第二章 离型随机变量

第二章离散型随机变量

教学目的与要求

1.熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念，会求一维随机变量的分布列.

2.熟练掌握二维离散型随机变量的概念及其分布，了解常见的二维随机变量的分布.

3.掌握二维离散型随机变量的边际分布及其计算公式.

4.了解多维随机变量的概念及其分布.

5.理解随机变量相互独立的关系及其判别方法.

6.掌握一维、二维离散型随机变量函数的分布列的求法.

7.准确理解数学期望、方差的概念及其相关的性质，熟练掌握常见的几种分布的数学期

望和方差.

8.了解条件分布与条件期望及其性质.

教学重点一、二维随机变量及其分布

教学难点随机变量的分布

教学方法讲解法

教学时间安排

1~2 第一节一维随机变量及分布列

3~4 第二节多维随机变量、联合分布列和边际分布列

5~6 习题辅导

7~8 随机变量函数的分布列

9~10 数学期望的定义及性质

11~12方差的定义及性质

13~14条件分布与条件数学期望

15~16 习题辅导

教学内容

1~2. 第一节一维随机变量及分布列

一、随机变量

在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的，这就提示我们，无论什么随机试验，如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果，样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上，这种想法是可以的，为此，引入一个新概念.

定义2.1 设E 维随机试验，()ωΩ=为其样本空间，若对任意的ω∈Ω，有唯一的实数与之对应，则称()ξω为随机变量.

这样，事件可通过随机变量的取值来表示，随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表示为事件，其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件.

二、一维离散型随机变量的概念

定义 2.2 定义在样本空间Ω上，取之于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量

()ξξω=，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量.称

()i i P a p ξ==， 1,2,i =L

为随机变量()ξω的概率分布列，也称为分布律，有时就简称为分布.

离散型随机变量()ξω的分布列常常习惯地把它们写成表格的形式或矩阵形式：

1212a a p p ⎛⎫

⎪⎝⎭

L L

例2.1 在5n =的贝努里试验中，设事件A 在一次试验中出现的概率为p ，令 ξ=5次试验中事件A 出现的次数

则 55(),05k k k

P k C p q k ξ-==≤≤

于是，ξ的分布列为：

54233245

12345510105q pq p q p q p q

p ⎛⎫ ⎪⎝⎭

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0,1,2,;i p i ≥=L （2）

1

1i

i p

∞

==∑

反过来，任意一个具有以上两个性质的数列{}i p 都有资格作为某一个随机变量的分布列. 事件()a b ξ≤≤的概率. 因为事件()()i i

a a b

a b a ξξ≤≤≤≤==U 右端的事件是两两互不

相容的，于是由概率的可列可加性有 ''()()a b

a b

i

i

i I i I P a b P a p ξξ∈∈≤≤=

==∑∑

其中'{:}a b i I i a a b =≤≤.

对R 中更复杂的集合B ，也有 ()

()

()()i

i i I B i I B P B P a p ξξ∈∈∈=

==∑∑

其中(){:}i I B i a B =∈.

由此可知，()ξω取各种值的概率都可以由它的分布列通过计算而得到，这件事实常常说成是：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律.

三、常见的离散型随机变量及其分布

1、两点分布 设离散型随机变量ξ的的分布列为

11P P ⎛⎫

⎪-⎝⎭

其中01P <<，则称ξ服从两点分布，亦称ξ服从（0—1）分布，简记为~(ξ0—1）分布. 显然，两点分布具有离散型随机变量的两个性质.

两点分布可用来描述一切只有两种可能结果的随机试验.例如，掷一枚均匀硬币是出正面还是反面；产品质量是否合格；卫星的一次发射是否成功等试验.

2、二项分布 若离散型随机变量ξ的分布列为

(),0,1,2,,k k n k

n p k C p q k n ξ-===L

其中01,1p q p <<=-，则称ξ服从参数为,n p 的二项分布，简称ξ服从二项分布，记为

~(;,).b k n p ξ

易验证 0

()0,

()1n

k k n k n n

k P k C

p q p q ξ-==≥=+=∑

显然，当n =1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.

二项分布是离散型随机变量概率分布中重要的分布之一，它以n 重贝努里试验为背景，具有广泛的应用.例如，质量管理中，不合格产品数n p 控制图和不合格率p 控制图的绘制；一些抽样检验方案的制定，都是以二项分布为理论依据的.

例2.2 设有一决策系统，其中每个成员作出的决策互不影响，且每个成员作出正确决策的概率均为(01).p p <<当占半数以上的成员作正确决策时，系统作出正确决策.问p 多大时，5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠.

解 对于5个成员的决策系统，可认为是5重贝努里试验，每个成员要么决策正确（成功），要么决策错误（失败）.决策正确的概率p ，决策错误的概率1q p =-，设ξ为其中决策正确的成员个数，则~(5,)b p ξ.对于3个成员的决策系统，类似地也有~(3,).b p ξ从而5个成员的决策系统作出正确决策的概率为

332445

55(3)(345)(3)(4)(5)(1)(1)P P P P P C p p C p p p ξξξξξξξ≥======+=+==-+-+U U

3个成员的决策系统作出正确决策的概率为

223

3(2)(23)(2)(3)(1)P P P P C p p p ξξξξξ≥=====+==-+U

要使5个成员的决策系统比3个成员的决策系统更为可靠，必须

33445223553(1)(1)(1)C p p C p p p C p p p -+-+>-+

即当1

2

p >

时，可满足此要求.