第二章无限期限和世代交叠模型

nt
U=
∫ ∫
t =0 e
1−θ
H
dt
c(t )1−θ L(0)e nt ] dt = t∞ 0 e − ρt [ A(0)1−θ e (1−θ ) gt = 1−θ H L(0) ∞ − ρt (1−θ ) Rt nt c(t )1−θ = A(0)1−θ e e dt t =0 e H 1−θ c(t )1−θ （2.12） = B t∞ 0 e − βt dt = 1−θ
C的初始值
◆K的初始值是给定的，c的初始值必须被决定。
图2.3 表明在给定c和k的初始值时，为满足家 庭的跨期最优化条件。以及连接k的变化与产出 和消费的方程。C与k如何地必须随时间而演化； k的初始值是给定的，但是C的初始值必须被决 定。
◆这个问题在图2.4中被强调。当k被给定时，假
定c的各种可能值，最后得到c的唯一取值。
（ lim ∞ e R ( s ) e n + g）s k ( s ) ≥ 0 s
c A
B C F
k ( 0)
D
ɺ c=0
k
如果经济由与D点类似的点开始，最终k会超过黄金资本存 量水平。过了这个时刻，实际利率 f ′( k ) < n + g 因而 日益上升。由于k也是发散的。因此 lim ∞ e − Rs e ( n + g ) s k ( s ) s − R( s) (n+ g )s e k ( s ) 趋于无穷大。即等价于较之 发散。因此 e 家庭的终身消费的贴现值，其终身收入的贴现值是无穷大 大。 最后，如果经济从F开始，k收敛于 k ∗ 。 因此r 收敛 于f ′(k) = ρ +θg 。最终地， e − R ( s ) e ( n + g ) s 正在以 ρ−n−(1−θ)g=β >0 的速率下降.由点F开始的路径也是唯一可行的路径。
∞ e − ρt u (C (t )) t =0
L(t ) dt（2.1） H
C (t ) u (C (t )) = 1−θ
1−θ
θ > 0, ρ − n − (1 − θ ) g > 0
（2.2）
这个函数是著名的相对风险厌恶不变函数。
拉卡库模型的假设
厂商：
◆厂商的数量众多，生产函数为Y=F(K,AL),其特征与
（2.10）表明，在极限时形式中家庭所持 有资产的现值不能是负的。 这就是著名的非蓬齐条件。
家庭最大化问题
代表性家庭想在其预算约束限定下最大化其终身效用。为做到这一 点，我们需要用每单位有效劳动的消费与劳动去表示目标函数与预 算约束 将c(t)设为每单位有效劳动的消费。因此每工人的消费C(t),等于 A(t)c(t).家庭的瞬时效用函数等于：
∫
∞ t = 0 w(t )
( n + g )t A(t)L(t) 等于 A(0)L(0)e 。把这个事实带入 (2.13)，并给 两边除以A(0)L(0)/H。从而得到：
A(t)L(t) dt H （2.13）
∫
∞ − Rt ( n + g )t c(t )e dt t =0 e
≤ k (0) +
直觉上欧拉方程描述了在给定c(0)时，c必须如何随时间变化：如果c不按(2.20) 演化。那么家庭会在不改变终身消费的现值的条件下，用提高终身生效用的方式 重新安排其消费。 c(0)的选择因此按如下决定，即在所形成的路径上终身消费的现值等于其初始财 富与未来收入的现值之和。当c(0）太低时，其消费支出不会用尽其财富。当c(0) 太高时，消费支出大于其可用尽的终身财富。因此这种路径是不可行的。
第一章的假设相同。
◆ 厂商所处的要素市场和产品市场是竞争性的。 ◆厂商将A当做是固定的，A以g 的速率外生的增长。
θ
的作用
θ 决定在不同期间的意愿， 其越小，随着消费的上升， θ
边际效用的下降越慢，家庭越容许其消费随时间而变动。 如果θ 接近于零，例如效用关于C几乎是线性的，并因此 C 家庭更愿意接受其消费的更大的变动，以便充分利用其 贴现率与从储蓄中获得的报酬率中的微小差额。 2 特别地，在任何时间点上消费替代性等于1/θ 。
−R(t ) (n+ g)t
e
c(t)]
（2.16）
对于每一个单个的C(t)，一阶条件是
Be
c(t )
−θ
= λe
− Rt ( n + g ) t
e
（2.17）
为明白（2.17）对消费行为的含义，首先给上式两边取对数
ln B − βt − θ ln c(t ) = ln λ − R (t ) + (n + g )t = ln λ −
s →0
K ( 0) [ + H
∫
S
t =0
e
− R (t )
在s 时刻，家庭和资本持有量为：
K (s) R( s ) K (0) =e + H H
s →∞
∫
L(t ) s R ( s ) − R( t ) [W (t ) − C (t )] t =0 e H
（2.10）
dt
lim e
−R(s)
K (s ) (s ≥0 H
第二章:无限期限与时代交叠模型
◆拉姆塞-卡斯-库普曼模型 ◆Diamond（代蒙德）模型
拉姆塞-卡斯-库普曼模型
2.1 假设 2.2家庭与厂商的行为 2.3经济的动态学分析 2.4 福利 2.5 平衡增长路径 2.6贴现率下降的效应 2.7政府购买的效果
Diamond模型
2.8假定 2.9家计行为 2.10经济动态 2.11动态无效的可能性 2.12Diamond模型中的政府
家庭 存在大量且同质的家庭，家庭的规模以n 的速度 增长，家庭的每一个成员在每个时点上供给一单 位的劳动。 家庭拥有初始资本量为K(0)/H初始资本量。 不存在折旧，家庭将其收入在消费和储蓄间进行 分配。以便其最大化其终身效用。
2.1 假设
家庭的效用函数为： U = ∫ 瞬时效用函数采取如下形式：
瞬时效用函数的三个特征
C ◆如果 θ <1 ， 1−θ 关于C是递增的；θ >1，则是递减 θ 的。给C1−θ 除以 θ 可以确保无论 取什么值，消费 的边际效用是正的。 ◆在θ → 1的特殊情形中，瞬时效用函数可以简化为 lnc 。 ◆ ρ−n−(1−θ)g>0 确保终身效用不会发散，否则，家庭 可以获得无限的终身效用，并且其最大化问题不会 有良好的定义。
（2.20）
由于C(t)等于c(t)A(t)，C的增长率等于c的增长率加上A的增长率。（2.20）隐 含着每个工人的消费以 r (t ) − ρ 的速率增长。因此阐明：如果实际报酬超过了家庭 θ 用于贴现未来消费的速率，每个工人的消费将上升。 越小，则实际效用随着消 θ 费的变化就越少，从而，消费对贴现率与实际利率之间的差异做出反应，就越大。
w(t ) = f (k (t )) − k (t ) f ′(k (t ))
（2.5）
家庭的预算约束
家庭的预算约束是其终身消费的贴现值不能超过其 初始值的财富与其终身劳动收入的先值之和
∫
∞ e − R（t ) C (t ) t =0
L(t ) K (0) ≤ + H H
∫
∞ e − R ( t )W (t ) t =0
L(t ) dt H
K(0) + H
∫
L(t ) s − R( t ) [W (t ) − C (t )] t =0 e H
dt ≥ 0
（2.7）
我们可以写出从t=0倒 t= 于：
∞的积分形式的一种极限。则（2.7）等价
L(t ) [W (t ) − C (t )] dt] ≥ 0 H
（2.8）
lim
∫
∫
现在考虑预算约束(2.6)。在t时刻，家庭的总消费等于每单位有效劳动的消费乘 以家庭的有效劳动量。同理，在t时刻家庭的总劳动收入等于每单位有效劳动的 工资乘以家庭的有效劳动量。因此可以把（2.6）改写成：
∫Байду номын сангаас
∞ e − Rt c(t ) t =0
A(t ) L(t ) A(0) L(0) dt ≤ k (0) + H H
2.2 家庭与厂商的行为
厂商： 由于产品市场和要素市场都是竞争性的，因而厂商 的利润为零 （2.3） 真实利率是 r (t ) = f ′( k (t )) 真实工资是 W (t ) = A(t )[ f (k (t ) − k (t ) f ′(k (t ))] （2.4） 每单位有效劳动的工资是
C(t )1−θ [ A(t )c(t )]1−θ = 1−θ 1−θ [ A(0)e Rt ]1−θ = 1−θ = A(0)1-θ e (1−θ ) gt c(t )1−θ 1−θ
（2.11）
把（2.11）以及事实 L(t ) = L(0)e 带入目标函数（2.1）-（2.2）中， 得到： C (t )1−θ L(t ) ∞ − ρt
（2.24）
ɺ 对于既定的k ,意味着k = 0 的c 的水平是由 f ( k ) − ( n + g ) k 给出的。当消 ɺ 费等于实际产出与持平投资线的差额时，k 等于零。C 的这个值关于k 是递 ɺ 增的直至 f ′( k ) = n + g 。接着c关于k会下降。当 c 超过 可获得 k = 0 的水 平时，k 则下降；当c小于该水平时，k上升。对于充分大的k持平投资超过总 产出故在此条件下，对于一切c的正值，ɺ 是负的。这些信息总结在图2.2中。 k
（2.15）
家庭行为
家庭的问题便是在预算约束（2.14 ）的限制下，选择 c(t) 的路径去最大化终身效用(2.12)。利用目标函数 (2.12)与预算约束（2.14）构造拉格朗日函数：
c(t)1−θ ∞ ℓ = B t =0e−βt dt + λ[k(0) + 1−θ
∫ − e ∫
− βt
∫
∞ −Rt (n+ g )t w（t）c(t)dt t =0e e
其中ABC 三点的初始消费之较高。最终经济处于消费永久 上升，而资本永久下降的路径。而D点表明初始消费很低 的，最终经济处在消费日益下降，而资本日益上升的路径 上。但如果经济正好处在临界水平上它会最终收敛于c和k 均不变的点上。 值得说明的是：为排除由低于F的点开始的路径，可以利 用资本持有量的极限行为表示的预算约束
∫
∞ − Rt ( n + g )t w(t )e dt t =0 e
（2.14）
最后，由于 K(s ) 与k ( s )e( n + g ) s 成比例。我们可以把预算约束 （2.10）的非蓬齐条件表达式改写为：
lim
s →∞
e − R ( s )e( n + g ) s k ( s ) ≥ 0
经济的动态学
C的动态学 由于 f ′( k ) = r (t )则（2.20）可以改写成：
ɺ c(t ) f ′(k (t ) − ρ − θg = c(t ) θ
(2.23)
C
ɺ c>0
ɺ c<0
k∗
图2.1 c的动态学
k
K的动态学
假设不存在折旧，因此则有：
k (t ) = f (k (t )) − c(t ) − (n + g )k (t )
两边求导 可得：
∫τ
t
=0 r (
τ ) + (n + g )t
（2.18）
ɺ c(t ) − β −θ = −r (t ) + (n + g ) c(t )
由于一个变量的对数关于时间的导数等于其增长率，则有
ɺ c(t ) r (t ) − n − g − β r (t ) − ρ − θg = = θ θ c(t )
C
ɺ k <0
ɺ k >0
图（2.2） k 的动态学 k
c
图2.3
c 与k 的动态学
k
∗
k
说明：
◆图2.3 把图2.1和2.2中的信息结合在一起。 ◆图2.3 是画出的 k ∗ 水平小于黄金律k的水平。
需要注意的是 ： k ∗ 小于k的黄金律水平。因为是有 定义的。而黄金律水平的k是由 f ′(k ) − ρ + θg 定义的。 由于 f ′′(k )是负的。当且仅当ρ + θg > n + g , k ∗ < kGR 这等价于 ɺ 因此 k ∗处在 k = 0 曲线的顶点的左边。
鞍点路径
◆对于k的任何为正的初始水平，存在一个一 个惟一的c的初始水平。它与家庭的跨期最 优化，资本存量的动态学，家庭预算约束以 及k不为负的要求相一致将这种初始的c作为 k的一个函数的函数便是著名的鞍点路径。
2.4 福利
一个十分自然的问题是，这种经济的均衡是 否代表一个可期望的值。 微观经济学第一福利定理告诉我们，如果市 场是竞争的完全的，并且不存在外部性，那 么分散化的均衡时帕累托的。由于福利定理 在我们的模型中成立，均衡必为帕累托有效 的。并且由于所有家庭拥有效用，这意味着 分散化均衡在对所有家庭采用相同方式的配 置中会产生最高的可能效用。