椭圆中的顶点三角形

P 为椭圆22

221x y a b +=上任一点，A 、B 为椭圆的左右顶点，求证：当P 在短轴顶点时，APB ∠最大。

证明一：如图，过P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，设P （

APQ α∠=，BPQ β∠=，则

tan x a y α+=，tan a x y β-=，2222(1)y x a b =- 2222222222

tan tan tan()1tan tan 1x a a x y y a x x y a x y a y y αβαβαβ+-+++===--+-+--22

22222222ay

ab a c y

a y y a

b ==--+-，所以，当y b =时，tan()αβ+取最大值 证明二：因为22AP BP b k k a

=-，由到角公式： 22222222222[()]2()2tan 11BP BP BP AP BP BP BP AP

b b b k k k k k a k a ab a APB k k b

c c c a a a +--+--∠===≤-=-+- 当且仅当222()BP b k a -=，即BP b k a =-时取“=”