大学物理第九章振动学基础

OP
谐振动的三个特征量：振幅、
角频率和初相位.
振动的任相一位时.刻规旋定转矢A 量沿逆与时x轴针的方夹向角转动t ，则为相投位影点t 简谐
便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态.
所以，作匀速转动的矢量，其矢端在过其始端的 直线(x轴)上的投影的运动就是简谐振动.
物理模型与数学模型比较
简谐振动
第九章 振动学基础
第九章 振动学基础
9-0 教学基本要求 9-1 简谐振动的规律 9-2 简谐振动的描述 9-3 简谐振动的合成
教学基本要求
一、理解简谐振动的基本特征, 了解研究谐振子模型的意义. *二、能建立一维简谐振动的微分方程, 能根据给定的初始条 件写出一维简谐振动的运动方程, 并理解其物理意义.
9-2 简谐振动的描述
预习要点 1. 简谐振动的振幅和初相位由哪些因素决定? 如何确
定它们的数值？ 2. 注意相位在描述振动中的特殊而重要的作用. 3. 注意领会旋转矢量表示及研究谐振动的方法.
一、振幅和初相位
1. 振幅 A
质点在振动过程中离开平衡位置的最大位移的绝对值. 表征了系统的能量，由初始条件决定.
x
旋转矢量法与振 动曲线法相对照
o
t 注意：x轴正方
向竖直向上。
矢量在参考圆上的不同位置代表了质点的不同
振动状态。
利用旋转矢量法，可以很容易地表示两个简 谐振动的位相差，即两个旋转矢量之间的夹角。
例：一物体沿X作谐振动振幅A=20cm,周
期T=4s, t=0时物体的位移为-10cm且向 X轴负向运动。
周期 T 2π
频率 1
T 2π
角频率 2π 2π
T
,T , 都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
由 2 k
m
弹簧振子固有周期 T 2π
m k
单摆
ft mg sin
sin x
l
at
f m
g l
x
d 2
l dt 2
mgl
g
l
T 2 2
T
Gsin Gcos
G
l g
23
A
02
（2）何时物体第一次运动到x=10cm处；
A 2
O 2 3
X
t
2s
2
x 0.2 cos( t 2 )
2
3
（3）再经多少时间物体第二次运动到x=10cm
处；
t 2 / 4 (s) 3 23
例两：质点沿X轴作同方向,同振幅A振动.其周期为
5s,当t=0时,质点1 在 质点2在-A处，
称x2比x1超前(或x1比x2落后).
3.同相和反相
当 =2k， ( k = 0,1,2,…)，两振动步调相同，称
同相.
当=(2k+1)， ( k=0,1,2,…)，两振动步调相反，
称反相.
A1 A2
x2x1 同相 T
O
- A2
t
-A1
两同相振动的振动曲线
x
A1
x1 反相
A2
T
O
- A2
x2
t
-A1
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
两个同方向同频率简谐运动合成后仍为简谐运动， 角速度不变.
1.当 Δ 2 1 2kπ (k 0,1, 2,) 时,
A A1 A2 合振动振幅最大.
2.当 2 1 （2k 1）π (k 0,1,2,) 时,
三、理解描述简谐振动的各物理量的物理意义和决定因素. 四、理解旋转矢量法和相位差的意义, 会用旋转矢量法分 析和解决简谐振动问题, 会做振动曲线. 五、理解两个同方向、同频率简谐振动的合成规律. *六、了解相互垂直的两个同频率简谐振动的合成.
9-1 简谐振动的规律
预习要点
1. 注意简谐振动的规律和特点. 如何判断一个振动是 否为简谐振动？
0
2
)A
2 A cos(t 0 ) o
T
T
2
3T
2T
2
t
am cos(t 0 ) 2 x a
其中 vm A, am 2 A
2A A x(t)
称为速度幅值和加速度幅值. o
T
T
3T
2T
t
a总是和
x
方向相反
2
2
E
1 k A2 2
Ek
Ep
o t T T 3T T 42 4
(5)振动曲线
由 x Acos(t ), A xmax
v A sin(t )
t 0 时, x0 A cos
v0 A sin
有
x02
v0
2
A2 ,
得
A
x02
v0
2
2. 相位
在x Acos(t )中，t 称为振动的相位.
（1）t x ，v 存在一一对应的关系；即其决
定质点在时刻的t的位置和速度(即时刻t的运动状态).
v dx A sin(t ) A cos(t π)
dt
2
(3)加速度时间关系
a
d2x dt 2
A2
cos(t
)
A 2
cos(t
π)
ω2x
(4)能量特征
Ek
1 2
mv2
1 2
m2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
由 2 k /m
Ek
1 2
mv2
1 2
两反相振动的振动曲线
一质点作简谐振动，振动方程为x=Acos(t+)，当 时间t = T/2（T为周期）时，质点的速度为
(A) -A sin ． (B) A sin ． (C) -A cos ． (D) A cos ． ［ ］
振动系统本身性质 初始条件
2
A cos (
t
)
T2
Acos(2 t )
T3
1.2s 20.9cm / s
三、简谐振动的旋转矢量表 示法
如图，一长度为A的矢量 A 绕其始端O以恒角速度
沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以
O为平衡位置做简谐振动.
x Acos(t )
可见，旋转矢量的长度
A、角速度 和t=0时与x轴
的夹角 分别代表投影点简
M
A t x
x Acos(t )
x
A
o
T
A
2
Tt
E Ek t, Ep t 曲线
振动曲线
o
x
T 2
初 相 0
T 3T
2
E 1 kA2
E2
k
E
p
t
T
T
3T
t
2
2
从图可见，动能和势能的变化频率是位移变化 频率的2倍，总能量并不改变。
3.简谐振动的定义 任一物理量x随时间t的变化关系如果满足微分方程
d2x dt 2
O后，仅因回复力(弹性力) 和惯性而自由往返运动.
F kx ma
F弹
x ox
a
d2x dt 2
F
m
k x m
d2x dt 2
k m
x
0
令 2 k
m
有
d2x dt 2
2
x
0
弹簧振子的振动微分方程(动力学方程)
解微分方程得
(1) 位移时间关系(振动方程)
x A cos(t )
(2)速度时间关系
A |A1 A2| 合振动振幅最小.
3. 一般情况
A1 A2 A A1 A2
x
x
o
to
t
一般情况 为其它任意值，则：
A1 A2 A ( A1 A2 )
x
合成振动
T
3T
2
2
o
T
2
t
T
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着 重要作用。
[例] 已知两个同方向振动分别为：
(1) 求合振动的振幅和初相位；
m2 A2
sin2 (t
)
1 kA2 sin2(t )
2
弹簧振子的总的机械能
E
Ek
Ep
1 2
k A2
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时
间发生周期性变化，但动能和势能的总和保持为一个常
量，即系统的机械能守恒.
v dx dt
a
d2x dt 2
Asin(t 0 ) v
vm
cos(t
rad s1
sin0
0
由题意
0
2
3
x 0.1cos(t 2 )
3
(解析法)
此题也可用旋转矢量法求解。
x
x
0.1
0
O
A 2
1
7
o3
3
t
-0.05
解：由图可以看出 A 0.1m
0
2
3
x 0.1cos(t 2 )
3
9-3简谐振动的合成
预习要点 1. 注意两个同方向同频率简谐振动的合振动规律. 分
0
由 J 1 ml2 3
d2
dt 2
3g
2l
0
令 2 3g
2l
得到振动微分方程
d2
dt 2
2
0
表明棒作角简谐振动
T 2π 2π 2l
ω
3g
三、谐振子模型
符合简谐振动微分方程的振动体称为谐振子，它 是振动学的研究基础. 弹簧振子、无阻尼LC振荡电路 等是典型的经典谐振子模型，依据量子物理研究微观 谐振子可揭示其能量量子化.
(2) 另有一同方向的振动 x3 0.07 cos(10t ) ，
问 为何值时 x1 x3 的振幅为最大？ 为何值时，
x2 x3 的振幅最小？
[解] (1)
A
A12
A
2 2
2A1A2
cos
0.052 0.062 2 0.05 0.06cos(3 1 ) 55
1.相位差 表示两个相位之差. 对于两个同频率的简谐运动，
相位差表示它们间步调上的差异.
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
(t 2 ) (t 1)
2 1
两个同频率的简谐运动相位差都等于其初相差而与 时间无关.
2.超前和落后
若 2 1 0，则x2比x1较早达到正最大，
T5 t1 8 8
20 A
1 10
A
O
X
2
质点2第一次经过平衡位置的时刻
t2
T 4
5 4
x
例: 已知简谐振动曲线x ~ t,
试写出此振动的运动方程 0.1
1
7
o3
3
t
-0.05
解：由图可以看出
A x0
0.1m A cos
T
0
7 1 2s 33
cos0
0 1
2
2T23
v0
2
2
A
2. 简谐振动的能量有什么特点?
3. 简谐振动的周期由什么因素决定？如何计算一简谐 振动的周期？
4. 研究谐振子模型的意义何在？
一、简谐振动的定义
1.弹簧振子 一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端
固结一个可以自由运动的物体，就构成一个弹簧振子.
2.弹簧振子振动的微分方程 弹簧振子偏离平衡位置
2x
0
其中ω 是系统固有Байду номын сангаас质
F弹
x
决定的常数,则此物理量作简 谐运动.
ox
4.简谐振动的判据
(1)运动的微分方程(定义式).
(2)机械振动也可用其受力特征或运动特征判断.
二、简谐振动的固有周期
振动往复一次所需时间.
x Acos(t ) Acos[(t T ) ]
Acos(t T )
振动之间的相位差与合振动振幅有什么关系？ 2. 了解两个互相垂直的简谐振动的合成.
一、两个同方向同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
O
2 1
x2
A1 x1
x
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
求：（1）t=1s 时物体的位移；
（2）何时物体第一次运动到x=10cm处；
（3）再经多少时间物体第 二次运动到x=10cm处；
解： 如图，
0
2
3
0
A
O
2
X
x 0.2 cos( t 2 )
2
3
x 0.2 cos( t 2 )
（1）t=1s 时物体的位移；
2
3
x
0.2
cos(
2
) 0.173(m)
矢量A在Ox轴上投影 x Acos(t 0 )
恰因是此沿，O旋x转轴矢作量简A谐的运矢动端的M物在体O在x轴t时上刻的相投对影于点原P的点运O 的动位，移可。表示物体在Ox轴上的简谐运动。矢量A以角 速度旋转一周，相当于物体在x轴上作一次完全振 动。
x t+
A
旋转矢量本身并不作简谐运动，而是利 用矢量端点在Ox轴上的投影点的运动， 来形象地展示简谐运动的规律。
处2向AX轴负方向运动,而 2
试用旋转矢量法求这两个谐振动的初相差。 以及两个质点第一次通过平衡位置的时刻。
解：设两质点的谐振动方程分别为
x1
A cos (2
T
t
10)
20 A
x2
A cos (2
T
t
20)
10
4
20
0
3
4
A
2
1 10
O
X
质点1第一次经过平衡位置的时刻
t (2 / T )t 4
当 角不是很小时，物体不再作简谐振动。
例: 质量为m长度为l的均匀细棒，绕O点作小角度摆 动. 求振动周期.
解: 重力矩 M 1 mgl sin
O
2
“ – ”表示力矩与逆时针张角方向相
反.
M
J
J
d2
dt 2
l
J
d2
dt 2
1 mgl sin
2
mg
当 5 时, sin
d2
dt 2
mgl 2J
（2）初相位 (t 0)描述质点初始时刻的运动状态(初
位置 x0和初速度v0 . 已知初始条件 x0,v0 也可确定初相.
tan v0 / A v0
x0 / A
x0
上式可求得 在 0,2π 区间内两个解，应进一步
由 x0,v0 的符号判定 cos 和 sin 的符号后选定其中
的一个解.
二、相位差
旋转矢量
A
振幅
半径长
t+
T
初相 相位 圆频率 谐振动周期
初始角坐标 角坐标 角速度
旋转周期
如图为旋转矢量法
自Ox轴的原点O作一矢量， 使其模等于振幅A，使A绕点 O作逆时针的匀角速转动。
t 0 M0, 0
看矢量A的矢端M
M
AA
t M0
O
0 P
x Acos(t 0x)
t t M , t 0