第二章 离型随机变量

第二章离散型随机变量教学目的与要求1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维随机变量的分布列.2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布，了解常见的二维随机变量的分布.3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式.4.了解多维随机变量的概念及其分布.5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法.6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法.7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质，熟练掌握常见的几种分布的数学期望和方差.8.了解条件分布与条件期望及其性质.教学重点一、二维随机变量及其分布教学难点随机变量的分布教学方法讲解法教学时间安排1~2 第一节一维随机变量及分布列3~4 第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列5~6 习题辅导7~8 随机变量函数的分布列9~10 数学期望的定义及性质11~12方差的定义及性质13~14条件分布与条件数学期望15~16 习题辅导教学内容1~2. 第一节一维随机变量及分布列一、随机变量在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念.定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，则称()ξω为随机变量.这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件.二、一维离散型随机变量的概念定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称()i i P a p ξ==， 1,2,i =L为随机变量()ξω的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布.离散型随机变量()ξω的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式：1212a a p p ⎛⎫⎪⎝⎭L L例2.1 在5n =的贝努里试验中，设事件A 在一次试验中出现的概率为p ，令 ξ=5次试验中事件A 出现的次数则 55(),05k k kP k C p q k ξ-==≤≤于是，ξ的分布列为：5423324512345510105q pq p q p q p qp ⎛⎫ ⎪⎝⎭由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0,1,2,;i p i ≥=L （2）11ii p∞==∑反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{}i p 都有资格作为某一个随机变量的分布列. 事件()a b ξ≤≤的概率. 因为事件()()i ia a ba b a ξξ≤≤≤≤==U 右端的事件是两两互不相容的，于是由概率的可列可加性有 ''()()a ba biii I i I P a b P a p ξξ∈∈≤≤===∑∑其中'{:}a b i I i a a b =≤≤.对R 中更复杂的集合B ，也有 ()()()()ii i I B i I B P B P a p ξξ∈∈∈===∑∑其中(){:}i I B i a B =∈.由此可知，()ξω取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律.三、常见的离散型随机变量及其分布1、两点分布 设离散型随机变量ξ的的分布列为11P P ⎛⎫⎪-⎝⎭其中01P <<，则称ξ服从两点分布，亦称ξ服从（0—1）分布，简记为~(ξ0—1）分布. 显然，两点分布具有离散型随机变量的两个性质.两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验.例如，掷一枚均匀硬币是出正面还是反面；产品质量是否合格；卫星的一次发射是否成功等试验.2、二项分布 若离散型随机变量ξ的分布列为(),0,1,2,,k k n kn p k C p q k n ξ-===L其中01,1p q p <<=-，则称ξ服从参数为,n p 的二项分布，简称ξ服从二项分布，记为~(;,).b k n p ξ易验证 0()0,()1nk k n k n nk P k Cp q p q ξ-==≥=+=∑显然，当n =1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.二项分布是离散型随机变量概率分布中重要的分布之一，它以n 重贝努里试验为背景，具有广泛的应用.例如，质量管理中，不合格产品数n p 控制图和不合格率p 控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定，都是以二项分布为理论依据的.例2.2 设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为(01).p p <<当占半数以上的成员作正确决策时，系统作出正确决策.问p 多大时，5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠.解 对于5个成员的决策系统，可认为是5重贝努里试验，每个成员要么决策正确（成功），要么决策错误（失败）.决策正确的概率p ，决策错误的概率1q p =-，设ξ为其中决策正确的成员个数，则~(5,)b p ξ.对于3个成员的决策系统，类似地也有~(3,).b p ξ从而5个成员的决策系统作出正确决策的概率为33244555(3)(345)(3)(4)(5)(1)(1)P P P P P C p p C p p p ξξξξξξξ≥======+=+==-+-+U U3个成员的决策系统作出正确决策的概率为2233(2)(23)(2)(3)(1)P P P P C p p p ξξξξξ≥=====+==-+U要使5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠，必须33445223553(1)(1)(1)C p p C p p p C p p p -+-+>-+即当12p >时，可满足此要求.3、普哇松（Poisson ）分布 设离散型随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，L ，且取各个值的概率为 (),0,1,2,,!k e P k k k λλξ-===L其中0λ>为常数，则称ξ服从参数为λ的普哇松分布，记为~(;)P k ξλ.易验证(1)()0,0,1,2,;(2)()1!kk P k k P k ek λξλξ∞-==>====∑∑L普哇松分布是重要的离散型随机变量的概率分布之一，有广泛的应用.例如，来到某售票口买票的人数；进入商店的顾客数；布匹上的疵点数；纱锭上棉纱断头次数；放射性物质放射出的质点数；热电子的发射数；显微镜下在某观察范围内的微生物数；母鸡的产蛋量等，这些随机变量都可利用普哇松分布.定理2.1 （普哇松定理）在n 重贝努里试验中，事件A 在一次试验中出现的概率为n p （与试验总数n 有关）如果当n →∞时，(0n np λλ→>常数），则有 0lim (;,),0,1,2,!kn x b k n p e k k λδλ-→==L证明 及n n np λ=，则(;,)(1)k k n k n n n b k n p C p p -=-(1)(1)()(1)!)121(1)(1)(1)(1)!kn kn n k n k nn n n n k k n n k k n n n nλλλλ----+=--=----L L对于任一固定的k ，显然有lim lim(1)lim(1)nnk kn n nn k nn knnn n ennλλλλλλλ→∞---→∞→∞=-=-=还有11lim(1)(1)1n k n n→∞---=L 从而lim (;,)!kn b k n p e k λλ-→∞=对任意的(0,1,2,)k k =L 成立，定理得证.这个定理可作近似计算.在,n k 都比较大时，由普哇松定理就有(;,)!kb k n p e k λλ-≈其中np λ=，而要计算!ke k λλ-，由专用的普哇松分布表可查.例2.3 已知某种疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率有多大？解 设该单位患有这一种疾病的人数为ξ，则 50005000661(5)()(;5000,)1000k k P P k b k ξξ==>===∑∑ 其中50005000(;5000,0.001)0.0010.999k k kb k C -=，这时如果直接计算(5)P ξ>，计算量很大.由于n 很大，p 很小，这时 50000.0015np =⨯=不很大，可利用上述普哇松定理，取5np λ==，就有5505(5)1(5)1!k k P P e k ξξ-=>=-≤≈-∑查普哇松分布表可得550.616!kk k =≈∑ 于是(5)10.6160.384P ξ>≈-=.例2.4 由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数10λ=的普哇松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解 设该商店每月销售某种商品ξ件，月底的进货为a 件，则当（a ξ≤）时就不会脱销，因而按题意要求为 ()0.95P a ξ≤≥因为已知ξ服从10λ=的普哇松分布，上式也就是100100.95!k ak e k -=≥∑ 查普哇松分布表得141016100100.91660.95!100.95130.95!k k kk e k e k -=-=≈<≈>∑∑于是，这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上个月没存货），就可以95%以上的把握保证这种商品在下个月内不脱销.4、几何分布 设ξ是一个无穷次贝努里试验序列中事件A 首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2,.L 而取各个值的概率为 11()(1),1,2..k k P k p p q p k ξ--==-==L其中01,1p q p <<=-，则称ξ服从几何分布.记为~(,)g k p ξ.易验证111(1)()0,1,2,(2)1k k k P k pq k pqξ-∞-===>==∑L例2.5 设有某求职人员，在求职过程中每次求职成功率为0.4 .试问该人员要求职多少次，才能有0.9 的把握获得一个就业机会？解 设ξ表示该人员在求职过程中，首次成功的求职次数，则ξ服从几何分布，其中10.4,10.6,()0.60.4,1,2,,k p q p P k k ξ-==-====L 有事件的不相容性，有(5)(12345)P P ξξξξξξ≤======U U U U 55111()0.60.40.9k k k P k ξ-=====>∑∑故该求职人员至少要求职5次，才能以0.9的把握得到一次就业的机会.5、退化分布在Ω上定义的恒等于常数a的变量ξ（虽取值已失去了随机性，也可以看作为随机变量的极端清形.）的分布列为ξ==()1P a则称这个分布为单点分布或退化分布.上面讨论了几种常见的离散型随机变量的分布.两点分布、二项分布、普哇松分布、几何分布都是以贝努里试验为背景.即在一次试验中事件A要么出现，要么不出现.而试验的次ξ=数是不同的，两点分布的次数为1，二项分布的次数是n，普哇松分布是无穷，随机变量k 的取值从0到试验的次数.由此可见，两点分布是二项分布的特例，普哇松分布是二项分布ξ=的取值从1开始到无穷.在应用中，一定要分清该问题属于哪的地推广.注意几何分布k一种类型，准确灵活地应用.3~4. 第二节 多维随机变量、联合分布列和边际分布列一、多维随机变量与分布列定义 2.2 设12,,,n ξξξL 是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 为向量（12,,,n ξξξL ）是Ω上的一个n 维离散型随机变量或n 维随机向量.设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(,),,1,2,,i j a b i j =L 令 (,),,1,2,ij i j p P a b i j ξη====L称(;,1,2,)ij p i j =L 是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布. 二维联合分布的三个性质：111(1)0,,1,2,;(2)1(3)()ij iji j i ij i j p i j pP a p p ξ∞∞==∞=≥=====∑∑∑gL1()j ijj i P b pp η∞====∑g其中（1）、（2）是显然的.现验证（3）.由联合分布列的定义及全概率公式有 1(){()[()]}i i jj P a P a b ξξη∞=====I U111{[()()]}{()()}i j j i j ijj i P a b P a b p ξηξη∞=∞∞=========∑∑I I U同理可得1()j iji P b pη∞===∑如果记11,,iji ij j j i pp p p ∞∞====∑∑g g 即可得证.二、边际分布列如果1,1,2,iji j pp i ∞===∑g L ，由此，边际概率()i P a ξ=可由二维随机变量(,)ξη的联合概率分布(,1,2,)ij p i j =L 中对固定的i 关于j 求和而得到.显然1111iji i j i p p∞∞∞=====∑∑∑g，此即表明，当i a 遍及ξ的一切可能值22,,a a L 时，就得到一个边际分布：12,,,,i p p p g g g L L 分别表示对12,,,,(1,2,)j j ij p p p j =L L L 中，关于j 求和的结果. (,)ξη关于ξ的边际分布.同理，将(,)ξη的联合分布对固定的j 关于i 求和，得也就是为(,)ξη关于η的一个边际分布..此处j p g 表示ij p 对固定的j 关于i 求和的结果.从而由(,)ξη得联合分布，可得到关于ξ或关于η的边际分布.例2.6 把三个相同的球等可能地放入编好为1，2，3的三个盒子中，记落入第1号盒子中的球的个数为ξ，落入第2号盒子中球的个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量，其中ξ和η的可能取值为0、1、2、3.现在来找(,)ξη的联合分布列.由条件概率的定义易知有(,)(|)(),03ij p P i j P i j P j i j ξηξηη=======≤+≤g这时显然有33333312(),0333111(|)222j jj ij ijiij j P j C j P i j C C ηξη------⎛⎫⎛⎫==≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是333311213!,0323327!!(3)!jj ji j ij jp CC i j i j i j ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==≤+≤ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭而当3i j +>或0i j +<时显然有 0ij p =例2.7 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1、2、3的盒子中，记落入第1号盒子中的白球个数为ξ，落入第2号盒子中的红球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量.现在来讨论(,)ξη的联合分布列和边际分布列.显然有3312()(),0,1,2,333iii P i P i C i ξη-⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这时，由事件（i ξ=）和（j η=）的独立性可得 (,)()()ij p P i j P i P j ξηξη======g6()3312,,0,1,2,333i ji j ij C C i j +-+⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由此便可得全部ij p 之值并可列表为由例2.6与例2.7，可发现，两者有完全相同的边际分布，而联合分布却是不相同的.由此可知，由边际分布列并不能唯一地确定联合分布列，事实上，二维随机变量(,)ξη的分布列的确含有比边际分布更多的内容.再分析例2.6与例2.7中的ij p 的计算可知，(,)ξη的联合分布还包含有ξ与η之间相互关系的内容，这是它们的边际分布不能提供的.因而对单个随机变量ξ与η的研究并不能代替二维随机变量(,)ξη整体的研究.三、随机变量的相互独立性定义 2.3 设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,),i a i η=L 的可能取值为(1,2,)j b j =L ，如果对任意的,i j a b ，有(,)()()i j P a b P i P j ξηξη====⋅= 成立，则称离散型随机变量ξ和η相互独立.定义2.4 设12,,,n ξξξL 是n 个离散型随机变量，i ξ的可能值为(1,,;1,2,)ik a i n k ==L L ，如果对任意的一组（11,,n k nk a a L ），恒有111111(,,)()()n n k n nk k n nk P a a P a P a ξξξξ=====L L成立，则称12,,,n ξξξL 是相互独立的.例2.8 在n 重贝努里试验中，令 1,1.0,i i A i n i A η⎧=≤≤⎨⎩若在第次试验中事件出现若在第次试验中事件不出现则(1)i i n η≤≤的可能取值为1或0，对i a =1或0(1)i n ≤≤容易验证有1111(,,)()()n n n n P a a P a P a ηηηη=====L L 成立，所以1,,n ηηL 是相互独立的随机变量.小结：这节课我们学习了多维离散型随机变量及分布列的概念；并讨论了边际分布与计算公式；还探讨了离散型随机变量的独立性.多维随机变量的联合概率是比较难求的，一定要先分清事件是否相互独立，而后再按交感率公式去求.关于边际分布的计算公式要掌握.作业 2.16；2.18；2.20；2.21.7~8.第三节 随机变量函数及其分布一、一维离散型随机变量函数的分布若ξ是一维离散型随机变量，()f x 是实函数x 的单值函数，则当ξ只取有限个或可列个值时，()f ηξ=也只取有限个或可列个值，如果η的可能值为(1,2,),i b i =L 令{:()}i j j i B a f a b ==则有()()i i b b ηξ==∈ 于是()()(),1,2,j ii i ja B Pb P B P a i ηξξ∈==∈===∑L所以η的分布列由ξ的分不列完全决定.例2.9 进口某种货物n 件，每件价值a 元.按合同规定，如果在n 件货物中每发现一件不合格品，则出口方应赔偿2a 元.易知，n 件货物中的不合格品的件数ξ是一随机变量，而出口方应赔的钱数2a ηξ=g 又是一个随机变量.如果每件货物可能为不合格的概率是p ，则()(;,),0k k n kn P k b k n p C p q k n ξ-===≤≤其中1q p =-.因为每出现k 件不合格品即当k ξ=时，赔款数就是2ak ，即2ak η=；反过来，如果赔款数为2ak ，则不合格品数一定为k ，所以事件“k ξ=”等价于“2ak η=”， 也就是(2)(),0ak k k n ηξ===≤≤ 从而(2),0k k n kn P ak C p q k n η-==≤≤例2.10 设ξ是参数为λ的普哇松分布的随机变量，又1,()001,x f x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩为偶数，为奇数试求()f ηξ=的分布.解 易知η的可能取值为1、0、-1，由一维随机变量函数分布公式可得211210(1)(2)(2)!(0)(0)(1)(21)(21)!kk k k k k P P k e k P P e P P k e k λλλληξηξληξ∞∞-==-+∞∞-===========-==+=+∑∑∑∑二、二维随机变量函数的分布设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，(,)f x y 是实变量x 和y 的单值函数，这时(,)f ζξη=仍然是一个离散型的随机变量.设,,ζξη的可能取值分别为,,(,,1,2,)i j k c a b i j k =L ，令{(,):(,)}i j k j k i C a b f a b c == 则有(,)(){(,)}(,)j k ii i j k a b C P c P C P a b ζξηξη∈==∈===∑（＊）例2.11 设,ξη是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ和2λ的普哇松分布，求ζξη=+的分布列.解 由ξ与η的独立性并利用（＊）式可得 0()(,)ki P k P i k i ζξη=====-∑12121212()120()12!()!!()!(),0,1,2,!ik ii k iki k e e i k i ei k i e k k λλλλλλλλλλλλ-----+=-+=-=-+==∑∑g g L由上述计算可知，ζ也是一个服从普哇松分布的随机变量，它的分布的参数12λλ+恰是ξ与η的分布参数1λ、2λ之和．所以两个独立的普哇松分布随机变量的和仍是一个普哇松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数之和．这个事实称作普哇松分布对加法具有封闭性，或称普哇松分布具有可加性．小结：离散型随机变量函数的分布列是由自变量随机变量分布列来决定的，这里，关键的问题仍然是随机变量的分布列问题.作业 2.23；2.26；2.28.9~10. 第四节数学期望的定义及性质定义2.5 若离散型随机变量ξ可能取值为(1,2,)i a i =L 其分布列为i p (1,2,)i =L ，则当1ii i ap ∞=<∞∑时，称ξ存在数学期望，并且数学期望为 1i ii E a p ξ∞==∑如果1ii i ap ==∞∑则称ξ的数学期望不存在.注：1ii i ap ∞=<∞∑，才能保证它的和不受求和次序变动的影响常见几种分布的数学期望 1、两点分布的期望 10(1)E p p p ξ=⨯+⨯-= 2、二项分布的期望因为(),0k k n kk n p P k C p q k n ξ-===≤≤所以 11(1)(1)1101()n nnkk n kk k n k n knn k k k E k p k Cp qnp C pq np p q np ξ--------=======+=∑∑∑g g 3、普哇松分布的期望 因为(),0,1,2,!kk p P k e k k λλξ-====L于是111!(1)!kk kk k k E k p k eek k λλλλξλλ-∞∞∞--=======-∑∑∑g g g例2.12 在某地区进行某种疾病普查，为此要检验每一个人的血液，如果当地有N 个人，若逐个检验就需要检验N 次，现在如果分组检验，是否可以减少工作量？解 假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起进行检验，如果检验的结果为阴性，这k 个人总共只要检验一次就够了，检验的工作量显然减少，但如果检验的结果为阳性，为了明确k 个人中究竟哪几个人为阳性，就要对k 个人逐个进行检验，这时k 个人需要检验总次数为k +1次，检验的工作量法反而有所增加.显然，这时k 个人需要的检验次数可能只有1次，也可能要k +1次，是一个随机变量.为了和老方法比较求它的平均值（也就是平均检验次数）.在接受检验的人群中，各个人的检验结果是阳性还是阴性，一般都是独立的（不是传染病或遗传病），并且每一个人是阳性结果的概率为p ，是阴性结果的概率为1q p =-，这时k 个人一组的混合血液呈阴性结果的概率为k q ，呈阳性结果的概率则为1k q -.现令ξ为k个人一组混合检验时每个人所需的检验次数，由上述讨论可知ξ的分布列为1111k k k k q q ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭由此即可求得每个人所需的平均检验次数为 1122111(1)(1)1k k k E a p a p q q q k k kξ=+=++-=-+ 而按原来的老办法每人应该检验1次，所以当111,kq q k -+<>即 时，用分组法（k 个人一组）就能减少检验的次数.如果q 是已知的，还可以从11kE q kξ=-+中选取最合适的整数0k ，使得平均检验次数最少.减少工作量的大小与p 的数值有关，也与每组人数k 有关.注：求随机变量的数学期望时应先求出该随机变量的分布列.一个随机变量的数学期望是一个数值，而不是变量.定理2.2 若ξ是一个离散型随机变量，其分布列为又()g x 是实变量x 的单值函数，如果1()iii g a p∞=<∞∑，则有1()()iii Eg g a p ξ∞==∑证明 令()g ηξ=，则η仍是一个离散型随机变量，设其可能取的值为(1,2,)j b j =L ，于是()()()i jj i g a b P b p a ηξ====∑由数学期望的定义有11()1()1()()()()()()()i ji jj j ji j j g a b i i i i j g a b i Eg E b P b b P a g a P a g a P a ξηηξξξ∞∞===∞∞============∑∑∑∑∑∑g即为所证.定理2.3 若(,)ξη是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为 (,),,1,2,i j ij P a b p i j ξη====L 又(,)g x y 是实变量,x y 的单值函数，如果11(,)ijiji j g a b p∞∞==<∞∑∑则有11(,)(,)ijiji j Eg g a b pξη∞∞===∑∑对一般的n 维随机变量的函数，也有相应的定理成立.由于这些定理，在求离散型随机变量函数的数学期望时，就可以直接利用原来随机变量的分布列，而不必先求随机变量函数的分布列.随机变量的数学期望的性质：1、若,a b ξ≤≤则E ξ存在，且有a E b ξ≤≤.特别，若C 是一个常数，则EC C =.2、对任一二维离散型随机变量(,)ξη，若E ξ、E η存在，则对任意的实数1k 、2k ，12()E k k ξη+存在且1212()E k k k E k E ξηξη+=+3、若ξ、η是相互独立的，则E ξη存在且 ()E E E ξηξη=g证明 性质1的证明是显然的，下面证明性质2、3. 设(,)ξη的联合分布和边际分布列为：(,),,1,2,(),1,2,(),1,2,i j ij i i j j P a b p i j P a p i P b p j ξηξη==========g g LLL由定理2.3 有121211()()ijiji j E k k k a k b pξη∞∞==+=+∑∑12111112112i ij j ijj i i j i i j ji j k a p k b p k a pk b p k E k E ξη∞∞∞∞====∞∞===+=+=+∑∑∑∑∑∑gg这里级数1211()ijiji j k a k b p∞∞==+∑∑绝对收敛是明显的，所以12()E k k ξη+存在且1212()E k k k E k E ξηξη+=+成立，性质2得证. 又级数11i jiji j a b p∞∞==∑∑的绝对收敛也是明显的，所以E ξη存在且()E E E ξηξη=g 成立，性质3得证.性质2、3可以推广到任意n 维随机变量的场合.例2.13 若随机变量ξ服从二项分布(;,)b k n p 试用数学期望的性质求ξ的数学期望. 解 ξ可看作是n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，其中A 在每次试验中出现的概率为p ，令1,0,i ξ⎧=⎨⎩在第i 次试验中A 出现在第i 次试验中A 不出现显然i ξ(1)i n ≤≤是服从0—1分布的随机变量，所以 ,1i E p i n ξ=≤≤ 另一方面，1nii ξξ==∑，于是，由数学期望的性质2即得1nii E E np ξξ===∑与前面所求结果一样.小结：离散型随机变量的期望是随机变量以它取每一可能值得概率为权数的平均数.当随机变量取有限值时，随机变量的期望是存在的，当随机变量取可列时，如果形成的级数是收敛的，则期望存在，否则，不存在.作业 3.29；3.31；2.32；3.34.11~12. 第五节 方差的定义及性质定义2.6 设ξ是一个离散型随机变量，数学期望E ξ存在，如果2()E E ξξ-存在，则称2()E E ξξ-为随机变量ξ的方差，并记作D ξ或Var ξ.σξ.在实际问题中标准差用得很广泛，因为它与ξ具有相同的量纲（或因次）.如果随机变量ξ的分布列为 1212a a p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭L L 则由定理2.2可得 22122221()()[2()]()i i i i i i i D E E a E p a a E E p E E ξξξξξξξξ∞=∞==-=-=-+=-∑∑g g这是一个常用的计算方差的公式.例2.14 若ξ服从参数为λ的普哇松分布，试求D ξ.解 已知E ξλ=，而122111111222!(1)!(1)(1)!(1)!(1)(2)!i i i i i i i i i i E i e e i i i e i i i e e i λλλλλλλξλλλλλλλλλλλ-∞∞--==--∞∞-==-∞-===-⎡⎤=-+⎢⎥--⎣⎦⎡⎤=+=+⎢⎥-⎣⎦=+∑∑∑∑∑ 于是2222()D E E ξξξλλλλ=-=+-=方差的性质 （由于方差本身也是一个数学期望，所以由数学期望的性质可得）（1）若C 是常数，则DC =0；（2）若C 是常数，则2()D C C D ξξ=；（3）若ξ、η是两个相互独立的随机变量，且D ξ、D η存在，则()D D D ξηξη+=+证明性质（3）222222()()[()]2()()()2D E E E E E E E E E ξηξηξηξηξηξηξη+=+-+=++---g因为ξ与η独立，所以()E E E ξηξη=g从而有2222()()()D E E E E D D ξηξηξηξη+=+--=+性质（3）得证.性质（3）可以推广到n 维随机变量的情形，如果12,,,n ξξξL 是n 个相互独立的随机变量，并且(1)i D i n ξ≤≤都存在，那么有 11n ni i i i D D ξξ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ 成立如果η服从0—1分布，已知E p η=，这时有2222,(),(1)E p D E E p p p q q p ηηηη==-=-==-g例2.15 若ξ服从二项分布(;,)b k n p ，试求ξ得方差..解 因为当(1)i i n ξ≤≤为n 个相互独立的且服从相同的0—1分布的随机变量时，1ni i ξξ==∑，又,i D pq ξ=故由方差的性质（3）的推广知1n i i D D npq ξξ===∑小结：方差实质上还是一个随机变量的期望，而不同的是这里的随机变量是随机变量函数2()E ξξ-，所以如若按定义去求，就用求随机变量函数期望公式去做，我们还推出了求方差的计算公式，一般情况下，用公式比较方便.常见的几种分布的方差要记下，应用时就可直接用.方差的几个性质很重要，一定要记准.作业2.44；2.46.13~14. 第六节 条件分布与条件数学期望一、条件分布列设离散型随机变量(,)ξη的联合概率分布列为(,),,1,2,,i j ij P a b p i j ξη====L 又η的边际概率分布列为1(),1,2,,j ij j i P b p p j η∞=====∑g L 若对某一个,0j j p •>，对这个固定的j ，称(,)(|)()i j iji j j j P a b p P a b p b p ξηξηη=======g为在j b η=的条件下，随机变量i a ξ=的条件概率.在j b η=的条件下，让ξ取遍一切可能的值12,,a a L ，即可得在j b η=条件下，ξ的条件分布列|,1,2,i j p i =L ，易验证这时有||1(1)0,1,2,;(2)1i j i j i p i p ∞=≥==∑L可见，{|,1,2,i j p i =L }具有分布列的两个性质.它描述了在“j b η=”的条件下，随机变量ξ的统计规律.一般来说这个分布列与ξ原来的分布列i p g 不同，称为条件分布列.又由对称性同时还有|1,2.ijj i i p p j p ==g L当ξ与η是相互独立的随机变量时，有||,i j i j i j p p p p ==g g反过来，如果已知|,(i j j p p g 或|,j i i p p g ），也可求得联合分布列||()ij i j j j i i p p p p p ==g g g g .二、条件数学期望定义2.7 若随机变量ξ在“j b η=”条件下的条件分布列为|i j p ，又|1i i j i ap ∞=<∞∑则称|1ii j i a p ∞=∑为ξ在“j b η=”条件下的条件数学期望，简称为条件期望，并记作{|}j E b ξη=.例2.16 某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为(01)p p <<，射击进行到击中目标两次时停止，令ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标的射击次数，试求联合分布列ij p ，条件分布列||,i j j i p p 及条件期望{|}E n ξη=.解 椐题意可知22(,),12,3,j ij p P i j p qi j ξη-====≤<=L其中1q p =-，又 212211111222211,1,2,1(1),2,3,i j i i ij j i j i j j j j j ij i i p q p pp q pq i q p p p q j p q j -∞∞--=+=+----=======-===-=∑∑∑∑g g L L 于是条件分布列为22|22221|11,12,3,(1)1,,1,2,j ij i j j j j ijj i j i i i p p q p i j p j p q j p p q p pq j i i p pq ------===≤<=--===>=g g L L这时11|111{|}12n n i n i i n E n ip i n ξη--======-∑∑g 在这个例子中，条件期望{|}E n ξη=的意义是很直观的，如果已知第二次击中发生在第n 次射击，那么第一次击中可能发生在第1,2,1n -L 次，并且发生在第(11)i i n ≤≤-次的概率都是11n -，因为|11i n p n =-，也就是说在已知“n η=”的条件下，ξ取值为1,2,,1n -L 是等可能的，从而它的均值为2n . 条件期望具有与普通数学期望相类似的性质：（1）若a b ξ≤≤，则{|}j E b ξη=存在，且有{|}j a E b b ξη≤=≤；特别，当C 是一个常数时，{|}j E C b C η==；（2）若12,k k 是两个常数，又1{|}j E b ξη=、2{|}j E b ξη=存在，则1122{()|}j E k k b ξξη+=存在，且11221122{()|}{|}{|}j j j E k k b k E b k E b ξξηξηξη+===+=注：这是在固定“j b η=”的条件下考察条件期望的性质，由条件期望的定义可知，当给定ξ时，对于η的每一个可能的取值(1,2,),j b j =L 就有一个确定的实数{|}j E b ξη=与之对应.因而{|}j E b ξη=是η的单值函数，当j b η=时，这个函数的值就等于{|}j E b ξη=，记这个函数为{|}E ξη.由定理2.2 可知1({|}){|}()j j j E E E b p b ξηξηη∞====∑ 而|11{|}ij j i i j ii i j p E b a p a p ξη∞∞=====∑∑g把它代入前面的式子中，即可得到11111({|})ij i j i ij i i j i i j i j p E E ap a p a p E p ξηξ∞∞∞∞∞=========∑∑∑∑∑g g g g 由此可知，随机变量ξ对η求条件期望后再求期望，等于对这个随机变量直接求期望.这是条件期望的一个重要的基本性质.小结：条件分布列所描述的是在某一个随机变量的先固定某一取值发生的条件下另一个随机变量取所有可能值的分布列.这样的分布列是随先发生的随机变量的可能值来确定的，所以，在求条件分布列时，一定要注意条件随机变量的取值.条件期望是对随机变量的期望中的分布列换作条件分布列即可，因此随机变量期望的所有性质都可以适用.。