晶体中电子所能具有的能量范围

晶体中电子所能具有的能量范围，可用一条条水平横线表示电子的各个能量值。能量愈大，线的位置愈高，一定能量范围内的许多能级（彼此相隔很近）形成一条带，称为能带。

相邻两能带间的能量范围称为“能隙”或“禁带”。晶体中电子不能具有这种能量。

完全被电子占据的能带称“满带”。满带中的电子不会导电；

完全未被占据的称“空带”；

部分被电子占据的称“导带”。导带中的电子能够导电；

价电子所占据能带称“价带”

能量比价带低的各能带一般都是满带，

价带可以是满带，也可以是导带；

如在金属中价带是导带，所以金属能导电。

在绝缘体中和半导体中价带是满带所以它们不能导电。

但半导体很容易因其中有杂质或受外界影响（如光照，升温等），使价带中的电子数目减少，或使空带中出现一些电子而成为导带,因而也能导电

当电子从“价带”获得能量而跳跃至“传导带”时，电子就可以在带间任意移动而导电

能带中的电子按能量从低到高的顺序依次占据能级。

最下面是价带，能量最高的带；

最上面是导带，一般是空着的；

价带与导带之间不存在能级的能量范围就叫做禁带，禁带的宽度叫做带隙（能隙）。

绝缘体的带隙很宽，电子很难跃迁到导带形成电流，因此绝缘体不导电。

金属导体只是价带的下部能级被电子填满，上部可能未满，或者跟导带有一定的重叠区域，电子可以自由运动，即使没有重叠，其带隙也是非常窄的，因此很容易导电。

而半导体的带隙宽度介于绝缘体和导体之间，其价带是填满的，导带是空的，如果受热或受到光线、电子射线的照射获得能量，就很容易跃迁到导带中，这就是半导体导电并且其导电性能可被改变的原理。

能带理论研究固体中电子运动规律的一种近似理论

首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论，

泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）指出：在费米子组成的系统中，不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。在原子中完全确定一个电子的状态需要四个量子数，或者说在轨道量子数m,l,n确定的一个原子轨道上最多可容纳两个电子，而这两个电子的自旋方向必须相反。这成为电子在核外排布形成周期性从而解释元素周期表的准则之一。

费米面也就是波失k空间中费米能量所构成的表面

费米面可以理解为是最高占据能级的等能面，是当T=0k时电子占据态与非占据态的分界面。

Weyl费米子体系

拓扑金属具有特殊的能带结构，它包含一些能带结构的奇点。简单讲就是具有两支能带的交叉点，可以用具有手性的相对论Weyl方程描写。

与二维空间（例如：石墨烯）完全不同，在三维动量空间中，这样的能带交叉点是一种非常稳定的拓扑结构，无法引入质量项，就是说无法通过微扰打开能隙，因此非常稳定。这样的能带交叉简并点，我们称为Weyl node。

有两类完全不同的Weyl nodes，它们可以用哈密顿量中的±符号描写，分别对应于左手旋和右手旋的Weyl node，因此它们是拓扑不同的。当一个左手旋和一个右手旋的Weyl node在动量空间中重合时，需要用4x4的Dirac方程描写。这样的4度简并点称为三维Dirac node，

它的存在需要晶体对称性的保护（因为在4x4方程中可以引入质量项）。在绝大多数金属材料中，这样的Weyl/Dirac node都会远离费米面，但是如果这样的Weyl/Dirac node 恰好坐落在费米面上，就会给出一类非常特殊的电子结构：“拓扑半金属”——其费米面缩小为费米点，能隙为0，且具有线性色散。这样的拓扑半金属态会呈展出奇妙的物性，例如：其表面态具有Fermi arcs，其体态具有动量空间中的磁单极，独特的输运性质、磁性等等。

对外尔费米子，手性（chirality）恰好等价于螺旋度(helicity)，即自旋在线动量方向上的投影。

手性是与和与之对应的相关的，是波函数乘上这两个算符投影后得到的波函数称作左手性和右手性。单独只有一个手性会使得这个波函数或者说这个粒子的质量属性消失。自旋是在洛伦兹变化下的一种量。

HgCr2Se4具有典型的尖晶石结构，它的低能电子结构可以很好地用我们熟悉的重空穴、轻空穴和具有S轨道特性的导带来描写。在低温下，Cr离子的磁矩形成很强的铁磁态，费米面附近的能带感受到很强的塞曼劈裂，这导致了自旋向下能带反转而自旋向上的能带维持正常的结构。所以在HgCr2Se4材料中，只有自旋取向跟磁化方向一致的那一半能带形成了反带结构，从而导致所谓的既是单自

旋金属又是半金属的极为特殊的电子结构。在这种特殊的电子结构下，体系的能带在沿Z轴的两个互为反演的点上交叉，形成所谓的“Weyl”费米子的特殊结构，“Weyl”费米子是狄拉克费米子的一半，在空间维度是三维的情况下，任何保持平移对称的微扰项都不能使得能隙打开，而只能使交叉点在k空间内移动。因此，这样的“Weyl”费米子体系是拓扑稳定的。徐刚等人在文章中进一步对该体系的拓扑结构进行了分析，指出这类“Weyl”费米子体系可以通过研究有效Chern

数随着z方向动量演化来很好地刻画。“Weyl”费米子的一个重要的物理后果是在其侧表面上形成所谓的“费米弧”，即不连续的费米面结构。这完全是其特殊的能带拓扑结构所导致的[2] 。

(在量子力学中，自旋是粒子所具有的内禀角动量引起的，自旋为半奇数的粒子称为费米子，服从费米-狄拉克统计；自旋为0或正整数的粒子称为玻色子，服从玻色-爱因斯坦统计 .

自旋是微观粒子的一种性质。自旋为0的粒子从各个方向看都一样，就像一个点。自旋为1的粒子在旋转360度後看起来一样。自旋为2的粒子旋转180度，自旋为1/2的粒子必须旋转2圈才会一样。自旋为1/2的粒子组成宇宙的一切，而自旋为0，1，2的粒子产生物质体之间的力。微观粒子服从泡利不相容原理。因此自旋与质量、电量一样，是基本粒子的内禀性质。在量子力学中，任何体系的角动量都是量子化的，其取值只能为s×h/2π。

其中h/2π是约化普朗克常数，s称为自旋量子数，自旋量子数是整数或者半整数(0, 1/2, 1, 3/2, 2,……)，自旋量子数可以取半整数的值，这是自旋量子数与轨道量子数的主要区别)

(塞曼效应是物理学史上一个著名的实验。发现把产生光谱的光源置于足够强的外磁场中，磁场作用于发光体使光谱发生变化，一条谱线即会分裂成几条偏振化的谱线，这种现象称为塞曼效应。完整解释塞曼效应需要用到量子力学，电子的轨道磁矩和自旋磁矩耦合成总磁矩，并且空间取向是量子化的，磁场作用下的附加能量不同，引起能级分裂。在外磁场中，总自旋为零的原子表现出正常塞曼效应，总自旋不为零的原子表现出反常塞曼效应。

偏振特性

对于Δm=+1，原子角动量在磁场方向的角动量减少了一个\hbar，由于原子角动量和光子的角动量之和守恒，光子具有与磁场方向相同的角动量\hbar，光子角动量方向和电矢量旋转方向构成右手螺旋，称之为σ+偏振，为左旋偏振光。

反之，对于Δm=-1，原子在磁场方向的角动量增加一个\hbar，光子具有与磁场方向相反角动量\hbar，方向和电矢量旋转方向构成左手螺旋，称之为σ-偏振，为右旋偏振光。

对于Δm=0，原子在磁场方向角动量不变，称之为π偏振。

如果沿磁场方向观察，只能观察到σ+和σ-谱线左旋偏振光和右旋偏振光，观察不到π偏振谱线。如果在垂直于磁场方向观察，能够观察到原谱线分裂成三条：中间一条是π谱线，为线偏振光，偏振方向和磁场方向平行，σ+与σ-线分居两侧，同样是线偏振光，偏振方向和磁场方向垂直。)