第三章标量衍射理论(二)

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第三章标量衍射理论

U ( x, y, z) a exp( jk r )
a exp jk( x cos y cos z cos )
当平面波沿z轴正方向传播时
cos cos 0
U ( z ) a exp( j 2
cos 1
z , 2 ,3 波阵面
2u 1 2u c t
2 2
0
j 2 t
2
2 x
2

2 y
2

2 z 2
u( p, t ) U ( p)e
2 2

c

U ( p) k U ( p) 0
K
2

亥母霍兹方程
三、基尔霍夫积分定理格林定理若U(p)和G(p)是两个空间任意复数函数，S为包围体积V 的封闭曲面，U、G在S内和S上它们均单值连续，且一阶和二阶偏导数单值连续，则有
U ( x, y ) t ( x, y )U ( x, y )
一、惠更斯—菲涅耳原理
1．惠更斯原理：波前上每一个面元都可以看作一个次级扰动中心，它们产生球面子波，后一时刻的波前位置是所有这些子波的包络面。
2．惠更斯—菲涅耳原理：波前上任何未受阻挡的点，都可以看作一个次级波波源，其后空间任一观察点的光振动是这些子波传播到该点后叠加的结果。菲涅耳发展了惠更斯原理，由定性走向了定量计算。
U0为后表面的光场
讨论：当孔用p点的点光源照明时的情况。推导
r' • P'
n

P0
r • P
经过以上推导，当p近轴，r很大时，180，则有
1 exp( jkr ) 1 cos U ( p) U 0 ( p0 ) r 2 ds j 1 exp( jkr ) 1 cos U 0 ( x0 , y0 ) r 2 dx0dy0 j

傅立叶光学第三章总结

傅⽴叶光学第三章总结第三章标量衍射理论标量衍射理论是⼀种近似理论，所谓衍射就是指光波在传播的过程中波⾯受到限制时表现出来的现象。

由于我们⼀般遇到的问题都能满⾜标量衍射理论的两个条件（衍射孔径⽐波长⼤得多；不在太靠近孔径的地⽅观察衍射场），标量衍射理论给出的结果与实际⼗分相符。

第三章从基尔霍夫衍射理论和⾓谱理论出发讨论衍射问题，可以分别把它们看作是衍射的球⾯波理论和平⾯波理论。

这两种理论分别从空间域和频率域讨论衍射现象，在本质上是⼀致的。

根据衍射光波传播距离的长短实际衍射现象可分为两种：菲涅⽿衍射与夫琅⽲费衍射。

为了简化这两类衍射现象的计算，通常要做出不同程度的近似。

课本还给出了⼏种常见典型孔径的夫琅⽲费衍射图样。

对于具有周期性重复排列结构的衍射光栅可以利⽤列阵定理分析其衍射现象。

复振幅：定义P 点复振幅()()()j P U P a P e=，()a P 为P 点振幅，()j P e表⽰初相位。

球⾯波：()()00jkrjkr a U P e ra U P e r-== 发散球⾯波会聚球⾯波，2k πλ=在直⾓坐标系中，根据傍轴条件得到光源在()00,x y ，与其相距z 的xy 平⾯上的光场分布为：()()()()()()()()2200022000,exp exp 2,exp exp 2a kU x y jkz j x x y y z z a k U x y jkz j x x y y z z =-+-=---+-发散会聚平⾯波：()(),exp cos cos U x y a jk x y αβ=+平⾯波的空间频率cos cos x y f f αλβλ==基尔霍夫衍射理论：根据惠更斯⼦波原理发展⽽来,从空间域讨论衍射问题。

把孔径平⾯光场看作点光源的集合，观察平⾯上的场分布是它们所发出的带不同权重因⼦的球⾯⼦波的相⼲叠加。

球⾯⼦波在观察平⾯上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。

菲涅⽿-基尔霍夫衍射公式：()()()01d jkre U P U P K S j rθλ∑=??由于这⾥的⼦波都是球⾯波，将光的传播看作⼀个线性系统。

第三章衍射详解

求在z>0半空间中的光波复振幅。
如孔径是在一无穷大的不透明屏幕上开孔，则该孔径的透射函数为
t
(
x,
y)
=
⎧1, ⎨
⎩0,
(x, y)在Σ上; 其他.
更一般的情况是，在孔径内可以有位相改变，如在孔径内有透镜、棱镜或透明薄膜等光学元件。这时，可定义复振幅透过率来表示孔径的
透射函数，它是紧靠孔径后的平面上的出射光场复振幅与入射光场的
第三章衍射
1. 引言 2. 平面波角谱的衍射理论 3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似 4. 焦点附近的光场分布 5. 无衍射光束—Bessel光束
1. 引言
惠更斯原理
惠更斯首先用光的波动说来解释衍射现象。惠更斯原理把光波的传播看成是这样一种过程：光波扰动（波前）所到达的每一点都起着一个次级波源（子波源）的作用，每一个次级波源发出次级球面波(子波)，它向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是新的波前。
因为孔径外的场为0，所以上式可以写为
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞
2π z
−∞ dfxdf y
U
Σ
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dx0dy0
以上用平面波角谱表示的衍射积分与惠更斯-菲涅尔原理的基尔霍夫衍射积分公式是等价的。
基尔霍夫衍射积分定理
基尔霍夫理论的主要简化和近似是把光作为标量来处理，也就是只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅。并且假定任何别的有关分量可以用同样的方式独立处理。而实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明，只要满足两个条件（1）衍射孔径比波长大得多，（2）不要在太靠近孔径的地方观察衍射场，则标量理论可以得到满意的结果。

3.3 标量衍射的角谱理论

后来，菲涅耳补充了惠更斯原理，提出了惠更斯-菲涅尔耳原理，波前上任何一个未受阻挡的点，都可以看作是一个次级子波源（频率与原波相同），在其后空间任何一点处的光振动是这些子波的相干叠加。
U0(x1,y1) 推广后的惠更斯-菲涅尔耳原理可以写作: x1
x
U
(P ) = U ( x , y ) e 0 1 1
也就是对于(x02+ y02)一切可能值中的最大值有
2 x0 y 0 max
2 2
(
)

2z
2
z
(x 2
1
2 0
y 0 max
2
)
满足式的z值范围的衍射叫做夫琅和费衍射。显然夫琅和费衍射是在菲涅耳衍射的基础上进一步近似所得的结果，其衍射公式为:
2 x0 y 0 max
夫琅和费衍射
U ( x, y , z ) =

exp ( jk z ) j z
k 2 2 exp j ( x y ) 2z
xx0 yy 0 U 0 ( x0 , y 0 ,0 ) exp jk dx0 dy 0 z

jkr
ds
dx dy
1 1
r
p y z
r
y1
上式在解决衍射问题中，在相当大的范围内是正确的，但它是近似的.其中一个原因是没有考虑子波在不同方向上作用的差异。实际上每一小面元ds对观察点的作用还与面元法线和面元到观察点联线的夹角有关。对于普便的情况，菲涅尔提出必须引入体现子波在不同方向上作用的因子倾斜因子 k (q )

夫琅和费衍射公式
菲涅耳衍射
U ( x, y ) =

第三章-标量衍射理论2-角谱及其传播

l
l

l
l
cos cos A( , , z)
l
l
称为xyz平面上复振幅分布的角谱, 表示不同传播方向()的单色平面波的振幅(|A|) 和初位相(arg{A})
角谱是xyz平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱, 其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示
复振幅分布的角谱：例
在x-y平面上, 光场复振幅分布为余弦型: 可以分解为:
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换: 称为x-y平面 A( f x , f y , z) U ( x, y, z) exp[ j 2 ( f x x f y y)]dxdy 上复振幅分布的频谱其逆变换为：
2、平面波角谱的传播
角谱是传播距离 z 的函数
在孔径平面(x,y, 0)的光场U0(x, y , 0) :
U 0 ( x, y,0) A(

cos cos cos cos cos cos , ,0) exp[ j 2 ( x y)]d ( )d ( )
l
l
l
普遍的光振动的复振幅表达式： U(P) = a(P) e jj(P)
光强分布: I = UU*
a0 jkr e 球面波的复振幅表示（三维空间）：U ( P ) r
(P(x,y,z)) 球面波的复振幅表示（x-y 平面）： y a0 k 2 (r 2 U ( P) U ( x, y) exp( jkz) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) k z 2z

近代光学基础第三章标量衍射理论和傅里叶光学

)
cos
(n,
r01
)ds
（可见与公式一中仅倾斜因子不同）
U(P0)
A
i

eik
(
r01

r21
)
[
c
os(n

r01
)

c
os
(n

r21
)
]ds
r01r21
2
自洽（符合物理事实，能够恢复边界条件）精度高，符合实验。
2019/8/16
U ( p0 )
2019/8/16
微粒学说：创始人牛顿。认为光是微粒流，这些微粒从光源中飞出来，在均匀物质内做等速直线运动，可以解释光的直线传播，反射和折射。但不能解释衍射。
格里马尔迪实验向光学微粒学说提出挑战，并最终形成了波动学论。
现代光学理论表明：光波的本质是粒子性和波动性的统一。光是光子流，有动量，质量等特性。
跟没有屏幕时完全相同；
2、在S1的位于屏幕的几何阴影区内的那一部分上，场分布U及其导
数 Un恒为零。
2019/8/16
瑞利－索末菲衍射理论
思路1)，2)同基（1894）基本思想同基尓霍夫衍射理论
不同时为0
3)选择
G＋ (P1)
边界条件：

e jkr01 r01
＋
e jkr01 r01
2019/8/16
格林定理
格林定理是标量衍射理论的主要基础．若 U(p)和G(p)为空间位置的复函数，S为包围P 点的封闭曲面．只要U，G在S内和S上连续和单值，存在一阶和二阶偏微商，则有
V
G 2U U 2G dV

标量衍射理论

其中 r xi yj zk 为空间点的位矢
上式可改写为：
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]
平面波的等相位线方程为： x cos y cos C 平面波的等相位线为一族平行线。它们正是波面与x-y平面的交线。
7.空间频率
y T
0
t
时间周期信号，周期为T，则其频率为f=1/T。其含义是单位时间内信号重复的次数。
类比于时间频率，我们引入空间频率的概念空间周期:相邻两条纹之间的距离 d 空间频率：单位长度的 1 条纹数 f
§1. 光波的数字描述
一单色光场可表示为位置的复函数U(P)。在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程：
( k )U ( P) 0
2 2
球面波和平面波都是波动方程的基本解任何复杂的波都可以用球面波和平面波的线性组合表示，也都是满足波动方程的解。
一、球面波
从点光源发出的光波，在各向同性介质中传播时形成球形的波面，称为球面波。球面波复振幅传播特点是： 1、振幅衰减；2、相位变化。单色发散球面波的复振幅可以写做
a exp[ jk ( x cos y cos z cos )
U ( x, y, z ) a exp( jkz cos ) exp[( jk ( x cos y cos )] a exp( jkz 1 cos 2 cos 2 ) exp[( jk ( x cos y cos )] A exp[( jk ( x cos y cos )]

基尔霍夫衍射公式瑞利

t(x1, y1 )U (x1, y1 )

r
dx1dy1
考虑到的影响
U ( p)
U (x1,
e jkr y1 ) r
K ( )dx1dy1

xy P dU(x,y)
惠更斯—菲涅耳原理存在的问题： ①由上式计算的光场复振幅比实际的落后/2；
②K()的形式不知道；
③两边的量纲不相等。
（2）( fx )2 ( fy )2 1 1 (f x )2 (f y )2 j (f x )2 (f y )2 1
exp

jk
z
1
(f x ) 2

(f y
)2

exp
kz
(f x ) 2 (f y ) 2 1
称为倏逝波，应用矢量理论讨论。

exp( jkr) U0 ( p0 ) r
K ( )ds
U (P)
1
j

U0
(
p0
)
exp( jkr) r
1

cos
2
ds
惠更斯—菲涅耳原理基尔霍夫衍射公式
U (P) 1 j
U
0
(
p0
)
exp
( jkr) r
cos

ds

瑞利—索末菲衍射公式
三个衍射公式等价的条件为：
例：当用=632.8nm的光波照射衍射屏时
f max

1

1580 / mm
即衍射屏上频率在1580/mm以内的信息能传到观察屏上，大于它的则不能传递。
光线垂直照射时光栅的衍射方程为
d sin k

标量衍射理论-2

U0 (x0 , y0 ,0)
cosα cos β A0 , ,0 λ λ
xy
Uz ( x, y, z)
cosα cos β Az , , z λ λ
z
z=0
U 0 ( x0 , y0 ;0) = U z ( x, y; z ) =
∞ ∞
z=z
cos β cosα cos β cosα cos β cosα A0 , ;0 exp j 2π x0 + y0 d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −
3.3 标量衍射的角谱理论
3.3-1单色平面波与线性平移不变系统的本征函数单色平面波与线性平移不变系统的本征函数在 z=0 平面上的复振幅分布为：
exp j 2π ( f x ⋅ x + f y ⋅ y ) = exp[ j 2π (ux + vy )]
[
]
cos β cosα = exp j 2π x+ y λ λ
3.2 基尔霍夫衍射理论
光波的传播过程就是光波衍射衍射过程衍射矢量波衍射理论假设与近似
(1)整个光波场内光矢量振动方向不变，或只考虑光矢量的一个分量 (2)衍射屏的最小尺度远大于波长. (3)观测距离远大于波长． (4)折射率与光强无关.
标量波衍射理论
波动光学
信息光学（基础)
∞ ∞
cos β cosα cos β cosα cos β cosα Az , ; z exp j 2π x+ y d d ∫∞−∫∞ λ λ λ λ λ λ −

3.2标量衍射理论

2015/3/27
第三章标量衍射理论
15
三、衍射理论五：简化为傅里叶变换
– 3. 6、二次位相因子的消除1：远场与富里叶变换
1 k U ( x, y ) exp( jkz) U ( x0 , y0 ) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
U ( x, y ) U ( x0 , y0 )h( x x0 , y y0 )dx0 dy0 h( x x0 , y y0 )

1 j r
e jkr
1 x x0 2 1 y y0 2 r z 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 1 ( ) ( ) 2 z 2 z h( x x0 , y y0 ) 1 k exp( jkz) exp j ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 jz 2z
– 3.4、菲涅耳衍射公式二次曲面近似的三种表示
（卷积、脉冲响应，FT）及其Matlab两种实现
– 3.5、菲涅耳变换：衍射可看做是输入受二次位相因子调制的FT – 3.6、二次位相因子的消除1：远场衍射或衍射的富里叶变换及其Matlab实现 – 3.7、二次位相因子的消除2：光源作用的结果 – 3.8、二次位相因子的消除3：物体的自我调制成像

dx dy

0
0
1 k U ( x, y ) exp( jkz) exp j ( x 2 y 2 ) U ( x0 , y0 ) jz 2z k 2 exp j x0 y0 2z

2 exp j ( xx yy ) dx dy z

标量衍射理论课件

02
该理论可以用于求解波在障碍物后的衍射问题，通过求解每个傅里叶分量的传播和衍射问题，可以得到衍射的强度和方向。
03
标量衍射理论的计算方法
有限元法
有限元法是一种将连续的求解域离散化为有限个小的、相互连接的单元，并对每个单元分别进行求解的方法。
有限元法的优点在于能够处理复杂的几何形状和边界条件，且易于实现并行计算。
标量衍射理论通过求解波动方程，得到波前在空间中的分布，以及波动传播过程中的能量分布。
标量衍射理论的应用领域
光学设计
用于设计透镜、反射镜等光学元件，优化光学
系统的性能。
波导结构
用于分析光波在波导结构中的传播特性，设计光子晶体、光纤等光波
导器件。
散射问题
用于研究散射现象，如光散射、雷达散射等，应用于气象预报、环境
在标量衍射理论中，有限元法可用于求解电磁波在复杂结构中的传播和衍射问题。
然而，有限元法需要大量的内存和计算时间，且在处理大规模问题时可能会遇到稳定性和收敛性问题。
有限差分法
01
02
03
04
有限差分法是一种将偏微分方程离散化为差分方程的方法。
在标量衍射理论中，有限差分法可用于求解电磁波在均匀或周期性介质中的传播问题。
标量衍射理论课件
• 标量衍射理论简介 • 标量衍射理论的基本原理 • 标量衍射理论的计算方法 • 标量衍射理论的应用实例 • 标量衍射理论的展望与挑战
01
标量衍射理论简介
标量衍射理论的基本概念
标量衍射理论是基于波动传播的数学模型，用于描述光波、电磁波等波动在空间中的传播和散射现象。
该理论假设波前为标量，即不考虑波前的矢量性质，只考虑其幅度和相位的变化。

3.1 标量衍射理论

1 cos Y l
fy 0
fx
1 cos X l
1
平面波的空间频率
fy
1 cos Y l 1 cos fz Z l
f x f y fz
2 2 2
l2Hale Waihona Puke 平面波的波矢 k 2
l
k x k y kz
2 2
2
这里的 k x k cos
第三章
标量衍射理论
傅立叶光学主要研究内容：光波作为载波，实现信息的传递、变换、记录和再现问题。标量衍射理论是研究上述问题的物理基础，我们用它来研究光波传播规律。光波是矢量波。当满足下列条件时，标量衍射理论得到的结果与实际情况十分相符。条件： 1）衍射孔径比波长大得多； 2）观察屏离衍射孔径相当远。

fx
cos
l
, fy
cos
l
通过上面几个图像，可以看出：
高空间频率信息决定图像的细节
时间频率与空间频率的比较：
时间周期频率圆频率
T (s )
1 1 (s ) T
2 2 T

1
空间单色光波
l (cm)
l
(cm 1 ) / f x cos
• 传播矢量 k 位于 x ,z 平面的平面波在 x, y 平面上的空间频率。
（3）平面波的空间频率
平面波前相位图
两相邻等相位线在x方向的间距为 X
l
cos
x方向的空间频率用
y方向的空间频率用
1 cos f x 表示，f x X l
单位是周/mm。

傅里叶光学第3章标量衍射理论

标量衍射理论
衍射现象光波传播的规律标量理论的条件空间域和频率域两种分析方法最基本的光波形式
本章主要内容
1、光波的数学描述 2、基尔霍夫衍射理论 3、衍射的角谱理论 4、菲涅耳衍射 5、夫朗和费衍射 6、衍射的巴比涅原理 7、衍射光栅 8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*
1、光波的数学描述
其中，
U x, y, z a exp jk x cos y cos z cos
（1）a 是常量振幅；
（2）cos、cos、cos 为传播方向的方向余弦，而且有
cos2 cos2 cos2 1
1、光波的数学描述
对于如右图所示的沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为：
1.1 单色光波场的复振幅表示单色光波场中某点P(x,y,z)在t时刻的光振动u(x,y,z,t)可表示为
u x, y, z,t a x, y, z cos 2 t x, y, z
其中，v是光波的时间频率；a(x,y,z)和(x,y,z)分别是P点光振动的振幅和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
u x, y, z, t Re a x, y, z e j2tx,y,z
Re a x, y, z e e jx,y,z j2t
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用
复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：
U x, y, z a exp jkz cos exp jk x cos y cos

a
exp

jkz
1
cos2

《信息光学》课程标准

《信息光学》课程标准一、课程概述（一）课程性质信息光学是光电信息科学与工程专业的专业学习领域必修课程，是校企合作开发的基于工作过程专业（理论）课的课程。

信息光学是近40多年迅速发展起来的一门新兴学科，它是在全息术、光学传递函数和激光的基础上，从传统的、经典的波动光学中脱颖而出的。

与其他形态的信号处理相比，光学信息处理具有高度并行、大容量的特点。

信息光学已渗透到科学技术的诸多领域，成为信息科学的重要分支，得到越来越广泛的应用。

（二）课程定位该课程在专业课程体系中属于光电信息科学的理论基础课程，旨在培养未来从事光信息处理和光全息技术人员的专业能力。

该课程使学生能够结合光学信息处理和光全息的相关知识，开拓理论用于实践的方法和创新思路，提高自身解决实际问题的能力。

前导课程：高等数学、普通物理学、物理光学和应用光学后续课程：光纤通信（三）课程设计思路旨在培养学生扎实的光信息理论知识，能够为将来成为高素质应用型光信息处理和光全息技术人才打下基础。

主要包括知识技能和职业应用技能：通过系统学习信息光学的傅立叶变换、基尔霍夫标量衍射理论，使学生掌握一定的光学成像和光学全息特性，空间滤波及光学处理的能力，并能具体运用到实际光学工程问题。

二、课程目标（一）课程工作任务目标本课程是光电信息科学与工程专业的主要专业课程之一，设置本课程的目的是让学生掌握信息光学的基本概念、基础理论及光信息处理的基本方法，了解光信息处理和光全息的发展近况和运用前景。

（二）职业能力目标突出基本职业能力和专业能力培养要求，使学生熟悉光信息处理和光全息的基本技术知识，能够针对具体的光信息工程问题进行分析，并设计和实施解决方案，为今后从事光信息方面的生产，科研和教学工作打下基础。

三、课程教学内容及学时安排(一)课程教学内容（二）学时安排表“学时分配”中，“其他”主要指看录像、现场参观、课堂讨论、习题等教学环节。

四、课程实施针对信息光学的课程特点和教学内容，以讲授法为引导与辅助，以角色扮演法、案例教学法、情境教学法和师生互动为主要内容，形成以学生为主、以教师为辅的教学模式。

10-标量衍射理论2-角谱及其传播

§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
2、平面波角谱的传播
Propagation of Plane-Wave Angular Spectrum
孔径平面（ z =0） P(x,y,0)
观察平面（ z =z） P(x,y,z)
光场分布 U0(x,y,0)
光场分布
z
U (x,y,z)
U0(x,y,0)与U (x,y,z)的关系如何？——传播的问题
的单色平面波在xy平面的复振幅分布, U(x,y,z)是不同平面波分量分
布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx, fy,z)决定.
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
根据
fx
cos l
;
fy
cos l
可将频谱函数A(fx, fy,z)用表示各平面波传播方向的角度为宗量：
§2-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播
1、复振幅分布的角谱
Angular Spectrum of Complex Amplitude Distribution
对在 z 处的x-y平面上单色光场的复振幅分布U(x,y,z)作傅里叶变换:
称为x-y平面
A( fx , f y , z) U (x, y, z) exp[ j2 ( fx x f y y)]dxdy 上复振幅分
第三步: 写出紧靠屏后平面上的透射光场复振幅分布U (x,y , 0)
U (x,y, 0)=U0(x,y, 0) t(x,y)= t(x,y)
第四步: 求出U(x,y,0)的频谱A(fx, fy,0)
第五步: 利用fxcos l;fy
c os l
将
A(fx,
fy, 0)改写成角谱

3标量衍射理论

n
r P’ r’ ∑ p
z
说明： k ( ) 1 ⑴若p, p’距离孔径∑足够远，则有 ⑵ 有值内
U( p )
0
0
外
1
⑶积分限∑ （-∞，+∞）透过率函数 t ( x, y )
0
内外
基于以上假设： Huggens——Fresnel原理公式可变为：
1 e U ( x, y) u t ( x 0, y ) ds 0 i r
cos cos A( , )

A0 z
2 对该频率的光波，透过孔径后，波沿垂直Z向传播，而不沿Z传播
2、当(cos cos )＝1时，u cos 0,
2 2

3、当(cos 2 cos 2 ) 1时 E合理存在于是有： H ( fx , f y ) exp(ikz 1 cos 2 cos 2 ) exp(ikz 1 cos cos )
球面波场中等位相线
二、单色平面波光场中任意平面上的振幅分布 1、平面波函数
E A cos(kr t ) A exp(ikr )exp(it )
复振幅： U ( x, y, z) A exp[ik ( x cos y cos z cos )]
二、孔径对角谱的影响
1、当(cos 2 cos 2 ) 1时，u i cos 2 cos 2 1 cos cos cos cos A( , ) A0 ( , ) exp(ikz cos 2 cos 2 1)

故该情况下为一倏逝波
2 2
当f x f y

傅里叶光学第2版教学作者吕乃光第3章标量衍射理论

U ( x, y, z) = a exp ( jkz cosγ ) exp ⎡⎣ jk ( x cosα + y cos β )⎤⎦
=
a
exp
⎡ ⎣
jkz
1−
cos2
α
−
cos2
β
⎤ ⎦
exp
⎡⎣
jk
(
x
cosα
+
y
cos
β
)⎤⎦
= Aexp ⎡⎣ jk ( x cosα + y cos β )⎤⎦
其中， exp ⎡⎣ jk ( x cosα + y cos β )⎤⎦
称为平面波的位相因子。
9 思考题：等相位线是什么形式？ Answer: 等位线方程为
x cosα + y cos β = C
不同C值所对应的等位相线是一些平行斜线，如右图所示。
1、光波的数学描述
1.4 平面波的空间频率 9 平面波的空间频率是傅里叶光学中常用的基本物理量，透彻理解这个概念的物理意义是非常重要的。 9 如下图，首先研究传播矢量位于x0z平面的简单情况，此时cos β=0, （1）xy平面上复振幅分布为
fx
=
1 X
= cosα λ
fy
=
1 Y
=
cos β λ
则xy平面上的复振幅分布可表示为
和初相位。根据欧拉公式，可将该波函数表示为复指数函数取实部的形式：
{ } ( ) ( ) u x, y, z, t = Re a x, y,⎦
{ } ( ) = Re a x, y, z e e jϕ(x,y,z) − j2πνt
式中，Re{ }表示对括号内复函数取实部。为简单，去掉“Re”而直接用复指数函数表示简谐波的波函数，并定义一个新的物理量：

标量衍射理论

e
jkr
r

ds
光场中任一观察点的复振幅
Information Optics
子波向P点的球面波公式子波振幅随角的变化波面上的振幅分布函数
10
惠更斯-菲涅耳原理
• 优点
–简单孔径的衍射图样的强度分布，计算和实际相符。
• 缺点
–计算得出场点的复振幅U(P)，比P点真实复振幅相位落后。 – K ( ) 作为假设引入，没有具体函数形式。
Information Optics 16
U P
1 4

S
G 1 U G U dS n n 4

S
jkr e jkr U e r n U n r dS
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理索末菲条件
U lim R jkU 0 R n
Discussion: 1。通过XY平面向Z方向传播的波，可以用无数不同方向不同权重的平面波展开。 2。各个平面波分量的空间频率正比于
cos cos
3。低频分量对应于与主轴Z夹角不大的平面波分量
和
高频分量对应于与主轴Z夹角较大的平面波分量
Information Optics 6
衍射的核心问题是：用确定边界上的复振幅分布来表达光场中任一观察点的复振幅分布。本章要解决的衍射问题是：已知某一平面的复振幅分布，求另一观察面的复振幅分布。
亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理
ˆ n
V’
P0
G U U P G n U n dS 4 S 1

P
S
ˆ n
S
jkr e jkr U e r n U n r dS 4 S

第三章 标量衍射理论(二)