2021届全国大联考新高考原创预测试卷(三十)文科数学

合集下载

2021届全国大联考新高考原创预测试卷(二十九)文科数学

2021届全国大联考新高考原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x ||x |<3}，B ={x ||x |>1}，则A B =A ．RB ．(1,3)C ．(3,1)(1,3)-- D ．{–2，2}2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是A ．1y x =- B ．tan()y x =- C ． e x y -=- D ．2,02,0x x y x x -+≤⎧=⎨-->⎩3.已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件4.在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果PB AB PC PA -=+2，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是A. 34B. 12C. 13D. 235.若α为第三象限角，则A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<6.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若23a =，2b =，60A =︒，则B 为A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7.已知函数2()1log f x x x =-++，则不等式()0f x <的解集是A ．(0,2)B ．(,1)(2,)-∞+∞ C ．(1,2) D ．(0,1)(2,)+∞8.据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年．如图，现有△ABC 满足“勾3股4弦5”，其中AC=3，BC=4，点D 是CB 延长线上的一点，则AD AC ⋅= A ．3 B ．4 C ．9 D ．不能确定 9.在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,1)A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则sin α等于A ．25-B ．55-C ．55D ．2510.在ABC ∆中，,51cos ,6,5===A AC AB O 是ABC ∆的内心，若OP xOB yOC =+,其中]1,0[,∈y x ，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为 A.3610 B . 3614 C . 34 D. 26 11.已知()2ln f x a x x =-在区间()0,1内任取两个不相等的实数p q 、，不等式()()1f p f q p q->-恒成立,则实数a 的取值范围为A ．()3,5B ．(],3-∞C ．(]3,5D ．[)3,+∞12.已知函数，若在区间上有m 个零点，，，，，则A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知复数2i 2i z a a =--是负实数，则实数a 的值为．14.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是． 15. 如图，半径为3的扇形AOB 的圆心角为120︒，点C 在弧AB 上，且30COB ︒∠=，若OB OA OC μλ+=，则λμ+= ．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，且当11x -≤≤时，()2xf x =，函数()2g x x =+，实数,a b 满足3b a >>.若[]12,,2,0x a b x ⎡⎤∀∈∃∈-⎣⎦,使得()()12f x g x =成立,则b a -的最大值为 .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合}03|{<≤-=x x A ，集合}2|{2x x x B >-= （1）求B A ⋂；（2）若集合}22|{+≤≤=a x a x C ，且C B A ⊆⋂)(，求实数a 的取值范围．18.（本小题满分12分）函数的部分图象如图所示，其中，，．1求函数解析式；2求时，函数的值域．19.（本小题满分12分）已知向量(sin(),2),(1,cos())a x b x ωϕωϕ=+=+（ω＞0，0＜ϕ＜4π）。

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(十)文科数学

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足(1)3i z i +=-，则z 在复平面内对应的点为（） A. （2，1） B. （1，2）C. (2,1)-D. (1,2)-【答案】D 【解析】【分析】等式两边同除1i +，再化简即可的出答案. 【详解】因为3(3)(1)24121(1)(1)2i i i iz i i i i ----====-++-，所以z 在复平面内对应的点为(1,2)-.故选：D.【点睛】本题考查复数的基本运算与几何意义，属于基础题.熟练掌握分式复数的化简是本题的关键.2. 已知集合(){1,2,3,4,5,6,7},{2,4,6,7},{2,6}UU A A B ===∩，则集合B 可以为（）A. {2,5,7}B. {1,3,4,5}C. {1,4,5,7}D.{4,5,6,7}【答案】C 【解析】【分析】根据(){2,6}UA B =∩知道集合B 中的元素不能有2或6，必含有4和7，则可选出答案.【详解】因为集合(){1,2,3,4,5,6,7},{2,4,6,7},{2,6}UU A A B ===∩，所以集合B 中的元素不能有2或6，必含有4和7. 故选：C .【点睛】本题考查集合的交并补.属于基础题.熟练掌握集合的交并补运算是解本题的关键. 3. 已知 1.542log 2.5,log 1.5,0.4a b c -===，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】D 【解析】【分析】由题意结合对数运算的性质、对数函数的单调性、指数函数的单调性可得1b a c <<<，即可得解.【详解】因为2449log 1.5log log 2.514b a ==<=<， 1.500.40.41c -=>=，所以1b a c <<<. 故选：D.【点睛】本题考查了对数运算的性质、对数函数的单调性、指数函数的单调性的应用，考查了对数式、指数式的大小比较，属于基础题.4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()541752S a a m =-==，则m =（） A. 16 B. 19C. 33D. 35【答案】D 【解析】【分析】将等差数列的通项公式与前n 项和公式带入等式，即可解出首项与公差，则可解出m .. 【详解】因为()5452S a =-，所以()1553455522a a S a a +=⨯==-，所以公差2d =，又()41752a a -=，所以()1154162a a +=+⨯，解得13a =，所以17316235a =+⨯=. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.熟练掌握其通项公式与前n 项和公式是解本题的关键.5. 《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（） A.12B.35C.710D.910【答案】B 【解析】【分析】利用列举法列出所有基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】假设《周髀算经》、《九章算术》分别为1，2，《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》分别为a ，b ，c ，则基本事件有(1,2)，(1,)a ，(1,)b ，(1,)c ，(2,)a ，(2,)b ，(2,)c ，(,)a b ，(,)a c ，(,)b c 共10个，其中恰好有一个是汉代著作的有(1,)a ，(1,)b ，(1,)c ，(2,)a ，(2,)b ，(2,)c 共6个，所以所求概率为63105=. 故选：B【点睛】此题考查古典概型的概率的求法，利用了列举法，属于基础题. 6. 已知1tan 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A. 45-B.35C.35D.45【答案】D 【解析】【分析】由两角差的正切公式求得tan α，直接结合平方关系求得sin ,cos αα后再得sin 2α．【详解】tan 11tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，tan 2α=， ∴22sin 2cos sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两种情况下都有4sin 22sin cos 5ααα==．故选：D ．【点睛】本题考查两角差的公式，同角间的三角函数关系，正弦的二倍角公式，属于基础题．7. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的离心率为（）C.54D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先利用点到直线的距离公式求出2a b =，再由222254a c ab =+=即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为：by x a=，即0bx ay -=，圆心为,02c ⎛⎫⎪⎝⎭，所以圆心到渐近线的距离为2222c b b a b ⋅=+，由题意可得2a b =，所以222254ac a b =+=，所以2254c a =，即离心率5c e a ==. 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，同时考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 8. 函数()tan (11)f x x x x =-的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】采用排除法，根据函数的奇偶性以及函数在()0,1处的函数值大小，可得结果. 【详解】由()tan (11)f x x x x =-，则()()()tan tan -=--=f x x x x x 所以()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数故排除A ，C ，当01x <<时，()0f x >，排除D. 故选：B【点睛】本题考查根据函数解析式判断大致图象，针对这种题型常常从定义域、奇偶性、单调性、对称性、值域、特殊值入手，考验分析问题的能力，属基础题. 9. 已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)e x f x -=，则曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为（） A. 1y x =-+ B. y x e =+ C. y ex e =-+ D. y ex e =+【答案】C 【解析】【分析】先利用换元法求出()f x 的解析式，然后利用导数的几何意义可求出切线方程【详解】令1t x =-，则1x t =-，由(1)x f x e -=，得1()t f t e -=，所以()x e f x e =，(0)f e =，()x ef x e'=-，(0)f e '=-. 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y ex e =-+.故选：C【点睛】此题考查导数的几何意义，考查利用换元法求函数的解析式，属于基础题.10. 已知直线2y x =与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点F 是椭圆C 的左焦点，若||||22FA FB +=，||2FA FB +=，则||AB =（）A. 2B.3C.3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据直线与椭圆都关于原点对称则的可得到2FA FB a +=，2FA FB c +=，即可解出a ，c ，求得椭圆的标准方程，将直线的方程与椭圆的方程联立求解可得出答案.【详解】由对称性可得||||2FA FB a +==a =||22FA FB c +==，得1c =，所以21b =，即椭圆C 的方程为2212x y +=，将2y x =与2212x y +=联立消y 得229x =，所以||2||AB x =⨯==故选：C.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系之弦长问题，属于中档题.利用其对称性分析出2FA FB a +=，2FA FB c +=是解本题的关键.11. 在ABC 中，60B =︒，BC ，则cos A =（）A.B.C.7D.【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由60B =︒，BC 边上的高为4BC ，利用面积公式可得,c a 的关系，再利用余弦定理得到,b a 的关系，然后由222cos 2b c a A b c+-=⨯⨯求解. 【详解】设ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由题意知111sin 60222a ac a =︒=，所以32c a =，所以22229372cos 60424b a a a a a =+-⨯⨯=︒，所以22279cosa a aA+-==故选：D【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 关于函数2()sin sinf x x x=-有下述四个结论：①()f x是偶函数；②()f x在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；③()f x在[,]-ππ有四个零点；④()f x的值域是1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.其中所有正确结论的编号是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】A【解析】【分析】对于①，利用函数的奇偶性的定义进行判断即可对于②，由于2211()sin sin sin24f x x x x⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，再利用复合函数判断单调性的方法判断；对于③，由()0f x=，直接解方程即可；对于④，2211()sin sin sin24f x x x x⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，由于1sin1x-≤≤，所以当1sin2x=时，()f x取最小值，当sin1x=-时，()f x取最大值，从而可求出函数的值域【详解】①因为22()sin)sin()sin sin)((()f x x x x x f x f x-=--=+≠≠--，所以()f x既不是奇函数也不是偶函数，①不正确；②2211()sin sin sin 24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，令sin t x =，则211()24y t =--，因sin t x=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，而函数211()24y t =--在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，所以()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，②正确； ③当[,]x ππ∈-时，由()0f x =，得0x =，或2x π=，或x π=，或x π=-，所以()f x 在[,]-ππ有四个零点，③正确；④2211()sin sin sin 24f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为1sin 1x -≤≤，所以当1sin 2x =时，min 1()4f x =-，当sin 1x =-时，max ()1(1)2f x =--=，④不正确.故选：A.【点睛】此题考查函数的奇偶性和单调性，考查复合函数的单调性，考查复合函数值域的求法，属于中档题.二、填空题.13. 已知向量(,1)a λ=，(2,1)b λ=+，若//a b ，则实数λ=________. 【答案】1或-2 【解析】【分析】利用向量共线的充要条件列出方程，解出λ即可. 【详解】(,1)a λ=，(2,1)b λ=+//a b ，所以(1)20λλ+-=，解得1λ=或2λ=-. 故答案为：1或-2【点睛】本题考查向量共线的充要条件，属于简单题. 14. 某学校高一某班女生人数是男生人数的23.在一次数学测试中，男、女生平均分数分别是85，80，则这次数学测试该班学生的平均分数为________. 【答案】83 【解析】【分析】根据题意可得男生所占比例为35，女生所占比例为25，再根据加权平均数的计算公式即可求解.【详解】因为该班女生人数是男生人数的23，所以男生所占比例为35，女生所占比例为25，所以总平均分为3285808355⨯+⨯=.故答案为：83【点睛】本题考查了加权平均数的计算公式，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.15. 设函数411log (1),1,()2,1,x x x f x x ++-<⎧=⎨≥⎩，则1(())2f f a =，则实数a =________.【答案】12【解析】【分析】由分段函数解析式判断出1≥x 时，1()24x f x +=≥，得出()1f a <，也有1a < ，再代入相应的解析式中，求解方程可得答案. 【详解】当1≥x 时，1()24x f x +=≥，所以要使1(())2f f a =成立，则()1f a <，也有1a < ，所以()411log 12f a ⎡⎤+-=⎣⎦，解得1()2f a =，所以()411log 12a +-=，解得12a =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查解分段函数的方程，关键讨论自变量的范围，确定出函数的具体函数解析式，属于中档题.16. 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，则三棱锥1C ABC -的外接球的表面积为________；若D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），且AD BF =，则三棱锥1A DFB -体积的最大值为________. 【答案】 (1). 3π (2). 124【解析】【分析】根据题意可知三棱锥1C ABC -的外接球即为直三棱柱111ABC A B C -的外接球，根据正方体外接球的半径求解公式即可得解；根据题意，设出,AD AF 的长度，表示出棱锥的体积，用基本不等式即可求得体积的最大值.【详解】三棱锥1C ABC -外接球，就是直三棱柱111ABC A B C -的外接球，补成棱长为1的正方体，可求得三棱锥1C ABC -3 所以所求表面积为23432ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设AD x =，AF y =，则0x >，0y >且1x y +=，所以1211111()113266424A DFBB ADFx y V V xy xy --+==⨯⨯=≤⨯=. 当且仅当，12x y ==时，等号成立. 所以三棱锥1A DFB -体积的最大值为124. 故答案为：3π；124. 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解，涉及棱锥体积的求解，以及基本不等式求乘积的最大值，属综合中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题.17. 随着科技的发展，电子书越来越受到人们的欢迎.某高校为了解该校师生对电子书和纸质书的态度，随机抽取了100名师生进行了调查，并得到如下列联表：喜欢看电子书喜欢看纸质书合计教师 5 学生 48 合计已知这100名师生中随机抽取一人抽到喜欢看电子书的概率是1 5 .（1）请将上述列联表补充完整；（2）是否有90%的把握认为对电子书和纸质书的态度与教师和学生的身份有关？附：【答案】（1）列联表见解析；（2）没有90%的把握认为对电子书和纸质书的态度与教师和学生的身份有关．【解析】【分析】（1）由喜欢看电子书的概率是15可得人数，从而能完善列联表；（2）根据公式计算出2K可得结论．【详解】（1）这100名师生中随机抽取一人抽到喜欢看电子书的概率是15，∴喜欢看电子书的人数为1 100205⨯=．列联表如下：（2）22100(5481532) 1.54420803763K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 2.706<，∴没有90%的把握认为对电子书和纸质书的态度与教师和学生的身份有关．【点睛】本题考查列联表和独立性质检验，解题关键是计算2K ． 18. 已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n a n n =+，（2）21n nS n =+【解析】【分析】（1）由2n n S n a =可得211(1)n n S n a --=-，两式相减后化简得111n n a n a n --=+，然后利用累乘法可求出通项公式；（2）利用裂项相消法可求出n S 【详解】解：（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+，所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+，所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+，因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【点睛】此题考查数列的前n 项和与通项的关系，考查累乘法求通项公式，考查裂项相消法，属于基础题19. 如图，已知四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，AB AC ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，PA PB ⊥，M ，N 分别是AB ，PC 的中点.（1）求证：//MN 平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面PAB . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）取PD 中点为H ，通过证明MN //AH ，即可由线线平行推证线面平行；（2）通过证明AC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直推证出面面垂直. 【详解】（1）取PD 中点为H ，连接,AH HN ，如下所示：因为,N H 为,PC PD 中点，故可得HN //CD ，12HN CD =，又M 为AB 中点，故可得AM //CD ，12AM CD =，故可得HN //AM ，HN AM =，故四边形MNHA 为平行四边形，故可得MN //AH ，又因为AH ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，故MN //平面PAD ，即证.（2）因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，又AC ⊂平面ABCD ，且AC AB ⊥，故可得AC ⊥平面PAB . 又AC ⊂平面PAC ，故平面PAC ⊥平面PAB ，即证.【点睛】本题考查线面平行以及面面平行的证明，注意对已知条件的合理转化，属综合基础题.20. 已知抛物线C ：24y x =的准线l 与x 轴交于点M ，过点M 斜率为k 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）若12k =，求弦长||AB ；（2）若抛物线C 上存在点P 使得PA PB ⊥，求k 的取值范围.【答案】（1）||415AB =；（2）55⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【解析】【分析】（1）写出直线AB 方程，代入抛物线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，由弦长公式12AB x =-可求得弦长；（2）由（1）直线AB 方程为：(1)(0)y k x k =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，设()00,P x y ，由0PA PB ⋅=，得含有0,y k 方程，关于0y 的方程有解，判别式大于或等于0，可得k 的范围．【详解】（1）抛物线C ：24y x =的准线l ：1x =-，所以(1,0)M -，AB l ：1(1)2y x =+，将其与24y x =联立消y 得21410x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1214x x +=，121=x x ，所以12||AB x =-===.所以||AB =（2）设AB l ：(1)(0)y k x k =+≠，与24y x =联立消y 得()2222240k x k x k +-+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则212224k x x k=-+-，121=x x ，()2242440k k ∆=-->，所以21k <，又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈-⋃. 设()00,P x y ，由PA PB ⊥得0PA PB ⋅=，所以()()10102020,,0x x y y x x y y --⋅--=，所以()()22220012102004444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()()2102012012016y y y y y y y y y y ++=+++=-，()()22121201201216k x x x x y k x x k y ⎡⎤⎡⎤+++++++=-⎣⎦⎣⎦，将212224k x x k =-+-，121=x x 代入得2004200y y k ++=，所以244200k ⎛⎫∆=-⨯≥ ⎪⎝⎭，解得2115k ≤<，所以k ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦，即当k ⎡⎫⎛∈⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦时存在点P ，使得PA PB ⊥. 【点睛】本题考查直线与抛物线相交弦长，考查抛物线中的存在性问题，解题方法是设而不求思想，即设交点为()11,A x y ，()22,B x y ，设直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入弦长公式可得弦长，代入其他条件可得k 的范围或其他结论．21. 已知函数()2xa f x x e x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a e <<，求证：0x >时，()ln 12x f x ax x x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求得()f x '，对其分解因式，对参数a 进行分类讨论，即可利用导数判断其单调性；（2）根据题意，要证目标不等式即证ln x e ax x >，分区间(]()0,1,1,+∞进行考虑；特别地，当1x >时，进行二次求导证明不等式即可. 【详解】（1）由()2xa f x x e x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，x ∈R ，得()()()122xx x a a f x e x a x e e a x ⎛⎫'=--+-=-+ ⎪⎝⎭，当0a ≤时，0x e a ->，令()0f x '<，得1x <-；令()0f x '>，得1x >-. 所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；当10a e<<时，ln 1a <-，令()0f x '<，得ln 1a x <<-；令()0f x '>，得1x >-或ln x a <.所以()f x 在(ln ,1)a -上单调递减，在(,ln )a -∞，(1,)-+∞上单调递增；当1a e =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当1a e>时，ln 1a >-，令()0f x '<，得1ln x a -<<；令()0f x '>，得1x <-或ln x a >.所以()f x 在(1,ln )-a 上单调递减，在(,1)-∞-，(ln ,)a +∞上单调递增. 综上所述：0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增；10a e<<时，()f x 在(ln ,1)a -上单调递减，在(,ln )a -∞，(1,)-+∞上单调递增； 1a e =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；1a e>时，()f x 在(1,ln )-a 上单调递减，在(,1)-∞-，(ln ,)a +∞上单调递增.（2）因为()2xa f x x e x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以0x >时，()ln 12x f x ax x x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭等价于ln x e ax x >. 当(0,1]x ∈时，0x e >，ln 0x ≤，0e a <<，不等式ln x e ax x >恒成立；当(1,)x ∈+∞时，令1()ln x e g x x x -=-，则12(1)()x e x xg x x---'=，令1()(1)x h x ex x -=--，则1()1x h x xe -'=-，令1()()1x x h x xeϕ-'==-，则1()(1)x x e x ϕ-'=+，因为当1x >时，()0x ϕ'>，所以()ϕx 单调递增，所以()(1)0x ϕϕ>=，所以()0h x '>，()h x 单调递增，因为(1)0h <，(2)0h >，所以存在0(1,2)x ∈，使()00h x =，即010011x e x x -=-，()0001ln ln 1x x x =---，且()01,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增.所以()()()01min 0000001()ln 1ln 11x e g x g x x x x x x -==-=-----.令01x t -=，则(0,1)t ∈，1()ln t t t tω=--，(0,1)t ∈，因为()t ω在(0,1)t ∈时单调递减，且(1)0ω=，所以(0,1)t ∈时，()0t ω>，即min ()0g x >，所以()0>g x .所以1ln x e x x->，ln x e ex x >，又0a e <<，所以ln x e ax x >.即0a e <<，0x >时，()ln 12x f x ax x x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭成立. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及二次求导，属综合困难题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4--4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(,0)A a ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，且P 为AQ 的中点，求实数a 的值.【答案】（1）2213x y +=；y x a =-；（2）7或7-. 【解析】【分析】（1）消去参数α可得曲线C 的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式展开，由cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可得出直线l 的直角坐标方程.（2）点(,0)A a 在直线y x a =-上，设直线l的参数方程可设为,,x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线的直角坐标方程，利用参数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为曲线C的参数方程是,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）. 所以消去参数α得曲线C的直角坐标方程为2213x y +=. 因为cos 42a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos sin a ρθρθ-=，将cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入可得y x a =-. 即直线l 的直角坐标方程为y x a =-.（2）因为点(,0)A a 在直线y x a =-上，所以直线l 的参数方程可设为,,x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.将其代入2213x y +=得22230t a ++-=，所以122t t a +=-，21232a t t -=. 因为P 为AQ 的中点，所以212t t =，所以1223t t t +=，21222t t t =，所以()2212221229922t t t t t t +==，所以229322a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-，解得2277a =，所以7a =或7a =-. 所以实数a的值为7或7-. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化、参数的几何意义，考查了考生的计算求解能力，属于基础题.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 为正数，且满足4abc =，证明：（1）3334()a c b a c b a b c ++≥++；（2）33322211148a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据a ，b ，c 为正数，且4abc =，将不等式3334()a c b a c b a b c ++≥++转化为222a b c a b c b c a++≥++，再利用基本不等式结合不等式的性质证明；（2）根据a ，b ，c 为正数，且4abc =，直接利用基本不等式证明.【详解】（1）因为a ，b ，c 为正数，且4abc =.所以不等式3334()a c b a c b a b c ++≥++等价于333a c b a c b a b c abc++≥++，即等价于222a b c a b c b c a ++≥++. 因为a ，b ，c 为正数，所以22a b a b+≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，所以2222()a b c a b c a b c b c a+++++≥++，即222a b c a b c b c a++≥++，当且仅当a b c ===. 所以a ，b ，c 为正数时，3334()a c b a c b a b c ++≥++成立.（2）因为a ，b ，c 为正数，且4abc =，所以原式≥2221113a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭348≥⨯===.当且仅当a b c ===. 所以a ，b ，c 正数时，33322211148a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立. 【点睛】本题主要考查基本不等式证明不等式问题以及不等式的基本性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(十)数学(文)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（十）数学（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,2,4A =,{}2,0,2B =-, 则AB =( ) A. {}0,2B. {}2,4-C. []0,2D. {}2,0,2,4-【答案】D【解析】【分析】由并集运算求解即可【详解】由并集的定义，可得{}A B 2,0,2,4⋃=-.故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算,熟记并集定义是关键,是基础题2.已知a R ∈，i 是虚数单位，若z ai =，4z z ⋅=，则a 为（）A. 1或 1-B. 1C. 1-D. 不存在的实数【答案】A【解析】分析：根据共轭复数的定义先求出z ai =，再由4z z ⋅=，即可求出a详解：由题得z ai =，故2341z z a a ⋅=+=⇒=±，故选A.点睛：考查共轭复数的定义和复数的四则运算，属于基础题.3.在等差数列{}n a 中，若35791155a a a a a ++++=，33S =，则5a 等于（）A. 9B. 7C. 6D. 5 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质能求出711a = ，利用等差数列前n 项和公式能求出a 2=-1，求得d,由此能求出a 5．【详解】因为35791155a a a a a ++++=，所以5a 7=55，所以711a =，因为33S =，所以21a = ，所以公差7225a a d ＝＝- ，所以5237a a d =+=．故选B ．【点睛】本题考查等差数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．4.下列关于向量a ，b 的叙述中，错误的是（）A. 若220a b +=，则0a bB. 若k ∈R ，0ka =，所以0k =或0a =C. 若0a b ⋅=，则0a =或0b =D. 若a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅≤恒成立【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积，及向量的线性运算逐一判断。

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(二十九)文科数学

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷（二十九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】⋃=可确定集合C中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.由A C B⋃=可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有【详解】由A C B{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.2.已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】设(),z x yi x y R =+∈，整理12z z i =+-得到方程组120x y =++=⎪⎩，解方程组即可解决问题．【详解】设(),z x yi x y R =+∈，因为12z z i =+-()()1212x yi i x y i =-+-=+-+，所以120x y =++=⎪⎩，解得：322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以复数z 在复平面内对应的点为3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，此点位于第四象限. 故选D【点睛】本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题．3.若12log 3a =，312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，123c =，则（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的性质即可判断.【详解】解：由对数函数、指数函数的性质可知12log 30<，31021⎛⎫< ⎪⎭<⎝，1231>，则a b c <<成立．故选：A ．【点睛】本题考查对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题. 4.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22123n nn a a a -⋅⋅⋅=，则5a =（）A. 43B. 53C. 63D. 73【答案】D 【解析】【分析】由题要求5a ,故直接令5n =再令4n =,将两式相除即可.【详解】当5n =时,15123453a a a a a =,当4n =时,812343a a a a =,所以712345512343a a a a a a a a a a ==故选:D【点睛】已知前n 项积n T 求通项公式n a ,则11,(1),(2)n n n T n a T n T -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.5.已知函数1()sin 2f x x x =，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】A 【解析】【分析】化简()1sin 2f x x x =+为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出它图象向左平移(0)m m >个单位长度后的图象的函数表达式sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用所得到的图象关于y 轴对称列方程即可求得()6m k k z ππ=+∈，问题得解．【详解】函数()1sin 2f x x x =+可化为：()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到函数sin 3y x m π⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象，又所得到的图象关于y 轴对称，所以sin 013m π⎛⎫++=± ⎪⎝⎭，解得：()32m k k z πππ+=+∈，即：()6m k k z ππ=+∈，又0m >，所以min 6m π=.故选A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识，考查转化能力，属于中档题．6.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则经过第一象限的渐近线的倾斜角为（） A. 30 B. 45︒ C. 60︒ D. 120︒【答案】C 【解析】【分析】由离心率公式可得2c a =，可得渐近线方程，然后求解一条渐近线的倾斜角．【详解】由题意可得2ce a==，即2c a =，b =，双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即为y =．则经过第一象限的渐近线的倾斜角为为：60︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．7.函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >，所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．8.如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A. 20B. 27C. 54D. 64【解析】【分析】设大正方体的边长为x，从而求得小正方体的边长为122x x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，利用概率模拟列方程即可求解．【详解】设大正方体的边长为x12x -，设落在小正方形内的米粒数大约为N ，则2212200x x N x ⎫-⎪⎝⎭=，解得：27N ≈ 故选B【点睛】本题主要考查了概率模拟的应用，考查计算能力，属于基础题．9.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（） A. 若//m α,//m β,则//αβ B. 若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C. 若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D. 若αβ⊥,m α⊥,则//m β【答案】C 【解析】【分析】在A 中，α与β相交或平行；在B 中，//n α或n ⊂α；在C 中，由线面垂直的判定定理得n α⊥；在D 中，m 与β平行或m β⊂．【详解】设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则：在A 中，若//m α，//m β，则α与β相交或平行，故A 错误；在B 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故B 错误；在C 中，若m α⊥，//m n ，则由线面垂直的判定定理得n α⊥，故C 正确；在D 中，若αβ⊥，m α⊥，则m 与β平行或m β⊂，故D 错误．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．10.定义域为R的函数1(2)2()1,(2)xxf xx⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x的方程2()()0f x bf x c++=恰有5个不同的实数解12345,,,,x x x x x，则()12343f x x x x x++++=（）A.14B.18C.112D.116【答案】B【解析】【分析】画出()f x图像，结合图像判断出12345,,,,x x x x x的对称情况，由此求得12343x x x x x++++的值，进而求得()12343x x xf x x++++的值.【详解】画出()f x的图像如下图所示，由图可知()1f x=有3个解；()()()()0,11,f x t t=∈⋃+∞有2个解.这5个解有一个为2x=，其它四个解关于2x=对称，所以1234310x x x x x+++=+，所以()()1234311101028f fx x x x x===-++++. 故选：B【点睛】本小题主要考查函数图像与方程的零点问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知O为ABC∆外接圆的圆心，||3AB=，5AC=，则AO BC⋅= ( )A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】结合圆的几何性质，利用向量的线性运算，向量数量积的运算，求得AO BC ⋅.【详解】设,E F 分别是,AC AB 的中点，所以,OE AD OF AB ⊥⊥，所以AO BC ⋅=()AO AC AB AO AC AO AB⋅-=⋅-⋅()()AE EO AC AF FO AB=+⋅-+⋅2211822AE AC AF AB AC AB =⋅-⋅=⋅-⋅=.故选：C【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12.已知函数()f x 满足()()0f x f x --=对一切x ∈R 恒成立，且当0x ≤时，有3()(1)x f x x e =+.那么函数()f x 的极值点的个数是( )A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】【分析】首先判断出()f x 为偶函数，利用导数判断出当0x ≤时()f x 的极值点个数，根据偶函数的性质判断出()f x 的极值点个数.【详解】由于()()0f x f x --=，所以()f x 为偶函数.当0x ≤时，3()(1)xf x x e =+，()()()2'41x f x x x e =+⋅+⋅，所以()f x 在(),4-∞-上递减，在()4,0-上递增，所以4x =-是()f x 的极值点.由于()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，所以4x =也是()f x 的极值点.所以()f x 共有2个极值点.由于()01f =，且由于是偶函数，所以在0x =两侧附近左增右减，所以0x =也是()f x 的极值点.故函数()f x 的极值点为3个. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数极值点的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分13.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C 满足OC OA OB αβ=+,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为【答案】250x y +-= 【解析】【分析】根据向量共线定理得A,B,C 三点共线，再根据点斜式得结果【详解】因为OC OA OB αβ=+,且α+β=1，所以A,B,C 三点共线，因此点C 的轨迹为直线AB:131(3)250.31y x x y --=-∴+-=+ 【点睛】本题考查向量共线定理以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属中档题. 14.已知曲线11(0x y aa +=+>且1a ≠）过定点(,)kb ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为_____________. 【答案】92【解析】【分析】首先求得定点坐标，然后利用基本不等式求得41m n+的最小值.【详解】曲线11x y a+=+的定点为()1,2-，故1,2k b =-=.所以2m n +=，所以()41141141495522222n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当442,,33n m m n m n ===时，等号成立.所以41m n +的最小值为92. 故答案为：92【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 15.已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．【答案】2 【解析】抛物线的准线为2px =-，与圆相切，则342p +=，2p =．16.正四面体ABCD 的体积为33a ，则正四面体ABCD 的外接球的体积为______．【答案】33a π 【解析】【分析】由题意画出图形，设正四面体ABCD 的棱长为x ，由已知求得x ，进一步求出外接球半径，代入体积公式求解．【详解】解：如图，设正四面体ABCD 的棱长为x ，过A 作AD⊥BC，设等边三角形ABC 的中心为O ，则233AOAD x ，223633POx x x ， 21363312PABCa x x x V ，即2x a =．再设正四面体ABCD 的外接球球心为G ，连接GA ，则2222262333RAO GO a a R ，即3R a =． ∴正四面体ABCD 的外接球的体积为33343322a a V. 故答案为33a π．【点睛】本题考查正四面体外接球体积的求法，考查数学转化思想方法，正确的找到外接球的半径是关键．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)

∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C

ABD
的高，∴VC

ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(五)文科数学

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题:本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={}221x x y +=,集合B = {2y y =,则A B =A.[0,1]B.[- 1,1]C.[-1,0)D.[- 1,0]2.复数z 满足12z i ⋅=+,则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 A.(1,0) B. (0,1) C.(-1,0) D.(0, - 1) 3.抛物线24y x =的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为A.12B. C. D.24.已知{}n a 是公差为12的等差数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,若248,,a a a 成等比数列,则7=SA.194B.14C.12D. 16 5.我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是 A.样本中的男生数量多于女生数量B.样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C.对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D.对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数6.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可以逆读。

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(三)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={|36},{|27}x x B x x -<<=<<，则()R A B =( )A. （2，6）B. （2，7）C. （-3，2]D. （-3，2）【答案】C 【解析】【分析】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，再求()A C B ⋃⋂得解.【详解】由题得C B ⋃={x|x ≤2或x ≥7}，所以()A C B ⋃⋂= (]3,2-.故选C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知复数11z i =-+，复数2z 满足122z z =-，则2||z = ( )A. 2B.C. D. 10【答案】B 【解析】【分析】先根据已知求出复数2z ，再求2z . 【详解】由题得222(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i -------====+-+-+--，所以2z 故选B【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题:,2x p x R x e ∃∈->，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>,则( )A. 命题p q ∧⌝是真命题B. 命题p q ∨⌝是假命题C. 命题p q ∨是假命题D. 命题p q ∧是真命题【答案】A 【解析】【分析】先分别判断命题p 与命题q 的真假，进而可得出结果.【详解】令()xf x e x =+，则易知()xf x e x =+在R 上单调递增，所以当0x <时，()12xf x e x =+<<，即2x e x <-；因此命题:,2x p x R x e ∃∈->为真命题；由0a >得211a +>；所以，当1a >时，2log (1)0a a +>；当01a <<时，2log (1)0a a +<；因此，命题:q a R +∀∈，且21,log (1)0a a a ≠+>为假命题；所以命题p q ∧⌝是真命题. 故选A【点睛】本题主要考查简单的逻辑连接词，复合命题真假的判定，熟记判定方法即可，属于常考题型.4.已知正项等比数列{}n a 满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，则1a 的值为( )A. 4B. 2C. 3D. 8【答案】A 【解析】【分析】设等比数列的公比为q ，0q >，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项．【详解】正项等比数列{}n a 公比设为(0)q q >，满足31a =，5a 与432a 的等差中项为12，可得211a q =，54312a a +=，即4311312a q a q +=，可得22320q q +-=，解得2q =-（舍去），12q =，则14a =，故选A ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）A. 2B. 4C. 442+D. 642+【答案】A 【解析】【分析】根据三视图的特点可以分析该物体是一个直三棱柱，即可求得体积. 【详解】由三视图可得该物体是一个以侧视图为底面的直三棱柱，所以其体积为121222⨯⨯⨯=. 故选：A【点睛】此题考查三视图的认识，根据三视图求几何体的体积，关键在于准确识别三视图的特征.6.已知非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=,则a b ⋅的最大值为( ) A.12B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据22a b -=得到22424a b a b +-=，再由基本不等式得到222424a b a b a b ≤+-=，结合数量积的定义，即可求出结果.【详解】因为非零向量a ,b 的夹角为60,且满足22a b -=, 所以2222444a ba b a b -=+-⋅=，即2244cos 604a b a b +-=，即22424a b a b +-=，又因为2244a ba b +≥，当且仅当2a b =时，取等号；所以222424a b a b a b ≤+-=，即2a b ≤；因此，1cos6012a b a b a b ⋅==≤. 即a b ⋅的最大值为1. 故选B【点睛】本题主要考查向量的数量积与基本不等式，熟记向量数量积的运算与基本不等式即可，属于常考题型.7.函数()ln f x x x =的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据特殊位置的x 所对应的()f x 的值，排除错误选项，得到答案. 【详解】因为()ln f x x x =所以当01x <<时，()0f x <，故排除A 、D 选项，而()ln ln f x x x x x -=--=-，所以()()f x f x -=-即()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B 项，故选C 项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.8.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误；若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误．若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.9.函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(+)6y x π=D. 2sin(+)3y x π=【答案】A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 【考点】三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．10.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题． 11.将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度得到()g x 图像，则下列判断错误的是（）A. 函数()g x 的最小正周期是πB. ()g x 图像关于直线7π12x =对称 C. 函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D. ()g x 图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的图象平移关系求出()g x 的解析式，结合函数的单调性，对称性分别进行判断即可．【详解】由题意，将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，可得2()sin[2()]sin(2)233g x x x πππ=-+=-，对于A ,函数的最小正周期为2=2ππ，所以该选项是正确的；对于B ，令712x π=，则772()sin(2)sin 1121232g ππππ=⨯-==为最大值， ∴函数()g x 图象关于直线712x π=，对称是正确的；对于C 中，[,]63x ππ∈-，则22[3x ππ-∈-，0]，则函数()g x 在区间[,]63ππ-上先减后增，∴不正确；对于D 中，令3x π=，则2()sin(2)sin 00333g πππ=⨯-==，()g x ∴图象关于点(,0)3π对称是正确的，故选C ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的单调性，对称性，求出解析式是解决本题的关键．12.已知函数()f x 是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有(3)()f x f x +=-，当(3,0)x ∈- 时，()25f x x =-，则(8)f =（）A. 11B. 5C. -9D. -1【答案】C 【解析】【分析】根据(3)()f x f x +=-即可得出(6)()f x f x +=，即得出()f x 的周期为6，再根据()f x 是偶函数，以及(3,0)x ∈-时，()25f x x =-，从而可求出f （8）f =（2）(2)9f =-=-．【详解】(3)()f x f x +=-；(6)(3)()f x f x f x ∴+=-+=；()f x ∴的周期为6；又()f x 是偶函数，且(3,0)x ∈-时，()25f x x =-；f ∴（8）(26)f f =+=（2）(2)459f =-=--=-．故选C ．【点睛】本题主要考查偶函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最小值为__________．【答案】2 【解析】分析】先由约束条件作出可行域，再由目标函数2z x y =+可化为122zy x =-+，因此当直线122zy x =-+在y 轴上截距最小时，2z x y =+取最小，结合图像即可求出结果.【详解】由约束条件40,20,20,x yxx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如下：因为目标函数2z x y=+可化为122zy x=-+，因此当直线122zy x=-+在y轴上截距最小时，2z x y=+取最小.由图像易得，当直线122zy x=-+过点(2,0)A时，在y轴上截距最小，即min2z=.故答案为2【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.14.已知4cos()35πα+=，则13sin()6πα-的值是____________.【答案】45-【解析】根据两角和的余弦公式可得134cos cos325πααα⎛⎫+==⎪⎝⎭，所以由诱导公式可得13sin6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭31cos622sin sinπααα⎛⎫-=-⎪⎝⎭134cos225sinαα⎛⎫=--=-⎪⎪⎝⎭，故答案为45-.15.已知A，B，C三点在球O的表面上，2AB BC CA===，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则球O 的表面积为____. 【答案】6π 【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】解：设球的半径为r ，O ′是△ABC 的外心，外接圆半径为R 3=， ∵球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13， ∴得r 219-r 2＝43，得r 232=．球的表面积S ＝4πr 2＝4π362⨯=π．故答案为6π．【点睛】本题考查球O 的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．16.已知函数()sin f x ax x =+，若()()()g x f x f x '=+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的最小值是___．【答案】1 【解析】【分析】化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最大值，即可得到结果．【详解】解：函数f x ax sinx =+（），若'g x f x f x ax sinx cosx a =+=+++（）（）（）， g x f x f x =+'（）（）（）在区间[-2π，2π]上单调递增，'0g x a sinx cosx =-+≥（），可得,,422a x x πππ⎛⎫⎡⎤≥-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得3,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,4x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以1a ≥.所以a最小值为：1．故答案为1．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时．可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. 必做题：共60分.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=︒．(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)若PA AB =.求棱锥C PBD -的高. 【答案】（1）证明见解析（2）217. 【解析】【分析】（1）推导出AC ⊥BD ，PA ⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面PAC ．（2）运用等体积转化图形求体积．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥ BD . 又PA AC A ⋂=,所以BD ⊥平面PAC .（2）解：∵C PBD P CBD V V --=，设棱锥C PBD -的高为h ∴1133PBD CBD h S PA S ∆∆⋅=⋅ ∵PA AB =，2AB =，60BAD ∠=︒ ∴22PB PD == 2BD = ∴2211722PBDS BD PB BD ∆⎛⎫=-= ⎪⎝⎭11322CBD S BD AC ∆=⋅= ∴2217CBD PBD PA S h S ∆⋅==. 即棱锥C PBC -的高为2217. 【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的求法，棱锥体积计算的常见方法：（1）直接应用体积公式求体积，这类问题的特征是：棱锥的底面积与高为已知或可求. （2）割补法求体积，一是将不方便计算的棱锥分割成若干易算的棱锥，逐一计算即可；二是将棱锥补成易算的棱锥或棱柱，从而求出棱锥体积.（3）转换棱锥求体积（主要适用三棱锥），在计算体积时可以换底进行等体积棱锥图形的转化.18.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的值；（2）若4,7a c ==ABC ∆的面积.【答案】（1）23π；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简，将已知等式化简得sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合范围 ()0,C π∈，可得角C 的值；（2）利用余弦定理可求得24120b b +-=，解得b 的值，根据三角形的面积公式即可得出ABC ∆的面积.【详解】解：（1）因为sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12sin sin cos 2sin sin 022R B C C R C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，由于在ABC ∆中，sin 0B >，则得出：1sin 022C C +=，所以sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为()0,C π∈，则3C ππ+=，解得：23C π=.（2）在ABC ∆中，4,a c == 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，所以24120b b +-=，且0b >，解得：2b =，则ABC ∆的面积为：11sin 42222S ab C ==⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的综合应用，以及三角函数恒等变换的应用，同时考查学生的计算能力和转化思想.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2*2n n nS n N +=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()*213n an b n n N=-⋅∈，求数列{}nb 的前n 项和nT .【答案】（1）n a n =；（2）13(1)3,n n T n n N ++=+-⋅∈.【解析】【分析】（1）应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项n a 的表达式（2）由错位相减法求得数列{}n b 的前n 项和n T ．【详解】（1）当n 2≥时，n n n 1a S S n -=-=；当n 1=时，11a S 1==，符合上式. 综上，n a n =. （2）()213nn b n =-.则由（1）-（2）得 ()()()2122123132132323213321313n n n nT n n -+⋅--=⋅+⋅++⋅+-⋅=+--⋅-()16223n n +=-+-⋅故()1313,n n T n n N ++=+-⋅∈.【点睛】知道n S 的表达式求数列通项时，我们常应用公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求的通项na 的表达式．20.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(Ｉ) 证明：平面BDC ⊥平面1BDC（Ⅱ）平面1BDC 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】1:1 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:121.已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈. （1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()f x g x x=在x e =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【答案】（1）()f x 在1(0,)a e +上单调递增，在1(,)ae ++∞上单调递减；（2）211(,)2e e. 【解析】【分析】（1）当0b =时，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可判断f （x ）的单调性；（2）函数()g x 在()0,e 上有两个零点等价于函数()(),0,g x x e ∈的图像与x 轴有两个交点，数形结合即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=， ()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='，令()0f x '=，得1a x e +=，当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae +上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x ag x b xx-==-，()()2431ln 2122ln x x a x a x x g x x x ⋅--⋅-=='+， ∵()g x 在x e =∴(0g e '=即1210a +-=，∴0a =. 所以()2ln x g x b x=-，()312ln xg x x -'=，函数()g x 在(e 上单调递增，在),e +∞上单调递减，得函数的极大值12ge b e =-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭. ∴()g x 的两个零点分别在区间1,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭与(),e e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．选做题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.己知直线l 的参数方程为132x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点()13P ，．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求11PA PB+的值．【答案】（1）21y x =+ ，216y x = ；（2810【解析】【分析】（1）直线的参数方程消去t 可求得普通方程．由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，求得曲线C 普通方程．（2）直线的参数方程改写为153x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），由t 的几何意义求值．【详解】()1直线l 的参数方程为1(t 32x ty t=+⎧⎨=+⎩为参数)，消去参数，可得直线l 的普通方程y 2x 1=+，曲线C 的极坐标方程为2ρsin θ16cos θ0-=，即22ρsin θ16ρcos θ=，曲线C 的直角坐标方程为2y 16x =，()2直线的参数方程改写为135x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2y 16x =，24t 705--=，12t t +=1235t t 4=-，1212t t 11PA PB t t 35-+==．【点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．选修4-5：不等式选讲23.已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围．【答案】（1）4(,][2,)3-∞-⋃+∞（2）71a -<<- 【解析】【分析】（1）当1a =时，根据绝对值不等式的解法即可解不等式()5f x ≥；（2）求出()()min23f x x +-<的最小值，根据不等式的关系转化为()221f x x x =-++即可求a 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =时，2215x x -++≥，由()5f x ≥得][4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 当2x ≥时，不等式等价于2215x x -++≥，解得2x ≥，所以2x ≥；当122x -<<时，不等式等价于2215x x -++≥，即2x ≥，所以此时不等式无解；当12x ≤-时，不等式等价于2215x x ---≥，解得43x ≤-，所以43x ≤-．所以原不等式的解集为()2222f x x x x a +-=-++. （2）()2422244x x a x a x a =-++≥+--=+ 43a +<. 因为原命题等价于()221f x x x =-++，所以43a +<，所以71a -<<-为所求实数a 的取值范围．【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论的数学思想进行讨论是解决本题的关键，属于中档题.。

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(二)文科数学

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（二）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题∈｜0≤x≤3｝，B＝｛x∈R｜－2＜x＜2｝则A∩B=( )1. 已知集合A＝｛x NA. {0,1}B. {1}C. [0,1]D. [0,2)【答案】A【解析】【分析】可解出集合A，然后进行交集的运算即可．【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}；∴A∩B＝{0，1}．故选A．∈.【点睛】本题考查交集的运算，是基础题，注意A中x N2. 已知复数z 的共轭复数112iz i-=+，则复数z 的虚部是（） A.35B. 35i C. 35D. 35i -【答案】A 【解析】【分析】利用复数乘除运算化简，求得z 后得到答案【详解】()()()()11211313121212555i i i i z i i i i -----====--++-，则1355z i =-+，则复数z 的虚部是35. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题． 3. 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（） A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量0，1比较大小. 【详解】0.2log 20a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>，所以a b c <<，故选：A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4. 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选D．5. 某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出7名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的+的值茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x y为（）A. 9B. 7C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根据平均数和中位数的定义和公式，分别进行计算即可得到结论．【详解】解：班学生成绩的平均分是85，∴+++++++=⨯，x79788080859296857x=．即5乙班学生成绩的中位数是83，∴若1y ，则中位数为81，不成立．若1y >，则中位数为8083y +=，解得3y =． 538x y ∴+=+=，故选：C ．【点睛】本题主要考查茎叶图是应用，要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式，属于基础题．6. 函数()·ln xf x e x =的大致图象为（） A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln xf x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A.215π B.320π C. 2115π-D. 3120π-【答案】C 【解析】【分析】本题首先可以根据直角三角形的三边长求出三角形的内切圆半径，然后分别计算出内切圆和三角形的面积，最后通过几何概型的概率计算公式即可得出答案.【详解】2251213+=，设内切圆的半径为r ，则51213r r -+-=，解得2r .所以内切圆的面积为24r ππ=，所以豆子落在内切圆外部的概率42P 111155122ππ=-=-⨯⨯，故选C ．【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误． 8. 在ABC ∆中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C Cc B B+=+，则ABC ∆的形状是（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B+===+，cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =，即90C =或cos cos C b B c =，由正弦定理，得cos cos ,cos cos b B C sinBc C B sinC=∴=，即sin cos sin cos C C B B =，即22sin C sin B =，,B C 均为ABC ∆的内角，22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=或90B C +=，ABC ∆∴为等腰三角形或直角三角形，故选D.9. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<），其图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（）A. 关于点,016π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线16x π=对称D. 关于直线4πx =-对称【答案】B 【解析】【分析】先根据已知求出()sin 44f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再令4,4x k k Z ππ-=∈,即得函数图象的对称中心，令4,42x k k Z πππ-=+∈，即得函数图象的对称轴方程.【详解】因为函数()y f x =的图象相邻两条对称轴之间的距离为4π，所以函数的周期为2π， 24Tπω∴==，()sin(4)f x x ϕ∴=+，将函数()y f x =的图象向左平移316π个单位后，得到函数3sin 416y x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦图象，图象关于y 轴对称，34,162k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈，又||,24ππϕϕ<∴=-，()sin 44f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭，令4,4x k k Z ππ-=∈，解得,416k x k Z ππ=+∈， 0k =时，16x π=，所以()f x 的图象关于点,016π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 令4,42x k k Z πππ-=+∈，所以函数的对称轴方程为3,416k x k Z ππ=+∈. 所以选项,C D 错误. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图象变换，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（） A. 52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B. (3)+∞，C. 52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D. (2)-∞，【答案】D 【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后根据复合函数同增异减求得函数的单调增区间. 【详解】由2560x x -+>解得2x <或3x >，由于12log y x =为()0,∞+上的增函数，而256y x x =-+开口向上，故256y x x =-+在2x <时递减，根据复合函数单调性同增异减可知()212log 56y x x =-+在区间(),2-∞上递增.故选D.【点睛】本小题主要考查复合函数单调性的判断，考查对数函数定义域的求法，属于基础题.11. 双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（） A.89B.83C.149D.143【答案】C 【解析】【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =，由题意，6m n -=，若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅；若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =． ∴222115196999c a b =+=+=，143c =．1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．12. 若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】【分析】由题意作出函数()f x 与3log y x =的图象，两图象的交点个数即为方程()3log f x x =的根的个数.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数. 又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ．【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.二、填空题13. 已知()tan 2πα+=，则cos sin cos sin αααα+=-______.【答案】3- 【解析】【分析】由诱导公式可得tan 2α=，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为()tan 2πα+= 所以tan 2α=，所以cos sin 1tan 123cos sin 1tan 12αααααα+++===----故答案为：3-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题. 14. 已知向量()1,2m =，()2,0n =，则m 在n 方向上的投影为______. 【答案】1 【解析】【分析】根据向量夹角的坐标表示，得到cos ,m n <>，再由投影的定义，即可得出结果. 【详解】因为向量()1,2m =，()2,0n =，所以cos ,5m n m n m n ⋅<>===⨯，因此，m 在n 方向上的投影为cos ,51m m n <>=⨯=. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查求向量的投影，熟记向量夹角公式，以及投影的定义即可，属于基础题型.15. 在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物. 甲说：“礼物不我这”；乙说：“礼物在我这”；丙说：“礼物不在乙处”.如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物. 【答案】甲【解析】假设乙说的是对的，那么甲说的也对，所以假设不成立，即乙说的不对，所以礼物不在乙处，易知丙说对了，甲说的就应该是假的，即礼物在甲那里.故答案为甲.16. 在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π 【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥， 2223OP OF PF =+=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(24348ππ⨯=，故答案为48π.【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）613（Ⅱ）413（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】（Ⅰ）在3月1日至3月13日这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613．（Ⅱ）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率是413．（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.本题主要考查的是古典概率．由图读出基本事件的总数和满足条件的事件个数，代入古典概型公式计算即可．连续三天的空气质量指数方差最大的是应该是这三天空气质量指数悬殊最大的.18. 已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+．（1）证明：{}4n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）见解析；（2）1242n n S n +=--．【解析】【分析】（1）由题设124n n a a +=+，化简得1424n n a a ++=+，即可证得数列{}4n a +为等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得24nn a =-，利用等比数列的前n 项和公式，即可求得数列的前n 项和．【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足12a =-，所以142a += 又因为124n n a a +=+，所以()142824n n n a a a ++=+=+，即1424n n a a ++=+，所以{}4n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得42n n a +=，即24n n a =-，所以()()()()22122424242224nnn n S a a a n =++⋯+=-+-+⋯+-=++⋯+-()1212422412n n n n +-=-=---，即1242n n S n +=--．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n 项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19. 如图所示，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 为AC 的中点，12,3AA AB BC ＝＝＝.（1）求证：1AB //平面1BC D ；（2）求1AB 与BD 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2613. 【解析】【分析】（1）连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD .证明 OD 为1AB C ∆的中位线，得1//OD AB ，即可证明；（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角，在OBD∆中，利用余弦定理求解即可【详解】(1)证明：如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 相交于点O ，连接OD . ∵四边形11BCC B 是平行四边形． ∴点O 为1B C 的中点． ∵D 为AC 的中点， ∴OD 为1AB C ∆的中位线，1//OD AB ∴OD ⊂平面1BC D ，1AB ⊄平面1BC D ， 1//AB ∴平面1BC D .（2）由（1）可知，ODB ∠为1AB 与BD 所成的角或其补角在Rt ABC ∆中，D 为AC的中点，则2AC BD ==同理可得，OB =在OBD ∆中，222cos 213OD BD OB ODB OD BD +-∠==⋅ 1AB ∴与BD所成角的余弦值为13. 【点睛】本题考查线面平行的判定，异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力是基础题20. 已知点()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为2，O 为坐标原点．（1）求E 的方程；（2）设过点(0P 且斜率为k直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且||7MN =，求k 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）k =【解析】【分析】（1）由题意可知：a =，利用直线的斜率公式求得c 的值，即可求得a 和b 的值，求得椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得k 的值，求得直线l 的方程．【详解】解：（1）由离心率e c a ==，则a =，直线AF 的斜率k ()020c --==-2，则c ＝1，a =b 2＝a 2﹣c 2＝1，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设直线l ：y ＝kxM （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得：（1+2k 2）x 2﹣+4＝0，△＝（﹣）2﹣4×4×（1+2k 2）＞0，即k 21＞， ∴x 1+x2212k=+，x 1x 22412k =+，∴127MN x =-===，即421732570k k --=, 解得：23k =或1917-（舍去）∴k【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，弦长的计算，考查转化思想以及计算能力．21. 已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2)3(3,]e e . 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a 讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，（2）先分离3ln x a x=，再利用导数研究函数()3ln x g x x =单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数a 的取值范围.试题解析：（1）∵()323'3(0)a x af x x x x x-=-=>①若0a ≤时，()'0f x >，此时函数()0,+∞上单调递增；②若0a >时，又()33'0x af x x -==得：x =x ⎛∈ ⎝时()'0f x <，此时函数在⎛ ⎝上单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时()'0f x >，此时函数在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增；（2）由题意知：3ln x a x=在区间(]1,e 上有两个不同实数解，即函数y a =图像与函数()3ln xg x x=图像有两个不同的交点，因为()()()223ln 1'ln x x g x x -=，令()'0g x =得：x =所以当(x ∈时，()'0g x <，函数在(上单调递减当x e ⎤∈⎦时，()'0g x >，函数在e ⎤⎦上单调递增；则()min 3g x ge ==，而311272791272727ln e g e e e ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且()327g e e =<，要使函数y a =图像与函数()3ln xg x x=图像有两个不同的交点，所以a 的取值范围为(33,e e ⎤⎦.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为1x cos y sin ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），现以原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设,P Q 是圆C 上的两个动点，且3POQ π∠=，求OP OQ +的最大值.【答案】（Ⅰ）2cos ρθ=；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）先由参数方程写出直角坐标方程，再由cos ,sin x y ρθρθ== 代入化简即可得到圆的极坐标方程；（Ⅱ）先根据3POQ π∠=设出P,Q 的极坐标，再对OP OQ + 化一，求出θ 的范围进而求出OP OQ +的最大值．【详解】（Ⅰ）圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，所以圆C 的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=.(Ⅱ)设P 的极坐标为1ρθ（，），2+3Qπρθ（，），则12|OP|==2cos |OQ|=2cos +3，πρθρθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则|OP|+|OQ|=2cos +2cos +=3cos 36ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又22232ππθπππθ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<+<⎪⎩，所以26ππθ-<<，所以当6πθ=-时，OP OQ +取最大值【点睛】本题考查参数方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化，以及极坐标的应用，注意θ的范围，侧重计算能力的考查． 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数()21,f x x a x a R =-+-∈. （Ⅰ）若2a =-，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值. 【答案】(Ⅰ) 4{|2}3x x -≤≤ (Ⅱ) 4a =- 【解析】【分析】（Ⅰ）a=-2时，()f =|2+2||1|x x x +- ，f(x)的两个零点分别为-1和1，通过零点分段法分别讨论1,11,1x x x ≤--<<≥ ，去绝对值解不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）法一：2a < 时，12a < ，化简f(x)为分段函数，根据函数的单调性求出f(x)在2a x =处取最小值3，进而求出a 值．法二：先放缩，再由绝对值三角不等式求出f(x)最小值，进而求a ．【详解】(Ⅰ) 2a =-时，不等式为|2+2||1|5x x +-≤①当1x ≤- 时，不等式化为22+15x x ---≤，2x ≥-，此时 21x -≤≤-②当11x -<< 时，不等式化为2+2+15x x -≤，2,11x x 此时：≤-≤< ③当1x ≥ 时，不等式化为2+2+15x x -≤，4x 3≤，此时41x 3≤≤ 综上所述，不等式的解集为4{|2}3x x -≤≤（Ⅱ）法一：函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a ＜2，即12a<时， ()31()211231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪⎛⎫=-+≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-->⎪⎩所以f (x )min ＝f （2a ）＝－2a＋1＝3，得a ＝－4＜2(符合题意)，故a ＝－4. 法二：()()21112221122a a af x x a x x x x x x a a x x =-+-=-+-+-≥-+-⎛⎫≥---=- ⎪⎝⎭所以()min 132af x =-=，又2a <，所以4a =-.【点睛】本题考查绝对值三角不等式的解法，零点分段法化简分段函数，求分段函数的最值，体现了分类讨论的数学思想．。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷(三十)文科数学

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（三十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数2(i 1)4i 1z -+=+的虚部为（）A ．1-B ．3-C ．1D ．22．已知集合{0,1,2}A =，{|2}B x x A =∈∈N ，则B =（） A ．{0}B ．{0,2}C ．1{0,,2}2D ．{0,2,4}3．已知12log 3a =，0.21()3b =，132c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<（）A ．0.25B ．0.3C ．0.4D ．0.455．已知(3,6)P 为双曲线222:1(0)y C x b b-=>上一点，则点P 到双曲线C 的渐近线的距离为（） A ．362+ B ．362-或362+ C ．362- D ．362+或632- 6．成语“运筹帷幄”的典故出自《史记·高祖本纪》，表示善于策划用兵，指挥战争．其中的“筹”指算筹，引申为策划．古代用算筹来进行计数和计算，据《孙子算经》记载，算筹计数法则是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．”也就是说：在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的算筹，其中15分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，69-则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示（如下图所示）．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．那么2536用算筹可表示为（）A ．B ．C ．D ．7．函数sin 21cos xy x=-的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数2()sin 3cos f x x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的最大值为3C ．()f x 在π5π(,)36上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π6x =对称 9．“直线l 上有两点到平面α的距离相等”是“直线l 与平面α平行”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为过1F 且斜率为33的直线与双曲线的一个交点，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为（）A ．2B ．31+C ．3D ．211．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin cos 2b A a B b c -=-，则A =（） A ．π3 B ．π4C ．π6D ．2π312．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当(0,2]x ∈时，19()4f x x x =+-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有2()3f x ≥-，则m 的取值范围是（） A ．21(,]5-∞ B ．16(,]3-∞ C ．18(,]4-∞ D ．19(,]4-∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量(2,3)=-a ，(3,)m =b ，且⊥a b ，则m =_______．14．函数1()xxf x e e =-在0x =处的切线方程为． 15．已知πtan()24α+=-，则1sin 2cos 2αα-= ． 16．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某省确定从2021年开始，高考采用“312++”的模式，取消文理分科，即“3”包括语文、数学、外语，为必考科目；“1”表示从物理、历史中任选一科；“2”表示从生物、化学、法抽取n 名学生进行调查．（1）已知抽取的n 名学生中含男生110人，求n 的值及抽取到的女生人数；（2）学校计划在高二上学期开设物理和历史两个科目的选修课，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目）．下表是根据调查结果得到的22⨯列联表，请将列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为选择的科目与性别有关？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，从抽取的选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，对其选课原因进行深入了解，求选出的2人中至少有1名女生的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．18．（12分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知πsincos()6b A a B =-．（1）求角B 的大小；（2）若ABC △为锐角三角形，且1c =，求ABC △面积的取值范围． 19．（12分）已知多面体1111ABCD A B C D -，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均垂直于平面ABCD ，AD BC ∥，111AB BC CD AA CC =====，112BB =，12AD DD ==．（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）连接1A B ，求三棱锥111A B BC -的体积．20．（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点1F ，2F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =，且过点(4,．（1）求双曲线方程；（2）若点(3,)M m 在此双曲线上，求12MF MF ⋅．21．（12分）已知函数32()ln(1)()3x f x mx m m m =--+-∈R ．（1）当12m =时，求()f x 的极值；（2）当1m <时，证明：函数()f x 有且只有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ+=，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）以曲线C 上的动点M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线l 相切，求r 的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知()1xf x x x=--．（1）解不等式2()f x x <的解集；（2）若()f x 的最大值为M ，且22a b M +=，求证：12ab ≥-．参考答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】A 12．【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】2 14．【答案】2y x = 15．【答案】12-16．【答案】36三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）200n =，女生人数为90；（2）列联表见解析，有99.5%的把握认为；（3）35．18．【答案】（1）π3B =；（2）82．19．【答案】（1）证明见解析；（2）24．【解析】（1）连接AC ，由于11AA CC ∥且11AA CC =，所以四边形11ACC A 为平行四边形，所以11A C AC ∥．又底面ABCD 为等腰梯形，12AB BC CD AD ===，则60ADC ∠=︒，30DAC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，所以90DCA ∠=︒，即CD AC ⊥，因为1C C ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1C C AC ⊥，又1C CCD C =，所以AC ⊥平面11CDD C ，又因为11A C AC ∥，故11A C ⊥平面11CDD C ．（2）法一：延长AB ，DC 交于点G ，连接1B G ，1C G ．因为AD BC ∥，12BC AD =，所以BC 为AGD △的中位线，所以AB BG =．又因为11AA BB ∥，1112BB AA =，所以点11,,A B G 在同一条直线上，且111A B B G =．同理可证点11,,D C G 在同一条直线上，且111D C C G =．取CG 中点M ，连接BM ．则11BM AC AC ∥∥，BM ⊄平面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，所以BM ∥平面111A B C ．因此点B 到平面111A B C 的距离等于点M 到平面111A B C 的距离．由（1）知11A C ⊥平面11CDD C ，又11A C ⊂平面111A B C ，所以平面111A B C ⊥平面11CDD C ，又平面111A B C 平面111CDD C GD =，过点M 作1MH GD ⊥，则MH ⊥平面111A B C ，即点M 到平面111A B C 的距离为24．又11164A B C S =△，所以111162334424A B BC V -=⨯⨯=．法二：因为11AA BB ∥，1AA ⊄平面11B BC ，1BB ⊂平面11B BC ，所以1AA ∥平面11B BC ，所以点1A 到平面11B BC 的距离等于点A 到平面11B BC 的距离，因为11CC BB ∥，所以111B BC B BC S S =，所以1111111A B BC A B BC A B BC B ABC V V V V ----===．因为1,2AB BC CD AD ====，所以120ABC ∠=︒，所以133112ABC S =⨯⨯=△．又1BB ⊥平面ABCD ，所以1BB 为高，所以1111131332A B BC B ABC V V --===． 20．【答案】（1）226x y -=；（2）0．21．【答案】（1）1()ln 22f x =--极大值，2()ln 23f x =--极小值；（2）证明见解析．【解析】（1）当12m =时，32111()ln 3222x f x x =--+，∴2()f x x x '=-，则()f x 在(,0)-∞递增，在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，所以1()(0)ln 22f x f ==--极大值，2()(1)ln 23f x f ==--极小值．（2）2()2(2)f x x mx x x m '=-=-，①当0m =时，2()0f x x '=≥，3()3x f x =只有一个零点0，符合题意；②当0m <时，()f x 在(,2)m -∞单调递增，在(2,0)m 单调递减，在(0,)+∞单调递增，极小值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)g m m m =-+-，则()g m 单调递减，有()(0)0g m g >=，即(0)0f >，则()f x 只有一个零点，符合题意；③当01m <<时，()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,2)m 单调递减，在(2,)m +∞单调递增，极大值(0)ln(1)f m m =-+-，令()ln(1)h m m m =-+-，则()h m 单调递减，有()(0)0h m h <=，则()f x 只有一个零点，符合题意，综上所述，1m <时，函数()f x 有且只有一个零点．22．【答案】（1）:40l x +-=，22:143x y C +=；（2）42． 23．【答案】（1）(,0)(1,)-∞+∞；（2）证明见解析．【解析】（1）当0x <时，由2()f x x <，得2110x x +-+>，此时该不等式恒成立；当01x <<时，由2()f x x <，得20x x ->，此时该不等式不成立；当1x ≥时，由2()f x x <，得220x x +->，解得2x <-或1x >，此时1x >，故不等式2()f x x <的解集为(,0)(1,)-∞+∞．（2）证明：当0x <时，()1122f x x x =---=-<-，当0x >时，()111f x x =--≤，所以1M =，所以2212a b ab =+≥，即12ab ≤，当且仅当a b =时等号成立，所以12ab ≥-．。

文科数学-全国名校2021年高三5月大联考(新课标Ⅰ卷)(答案及评分标准)

5一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ABCBBAADCDBD二、填空题 13． 13 三、解答题14． -215．1516． (1, 3)17．（12 分）【解析】（1）由cos 2 C - cos 2 B = sin 2 A -sin A sin C ，得1 - sin 2 C - (1 - sin 2 B ) = sin 2 A - sin A sin C ，（1 分）即sin 2 A + sin 2 C - sin 2 B = sin A sin C ，（2 分） a 2 + c 2 - b 21由正弦定理得a 2+ c 2- b 2= ac ，再由余弦定理得cos B == ，（4 分） 2ac2又0 < B < π ，所以 B = π．（6 分）3 a 2+ c 2 - b 2 1（2）因为cos B = = ， b = 2 ，2ac 2 所以a 2 + c 2 - 20 = ac ．（7 分）因为a 2 + c 2 ≥ 2ac ，所以a 2 + c 2 - 20 = ac ≥ 2ac - 20 ，（9 分）所以ac ≤ 20 ，当且仅当a = c 时取“=”．（10 分）所以△ABC 的面积 S = 1 ac sin B ≤ 1 ⨯ 20 ⨯ 3= 5 3 ．2 2 2 所以△ABC 的面积的最大值为53 ．（12 分）18．（12 分）【解析】（1）∵ ∠ABC = 90︒ ，∴ AB ⊥ BC ．又 PB ⊥ BC , PB AB = B ，∴ BC ⊥ 平面 PAB ．（3 分）又∵ PA ⊂ 平面 PAB ，∴BC ⊥ PA ．（5 分）（2）解法一：∵底面ABCD 为直角梯形， AB = AD = 1BC , ∠ABC = 90︒ ，∴ AD BC ．2由（1）知， BC ⊥ 平面 PAB ， BC ⊥ PA ，∴ AD ⊥ 平面 PAB ， AD ⊥ PA ，∴S△PAD=1AD ⋅PA =1AD2 =1，∴AD = 1 ．2 2 2∴AB =AD =PA = 1 ，BC = 2 ，（8 分）∵M 为PB 的中点，∴S =1S =1⨯1⨯AB ⋅AP ⋅sin ∠PAB =3．△MAB 2△PAB 2 2 8设M 点到平面ABCD 的距离为h，由V=V 得1S⋅h =1S⋅BC ．（10 分）3⨯ 2∴ h =S△MAB⋅B C=8 =M -ABC C -MAB3．（12 分）3△ABC3△MABS△ABC1⨯1⨯ 2 42解法二：如图，在平面PAB 内过点M 作MH ⊥AB ，垂足为H ．由（1）知，BC ⊥平面PAB ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面PAB ⊥平面ABCD ，∴MH ⊥平面ABCD ．∴线段MH 的长度即为点M 到平面ABCD 的距离．（8 分）∵底面ABCD 为直角梯形，AD BC ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PA ，∴S△PAD=1AD ⋅PA =1AD2 =1，∴AD = 1 ．（10 分）2 2 2∵M 为PB 的中点，∴MH =1⨯1⨯ sin 60︒=3．（12 分）2 419．（12 分）【解析】（1）这100 名学生笔试成绩的平均分为：162.5⨯ 0.20 +167.5⨯ 0.38 +172.5⨯ 0.24 +177.5⨯ 0.12 +182.5⨯ 0.06 = 169.8 （分）．（4 分）（2）因为第3，4，5 组共有24 +12 + 6=42 （名）学生，所以每组面试的学生有42 ÷ 6=7 （名），依题意，第3，4，5 组的学生分别有7 ⨯4= 4 （名），7 ⨯2= 2 （名），7 ⨯1= 1 （名），（7 分）7 7 7设第3，4，5 组的7 名学生分别为A，B，C，D，E，F，G在这7 名学生中随机抽取2 名的基本事件有：AB，AC，AD，AE，AF，AG，BC，BD，BE，BF，BG，CD，CE，CF，CG，DE，DF，DG，EF，EG，FG ，共21 种，（10 分）其中分数在[175,180) 中至少有1 名学生被抽中的基本事件有：62 y y 1 2 2 ⎨1+ 1 x AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，EG ，FG ，共 11 种，故分数在[175,180) 中至少有一名学生被录像复检的概率为 P = 11．（12 分）21 20．（12 分）【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，则2c = 4 ，所以c = 2 ，（1 分）又椭圆的离心率为 2 ，即 c = 2，所以a = 2 ，（2 分）2 a 2 所以b 2 = a 2 - c 2 = 8 - 4 = 4 ，（3 分）所以椭圆的标准方程为 x2+ = 1．（4 分）8 4 （2）由（1）可知 M (0, 2) ，①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 x =- 1，22 2代入 + = 1，解得 y =± ，（5 分）8 4 不妨设 A (- 1 , 4 62 ) ， B (- 1, -62 ) ，2 4 2 462 - 2 - 62 - 2 此时k MA + k MB =4 1 + 4 1 = 8 ；（6 分） - - 2 2②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，因为 A ，B 两点异于点 M ，所以k ≠ k MN=2 + 2= 8 ， 1 2依题意，直线l 的方程为 y = k (x + 1) - 2 ，2 ⎧ x 2 + y 2 =设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，联立⎪ 8 4⎪ y = k (x + ⎩1， 1 ) - 22消去 y ，整理得(4k 2 + 2)x 2 + 4k (k - 4)x + (k 2 - 8k ) = 0 ，（8 分）所以∆ = [4k (k - 4)]2 - 4(4k 2 + 2)(k 2 - 8k ) = 8k (31k + 8) > 0 ，x 1 + x 2 = -4k (k - 4)4k 2 + 2 k 2 - 8k ， x 1 x 2 =4k 2 + 2 ，由8k (31k + 8) > 0 ，解得k > 0 或 k <- 8，（10 分）31因为 M (0, 2) ，所以k MA + k MB = y 1 - 2 + y 2 - 2 = x 1 y 2 + x 2 y 1 - 2(x 1 + x 2 ) ，x 1 x 2 x 1 x 2因为 x y + x y = x [k (x + 1 ) - 2] + x [k (x + 1) - 2] = 2kx x (k - 2)(x + x ) = -32k，1 2 2 1 1 2 2 1 1 2221 2 4k 2 28 而 k > 0 或k <- 8，且k ≠ 8 ，（11 分）31 所以k 2 - 8k ≠ 0 ，k + k -32k + 8k (k - 4) = x 1 y 2 + x 2 y 1 - 2(x 1 + x 2 ) = 4k 2 + 2 4k 2 + 2= -64k + 8k 2 =所以 MA MB x xk 2 - 8k k 2 - 8k ． 1 24k 2+ 2综上所述， k MA + k MB 是定值，定值为 8．（12 分）21．（12 分）【解析】（1）当a = 0 时， f (x ) = x ln x +1，定义域为(0, +∞) ， f '(x ) = 1 + ln x ，（1 分）令 f '(x ) = 0 得 x = 1，（2 分）e当 x ∈ (0, 1) 时， f '(x ) < 0 ，此时 f (x ) 单调递减，（3 分）e 当 x ∈ (1, +∞) 时， f '(x ) > 0 ，此时 f (x ) 单调递增，（4 分）e∴ f (x ) 在 x = 1 处取得极小值 f (1) = 1 - 1，无极大值．（5 分）e e e（2）①当a = 0 时，由（1）知 f (x )min= f (1) = 1 - 1 > 0 ，所以不等式 f (x ) > 0 恒成立；（6 分） e e ②当0 < a ≤1 时，要证 f (x ) > 0 ，即证 x ln x > a sin x -1在(0, +∞) 上恒成立，令 g (x ) = x - sin x (x ≥ 0) ，则 g'(x ) = 1 - cos x ≥ 0 ， ∴ g (x ) 在[0, +∞) 上单调递增，∴g (x ) > g (0) = 0 在(0，+ ∞) 上恒成立，即 x > sin x 在(0，+ ∞) 上恒成立，（8 分） ∴ ax -1 > a sin x -1 在(0, +∞) 上恒成立， ∵ 0 < a ≤1 ，∴ ax -1 ≤ x -1恒成立，（9 分）只要 x ln x ≥ x -1在(0, +∞) 上恒成立，则不等式得证．令 h (x ) = x ln x - x +1(x > 0) ，则h'(x ) = ln x ，令h'(x ) = 0 ，得 x =1，（10 分）当 x ∈ (0,1) 时， h'(x ) < 0 ，此时h (x ) 单调递减，当 x ∈ (1, +∞) 时， h'(x ) > 0 ，此时h (x ) 单调递增， ∴ h (x )min = h (1) = 0 ，∴ x l n x - x +1 ≥ 0 恒成立，（12 分）即 x l n x ≥ x -1恒成立，∴ x l n x ≥ x -1 ≥ ax -1 > a sin x -1 恒成立，综上， f (x ) > 0 恒成立.（12 分）- ≥ ≥ ⎩22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分）【解析】（1）由题意知边OB 的极坐标方程是θ = 0(0 ≤ ρ ≤ 2) ，边 BC 的极坐标方程是 ρ cos θ = 2(0 ≤ θ ≤ π) ，4边CD 的极坐标方程是 ρ sin θ = 2( π ≤ θ ≤ π) ，4 2边OD 的极坐标方程是θ = π(0 ≤ ρ ≤ 2) .（4 分）2 （2）由题意，设∠POB = θ ，则| OP | cos θ = 2 ， | OP |=2 ，cos θ且| OQ | sin(θ + π) = 2 ， | OQ |= 4 2sin(θ + π )4，（7 分）则△POQ 的面积 S = 1 | OP || OQ | sin ∠POQ = 1 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ sin π =22 2 cos θ sin(θ + π ) 44 cos θ (sin θ + cos θ )= 2 1 sin 2θ + 1 (1 + cos 2θ ) = 4 = sin 2θ + 1 + cos 2θ 4 ≥ 2 sin(2θ + π) + 1 4 2 + 1 = 4( - 1) ， 2 2 4 当 2θ + π = π ，即θ = π时， △POQ 的面积取得最小值4(-1) .（10 分）4 2 823．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）当a =1时， f (x ) ≥ 4 ⇔| x + 1| + | x - 2 |≥ 4 ，⎧x ≤ -1 化为⎨ ⎩1 2x 4 ⎧-1 < x < 2 或 ⎨ ⎩3 4 ⎧x ≥ 2或⎨2x -1 ≥ 4 ，（2 分）解得 x ≤- 3 或 x 无解或 x ≥ 5 ，所以 x ≤- 3 或 x ≥ 5，2 2 2 2所以不等式 f (x ) ≥ 4 的解集为{x | x ≤- 3 或 x ≥ 5} ．（4 分）2 2（2）由题意得 z + 1的取值范围是 f (x ) 值域的子集．y z ∵2 y + z = 1，∴ 4 y + 2z = 1 ， 2∴ z + 1 = z +4 y + 2z = z + 4 y + 2 ≥ 2y z y z y z+ 2 = 6 ，（6 分）当且仅当 z = 4 y ，即 y = 1 , z = 1时，取等号，y z 8 4 ∴ z + 1的取值范围是[6, +∞) ，（7 分） y z由于 f (x ) = |x + a |+|x - 2a | ≥ |(x + a ) - (x - 2a )| = 3 | a | ， ∴ f (x ) 的值域为[3 | a |, +∞) ，（8 分）2 2 z ⋅ 4 yy z由题意得3 | a |≤ 6 ，即| a |≤ 2 ，∴-2 ≤a ≤ 2 ，（9 分）即实数a 的取值范围是[-2, 2] ．（10 分）。

2021年普通高等学校招生全国统一考试新高考八省名校冲刺大联考-数学试题(含答案)

4, DE_lAB, 垂足为E,F 是DE 中点，则
DB =
()
A.
— 1 2
B.
— 3 2
C.— 23
D.1
8.巳知函数f(x)
=产 kx2
(
1
-;:-
+lnx),若
函数f
(
x
)
有三个极值
点，则实数K的取值范围为
（
）
数学试题卷笫1页（共4页）
A.[4e,2e勹UC2e2,+=) C.(4e,2e勹U(2e2, 十=)
O
x
B
, , , ,
E F G! - #$ +(#. +%#+*$ #+*. +(J *
:;4(.#$+%#+*#+$*$%%#+#*+.*.%+
* %
J
*
(.#$+
6
!
,
$ % & # )%' ( ) * + , - &!.
, ,
<=&.#/ #.+%¡I #/+* .+*0+ *%.+*/+
&
* %
(
H,-"&*#) I,-"&*#,-*K "&
, 3*<= "!
, ,
%!!!! " # $ % & ' ( ) * : s = t
-
*#*> I "#%J * + , $+ %. / J * #$ ,

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(十)文科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、是非选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

对每小题的命题作出判断，对的选A ，错的选Ｂ。

1.1225tan -=︒.2.{}{}直四棱柱正四棱柱⊆. 3.直线04=++y x 的倾斜角为︒135. 4.若0=⋅，则=或=.5.若n x x x x ,,,,321⋯的平均数为2，则12,,12,12,12321-⋯---n x x x x 的平均数为4.6.在等比数列{}n a 中，若11=a ，169=a ，则45=a .7.2345sin )15sin(45cos 15cos =︒︒-+︒︒. 8.已知α⊂a ，α⊂b ，则“α⊥m ”⇒“a m ⊥，且b m ⊥”. 9.若直线024=++y ax 与直线01=+-y ax 垂直，则实数2±=a . 10.从4,3,2,1,0中任取3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为60. 二、单项选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(五)文科数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}|2,2,0,1,2A x x B =<=-，则A B =（）A. {}0,1B. {}1,0,1-C.2,0,1,2D.1,0,1,2【答案】A 【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A ，再根据数轴求集合交集. 详解：222,x x <∴-<<，因此A B ={}(){}2,0,1,22,20,1-⋂-=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2.设x ∈R ，则“38x >”是“2x ” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式38x >可得2x >，求解绝对值不等式2x可得2x >或2x <-，据此可知：“38x >”是“||2x >” 的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A. (]1-∞-，B. ()0+∞，C. ()10-，D. ()0-∞，【答案】D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.4.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A. 2y x =- B. y x =-C. 2y x =D. y x =【答案】D 【解析】【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A. ()f x 的最小正周期为π，最大值为3B. ()f x 的最小正周期为π，最大值为4C. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D. ()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果. 6.已知E 为ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB a =，AC b =，过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ma =，AQ nb =，则11m n+=（） A. 3 B. 4C. 5D.13【答案】A 【解析】【分析】由E 为ABC 的重心可得，()13AE AB AC =+，结合已知可用,AP AQ 表示AE ，然后由,,P E Q 共线可求.【详解】解：由E 为ABC 的重心可得，()13AE AB AC =+， ∵AP ma =，AQ nb =，()111133AE AB AC AP AQ m n ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭， ∵,,P E Q 共线，11113m n ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，则113m n+=，故选：A .【点睛】本题主要考查了向量共线基本定理及三角形的重心性质的综合应用，属于中等试题. 7.【四川省成都市2018届三模】将函数()sin f x x =图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移6π个单位长度得到()y g x =的图象，则函数()y g x =的单调递增区间为（） A. 5[2,2]()1212k k k Z ππππ-+∈ B. 5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈ C. 5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ D. 5[,]()66k k k Z ππππ-+∈ 【答案】C 【解析】分析：根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 解析式，再利用正弦函数的单调性列不等式可得()g x 的单调递增区间.详解：将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象，再将所得图象向右平移6π个单位长度，得到函数()2263y g x sin x sin x ππ⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，令222232k x k πππππ-≤-≤+，求得1212k x k π5ππ-≤≤π+，可得函数的增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选C. 点睛：本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图像变换，属于中档题.sin()y A x ωϕ=+的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间. 8.若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则( ) A. a b c >>B. b a c >>C. c a b >>D.b c a >>【答案】A 【解析】因为0.521a =>，π0log 31b <=<，22πlog sin 05c =<，因此选A9. 设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有（） A. [－x] ＝－[x] B. [2x] ＝ 2[x] C. [x ＋y]≤[x]＋[y] D. [x －y]≤[x]－[y]【答案】D 【解析】取 2.5x =，则[][ 2.5]3,[][2.5]2x x -=-=--=-=-，所以A项错误；[2][5]5,2[]2[2.5]4x x ====，所以B 项错误；再取2.8y =，则[][5.3]5,[][][2.5][2.8]224x y x y +==+=+=+=，所以C 项错误.【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题.10.已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430b e b -⋅+=，则a b -的最小值是（）11C. 2D. 2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a 、b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===，则由π,3a e =得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=，由2430b e b -⋅+=得()2222430,21,m n m m n +-+=-+= 因此，a b -的最小值为圆心()2,0到直线y =的距离21，1.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.11.已知函数2018sin ,01()log ,1x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩.若a ，b ，c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是（）A. (1,2017)B. (1,2018)C. (2,2019)D.[2,2019]【答案】C 【解析】【分析】根据题意，在坐标系里作出函数()f x 的图象，根据()()()f a f b f c ==，确定,,a b c 的大小，即可得出a b c ++的取值范围.【详解】解：作出函数的图象，直线y m =交函数图象于如图，不妨设a b c <<，由正弦曲线的对称性，可得(),a m 与(),b m 关于直线12x =对称，因此1a b +=，当直线1y m ==时，由2018log 1x =，解得2018x =，∴若满足()()()f a f b f c ==，（,,a b c 互不相等），由a b c <<可得12018c <<，因此可得22019a b c <++<，即(2,2019)a b c ++∈. 故选：C.【点睛】本题考查代数和的取值范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数对称性性质的合理运用. 12.已知函数{32,0461,0()x e x x x x f x <-+≥= ，则函数2()2[()]3()2g x f x f x =--零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】【分析】首先求得满足()0g x =的()f x 的值，然后结合函数()f x 的图象确定函数()g x 零点的个数即可.【详解】由()()22320f x f x ⎡⎤--=⎣⎦可得：()2f x =或()12f x =-，当0x ≥时，()f x '()21212121x x x x =-=-，当()0,1x ∈时，()f x '0<，()f x 单调递减，当()1,x ∈+∞时，()f x '0>，()f x 单调递增，所以函数在1x =处有极小值()14611f =-+=-，作出函数()f x 的图象如图所示，观察可得，函数()()()2232g x f x f x ⎡⎤=--⎣⎦的零点个数为3.故选B.【点睛】本题主要考查了函数与方程，分段函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于难题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 的中点，若AB x AE y AF =+（,x y R ∈），则x y -=_______. 【答案】2 【解析】分析：先利用平面向量基本定理把,AE AF 表示出来，再由已知得到,x y 的方程组，解方程组即得,x y 的值.详解：由题得11,,22AE AB BE AB AD AF AD DF AD AB =+=+=+=+因为AB x AE y AF =+，所以12,,2202y x y x AB x AB y AD x y ⎧+=⎪⎪⎛⎫⎛⎫=+++∴⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩解之得42,, 2.33x y x y ==-∴-=故答案为2点睛：（1）本题主要考查平面向量的加法法则、平面向量基本定理等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)基底法是平面向量的高频考点，即用两个不共线的向量作为基底表示其它向量，本题用就是选择,AB AD 为基底，表示,AE AF ,使问题迎刃而解. 14.若不等式210x ax ++≥对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是__________．【答案】52-. 【解析】试题分析：不等式210x ax ++≥对一切1(0,]2x ∈成立，等价于1a x x≥--对于一切1(0,]2x ∈成立．设1()f x x x =--，则max ()a f x ≥．因为函数()f x 在区间1(0,]2上是增函数，所以max 15()()22f x f ==-，所以52a ≥-，所以a 的最小值为．考点：1、不等式的解法；2、函数的单调性．【方法点睛】利用分离参数法求解不等式的恒成立问题，前提条件是参数较易从变量中分离出来，基本的解题程序一般分三步：(1)分离参数，得到()a f x ≥(或()a f x ≤)；(2)求函数的最值，得到()max f x ＝)；(3)极端原理，即a m ≥(a n ≤)，把不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题．15.方程()12log 22xa x -=+有解，则a 的最小值为__________. 【答案】1 【解析】【分析】由方程()12log 22x a x -=+有解，利用对数的运算性质转换后可得，方程222x x a --+=有解，即a 值属于222x x --+的范围内，根据求函数值域的办法，我们不难求出实数a 的取值范围. 【详解】解：方程()12log 22x a x -=+有解，即方程222x x a --+=有解，即a 值属于222x x --+的范围内.由于2221x x --+≥=，当且仅当1x =-时取等号，a 的最小值为1，故答案为：1.【点睛】本题考查的知识点是函数零点，若函数有零点，则对应方程有根，如果函数的解析式有含有参数，则可以转化对应方程的形式，将方程改写为参数的函数，然后利用求函数值域的方法，进行求解，属于基础题.16.在ABC ∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且满足sin 4sin 0a A b C -=，A 为锐角，则sin sin 2sin BC A+的取值范围为__________．【答案】⎝⎭【解析】分析：由题意首先利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理得到不等式，求解不等式即可求得最终结果.详解：由40asinA bsinC -=结合正弦定理可得：24a bc =，且sin sin 2sin 2B C b c A a ++=，A 为锐角，则：0cos 1A <<，即222012b c a bc +-<<，据此有：224012b c bc bc+-<<，22042b c bc bc <+-<，22628bc b c bc bc <++<，()268b c bc +<<，即()268161616b c bc +<<，()226816416b c a +<<，据此可得：422b c a ++<<，则2sinB sinC sinA +的取值范围为2⎝⎭.点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．三、解答题：（本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞.【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时， ()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥．由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．18.已知函数()a lnx f x x+=在1x =处取得极值. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的单调性；（2）当[)1,x ∈+∞时，()1m f x x≥+恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减；（2）2m ≤【解析】【详解】分析：（1）由()'110f a =-=，可得1a =，令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）依题意，当[)1,x ∈+∞时，()1m f x x ≥+恒成立，等价于()()11ln x x m x ++≤，令()()()11ln x x g x x ++=，只需()min g x m ⎡⎤≥⎣⎦即可，利用导数研究函数的单调性，可得()()min 12g x g ⎡⎤==⎣⎦，从而可得结果.详解：（1）由题知()21ln 'a x f x x --=，又()'110f a =-=，即1a =， ∴ ()()2ln '0x f x x x-=>，令()'0f x >，得01x <<；令()'0f x <，得1x >，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减.（2）依题意知，当[)1,x ∈+∞时，()1m f x x≥+恒成立，即()()11ln x x m x ++≤，令()()()11ln x x g x x ++=，只需()min g x m ⎡⎤≥⎣⎦即可，又()2ln 'x x g x x -=，令()ln h x x x =-，()()1'101h x x x =-≥≥，所以()h x [)1,+∞上递增，∴ ()()110h x h ≥=>，∴ ()'0g x >，所以()g x 在[)1,+∞上递增， ∴ ()()min 12g x g ⎡⎤==⎣⎦，故2m ≤.点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得a 的最大值.。

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷(三十)数学

2021届全国天一大联考新高考原创预测试卷（三十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题1.已知{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =，则A B =( )A. {}0,2B. {}1,0,2-C. {}|02x x ≤≤D.{}1|2x x -≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为{}|13A x x =-≤<，{}0,2,4,6B =，所以{}0,2AB =.故选：A.【点睛】本题主要考查交集的运算，熟记概念即可，属于基础题型. 2.已知复数z 满足()134z i i +=+，则||z =( )A.B.54C.52D.【答案】D 【解析】【分析】先由题意，得到341iz i+=+，根据复数的除法运算法则，以及复数模的计算公式，即可得出结果. 【详解】因()134z i i +=+，所以()()()()3413434711111122i i i i z i i i i +-+++====+++-+，所以||2z ==. 故选：D.【点睛】本题主要考查求复数的模，熟记复数的除法运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.3.已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝，得到0x <，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出；因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B .【点睛】本题主要考查命题的必要不充分条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.4.(82展开式中4x 项的系数为（）A. 16B. 1C. 8D. 2【答案】B 【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，从而可知当8r =时得到4x 的项，代入通项公式求得结果.【详解】(82-的展开式通项为：(()882188221r rrr rr rr T C C x --+=⋅=⋅⋅-⋅当42r =，即8r =时，()880449821T C x x =⋅⋅-= ∴4x 项的系数为：1本题正确选项：B【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数问题，属于常规题型.5.已知向量(),2a x =，()2,b y =，()2,4c =-，且//a c ，b c ⊥，则a b -=( )A. 3B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，得到440440x y --=⎧⎨-=⎩求出,x y ，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】因为向量(),2a x =，()2,b y =，()2,4c =-，且//a c ，b c ⊥，所以440440x y --=⎧⎨-=⎩，解得：11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,2a =-，()2,1b =，所以(3,1)a b -=-，因此()3a b -=-=故选：B.【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记向量模的坐标表示，向量垂直的坐标表示，以及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为，则PAF △的面积为( )A. B. C. 8D. 【答案】B 【解析】【分析】先由题意，得到抛物线的焦点为(1,0)F ，设抛物线24y x =的准线与x 轴交点为D ，则2DF =，根据直线的斜率，求出4AF =，60AFP ∠=，推出PAF △是边长为4的等边三角形，再由三角形面积公式，即可得出结果. 【详解】由题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设抛物线24y x =的准线与x 轴交点为D ，则2DF =，又直线AF 的斜率为60AFD ∠=，因此24AF DF ==，60AFP ∠=；由抛物线的定义可得：PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为144sin 60432⨯⨯⨯=故选：B.【点睛】本题主要考查抛物线中三角形的面积问题，熟记抛物线的性质即可，属于常考题型.7.已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. c b a << B. a b c << C. b c a << D. b a c <<【答案】C 【解析】【分析】在同一直角坐标系内，作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3xy =，13log y x =的图像，根据图像，即可得出结果.【详解】在同一直角坐标系内，作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3xy =，13log y x =的图像如下：因为31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133logb b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3xy =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图像可得：b c a <<.故选：C.【点睛】本题主要考查由对数函数与指数函数的图像比较大小，熟记对数函数与指数函数的图像与性质即可，属于常考题型.8.已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A. 把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B. 函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C. 函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D. 函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D 【解析】【分析】先由函数图像过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，求出2,6k k Z πϕπ=+∈，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦型三角函数的性质，以及函数的平移原则，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错；B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈，因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数相关结论的判断，熟记正弦型三角函数的性质，以及三角函数的平移原则即可，属于常考题型.二、多项选择题9.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，则能使双曲线C 的方程为221169x y -=的是( ) A. 离心率为54B. 双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭C. 渐近线方程为340±=x yD. 实轴长为4【答案】ABC 【解析】【分析】根据双曲线标准方程的求法，逐项判断，即可得出结果.【详解】由题意，可得：焦点在x 轴上，且5c =；A 选项，若离心率为54，则4a =，所以2229b c a =-=，此时双曲线的方程为：221169x y -=，故A 正确；B 选项，若双曲线过点95,4⎛⎫⎪⎝⎭，则22222812516125a b a b c ⎧⎪⎪-=⎨⎪+==⎪⎩，解得：22169a b ⎧=⎨=⎩；此时双曲线的方程为：221169x y -=，故B 正确； C 选项，若双曲线的渐近线方程为340±=x y ，可设双曲线的方程为：22(0)169x y m m -=>，所以216925c m m =+=，解得：1m =，所以此时双曲线的方程为：221169x y -=，故C 正确；D 选项，若实轴长为4，则2a =，所以22221b c a =-=，此时双曲线的方程为：224121x y -=，故D 错误；故选：ABC.【点睛】本题主要考查由,,a b c 求双曲线方程，熟记双曲线的标准方程及性质即可，属于常考题型.10.已知菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O ．将△ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，下列结论正确的是（） A. BD ⊥CMB. 存在一个位置，使△CDM 为等边三角形C. DM 与BC 不可能垂直D. 直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60° 【答案】ABD 【解析】【分析】画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可．【详解】对A ，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ．将ABD ∆沿BD 折起，使顶点A 至点M ，如图：取BD 的中点E ，连接ME ，EC ，可知ME BD ⊥，EC BD ⊥，所以BD ⊥平面MCE ，可知MC BD ⊥，故A 正确；对B ，由题意可知AB BC CD DA BD ====，三棱锥是正四面体时，CDM ∆为等边三角形，故B 正确；对C ，三棱锥是正四面体时，DM 与BC 垂直，故C 不正确；对D ，平面BDM 与平面BDC 垂直时，直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60︒，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查空间几何体的直线与直线、直线与平面的位置关系的综合判断、命题的真假的判断，考查转化与化归思想，考查空间想象能力． 11.已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()00f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A. 6624f f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪⎪⎝⎭⎝⎭B. ln03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C. 363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】先令()()cos f x g x x =，对函数求导，根据题意，得到()()cos f x g x x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】令()()cos f x g x x =，0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，所以2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因此函数()()cos f x g x x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，因此64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错；又()00f =，所以(0)(0)0cos0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错；又63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以63coscos63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即363f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；又43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43coscos 43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>，即243f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确；故选：CD.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要构造函数，用导数的方法研究函数单调性等，属于常考题型.12.在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A. 函数()y f x =是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C. 函数()y f x =的值域为0,22⎡⎤⎣⎦D. 函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】【分析】根据正方形的运动，得到点(),B x y 的轨迹，作出对应函数图像，根据图像，即可得出结果. 【详解】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆；当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以22为半径的14圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆；当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像；所以函数()y f x =的周期是8；其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确；故选：BCD.【点睛】本题主要考查分段函数的应用，熟记函数的性质，灵活运用数形结合的思想求解即可，属于常考题型.三、填空题13.曲线(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线的方程为__________．【答案】21y x =+ 【解析】(2)212,21x y x e k y x y x =+∴=∴=='-+14.已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.【答案】17【解析】【分析】先由sin cos 11cos 2ααα=-，根据二倍角公式，得到1tan 2α=，再由两角差的正切公式，即可得出结果.【详解】因为sin cos 11cos 2ααα=-，所以2sin cos 2sin ααα=且cos 0α≠，所以1tan 2α=；又1tan()3αβ-=，所以()()()11tan tan 123tan tan 11tan tan 716ααββααβααβ---=--===⎡⎤⎣⎦+-+. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正切公式即可，属于常考题型.15.在四面体S ABC -中，2SA SB ==，且SA SB ⊥，BC =AC =体积的最大值为________，该四面体外接球的表面积为________.【答案】 (1). 30(2). 8π 【解析】【分析】先由题中数据，得到AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，从而得到2OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，进而可求出其外接球的表面积；再由SO AB ⊥，底面三角形ABC 的面积为定值，SO 的长也为确定的值，结合几何体直观图，可得当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，即可求出结果. 【详解】因为2SA SB ==，且SA SB ⊥，5BC =，3AC =，所以222AB SA ==，因此222BC AC AB +=，则AC BC ⊥；取AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则2OA OB OC OS ====，所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为2OC =，所以该四面体外接球的表面积为24(2)8S ππ=⋅=；又因为SA SB =，所以SO AB ⊥；因为底面三角形ABC 的面积为定值11522AC BC ⋅=，SO 的长也为确定的值2，因此，当SO ⊥平面ABC 时，四面体的体积最大，为1303ABC V S SO =⋅=. 故答案为：(1).30(2). 8π【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，以及三棱锥体积的有关计算，熟记三棱锥结构特征，以及球的表面积公式与三棱锥的体积公式即可，属于常考题型.16.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:3l y x =上在第三象限内的点，()10,0B -，以线段AB 为直径的圆C （C 为圆心）与直线l 相交于另一个点D ，AB CD ⊥，则圆C 的标准方程为________.【答案】()()227645x y +++= 【解析】【分析】先由题意，设点(,3),0A m m m <，再由()10,0B -，得到AB 的中点为103,22m m C -⎛⎫⎪⎝⎭，以及以线段AB 为直径的圆C 的方程为：(10)()(3)0x x m y y m +-+-=；联立直线与圆的方程，求出(1,3)D --；根据AB CD ⊥，得到0AB CD ⋅=；进而求出4m =-，即可得出圆的方程.【详解】由题意，设点(,3),0A m m m <，因为()10,0B -，则AB 的中点为103,22m m C -⎛⎫⎪⎝⎭，以线段AB 为直径的圆C 的方程为：(10)()(3)0x x m y y m +-+-=；由(10)()(3)03x x m y y m y x +-+-=⎧⎨=⎩，解得：13x y =-⎧⎨=-⎩，即(1,3)D --；又AB CD ⊥，所以0AB CD ⋅=；因为(10,3)AB m m =---，83,322mm CD -⎛⎫=--⎪⎝⎭所以()83(10)33022m m m m -⎛⎫⎛⎫--+---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：2280m m +-=，解得4m =-或2m =，因为0m <，所以4m =-，所以圆C 的方程为：(10)(4)(12)0x x y y ++++=，整理得：()()227645x y +++=. 故答案为：()()227645x y +++=.【点睛】本题主要考查求圆的标准方程，熟练掌握直线与圆交点坐标的求法，以及圆的标准方程即可，属于常考题型.四、解答题17.在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积. 【答案】（1）6A π=；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题中条件，根据正弦定理，得到222b c a +-=，再由余弦定理，即可求出结果；（2）方案一：选条件①和②，先由正弦定理求出b =再由余弦定理，求出c =进而可求出三角形面积；方案二：选条件①和③，先由余弦定理求出2b =，得到c =，进而可求出三角形面积. 【详解】（1）因为()(sin sin)sin )b a B A c B C -+=-，又由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得 ()())b a b a c c -+=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-，因为0A π<<，所以6A π=.（2）方案一：选条件①和②. 由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin ab B A ==由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222222cos4c c π=+-⨯，解得c =.所以ABC的面积11sin 21222S ac B ==⨯⨯⨯=. 方案二：选条件①和③.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222433b b b =+-，则24b =，所以2b =.所以c =，所以ABC的面积111sin 2222S bc A ==⨯⨯=【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式即可，属于常考题型.18.已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且23a =，1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}2n a +的前n 项和，1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）32342(1)(2)n n n +-++ 【解析】【分析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，根据题中条件，列出方程组求解，得到首项与公差，即可得出通项公式；（2）由（1）的结果，得到22n S n n =+，求出n b ，再由裂项相消法，即可求出数列的和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0.由题意得()()1211134a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩. 所以21n a n =-.（2）依题意得，221n a n +=+，()()()()()123122222n n n S a a a a a -=++++++++++357(21)(21)n n =++++-++2(213)22n nn n ++==+.所以1231n n n T b b b b b -=+++++11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭32342(1)(2)n n n +=-++. 【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，以及数列的求和，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及裂项相消的方法求数列的和即可，属于常考题型.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠=︒，45BCD ∠=︒，2BC AD =.（1）求证：BD PC ⊥；（2）若PC BC =，求平面PAD 和平面PBC 所成的角（锐角）的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26 【解析】【分析】（1）取BC 的中点E ，连接DE ，根据线面垂直的判定定理，证明BD ⊥平面PCD ，进而可得线线垂直；（2）以D 为坐标原点，分别以DB ，DC ，DP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，设1AD =，根据题中条件，分别求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，即可得出结果.【详解】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ，因为2BC AD =，所以AD BE =，又因为//AD BC ，所以四边形ABED 是平行四边形. 因为90ABC ∠=︒所以四边形ABED 是矩形. 所以DE BC ⊥. 又45BCD ∠=︒ 所以12DE CE BC ==. 所以BCD 是直角三角形，即BD CD ⊥. 又PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以BD PD ⊥.又CD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，且PD CD D ⋂=. 所以BD ⊥平面PCD . 又PC ⊂平面PCD ，所以BD PC ⊥.（2）如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz-，设1AD=，则2BC=，由（1）知1DE=，2DC=，2DB=.PC BC=又，所以2PD=所以222,0,0),2,0),2),B C P E⎫⎪⎝⎭所以(2,2,0),BC=-(0,2,2)PC=.设平面PBC的法向量为(),,n x y z=，则n BCn PC⎧⊥⎨⊥⎩所以n BCn PE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220xz⎧-=⎪-=，取1x=，则1y=，1z=，所以平面PBC的一个法向量为()1,1,1n=.又平面PAD 的一个法向量为2222m DE⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭所以26cos,3||||31m nm nm n⋅<>===⨯所以平面PAD和平面PBC所成的角（锐角）的余弦值为63.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.20.近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用33+模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n 名学生进行调查，其中，女生抽取45人. （1）求n 的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对抽取到的n 名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一个不完整的22⨯列联表，请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X ，求X 的分布列及期望.附：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，n a b c d =+++【答案】（1）100n =；（2）联表见解析，有，理由见解析；（3）分布列见解析，209【解析】【分析】（1）根据分层抽样的特征，以及题意，得到451000450n =，求解，即可得出结果；（2）根据题中数据，可直接完善列联表，根据公式求出2K ，结合临界值表，即可得出结果；（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”， 4人选择“地理”. 9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X 可为0，1，2，3，4，分别求出其对应的概率，即可得到分布列，求出期望. 【详解】（1）由题意得451000450n =，解得100n =. （2）2×2列联表为：22100(45202510)8.1289 6.63555457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”， 4人选择“地理”. 9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X 可为0，1，2，3，4，设事件X 发生的概率为()P X ，则44491(0)126C P X C ===，1354492010(1)12663C C P X C ====，2254496010(2)12621C C P X C ====，3154494020(3)12663C C P X C ====，45495(4)126C P X C ===所以X 的分布列为：期望1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查分层抽样，独立性检验，以及离散型随机变量的分布列与期望，熟记分层抽样的概念，独立性检验的基本思想，以及离散型随机变量的分布列与期望的概念即可，属于常考题型.21.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线32y x =与椭圆E 在第一象限内的交点是M ，且2MF x ⊥轴，1294MF MF ⋅=. （1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在斜率为1-的直线l 与以线段12F F 为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆E 相交于C ，D 两点，且||||CD AB ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在， 2y x =-+或2y x =-- 【解析】【分析】（1）由题意，先设()1,0F c -，()2,0F c ，得到3,2M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据1294MFMF ⋅=，求出1c =，31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，再由点M 在椭圆上，得到222219141a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，求解，即可得出结果；（2）先假设存在斜率为1-的直线l ，设为y x m =+，由（1）得到以线段12F F 为直径的圆为221x y +=，根据点到直线距离公式，以及圆的弦长公式得到||AB =线与椭圆方程，根据韦达定理与弦长公式，得到||CD =||||CD AB ⋅=求出m ，即可得出结果. 【详解】（1）设()1,0F c -，()2,0F c ，由题意，得3,2M c c ⎛⎫⎪⎝⎭因为123392,0,224MF MF c c c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得1c =，则31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，又点M 在椭圆上，所以222219141a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）假设存在斜率为1-的直线l ，设为y x m =+，由（1）知，12(1,0), (1,0)F F -，所以以线段12F F 为直径的圆为221x y +=. 由题意，圆心()0,0到直线l的距离1d =<，得||m <||AB ===由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消去y ，整理得22784120x mx m -+-=.由题意，()()2222(8)47412336484870m m m m ∆=--⨯⨯-=-=->，解得27m <，又||m <22m <.设()()1122,,,C x y D x y ，则212128412,77m m x x x x -+==21||7CD x =-==，若||||CD AB ⋅=，77=整理得42436170m m -+=，解得212m =，或2172m =.又22m <，所以212m =，即m =.故存在符合条件的直线l ，其方程为2y x =-+，或2y x =--. 【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，以及椭圆中存在直线满足题中所给条件的问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.22.已知函数()(1ln )x f x e m x =+，其中0m >，()f x '为()f x 的导函数，设()()xf x h x e '=，且()52h x ≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）设函数()f x 的零点为0x ，函数()f x '的极小值点为1x ，求证：01x x >. 【答案】（1）3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对函数()(1ln )xf x e m x =+求导，得到()1ln x m f x e m x x '⎛⎫=++⎪⎝⎭，推出()()1ln x f x m h x m x e x =++'=，求导，得到2(1)()(0)m x h x x x '-=>，解对应不等式，得到()h x 单调性，求出其最小值，再根据()52h x ≥恒成立，即可得出结果；（2）先设()()1ln xm g x f x e m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，求导得22()1ln x m m g x e m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭.设22()1ln (0)m mH x m x x x x=+-+>，对其求导，判定单调性，从而得到函数()g x 单调性，得到2x 是函数()g x 的极小值点，得到21x x =，再由（1）得32m =时，5()2h x ≥，推出所以ln mm x m x+≥，得到()1()0g x g x ≥>，得到函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.【详解】（1）由题设知，()1ln (0)xm f x e m x x x '⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， ()()1ln x f x m h x m x e x =++'=，2(1)()(0)m x h x x x'-=>，由()0h x '>，得1x >，所以函数()h x 在区间(1,)+∞上是增函数；由()0h x '>，得01x <<，所以函数()h x 在区间()0,1上是减函数. 故()h x 在1x =处取得最小值，且()11h m =+. 由于5()2h x ≥恒成立，所以512m +≥，得32m ≥，所以m 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）设()()1ln xm g x f x e m x x ⎛⎫'==++ ⎪⎝⎭，则22()1ln x m m g x e m x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭.设22()1ln (0)m mH x m x x x x=+-+>，则()22332222()0m x x m m m H x x x x x-+'=-++=>，故函数()H x 在区间(0,)+∞上单调递增，由（1）知，32m ≥，所以(1)10H m =+>，11ln 21ln 02H m ⎛⎫=-≤-< ⎪⎝⎭，故存在21,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20H x =，所以，当20x x <<时，()0H x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当2x x >时，()0H x >，()0g x '>，函数()g x 单调递增. 所以2x 是函数()g x 的极小值点.因此21x x =，即11,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭. 由（1）可知，当32m =时，5()2h x ≥，即33521ln 22x x ++≥，整理得1ln 1x x +≥，所以ln mm x m x+≥.因此()11111()1ln (1)0x x m g x g x e m x e m x ⎛⎫≥=++≥+> ⎪⎝⎭，即()0f x '>.所以函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. 由于()10H x =，即121121ln 0m mm x x x +-+=，即121121ln m m m x x x +=-，所以()()()11111021121ln 0x x x f x e m x mef x x -=+=<=. 又函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，所以01x x >.【点睛】本题主要考查由函数最小值求参数，以及导数的方法证明不等式，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，求最值等，属于常考题型.。

2021届全国大教育联盟新高三原创预测试卷(三十)文科数学

2021届全国大教育联盟新高三原创预测试卷（三十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题1.若集合(){}{}2log 2,01A x y x B x x ==+=<<，则AB =（）A. ()2,1-B. (][)2,01,-+∞C. ()1,+∞D. ()()2,01,-+∞【答案】B 【解析】【分析】化简集合A ，即可得答案.【详解】由集合(){}{}2log 22A x y x x x ==+=>-，又因为{}01B x x =<<，所以{20AB x x =-<≤或}1x ≥.故选B.【点睛】本题考查补集，注意全集是集合A ，属于基础题. 2.已知向量()()1,8,2,4x==a b ，若a b ，则x =（）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据平行向量的坐标关系，即可求出x 的值. 【详解】由a b ，得4820x -⨯=，解得1x =-. 故选B.【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 3.若0b a <<，则下列不等式不成立的是（）A. 11a b <B. 2ab b <C. 11a b-<-D. 2ab a -<-【答案】C 【解析】【分析】用作差法，比较各选项差的正负，即可得答案. 【详解】A 中，110b a a b ab --=<，∴11a b<，A 对； B 中，()20ab b b a b -=-<，∴2ab b <，B 对； C 中，110a b a b ab -⎛⎫---=> ⎪⎝⎭，∴11a b->-，C 错； D 中，()()20ab aa ab ---=-<，∴2ab a-<-，D 对.故选C.【点睛】本题考查比较两数的大小关系，属于基础题.4.已知曲线23ln 2x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为A. 3B. 2C. 1D.12【答案】A 【解析】试题分析：令切点坐标为00(,)x y ，且00x >，3y x x'=-，0032k x x =-=，∴03x =. 考点：利用导数求切线斜率. 5.下列说法正确的是（） A. 多面体至少有3个面B. 有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D. 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形【答案】D 【解析】【分析】根据多面体的结构，多面体至少有4个面，故选项A 错误；对于满足选项B 条件的多面体延长各侧棱不一定相交一点，故错误；选项C 底面可能为菱形，故错误；选项D ，分析六棱柱结构特征，可判断正确.【详解】一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4革面，不存在有3个面的多面体，所以选项A 错误；选项B 错误，反例如图1；选项C 错误，反例如图2，上、下底面的全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D 正确. 故选D .【点睛】本题考查多面体的定义，结构特征，属于基础题.6.将函数()23cos 2sin f x x x =+的图象沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的最小值为（） A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】化简()f x ，求出沿x 轴向右平移()0ϕϕ>个单位长度的解析式，再根据所得图像关于坐标原点对称，得到ϕ的所有值，即可求得结果. 【详解】()23cos 2sin 4sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象对应的解析式为sin 3y x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由于4sin 3y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为奇函数，则()3k k πϕπ-+=∈Z ，即()3k k πϕπ=-∈Z ，由于0ϕ>，所以当0k =时，ϕ取得最小值3π. 故选B.【点睛】本题考查三角函数化简、平移、对称性，属于基础题. 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 86π+B. 66π+C. 812π+D. 612π+【答案】B 【解析】由三视图可得该几何体是由圆柱的一半（沿轴截面截得，底面半径为1，母线长为3）和一个半径为1的半球组合而成（部分底面重合），则该几何体的表面积为12π+π2π3236π62S =+⨯⨯+⨯=+.【名师点睛】先利用三视图得到该组合体的结构特征，再分别利用球的表面积公式、圆柱的侧面积公式求出各部分面积，最后求和即可.处理几何体的三视图和表面积、体积问题时，往往先由三视图判定几何体的结构特征，再利用相关公式进行求解.8.若不等式241270x x -->与关于x 的不等式20x px q ++>的解集相同，则20x px q -+<的解集是（）A. 72x x ⎧>⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭B. 1722x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 72x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭D. 7122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】先求不等式241270x x -->的解，得到方程20x px q ++=的两根，求出,p q 值，代入20x px q -+<，即可得答案.【详解】由241270x x -->得()()27210x x -+>，则72x >或21x <-.由题意可得71,2271,22p q ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯- ⎪⎪⎝⎭⎩则17,2217,22p q ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯- ⎪⎪⎝⎭⎩20x px q -+<对应方程20x px q -+=的两根分别为17,22-，则20x px q -+<的解集是7122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭故选;D.【点睛】本题考查一元二次不等式解法，以及一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查计算能力，属于基础题.()751tan165︒-︒=（）A.12B. 1【答案】C 【解析】【分析】化切为弦，利用辅助角公式，化为特殊角，非特殊角相约,【详解】原式()751tan15=︒+︒cos15sin1575cos15︒+︒=︒⋅︒2sin 75cos15⎫︒+︒⎪⎝⎭=︒⋅︒()sin 45cos15cos 45sin152sin 75cos15︒︒+︒︒=︒⋅︒sin 602sin 75cos15︒=︒⋅︒=故选C.【点睛】本题考查非特殊角三角函数值，考查三角函数化简，考查计算能力，属于中档题. 10.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）A. B. C.D.【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若47cos ,cos ,1525A C a ===，则b =（） A.3925B.3625C.65D. 2【答案】A 【解析】【分析】由47cos ,cos ,525A C ==求出sin ,sin ,A C 再求出sin B ，由正弦定理求出b . 【详解】∵A，C 是三角形内角，∴(),0,A C π∈. 又∵47cos ,cos 525A C ==∴324sin ,sin 525A C ==， ∴()37424117sin sin sin cos cos sin 525525125B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=. 又∵1a =，∴1171sin 391253sin 255a Bb A⨯===. 故选A【点睛】本题考查同角间正余弦值互化、两角和正弦公式、正弦定理，属于基础题. 12.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧面SCD ⊥底面ABCD ，SCD 为等腰直角三角形， 2.SC SD ==若点P 在线段(AC 不含端点)上运动，则SP BP +的最小值为( )A. 243- 62C. 243+623 【答案】B 【解析】【分析】由SCD 为等腰直角三角形，且2SC SD ==，可得22CD =，设(022)PC x x =<<，把SP BP +用含有x 的代数式表示，变形后再由其几何意义求解．【详解】如图，SCD 为等腰直角三角形，且2SC SD ==，22CD ∴=(04)PC x x =<<，则2222222222OP x x x x =+-⋅=-+，2222224SP x x x x =+-+=-+， 222842482BP x x x x =+-⋅=-+． 22222448(1)3(2)4SP BP x x x x x x ∴+=-++-+=-++-+．其几何意义为动点(),0x 到两定点()1,3M 与()2,2N 距离和，如图，N 关于x 轴的对称点为()2,2G -，则SP BP +22(12)(32)84362-++=+=．故选B ．【点睛】本题考查棱锥的结构特征，考查空间中点线面间的距离计算，涉及余弦定理及对称问题，考查数学转化思想方法，是中档题．二、填空题13.若命题“[]20001,1,30x x x a ∃∈-++>”为假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】(],4-∞- 【解析】【分析】根据命题的关系，若命题为假，则命题的否定为真，转为为二次不等式恒成立，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，可得[]21,1,30x x x a ∀∈-++≤恒成立，即20,40,a a -≤⎧⎨+≤⎩解得4a ≤-.故答案为:(],4-∞- 【点睛】本题考查命题间的关系、不等式恒成立问题，考查等价转化思想，属于基础题. 14.已知正项数列{}n a 中，若111,1n n na a a n +==+，则数列{}n a 的通项n a =______. 【答案】1n【解析】【分析】根据{}n a 的递推关系，用累乘法，可求出{}n a 的通项. 【详解】因为111,1n n n a a a n +==+，所以11n na n a n +=+，所以2n ≥时，1211211211112n n n n n a a a n n a a a a a n n n-----=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=-， 11,a =满足上式，1n a n=. 故答案为:1n【点睛】本题考查由递推公式求通项，常考的几种求通项的方法要归纳总结，属于基础题.15.设实数x ，y 满足约束条件20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数3z x y =+的取值范围为______.【答案】[]6,10 【解析】【分析】作出可行域，即可求出目标函数的取值范围.【详解】画出可行域，由图可知，当直线30x y z +-=过点()3,1A 时，z 取最小值，则min 6z =；当直线30x y z +-=过点()4,2B 时，z 取最大值，则max 10z =，故目标函数的取值范围是[]6,10.故答案为: []6,10【点睛】本题考查线性规划，线性目标函数取值范围，考查数形结合思想，属于基础题.16.已知三棱锥P ABC -的各顶点均在半径为2的球面上，且3,3,23AB BC AC ===则三棱锥P ABC -体积的最大值为______.33【解析】【分析】根据条件，确定三棱锥P ABC -外接球的球心，求出球心到底面ABC 距离，结合图形，可求出体积的最大值.【详解】设O 为球心，则2OA OB OC ===，可得O 在底面ABC 的射影为ABC ∆的外心.由3,3,3AB BC AC ===可得ABC ∆是以AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，则()2222231OM OC CM =-=-=.当P ，O ，M 三点共线时，三棱锥P ABC -的体积最大，此时体积()1133332132V =⨯⨯⨯⨯+=. 故答案为: 332【点睛】本题考查多面体外接球问题以及体积的最大值，确定球心是解题的关键，属于中档题.三、解答题17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，)2tan 3tan 1tan 1B B B =-+. （1）求角B 的大小；（2）若B 是锐角，224,32b a c =+=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）56B π=或3B π=；（2）43【解析】【分析】（1）由)2tan 3tan 1tan 1B B B =-+，求出tan B ，即可求出角B ; （2）由角B ，224,32b a c =+=，结合余弦定理求出ac 值，即可求出ABC ∆的面积.【详解】（1）∵)2tan 3tan 1tan 1B B B =-+， 232tan 30B B --=，解得3tan B =或tan 3B =又()0,B π∈.∴56B π=或3B π=. （2）∵B 是锐角，∴3B π=.由余弦定理2222cos b a c a B =+-，得2220a c ac b +--=，又224,32b a c =+=，∴16ac =.∴ABC ∆的面积113sin 164322S ac B ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理，面积公式，考查计算能力，属于基础题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D 为棱AC 上一点.（1）若,AB BC D =为AC 的中点，求证：平面1BDC ⊥平面11ACC A ；（2）若1AB ∥平面1BDC ，求AD DC 的值. 【答案】（1）见解析；（2）1【解析】分析】（1）,AB BC D =为AC 的中点，可证BD AC ⊥，再由已知得1CC BD ⊥，可证BD ⊥平面11ACC A ，从而有平面1BDC ⊥平面11ACC A ；（2）由线面平行的性质定理，可把1AB ∥平面1BDC 转化为线线平行，就可证出D 为棱AC 中点.【详解】（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC .∵BD ⊂平面ABC ，∴1CC BD ⊥.∵BA BC=，D为AC中点，∴BD AC⊥.又11,,CC AC C CC AC=⊂平面11ACC A，∴BD⊥平面11ACC A.又BD⊂平面1BDC，∴平面1BDC⊥平面11ACC A.解：（2）连接1B C交1BC于E，连接DE.在三棱柱111ABC A B C-中，四边形11BCC B为平行四边形，∴E为1B C中点.①∵1AB∥平面11,BDC AB⊂平面1ACB，平面1BDC平面1ACB DE=，∴1//AB DE.②由①②可得D为AC中点，∴1ADDC=.【点睛】本题考查空间几何体的平行、垂直证明，熟练掌握有关定理是解题的关键，属于中档题.19.2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x（百辆），需另投入成本()f x万元，且210200,050()100006019000,50x x xf xx xx⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+，即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩，（2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+，当20x 时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-=，当且仅当10000x x=，即100x =时取等号，又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.20.已知等比数列{}n a 的公比1q >，前n 项和为n S ，且14234,216a S S S =+=+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*1n nn b n a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) 12n n a +=．(2) 13322n n n T ++=- 【解析】【分析】（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.【详解】解：（1）由423216S S S +=+，得4313a a =+，则132114,16,a a q a q =⎧⎨=+⎩ ∴2q ，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a +=．（2）由1n n n b a +=， ∴234122212222n n n T ++=++++，① 34521222122222n n n T ++=++++，② ①-②，得 3451211111112222222n n n n T +++=+++++- 132111*********n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+--， ∴1111133122222n n n n n n T ++++=+--=-．【点睛】本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.21.已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有的点向左平行移动2πθθπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度，得到函数()g x 的图象. （1）若23θπ=，求函数()g x 的解析式；（2）若()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调增函数，求θ的取值范围. 【答案】（1）()2cos2g x x =-；（2）211,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）先求出()f x 图象上所有的点向左平行移动2πθθπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度()g x 的解析式，23θπ=代入化简，即可求出结果；（2）先求出()g x 的单调递增区间，0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π是单调递增区间的子集，即可求出θ的取值范围. 【详解】（1）将函数()f x 图象上所有的点向左平行移动θ个单位长度，得到图象对应的函数解析式为()2sin 226g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 当23θπ=时，函数()432sin 22sin 22cos 2632g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）由（1）可得()2sin 226g x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴令()2222262k x k k ππππθπ-≤++≤+∈Z ，解得()36k x k k πππθπθ--≤≤-+∈Z ，可得函数的单调递增区间为(),36k k k πππθπθ⎡⎤---+∈⎢⎥⎣⎦Z . ∵函数()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的单调增函数， ∴0,3,64k k ππθπππθ⎧--≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩解得()312k k k πππθπ-≤≤-∈Z . ∵2πθπ<<， ∴2111,,312k ππθ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦. ∴θ的取值范围为211,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查三角函数平移求解析式，以及利用单调区间求参数，属于中档题.22.已知函数()()()()22312f x a x a x a =--+∈R . （1）求函数()f x 的零点；（2）若1a <，关于x 的不等式()0f x x≥的解集为,T T β∈，求max β的最大值.【答案】（1）见解析；（2）()max max14β= 【解析】【分析】（1）对()f x 进行因式分解，对a 讨论，即可求出()f x 的零点；（2）求出()0f x x≥的解集为,T 将集合T 的最大值表示为a 的函数()d a ，用求导方法求出()d a 的最大值，即为max β的最大值.【详解】（1）()()()()()223221212f x a x a x x a a x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦.令()0f x =，得()()22120x a a x ⎡⎤--+=⎣⎦，所以123210,2a x x x a-===+. 讨论： ①当10a -≠，即1a ≠时，函数()f x 的零点是0，212a a -+； ②10a -=，即1a =时，函数()f x 的零点是0.（2）设()()()()2212f x g x a x a x x==--+. 令()0g x ≥，则()()22120a x ax --+≥，所以2102a x x a -⎛⎫-≤ ⎪+⎝⎭. 又因为1a <，所以2102a a->+，所以关于x 的不等式()0f x x ≥的解集210,2a T a -⎛⎤= ⎥+⎝⎦. 设()()2112a d a a a -=<+，则()()()()()()22222212122222a a aa a d a a a -+--⋅--'==++.令()0d a '=，得1a =1a =+.分析知，当1a <()0d a '>；当11a <<时，()0d a '<，所以函数()212a d a a -=+在区间(,1-∞上单调递增，在区间()1上单调递减. 所以()((()2max 1111421d a d -====+. 又因为T β∈，所以()max max β=【点睛】本题考查函数的零点，考查函数导数的应用，理解题意是解题的关键，属于综合题.。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷(五)文科数学

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（五）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数21i=- A.1+iB.1-iC.2-2iD.2+2i2.设集合22{(,)|1},{(,)|,A x y x y B x y =+==x+y=1},则A∩B 中元素的个数是 A.0B.1C.2D.33. 已知单位向量a, b 满足a ⊥b,则a·（a-b)= A.0B .12C.1D.24.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示: A 、B 、O 、AB 血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如下:根据以上调查数据，则下列说法错误的是A.与非O 型血相比，O 型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A 型血相比，A 型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C. 与O 型血相比，B 型、AB 型血人群对COVID-19的易感性要高D. 与A 型血相比，非A 型血人群对COVID-19都不易感，没有风险 5. 已知3log 21,x ⋅=则4x = A.4B.63log 2.4CD.96.已知在△ABC 中，sinB=2sinAcosC, 则△ABC 一定是 A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形7.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，2018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，如图.若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y 轴上的双曲线22221(0,y x a b a b-=>>0)上支的一部分,且上焦点到上顶点的距离为2,到渐近线距离为22,则此双曲线的离心率为A.2B.3C.22.23D8.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),若f(-1)<1, f(2019)=ln(a-1),则实数a 的取值范围为A. (1, 2)B. (-∞, e+1)C. (e+1, +∞)D. (1, e+1)9.某社区有3个防疫志愿者服务队，每位社区居民参加每个服务队的可能性相同，该社区的甲、乙两位居民均参加其中一个服务队，则这两位居民参加不同服务队的概率为2.3A1.2B1.3C1.6D 10.己知函数f(x)= sin(ωx + φ)( ω>0,02πϕ<<)的最小正周期为π,且关于(,0)8π-中心对称，则下列结论正确的是A. f(1)< f(0)<f(2)B. f(0)< f(2)< f(1)C. f(2)< f(0)<f(1)D. f(2)<f(1)< f(0)11.如图，教室里悬挂着日光灯管AB, AB=90cm, 灯线AC=BD,将灯管AB 绕着过AB 中点O 的铅垂线'OO 顺时针旋转60° 至,A B ''且始终保持灯线绷紧，若旋转后该灯管升高了15cm, 则AC 的长为A.30cmB.40cmC.60cmD.75cm12.已知x 为实数，[x]表示不超过x 的最大整数，若函数f(x)=x-[x], 则函数()()xxg x f x e =+的零点个数为A.1B.2C.3D.4二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知5cossin,225αα-=则sinα=____ 14. 曲线32y x x =-在x=-1处的切线方程为____15.已知12,F F 是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 是椭圆C.上的一点,12120,F PF ︒∠=且12F PF 的面积为43,则b=____.16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为____.三、解答题:共70分。

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷(六)文科数学

2021届全国天一大联考新高三原创预测试卷（六）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．估计sin2020°的大小属于区间（）A ．)0,21(-B ．)21,0(C ．)21,22(--D ．)23,22( 2．已知)}2ln(|{2--=∈=x x y N x A ，}1,|{≤=∈=x e y N y B x ，则(C N A )∩B ＝（）A ．{1，2}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．∅3．设x ∈Z ，集合A 是偶数集，集合B 是奇数集．若命题p ：∀x ∈A ，x-1∈B ，则（）A ．￢p ：∀x ∈A ，x-1∉B B ．￢p ：∀x ∉A ，x-1∉BC ．￢p ：∃x ∉A ，x-1∈BD ．￢p ：∃x ∈A ，x-1∉B4．设锐角△ABC 的三个内角分别为角A ，B ，C ，那么“A +B ＞2π”是“sin B ＞cos A ”成立的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．已知243παπ-<<-，则sin α，cos α，tan α的大小关系为（） A ．sin α＞cos α＞tan α B ．cos α＞sin α＞tan αC ．tan α＞cos α＞sin αD ．sin α＞tan α＞cos α6．设⎩⎨⎧<+≥-=5)),3((5,2)(x x f f x x x f ，则f （3）的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57．设a ＝0.30.2，b ＝0.20.3，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞a ＞c 8．曲线x x y ln 2-=在x ＝1处的切线的倾斜角为α，则)22cos(πα-的值为（） A ．54 B ．54- C ．53 D ．53- 9．已知奇函数f （x ）与偶函数g （x ）满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且g （b ）＝a ，则f （2）的值为（）A ．a 2B ．2C ．415D ．417 10．函数||ln 8)(4x x x f =的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．11．f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，0)()(<'⋅+x f x x f ，且0)3(=-f ，则不等式f （x ）＜0的解集为（）A ．（﹣3，0）∪（3，+∞）B ．（﹣3，0）∪（0，3）C ．（﹣∞，3）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）12．已知f （x ）是R 上的偶函数，f （x +π）＝f （x ），当20π≤≤x 时，f （x ）＝sin x ，则函数||lg )(x x f y -=的零点个数是（）A ．12B ．10C ．6D ．5第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13．集合A ＝{1，3}，B ＝{1，2，a }，若A ⊆B ，则a ＝．14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝)(212矢矢弦+⨯．弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为32π，弦长等于9m 的弧田．按照上述经验公式计算所得弧田的面积是 m 2．15．若关于x 的不等式1ln ≤+x ax 恒成立，则a 的最大值是．16．函数)32(log 2sin +-=mx x y θ(其中)2,0(πθ∈)在区间)1,(-∞上递增，则实数m 的取值范围是．三．解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）已知集合A ＝{x |2a ﹣1＜x ＜a +1}，B ＝}10|{≤<x x ．（1）若a ＝1，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．18．（本题满分12分）如图，以Ox 为始边作角α与β（0＜β＜α＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为)54,53(-。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2021届全国大联考新高考原创预测试卷（三十）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 设全集{|0}U x x =∈>R ，函数()1ln f x x =-A ，则UA 为A. (,)e +∞B. [,)e +∞C. (0,)eD. (0,]e2. 复数12,z z 满足12||||1z z ==，12||2z z +，则12||z z -= A. 1 B. 2 C. 2 D. 223. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l α⊥，αβ⊥，则//l β； ②若//l α，//αβ，则//l β； ③若l α⊥，//αβ，则l β⊥； ④若//l α，αβ⊥，则l β⊥. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2C. 3D. 44. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A. 1030020(())a x a x a a x +++的值B. 3020100(())a x a x a a x +++的值C. 0010230(())a x a x a a x +++的值D. 2000310(())a x a x a a x +++的值5. 已知x 、y 取值如下表：A. 0.95B. 1.00C. 1.10D. 1.15 6. 已知p ：“函数()f x 为偶函数”是q ：“函数(())g f x 为偶函数”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为A. 163π+B. 326π+C. 6412π+D. 646π+8. 在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c，若22a b -=，sinC B =，则A =A.6π B. 3π C.23π D.56π 9. 函数||()x f x x e =⋅的大致图象为10. 若等差数列{}n a 前n 项和n S 有最大值，且11121a a <-，则当n S 取最大值时，n 的值为 A. 10B. 11C. 12D. 1311. 已知,x y 满足041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，且12z x y =+的最大值是M ，最小值是m ，若3Ma mb +=(,a b 均为正实数)，则21a b+的最小值为正视图侧视图A. 4B.92C. 8D. 9 12. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若212||||8PF PF a ⋅=，且12PF F ∆的最小内角为30，则双曲线C 的离心率是A.2B. 2C.3D. 3第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 已知向量(1,2)x =-a ，(2,2)y =b ，且⊥a b ，则||+a b 的最小值为________. 14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+与()g x 的图象关于直线6x π=对称，将()g x 的图象向左平移ϕ(0)ϕ>个单位后与()f x 的图象重合，则ϕ的最小值为__________.15. 给出下列5种说法： ①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小，样本数据的波动也越小； ③回归分析研究的是两个相关事件的独立性；④在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好. 其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）. 16. 如图，在三棱锥A BCD -中，ACD ∆与BCD ∆都是边长为2的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三棱锥外接球的表面积为________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分）如图，一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直)，在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为,α沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处，测得C 的仰角为β. (1) 求BC 的长； (2) 若24,45,75,30,l αβθ︒==︒==︒求信号塔CD 的高度. 18. （本小题满分12分）API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200](200,250] (250,)+∞ 天数 6 12 22 30 14 16(1) 若将API 值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率； (2) API 值对部分生产企业有着重大的影响，，假设某企业的日利润()f x 与API 值x 的函数关系为：40150()15150x f x x ()⎧=⎨(>)⎩≤（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天A E DCB αβθ中选出5天，再从这5天中任取3天计算企业利润之和，求利润之和小于80万元的概率.19. （本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为棱11A B 的中点，E 为1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =.(1) 求证：EF 平面1BC D ； (2) 求点D 到平面1EBC 的距离.20. （本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅.(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 的直线与轨迹C 交于点,A B 两点，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求证：NF AB k k ⋅为定值.21. （本小题满分12分）已知函数1ln ()xf x x+=. (1) 若函数()f x 在区间1(,)2a a +上存在极值，求正实数a 的取值范围；(2) 如果当1x ≥时，不等式()1kf x x +≥恒成立，求实数k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AD ，作BD AD ⊥，与该圆交于点E，若AD =2DE =.(1) 求圆O 的半径；(2) 若点H 为BC 中点，求证,,O H E 三点共线.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-.(1) 求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；(2) 求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.(1) 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；(2) 在(1)条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.A 1B 1C 1ABCED答案一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1. A2. B3. A4. C5. C6. A7. C8. A9. A 10. B 11. B 12. C 简答与提示：1. 【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A {|1ln 0}{|0}A x x x x e =-=<≥≤，则(,)U A e =+∞．故选A. 2. 【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】B 根据复数的几何意义，由题意，可将12,z z 看作夹角为90︒的单位向量，从而12||z z -=，故选B.3. 【命题意图】本小题主要考查空间线和面的位置关系，对于特殊位置要提示考生多加论证，多举反例.【试题解析】A 易知③正确，故选A.4. 【命题意图】本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化.【试题解析】C 由秦九韶算法，0010230(())S a x a x a a x =+++，故选C.5. 【命题意图】本小题主要考查线性回归方程的性质和应用，对学生的数据处理能力提出一定要求.【试题解析】C 由题意知，4,5x y ==，从而代入回归方程有 1.10b =，故选C .6. 【命题意图】本小题主要借助条件逻辑的判定，考查函数的性质以及对复合函数奇偶性的判定等问题.【试题解析】A 当()f x 为偶函数时，可得(())(())g f x g f x -=，故p 是q 的充分条件；而当(())g f x 为偶函数时，不能推出“()f x 为偶函数”成立，如3()||,()g x x f x x ==，3(())||g f x x =是偶函数，而()f x 不是偶函数，故选A.7. 【命题意图】本小题主要考查立体几何中的三视图问题，并且对考生的空间想象能力及利用三视图还原几何体的能力进行考查，同时考查简单几何体的体积公式.【试题解析】C 该几何体可看成以正视图为底面，4为高的棱柱与半圆柱的组合体，从而其体积为4(163)6412+=+ππ，故选C.8. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A由正弦定理得c =，a =，再由余弦定理可得cos A =，故选A.9. 【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除,B C ；又由于当0x >时，x e 的增加速度快，故选A.10. 【命题意图】B 本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前n 项和的理解，理解等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】由等差数列的前n 项和有最大值，可知0d <，再由11121aa <-，知11120,0a a ><，从而使n S 取最大值的11n =，故选B. 11. 【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能，而且本题另外的一个重要考点是基本不等式的应用，此类问题也是非常典型的常规问题.【试题解析】B由题可求得，33,2M m ==，从而12ba +=，2121559()()22222b b a a a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当23a b ==时取“=”，故选B. 12. 【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点P 在双曲线右支，12,F F 分别为左，右焦点，有12||||2PF PF a -=，由212||||8PF PF a ⋅=，可得12||4,||2PF a PF a ==，由12||22F F c a =>知，12PF F ∆的最小内角为1230PF F ∠=︒，从而12PF F ∆为直角三角形，1290F F P ∠=︒，此时双曲线离心率e =，故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13. 3 14. 6π15. ②④⑤16.203π 简答与提示：13. 【命题意图】本小题是向量的简单应用，对向量计算的掌握是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】由a b ⊥得12xy =，||1(23a b +=+≥=，故||a b +的最小值为3.14. 【命题意图】本小题主要考查三角函数的对称，图像的平移以及三角函数最值的求取，属于基本试题.【试题解析】函数()g x 的解析式为()sin 2g x x =，其图象向左平移ϕ个单位后对应解析式为sin(22)y x ϕ=+，从而223k πϕπ=+，即()6k k N πϕπ=+∈，所以min 6πϕ=.15. 【命题意图】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.16. 【命题意图】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题. 【试题解析】取,AB CD 中点分别为,E F ，连接,,EF AF BF ，由题意知,AF BF AF BF ⊥=，EF ，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，连接,OA OC ，有222222,R AE OE R CF OF =+=+，求得253R =，所以其表面积为203π.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-.(6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒.(12分)18. 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差. 本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为0.40.40.16⨯=. (6分)(2) 利用分层抽样后利润等于40万元的天数为2，并设为,A B ，利润等于15万元的天数为3，并设为,,a b c ，从中取出3天的结果可能有以下10种：ABa 、ABb 、ABc 、Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc .其中Aab 、Aac 、Abc 、Bab 、Bac 、Bbc 、abc 共7种利润之和不足80万元.因此利润值和小于80万元的概率为710. (12分)19. 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、空间点面距离的求法. 本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1) 证明：由1112DB AF BB AE ==，可知//EF BD ， 11////EF BDEF BC D BD BC D ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面.(6分)(2) 由题可知111132EBD ABB A A DE ABE BDB S S S S S ∆∆∆∆=---=.1111111111111111A A A B C A A C D C D ABB A C D A B C C D A B ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎭⎪ ⊥⎭平面平面平面则1113C EBD EBD V S C D -∆=⋅= 1EBC ∆中，EC =EB =，1BC =1EBC S ∆=11132C EBD EBC V S h h -∆=⋅==，则4h =(12分)20. 【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取. 本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求. 【试题解析】解(1) 设(,)P x y ，则(1,)H y -，有(1,0),(2,),(1,),(2,)HP x HF y FP x y FH y =+=-=-=-，从而由题意得24y x =.(4分)(2) 证明：设点000(,)(0)M x y x ≠为轨迹C 上一点，直线000:()m y k x x y =-+为轨迹C 的切线，有20004()y x y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得，20000440k y y k x y --+=，其判别式0000164(44)0k k x y ∆=--+=，解得002k y =，有002:2y m y x y =+ * 设1122(,),(,)A x y B x y ，:(1)AB y k x =-，联立有24,(1)y xy k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 得，2440ky y k --=，有124y y k+=，124y y ⋅=-根据*式有112:2y NA y x y =+，222:2y NB y x y =+，解得2(1,)N k-，从而20111NF AB k k k k -⋅=⋅=-+，为定值. (12分)21. 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况. 本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为(0,)+∞，2211ln ln ()x xf x x x--'==-. 令()0f x '=，得1x =；当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，1x =为极大值点，所以112a a <<+，故112a <<，即实数a 的取值范围为1(,1)2. (6分)(2)当1x ≥时，(1)(1ln )x x k x ++≤，令(1)(1ln )()x x g x x ++=，则221[1ln 1](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x+++-++-'==.再令()ln h x x x =-，则1()10h x x'=-≥，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0g x '>，所以()g x 为单调增函数，所以()(1)2g x g ≥=，故2k ≤.(12分)22. 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明，具体涉及到圆的切线的性质，切割线定理等内容. 本小题重点考查考生对平面几何推理能力.【试题解析】解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC = AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ===. (5分) (2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形OADB 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点，所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. (10分)23. 【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(5分)(2) 设(1cos2,sin 2)P αα+，则P 到2C 的距离|2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d 1，此时P 点坐标为(1.(10分) 24. 【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式求解的相关知识以及不等式证明的相关知识. 本小题重点考查考生的逻辑思维能力与推理论证能力. 【试题解析】解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =. (5分)(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥，从而实数4m ≥. (10分)。