当y 轴与ON间有沿－y方向、场强为E的匀强电场时，一质量为m、电荷量为q的正离子从y 轴上的P点，以速度v0、沿＋x轴方向射入电场，恰好垂直打到荧光屏上的M点(图中未标出)．现撤去电场，在y轴与ON间加上垂直坐标面向外的匀强磁场，相同的正离子从y轴上的Q点仍以速度v0、沿＋x轴方向射入磁场，恰好也垂直打到荧光屏上的M点，离子的重力不计．求：(1) 离子在电场中运动的时间t1；(2) 磁场的磁感应强度B；(3) 若相同的离子分别从y轴上的不同位置以速度v＝ky(y>0，k为常数)、沿＋x轴方向射入磁场，离子都能打到荧光屏上，问k应满足什么条件？满足条件的所有离子中，在磁场中运动时间的最大值为多大？江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(二)物理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题共31分)一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1. 如图所示，一只鱼鹰发现河面的鱼后，沿虚线斜向下匀速俯冲，则空气对鱼鹰的作用力可能是()A. F1B. F2C. F3D. F4第1题图第3题图第4题图2. 在地面上某处将一金属小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处．若不考虑空气阻力，则下列图象能正确反映小球的速度v、加速度a、位移x和合外力F随时间变化关系的是(取向上为正方向)()3. 如图所示，等边三角形abc的两个顶点a、b上分别放有点电荷，a处电荷带正电，b 处电荷带负电，正电荷量比负电荷量小，则c点的电场强度方向可能是()A. E1方向B. E2方向C. E3方向D. E4方向4. 如图所示，两个四分之一光滑圆弧轨道AB、CD置于同一竖直平面内，两轨道的圆心都在O点，轨道的末端B、D处的切线均沿水平方向．现将一小球先后从轨道顶端的A处和C处由静止释放，则两次运动相比较，从C处释放的小球()A. 落地时的速度更大B. 平抛的水平位移更大C. 在圆弧轨道最低点时的加速度更大D. 落地时的速度与竖直方向的夹角更大5. 雨滴下落过程中会受到空气阻力的作用，阻力的大小与雨滴的半径及它相对空气的速度有关．雨滴相对空气速度一定时，它受到的空气阻力与雨滴半径的n次方成正比(1≤n≤2)；半径相同的雨滴，相对空气的速度越大，它受到的空气阻力越大．若一个大雨滴和一个小雨滴从空中同一高度同时由静止下落，则()A. 任何时刻它们的加速度相同B. 它们将做匀加速运动C. 大的雨滴先落地D. 最终它们可能以相同的速度做匀速运动二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题意，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．6. 如图所示，理想变压器原、副线圈匝数比为10∶1，输入电压u＝311sin 100πt(V)时，灯泡L1和L2都发光，电压表和电流表可视为理想交流电表，则()A. 该交流电的频率为50 HzB. 电压表的示数为31.1 VC. 若将变阻器的滑片P向上滑动，则电流表的示数将变大D. 若将变阻器的滑片P向下滑动，则灯泡L1将变暗、灯泡L2将变亮7. 如图所示，有a、b、c、d四颗人造地球卫星，a在地球赤道上未发射，b在近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是在高空椭圆轨道上运行的探测卫星，它们的运动轨道都在同一平面内．则有()A. a随地球做圆周运动所需的向心力等于万有引力B. b在相同时间内转过的角度最大C. c在4 h内转过的圆心角是π3D. d的运动周期有可能是20 h8. 如图甲所示，AB是电场中的一条直线，一个仅受电场力作用的电子，以一定的初速度从A点出发，沿AB运动到B点，其vt图象如图乙所示．关于A、B两点的电势φA、φB 和电场强度E A、E B的大小关系，下列判断正确的是()A. φA<φBB. φA>φBC. E A<E BD. E A>E B9. 如图所示，一侧固定一轻质弹簧的滑块甲在足够长的光滑斜面上由静止开始下滑，同一时刻，距甲不远处的滑块乙以一定的初速度v向下运动，并追上甲．关于乙与甲通过弹簧发生相互作用的过程，下列说法中正确的是()A. 与弹簧接触后，滑块乙的加速度立即改变方向B. 地面对系统的支持力等于甲、乙及斜面体的总重力C. 当甲与乙的速度相等时弹簧的弹性势能最大D. 在弹簧压缩过程中，乙的机械能的减少量大于弹簧的弹性势能的增加量第Ⅱ卷(非选择题共89分)三、简答题：本题分必做题(第10、11、12题)和选做题(第13题)两部分，共42分．请将解答填写在相应的位置．【必做题】10. (8分)某同学想用“落体法”测定重力加速度，实验时释放纸带瞬间的实验装置如图甲所示，该同学在所打的纸带上选取了A、B、C三个连续的计数点甲(相邻计数点间还有一个点未画出)，如图乙，并用刻度尺测出AB、AC间的距离分别为8.20 cm、17.96 cm.(1) 从图甲看，该同学的操作不当之处是________．(2) 由长度测量结果可知，实验所用刻度尺的最小刻度为________cm.(3) 已知打点计时器的打点周期是0.02 s，则可测得重力加速度的大小为________m/s2；B点对应的瞬时速度是________m/s.(保留三位有效数字)乙11. (10分)为了测量一节电池的电动势和内阻，某同学从实验室找到以下器材：A. 1个满偏电流为100 μA、内阻为2 500 Ω的微安表；B. 2个电阻箱(0～999.9 Ω)；C. 1个开关，导线若干．(1) 由于微安表的量程不能满足测量需要，该同学将微安表改装成毫安表．将微安表与电阻箱1并联，电阻箱1面板情况如图甲所示，则阻值为________Ω，毫安表量程为________mA.(2) 将改装的毫安表接入如图乙所示电路中，测量电池的电动势及内阻．请用笔画线代替导线完成图丙中实物图的连接．丙丁(3) 改变电阻箱2的电阻R，读出相应电流I，作相关计算后记录如下表．1 2 3 4 5 6R/Ω95.0 75.0 55.0 45.0 35.0 25.0I/mA 15.0 18.7 24.8 29.5 36.0 48.0IR/V 1.43 1.40 1.36 1.33 1.26 1.20①根据表中数据，在图丁中描绘出六个点的位置，请作出IRI图线；②由图线可得电池的电动势E＝________V，图线斜率绝对值|k|＝________Ω.12. (12分)(1) 下列说法正确的是________．A. 铀核(238 92U)衰变为铅核(206 82Pb)的过程中，要经过8次α衰变和10次β衰变B. 新一代核武器采用了新的储存技术后，延长了核弹头内裂变物质的半衰期C. 光子、质子、电子都具有能量、动量，也都具有波粒二象性D. 玻尔的原子模型具有局限性，之后发展起来的电子云理论更为客观准确(2) 如图所示为氢原子的能级图，n为量子数．在氢原子由n＝2能级跃迁到n＝3能级的过程中，________(选填“吸收”或“放出”)光子．若该频率的光子恰能使某金属产生光电效应，则一群处于量子数为4的激发态的氢原子在向基态跃迁过程中，有________种频率的光子能使该金属产生光电效应．(3) 如图所示，质量均为m的小车与弹性球静止在光滑的水平面上，质量为2m的小明坐在小车上．现小明用力向右迅速推出弹性球，弹性球相对于水平面以速度v向右平动，与右侧竖直墙壁发生弹性碰撞，弹性球反弹后被小明接住，小明与车和弹性球以相同的速度一起运动，求：①墙对弹性球的冲量的大小；②小明接住弹性球后三者共同速度的大小．13. 【选做题】本题包括A、B两小题，请选定其中一题作答，若两题都做，则按A小题评分．A. (选修模块33)(12分)(1) 下列说法中正确的是________．A. 图A为两分子系统的势能E p与两分子间距离r的关系曲线，则当r大于r1时，分子间的作用力表现为引力B. 图B为观察布朗运动时得到的观察记录，记录的是某个水分子的运动轨迹C. 图C为细玻璃管插入水银中时发生的毛细现象，则水银不浸润玻璃D. 图D为同一气体在温度T1、T2时的分子速率分布图象，则T1大于T2(2) 在“油膜法估测分子直径”的实验中，将1毫升油酸和酒精配制成n毫升的油酸酒精溶液，测得每N滴这种溶液的总体积为V.将一滴这种溶液滴在浅盘中的水面上，待油膜稳定后，在玻璃板上描出油膜的边界线，再把玻璃板放在画有边长为a的正方形小格的纸上(如图甲)测得油膜占有的小正方形个数为k.①从图中数得油膜占有的小正方形个数为k＝________．②用以上字母表示油酸分子的直径d＝________．(小正方形个数用k表示)(3) 一定质量的理想气体，经历了从A→B→C→A的状态变化过程，其pV图象如图乙所示．已知气体在状态A时的温度为127 ℃，求：①气体在状态B时温度为多少？②气体从A→B→C→A的状态变化的全过程中是吸热还是放热？传递的热量是多少？B. (选修模块34)(12分)(1) 下列说法中正确的是________．A. 一单摆做简谐运动，摆球相继两次通过同一位置时的速度相同B. 机械波和电磁波都能发生反射、折射、干涉和衍射现象C. 因为红外线的频率与固体分子的固有频率接近，所以容易引起固体分子的共振D. 透过旋转的偏振片，可以看到平静湖面反射光的明暗变化，说明太阳光是偏振光(2) 图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，P是平衡位置为x＝1 m处的质点，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图象．则波的传播速度为________m/s.t＝0.15 s时质点P的运动方向沿y轴________(选填“正”或“负”)方向．(3) 为了测量半圆形玻璃砖的折射率，某同学在半径为R＝5 cm的玻璃砖下方放置一光屏，光屏与玻璃砖上表面平行．如图所示，一束光从圆心O垂直射入玻璃，光透过玻璃砖后在光屏上留下一光点A.将光束向右平移至O1点入射时，光屏上亮点恰好消失，测得OO1＝3 cm，求：①玻璃砖的折射率n；②光在玻璃中传播速度的大小v.(光在真空中传播速度c＝3.0×108 m/s)四、计算题：本题共3小题，共47分．解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14. (15分)如图所示，“U”形金属导轨ABCD固定在水平面上，AB边长L＝0.4 m，其间接有电阻R＝2 Ω的小灯泡．圆形区域内有磁感应强度B＝0.5 T、方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆形区域恰好与导轨相切，相切点为E、F.金属棒MN平行于AB边放置在框架上，金属棒接入回路部分的电阻r＝0.5 Ω，框架的电阻忽略不计．若棒以恒定速率v向右滑动，棒与导轨始终垂直且接触良好，当棒滑至E、F位置时，小灯泡中电流为0.2 A．求：(1) 棒在E、F位置时所受到的安培力大小和方向；(2) 棒的速率v；(3) 在棒从出发至到达E、F位置这一过程中，通过小灯泡的电量(取π＝3)．15. (16分)如图所示，一根轻弹簧与质量为m的小球连接后，穿在一根固定的光滑水平直杆上，弹簧右端固定于墙壁上．一根轻绳绕过轻小定滑轮后与小球相连，定滑轮转轴为O，轻绳另一端受恒力F的作用．把小球从图中A点由静止释放后，观察到小球先后经过B、C 两点．已知，OA与水平方向的夹角为θ＝37°，C为O的竖直投影点，OC两点间距为H，小球在A、B、C三点均受到弹簧向右的拉力，大小分别为F0、2F0和5F0.不计滑轮的摩擦，弹簧形变均在弹性限度之内，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：(1) 释放瞬间，小球的加速度大小a A；(2) 小球从A到B的过程中，恒力F做的功W F；(3) 小球经过C点时的速度大小v C.16. (16分)如图所示，高度均为L的条形区域Ⅰ、Ⅱ中分别存在匀强磁场和匀强电场，区域Ⅰ内的磁场方向垂直于纸面向里，区域Ⅱ内的电场方向竖直向上、电场强度大小为E. M、N是涂有荧光物质的水平板，电子击中后会发出荧光．M板位于区域Ⅰ的上边界，N板位于区域Ⅱ的下边界．现有一束电子从O 点紧贴M 板内侧水平向右射入磁场，速度大小为v ，电子束垂直击中N 板上的A 点(图中未画出)．已知电子质量为m ，电荷量为e ，电子间的相互作用及重力不计．(1) 求磁场的磁感应强度大小B ；(2) 若将电子束的发射速度变为v2，方向不变，求电子从出发到击中N 板的时间t ；(3) 若从O 点向纸面内各个方向发射速度为v 的电子，求N 板上出现亮点区域的长度．江苏省普通高等学校招生考试高三模拟测试卷(三)物理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分120分，考试时间100分钟．第Ⅰ卷(选择题共31分)一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分．每小题只有一个选项符合题意．1. 质量相等的甲、乙、丙、丁四个物体，均只受到两个力的作用，大小为F1和F2，方向如图所示，产生加速度的大小分别为a甲、a乙、a丙、a丁，下列排序正确的是()A. a甲>a丙>a乙>a丁B. a丁>a丙>a乙>a甲C. a乙>a丙>a丁>a甲D. a丙>a乙>a丁>a甲2. 一交变电流随时间变化的图象如图所示，此交变电流的有效值是()A. 7 AB. 5 2 AC. 7 2 AD. 10 A3. 如图所示，甲、乙、丙是地球大气层外圆形轨道上的卫星，其质量大小关系为m甲＝m乙<m丙，下列说法正确的是()A. 乙、丙的周期相同，且小于甲的周期B. 乙、丙的线速度大小相同，且大于甲的线速度C. 乙、丙所需的向心力大小相同，且小于甲的向心力D. 乙、丙向心加速度大小相同，且小于甲的向心加速度4. 如图所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方电子的初速度方向与电流I的方向相同，均平行于纸面水平向左．下列四幅图是描述电子运动轨迹的示意图，正确的是()。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(一)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上． 1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________． 4. 根据如下所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l：x－y＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C的方程；(2) 设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，m＝(k1－2，1)，n＝(1，k2－2)，若m⊥n，求证：直线AB过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝xy时等号成立． 12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n ＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y ＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)， 而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4， 即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4， 将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1， 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1， 即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12， 此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分) (2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立，即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9， 当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x， 得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ， 令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ， 又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]． 当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1， 综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分)(3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于 1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0， 故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。
2019年江苏省高考数学模拟试卷(1)(含附加,详细答案)
A NB（第7题）2019年高考模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y（第5题）( 第8题 )ACPEABCB 1C 1A 1MN （第16题）12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ=，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1A C 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ； （2）//MN 平面ABC ．（第18题）17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b ab+=>>()的离心率为2，且过点1⎛⎝⎭．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和 下顶点，且PA 交y 轴于点E ，PB 交x 轴于点（1）求a b ，的值；（2）若F 为椭圆C 的右焦点，求点E 的坐标； （3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为n S ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值；（2）若123a a a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．2019年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ， 交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C的参数方程（第21—A 题）ABCDP（第22题）为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ=（01λ<≤）． （1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ） 次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束． （1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2019年高考模拟试卷（1）数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}0 2． -1 3．0.5 4． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ，则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥P ACE -的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC -与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23．9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==，所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间．由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为： 12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，，则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331n n -+≤99即2993n n --≤0， 设函数299()3f x x x =--，则299()3f x x x =--在[)1+∞，上单调递增． 因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=．12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则2342BM AB AC =-⋅==，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y =+，19b y x=+，则10a b +=．ABCB 1C 1A 1MN 因为ab =()1x y+⋅()1191091016y xy x xy +=+++≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2．14． 1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ=+=+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >．若1q >，由1a n 充分大，则2n a >，矛盾； 若01q <<，由1a n 充分大，则1n a <，矛盾， 所以1q =，从而1n a a =π12n θ=．则数列{}n θ的前2 018项之和是1009π6．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=-，即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=-sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sin sin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-． 令πππ2π22π+262k x k --≤≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈． 16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ． 又111AA AC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ，因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1．在三棱柱111ABC A BC -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1． 又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1．所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-． 令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min 1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+， 所以当4x =时，max 3.6y =（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--．因为9363x x -+-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max 3.7y =（万元）． 综上，当6x =时，max 3.7y =（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分)解：（1）依题意，221314a b +=，c a =222(0)c a b c =->， 解得2241a b ==，． 因为0a b >>，所以21a b ==，．（2）由（1）知，椭圆C 的右焦点为)0F，椭圆C 的方程为2214x y +=，① 所以()()2001A B --，，，．从而直线BF 1y =． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x =+．令0x =，得7y =-E 的坐标为(07-，．（3）设()00P x y ，（0000x y >>，），且220014x y +=，即220044x y +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：0011y y x x ++=，令0y =，得001xx y =+． 所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++ 2=． 19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981a a -+=，解得119a =或49．（2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*n n S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+， ①()2122a a a p +=+， ②()21233a a a a p ++=+． ③ ②-①，得()()22221a a p a p =+-+，即()2122a d a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤ ⑤-④，得()()32231222a a d a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =． 若0d =，则230a a ==，与0n a >矛盾，故12d =．代入④得()1111112222a a a p +=+++，于是14p =．因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+， 所以()()221111144n n nn na S S a a +++=-=+-+，即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=，于是()()11102n n n na a a a +++--=．因为0n a >，所以1102n n a a +--=，即112n n a a +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列．因此，*1121(1)()424n n a n n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分)解：（1）由()e (1)x f x a x =-+，知()e x f x a '=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增； 若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增． （2）由（1）知，当0a >时，min ()(ln )ln f x f a a a ==-．因为()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤， 所以2ln ab a a -≤． 设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a a a a a '=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e-，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e -∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e．所以21ln 2e ab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e． （3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若0x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点． ③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->，又存在010e 2a x a -=<+，00()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分． C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ． 又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)21B.【解】设1 -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a c b d A ，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA ， 所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 21c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y z y z x ++++≥，即()()()2222111111y x z x y zx y z y z x ++++++≥，所以222111yx z x y z y z x++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{}AB AD AP ，，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．因为1λ=，所以BC AD =． 依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，， 所以()111PC =-，，， ()101PB =-，，，()11PD =-0，，． 设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，． 取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．（2）依题意，()10C λ，，，101PB ，，，11PCλ，，，011PD，，．设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n ()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212 cos⋅〈〉=⨯，n n n n n n 1 cos120 2==， 解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=． 23．(本小题满分10分)解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=．（2）依题意，()()()11111C C2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）． 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦． 而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤ ()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃） 因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），所以2220k k m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立． 所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211C C2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221C C2m m m mm+-++⋅．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(一)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2－3}，若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．2. 若命题“∀t ∈R , t 2－at －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________.3. 已知复数z 满足z (1－i)＝2＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模|z |＝________．4. 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为1时，则输入的x 的值为________． Read xIf x ≤0 Then y ←x 2＋1 Elsey ←ln x End If Print y5. 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f （x ＋3），x <4，则f (log 238)＝________．6. 盒子中有2个白球、1个黑球，一人从盒中抓出两球，则两球颜色不同的概率为________．7. 设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最大值为________．8. 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若△AF 1F 2为等腰三角形，则C 2的离心率是________．9. 已知α，β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝13，则cos(α＋π4)＝________．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，D 在边AB 上，BD →＝2DA →，若DB →·DC →＝3，则边AC 的长为__________．11. 设正四面体ABCD 的棱长为6，P 是棱AB 上的任意一点(不与A ，B 重合)，且P 到平面BCD 、平面ACD 的距离分别为x ，y ，则3x ＋1y的最小值是________．12. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －(12)n －1＋1(n 为正整数)，则数列{a n }的通项公式为________．13. 已知函数f (x )(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，若函数y ＝2xx －1－f (x )有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．14. 已知函数f (x )＝1e x －ae x (x >0，a ∈R )，若存在实数m ，n ，使得f (x )≥0的解集恰为[m ，n ]，则实数a的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M ，N 分别为线段BB 1，A 1C 的中点，MN ⊥AA 1，且MA 1＝MC .求证： (1) 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1； (2) MN ∥平面ABC .已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2B2＝3sin B ，b ＝1.(1) 若A ＝5π12，求边c 的大小；(2) 若sin A ＝2sin C ，求△ABC 的面积．学校A，B两餐厅每天供应1 000名学生用餐(每人每天只选一个餐厅用餐)，调查表明：开学第一天有200人选A餐厅，并且学生用餐有以下规律：凡是在某天选A餐厅的，后面一天会有20%改选B餐厅，而选B餐厅的，后面一天则有30%改选A餐厅．若用a n，b n分别表示在开学第n天选A餐厅、B餐厅的人数．(1) 求开学第二天选择A餐厅的人数；(2) 若某餐厅一天用餐总人数低于学校用餐总数的920，则该餐厅需整改，问B餐厅在开学一个月内是否有整改的可能，如果有可能，请指出在开学后第几天开始整改；如果没有可能，请说明理由．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线l ：x －y ＋2＝0与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，若m ⊥n ，求证：直线AB 过定点．在等比数列{a n }中，a 2＝14，a 3·a 6＝1512.设b n ＝log2a 2n 2·log2a 2n ＋12，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1) 求a n 和T n ；(2) 若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n －2(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1) 当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2) 若x e x f (x )>m 对x ∈[1，e]恒成立，求k 的取值范围； (3) 若f ′(1)＝0，求证：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立．最高考·高考全真模拟卷·数学参考答案2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(一)1. 1或－2 解析：∵ A ∩B ＝{1}，∴ 1∈B ，∴ a ＝1或a 2－3＝1，∴ a ＝1或a ＝±2，但a ＝2 不合题意，舍去．2. [－4，0] 解析：∵ Δ＝a 2＋4a ≤0，∴ －4≤a ≤0.3.102 解析：z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝12＋32i ，|z|＝14＋94＝102. 4. e 或0 解析：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，ln x ，x >0，令y ＝1，则x ＝0或x ＝e.5. 24 解析：∵ log 238＝log 23－3<4，log 23<4，又x<4时，f(x)＝f(x ＋3)，∴ f ⎝⎛⎭⎫log 238＝f(log 23－3)＝f(log 23＋3)．∵ log 23＋3>4，∴ f(log 23＋3)＝2log 23＋3＝2log 23·23＝24. 6. 23 解析：从盒中抓出两球共有3种方法，其中颜色不同的有2种，故概率为23. 7. 6 解析：作出如图所示可行域，当直线经过最优点(4，6)时，z 取得最大值6.8. 23 解析：∵ AF 2＝F 1F 2＝2c ＝4，AF 2－AF 1＝2，∴ AF 1＝2，∴ a ＝3，∴ e ＝23. 9. －82＋315 解析：由于α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴ 3π2<α＋β<2π，∴ π2<β－π4<3π4，∴ cos (α＋β)＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－223，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos [(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4]＝45×⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫－35×13＝－82＋315.10. 10 解析：∵ DB →·DC →＝3，∴ DB →·(BC →－BD →)＝3，∴ DB →·BC →－DB →·BD →＝3.又|BD →|＝2，∴ BD →·BC →＝1，∴ cos B ＝14，由余弦定理得AC ＝10.11. 2＋3 解析：∵ V ABCD ＝V PBCD ＋V PACD ，正四面体ABCD 的高h ＝2，∴ x ＋y ＝2，∴ 3x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫4＋3y x ＋x y ≥2＋3，当且仅当3y x ＝x y 时等号成立．12.n －12n 解析：当n ＝1时，得S 1＝－a 1－⎝⎛⎭⎫120＋1，即a 1＝0；当n ≥2时，∵ S n ＝－a n －⎝⎛⎭⎫12n －1＋1，∴ S n －1＝－a n －1－⎝⎛⎭⎫12n －2＋1，∴ a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，∴ 2a n ＝a n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1，即2n a n＝2n －1a n －1＋1.令b n ＝2n a n ，则当n ≥2时，b n ＝b n －1＋1，即b n －b n －1＝1.又b 1＝2a 1＝0，故数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列，于是b n ＝b 1＋(n －1)·1＝n －1.∵ b n ＝2n a n ，∴ a n ＝2－n b n ＝n －12n.13. 4 解析：y ＝2x x －1－f(x)的零点即为2x x －1＝f(x)的解，∴ y ＝2x x －1与y ＝f(x)有四个交点．∵ y ＝2x x －1＝2＋2x －1，∴ y ＝2x x －1的图象关于点(1，2)对称．又f(x)(x ∈R )的图象关于点(1，2)对称，∴ y ＝2xx －1与y＝f (x )的四个交点关于(1，2)对称，∴ x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝2＋2＝4.14. (0，1) 解析：由f(x)≥0及x>0，得a ≤e x e x 的解集恰为[m ，n]，设 g(x)＝e xe x ，则g′(x)＝e （1－x ）e x ，由g′(x)＝0，得x ＝1，当0<x<1时，g ′(x)>0，g(x)单调递增； 当x>1时，g ′(x)<0，g(x)单调递减， 且g(1)＝1，g(0)＝0，当x>0时，g(x)>0，大体图象如图所示．由题意得方程a ＝e xex 有两不等的非零根，∴ a ∈(0，1)．15. 证明：(1) ∵ MA 1＝MC ，且N 是A 1C 的中点， ∴ MN ⊥A 1C.又MN ⊥AA 1，AA 1∩A 1C ＝A 1，A 1C ，AA 1⊂平面A 1ACC 1， 故MN ⊥平面A 1ACC 1. ∵ MN ⊂平面A 1MC ，∴ 平面A 1MC ⊥平面A 1ACC 1. (6分) (2) 如图，取AC 中点P ，连结NP ，BP. ∵ N 为A 1C 中点，P 为AC 中点， ∴ PN ∥AA 1，且PN ＝12AA 1.在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，BB 1∥AA 1，且BB 1＝AA 1. 又M 为BB 1中点，故BM ∥AA 1，且BM ＝12AA 1，∴ PN ∥BM ，且PN ＝BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形， 从而MN ∥BP.又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ， ∴ 故MN ∥平面ABC.(14分)16. 解：(1) 由题意，得1＋cos B ＝3sin B ，∴ 2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，∴ B －π6＝π6或5π6(舍去)，∴ B ＝π3.∵ A ＝5π12，则C ＝π4，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得c ＝63.(5分)(2) ∵ sin A ＝2sin C ，由正弦定理，得a ＝2c.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B, 将b ＝1，a ＝2c ，B ＝π3代入解得c ＝33，从而a ＝233，∴ S △ABC ＝12ac sin B ＝12×233×33sin π3＝36.(14分)17. 解：(1) 第一天选A 餐厅的学生在第二天仍选A 餐厅的学生有200(1－20%)＝160(人)，第一天选B 餐厅的学生在第二天改选A 餐厅的学生有(1000－200)×30%＝240(人)， 故开学第二天选择A 餐厅的人数为160＋240＝400.(4分) (2) 由题知b n ＋1＝20%a n ＋b n (1－30%)， 而a n ＋b n ＝1 000，∴ b n ＋1＝12b n ＋200，∴ b n ＋1－400＝12(b n －400)．又b 1＝1 000－200＝800，∴ 数列{b n －400}是首项为400，公比为12的等比数列，∴ b n －400＝400×⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴ b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1.当选B 餐厅用餐总人数低于学校用餐总数的920时， 有400＋400×⎝⎛⎭⎫12n －1<920×1 000， 即⎝⎛⎭⎫12n －1<18，∴ n >4，∴ B 餐厅有整改的可能，且在开学第5天开始整改．(14分) 18. (1) 解：∵ 等轴双曲线的离心率为2，∴ 椭圆的离心率为e ＝22，∴ e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12，∴ a 2＝2b 2.∵ 直线l ：x －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝b 2相切，∴ b ＝1，∴ 椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(4分)(2) 证明：由(1)知M(0，1)，∵ m ＝(k 1－2，1)，n ＝(1，k 2－2)，m ⊥n ，∴ k 1＋k 2＝4. ① 若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y ＝kx ＋m ，依题意m ≠±1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1，得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，则有x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2. 由k 1＋k 2＝4，可得y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝4， ∴ kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝4， 即2k ＋(m －1)·x 1＋x 2x 1x 2＝4， 将x 1＋x 2，x 1x 2代入得k －km m ＋1＝2，∴ m ＝k 2－1， 故直线AB 的方程为y ＝kx ＋k 2－1， 即y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1，∴ 直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1；(10分) ② 若直线AB 的斜率不存在，设方程为x ＝x 0，则点A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)．由已知y 0－1x 0＋－y 0－1x 0＝4，得x 0＝－12， 此时AB 方程为x ＝x 0，显然过点⎝⎛⎭⎫－12，－1. 综上所述，直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－12，－1.(16分) 19. 解：(1) 设{a n }的公比为q ，由a 3a 6＝a 22·q 5＝116q 5＝1512，得q ＝12， ∴ a n ＝a 2·q n －2＝⎝⎛⎭⎫12n.(2分) b n ＝log 2a 2n 2·log 2a 2n ＋12＝log ⎝⎛⎭⎫122n －12·log ⎝⎛⎭⎫122n ＋12＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， ∴ T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. (5分)(2) ① 当n 为偶数时，由λT n <n －2恒成立，得λ<（n －2）（2n ＋1）n ＝2n －2n－3恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min，(6分) 而2n －2n－3随n 的增大而增大， ∴ n ＝2时⎝⎛⎭⎫2n －2n －3min＝0，∴ λ<0；(8分) ② 当n 为奇数时，由λT n <n ＋2恒成立得，λ<（n ＋2）（2n ＋1）n ＝2n ＋2n＋5恒成立， 即λ<⎝⎛⎭⎫2n ＋2n ＋5min.(12分) 而2n ＋2n ＋5≥22n ·2n＋5＝9， 当且仅当2n ＝2n，即n ＝1时等号成立，∴ λ<9. 综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)．(16分)20. (1) 解：由f(x)＝ln x ＋2e x， 得f′(x)＝1－2x －x ln x x e x，x ∈(0，＋∞)，(1分) ∴ 曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为f ′(1)＝－1e. ∵ f(1)＝2e，∴ 曲线y ＝f(x)切线方程为 y －2e ＝－1e (x －1)，即y ＝－1e x ＋3e.(4分) (2) 解：由x e x f(x)>m ，得k>m x－ln x ， 令F (x )＝m x－ln x ，则k >F (x )max ， 又F ′(x )＝－m x 2－1x ＝－1x2(x ＋m )，x ∈[1，e]． 当m ≥0时，F ′(x )<0，F (x )在[1，e]上单调递减，∴ F (x )max ＝F (1)＝m ，∴ k >m ；当m <0时，由F ′(x )＝0，得x ＝－m ，在(0，－m )上F ′(x )>0，F (x )单调递增，在(－m ，＋∞)上F ′(x )<0，F (x )单调递减．① 若－m ≤1即－1≤m <0，则F (x )在[1，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (1)＝m ；② 若1<－m <e 即－e<m <－1，则F (x )在[1，－m ]上单调递增，在[－m ，e]上单调递减，k >F (x )max ＝F (－m )＝－1－ln(－m )；③ 若－m ≥e 即m ≤－e ，则F (x )在[1，e]上单调递增，k >F (x )max ＝F (e)＝m e－1， 综上，当m ≥－1时，k ∈(m ，＋∞)；当－e<m <－1时，k ∈(－1－ln (－m )，＋∞)；当m ≤－e 时，k ∈⎝⎛⎭⎫m e －1，＋∞.(8分) (3) 证明：由f ′(1)＝0，得k ＝1.令g (x )＝(x 2＋x )f ′(x ),∴ g (x )＝x ＋1ex (1－x －x ln x )，x ∈(0，＋∞)， 因此，对任意x >0，g (x )<e －2＋1等价于1－x －x ln x <e xx ＋1(e －2＋1)． 由h (x )＝1－x －x ln x ，x ∈(0，＋∞)，得h ′(x )＝－ln x －2，x ∈(0，＋∞)，因此，当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，∴ h (x )的最大值为h (e －2)＝e －2＋1，故1－x －x ln x ≤e －2＋1.设φ(x )＝e x －(x ＋1)，∵ φ′(x )＝e x －1，所以x ∈(0，＋∞)时φ′(x )>0， ∴ φ(x )单调递增，φ(x )>φ(0)＝0，故x ∈(0，＋∞)时，φ(x )＝e x－(x ＋1)>0，即e xx ＋1>1， ∴ 1－x －x ln x ≤e －2＋1<e xx ＋1(e －2＋1)， 故对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江。
2019年江苏省高考数学全真模拟试卷(1)含答案
2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（一）注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 lo g }Ba =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ． 3.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ．4. 一组数据的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为 ． 6． 若抛物线24=xy的焦点到双曲线C ：22221-=y x ab(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ．7.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b++的最大值为 ．8．在三棱锥PA B C-中，D ，E 分别为PB ，P C 的中点，记三棱锥DABE-的体积为1V ，三棱锥P A B C-的体积为2V ，则12V V =．9． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ．10．已知tan()1αβ+=，tan ()2αβ-=，则s in2c o s 2αβ的值为 ．11.如图：梯形ABCD 中，//A B C D ，3=AB ，1==DC AD 2,,4,6,10x若21=⋅BC AD ，则AD AB ⋅= ．12.如图所示，椭圆E 的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别是F 1，F 2，延长B 2F 2 交A 2B 1于点P ，若∠B 2P A 2是钝角，则椭圆E 离心率e 的取值范围是 ．13．已知实数a ，b 满足1a b +=，则()()3311a b ++ 的最大值是 ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a<）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤，则a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)已知在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .若1c o s ,s in 33A C ==（1）求tan B；（2）若227a b +=，求c 的值.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P A B C D -中．（1）若A D ⊥平面P A B ，P B P D ⊥，求证：平面P B D ⊥平面P A D ；（2）若A D ∥B C ，2A D B C =，E 为P A 的中点，求证：B E ∥平面P C D ．如图（1）是一个仿古的首饰盒，其横截面是由一个半径为r 分米的半圆，及矩形A B C D组成，其中A D 长为a 分米，如图（2）.为了美观，要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米，容积为4立方分米（不计厚度），假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米1百元，上半部分制作费用为每平方分米2百元，设该首饰盒的制作费用为y 百元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）当r 为何值时，该首饰盒的制作费用最低？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xO y 中，椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右顶点分别为12A A ，，上顶点为(0,1)B 2.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点，直线12A B A P ，交于点Q ，直线B P 与x轴交于点R ，记直线2A Q R Q ，的斜率分别为12k k ，．求证：212k k -为定值．已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=，n S 为其前n 项和．（1）若12a =-，求4S ；（2）若1a >，且123,,a a a 成等比数列，求1a 的值；（3）数列{}n a 是否能为等差数列？若能，求出满足条件的1a ；若不能，说明理由．20．(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x a x a a =-+∈R ．（1）若1a=，解关于x的方程()0f x =；（2）求函数()f x 在[]1,e 上的最大值；（3）若存在m ，对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，试确定a 的所有可能值．2019年江苏省高考数学全真模拟试卷（一）参考答案1. 8 2． 5 3． 42 4. 22 5. 14 6．3 7.57 8．149．10-10.【答案】3-【解析】[][]s in ()()s in ()c o s ()c o s ()s in ()s in 2c o s 2c o s ()c o s ()s in ()s in ()c o s ()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+--tan ()tan ()31tan ()tan ()αβαβαβαβ++-==--+-．11.3412. 【答案】1)2【解析】方法一：直线A 2B 1：0b xa y ab +-=，直线B 2F 2：0b xcy b c --=，联立可得，2()(,)a cb ac P a ca c-++，222(,)a c ab P B a ca c=--++，2()()(,)a a cb ac P A a ca c--=-++，因为∠B 2PA 2是钝角，所以，220P A P B ⋅<，即2b a c<，又01e <<12e <<．方法二：因为∠B 2PA 2是钝角，所以，12220B A F B ⋅<，(,)(,)0a b c b ---<，2b a c<，又01e <<，所以，椭圆E 的离心率e 的取值范围是1)2．13. 4.14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()22101.x a x a a x f x a x a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x a x aa =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+，当10x -<≤时，22()2221f x x a x a a =-+++的对称轴为2ax=，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a aa -⎧⎨++⎩≤≤或221420a aa -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()2221022101.a x a a x a f x x a x a a a x a x a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x a x aa =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a-<≤时，2()221f x a x aa =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+，当0a x <≤时，22()2221f x x a x a a =-+++的对称轴为2a x=，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤，则()02af ≤，即2420a a ++≤，解得22a ---+≤，又10a -<<，所以12a -<≤．综上可得，32a -≤≤，即a的取值范围为[32]-．15．【答案】（1）（2）【解析】（1）在A B C △中，由1co s 3A =，得s in3A ==.……………………………………………2分所以sin sin C A <，所以CA <，所以C 为锐角，于是c o s 3C ==，…………………………………………4分所以sin tanco s A A A==，sin tan co s C CC==，……………………………………6分所以ta n ta n ta n ta n ()1ta n ta n A C B A C A C++=-+=-=-=-. ………………8分（2）由,sin sin a b AB=可得s in s in 33a A bB===， ……………………………10分又227ab+=，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………12分所以2222c o s733c a b a b C=+-=-=，所以c=……………………………………………………………………………14分（另解：又因为tan tanB C=，角B C，为A B C△的内角，所以c b==）16．【解析】（1）因为A D⊥平面P A B，PB⊂平面P A B，所以AD PB⊥，又因为P B P D⊥，且A D P D D=，A D P D⊂，平面P A D，所以PB⊥平面P A D，又因为PB⊂平面P B D，所以平面P B D⊥平面P A D.…………………6分（2）取P D的中点F，连结E F，因为E F，分别是P A，P D的中点，所以//E F A D，且=2AD EF，又因为四边形A B C D为直角梯形且//A DB C，2A DB C=，所以//E F B C且E F B C=，所以四边形E F C B是平行四边形，所以//B EC F，又C F⊂平面P C D，B E⊄平面P C D，所以//B E平面PC D．…………………………………………………………14分17．【答案】（1）（2）r=【解析】（1）由题意可知：232144(2)282r r a r r a r=π+=π+，所以332242284r rar r-π-π==. ……………………………………2分又因为2r a r≤≤r≤. …………………………………4分所以2224(22)42(4)12810y r a r a r r r r a r r r=+++π⨯+π=++π，=2222128104rr r rr-π⨯++π=26(87)rr++π，定义域为.……………………………………………………………6分（2）令26()(87)f r rr=++π，所以26()(1614)f r rr'=-++π，…………………8分令()0f r'=，即26(1614)rr=+π，解之得：r=当r>()0f r'>，函数()y f r=为增函数；当r<()0f r'<，函数()y f r=为减函数. …………………12分PEAB CDFＦ（第16题图）PEAB CDF（第16题图）r ≤≤()y f r =在上为增函数，所以当r =.答：当r=. …………………………………14分18．【答案】（1）2214xy += （2）见解析【解析】（1）因为椭圆的上顶点为(0,1)B2，所以1,2b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分又222a b c=+，得224,1a b==，所以椭圆的标准方程是2214xy +=；…………………………………………………4分（2）根据题意，可得直线1:12x A By =+，直线21:2)A Q y k x =-（，由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=，化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=，因为2A (2,0)，所以2121164241Pk x k -=+，所以21212(41)41Pk x k -=+，将21212(41)41Pk x k -=+代入直线方程得：121441Pk y k -=+，所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分又因为(0,1)B ，所以1211211214141212(41)2(21)41B Pk k k k k k k --++==----+，所以直线1121:12(21)k B Py x k +=-+-，令0y=得，112(21)(0)21k R k -+，.………………12分于是1112111140211=2(21)2(21)242121R Qk k k k k k k k k -- ==++---+，所以1211112=2()242k k k k -+-=，为定值．…………………………………………16分PEA BCD F（第16题图）19．【答案】（1）0 （2）1=1a或1=2a + （3）见解析 【解析】（1）由12a =-及12n n a a ++=得，20a =，所以32a =，40a =，所以41234=0S a a a a +++=；…………………………………………………………2分 （2）因为10a >，所以2112||2a a a =-=-，3212||2|2|a a a =-=--，①当102a <…时，3112(2)a a a =--=，所以2211(2)a a =-，得1=1a ；②当12a >时，3112(2)4a a a =--=-，所以2111(4)(2)a a a -=-，得1=2a -或1=2a +综合①②可知，1=1a或1=2a +6分（3）假设数列{}n a 是等差数列，则有212||a a =-，312|2|||a a =--，且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=（*） ……………………………………8分 ①当12a >时，由（*）得10a =，与12a >矛盾；②当102a <…时，由（*）得11a =，从而1()na n *=∈N ，此时数列{}n a 为等差数列；③当10a ?时，可得公差2d =， 因此存在2m …，使得12(1)2m a a m =+->，这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知，当且仅当11a =时，数列{}n a 为等差数列. ……………………16分20．【答案】（1）见解析 （2）m a x11e ,,e1()1ln ,1,e 1, 1.a a af x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ （3）【解析】（1）当1a =时，()ln 1f x x x =-+，显然(1)0f =，所以1x =是方程()f x =的一个根．………………………………2分 又因为11()1x f x x x-'=-=，且当01x <<时，()0f x '>，当1x>时，()0f x '<， 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而m ax ()(1)0f x f ==，所以1x =是方程()0f x =的唯一根． ………………………………………………4分（2）因为11()(0)a x f x a x xx-'=-=>，①当0a …时，恒有()0f x '>，所以()f x 在[1e]，上单调递增，所以m a x ()(e )1+e f x f a a ==-； ②当0a >时，当10x a<<时，()0f x '>，当1xa>时，()0f x '<，所以()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减，若1ea…，即10ea <…，m a x ()(e )1+ef x f a a ==-；=1a PEA BCDF（第16题图）若11e a <<<，即11ea <<，m ax 11()()ln11ln f x f a a aaa==-+=--；若101a<…，即1a …，m ax ()(1)0f x f ==．综上所述，()f x 在[1e]，上的最大值为m a x11e ,,e1()1ln ,1,e 1, 1.a a af x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分（3）因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-，所以22(1)ln (1)xx a x a x --<-+<- ， （i ）设2()(1)ln g x x x a x a=--+-，则11()2(1)22g x x a x a xx'=--+=-+-，显然()g x '在(1,)+∞单调递增，所以()(1)=1g x g a ''-…，①当1a …时，恒有g (1)0'…，所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立， 所以()g x 在(1,)+∞单调递增，所以()>(1)=0g x g >，所以1a …符合题意； ②当01a <<时，有122(1)g (1)0,()20a g aaa -''<=-=>，所以11(1,)x a∃∈，使得1()g x '=，从而当11x x <<时，g ()0x '<，即()g x 在1(1,)x 上单调递减，所以()<(1)=0g x g >，不符合题意； ③当0a …时，2221()=0x x g x a x --'+<在2恒成立，所以()g x在2单调递减，所以，不符合题意.综上，恒成立时，.……………………………………………………13分（ii ）设，则， 在单调递增（建议阅卷忽略，讲评要求证），所以，①当时，有，所以 ，使得，从而当时，， 即在上单调递减，所以，不符合题意；②当时，有，所以在恒成立， 所以在单调递增，所以恒成立， 所以符合题意. 综合（i ）、（ii ）可知，. ………………………………………………………16分()<(1)=0g x g >()0g x >1a (2)()(1)ln h x x x a x a=-+-+1()22h x x a x'=+--()h x '(1,)+∞()(1)=1h x h a''-…1a >1(1)0,()20h h a a a ''<=+->2(1,)x a ∃∈2()0h x '=21x x <<()0h x '<()h x 2(1,)x ()<(1)=0h x h >1a …(1)0h '…()(1)0h x h ''>>?(1,)+∞()h x (1,)+∞()>(1)=0h x h >1a (1)。
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2019届江苏高考应用题模拟试题选编（一）1、（江苏省扬州2019 届高三第一学期开学测试数学）如图所示，左图上有一个小型水车，右图是该水车的抽象简图。
简图上圆周被16 个点16 等分，每个点都代表一个水筒，l 代表水面。
水车的原理是利用水流冲击水筒，使水车顺时针匀速转动，水筒浮出左侧水面即进入盛水状态，而达到点P 位置的水筒会将筒内的水流入水道，进入无水状态。
图中所示即为水车的初始状态，该状态下恰有一个水筒处于点P 位置（注：设初始状态下在水面及水面以上且在P 点左侧的水筒处于盛水状态，但恰位于P 点的水筒处于无水状态）. 现水车受到水流冲击，从初始状态开始匀速转动一周（起始位置在P 点的水筒再度转到P 点且其中的水完全流入水道后即意味着水车转完一周）所用时间为t min ，每个水筒经过一次P 点能固定流出100 6t t24 mL 水，其中t 是正常数且1 t 4 ，该数值受水流速度影响，记水车从初始状态转动一周流入水道的总水量为VmL.（1）求V 关于t 的函数表达式；（2）已知水车转动一周的时间段内，平均每分钟流出的水量越高说明水车效率越高，试求出水车在t 为何值时效率最高，并求出在此情况下水车转动一周的时间段内平均每分钟流出的水量.2、（江苏省扬州大学附属中学高三（上）第一次月考数学试卷）工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A、D、E、B 四点共线，通过测量得知起重臂BD=30米，平衡臂AD=8米，CA、CB均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD上需要加拉杆CE，且BE:ED 2:3，记CAD , CED .30 , 15 ，求CD 的长.（选用下列参考数据进行计529）3043、（江苏南京市2019届高三年级学情调研卷）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入at资金t万元的关系有经验公式P＝；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金tt1万元的关系有经验公式Q＝bt，其中a， b 为常数．现将 3 万元资金全部投入甲、乙两种商9品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为9万元；若全部投入乙种商品，所得利润为11）若CD⊥ AB ，现要求2 ，问CD 的长至多为多少米?图 1 是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑2）若CD 不垂直于AB ，现测得算:10480 2,sin117图119 2,34万元．若将 3 万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f（x）万元．（1）求函数f （x）的解析式；（2）怎样将 3 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．4、（2018 年上海市七宝中学高考模拟考试卷（三模））业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A（ A为常数）元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为f （n），经计算发现0 n 10时，f（n）近似地9A 2 3满足f （n）n ，其中a 2 3，p, q为常数，f （0） A.已知3年后总投入资金为p q a研发启动时投入资金的 3 倍，问：（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动是投入资金的8 倍；（2）研发启动后第几年的投入资金的最多？5（江苏省江阴高级中学2018 届数学最后一卷）某经销商计划销售一款新型的电子产品，经市场调研发现以下规律：当每台电子产品的利润为x（单位：元，x>0）时，销售量q （x）（单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过25，则q（x）＝2400；若x 大于或等于225，则销x＋11售量为零；当25≤x≤225 时，q（x）＝a－b x（a，b 为实常数）．（1）求函数q（x）的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值．6（2018 届上海交通大学附属中学毕业考数学试卷）某工厂在制造产品时需要用到长度为698mm 的A 型和长度为518mm 的B 型两种钢管. 工厂利用长度为4000mm 的钢管原材料，裁剪成若干A型和B型钢管. 假设裁剪时损耗忽略不计，裁剪后所剩废料与原材料的百分比为废料率.（1）有两种裁剪方案的废料率小于 4.5% ，请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100 根原材料钢管，一根A型和一根B 型钢管为一套毛坯，按（1）中的方案裁剪，最多可裁剪多少套毛坯？最终的废料率为多少?7（江苏省兴化一中2018 届高考第四次模拟考试数学试卷）如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD（AC为楼间距），两楼的楼高分别为a m，b m，其中b a．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：①BMD 90 ，②楼间距与两楼的楼高之和的比（0.8,1）．（１）求楼间距AC （结果用a,b表示）；（２）若CBD 45 ，是否能满足委托单位的设计要求？8、（江苏省南通市通州区2017-2018 学年下学期高二期末学业质量监测高二数学）9、（苏州市2018 年学业质量阳光指标调研卷数学.）如图，长方形材料ABCD 中，已知AB 2 3，AD 4．点P为材料ABCD 内部一点，PE AB于E,PF AD于F ，且PE 1，PF3 ．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足MPN 150 ，点M，N 分别在边AB，AD 上．（1）设FPN ，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为的函数，并指明的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S最小，并求出其最小值．10、（江苏省无锡市普通高中2017-2018 学年期末考试数学试题）如图所示，ABC 是临江公园内一个等．腰．三．角．形．形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰CA CB 60 米，cos CAB 2.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC，AB上分3别取点E，F （异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF （宽度不计），使得三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.（1）若水上观光通道的端点E为线段AC 的三等分点（靠近点C ），求此时水上观光通道EF 的长度；（2）当AE为多长时，观光通道EF 的长度最短？并求出其最短长度.11、（2018 年上海高考数学试题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作时间的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中x%（0< x < 100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为12、（2018 年江苏高考数学试题）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 米，点P 到MN 的距离为50 米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A, B均在线段MN 上，C, D均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD和△CDP 的面积，并确定sin 的取值范围；1、 BE 12 ， ED 18 又因为 CD ⊥AB 在 Rt ACD 和 Rt CED 中 CD CD tan AD 8CD CD2tan tan tan2 DE 18 1 tan 2 要求 2 2CDCD18tan tan2 8 CD 21 ( )218 CD 61CD 的长至多为 （2）∵ CAD 2、( 1)∵ BD 30，且 BE:ED 2:3 6米 2CD 18CD 2( )2 18300, AE DE AD 18 在三角形 ACE 中，由正弦定理得 AE CE 26 sin ACE sin CAD sin 135 0 在三角形 CDE 中，由余弦定理得 2 2 2CD 2CE 2 DE 2 2CE DE cos CED 150 8 26 ACE 1350,CE sin300 CE 13 2CED得CD 2 (13 2)2 182 26 2 18 810172 CD 22CD 的长为22 米at3、解( 1)由题意得，P ,Q bt t14、? 解：(1)9A由题意知f(0)A，f (3) 3A ．Apq所以9A114qp令f (n) 8A，2n即23解得3A得19A8pqn a181．所以f (n)8A，解得a n9A1 8 a n164，4分164，所以研发启动9 年所以n9．2)由( 1)知f(n)总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．9A1 n8 an7分第n 年的投入资金＝f (n) f (n 1)9A 9A．1 8 an1 8 an 1 ．9分9A a 9A1 8 a n a 8 a n72Aa n(1 a)(1 8 a n)(a 8 a n)72A(1 a)an8(1 a) 64a na72A(1 a)72A(1 a) 9A(1 a) ⋯⋯2 a n 64a n 8(1 a) 8(1 a)2(1 a)a2(2n 1) 1当且仅当64a n n ，即2 3等号，此时n ＝5．a n64所以研发启动后第 5年的投入 资金增长的最多． ⋯⋯⋯⋯⋯a －b · 25＝ 400 ，5、解： (1) 当 25≤ x ≤ 225 时，由a －b · 225＝0，，0<x ≤25，x ＋11故 q(x)＝600－ 40 x ，25<x ≤225，0 ， x>225.(2) 设总利润 f(x)＝ x ·q(x)，240000 x ，0<x ≤25， x ＋11由 (1)得 f(x)＝ 60000x －4000x x ， 25<x ≤ 225，0，x>225.当 0< x ≤ 25 时，f(x)＝240000x ＝240 000[ x+11 所以当 x ＝ 25时， f(x)有最大值 1000 000.(8 分)当 25<x ≤225时，f(x)＝60 000x －4000x x ，f ( x)＝ 60 000－6000 x ， 令 f (x)＝0，得 x ＝100. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分当 25<x<100 时， f (x)>0 ，f(x)单调递增， 当 100<x ≤225时， f (x)<0，f(x)单调递减，所以当 x ＝100时，f(x)有最大值 2000 000. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 当 x>225 时， f(x)＝ 0.答：当 x 等于 100 元时，总利润取得最大值 2000 000 元． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分)6、解( 1)设每根原料可裁剪成 a 根 A 型钢管和 b 型钢管，则a N,b Na N,b N698a 518b 4000 1 a 4,1 b6a 2 ，废料率最小为2 698 5方案一：(1518)100%0.35%b 54000a 4 ，废料率最小为4 698 2方案二：(1518)100% 4.3%b 240002)设用方案一裁剪 x 根原材料，用方案二裁剪 y 根原材料，共裁剪得 z套毛坯，则 x N,y Nx y 00 ，z 2x 4y 2x 4y 5x 2ya ＝ 600， 得b ＝40.2400分1412分2分4分6分11 x＋11］，f(x)在(0，25］上单调递增，∴能满足委托单位的设计要求．答： （1）楼间距 AC 为2 ab m ;（2）能满足委托单位的设计要求． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4060z max320套 ，废料率为40 0.35% 60 4.3%1002.72%7、解： a 2a （1）解 ：（ 1）∵在ABM中，tan BMAc c2在 CDM 中， tan DMCb 2b ，c c2DMC 90 ，∴ tan BMA tan DMC 1，即 c 24ab ，∴ c 2 ab ．5分2）在 CBD 中，过点 B 作CD 的垂线，垂足为 E ，∴ tan CBEa， tan DBE b a c∴tan CBD tan( CBEDBE)tan CBE tan DBE 1 tan CBE tan DBEba c a b a 1 ccbc 2 a c 2 ab8分∵ tan CBD tan45 1 ，2∴a c2ab设 b k 2a ( k 1)，由（ 1）可得 c2ka，2 2 2 2 2 ∴ a 2 4k 2a 2 k 2a 2 2k 3a2，即2k 3 3k232设 f (k) 2k 3 3k 21，k 1，2∴ f (k) 6k 26k 6k(k 1) 0 ，∴ 函数 又∵ f ( 2) 4 2 7 0 ，f ( 3) 63∴ 2 k 3，∴ 3214 k3，10分c ab2k 21 k2 k 1 k(0.8,1) ， 13 分14 分答：最多可裁剪 320 套毛坯，最终的废料率为 2.72%. BMD 90 ，∴ BMAbc ， f （k ） 单调递增， 10 0 ，1 0 ，8、9解：( 1)在直角△ NFP中，因为PF 3 ，所以NF 3tan ，所以S NAP 1NA PF 1(1 3tan ) 322在直角△ MEP 中，因为PE 1，EPM所以ME tan(π），3所以SAMP 1AM2PE1[ 32πtan(3 )]所以SS NAP SAMP 3tan1π tan(223FPN ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分π3，1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分) 3 ，[0, 3π] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（注：定义域错误扣 1 分）2）因为S 3tan 1tan（π2 23 ) 3 32tan 3 tan2(1 3tan )3．令t 1 3tan ，由[0, π]，得t [1,4] ，3所以S 3≥32 3t 2 4t 4 32 3t 2 (t433t) 33．3．12 分⋯9 分11 分14 分当且仅当 t 2 3 时，即 tan 2 3 时等号成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分 33此时， AN 233，S min 2 33 ．33答：当 AN 2 3时，四边形材料 AMPN 的面积 S 最小，最小值为 2 3 ．⋯⋯ 16 分3310、解：（1）在等腰 ABC 中，过点 C 作CH AB 于H ，AH AH 2 在 Rt ACH 中，由 cos CAB ，即 ，∴ AH 40 ， AB 80，AC60 3∴三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 .∴ AE AF EF CE BC BF EF ，即 AE AF 60 AE 60 80 AF ， ∴ AE AF 100.∵ E 为线段 AC 的三等分点（ 靠近点 C ），∴ AE 40 ， AF 60， 在 AEF 中，2 22222EF 2 AE AF 2AE AF cos CAB402 6022 40 60 200 ，3∴ EF200020 5 米 .即水上观光通道EF 的长度为 20 5米 .（2）由 （ 1 ）知， AE AF 100，设 AE x ， AF y ，在 AEF 中，由余弦定理，得2 22224 210EF 2xy 2x ycosCAB xyxy x 3 yxy .3xy22210 222∵ xy502，EF 2100 2502502233∴ EF50 6 当且仅当 x y 取得等号，3所以，当 AE 50 米时，水上观光通道 EF 的长度取得最小值，最小值为180011、解( 1) 2x90> 40x由于 x > 0 ，故 x 2 65x 900 > 0解得 45 < x < 100故当 45< x <100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间2)当0<x 30时， g(x) 30 x% 40(1 x%)50 6米3当0<x 32.5时， g(x)单调递减 当32.5< x 60时， g(x) 单调递增说明，当 S 中有少于 32.5%的成员自驾时，上班时间人均递减； 自驾 32.5%时，人均通勤时间达到最小值； 大于 32.5% 时，人均通勤时间再次逐渐增大。