大学物理第九章振动学基础
大学物理振动波动PPT课件
b. 和t 求解
如 :
旋转矢量法
解析法 由 x00.0 40.0c8os
π
3
旋矢法
v 由0 旋 矢A 图si n 0 判s 断 i n 0 π3
A π
x/m
知 π
.
3
o
3
0.04 0.0158
15.
[例2] 一简谐运动的 x – t 曲线，如图所示，求：
(1) 初相 ；(2) 求运动方程,并用旋矢表示之；
讨论: a. 所含各种情况
= 0 , 直线(谐振动)
y A1 x A2
= /2 , 3/2 正椭圆 如 A1=A2 圆
— 其他情况 斜椭圆
b. 右旋与左旋
如 = 2 - 1>0
y 超前x 顺时针旋转(右旋)
如 = 2 - 1<0
x超前y 逆时针旋转(左旋).
28
28.
*三 .多个同方向同频率简谐运动的合成
两边对 t 求导
d(1mv21kx2)0 dt 2 2
.
d2x k x 0 dt2 m
21
21.
[例] 求图示系统的振动频率 .设轻绳与定滑轮
间无相对滑动.
分析:
k
J,r
a. 寻找平衡位置 , 建立图示坐标系 mgkx0
b. Ⅰ法 动力学法
m
o
x0
偏离x 平动与转动隔离
对m : mgFT ma
对J : F Trk(x0x)J
Fr 2mr2
at
5 (Rr)
d2
dt2
at r
d2
dt 2
2
(sin)
R FT c r
F
mg
T 2π 7(Rr)l
大学物理振动
4.1 简谐振动
一.简谐振动
一物理量随时间的变 化规律遵从余弦函数 关系，则称该物理量 作简谐振动。
表达式 x(t)=Acos( t+)
特点 (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t)=x(t+T )
－A 0 A
X
表达式 x(t)=Acos( t+)
二. 描述简谐振动的特征量 1. 振幅 A： 即最大位移：x＝±A 2. 角频率 （圆频率）ω （弧度/秒：rad/s） 3. 周期T 和频率 v ∵ ωT＝2π ∴ T＝2π/ω （s） （完成一次全振动所需的时间） 而 v = 1/T ＝ω/2π （Hz）
a
d2x d t2
2 Acos(
t
0)
2 Acos(
t
0
)
x、 v 、a
2A
A v
A
x
0
-A
- A
- 2A v > 0
<0
a<0 减速
<0 加速
<0 >0 减速
a
T t
>0 >0 加速
解题方法
由初始条件求解振幅和初位相：
设 t =0 时，振动位移：x = x0
振动速度：v = v0
x Acos（ t ） xo Acos
谐振系统的总机械能：
E Ek Ep
1 m 2 A2 sin 2 ( t ) 1 kA2 cos2 ( t )
2
2
E
1 2
kA2
1 2m2 A2来自1 2mvm 2
x Acos t
X
Ep
Ek
E 1 kA2
2
X
结论：
大学物理振动课件
大学物理振动课件•振动基本概念与分类•简谐振动特性分析•非简谐振动处理方法目录•波动现象与波动方程•光学中振动与波动应用•声学中振动与波动应用•总结回顾与拓展延伸01振动基本概念与分类振动定义及特点振动的定义物体在平衡位置附近所做的往复运动称为振动。
振动的特点周期性、重复性、稳定性。
振动分类方法自由振动、受迫振动。
按振动系统分类简谐振动、非简谐振动。
按振动规律分类直线振动、扭转振动。
按振动方向分类物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐振动。
简谐振动的定义回复力与位移成正比，且方向相反；加速度与位移成正比，且方向相反；速度与位移成反比。
简谐振动的特点不满足简谐振动条件的振动称为非简谐振动。
非简谐振动的定义回复力不满足与位移成正比的规律；加速度与位移的关系不满足简谐振动的规律；振动图像不是正弦或余弦曲线。
非简谐振动的特点简谐振动与非简谐振动02简谐振动特性分析简谐振动方程建立与求解建立简谐振动方程通过受力分析和牛顿第二定律，建立简谐振动的微分方程。
对于一维简谐振动，方程形式为$mfrac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$，其中$m$ 为振子质量，$k$ 为弹性系数。
方程的求解通过求解微分方程，得到简谐振动的通解为$x(t) = Acos(omega t + varphi)$，其中$A$ 为振幅，$omega$ 为角频率，$varphi$ 为初相位。
1 2 3表示振动物体离开平衡位置的最大距离，反映了振动的强弱程度。
振幅$A$表示振动物体完成一次全振动所需的时间，反映了振动的快慢程度。
周期$T$表示单位时间内振动物体完成全振动的次数，与周期互为倒数关系，即$f = frac{1}{T}$。
频率$f$振幅、周期、频率等参数意义相位差与波动传播关系相位差的概念两个同频率的简谐振动之间存在的相位之差。
当两个振动的相位差为$2npi$（$n$为整数）时，它们处于同相；当相位差为$(2n+1)pi$ 时，它们处于反相。
大学物理第九章振动
⼤学物理第九章振动第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述⽅法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在⼀定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，⼼脏的跳动，⽓缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是⼀种普遍⽽⼜特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在⼀定的空间范围内往返运动，故这种振动⼜被称为机械振动。
除机械振动外，⾃然界中还存在着各式各样的振动。
今⽇的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，⽆线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
⼴义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，⼀切复杂的振动都可以看作是由若⼲个简谐振动合成的结果。
在忽略阻⼒的情况下，弹簧振⼦的⼩幅度振动以及单摆的⼩⾓度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振⼦质量为m的物体系于⼀端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的⾃由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振⼦。
如将弹簧振⼦⽔平放置，如图9-1所⽰，当弹簧为原长时，物体所受的合⼒为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产⽣了指向平衡位置的弹性⼒，在弹性⼒的作⽤下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性⼒减⼩到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩⽽出现向右的指向平衡位置的弹性⼒，该弹性⼒将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减⼩直到为零。
之后物体⼜将在弹性⼒的作⽤下向右运动。
在忽略⼀切阻⼒的情况下，物体便会以平衡位置O为中⼼，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正⽅向。
大学物理复习题(附答案)
第9章振动学基础复习题T 1.已知质点的振动方程为 x A cos( t )，当时间t —时(T 为周期)，质点的振动速4度为：(A ) v A sin (B ) v A sin (C ) v A cos (D ) v A cos2 •两个分振动的位相差为 2n 时，合振动的振幅是： A.A 1+A 2；B.| A 1-A 2IC.在.A I +A 2 和 | A I -A 2|之间D.无法确定3•一个做简谐运动的物体，在水平方向运动，振幅为8cm ，周期为0.50s 。
t =0时，物体位于离平衡位置4cm 处向正方向运动，则简谐运动方程为 _______________ . 4.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为x 4 10 2 cos(2 t ) m 。
从t = 0时刻起，3到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 _____________ .5•一个简谐振动在t=0时位于离平衡位置 6cm 处，速度v=0 ,振动的周期为2s ,则简谐振 动的振动方程为 ________________________ . 6.—质点作谐振动，周期为 T ,当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 ____________ . 7.—个质量为0.20kg 的物体作简谐振动，其振动方程为x 0.6cos(5t -)m ，当振动动2能和势能相等时振动物体的位置在A •0.3 m B • 0.35 m C .0.42 mD . 010•一个作简谐振动的物体的振动方程为s 12cos(t 3)cm ,当此物体由s 12cm 处 回到平衡位置所需要的最短时间为 ________________________________________ 。
11. 一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐运动? 12. 简谐振动的周期由什么确定？与初始条件有关吗？14. 两个同方向同频率的简谐振动合成后合振动的振幅由哪些因素决定？ 15. 两个同方向不同频率的简谐振动合成后合振动是否为简谐振动?&某质点参与x 1 4cos(3 t ) cm 和x 24振动，其合振动的振幅为 ________________ 3cos(3 t -)cm 两个同方向振动的简谐49.某质点参与x 110 cos( 2 t ) cm 和x 12运动，其合振动的振幅为 ______________ ; 4cos(2t2)cm 两个同方向振动的简谐教材习题P/223: 9-1 , 9-2, 9-3, 9-4 9-10, 9-12, 9-18第9章振动学基础复习题答案3. x 8cos(4 t ) m .3 "4.5. ___ x 6cos t cm 。
大学物理 第9章 简谐振动
9.2 简谐振动的规律 9.3 简谐振动的合成
9.1 简谐振动的定义
9.1.1 弹簧振子的振动
9.1.2 简谐振动的定义
9.1.3 单摆的运动规律
9.1.4 LC振荡回路中电容器 上电量的变化规律
振动是与人类生活和科学技术密切相关的一种 基本运动形式。
广义的振动 一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
下面我们重点对合振动的振幅进行讨论
A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 2
t 2 t 1 2 1
讨论：两种特殊情况
(1) 21=2k (k=0,1,2,…) 两分振动同相
A A1 A 2
o
考虑方向 F mg 简谐振动！
mg
0
F ma mg
t 0
l
又 a
l d
2
dv dt
l
d
2
dt
2
T
F
O
dt
2
g
即
d 2 g 0 2 l dt
d （v l ） dt
mg
g l
2 T 2
2
x
A x A y cos t
2 2
（2）相位差 y x ，轨迹方程为
x Ax y Ay 0
x
2 2
y
2 2
2
xy Ax Ay
cos(
Ax
Ay
y
x ) sin (
2
y
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x mF G G mx x πρπρ=-=-令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
大学物理A第九章简谐振动
第九章 简谐振动一、填空题（每空3分）9-1 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。
（3:1,A ）9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。
（0.05m ）9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=6.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI) , X 2=4.0×10-2cos(Tπ2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=2.0×10-2cos(T π2t+4π) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2A处所需要的最短时间为_________。
（12T） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4cos(1πω+=t A x m 、)43cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。
(2 A)9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2A处所需要的最短时间为_________。
(6T) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。
（0.01m ）9-8 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -⨯作简谐振动，其最大加速度为24.0m s -⋅，通过平衡位置时的动能为 ；振动周期是 。
(-32.010,10s J π⨯) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。
（π）9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -⨯作谐振动，其最大加速度为14.0m s -⋅，则通过最大位移处的势能为 。
大学物理第九章振动学基础习题答案
第九章 振动学习题9-1 一小球与轻弹簧组成的振动系统，按(m) 3ππ8cos 05.0⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t x ，的规律做自由振动，试求（1）振动的角频率、周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值；（2）t=1s ，2s ，10s 等时刻的相位；（3）分别画出位移、速度和加速度随时间变化的关系曲线。
解：（1）ω=8πs -1，T=2π/ω=0.25s ，A=0.05m ，ϕ0=π/3，m A ω=v ，2m a A ω=（2）π=8π3t φ+ （3）略 9-2 一远洋货轮质量为m ，浮在水面时其水平截面积为S 。
设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力。
（1）证明货轮在水中做振幅较小的竖直自由运动是谐振动；（2）求振动周期。
解：（1）船处于静止状态时gSh mg ρ=，船振动的一瞬间()F gS h y mg ρ=-++ 得F gSy ρ=-，令k gS ρ=，即F ky =-，货轮竖直自由运动是谐振动。
（2）ω==，2π2T ω==9-3 设地球是一个密度为ρ的均匀球体。
现假定沿直径凿通一条隧道，一质点在隧道内做无摩擦运动。
（1）证明此质点的运动是谐振动；（2）计算其振动周期。
解：以球心为原点建立坐标轴Ox 。
质点距球心x 时所受力为324433x m F G G mx x πρπρ=-=- 令43k G m πρ=，则有F kx =-，即质点做谐振动。
（2）ω==2πT ω== 9-4 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A ＝2.0 ×10-2 m ，周期T ＝0.50s 。
当t ＝0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置，向负方向运动；（3）物体在x ＝1.0×10-2m 处，向负方向运动；（4）物体在x ＝-1.0×10-2 m 处，向正方向运动。
求以上各种情况的振动方程。
解：ω=2π/T=4πs -1（1）ϕ0=0，0.02cos4(m)x t π=（2）ϕ0=π/2，0.02cos 4(m)2x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （3）ϕ0=π/3，0.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4）ϕ0=4π/3，40.02cos 4(m)3x t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9-5 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为9.8 ×10-2 m 。
大学物理振动学
物理学 第三版） （第三版）
ϕ ωt+ϕ ω
T
第九章
振动学基础
物理学 第三版） （第三版）
每一简谐振动都有一旋转矢量与之相对应。 每一简谐振动都有一旋转矢量与之相对应。 v ω vx
x = A cos(ω t + ϕ )
长度 角速度 旋转矢量在t=0 旋转矢量在 时与x轴的夹角 时与 轴的夹角
a
ωt
A
x = A cos(ω t + ϕ ) x
A
物理学 第三版） （第三版）
xmax
−A
o
t
T
表征了系统的能量，由初始条件决定 表征了系统的能量， 初始条件决定. 决定 由
x = A cos(ωt + ϕ ), v = − Aω sin(ωt + ϕ ) x 0 = A cos ϕ t = 0 时, v0 = − Aω sinϕ 2 2 v0 2 v0 A = x0 + 2 2 =A , 得 有 x0 + ω ω
x = A cos( ω t + ϕ ) v = − Aω sin(ωt + ϕ )
),质点运动状态全同. 相差 2 n π n 为整数),质点运动状态全同. 周期性） ( 为整数),质点运动状态全同 (周期性） 初始时刻的运动状态 （3）初相位 ϕ (t = 0)描述质点初始时刻的运动状态(初 描述质点初始时刻的运动状态( 也可确定初相. 位置 x0 和初速度v0 ) 已知初始条件 x0 ,v0 也可确定初相.
A x
φ
o
vx x
v x = − Aω sin(ω t + ϕ )
ax = − Aω cos(ωt + ϕ )
大学物理第九章简谐运动
t 确定, 振动状态确定
O
A
O X X
初相位：=/3
判断： t = 0, 振子的初位移、初速度 x0=A/2, v0<0（向x轴负方向运动）
用旋转矢量描述简谐振动：
O
O X 判断： t = 0,
A
X
=/2
振子的初位移、初速度
x0=0, v0<0 （向x轴负方向运动）
用旋转矢量描述简谐振动：
14
讨论
相位差：表示两个相位之差
（1）对于两个同频率的简谐运动，相位 差表示它们间步调上的差异（解决振动合成 问题）. x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1 )
2 1
15
合成
简谐运动 谐振子 分解 复杂振动
作简谐运动的物体
8
弹簧振子的振动模型
弹簧和一谐振子组成的振动系统。
l0 k
m
x
C
o
B
x xB F FB
x 0 F 0 平衡位置
x xc v 0
9
振动的成因
a 回复力
b 惯性
10
弹簧振子的动力学分析
F
o
F kx ma
2
m
x
解得 x A cos(t )
简谐运动方程
积分常数，根据初始条件确定
12
由 x A cos(t )
简谐运动方程
简谐振动的各 阶导数也都作 简谐振动
dx 得 v A sin(t ) dt A cos t 2 d2 x a 2 A 2 cos(t ) dt
大学物理参考答案(白少民)第9章 振动学基础
+ x 所以有振动方程
1 k1 k 2 ( ) x = 0 ，则 ω = m k1 + k 2
9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式. 解：对于单摆系统中的物体 m，其振动动能 系统的势能（重力势能） 而系统的总能量 所以 1 2
Ek =
1 1 2 mυ 2 = ml 2θ 2 2
动能与势能相等，即 E k = E p
( n = 0, 1, 2, ) ，由此得在下式 4 2 nπ / 2 ± π / 4 t= = ( 2n + 1)T / 8 表示的时刻动能和势能相等： ω 9.14 质量为 10g 的物体作简谐振动 ,其振幅为 24cm,周期为 1.0s,当 t=0 时,位移为+24cm,求： （1） t =1/ 8 s 时物体的位置以及所受力的大小和方向；（ 2）由起始位置运动到 x=12cm 处 所需要的最少时间；（3）在 x=12cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。 解：A=24cm=0.24m， ω = 2πν = 2π / T = 2π rad / s x = 0.24 cos 2π t 由 t=0 时 x=0.24m 得初相 ϕ = 0 . 所以简谐振动为 （1） t =1 / 8 s 时，位移为 x = 0.24 cos 2π ×1 / 8 = 0.24 × 2 / 2 = 0.17 m = −0.01 × ( 2π ) 2 × 0.24 cos 2π / 8 = −6.7 ×10 −2 N . 负号代表方向与位 x 所受力 f = m 移的方向相反。 1 （2）由 0.12 = 0.24 cos 2π t 得最少时间 t = s 6 （3）在 x =12cm处（即t =1 / 6 s) = −2π × 0.24 sin 2πt = −2π × 0.24 sin π / 3 = −1.31m/s 物体的速度 υ = x 1 1 E k = mυ 2 = × 0.01 × ( −1.31) 2 = 8.6 ×10 −3 J 动能 2 2 势 能 1 1 π 1 1 E p = kx 2 = mω 2 A 2 cos 2 = × 0.01 × (2π ) 2 × (0.24) 2 × = 2.8 ×10 −3 J 2 2 3 2 4
《振动学基础》课件
振动信号的分析
振动信号的分析可以通过时域分析和频域分析来研究信号的特性，帮助我们 理解信号的来源和影响。
振动控制的基本原理
振动控制是指通过调节振动系统的参数或施加控制力来减小或消除不必要的振动，提高系统的性 能。
传感器和测量方法
传感器和测量方法用于获取振动系统的相关数据，例如位移、速度和加速度，进而进行分析和控 制。
总结与展望
在这份PPT课件中，我们了解了振动学的基本知识和应用，希望这些知识能对 你的学习和工作有所帮助。
《振动学基础》PPT课件
这份PPT课件将为你介绍振动学的基础知识，从引言开始逐步深入讲解振动学 的各个方面，包括振动系统的建模方法、振动信号的分析以及振动工程的应 用前景。
什么是振动学？
振动学是研究物体在弹性力作用下自由或受迫地以周期性变化的方式来回摆 动或振动的科学。
自由振动
自由振动指物体在没有外界作用力的情况下以自身的固有频率振动，如钟摆的摆动、吊桥的摇摆。
振动系统的能量
振动系统的能量可以通过振动系统的动能和势能来描述，两者在振动过程中 不断转化。
振动系统的建模方法
振动系统的建模可以使用单自由度系统和多自由度系统进行描述，不同的系 统对应析方法包括模态分析、频域分析和时域分析，可以帮助我们理解和预测振动系统的 行为。
受迫振动
受迫振动是物体在外力作用下以非固有频率振动，如受音频驱动的共振现象。
简谐振动
简谐振动是指物体在受到恢复力作用下，其加速度与位移成正比且方向相反 的振动，如弹簧的振动。
阻尼振动
阻尼振动是指物体在存在阻尼的情况下进行的振动，如在摩擦力存在的情况下的弹簧振动。
共振现象
共振现象是指在外界频率接近物体的固有频率时，物体发生异常放大振动的 现象，如摇摆的秋千。
大学物理上第9章
d l g sin 2 dt d 2 g sin 0 若θ 很小，则有： 2 dt l d 2 g 2 即： 0 其中： 2 dt l
2
Ft mat mg sin
Ft
mg
因此，单摆在小角度下 的摆动是简谐振动。
单摆的周期： T
说明： 合成结果仍为简谐运动 合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。 用旋转矢量法研究同方向、同频率简谐振动的合成：由 旋转矢量图可以直接得到合振动的振幅及初相位。
x0 v0 x0 v0
点
x0 v0 x0 v0
(2) 由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原
A
5 t / 0.83s 6
9.1.4 简谐振动的能量
v Asi n( t ) 1、简谐振动的动能 1 1 1 2 2 2 2 E k mv mA si n (t ) kA2si n2 (t ) 2 2 2
2
2
l g
例题2、 一长为 l 的均匀细棒悬于其一端的光滑水平轴上， 做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？ 解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩： 取逆时针为正方向。 由转动定律： d 2 1 2 d 2 l mgsi n J J 2 ml dt 3 dt 2 2 θ很小，则： 即：
A x
2 0
2）
联立1)和2)式，得： 注意
a） 尚需满足1）和 2）所决定的状态。 , cos 中之一不能决定 ，需由 b）仅由 tg , sin 其中两个方程可求出。
2
2 v0
v0 arctan( ) x0
大学物理 振动
令
这是谐振动方程, 故单摆的小幅振 动是谐振动, 振动的周期为
g 2 l
d 2 0 2 dt
T 2
l g
(5) 谐振动的固有频率与固有周期
频率 1 秒内完成全振动的次数, 单位: Hz
周期 T
二者的关系
完成一次全振动所经历的时间, 单位: s
1 T
振子经历一个周期后, 回复原来状态, 因而有
1、简谐振动的三个特征量
谐振动的余弦函数式
x A cos( t )
A — 振幅 物体离开平衡位置的最大位移，单位: m — 角频率 （或称圆频率）
在 2π 秒时间内完成全振动的次数, 单位: rad/s — 初相 反映初始时刻(t = 0时刻)振动系统的运动状态
以上三个量称为描述谐振动的三个特征量。其中: 由振动系统本身的性质决定。 振动的振幅 A 和初相 则由初始条件决定。 设 t 0 时, x x0 , v v0 , 则由
0, x1, x2 步调一致, 同相 , x1, x2 步调相反, 反相
2 - 1 0, 2 - 1 0,
x2 振动超前x1振动
x2 振动落后x1振动
的值一般限制在0 ~ π之间.
例1 质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期为 2 s 。当
这正是谐振动的速度方程 圆周运动的加速度
an
t
P
x
an A
投影为
2
它在 x 轴上的
a -an cos(t ) 2 - A cos(t )
这正是谐振动的加速度方程
3、简谐振动的相位
大学物理B2_第9章_1
19
第九章 振动1
二阶常系数齐次微分方程的解：
2 2 s 2Ce st 2Ce st 0 s 0 s j 其中 j 1
d 2x 2 x0 2 dt
st 设解为： x Ce 代入微分方程
jt jt x C1e s1t C2 es2t x C1e C2 e
mg kl
d 2x m 2 kx dt d 2x 2 x0 2 dt
k m
2
所以该系统是作简谐振动
11
2014年10月15日星期三
第九章 振动1
-2kg x 如图 9.8cos(10 t10 ) ,弹簧的静止形变为 cm 例2. m=2× l=9.8cm，t=0 时, t 0, x0 0, 取开始振动时为计时零点，写出振动方程； v0 0 (2) x 。⑴ 0=-9.8cm,v0=0
7
第九章 振动1
简谐振动图象表示：
x
A
x t v t
图
t
x A cos(t )
图
A
v
t
dx v Vm cos(t ) dt 2
dv a Am cos(t ) dt
2014年10月15日星期三
a t
图
A
2
a
t
8
第九章 振动1
四、简谐振动的特征物理量
A x (
2 0
mg l 解： v0 A k sin 0
2
-5
-10
10
5
O
-5 -10
0.2
l
FS
0.6 0.8 1
0.4
v0
大学物理第九章振动
第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述方法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在一定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，心脏的跳动，气缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是一种普遍而又特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在一定的空间范围内往返运动，故这种振动又被称为机械振动。
除机械振动外，自然界中还存在着各式各样的振动。
今日的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，无线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
广义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个简谐振动合成的结果。
在忽略阻力的情况下，弹簧振子的小幅度振动以及单摆的小角度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振子质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子。
如将弹簧振子水平放置，如图9-1所示，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产生了指向平衡位置的弹性力，在弹性力的作用下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性力减小到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩而出现向右的指向平衡位置的弹性力，该弹性力将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减小直到为零。
之后物体又将在弹性力的作用下向右运动。
在忽略一切阻力的情况下，物体便会以平衡位置O为中心，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正方向。
大学物理【第五版下册】第九章振动
金茂大厦采用超高层 建筑史上首次运用的 最新结构技术，整幢 大楼垂直偏差仅2厘 米，楼顶部的晃动连 半米都不到，这是世 界高楼中最出色的， 还可以保证12级大 风不倒，同时能抗7 级地震。
第二十四页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
9--1
第二十五页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
任一物理量(位置矢量,电流强度,磁场强度…)在某一 定值附近往复变化均称为振动.
简谐运动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成 分解
谐振子 作简谐运动的物体.
复杂振动
第二十七页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
弹簧振子的振动
l0 k
A
m x0 F 0
x
o
A
简谐振动的条件
1.在平衡位置附 近来回振动。
2.受回复力作用。
第二十八页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
特点：
第十一页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
根据已知的物理学定律，结合某些物 理量的定义，通过数学推导，或逻辑演 义的方法可以导出某些物理量的定量关 系，这些定量关系的数字表达式通常称 为物理定理（或原理）。物理定律或定 理构成物理理论的骨架，成为一定范围 内实践活动的指南。
第十二页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
54从表中可看出只有相位从表中可看出只有相位tt变化变化2才同时完全重复原来的值才同时完全重复原来的值说明用相位描述振动说明用相位描述振动状态能更好表示振动状态在一个周期内的唯一状态能更好表示振动状态在一个周期内的唯一性性及周期变化的特征及周期变化的特征
第一页，编辑于星期六：二十一点 四十五分。
掌握物理学的研究方法
第二十二页，编辑于星期六：二十一点 四十五 分。
大学物理第九章-十四章 振动--习题集(含答案)
第九章 振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。
2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。
3、简述符合什么规律的运动是简谐运动答案：当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律，遵从余弦函数或正弦函数()ϕω+=t A x cos 时，该质点的运动便是简谐振动。
或：位移x 与加速度a 的关系为正比反向关系。
4、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。
答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dtx d 222ω-= 或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x5、分别从运动学和动力学两个方面说明什么是简谐振动？答案：运动学方面：运动方程中位移与时间满足正弦或余弦函数关系)cos(φω+=t A x动力学方面：物体在线性回复力作用下在平衡位置做周期性往复运动，其动力学方程满足6、简谐运动的三要素是什么？答案： 振幅、周期、初相位。
7、弹簧振子所做的简谐振动的周期与什么物理量有关？答案： 仅与振动系统的本身物理性质：振子质量m 和弹簧弹性系数k 有关。
8、如果弹簧的质量不像轻弹簧那样可以忽略，那么该弹簧的周期与轻弹簧的周期相比，是否有变化，试定性说明之。
答案：该振子周期会变大，作用在物体上的力要小于单纯由弹簧形变而产生的力，因为单纯由形变而产生的弹力中有一部分是用于使弹簧产生加速度的，所以总体的效果相当于物体质量不变，但弹簧劲度系数减小，因此周期会变大。
9、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那么如何测量此线的长度？答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开一小角度，让其自由振动，测出周期T ，便可依据单摆周期公式gl T π2=计算摆长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2.弹簧振子振动的微分方程 弹簧振子偏离平衡位置
求：（1）t=1s 时物体的位移；
（2）何时物体第一次运动到x=10cm处；
（3）再经多少时间物体第 二次运动到x=10cm处；
解： 如图，
0
2
3
0
A
O
2
X
x 0.2 cos( t 2 )
2
3
x 0.2 cos( t 2 )
（1）t=1s 时物体的位移；
2
3
x
0.2
cos(
2
) 0.173(m)
1.相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2.超前和落后
若 2 1 0，则x2比x1较早达到正最大，
（2）初相位 (t 0)描述质点初始时刻的运动状态(初
位置 x0和初速度v0 . 已知初始条件 x0,v0 也可确定初相.
tan v0 / A v0
x0 / A
x0
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0,v0 的符号判定 cos 和 sin 的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
3.同相和反相
当 =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，称
同相.
当=(2k+1)， ( k=0,1,2,…)，两振动步调相反，
称反相.
A1 A2
x2x1 同相 T
O
- A2
t
-A1
两同相振动的振动曲线
x
A1
x1 反相
A2
T
O
- A2
x2
t
-A1
0
由 J 1 ml2 3
d2
dt 2
3g
2l
0
令 2 3g
2l
得到振动微分方程
d2
dt 2
2
0
表明棒作角简谐振动
T 2π 2π 2l
ω
3g
三、谐振子模型
符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它 是振动学的研究基础. 弹簧振子、无阻尼LC振荡电路 等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观 谐振子可揭示其能量量子化.
0
2
)A
2 A cos(t 0 ) o
T
T
2
3T
2T
2
t
am cos(t 0 ) 2 x a
其中 vm A, am 2 A
2A A x(t)
称为速度幅值和加速度幅值. o
T
T
3T
2T
t
a总是和
x
方向相反
2
2
E
1 k A2 2
Ek
Ep
o t T T 3T T 42 4
(5)振动曲线
2x
0
其中ω 是系统固有性质
F弹
x
决定的常数,则此物理量作简(1)运动的微分方程(定义式).
(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.
二、简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
Acos(t T )
旋转矢量
A
振幅
半径长
t+
T
初相 相位 圆频率 谐振动周期
初始角坐标 角坐标 角速度
旋转周期
如图为旋转矢量法
自Ox轴的原点O作一矢量， 使其模等于振幅A，使A绕点 O作逆时针的匀角速转动。
t 0 M0, 0
看矢量A的矢端M
M
AA
t M0
O
0 P
x Acos(t 0x)
t t M , t 0
周期 T 2π
频率 1
T 2π
角频率 2π 2π
T
,T , 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
由 2 k
m
弹簧振子固有周期 T 2π
m k
单摆
ft mg sin
sin x
l
at
f m
g l
x
d 2
l dt 2
mgl
g
l
T 2 2
T
Gsin Gcos
G
l g
矢量A在Ox轴上投影 x Acos(t 0 )
恰因是此沿，O旋x转轴矢作量简A谐的运矢动端的M物在体O在x轴t时上刻的相投对影于点原P的点运O 的动位，移可。表示物体在Ox轴上的简谐运动。矢量A以角 速度旋转一周，相当于物体在x轴上作一次完全振 动。
x t+
A
旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利 用矢量端点在Ox轴上的投影点的运动， 来形象地展示简谐运动的规律。
T5 t1 8 8
20 A
1 10
A
O
X
2
质点2第一次经过平衡位置的时刻
t2
T 4
5 4
x
例: 已知简谐振动曲线x ~ t,
试写出此振动的运动方程 0.1
1
7
o3
3
t
-0.05
解：由图可以看出
A x0
0.1m A cos
T
0
7 1 2s 33
cos0
0 1
2
2T23
v0
2
2
A
振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？ 2. 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.
一、两个同方向同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
O
2 1
x2
A1 x1
x
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
当 角不是很小时，物体不再作简谐振动。
例: 质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆 动. 求振动周期.
解: 重力矩 M 1 mgl sin
O
2
“ – ”表示力矩与逆时针张角方向相
反.
M
J
J
d2
dt 2
l
J
d2
dt 2
1 mgl sin
2
mg
当 5 时, sin
d2
dt 2
mgl 2J
9-2 简谐振动的描述
预习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？ 2. 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.
一、振幅和初相位
1. 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 表征了系统的能量，由初始条件决定.
23
A
02
（2）何时物体第一次运动到x=10cm处；
A 2
O 2 3
X
t
2s
2
x 0.2 cos( t 2 )
2
3
（3）再经多少时间物体第二次运动到x=10cm
处；
t 2 / 4 (s) 3 23
例两：质点沿X轴作同方向,同振幅A振动.其周期为
5s,当t=0时,质点1 在 质点2在-A处，
x Acos(t )
x
A
o
T
A
2
Tt
E Ek t, Ep t 曲线
振动曲线
o
x
T 2
初 相 0
T 3T
2
E 1 kA2
E2
k
E
p
t
T
T
3T
t
2
2
从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化 频率的2倍，总能量并不改变。