高等代数北大版64
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§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
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③
又由基 ? 1 , ? 2 ,L , ? n到? 1 ,? 2 ,L ,? n 也有一个过渡矩阵 ,
设为B，即 (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) ? (? 1 , ? 2 ,L , ? n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
Βιβλιοθήκη Baidu
§6.4 基变换与坐标变换
(? 1, ? 2 ,L , ? n ) ? (? 1, ? 2 ,L , ? n )BA
§6.4 基变换与坐标变换
2、V为数域 P 上 n 维线性空间，? 1,? 2,L ,? n ；
?1, ? 2 ,L , ? n 为V中的两组向量，若
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§6.4 基变换与坐标变换
2) ? 1 ,? 2,L ,? n；? 1, ? 2,L , ? n为V中的两组向量，
矩阵 A, B ? P n? n，则
((? 1,? 2 ,L ,? n ) A)B ? (? 1,? 2,L ,? n )( AB)；
(? 1,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1,? 2,L ,? n )B
? (? 1,? 2 ,L ,? n )( A ? B)；
(? 1 ,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1 , ? 2 ,L , ? n ) A
? (? 1 ? ? 1,? 2 ? ? 2 ,L ,? n ? ? n ) A ；
若? 1 ,? 2 ,L ,? n 线性无关，则
(? 1,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1,? 2 ,L ,? n )B ? A ? B.
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1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 ? 1 ,? 2 ,L ,? n; ? 1 , ? 2 ,L , ? n 为V的两组基,
且由基 ? 1 ,? 2 ,L ,? n到? 1 , ? 2 ,L , ? n 的过渡矩阵为 A，
即 (? 1 , ? 2 ,L , ? n ) ? (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) A
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若? 1,? 2,L ,? n 线性无关，则
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§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
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a22 L an2
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§6.4 基变换与坐标变换
注： 在形式书写法下有下列运算规律
? an1?n ? an2?n
LLL
? ann?n
①
即，
§6.4 基变换与坐标变换
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,?n?) ? (?1,?2 ,L
,
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②
则称矩阵
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为由基 ?1 ,?2 ,L
,?n到基 ?1?,?2?,L
,
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n
的过渡矩阵
；
称 ① 或 ② 为由基 ?1 ,?2 ,L ,?n到基 ?1?,?2?,L ,?n?
的基变换公式 ．
§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
引入
我们知道，在 n维线性空间 V中，任意 n个线性 无关的向量都可取作线性空间 V的一组基． V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的 .
(? 1 ,? 2 ,L ,? n ) ? (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) AB Q ? 1 ,? 2 ,L ,? n; ? 1 , ? 2 ,L , ? n 都是线性无关的 ,
? AB ? BA ? E . 即，A是可逆矩阵 ,且A－1＝B.
反过来，设 A ? (aij )n?n 为P上任一可逆矩阵， 任取V的一组基 ? 1 ,? 2 ,L ,? n ,
一、向量的形式书写法
1、V为数域 P上的 n 维线性空间，? 1,? 2 ,L ,? n 为
V 中的一组向量， ? ? V ，若
? ? x1? 1 ? x2? 2 ? L ? xn? n
则记作
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③
又由基 ? 1 , ? 2 ,L , ? n到? 1 ,? 2 ,L ,? n 也有一个过渡矩阵 ,
设为B，即 (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) ? (? 1 , ? 2 ,L , ? n )B
④
比较③ 、④两个等式，有
Βιβλιοθήκη Baidu
§6.4 基变换与坐标变换
(? 1, ? 2 ,L , ? n ) ? (? 1, ? 2 ,L , ? n )BA
§6.4 基变换与坐标变换
2、V为数域 P 上 n 维线性空间，? 1,? 2,L ,? n ；
?1, ? 2 ,L , ? n 为V中的两组向量，若
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§6.4 基变换与坐标变换
2) ? 1 ,? 2,L ,? n；? 1, ? 2,L , ? n为V中的两组向量，
矩阵 A, B ? P n? n，则
((? 1,? 2 ,L ,? n ) A)B ? (? 1,? 2,L ,? n )( AB)；
(? 1,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1,? 2,L ,? n )B
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(? 1 ,? 2 ,L ,? n ) A ? (? 1 , ? 2 ,L , ? n ) A
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若? 1 ,? 2 ,L ,? n 线性无关，则
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1）过渡矩阵都是可逆矩阵；反过来，任一可逆 矩阵都可看成是两组基之间的过渡矩阵．
证明：若 ? 1 ,? 2 ,L ,? n; ? 1 , ? 2 ,L , ? n 为V的两组基,
且由基 ? 1 ,? 2 ,L ,? n到? 1 , ? 2 ,L , ? n 的过渡矩阵为 A，
即 (? 1 , ? 2 ,L , ? n ) ? (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) A
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§6.4 基变换与坐标变换
二、基变换
1、定义 设V为数域P上n维线性空间，?1 ,?2 ,L ,?n ；
?1?,?2?,L ,?n? 为V中的两组基，若
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§6.4 基变换与坐标变换
注： 在形式书写法下有下列运算规律
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①
即，
§6.4 基变换与坐标变换
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②
则称矩阵
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；
称 ① 或 ② 为由基 ?1 ,?2 ,L ,?n到基 ?1?,?2?,L ,?n?
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§6.4 基变换与坐标变换
2、有关性质
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.4 基变换与坐标变换
一、向量的形式书写法 二、基变换 三、坐标变换
§6.4 基变换与坐标变换
引入
我们知道，在 n维线性空间 V中，任意 n个线性 无关的向量都可取作线性空间 V的一组基． V中任 一向量在某一组基下的坐标是唯一确定的，但是在 不同基下的坐标一般是不同的．因此在处理一些问 题是时，如何选择适当的基使我们所讨论的向量的 坐标比较简单是一个实际的问题．为此我们首先要 知道同一向量在不同基下的坐标之间有什么关系， 即随着基的改变，向量的坐标是如何变化的 .
(? 1 ,? 2 ,L ,? n ) ? (? 1 ,? 2 ,L ,? n ) AB Q ? 1 ,? 2 ,L ,? n; ? 1 , ? 2 ,L , ? n 都是线性无关的 ,
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反过来，设 A ? (aij )n?n 为P上任一可逆矩阵， 任取V的一组基 ? 1 ,? 2 ,L ,? n ,