第三章 标量衍射理论(二)

U G U G G U U G dV n n V S
2 2
dS
表示S上每一点沿向外的法线方向上的偏导数 n
2、基尔霍夫衍射理论
2.3 亥姆霍兹和基尔霍夫积分定理 衍射理论要解决的问题：光场中任意一点P的复振幅能否用 光场中其它各点的复振幅表示出来？
2

e
j 2 f x x x0 f y y y0
df x df y
傍轴近似：z远大于孔径和观察区域的最大线度，且 z
2 2 exp jk z 2 x x0 y y0 h x x0 , y y0 2 2 j z 2 x x0 y y0
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos


cos2 cos2 1 cos2 cos2 1 cos2 cos2 1
传播距离z后
利用两者的关系， 确定整个光场的传播特性
cos cos cos cos A , , z exp j 2 x

观察平面
U x, y, z
cos cos y d d


这正是描述线性系统输入—输出关系的叠加积分；因此光 波的传播现象可以看作是一个线性系统！
2、基尔霍夫衍射理论
在旁轴近似下，K 1 ，脉冲响应函数简化为
2 2 exp jk z 2 x x0 y y0 1 e 1 h x, y; x0 , y0 2 2 j r j z 2 x x0 y y0 jkr
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《傅里叶光学》
第三章 标量衍射理论(二)
主讲教师：刘 毅
太原理工大学物理与光电工程学院
知识回顾
普遍的光振动的复振幅： 球面波的复振幅：
U P a P e j P
a0 jkr U ( P) e r
球面波的复振幅（xy 平面）：
U ( x, y) A exp[jk ( x cos y cos )]
等相位线等间隔平行线
知识回顾
平面波的空间频率：
fx cos

fy
cos

平面波的复振幅 (xy 平面):
U x, y A exp j 2 f x f y x y
光波的传播现象可看作一个带宽有限的空间滤波器
3、衍射的角谱理论
角谱理论描述孔径平面上不同方向的平面波分量在传播距离z后，各自引 入与频率有关的相移，然后线性叠加，产生观察平面的场分布。
U x, y


df df j 2 f x f y A f , f exp
光场分布 U (x,y)
U0(x0,y0)与U (x,y)的关系如何？——传播的问题 先找到相应的角谱A0 (fx, fy)和A(fx, fy)之间的关系——角谱的传播
角谱是复振幅分布的空间频谱, 其空间频率分量用传播矢 量的方向余弦表示
3、衍射的角谱理论
3.1 角谱的传播
孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多不同方向传播的单 色平面波分量的线性组合，而每一个平面波分量的相对振幅和位相取决 于相应的角谱。
x y x y x
y
A0 f x , f y U x0 , y0 exp j 2 f x x0 f y y0 dx0dy0



A0 f x , f y e
jkz 1 f x f y
2


2
e
j 2 f x x f y y
h x x0 , y y0
F
1
H f , f
x y
h x, y; x0 , y0 h x x0 , y y0
3、衍射的角谱理论
h x x0 , y y0 F 1 H f x , f y




2

e
jkz 1 f x f y
exp jkr U P c U P0 K ds r
1 c j cos n , r -cos n , r K 2
2、基尔霍夫衍射理论
2.3 光波传播的线性性质
根据基尔霍夫衍射公式
令 则有
U P
——巴黎科学院,菲涅耳, 1818
exp jkr U P c U P0 K ds r
其中，U(P0)是波面上任意一点P0的复振幅，U(P)是光场中任一观察点P的复振幅， r是P0到P的距离，是P0P和过P0点的元波面法线n的夹角，K()是与有关的倾斜 因子，C为常数。
数学工具：亥姆赫兹方程+格林定理+边界假设条件
2、基尔霍夫衍射理论
2.1 亥姆赫兹方程 单色光波长中任意一点P的光振动u应满足标量波动方程
2 1 u 2 u 2 2 0 c t
2 2 2 2 2 拉普拉斯算子，在直角坐标系中 2 2 2 x y z 实扰动u(P,t)可以表示为
A A0 exp jkz 1 cos2 cos2


传播效应为相移 倏逝波
A A0 exp kz cos2 cos2 1 A0e z
A A0

不沿z轴传播
思考：利用角谱理论证明光线传播的线性关系
3、衍射的角谱理论
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos
2、基尔霍夫衍射理论
1882年，基尔霍夫建立了一个严格的数学理论，证明菲
涅耳的设想基本上正确，只是菲涅耳给出的倾斜因子不对， 并对其进行了修正。 基尔霍夫理论，只适用于标量波的衍射，故又称标量衍 射理论。 对于单色波，基尔霍夫从标量波动方程出发，利用格林 定理这一数学工具，采用适当的边界条件，推导出无限大 不透明屏上孔径后面观察点P的场分布。
h x x0 , y y0
脉冲响应函数具有空 间不变的函数形式， 也就是说光波在衍射 孔径后的传播现象可 看作线性不变系统。 这为我们用线性不变 理论分析衍射现象提 供了依据。
3、衍射的角谱理论（平面波衍射理论）
3.1 角谱的传播
孔径平面（ z =0） P(x0,y0,0)
光场分布 U0(x0,y0) 观察平面（ z =z） P(x,y,z)
u P, t Re U P e j 2 t
不含时间的方程---亥姆赫兹方程

2
k 2 U P 0
2、基尔霍夫衍射理论
2.2 格林定理 U(P)和S(P)是两个任意复函数,S为包围空间某体积的封闭 曲面。若在S面内和面上， U(P)和S(P)均单值连续，且具有 单值连续一阶和二阶偏导数，则有
a0 k 2 2 近轴 U ( x, y ) exp( jkz ) exp j ( x x0 ) ( y y0 ) 条件 z 2 z
平面波的复振幅：
平面波的复振幅 (xy 平面):
等相位线内疏外密同心圆
U ( x, y, z) a exp[ jk ( x cos y cos z cos )]
1 j
U P0 K

exp jkr dS r
1 e jkr h P, P0 K j r
U P U P0 h P, P0 dS


若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为
U x, y U x0 , y0 h x, y; x0 , y0 dx0 dy0


df x df y
H fx , f y
U x, y U x0 , y0 dx0 dy0




e
jkz 1 f x f y
2


2
e
j 2 f x x x0 f y y y0
df x df y
空间频率的正负，仅表示平面波不同的传播方向 复振幅分布的空间频谱：
dxdy A f x , f y U x, y exp j 2 f x f y x y

复振幅分布的角谱：
cos cos cos cos A , x U x, y exp j 2
1 U P 4
G U G n U n dS S
衍射场中任意点P的复振幅分布U(P)可以用包围该点的任意 封闭曲面S上各点扰动的边界值U和其偏导计算得出。
2、基尔霍夫衍射理论
2.4 基尔霍夫衍射公式 照明空间 有源空间
衍射屏
衍射空间 无源空间
孔径平面
2、基尔霍夫衍射理论
2.2 基尔霍夫衍射公式
exp jkr cos n , r -cos n , r exp jkr A U P dS j r 2 r
1 U P j
exp jkr U P0 K dS r

y dxdy
2、基尔霍夫衍射理论
2.1 惠更斯—菲涅耳原理
“波前上的每一个面元都可以看作是一个 次级扰动中心，它们能产生球面子波”， 并且，“后一时刻的波前的位置是所有这 些子波前的包络面。”
——《论光》,惠更斯 , 1690
“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看 作是一个频率（或波长）与入射波相同的 子波源；在其后任何地点的光振动，就是 这些子波叠加的结果。”
利用标量的波动方程，可以得到如下关系：
cos cos cos cos 2 2 A , A , 0 exp jkz 1 cos cos


Hale Waihona Puke Baidu
这就是衍射的角谱理论公式，它给出了角谱传播的规律
3、衍射的角谱理论
与基尔霍夫衍射 理论结论一致
U x, y U x0 , y0 h x x0 , y y0 dx0dy0
输出频谱


A f x , f y A0 f x , f y H f x , f y
输入频谱
传递函数
系统在频域的效应由传递函数表征：
H fx , f y A0 f x , f y A fx , f y
2 1 2 2 2 exp jkz 1 f f f f x y x y 2 0 其他
cos cos cos cos cos cos , ,0 exp j 2 x y0 d 孔径平面U x0 , y0 ,0 A0 0 d