第二章 一维杆中的应力波

第二章 一维杆中的应力波-物理问题
§2.1 物理问题
讨论一维杆中纵波的传播问题
假设：① 变形前后横截面为平面 ② 只有均布轴向力 各参量 , , u , v 为X 、t 的函数
ห้องสมุดไป่ตู้
(1) 微元体的运动方程： X X A A X u tt 即
二 、 物理意义和初值影响区间
F (P) 1 2
F ( B ) F ( A)
1 2C

B A
Ft ( Q ) d
若 Ft ( Q )
0
F (P)
F (P) 1 2
依赖于 A , B 区间的初值.
若 Ft ( Q ) 0
F (B ) F ( A)
P点的依赖区间 A , B
v X v t v X X t
2
0 X v t t 0 dt dv dt d
1 0 dX 0 0 1 dt 0 0 C0 0 dX
2
C0
dX dX
v X 1 v 0 t 0 dt X t
积分
1 1 (X ) f (X ) 2 C 1 1 (X ) f (X ) 2 C

X a
g ( )d （2-16） g ( )d

X a
代入（2-14）中得到原初值问题的解为：
F ( X ,t)
1 2
1 2
f (X
Ct) f ( X Ct)
1 v v 1 1 0 t 2 2 X t 2 X
即有
dv dt

1 d 2 dt
0
dv dt

v dX X dt

v t
C
v X

v t
从而得
dv Cd dv Cd
3
一般情况下, ( ) 是连续可微函数, 设一阶导数为非零正数, 引入
C
2

1 d
d d
d
v t
t
0
由(2-1)和(2-3)消去
,
C
2
X
(2-4)
或(2-2)和(2-3)消去
C
2
v X
(2-5)
X C 2 t v t v X
0 0 dv d
12
第二章 一维杆中的应力波-特征线
若曲线为特征线,上述方程的解不确定,则应有
1 0 1 dt 0 0 C0 0 dX
2
1 2 3 4 0
1 0 0 dt 0
0
即
0 dX 0
d X C 0 d t 特征线方程
1 2 3 4 0
dv C 0d
相容条件
13
例2-1: 利用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特 征相容关系. v
X t v C 2 t X
或
上式规定了在特征线上必须满足的相互关系,称为特征线上 的相容关系.解线性偏微分方程的问题就完全等价地化为解 特征方程和特征线上的相容关系.
10
第二章 一维杆中的应力波-特征线
小结: 二阶线性偏微分方程,有两条实特征线 相容关系 正向特征线:
dX C 0dt
dv C 0d
d C 0dv
v X

t
(2-2)
2
(3) 材料的本构关系
材料的本构关系,先限于讨论应变率无关理论,则作另一个假 定:应力只是应变的函数,即
( )
(2-3)
由于应力波速很高,在应力波通过的微元体的时间内,微元体 尚未与周围介质交换热量,可近似认为绝热过程.本构关系是绝
热的本构关系.
关于变量 , , v 的封闭控制方程组由(2-1),(2-2)和(2-3)组 成.杆中应力波的传播问题即是从这些基本方程组中,按给定的 ( 初始条件和边条件来求解三个未知函数X , t ), ( X , t ), v ( X , t )
21
第二章 一维杆中的应力波-初边值问题
F ( X ,t) ( X Ct) ( X Ct)
初始值分解:
1 1 ( X ) F ( X , 0) 2 C 1 1 ( X ) F ( X , 0) 2 C

X a
Ft ( , 0 ) d Ft ( , 0 ) d
19
影响区域示意图
X1 Ct X X 2 Ct
20
第二章 一维杆中的应力波-初边值问题
沿 L : X C t 常数,则 =常数; 沿 R : X C t 常数,则 =常数;
A点的初始值分解成对应于 和 两部分，则这两部 分分别沿着直线L 和R的数值不变地传播出去。
(1) (2)
解: 由方向导数的定义, 上述偏微分方程组线性组合为
1
v X 2 v t 2C
2
X
1
t
0
(3)
v,
所对的特征方向应相同,
dX dt
1 2

2C 1
2
14
可得
1 2
C
代入得特征线方程 dX Cdt
(3)式可写为
把(2-12) (2-13)代入（2-10）： F 0
2
上式对 、 各作一次积分得：F ( , ) ( ) ( )
方程（2-10）的通解为： X , t ) ( X C t ) ( X C t ) （2-14） F(
(2-14)代入初始条件(2-11)式得: 其中:
负向特征线: d X C 0 d t d v C 0 d d C 0 d v
t
物理平面(X，t) 速度平面 ( v , )
dX C 0dt
dX C 0dt
( , v )
X
11
第二章 一维杆中的应力波-特征线
特征线的另一种求解方法:不定线法 概念：沿(X,t)平面有这样的曲线,由沿此曲线上给定的初值及偏微 分方程一起不足以确定全部偏导数的话,则此曲线称为特征线.
第二章 一维杆中的应力波-弹性杆中波的传播
• 2.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射）
一 特征线和相容关系
u （1）式 的通解为：( X , t ) ( X
C0
2
u
2
X
2

u
2
t
2
（1）
C 0 t ) ( X C 0 t ) ( ) ( )（2）
d d
t0
（2-15） C ( X ) ( X ) g ( X )
(X ) (X ) f (X )
( X )
( X )
d d
t0
17
第二章 一维杆中的应力波-初边值问题
(2-15)式可解出:
1 1 ( X ) f ( X ) g(X 2 C 1 1 ( X ) f ( X ) g(X 2 C ) )

2
(2-7)
X
2


2
t
2
同理可推出
C0
2
v
2
X
2

v
2
t
2
(2-8)
线弹性杆中 , , v , u 都满足形式为(2-8)的二阶偏微分方程， 从不同的侧面表达了一维杆中波的传播规律。
5
若把

u X
和
v
u t
代入 (2-4)中,则问题可完等价地归结
为求解以位移为未知函数的二阶偏微分方程,即波动方程
或 dX C 0dt
由(2)得:
C0
特征线微分方程,积 分可得特征线.
9
回代 C 0
dv d
u
2
t
2
dt ( dt dX )
u
2
X t

u
2
X
2
dX 0
只包含特征线方向微分的常微分方程
dv C 0d
E
d C 0dv
X
u tt
X
ut v
也可写成
vt 或
X

v t
(2-1)
(2) 连续方程 应变 和质点的速度v 分别是位移对X,t 的一阶导数,由位移 u的单值连续条件即可得到联系 和v 的相容性方程,即连续 方程
u X v u t
4
问题化为求解一阶偏微分方程组
v X v C2 t

t
或

X
第二章 一维杆中的应力波-物理问题
或由(2-1)、(2-2)消去 v 可得 (2-7)(2-6) 消去 则得
C0
2
XX
tt
(2-6)
若对于线弹性材料,本构关系 E
线性组合
dv d u
2
t
2
dt ( dt dX )
2
u
2
X t

2
u
2
X
2
dX 0
与波动方程(2-9)对比:
1 dt 0
C0
2