组合与组合数公式
高中数学 组合与组合数公式
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴 中 美 中 古 中 俄 美 中 中国—古巴 美国—俄罗斯 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 俄 中 俄 美 俄 古
（2） 冠 军 亚 军
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 m 组合数，用符号 C 表示
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
abc abd acd bcd
求A 可分两步考虑： 3 4 求 可分两步考虑：
P4
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
3
3
CA
3 4
3 3
.
P A 从而C 4 C3 3 P3
3
3
A
3 4 4
3 4
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
组合与组合数公式 课件
(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为
C130 120.
(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的，排列数为 A130 720.
【想一想】区分排列和组合的关键是什么？区分有无顺序的方 法是什么？ 提示：(1)判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正 确区分事件有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果解出来， 然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变 化．若有新变化，即说明有顺序；若无新变化，即说明无顺序.
C
m n
乘 积
Cmn
A
m n
A
m m
式 n n 1n 2n m 1
m!
阶 乘
Cmn
n!
m!n
m!
式
性质 备注
Cmn
Cnnm，Cmn1
Cmn
Cm1 n
①n，m N * 且m n ②规定：C0n 1
1．在 Cmn 中有m，n∈N*，且m≤n，为什么有 C0n 1? 提示：C0n 是1 为了运算需要规定的，没有实际意义. 2.什么是两个相同的组合？
(A) C42 013
(B) C52 013
(C) C42 013 1 (D) C52 013 1
2.计算：C37 C74 C85 C96 =________.
3.求证：Cnm2
有关组合数的计算和证明
关于组合数计算公式的选取
关于组合数计算公式的选取
(1)涉及具体数字的可以直接用公式
Cmn
A
m n
A
m m
n n 1n 2
m!
(2)涉及字母的可以用阶乘式
n Cmn
m
组合排列的公式
组合排列的公式
组合排列的公式是指用来计算组合和排列的数学公式。
1. 组合的公式
组合是指从一组对象中选择一部分对象组成一个集合。
计算组合的公式是：
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
其中，n表示总对象数，k表示选取对象的数量，n!表示n的
阶乘（即n的所有正整数的乘积），k!表示k的阶乘，(n-k)!
表示n-k的阶乘。
C(n, k)表示从n个对象中选取k个对象的组
合数。
2. 排列的公式
排列是指从一组对象中按照一定的顺序选择一部分对象组成一个集合。
计算排列的公式是：
P(n, k) = n! / (n-k)!
其中，n表示总对象数，k表示选取对象的数量，n!表示n的
阶乘（即n的所有正整数的乘积），(n-k)!表示n-k的阶乘。
P(n, k)表示从n个对象中选取k个对象的排列数。
需要注意的是，组合和排列的计算中都使用了阶乘的计算公式。
数学课件：1.2.2.1 组合及组合数公式
(2)当取出3个数字后,如果改变三个数字的顺序,会得到不同的三 位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺序有关,是 排列问题.
反思 区别排列与组合的关键是看取出元素之后,在安排这些元 素时,是否与顺序有关,“有序”则为排列,“无序”则为组合.
m!
计算;公式Cnm
=
m
n! !(n-m
)!(m∈N,n∈N+,且
m≤n),一般用于化简证
明.
12
【做一做 2-1】 计算:C52 + C54=
.
解析:C52
+
C54
=
5×4 2×1
+
54××43××32××21=10+5=15.
答案:15
【做一做 2-2】 若 6C������������--37=10A2������-4,则 x 的值为
第一课时 组合及组 合数公式
1.理解组合的概念及组合数公式. 2.会利用组合数公式解决一些简单的组合问题.
12
1.组合的有关概念 (1)一般地,从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素并成一组, 叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.从排列和组合的 定义可知,排列与取出元素的顺序有关,而组合与取出元素的顺序 无关. (2)从n个不同元素中,任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数, 叫做从n个不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号 C������������表示.
∵m∈{m|0≤m≤5,m∈N},∴m=2.
1234 5
1.给出下面几个问题:
①由1,2,3,4构成的含两个元素的集合; ②五个队进行单循环比赛的分组情况; ③由1,2,3组成的不同两位数; ④由1,2,3组成无重复数字的两位数.
组合与组合数公式124
acd
acd cad dac adc cda dca
bcd
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 求4P34 可分两步考虑：
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3
4
3 3.
A 从而 3 C A 4
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和 英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题 (握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览, 组合问题 (6有)从多4少个种风不景同点的中方选法出?2个,并确定这2个风景
问题
有5本不同的书： （ 1 ） 取 出 3 本 分 给 甲 、 乙 、 丙 三
人每人1本，有几种不同的分法？ （ 2 ） 取 出 4 本 给 甲 ， 有 几 种 不 同
的取法？
问题（1）中，书是互不相同的，人也 互不相同，所以是排列问题．
问题（2）中，书不相同，但甲所有 的书只有数量的要求而无“顺序”的要求， 因而问题（2）不是排列问题．
引例3
1. 北京、上海、广州三个民航站之 间的直达航线，需要准备多少种不同 的飞机票？
2. 北京、上海、广州三个民航站 之间的直达航线，有多少种不同的飞 机票价？
引例总结
以上两个引例所研究的问 题是不同的，但是它们有数量上 的共同点，即它们的实质都是：
从3个不同的元素里每 次取出2个元素，不管怎样 的顺序并成一组，一共有多 少不同的组？
《组合与组合数公式》课件
3
详细解答
我们将逐步解答例题并给出详细的推导过程和计算方法。
组合公式的拓展
排列组合
排列组合是组合数学的一个重要 拓展，它涉及考虑元素的顺序的 排列方式。
分而治之
组合数学可以与分治算法结合， 解决具有组合性质的问题。
组合优化
组合数学在网络优化和组合优化 问题中发挥着重要作用。
总结与收尾
பைடு நூலகம்
1 重要性
组合与组合数公式对现实 世界和数学领域具有重要 意义。
《组合与组合数公式》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨组合与组合数公式的概念、应用和推导过 程。让我们一起探索这个有趣而有用的数学领域！
什么是组合
组合的基本概念
组合是从一组元素中选择特定数 量的元素，不考虑顺序的排列。
组合的应用
组合数学在化学、信息论、概率 统计等领域有着广泛的应用。
组合的例题讲解
让我们通过一些有趣的情境和实 际问题来深入了解组合的运用。
组合公式的推导
阶乘公式
阶乘是组合数公式推导的基础，它表示从1到n的所有正整数的乘积。
组合数公式的推导
通过数学归纳法和排列组合的原理，我们可以推导出组合数公式。
二项式定理
二项式定理描述了如何将一个二项式（两个项的和或差的表达式）扩展为幂次多项式。
组合公式的应用
概率与统计
组合数公式在概率和统计中用于计算事件的可能性和样本空间的大小。
计算组合数
我们可以使用组合数公式快速计算出给定条件下的组合数量。
密码学
组合数学在密码学中被用于设计和分析密码系统的安全性。
组合公式的例题讲解
1
问题提出
我们将通过一个实际问题引入本节的例题讲解。
1.3.1组合与组合数公式课件
[思路探索] 属于组合与排列的区分问题，看问题有无次序要求． 解 (1)集合中的元素具有无序性，顺序无关是组合问题． (2)两人握手与顺序无关是组合问题．
(3)学习小组的人与顺序无关是组合问题．
(4)将名额分给5个班，只与每班分得名额个数有关，属组合问题．
规律方法
区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺
又∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，m∈N， 即7≤m≤8，∴m＝7或8. (3)证明 n－1！ n n m C－＝ · n－m n 1 n－m m！n－1－m！
n！ ＝ ＝C m n. m！n－m！ 规律方法 求解与组合数有关的方程，不等式及证明问题时，要
应用组合数的公式，并注意其成立的条件．
序排列还是无序地组在一起，区分有无顺序的方法是把问题的一 个选择结果解出来，然后交换这个结果的任意两个元素的位置，
看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问
题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
【变式1】 有8盆不同的花， (1)从中选出2盆分别送给甲、乙两人每人一盆； (2)从中选出2盆放在教室里． 以上问题中，哪一个是组合问题？哪一个是排列问题？ 解 (1)从8盆花中，选出2盆送给甲、乙两人每人一盆的送法 与顺序有关，故属排列问题． (2)从8盆花中，选出2盆放在教室的放法与顺序无关，故属组 合问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
3．组合数公式
m nn－1n－2…n－m＋1 n！ A n m Cn ＝Am＝ ＝ m！ m！n－m！ m
规定：C0 n＝1. 试一试 找出从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数 与从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数的关系式．
m A n m m m 提示 Cm · A ＝ A ，即： C ＝ . m n m n n Am
组合与组合数公式课件
超几何分布的概率值可以通过组合数公式进行计 算，特别是当总体大小远大于样本大小时。
二项式系数与组合数的关系
二项式系数
二项式系数表示在n次独立实验中成功k次的概率，通常表 示为C(n, k) = binomial(n, k) / k!
组合数公式
组合数公式是计算从n个不同元素中选取k个元素的不同方 式的数量。
关系
二项式系数是组合数的一种特例，当n次实验中每次成功 的概率为p时，二项式系数可以表示为C(n, k) = p^k * (1p)^(n-k)。
组合数与卡特兰数的关系
卡特兰数
卡特兰数是组合数学中的一类特殊数，通常用于计数排列、组合等 问题的解中选取k个元素的不同方式的数量 。
组合数的定义
总结词
组合数表示从n个不同元素中取出 m个元素的组合方式数量，记作 C(n, m)或C_n^m。
详细描述
组合数的定义基于组合的定义， 通过数学公式表示为C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中"!"表示阶乘 。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的递推关系、对称性、非负性等。
组合数的计算公式具有对称性 ，即C(n，m)=C(n，n-m)，同 时还有C(n，0)=C(n，n)=1的 特殊性质。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质可以简化组合数的计算，例如利用对称性可以避免一些不必要的 计算。
利用组合数的性质可以推导出一些重要的组合恒等式，例如二项式定理、帕斯卡三 角等。
当m=n时，排列就是组合；当取出元素不同时，排列和组合是不同的。
组合数的计算公式
组合数的计算公式为C(n， m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n是 总的元素个数，m是需要取出 的元素个数，C(n，m)表示从n 个元素中取出m个元素的组合 数。
组合与组合数公式
深化理解 想一想: 1.ab与ba是相同的排列，还是相同的组合?
2.两个相同的排列有什么特点?两个相同的 组合呢?
例题讲解 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题? 1)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共 需准备多少种车票? 排列问题
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的 活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？ P32 6 有顺序
选出来,并排序！得到是“有序列”－排列.元素有序.
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 乙、丙
有多少种不同的火车票价？组合问题
2)10名同学分成人数相同的数学和英语两个 学习小组，共有多少种分法? 组合问题
3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相 互问候，共需握手多少次? 组合问题
4)从4个风景点中选出2同的方法?
排列问题
2、组合数定义:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组
合合的数，个用数，符叫号做C从nmn个表不示同元素中取出m个元素的组
思考:如何计算: Cnm ?
Pm
从nn个求不同P的34 可元素分中两取步m个考元虑素的：所有排列个数。
第一步：从n个不同的元素中取m个元素。有Cnm种方法。
P C P 根第据二步分：步对计每数组原中理的，m.个元mn 素进行mn排 列。mm有Pmm种方法。
C 从而 m n
Pm n
Pm m
n! m!(n m)!
组合与组合数公式
组合与组合数公式1．组合的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法C m n组合数公式乘积式C m n＝A m nA m m＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！阶乘式C m n＝n！m！（n－m）！性质C m n＝C n－mn，C mn＋1＝Cmn＋Cm－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )(2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．( )(3)C35＝5×4×3＝60.( )(4)C2 0162 017＝C 12 017＝2 017.( )答案：(1)√(2)√(3)×(4)√若A3n＝8C2n，则n的值为( )A．6 B．7 C．8 D．9 答案：A计算：(1)C37＝________；(2)C1820＝________．答案：(1)35 (2)190甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．解析：车票的票价有C23＝3种．答案：3探究点1 组合概念的理解判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？(4)5个人相互写一封信，共写了多少封信？【解】 (1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．(4)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．判断一个问题是否是组合问题的方法技巧区分某一问题是排列问题还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起．区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化．若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．探究点2 组合数公式、性质的应用计算下列各式的值．(1)3C 38－2C 25； (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310； (3)C 5－nn ＋C 9－nn ＋1. 【解】 (1)3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.(2)利用组合数的性质C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n ， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310 ＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ …＝C 411－1＝329.(3)⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5. 当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5. 当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.[变条件]若将本例(2)变为：C 55＋C 56＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510，如何求解？ 解：原式＝(C 66＋C 56)＋C 57＋C 58＋C 59＋C 510 ＝(C 67＋C 57)＋C 58＋C 59＋C 510＝… ＝C 610＋C 510＝C 611＝C 511 ＝11×10×9×8×75×4×3×2×1＝462.关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －mC mn －1＝nn －m ·（n －1）！m ！（n －1－m ）！＝n ！m ！（n －m ）！＝C mn 进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！（n －m ）！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C mn ＝C n －mn 简化运算．1.C 58＋C 98100C 77＝________．解析：C 58＋C 98100C 77＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 0062．若C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363，则正整数n ＝________． 解析：由C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝363， 得1＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364， 即C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝364. 又C m n ＋C m －1n ＝C mn ＋1，则C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 2n ＝C 35＋C 25＋C 26＋…＋C 2n ＝…＝C 3n ＋1，所以C 3n ＋1＝364，化简可得（n ＋1）n （n －1）3×2×1＝364，又n 是正整数，解得n ＝13. 答案：133．解方程：C 3n ＋618＝C 4n －218.解：由原方程及组合数性质可知， 3n ＋6＝4n －2，或3n ＋6＝18－(4n －2)， 所以n ＝2，或n ＝8，而当n ＝8时，3n ＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去． 因此n ＝2.探究点3 简单的组合问题现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？【解】 (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39种．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30种．解简单的组合应用题的策略(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．[注意] 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全部赛程共需比赛多少场？解：小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是每组6支球队的任两支球队都要比赛一次，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．半决赛中甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．1．下面几个问题属于组合的是( )①由1，2，3，4构成双元素集合；②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．A．①③B．②④C．①②D．①②④解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．2．若C n 12＝C 2n －312，则n 等于( )A ．3B ．5C ． 3或5D ．15解析：选C.由组合数的性质得n ＝2n －3或n ＋2n －3＝12，解得n ＝3或n ＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法． 答案：2104．计算下列各式的值． (1)C 98100＋C 199200； (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (3)C 38－n3n ＋C 3n21＋n .解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150. (2)C 37＋C 47＋C 58＋C 69＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧1≤38－n ≤3n ，1≤3n ≤21＋n ，即⎩⎪⎨⎪⎧192≤n ≤37，13≤n ≤212，所以192≤n ≤212.因为n ∈N *，所以n ＝10，所以C 38－n3n ＋C 3n21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝466.[A 基础达标]1．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有( ) A ．72种 B ．84种 C ．120种D ．168种解析：选C.需关掉3盏不相邻的灯，即将这3盏灯插入9盏亮着的灯的空当中，所以关灯方案共有C 310＝120(种)． 2．方程C x28＝C 3x －828的解为( ) A ．4或9 B ．4 C ．9D ．5解析：选A.当x ＝3x －8时，解得x ＝4；当28－x ＝3x －8时，解得x ＝9.3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A ．24种 B ．12种 C ．10种D ．9种解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C 12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C 24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B.4．化简C 9798＋2C 9698＋C 9598等于( ) A ．C 9799 B ．C 97100 C ．C 9899D ．C 98100解析：选B.由组合数的性质知，C 9798＋2C 9698＋C 9598 ＝(C 9798＋C 9698)＋(C 9698＋C 9598) ＝C 9799＋C 9699＝C 97100.5．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) A ．2人或3人 B ．3人或4人 C ．3人D ．4人解析：选A.设男生有n 人，则女生有(8－n )人，由题意可得C 2n C 18－n ＝30，解得n ＝5或n ＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．故选A. 6．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为________． 解析：由题意知n (n －1)(n －2) ＝6·n （n －1）（n －2）（n －3）4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.答案：77．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．解析：从10人中选派4人有C 410种方法，对选出的4人具体安排会议有C 24C 12种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有C 410C 24C 12＝2 520种． 答案：2 5208．若C m －1n ∶C mn ∶C m ＋1n ＝3∶4∶5，则n －m ＝________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧C m －1n C m n ＝34，C mn C m ＋1n ＝45， 由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得：n ＝62，m ＝27.n －m ＝62－27＝35. 答案：359．判断下列问题是否为组合问题，若是组合则表示出相应结果．(1)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法？(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列，构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ 解：(1)与顺序无关是组合问题，共有C 510种不同分法． (2)大小顺序已确定，故是组合问题，构成三位数共有C 39个． (3)握手无先后顺序，故是组合问题，共需握手C 210次． 10．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x ＜2C 5x .解：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3，即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， 所以（x ＋3）！5！（x －2）！＝（x ＋3）！10·x ！，所以1120（x －2）！＝110·x （x －1）·（x －2）！，所以x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解． (2)通过将原不等式化简可以得到6x （x －1）（x －2）－24x （x －1）（x －2）（x －3）＜240x （x －1）（x －2）（x －3）（x －4）.由x ≥5，得x 2－11x －12＜0，解得5≤x ＜12. 因为x ∈N *，所以x ∈{5，6，7，8，9，10，11}．[B 能力提升]11．式子C m ＋210＋C 17－m10(m ∈N *)的值的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A.由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≤10，17－m ≤10，得7≤m ≤8，所以m ＝7或8.当m ＝7时，原式＝C 910＋C 1010. 当m ＝8时，原式＝C 1010＋C 910， 故原式的值只有一个．12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有( ) A ．35种 B ．70种 C ．30种D ．65种解析：选B.先从7人中选出3人有C 37＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有2种情况，故不同的调整方案种数为2C 37＝70.13．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝错误!＝35.14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？ 解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C 24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。
组合与组合数公式及组合数的两个性质 课件
组合数公式
组合 数公
式 性质 备注
乘积形式 Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！…n－m＋1
阶乘形式
Cmn ＝
n！ m！n－m！
Cmn ＝ Cnn－m ；Cnm＋1＝ Cmn ＋Cmn －1
①n，m∈N＋，m≤n；②规定 C0n＝ 1 .Cnn＝ 1
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是 不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． 2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，亦即 元素没有位置的要求． 3．相同的组合 根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同， 不管顺序如何，就是相同的组合．
3．若 A3n＝12Cn2，则 n＝________. 解析：∵A3n＝n(n－1)·(n－2)，Cn2＝12n(n－1)， ∴n(n－1)(n－2)＝6n(n－1)． 又 n∈N＋，且 n≥3，∴n＝8.
答案：8
4．求不等式 C2n－n<5 的解集． 解：由 Cn2－n<5，得nn2－1－n<5， ∴n2－3n－10<0. 解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N＋， ∴n＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}.
[精解详析] (1)从中任取 5 人是组合问题，共有 C512＝792
种不同的选法．
(2 分)
(2)甲、乙、丙三人必需参加，则只需要从另外 9 人中选 2
人，是组合问题，共有 C92＝36 种不同的选法．
(4 分)
(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的 9 人中选 5
人，共有 C59＝126 种不同的选法．
Hale Waihona Puke [例3] (10分)在一次数学竞赛中，某学校有12人通过 了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下， 有多少种不同的选法？
组合的计算公式原理和方法
组合的计算公式原理和方法组合是数学中一个重要的概念，它涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，而不考虑元素的顺序。
在实际生活中，组合的概念被广泛应用于排列组合、概率统计、计算机算法等领域。
本文将从组合的计算公式原理和方法进行详细介绍。
一、组合的定义。
在数学中，组合是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同的选择方式的个数。
一般用C(n,m)表示，即从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合数的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! (n-m)!)。
其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)...1。
m!表示m的阶乘，即m(m-1)(m-2)...1。
n-m表示n与m的差值。
二、组合的计算方法。
1. 递推法。
组合数的计算可以采用递推法，即从已知的组合数推导出新的组合数。
递推法的思路是利用组合数的性质，通过已知的组合数计算出新的组合数。
具体实现方法是利用组合数的性质C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)来计算新的组合数。
2. 数学公式法。
组合数的计算也可以采用数学公式法，即直接使用组合数的计算公式进行计算。
这种方法适用于小规模的组合数计算，可以通过计算阶乘和求解差值来得到组合数的值。
3. 动态规划法。
在计算机算法中，组合数的计算可以采用动态规划法。
动态规划法的思路是将大问题分解成小问题，通过保存已计算的结果来避免重复计算，从而提高计算效率。
具体实现方法是使用一个二维数组来保存已计算的组合数值，通过填表的方式逐步计算出所有的组合数值。
三、组合的应用。
1. 排列组合。
在排列组合问题中，组合数的计算是一个重要的环节。
排列组合问题涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，而不考虑元素的顺序。
组合数的计算可以帮助解决排列组合问题，从而得到所有可能的选择方式。
2. 概率统计。
在概率统计中，组合数的计算也是一个重要的内容。
概率统计问题涉及到从给定的元素集合中选择若干个元素，计算出发生某种事件的概率。
高二数学选修课件时组合与组合数公式
适用范围
适用于组合元素个数较少，且 可以直观列举出所有可能结果 的情况。
优点
直观、易懂，能够直接得到问 题的答案。
缺点
当组合元素个数较多时，列举 过程可能变得繁琐，容易出错
。
插空法
01
定义
插空法是一种求解组合问题的 方法，它适用于某些特殊的组 合问题，如“不相邻”问题等 。该方法的基本思想是将需要 排列的元素先排好，然后将需 要插入的元素插入到已排好元 素的空隙中。
存在问题分析
在教学过程中，我发现部分学生在理解和运用组合数公式时存在一定困难。这可能是由于学生对阶乘运算和代数 运算掌握不够熟练所致。针对这些问题，我将加强相关知识点的讲解和练习，帮助学生更好地掌握所学知识。
XX
THANKS
感谢观看ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
REPORTING
图论算法
图论算法是解决图论问题的有效方法 ，如最短路径算法、最小生成树算法 等。这些算法在组合优化问题中也有 广泛应用。
组合优化问题
组合优化是图论与组合数学的重要交 叉点，涉及如何在满足一定条件下寻 找最优的组合方案。例如，旅行商问 题、最小生成树问题等。
代数结构与组合设计
代数结构基础
代数结构是研究数学对象之间运算规律的数学分支，如群、环、域等。这些结构与组合数学中的计数、排列、组合等 问题密切相关。
，可以吸引玩家的兴趣并提高游戏的趣味性。例如，一些益智类游戏就
需要运用组合数学的知识来设计关卡和难度等级。
XX
PART 05
拓展：组合数学与其他学 科联系
REPORTING
图论与组合优化
图论基本概念
图论是研究图的结构、性质及其应用 的数学分支，与组合数学密切相关。 图由顶点和边组成，可用于表示对象 之间的关系。
组合与组合数公式(二)
组合数的定义公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)
组合数的性质
组合数的性质一
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同 元素中取出m个元素和取出n-m个元 素的组合数相等。
k)。
递推关系法
定义
递推关系法是通过组合数之间的递推关 系，逐步推导出所需的组合数值。
VS
举例
例如，已知C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n1,k)，可以根据这个递推关系逐步计算出 C(n,k)的值。
PART 03
组合数公式的应用
REPORTING
WENKU DESIGN
在概率论中的应用
在统计学中的应用
样本组合统计
在统计学中，样本组合是一种常见的 统计方法，而组合数公式可以用于计
算样本组合的概率和期望值。
因子分解
在统计学中，因子分解是一种重要的 数据分析方法，而组合数公式可以用
于因子分解的计算。
多元分布计算
在多元统计分析中，组合数公式可以 用于计算多元分布的概率和期望值。
在计算机科学中的应用
PART 04
组合数公式的扩展
REPORTING
WENKU DESIGN
超几何分布
定义
超几何分布是描述从有限总体中抽取n个样本，其中k个 是成功样本的概率分布。
01
公式
$P(X=k) = frac{{C_{M}^{k} cdot C_{N-M}^{n-k}}}{{C_{N}^{n}}}$，其中 M是成功样本的数量，N是总体样本的 数量，n是抽取的样本数量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4������ -2
100×99 + 200 2
= 5 150.
9×8×7×6
5 6 4 7 【变式训练 2】 (1)计算: C9 + C9 + C10 + C11 ; 2 2 2 2 2 (2)计算: C2 + C3 + C4 + C5 + C6 ; ������ (3)求证: C������ = ������ ������ ������ -1 ������ -2 (4)求证: C������ +2 = C������ + 2C������ + C������ . 5 6 5 6 6 4 7 7 7 (1)解: C9 + C9 + C10 + C11 = C10 + C10 + C11 = C11 + C11 = 5 7 C12 = C12 = 792. 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 (2)解: 由C2 = C3 , 得C2 + C3 + C4 + C5 + C6 = C3 + C3 + C4 + 2 2 C5 + C6 . 3 3 3 2 2 2 2 2 ∵ C3 + C3 = C4 , ∴ C3 + C3 + C4 + C5 + C6 3 2 2 2 2 2 2 = C4 + C4 + C5 + C6 , 依次类推可得C2 + C3 + C4 2 3 2 + C5 + C6 = C7 = 35.
分别有多少种？用式子表示。
【做一做1】 给出下列问题: 2 2 2 A 或 C ①有10个车站,共需准备多少种车票? 10 10 A2 ②有10个车站,共有多少种不同的票价? C 2 10 2 2 2 ③平面内有16个点,共可作出多少条不同的有向线段? A16 或C16 A2 ④有16位同学,假期中约定每两人之间通电话一次,共需通电话 2 多少次? C16 ⑤从20名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物竞 4 4 赛,有多少种选派方法? 4 或C A
A20
20
4
其中,属于排列问题的有
①③⑤
. (只填序号)
判断一个问题是排列问题还是组合问题关键： 有无顺序
合作探究二
根据排列和组合之间的关系，思考一下 从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个不 同元素的排列数和组合数之间的关系?
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A
n n
m
m
m m
问题1 某娱乐公司要从周杰伦、潘韦泊、谢霆锋3名 大腕任意选出2名参加某天的一项活动，其中 一名参加上午活动，另外一名参加下午的活动， 试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？
A 6
2 3
问题2：
某娱乐公司要从周杰伦、潘韦泊、谢霆锋3 名大腕任意选出2名参加某天的一项活动， 试问该娱乐公司有多少种不同的安排方法？
组合数公式:
A n(n 1)(n 2) (n m 1) C A m!
m n m n m m
n! C m !(n m)!
m n
规定：
C
0 n
1
典例分析：计算
（1） C 4＋C3
7 7
（2） （3）
70
C C
6 10
C C
5 10
4 10பைடு நூலகம்
4 10
C
10 10
5 11
������ ������ -1 ������ -2 ������ ������ -1 ������ -1 ������ -2 (4)证明: C������ + 2C������ + C������ = C������ + C������ + C������ + C������ ������ ������ -1 ������ = C������ + C = C +1 ������ +1 ������ +2 .
C C C
5 10 0 10
251
思考：
（1）从10人中选出6人参加比赛，有多少种选法？
C
6 10
或C
4 10
（2）从10人中选出4人不参加比赛，有多少种选法？
C
4 10
6 或C10
5.组合数的性质:
������ 性质 1: C������ = C������ ������ -������
.
������ -1
1、试用列举法求解 周杰伦、潘韦泊 周杰伦、谢霆锋 潘韦泊、谢霆锋
2、每天安排的人你是怎样取出来的？你发现了什么 规律？ 任选2个
3、每天安排的2人可能是同一个人吗？你发现了什么 规律？ 不能
4、周杰伦、潘韦柏与潘韦柏、周杰伦是一种安排方式吗？ 你发现了什么规律？ 一样， 没有顺序，
组合：
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合．
1
1 2
.
4.已知C12 = C12 , 则������的值是( A.2 B.6
������ -2
2������ -4
解析:由组合数公式及其性质得, 0 ≤ ������-2 ≤ 12, 0 ≤ 2������-4 ≤ 12, ������-2 = 2������-4 或(������-2) + (2������-4) = 12. 解得 x=2 或 x=6. 答案:D
相同的组合： 元素相同
组合数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 m 组合数。用符号 Cn 表示。
思考：
问题1、问题2有什么不同点？， 两个问题的根本区别是什么？
问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.
������ + 1 ������! ������! ������ + 1 ������+1 ������ = · = , ∴ C������ = ������-������ ·C������ . (������ + 1)! (������-������)(������-������-1)! ������!(������-������)!
2 5.若A3 ������ = 12C������ , 则������ =
2 解析: A3 = ������ ( ������ − 1)( ������ − 2), C ������ ������ = ������(������ − 1),
由 n∈N+,且 n≥3,解得 n=8. 答案:8
所以 n(n-1)(n-2)=12× 2 ������(������ − 1).
������ ������ 性质 2: C������ . +1 = C������ + C������ 6 ������ 【做一做 5】 (1)若C10 = C10 , 则������ = 5 4 (2)C60 + C60 = . 5 答案:(1)6 或 4 (2)C61
;
98 199 【例 2】 (1)计算C100 + C200 ; 3������ +6 (2)已知C18 = C18 , 求������; 4 8 4 4 4 (3)化简C5 + C6 + C7 + C8 + C8 . 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解. 4������ -2
C. 2 D. 2 或 6
1
)
C C 的值为()
5 8 6 8
A.36 B.84 答案:B C.88 D.504
【当堂检测】
1、 (1)C C
2 6
3 8
(2)C C
5 10
2 8
2、圆上有10个点（1）过每两个点可画一条弦，
一共可画多少条弦？ （2）过每3个点可画一个圆内接三角形，一共 可画多少个圆内接三角形？
例2 平面内有10个点，其中任意三点不共线，以其中每 2个点为端点的线段有多少条？ 平面内有10个点，其中任意三点不共线，以其中每 2个点为端点的有向线段有多少条？
组合与组合数公式
1、排列的定义： 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列。 2、排列数公式：
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
A
m n
n! (n m)!
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组
有 顺 序
排列
组合
无 顺 序
有序排列，无序组合
思考： 下列问题是排列问题还是组合问题？ （1）10名学生中抽2名学生开会 组合 （2）10名学生中选2名做正、副组长 排列 (3)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合 （4）从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游 览顺序,有多少种不同的方法? 排列 （5）由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数; 组合 （6）五个队进行单循环比赛的比赛场次数; 组合 （7）由1,2,3组成两位数的不同方法数; 排列 （８）由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数. 排列
98 解:(1)C100
+
199 C200
=
2 C100
+
1 C200
=
3������ +6 (2)由C18 = C18 , 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2. ∵3n+6≤18,且 4n-2≤18, ∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2. 4 8 8 4 5 4 4 4 4 4 4 (3)C5 + C6 + C7 + C8 + C8 = C8 + C5 + C6 + C7 + C8 = C5 + 4 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 C5 + C6 + C7 + C8 = C6 + C6 + C7 + C8 = C7 + C7 + C8 = C8 + 5 4 4 C8 = C9 = C9 = 4×3×2×1 = 126.