计数原理(习题及答案)
计数原理测试题(含答案)
圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．则T12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．三、解答题（共计76分）15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16．（11分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。
计数原理综合习题(有答案)
选修2-3第一章计数原理单元质量检测时间：120分钟 总分：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．小王打算用70元购买面值分别为20元和30元的两种IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法一共有( )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种2．设某班有男生30人，女生24人，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法种数是( )A ．360B ．480C ．720D ．2403.设P ＝1＋5(x ＋1)＋10(x ＋1)2＋10(x ＋1)3＋5(x ＋1)4＋(x ＋1)5，则P 等于( )A ．x 5B ．(x ＋2)5C ．(x －1)5D ．(x ＋1)54.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．205．20个不同的小球平均分装在10个格子中，现从中拿出5个球，要求没有两个球取自同一个格子中，则不同的拿法一共有( )A ．C 510种B ．C 520种 C ．C 510C 12种D ．C 510·25种 6．在(1－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 中，若2a 2＋a n －5＝0，则n 的值是( )A ．7B ．8C ．9D ．107．7人站成一排照相，甲站在正中间，乙、丙与甲相邻且站在甲的两边的排法共有( )A．120种B．240种C．48种D．24种8．(2＋33)100的展开式中，无理项的个数是()A．83 B．84 C．85 D．869．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．16810．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．2411．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记x m y n项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝()A．45 B．60 C．120 D．21012．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x ＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝() A．5 B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种(用数字作答)．14．(x＋a)6的展开式中含x2项的系数为60，则实数a＝________.15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答)．16.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)4位学生与2位教师坐在一起合影留念，根据下列条件，求各有多少种不同的坐法：(1)教师必须坐在中间；(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．18．(12分)从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它的和大于100，则不同的取法有多少种？19.(12分)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 2n ，i 是虚数单位，x >0，n ∈N ＋. (1)如果展开式的倒数第三项的系数是－180，求n 的值；(2)对(1)中的n ，求展开式中的系数为正实数的项．20.(12分)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求a 1＋a 2＋…＋a n 的值．21.(12分)已知(a 2＋1)n的展开式中的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．22.(12分)用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)可组成多少个无重复数字的自然数？(2)可组成多少个无重复数字的四位偶数？(3)组成无重复数字的四位数中比4 023大的数有多少？答案1．C 要完成“至少买一张IC 电话卡”这件事，可分三类：第一类是买1张IC 卡；第二类是买2张IC 卡；第三类是买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC 电话卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有1种方法．不同的买法共有2＋3＋1＝6(种)．2．C 由分步乘法计数原理，得N ＝30×24＝720(种)．3．B P ＝[1＋(x ＋1)]5＝(x ＋2)5，故选B.4．A 由已知，得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r (－2y )r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫125－r ·(－2)r x 5－r y r (0≤r ≤5，r ∈Z)，令r ＝3，得T 4＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫122(－2)3x 2y 3＝－20x 2y 3.故选A.5．D 分两步：第一步先从10个格子中选中5个格子，有C 510种方法；第二步从每个格子中选一个球，不同的拿法有2×2×2×2×2＝25(种)．由分步乘法计数原理共有C 510·25种不同的拿法． 6．B T r ＋1＝C r n (－1)r x r ，则a 2＝C 2n ，a n －5＝(－1)n －5C n －5n ，因为2a 2＋a n －5＝0，a 2>0，所以a n －5＝－C 5n ，所以2C 2n ＝C 5n 且n 为偶数，将各选项代入验证知n＝8，故选B.7．C由题意知，甲的位置确定，而乙、丙的位置有2种排法，再排其他4人，有A44种不同的排法，故不同的排法总数为A44·2＝48(种)．8．B先求展开式中的有理项．∵T r＋1＝C r100(2)100－r·(33)r＝C r100·2100－r2·3r3，∴要使展开式中的项为有理项，r必为6的倍数．又∵0≤r≤100，且r∈N，∴r的取值为0,6,12，…，96，它构成了以0为首项，6为公差，96为末项的等差数列，设它有n项，则96＝6(n－1)．∴n＝17.∵展开式中共有101项，其中有17项是有理项，∴无理项有84项．9．B解决该问题分为两类：第一类分两步，先排歌舞类A33，然后利用插空法将剩余3个节目排入左边或右边3个空，故不同排法有A33·2A33＝72.第二类也分两步，先排歌舞类A33，然后将剩余3个节目放入中间两空排法有C12A22A22，故不同的排法有A33A22A22C12＝48，故共有120种不同排法，故选B.10．D插空法．在已排好的三把椅子产生的4个空当中选出3个插入3人即可．故排法种数为A34＝24.故选D.11．C因为(1＋x)6展开式的通项公式为T r＋1＝C r6x r，(1＋y)4展开式的通项公式为T h＋1＝C h4y h，所以(1＋x)6(1＋y)4展开式的通项可以为C r6C h4x r y h.所以f(m，n)＝C m6C n4.所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C36＋C26C14＋C16C24＋C34＝20＋60＋36＋4＝120.故选C.12．B由题意可知，a＝C m2m，b＝C m2m＋1，又因为13a ＝7b ，所以13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！， 即137＝2m ＋1m ＋1.解得m ＝6.故选B. 13．30解析：方法1：可分以下两种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 24种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 14种不同的选法．所以不同的选法共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)．方法2：C 37－C 33－C 34＝30(种)．14．±2解析：通项T r ＋1＝C r 6(x )6－r a r ＝a r C r 6x 3－r 2， 令3－r 2＝2，得r ＝2.故a 2C 26＝60，解得a ＝±2. 15．60解析：不同的获奖情况分为两种，一是一人获两张奖券一人获一张奖券，共有C 23A 24＝36(种)；二是有三人各获得一张奖券，共有A 34＝24(种)．因此不同的获奖情况有36＋24＝60(种)．16.3解析：由题意得a 1＝1a ·C 1n ＝n a ＝3，所以n ＝3a ；a 2＝1a 2C 2n ＝n (n －1)2a 2＝4，所以n 2－n ＝8a 2.将n ＝3a 代入n 2－n ＝8a 2得9a 2－3a ＝8a 2，即a 2－3a ＝0，解得a ＝3或a ＝0(舍去)．所以a ＝3.17．解：(1)分步完成：教师先坐中间，有A22种方法，学生再坐其余位置，有A44种方法．根据分步乘法计数原理，不同的坐法共有A22·A44＝48(种)．(2)将2名教师看作一个元素，问题变为5个元素排列的问题．先将教师排好，有A13·A22种方法，再排学生，有A44种方法，故不同的坐法共有A13·A22·A44＝144(种)．(3)插空法：先排学生，有A44种方法，教师从4名学生之间的3个空位选2个进行排列，有A23种方法，故不同的坐法共有A44·A23＝144(种)．18．解：若从1,2,3，…，97,98,99,100中取出1，有1＋100>100，有1种取法；若取出2，有2＋100>100,2＋99>100，有2种取法；取出3，有3种取法；…；若取出50，有50＋51>100,50＋52>100，…，50＋100>100，有50种取法；所以取出数字1至50，共有不同的取法N1＝1＋2＋3＋…＋50＝1 275(种)．若取出51，有51＋52>100,51＋53>100，…，51＋100>100，有49种取法；若取出52，则有48种取法；…；若取出99，只有1种取法．所以取出数字51至100(N1中取过的不再取)，有不同取法N2＝49＋48＋…＋2＋1＝1 225(种)．故总的取法共有N＝N1＋N2＝2 500(种)．(2i)2＝－180，即4C2n＝180，19.解：(1)由已知，得C n－2n化简得n2－n－90＝0，又n∈N＋，解得n＝10.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x i ＋1x 210展开式的通项为 T r ＋1＝C r 10(2x i)10－r x －2r ＝C r 10(2i)10－r x 10－5r 2， ∵展开式中的系数为正实数，且r ∈{0,1,2，…，10}，∴r 的取值为10,6,2，故所求的项为T 11＝x －20，T 7＝3 360x －10，T 3＝11 520.20．解：T 6＝C 5n (x 2)n －5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 5n x 2n －15， 令2n －15＝1，则n ＝8，令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a n ＝(－2)8＝256，令x ＝0，则a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝255.21.解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项是 T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r ·C r 5·x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，解得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16，又(a 2＋1)n 的展开式的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，解得n ＝4，由二项式系数的性质可知，(a 2＋1)4的展开式中系数最大的项是中间项，即第三项， 由C 24a 4＝54，解得a ＝±3.22．解：(1)组成无重复数字的自然数共有C 15A 55＋C 15A 45＋C 15A 35＋C15A25＋C15A15＋C16＝1 631(个)．(2)无重复数字的四位偶数中个位数是0的有A35＝60(个)，个位数是2或4的有2C14A24＝96(个)，所以无重复数字的四位偶数共有60＋96＝156(个)．(3)无重复数字的四位数中千位数字是5的共有A35＝60(个)，千位数字是4的有A35＝60(个)，其中不大于4 023的有5个，故比4 023大的数共有60＋60－5＝115(个)．。
常德市选修三第一单元《计数原理》测试(含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．有5名同学从左到右站成一排照相，其中中间位置只能排甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．42种 B ．48种C ．60种D ．72种3．已知（x x ﹣a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．24．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员、2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（ ） A ．7种B ．6种C ．5种D ．4种5．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．256．某煤气站对外输送煤气时，用1至5号五个阀门控制，且必须遵守以下操作规则： ①若开启3号，则必须同时开启4号并且关闭2号； ②若开启2号或4号，则关闭1号； ③禁止同时关闭5号和1号. 则阀门的不同开闭方式种数为（ ） A ．7 B ．8 C ．11 D ．147．设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的值为（ ）A ．20192B ．1C ．0D ．-18．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．969．在二项式(2n x x的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．16511．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（ ） A ．15-B ．15C ．60-D ．60二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．14．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____15．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______． 16．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.17．设0(cos sin )a x x dx π=-⎰，则二项式6(的展开式中含2x 项的系数为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．若二项式nx ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.20．25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.三、解答题21．已知()2*12nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求221122nx x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项. 22．用0，1，2，3，4，5这六个数字，完成下面三个小题． （1）若数字允许重复，可以组成多少个不同的五位偶数；（2）若数字不允许重复，可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同的五位数；（3）若直线方程0ax by +=中的a ，b 可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条?23．已知)23nx展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中,2n N n +∈≥．（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．24．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项；（2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.25．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b .（1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项.26．已知22)nx的展开式中，只有第六项的二项式系数最大 （1）求该展开式中常数项；（2）求展开式中系数最大的项为第几项？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①甲在最中间，将剩余的4人全排列，②乙在中间，分析可得此时的排法数目，由加法原理计算可得答案． 【详解】根据题意，中间只能排甲或乙，分2种情况讨论：①甲在中间将剩余的4人全排列，有4424A =种情况，②乙在中间，甲不能在最右端，有3种情况，将剩余的3人全排列，安排在剩下的三个位置，此时有33318A ⨯=种情况，则一共有241842+=种排法。
高考数学《计数原理》综合复习练习题(含答案)
高考数学《计数原理》综合复习练习题（含答案）一、单选题1．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．62．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则不同的排列顺序有（ ）种 A ．6B ．4C ．3D ．23．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣研读，若甲乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有 A ．18种B ．24种C ．36种D ．54种4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种5．若2228n n n A C --=，则n =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种7．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是（ ） A ．－5B ．5C ．－10D ．108．我国拥有包括民俗、医药、文学、音乐等国家级非物质文化遗产3000多项，下图为民俗非遗数进前10名省份排名，现从这10个省份中任取2个，则这2个省份民俗非遗数量相差不超过1个的概率为（ ）A ．215B ．15C ．415 D ．259．()()5131x x +-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．0B ．20C ．10D ．3010．某旅行社有A 、B 、C 、D 、E 共五条旅游线路可供旅客选择，其中A 线路只剩下一个名额，其余线路名额充足．现甲、乙、丙、丁四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰选择了三条不同的线路．则他们报名的情况总共有（ ） A ．720种B ．360种C ．320种D ．288种11．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为3的“六合数”共有（ ） A ．18个 B ．15个 C ．10个D ．9个12．设100210001210032)x a a x a x a x -=++++（， 若02410012a a a a m k +++++=()k ∈Z ，则实数m 可能是（ ） A ．3B ．9C ．10D ．11二、填空题13．若2110n P =，则n =______．14．6432⎭的展开式中系数为有理数的各项系数之和为________. 15．412x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式的常数项是___________．16．学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲、乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有__________种.三、解答题17．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94．求常数a 的值．18．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．问题：已知二项式1nx ⎫⎪⎭，若______，求：(1)展开式中二项式系数最大的项； (2)展开式中所有的有理项．19．已知()2nn N x *⎫∈⎪⎭的展开式中前三项的二项式系数之和为46，(1)求n ；(2)求展开式中系数最大的项．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项；(3)展开式中所有有理项.21．在二项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中，恰好第五项的二项式系数最大．(1)求展开式中各项的系数和； (2)求展开式中的有理项．22．求()2123x -的展开式中： (1)各项系数之和； (2)各项系数的绝对值之和； (3)系数最小的项.23．已知二项式()23nx x +．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项； （2）若3,2020x n ==，求二项式的值被7除的余数．24．已知函数()()20121nn n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中R λ∈．（1）若2,2020n λ=-=，求0242020a a a a ++++的值；（2）若78,1024n a ==，求()0,1,2,3,,8i a i =的最大值；（3）若1λ=-，求证：()0nkknn k k k Cx f x x n -==∑参考答案1．B2．A3．D4．D5．C6．C7．D8．A9．B10．D11．C12．D 13．11 14．117 15．70 16．3617．（1）由题意，二项式9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()9218319911C C 22r rrrr r r T x xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1830r -=，可得6r =， 6679121C 216T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以展开式的常数项为2116． （2）由二项式9a x ⎛ ⎝展开式为93992199C C rrrr r r r r a T a x x ---+⎛⎛⎛⎫==⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，解得8r =，因为9a x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，可得88994(C a ⋅=⋅，解得4a =. 18．(1)解：选①，由012C C C 22n n n ++=，得6n =（负值舍去）．选②，令1x =，可得展开式中所有项的系数之和为0．由010264n n n n n C C C +++-==，得6n =．选③，设第1r +项为常数项，()321C 1n r r r r nT x-+=-，由2302r n r =⎧⎪⎨-=⎪⎩，得6n =．由6n =得展开式的二项式系数最大为36C ，则展开式中二项式系数最大的项为()33332246C 120T xx --=-=-．(2)解：设第1r +项为有理项，()63216C 1r rr r T x-+=-，因为06r ≤≤，r ∈N ，632rZ -∈，所以0,2,4,6r =，则有理项为03316C T x x ==，2036C 15T x ==，43356C 15T x x --==，66676C T x x --==．19．(1)由题意得：()01211462n n n n n C C C n -++=++=，解得：9n =或10-，因为n N *∈，所以10n =-（舍去），从而9n = (2)二项式的展开式通项为：()9192rrr r T C x x -+⎛⎫==⎪⎝⎭，则系数为92r rC ⋅，要求其最大值，则只要满足119911992222r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即，解得：172033r ≤≤，因为r N ∈，所以6r =，所以系数最大项为693627925376T C x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭ 20．（1）32nx x 展开式的通项公式为13C 2kn kkk n T x x -+=⋅3561C 2n kk n k x -=， 依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以832x x 的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x .（3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．(1)恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8n =，∴ 二项式812x ⎫⎪⎭中，令1x = ，展开式中各项的系数和为81112256⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(2)通项为 848318811()()22r r rr r r r T C C x x --+=-=- ，r=0，1，2，…，8. 当843r-为整数，即2,5,8r =时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即22038172T C x ⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭；5544681724T C x x --⎛⎫=-⋅⋅=- ⎪⎝⎭；888898112256T C x x --⎛⎫=-⋅⋅= ⎪⎝⎭.22．（1）解：设()21201901212122...3a x a x a x a x =++++-， 令1x =，得()2122110.213..1a a a a ++++⨯-==-； 所以()2123x -的展开式各项系数之和为-1； （2）令=1x -，得()210122211...5213a a a a --+-++==-⨯-， 两式相减得：()0220211 (152)a a a +++=-+， 两式相加得：()1321211 (152)a a a +++=--， 所以()2123x -的展开式各项系数的绝对值之和为()()012102201321.........a a a a a a a a a +++=+++-+++，()()221112111515522=-+---=； （3）()2123x -的展开式的通项公式为：()()()212121212112233rrrr rr r r x T x C C ---+=-=-，系数的绝对值为212123rr r C -，设第r +1项的系数绝对值最大，则2112012121211221212123232323r r r r r r r r r r r r C C C C -+-+----⎧≥⎨≥⎩，解得616655r ≤≤， 则13r =，即系数的绝对值的最大值为131321823C ， 因为13为奇数，所以()131313132181822323C C -=-，即第14项的系数最小， 所以系数最小的项为1313821823x C -23．（1）二项式2(3)n x x +的二项式系数之和为512，2512n ∴=，9n ∴=．由1999119133,1,2,,933r r r r r r r r C C r C C --++⎧⋅⋅=⎨⋅⋅⎩，解得：7r =，展开式中系数最大的项为第8项，为6777789922161(3)787323T C x x C x x ⋅===．（2）若3x =，2020n =， 220202020(3)30(282)n x x +==+202012019201920192020202020202020282822822282C C K =+⋅++⋅+⋅+⋅=问题转化为20202被7除的余数，202067367306731672267167267367367367367236732282(71)2[77771]C C C C C ⋅⋅⋅=⋅=+=⋅++⋯++⋅⋅+272k =⨯+，即余数为2．24．（1）2λ=-，2020n =时，()()2020220202020012202012f x x a a x a x a x =-=+++⋅⋅⋅+， 令1x =，得()2020012320192020121a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++=，令=1x -，得()20202020012320192020123a a a a a a +=-+-+⋅⋅⋅-+=，两式相加可得202002420182020312a a a a a ++++⋅⋅⋅++=． （2）()()828801281f x x a a x a x a x λ=+=+++⋅⋅⋅+，777810242a C λλ==⇒=，不妨设t a 为i a (0,1,2,3,,8)i =⋅⋅⋅中的最大值，则11t t t t a a a a -+≥⎧⎨≥⎩，118811882222t t t t t t t t C C C C --++⎧≥∴⎨≥⎩，解得：65t t ≤⎧⎨≥⎩，5t ∴=或6， i a 中最大值为55665688221792a a C C ====．（3）若1λ=-，()()1nn f x x =-，()()()()()12000112200121111nn n n kk n n nn k n n n n k k n Cx f x C x x C x x C x x C x x n n n n n---==-+-+-+⋅⋅⋅+-∑， 因为()()()()()()()()111!1!!!!1!!1!11!kk nn n n k n k C C n k n k n k n k k n k ----=⋅===--⋅-----⎡⎤⎣⎦所以()()()()1200122111100111nn n kk n nnn k n n n k k C x f x C x x C x x C x x n-------==+-+-+⋅⋅⋅+-∑． ()()()120001111111111n n n n n n n x C x x C x x C x x -------⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦()11n x x x x -=+-=⎡⎤⎣⎦．。
专题02 计数原理(同步练习)(人教A版选修2-3)(解析版)
专题02 计数原理（同步练习）一、计数原理例1-1．要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？【解析】从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法， 第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是623=⨯=M 。
例1-1．给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母G A ~或Z U ~，后两个要求用数字9~1。
问最多可以给多少个程序命名？【解析】先计算首字符的选法。
由分类加法计数原理，首字符共有1367=+种选法，再计算可能的不同程序名称。
由分步乘法计数原理，最多可以有10539913=⨯⨯个不同的名称， 即最多可以给1053个程序命名。
例1-3．核糖核酸(RNA )分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。
总共有4种不同的碱基，分别用A 、C 、G 、U 表示。
在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。
假设有一类RNA 分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？【解析】100个碱基组成的长链共有100个位置，从左到右依次在每一个位置中，从A 、C 、G 、U 中任选一个填入， 每个位置有4种填充方法，根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA 分子数目有1004个。
例1-4．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。
因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。
为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。
(典型题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．42．712x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为（ ） A ．448B ．448-C ．672D ．672-3．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．A ．420B ．180C ．64D ．254．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12965．已知（x a x）5的展开式中，常数项为10，则a ＝（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．26．若0k m n ≤≤≤，且m ，n ，k ∈N ，则0CC mn m k n k n k --==∑（ ）A ．2m n +B ．C 2n mmC ．2C nmnD ．2C m mn7．若()()()()()201923201901232019122222x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，则01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-的值为（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．已知10件产品中，有7件合格品，3件次品，若从中任意抽取5件产品进行检查，则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有( ) A ．35种B ．38种C ．105种D ．630种9．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n +B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C10．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．9611．已知自然数k ，则(18)(19)(20)(99)k k k k ----…等于（ ） A ．1899kk C --B ．8299k C -C ．1899kk A --D ．8299k A -12．将编号为1，2，3，4，5，6，7的小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ） A ．315B ．640C ．840D ．5040二、填空题13．二项式261(2)x x -的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．()3621()x x x-的展开式中的常数项为_____．（用数字作答）15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答)17．若二项式nx x ⎛⎝展开式中各项系数的和为64，则该展开式中常数项为____________.18．622x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．已知关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数为n ，若1101(1)(1)(3)n x x a a x +++=++2101121011(3)(3)(3)a x a x a x +++++++，则1a 的值为______.三、解答题21．已知二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？ 22．设函数(,)(1)(0,0)x f x y my m y =+>>.（1）当3m =时，求()9,f y 的展开式中二项式系数最大的项；（2）已知(2,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和比(,)f n y 的展开式中各项的二项式系数和大4032，若01(,)nn f n y a a y a y =++⋅⋅⋅+，且2135a =，求1i ni a =∑23．计算：（1）2490n n A A =；（2）383321nn nn C C -++.24．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值．26．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知()123012321nn n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n *∈N ），若()21nx -的展开式中，______. （1）求n 的值；（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．2．B解析：B 【分析】求出展开式的通项公式，利用x 的次数为5进行求解即可． 【详解】展开式的通项公式77727171(2)(1)2rr rr r r r rx T C x C x---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由725r -=得1r =，所以展开式中5x 的系数为1717(1)2764448C --⋅=-⨯=-，故选：B ． 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有求二项展开式指定项的系数，属于简单题目.3．B解析：B 【分析】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，讨论A ，D 同色和异色，根据乘法原理可得结论． 【详解】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行 区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，A ，D 不同色，D 有3种，C 有2种涂法，有5432120⨯⨯⨯=种， A ，D 同色，D 有1种涂法，C 有3种涂法，有54360⨯⨯=种， 共有180种不同的涂色方案． 故选：B ． 【点睛】本题考查计数原理的应用，解题关键是分步和分类的方法选取，属于中等题.4．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数5．A解析：A 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项为10，求得a 的值． 【详解】5()a x x x -的展开式中，通项公式为15552155()()()rr r r r rr a T C x x C a x x--+==--，令15502r-=，求得3r =， 可得常数项为335()10C a -=，求得1a =-. 故选：A 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查根据展开式的某一项求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．D解析：D 【分析】根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：n m k m kn k n n m C C C C --=，再由二项式系数的性质，可得所要求的和. 【详解】()()()()()()()()!!!!!!!!!!!!!!!!n m k n knm kn mn k n n C Cn m m k k n k n m m k k n m C C m n m k m k ---=⋅=-⋅-⋅--⋅-⋅=⋅=⋅-⋅-则()012mmn m k m k m m m m n knn m n m m m n k k CC C C C C C C C --====⋅+++=∑∑故选：D 【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.7．B解析：B 【分析】令1x =，即可求01232019a a a a a -+-+⋅⋅⋅-出的值. 【详解】解：在所给等式中，令1x =，可得等式为()20190123201912a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅-，即012320191a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的展开使用及灵活变求值，特别是解决二项式的系数问题，常采用赋值法，属于中档题.8．C解析：C 【分析】根据题意，分2步进行分析，第一步从3件次品中抽取2件次品，第二步从7件正品中抽取3件正品，根据乘法原理计算求得结果． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①.从3件次品中抽取2件次品，有23C 种抽取方法，;②.从7件正品中抽取3件正品，有37C 种抽取方法， 则抽取的5件产品中恰好有2件次品的抽法有2337105C C ⨯=种； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的实际应用，注意是一次性抽取，抽出的5件产品步需要进行排列．9．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立.令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.10．C解析：C 【分析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：直接利用排列数计算公式即可得到答案. 详解：()()()()()()829999!181920...9917!k k k k k k A k ------==-.故选：D.点睛：合理利用排列数计算公式是解题的关键.12．A解析：A 【分析】分两步进行，第一步先选三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，第二步再将剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子中，然后利用分布计数原理求解.有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同有3735C =种放法，剩下的4个小球放入与小球编号不同的盒子有11339C C ⋅=种放法，所以有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为359315⨯=种， 故选：A 【点睛】本题主要考查组合应用题以及分布计数原理，属于中档题.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．180【分析】根据二项式定理结合展开式通项即可确定的指数形式将多项式展开即可确定常数项【详解】的展开式中的通项公式而分别令解得或∴的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展解析：180 【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定x 的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项. 【详解】62x ⎫⎪⎭的展开式中的通项公式 363216622kkkk k k k T C C x x --+⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，而()666332221)x x x x x =-⎫⎫⎫-⎪⎪⎪⎭⎭⎭ 分别令3332k -=-，3302k -=，解得4k =，或2k =．∴()6321x x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项44226622180C C -=． 故答案为：180． 【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．【解析】分析：根据排列定义求结果详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置从中任选3个位置给3名大学毕业生则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题所以不同的招聘方案共有＝5×4×3＝60( 解析：60【解析】分析：根据排列定义求结果.详解：将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有35A ＝5×4×3＝60(种)．点睛：本题考查排列定义，考查基本求解能力.17．15【解析】二项式展开式中各项系数的和为64令得的通项为令常数项为故答案为【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项系数及各项系数和的求法属于简单题二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一关于二项解析：15【解析】二项式nx ⎛+ ⎝展开式中各项系数的和为64，∴令1x =，得6264,8,n n x ⎛== ⎝的通项为36622166r r r r r r T C x x C x ---+=⋅=，令360,42r r -==，常数项为4615C =，故答案为15.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项、系数及各项系数和的求法，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60 【解析】62x ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()366621661222xrr x r r r r T C x C x ---+⎛⎛⎫==-⋅ ⎪ ⎝⎭⎝ 令3632r -=得2r∴3x 的系数为2622612602C -⎛⎫-⋅⋅= ⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8 【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】利用图象法判断出关于的方程的实数根的个数由此求得利用结合二项式展开式求得【详解】当时画出和的图象如下图所示由图可知两个函数图象有个交点所以关于的方程的实数根个数为1所以所以所以故答案为：【点 解析：11265【分析】利用图象法判断出关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根的个数，由此求得n ，利用132x x +=+-，结合二项式展开式求得1a . 【详解】当01a <<时，画出x y a =和log ay x =的图象如下图所示，由图可知两个函数图象有1个交点，所以关于x 的方程log (01)xa a x a =<<的实数根个数为1，所以1n =.所以()()()()11111113232n x x x x +++=+-++-，所以10101111(2)11265a C =+-=.故答案为：11265【点睛】本小题主要考查方程的根的个数判断，考查二项式展开式，属于中档题.三、解答题21．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1()(,2)2nx n N n x∈≥， 可得021212123111,,222nn n nn n T C x T C x T C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项r n rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大. 22．（1）4511206T y =，5633618T y =；（2）4095. 【分析】（1）根据二项式的性质知二项式系数最大项为第5、第6项，代入通项计算；（2）利用展开式中各项的二项式系数和公式列出等式求解n ，代入(,)f n y 由2135a =列等式求解m ，即可利用赋值法求1i ni a =∑.【详解】（1）9(9,)(13)f y y =+，二项式系数最大项为第5、第6项，44459(3)11206T C y y ==，55569(3)33618T C y y ==.（2）由题意：2224032n n -=，即()()2642630nn-+=，解得6n =，6260126(6,)(1)f y my a a y a y a y =+=+++⋅⋅⋅+，则2226135a C m ==，29m =，解得3m =或3-（舍去），则6(6,)(13)f y y =+，令1y =可得601264a a a a =+++⋅⋅⋅，所以661260126011414095n i ii i a aa a a a a a a a ====++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅-=-=∑∑.【点睛】本题考查二项式定理，涉及二项式系数最大项、展开式中二项式系数和、赋值法求展开式中项的系数和，属于中档题. 23．（1）12；（2）466. 【分析】（1）由排列数公式化简后再解方程可得；（2）由组合数性质求得n 的范围，求得n ，再利用组合性质变形后计算． 【详解】（1）由2490n n A A =，得90(1)(1)(2)(3)n n n n n n -=---，且4n ≥，解得12n =；（2）由题意383321n nn n -≤⎧⎨≤+⎩，*n N ∈，解得10n =．∴383321n n n n C C -++283021303130313029314662C C C C ⨯=+=+=+=. 【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式，掌握排列数和组合数性质是解题关键．在组合数中一定要注意上标不大于下标． 24．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10iii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即10024*******a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）10；（2）1031- 【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出； （2）令0x =和1x =-可求出. 【详解】（1）选择条件①，若()21nx -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52n=， 10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；选择条件②，若()21nx -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n，10n ∴=；（2）由（1）知10n =，则()101231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+， 令0x =，得01a =，令1x =-，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.。
计数原理综合测试题
计数原理综合测试题1.设有3种不同颜色的气球，红色、蓝色和绿色，要求从中选取4个气球，问有多少种选法？解答：根据计数原理，首先确定每种颜色气球的选择数量。
对于红色气球，有3种选择：选0个、选1个、选2个、选3个、选4个，即5种；对于蓝色气球，也有5种选择；对于绿色气球，同样有5种选择。
由于每种颜色的选择是相互独立的，根据计数原理，总的选择数为5×5×5=1252.有8本不同的书，要将其中4本放在书架上，问有多少种不同的放法？解答：根据计数原理，首先确定第一本书的选择数量，有8种选择；对于第二本书，有7种选择，依此类推，对于第四本书，有5种选择。
由于每本书的选择是相互独立的，根据计数原理，总的放法数为8×7×6×5=1,680。
3.有5个人，要从中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组队方式？解答：根据计数原理，首先确定第一个人的选择数量，有5种选择；对于第二个人，有4种选择；对于第三个人，有3种选择。
由于每个人的选择是相互独立的，根据计数原理，总的组队方式数为5×4×3=60。
4.有8个小球排成一行，其中有3个红球，问有多少种不同的排列方式？解答：根据计数原理，首先确定红球的选择数量，有8种位置可以放置第一个红球；对于第二个红球，有7个位置可供选择，依此类推，对于第三个红球，有6个位置可供选择。
由于每个红球的选择是相互独立的，根据计数原理，总的排列方式数为8×7×6=3365.有7个学生，要将其中3人安排到A班，问有多少种不同的安排方式？解答：根据计数原理，首先确定第一个学生的选择数量，有7种选择；对于第二个学生，有6种选择，依此类推，对于第三个学生，有5种选择。
由于每个学生的选择是相互独立的，根据计数原理，总的安排方式数为7×6×5=210。
6.有10个字母，如ABCDE......J，从中任选3个字母组成一个三位数，问有多少种不同的三位数可以组成？解答：根据计数原理，首先确定第一位字母的选择数量，有10种选择；对于第二位字母，有9种选择，依此类推，对于第三位字母，有8种选择。
计数原理专项练习(含详解)
计数原理专项练习一、单选题（本大题共20小题，共100.0分）1. 从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A. 224B. 112C. 56D. 282. A ，B ，C ，D 四位妈妈相约各带一名小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一位大人和一名小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车的概率是()A.13B.12C.59D.233. 袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是()A.B.C.D.4. 已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为A.B.C.D.5.2.5PM 是指大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒物，数0.0000025用科学计数法表示为() A. 72510-⨯ B. 62.510-⨯ C. 50.2510-⨯ D. 72.510-⨯6. 若集合1A ，2A 满足12A A A =，则称12(,)A A 为集合A 的一个分拆，并规定：当且仅当12A A =时，12(,)A A 与21(,)A A 为集合A 的同一种分拆，则集合12{,}A a a =的不同分拆种数是()A. 8B. 9C. 16D. 187. 已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则9a 等于()A. 10B. 10-C. 20D. 20-8. 如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前项之和为，则的值为()A. 361B. 295C. 153D. 669. 设2012(1)n x a a x a x -=+++…nn a x +，若12||||...||127n a a a +++=，则展开式中二项式系数最大的项为A. 第4项B. 第5项C. 第4项或第5项D. 第7项10. 二项式(1)()nx n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则()n =A. 4B. 5C. 6D. 711. 二项式的展开式中二项式系数最大的项为()A. 第 3 项B. 第 6 项C. 第 6 、 7 项D. 第 5 、 7 项12. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外2位教师前面值班的概率是A.B.C.D.13. 212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，展开式中的所有项的系数和是()A. 0B. 256C. 64D.16414. 9.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A. 66种B. 65种C. 63种D. 60种15. 102012(2)x a a x a x -=+++ (10)10.a x +则123a a a +++…10()a +=A. 1B. 1-C. 1023D. 1023-16. 腾冲第八中学数学组有实习老师共5名，现将他们分配到高二年级的90、91、92三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有()A. 30种B. 90种C. 180种D. 270种17. 从3名语文老师、4名数学老师和5名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文、数学和英语老师都至少有1人的选派方法种数是()A. 590B. 570C. 360D. 21018. 若*n N ∈，且521235n n n C A ---=，则n 的值为()A. 8B. 9C. 10D. 1119. 我们把各位数字之和等于6的三位数称为“吉祥数”，例如123就是一个“吉祥数”，则这样的“吉祥数”一共有()A. 28个B. 21个C. 35个D. 56个20. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有()种.A. 252B. 112C. 20D. 56二、单空题（本大题共10小题，共50.0分） 21. 如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行()2n 第2个数是________22. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是__________.23. 二项式51(2)x x+的展开式中3x 的系数为______.24. 已知4男3女排队，每名男生至多与一名女生相邻，共有______ 种不同的排法．(结果用数值表示)25. 被4除，所得的余数为________.26. 若22242n C A =，则!3!3!n n =-________.27. 2015年世博会在意大利米兰举行，其中某大学要从6名男生和2名女生中选出3人作为奥运会的志愿者，若男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有__________________________种(结果用数字表示).28. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为____________29. __________.30. 已知3828128(1)(2)(1)(1)...(1)x x a a x a x a x ++-=+-+-++-，则6a 的值为_____.答案和解析1.【答案】B试题分析：根据分层抽样，从8个人中抽取男生1人，女生2人；所以取2个女生1个男生的方法：.2.【答案】D解： 记A ，B ，C ，D 四位妈妈的小孩分别为a ，b ，c ，d ， 由于孩子都不坐自己妈妈的车， 假设A 与b 一辆车，则有3种情况，同理A 与c 一辆车及A 和d 一辆车，都有3种情况， 所以不同的坐车方式有3339++=种，而A 的小孩a 坐C 妈妈或D 妈妈的车的情况有336+=种情况， 所以所求概率为62.93P == 3.【答案】B解：至少有1个黑球，包括1个黑球、2个黑球，其方法数为 11205353C C C C +袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，∴共有方法数为 28C∴至少有1个黑球的概率是1120535328C C C C C +.4.【答案】A解：因为函数的最小值为，即.展开式的通项公式为，由，得，所以，即项的系数为15.5.【答案】B6.【答案】B解：12A A A =，对1A 分以下几种情况讨论：①若1A =∅，必有212{,}A a a =，共1种拆分；②11{}A a =，则22{}A a =或12{,}a a ，共2种拆分；同理12{}A a =时，有2种拆分； ③若112{,}A a a =，则2A =∅、1{}a 、2{}a ，12{,}a a ，共4种拆分；∴共有12249+++=种不同的拆分．7.【答案】D 8.【答案】A解：从杨辉三角形的生成过程，可以得到你的这个数列的通项公式.n 为偶数时，，n 为奇数时，02221c C ==，12333C C ==，246C =，325510C C ==，….然后求前21项和，偶数项和为75， 奇数项和为最后.9.【答案】C解：令0x =，可得01a =，令1x =-，可得0122n n a a a a ++++=，所以1221127n n a a a +++=-=，解得7n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项，第5项.10.【答案】C因为(1)nx +的展开式中2x 的系数为2n C ，即215n C =，亦即230n n -=，解得6(5n n ==-舍).11.【答案】C解：，在二项式的展开式中二项式系数最大的项为第 6 、 7 项，12.【答案】A解：依题意，甲、乙、丙3人的相对顺序共有人种，其中甲位于乙、丙前面的共有种，因此所求的概率为，13.【答案】D解：根据21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大， 得展开式中项数是2417⨯-=，716n ∴=-=；令1x =，得展开式中的所有项的系数和是611(1).264-=14.【答案】A解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况， 当取得4个偶数时，有1=种结果，当取得4个奇数时，有5=种结果， 当取得2奇2偶时有61060=⨯=∴共有156066++=种结果，15.【答案】D解：令1x =代入二项式102012(2)x a a x a x -=+++…1010a x +，得1001(21)a a -=++…101a +=，令0x =得1002a =，10122a a ∴+++…101a +=，12a a ∴++…101023a +=-，16.【答案】B解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215C C C A =种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ⋅=种不同的分配方案，17.【答案】A解：直接法：3名语文、1名数学和1名英语，有31134520C C C =种， 1名语文、3名数学和1名英语1名，有13134560C C C =种， 1名语文、1名数学和1名英语3名，有113345120C C C =种， 2名语文、2名数学和1名英语1名，有22134590C C C =种，1名语文、2名数学和2名英语1名，有122345180C C C =种， 2名语文、1名数学和2名英语1名，有212345120C C C =种，共计206012090180120590+++++=种18.【答案】B解：*n N ∈，且521235n n n C A ---=，()()05122(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n n n ⎧⎪--⎪∴-⎨⎪----⎪⋅=--⨯⨯⨯⎩， 即()()5(1)(2)(3)(4)35234321n n n n n n n ⎧⎪----⎨⋅=⨯--⎪⨯⨯⨯⎩，因此5(1)(4)40n n n ⎧⎨--=⎩，即255360n n n ⎧⎨--=⎩，解得9n =， 所以n 的值为9.19.【答案】B解：因为1146++=，1236++=，2226++=，0156++=，0246++=，0336++=，0066++=， 所以可以分为7类，当三个位数字为1，1，4时，三位数有3个，当三个位数字为1，2，3时，三位数有336A =个，当三个位数字为2，2，2时，三位数有1个， 当三个位数字为0，1，5时，三位数有4个， 当三个位数字为0，2，4时，三位数有4个， 当三个位数字为0，3，3时，三位数有2个， 当三个位数字为0，0，6时，三位数有1个，根据分类计数原理得三位数共有361442121.++++++=20.【答案】B解：分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，第一种是：一组2人，另一组5人，有2721C =种分法；第二一种是：一组3人，另一组4人，有3735C =种分法；第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，第一种有222A =种分配方法，第二种也有222A =种分配方法；最后，把两步方法数相乘，共有22327272212352112C A C A +=⨯+⨯=种方法.21.【答案】222n n -+解：设第(2)n n 行的第2个数构成数列{}n a ，则有322a a -=，433a a -=，544a a -=，…，11n n a a n --=-，相加得()()2122123(1)(2)22n n n n a a n n +-+--=+++-=⨯-=， 则()()21222.22nn n n n a +--+=+=22.【答案】19400解：设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立， 停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率13433()(1)(1)45480P P A B A =⋅⋅=-⨯-⨯=， ②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率234341()(1)(1)(1)4545100P P A B A B =⋅⋅⋅=-⨯-⨯-⨯=， 故停止射击时甲射击了两次的概率12311980100400P P P =+=+=， 23.【答案】80解：二项式51(2)x x+的展开式的通项公式为5552155(2)2r r r r r r r T C x x C x ----+=⋅⋅=⋅⋅， 令523r -=，1r =，故展开式中3x 的系数为 415280C ⋅=，24.【答案】2304解：第一类，把4男生捆绑在一起，插入到3名女生排列所形成的4个空的1个空中，故有431434576A A A =种，第二类，把4男生平均分为2组，分别插入到3名女生排列所形成的4个空的2个空中，故有232434864A A A =种，第三类，把4男生分为(3,1)两组，把把1名男生插入到3名女生排列所形成的4个空的头或尾，把在一起的3个男生插入到剩下的3个空中的1个，故有1133124333864A A A A A =种，根据分类计数原理得，5768648642304++=25.【答案】0解：显然能被4整除，余数为0.26.【答案】35解：222(1)42n C A n n =-=，解得7n =，或6(n =-舍去)，337!353!(3)!n n C C n ∴===-， 27.【答案】36解：从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，，男生甲与女生乙至少有一个入选，则不同的选法共有， 28.【答案】0.6解：从3名男生中任取2人“捆”在一起记作A ，(A 共有22326C A =种不同排法)，剩下一名男生记作B ，将A ，B 插入到3名女生全排列后所成的4个空中的2个空中，故有22233243432C A A A =种，则3位男生中有且只有2位男生相邻的概率为664324320.6.720P A === 29.【答案】40-解：，30.【答案】28解：3(1)x +展开后不会出现6x ， 又88(2)[(1)1]x x -=--， 所以6a 表示6(1)x -的系数， 所以6268(1)28.a C =-=。
高二数学计数原理试题答案及解析
高二数学计数原理试题答案及解析1. 5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有种(用数字作答).【答案】20【解析】依题可知这5人只能入住一间3人间及一间2人间，第一步先确定在2个2人间中选择哪一间有种；第二步确定哪三个人入住3人间有，剩下的2人住2人间，故这5人入住两间空房的不同方法有种.【考点】1.分步计数原理；2.组合问题.2.二项式 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：，r="0,1,…,8." 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).故选C。
【考点】本题主要考查二项式展开式、等差数列知识。
点评：将二项式定理与数列综合考查，是常见题型。
3.从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）A．20个B．19个C．25个D．30个【答案】B【解析】0作被除数，1，3，5，7，9做除数，商有 1个；1作被除数，3，5，7，9做除数，商有4个；3作被除数，1，5，7，9做除数，商有4个；5作被除数，1，3， 7，9做除数，商有4个；7作被除数，1，3，5， 9做除数，商有4个；9作被除数，1，3，5，7做除数，商有4个；其中，所以去掉2个重复的商，结果共有1+4×5-2=19个，故选B。
【考点】主要考查分类、分步计数原理的应用。
点评：这是一道易错题。
要审清题意“任取两个数做除法”，这两个数应该是不同的，“不同的商”应该把重复的商去掉。
4.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）A．6种B．9种C．18种D．24种【答案】C【解析】间接法。
4节课的全排列＝4×3×2×1＝24减去体育课排第一节的情况：其他3节课的全排列 3×2×1＝6所以 24－6＝18 ，故选C。
计数原理题目及详细答案
第一章 计数原理[基础训练A 组]一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长， 不同的选法总数是（ ）A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人.6．在82x ⎛- ⎝的展开式中的常数项是（ ） A.7 B ．7- C ．28 D ．28-7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）A ．180B ．90C ．45D ．360二、填空题1．从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么（1）甲一定当选，共有 种选法．（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有 种选法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. 3．由0,1,3,5,7,9这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .5．在220(1)x -展开式中，如果第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r = ，4r T = .6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x . 8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？ 三、解答题1．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2．7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？ （1）甲排头，（2）甲不排头，也不排尾，（3）甲、乙、丙三人必须在一起，（4）甲、乙之间有且只有两人，（5）甲、乙、丙三人两两不相邻，（6）甲在乙的左边（不一定相邻），（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲不排头，乙不排当中。
计数原理(解析版)
专题13计数原理1．【 2019 年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2）（ 1+x ） 4 的睁开式中x 3 的系数为A ．12B ． 16C ． 20D ． 24【答案】A 【分析】由题意得x 3 的系数为C 342C 144 812 ，应选A ．【名师点睛】此题主要观察二项式定理，利用睁开式通项公式求睁开式指定项的系数．2．【 2019 年高考浙江卷理数】在二项式( 2 x)9的睁开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是 __________．【答案】 16 2 5【分析】由题意，(2 x)9 的通项为 T r 1 C 9r ( 2) 9 r x r (r 0,1,2 L 9) ，当 r 0 时，可得常数项为T 1 C 90( 2)9 16 2 ；若睁开式的系数为有理数，则r = 1,3,5,7,9 ，有 T 2 ,T 4 ,T 6,T 8 ,T 10 共 5 个项．故答案为： 16 2 ， 5．【名师点睛】 此类问题解法比较明确， 首要的是要正确记忆通项公式， “”特别是 幂指数 不可以记混， 其次，计算要仔细，保证结果正确．3．【 2019年高考江苏卷理数】设(1 x)n a 0 a 1 x a 2 x 2 L a n x n , n 4, n N * ．已知 a 32 2a 2 a 4 ．（ 1）求 n 的值；（ 2）设 (13) n a b 3 ，此中 a, b N * ，求 a 2 3b 2 的值．【答案】（ 1） n 5 ；（ 2） 32 ．【分析】（ 1）因为 (1 x)nC n 0C 1n x C n 2 x 2 L C n n x n ，n 4 ，所以 a 2C n 2n(n 1), a 3 C n 3n( n 1)(n 2) ，26a 4 C n 4 n( n 1)(n 2)( n 3) ． 24因为 a 32 2a 2 a 4 ，所以 [n(n1)(n2)] 2 2 n(n 1) n( n 1)(n 2)(n 3) ，62 24解得 n 5．（ 2）由（1）知，n 5 ．(1 3) n (1 3) 5C50 C15 3 C52( 3)2 C53 ( 3)3 C54( 3)4 C55( 3)5a b 3 ．解法一：因为 a, b N *，所以 a C50 3C52 9C54 76, b C51 3C35 9C55 44 ，进而a2 3b2 762 3 442 32 ．解法二：(1 3)5 C50 C51( 3) C52 ( 3)2 C53( 3) 3 C54( 3)4 C55 ( 3)5C50 C15 3 C52 ( 3)2 C53 ( 3)3 C54 ( 3)4 C55( 3)5．因为a, b N*，所以 (1 3) 5 a b 3 ．所以 a2 3b2 ( a b 3)( a b 3) (1 3) 5 (1 3) 5 ( 2)5 32 ．【名师点睛】此题主要观察二项式定理、组合数等基础知识，观察剖析问题能力与运算求解能力．1 n4．【山东省郓城一中等学校2019 届高三第三次模拟考试】已知二项式2x ( n N*) 的睁开式中第x2 项与第3 项的二项式系数之比是 2︰ 5，则x3的系数为A．14 B．14 C． 240 D．240【答案】 Cn r 1 r【分析】二项睁开式的第r 1 项的通项公式为T r 1 C n r 2x ，x由睁开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是2︰ 5，可得：C1n : C n2 2: 5．即2n 2 ，n(n 1) 5解得 n 6 或 n 0 （舍去）．所以T r 1C6r26 rr 6 3 r，1 x 2令 6 3r 3，解得r = 2，所以 x3的系数为C62 26 2 1 2 240．应选C．2【点睛】此题主要观察了二项式定理及其睁开式，观察了方程思想及计算能力，还观察了剖析能力，属于中档题．5．【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（ 6 月）】已知(1a)(2x 1)5 的睁开式中各项系数xx的和为 2，则该睁开式中常数项为A ．80B ．40C ． 40D ． 80【答案】 D【分析】令 x1a )(2 151 a ，，得睁开式的各项系数和为(1)111 a2 ， a = 1 ，55512 x51 a 2x 1 1 12x1 2 x 11 ， x xxxxx x1 5所求睁开式中常数项为2x的睁开式的常数项与 x 项的系数和，x1 5r5 rr 1 rr 5 rr 5 2 r2 x睁开式的通项为 T r(2 x) ( 1) ) ( x 1C 5 (1) 2C 5 x，x令 5 2r 1得 r = 2 ；令 5 2r 0 ，无整数解，∴睁开式中常数项为 8C 5280 ，应选 D ．【点睛】此题主要观察二项睁开式定理的通项与各项系数和，属于中档题． 二项睁开式定理的问题也是高考命题热门之一，对于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（ 1）观察二项睁开式的通项公式 TC r a n r b r2 ）观察各项系数r 1n；（能够观察某一项，也可观察某一项的系数）（ 和和各项的二项式系数和；（3）二项睁开式定理的应用．6．【山东省淄博市 2019 届部分学校高三阶段性诊疗考试一试题数学】1 8睁开式的常数项为xx 3A ． 56B ． 28C ． 56D ． 28【答案】 D181 )r8 4x睁开式的通项公式为 T r 1 C 8rx 8 rC 8r ( 1)r r【分析】( x 3 ，3x3x令 8 4 r 0 ，得 r6 ，∴所求常数项为： C 86 ( 1)6 28 ，应选 D ．3【点睛】此题观察二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．7．【河南省濮阳市2019 届高三 5 月模拟考试】安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共 6名义工照料甲，乙，丙三位老人，每两位义工照料一位老人，考虑到义工与老人地址距离问题，义工A 不安排照料老人甲，义工 B 不安排照料老人乙，则安排方法共有A ．30 种B ．40 种C ．42 种D ．48 种【答案】 C【分析】 6 名义工照料三位老人，每两位义工照料一位老人共有：C 26 C 24 90 种安排方法，此中 A 照料老人甲的状况有：C 15C 24 30 种，B 照料老人乙的状况有：C 15C 24 30 种，A 照料老人甲，同时B 照料老人乙的状况有：C 14 C 1312 种，∴切合题意的安排方法有：90 30 30 12 42 种，应选 C ．【点睛】此题观察利用摆列组合解决实质问题， 对于限制条件许多的问题，往常采纳间接法来进行求解．8．【上海市浦东新区 2019 届高三放学期期中教课质量检测（二模）数学试题】二项式(2 x1)6 睁开式2x的常数项为第 _________项． 【答案】 4【分析】由二项式睁开式的通项公式得：T r +1C 6r （ 2x ） 6–r （1 ） r ＝ C 6r （ –1）r 26 –2r x 6–2r ，2x令 6–2r ＝ 0，得 r ＝ 3，∴ T 4 为常数项，即二项式 (2 x1)6 睁开式的常数项为第 4 项，故答案为： 4．2x【点睛】此题观察了二项式睁开式的通项，属基础题．9．【河北省唐山市 2019 届高三第二次模拟考试】将六名教师分派到甲、乙、丙、丁四所学校任教，此中甲校起码分派两名教师，其他三所学校起码分派一名教师，则不一样的分派方案共有 _________ 种．（用．数字作答 ） ．．．．【答案】660【分析】若甲校2 人，乙、丙、丁此中一校2 人，共有C 26C 24 A 33 种，若甲校3 人，乙、丙、丁每校1 人，共有C 36 A 33 种，则不一样的分派方案共有C 26C 24A 33 + C 36A 33660 种，故答案为： 660．【点睛】此题观察摆列组合，分类议论思想，对每个学校人数议论是重点，是基础题．10．【上海市交大附中2019 届高三高考一模试卷数学试题】已知（1 x ）（1 23（1 na 1x a 2x 2n*），且x ） （1 x ）x ） a 0 a n x （n Na0 a1 a2 a n 126 ，那么（1 nx ）的睁开式中的常数项为 _________．x【答案】–20【分析】∵（12 3（1na1 x a2 x2 n *，x）（1 x）（1 x）x） a0 a n x（ n N ）令 x 1 ，可得 a0 a1 a2 a n 2 22（2n）2 ，∴2n 1 2 126 ，∴n 6 ，2n2 1 2n 11 2（ x 1 n 1 6 r 1 r r 3 r）（ x ） 6（1） x ，那么x ，即x 的睁开式的通项公式为 T C令 3 r 0 ，求得 r 3 ，可得睁开式中的常数项为 C 63 20 ，故答案为：–20．【点睛】此题主要观察二项式定理的应用，赋值法，求睁开式的系数和，项的系数，正确计算是重点，属于基础题．11．【江西省南昌市南昌外国语学校2019 届高三高考适应性测试数学试卷】设m 为正整数，2m x y展开式的二项式系数的最大值为a，x y 2 m 1b ，若 15a 8b ，则m睁开式的二项式系数的最大值为_________．【答案】 7【分析】x y 2 m 睁开式中二项式系数的最大值为 a C2m m，2m 1b C2m m 1x y 睁开式中二项式系数的最大值为 1 ，因为 15a 8b ，所以15C2m m 8C 2m m1 1，即 15 (2 m)!8 (2m1)!，解得 m 7 ．m! m! m!( m 1)!【点睛】此题观察了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的重点是要能正确计算出二项式系数的最大值．12．【北京市国都师范大学隶属中学2019 届高三一模数学试题】若（x 2 1 nx）睁开式中的二项式系数和为64，则n等于 _________ ，该睁开式中的常数项为_________．【答案】 6 15x21 n 64，可得2n【分析】由睁开式中的二项式系数和为64 ，解得 n 6 ，xx 21nx 21xx6的睁开式的通项公式为T r 1 C 6r x 12 2r x rC r 6 x 12 3r ，令 123r 0 ，解得 r 4 ，故该睁开式中的常数项为C 46 C 26 15 ，此题正确结果为： 6， 15．【点睛】此题主要观察二项式定理的应用，二项睁开式的通项公式，求睁开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．13．【广东省 2019 届高三六校第一次联考数学试题】若 a ( 2sinx cosx)dx ，则 a6（ x ）的睁开式中x常数项为 _________． 【答案】 240【分析】 Q a(2sinx cosx)dx( 2cosx sinx) |0(2 0) ( 20) 4，446 rr3 r6r6 rrr6x4（x ）睁开式的通项公式为 T r 1C 6x（ 1）C 6 x 2，x令3r-6 0 ，即 r4 ．24 6 6 44 4=240 ，故答案为 240．（x ）的睁开式中，常数项是 4 （1）C 6x【点睛】此题观察定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项睁开式的通项公式求睁开式中某项的系数是解题重点．n14．【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次结合质量测评】 二项式 axb 0， b 0 的睁开式中，ax设 “全部二项式系数和 ”为 A ， “全部项的系数和 ”为 B ， “常数项 ”值为 C ，若 AB 256，C 70 ，则含 x 6 的项为 _________．【答案】 8x 6【分析】依题得 2n256 ，所以 n=8，在 ax bxn的睁开式中令 x=1 ，则有 a b8，所以 a+b =2，256又因为axbxn8 rb r8 r睁开式的通项公式为rrr8 2 r ，令Tr 1axxC 8 xC 8 a b8 2r 0 r 4 ．所以获得 C 84a 4b470 ab 1， ab1（舍），当ab1时，由a b2得a b1．所以令8 2r 6 r 1，所以T 2 C 18 x 68x 6，故答案为： 8x 6．【点睛】求二项睁开式相关问题的常有种类及解题策略：（ 1 ）求睁开式中的特定项．可依照条件写出第r＋ 1 项，再由特定项的特色求出r 值即可．（ 2 ）已知睁开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋ 1 项，由特定项得出 r 值，最后求出其参数．15．【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）】设2|sin x | dx 在，则 1 2 (1 x)n睁开n0 x式中 x2的系数为 _________．【答案】 8【分析】由题意， n2| sin x |dx 2 sin xdx 2 sin x)dx | sin x |dx | sin x |dx (0 0 0cos x 0 cos x 2 4 ， (1 x) 4的通项公式为 T r 1 C4r 14 r x r C 4r x r ，当 r = 2 时，T3C42x2 6x2，当r 3时，T4 C 43 x3 4 x3，故1 2 (1 x) n睁开式中x2的系数为 4 ( 2) 6 8 ．故答案为：8 ．x【点睛】此题观察了定积分的计算、二项式定理，正确求出n 值，是解题的重点．16．【湖南省师范大学隶属中学2019 届高三考前操练（五）】总书记在湖南省湘西州十八洞村观察时初次提出“精确扶贫”观点，精确扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合精确扶贫战略，某省示范性高中安排 6 名高级教师（不一样姓）到基础教育单薄的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校起码 1 人，因工作需要，此中李老师不去甲校，则分派方案种数为_________．【答案】 360【分析】方法1：依据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校起码 1 人，可分四种状况：（ 1）甲校安排 1 名教师，分派方案种数有1 1 42 23 2；C（5 C5 C4A 2 C5 C3A 2） 150（ 2）甲校安排 2 名教师，分派方案种数有2 13 2 2 2C（5 C4C3A 2 C4C2） 140 ；（ 3）甲校安排 3 名教师，分派方案种数有C53 C13C22A 22 60 ；（ 4）甲校安排 4 名教师，分派方案种数有C54 C12C11 10 ；由分类计数原理，可得共有150 140 60 10 360（种）分派方案．方法 2：由 6 名教师到三所学校，每所学校起码一人，可能的分组状况为4，1，1； 3，2，1； 2，2，2，（ 1）对于第一种状况，因为李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C12种，其他5名分红一人组和四人组有C45A 22种，共 C54A 22C12 20（种）；李老师分派到四人组且该组不去甲校有C35C12 A 22 40（种），则第一种状况共有2040 60（种）；（ 2）对于第二种状况，李老师分派到一人组有C35C22A 22 C12 40 （种），李老师分派到三人组有C25 C22C12A 22 120 （种），李老师分派到两人组有C15 C12C34C22 80 （种），所以第二种状况共有40 80120 240 （种）；（ 3）对于第三种状况，共有C15C12C24 C22 60 （种）；综上所述，共有60 240 60360 （种）分派方案．【点睛】此题主要观察了分类计数原理，以及摆列、组合的综合应用，此中解答中仔细审题，合理分类议论是解答的重点，侧重观察了剖析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．【上海市复旦大学隶属中学2019 届高三高考 4 月模拟试卷数学试题】袋中装有 5 只大小同样的球，编号分别为 1，2，3，4，5，若从该袋中随机地拿出 3 只，则被拿出的球的编号之和为奇数的概率是_________ （结果用最简分数表示）．【答案】25【分析】从 5 只球中随机拿出 3 只，共C53 10 种状况，而拿出的 3 只球的编号之和为奇数，有 2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种状况，若拿出 3 只球中有 2 只偶数 1 不过奇数，则有C13C22 3 种状况，若拿出的 3 只球中有 3 不过奇数则有C33 1 种状况，所以拿出的球的编号之和为奇数的概率为C13C22 C33 4 2C53 ．10 5故答案为：2 ．5【点睛】此题观察概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．18．【河北省衡水市2019 届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为1， 2， 3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一同商讨一个数学课题，每人只好坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不可以相邻，则全部选座方法有_________种．（用数字作答）【答案】 8【分析】先按排甲，其选座方法有C14种，因为甲、乙不可以相邻，所以乙只好坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个地点的坐法有 A 22 种，所以共有坐法种数为 C14 A 22 4 2 8 种．故答案为：8．【点睛】摆列、组合问题因为其思想方法独到、计算量大，对结果的查验困难，所以在解决这种问题时就要按照必定的解题原则，如特别元素、地点优先原则，先取后排原则，先分组后分派原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时一定考虑周到，做到不重不漏，正确解题．。
计数原理(习题及答案)
计数原理（习题）例题示范例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？思路分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．A=6种安排方法；第一步，把3名司机安排到3辆车中，有33A=6种安排方法．第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有33A A⋅=36种．故搭配方案共有3333例2：5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（）A．480种B．240种C．120种D．96种思路分析：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人．C种方法；第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有25A种方法．第二步：再把4本书分给4个学生，有44C A⋅=240种方法，故选B．由乘法原理，共有2454巩固练习1.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有_______种报名方法．（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有_____种可能的结果．2.已知a ∈{0，3，4}，b ∈{1，2，7，8}，r ∈{8，9}，则方程(x -a )2+(y -b )2=r 2表示__________个不同的圆．3.满足a ，b ∈{-1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2+2x+b =0有实数解的有序数对(a ，b )共有（）A ．14个B ．13个C ．12个D ．10个4.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是（）A ．222574C C C ++B ．222574C C C ⋅⋅C ．222574A A A ++D ．216C 5.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7.计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行展出，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不能放在两端，则不同的展出方式共有（）种．A ．4545A A ⋅B ．345345A A A ⋅⋅C ．145345C A A ⋅⋅D ．245245A A A ⋅⋅8.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种．A ．3565A A ⋅B ．863863A A A -⋅C ．3353A A ⋅D ．8486A A -9.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（）A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对10.填空：（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个，共有__________种分配方案．（2）由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3都不与5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有__________个．（3）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．11.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备__________种不同的素菜．12.3个女生和5个男生排成一排．（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？13.某街道有十只路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，且在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？【参考答案】1．（1）81；（2）642．243．B4．A5．A6．B7．D8．A9．C10．（1）84；（2）108；（3）48011．712．（1）4320；（2）14400；（3）14400；（4）36000 13．20。
两个计数原理练习(含答案)
两个计数原理练习一、填空题1.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有 6种2. ()()214321b b a a a a +⋅+++()321c c c ++⋅展开后共有不同的项数为 243.某班新年联欢原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种类为_______.424.已知A 、B 是两个非空集合,定义{}B b A a b a x x B A ∈∈+==⊕,,|为集合A 、B 的“和集”,若{},2,1,0=A {}4,3,2,1=B ,则B A ⊕中元素的个数是 6 5.人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”,则无重复数字的4位吉祥数(首位不能是零)共有________个. 4486.已知三角形的三边长均为整数,其中一边长是5,但它不是最短边.这样的三角形的个数是_________.14个7.某商店失窃,警察审讯4名犯罪嫌疑人.他们当然不会承认是自己偷的,都说是其余3人中的某一个人偷的,他们的供述结果互不相同,共有________种不同的供述结果。
98.从0,1,2,3,4,5,6中任意取出三个不同的数字作为二次函数c bx ax y ++=2的系数,可有________个不同的二次函数的表达式。
1809.如图所示:小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,单位时间内传递的最大信息量是_________.19二、解答题10.有一项活动,需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师,一名同学参加,有多少种不同的选法?解:(1)需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.(2)需老师、男同学、女同学各一人,则分3步, 第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有3×8×5=120种不同的选法. (3)第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8+5=13种不同的选法,共有3×13=39种不同的选法.11.学校举行运动会,有四位同学参加三项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?图1-1-1图1-1-2(2)每项比赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果? 解:(1)因每位同学都有3种不同的选法,由乘法原理共有43种不同的选法;(2)因每项比赛都有3种不同的参加方法,由乘法原理共有34种不同的选法.12.用n 种不同颜色粉笔写黑板报,版块设计如 图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔 (1)当n=6时,板报甲有多少种书写方案?(2)若板报乙有180种书写方案,求n.解:(1)先选彩笔写英语角,有6种不同的选法;再选彩笔写语文学苑,不能与英语角用的彩笔相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案.(2)前三步与(1)的方法类似,分别有n,(n-1),(n-2)种不同的选法,最后一步选数学天地用的彩笔,不仅与理综视界的颜色不同,也不能与英语角的颜色相同,有(n-2)种不同的选法,共有n(n-1)(n-2)(n-2)种不同的方案. 所以n(n-1)(n-2)(n-2)=180试验*∈N n ,当n=5时等式成立.英语角 语文学苑理综视界数学天地理综视界 英语角 语文学苑 数学天地板报甲板报乙。
(完整版)高中数学《计数原理》练习题
a1 0, a2 0, a3 0, a4 0, a5 0, a6 0, a7 0 ，
所以 a1 a2 L a7 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7
令x
1， 1
7
2x
7
12
37
a0
a1
a2
a3 a4
a5
a6 a7
而 a0 1 , 所以 a1 a2 L a7 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 = 37 1 2186
路可通；从甲地到丁地有 4 条路可通，从丁地到丙地有 2 条路可通。则从甲地到丙
地不同的走法共有
种。
10. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生
又有女生，则不同的选法共有
种。
14. 1
x2
1
x
5
的展开式中
x3 的系数为
三、解答题： 15（12 分） 假设在 100 件产品中有 3 件次品，从中任意抽取 法各有多少种？ （I ）没有次品； （II ）恰有两件是次品； （III ）至少有两件是次品； （IV ）至多有两件是次品；
）
A
C
4 21
B
C
3 21
C
C230 D
C240
8. 一个口袋内装有 4 个不同的红球， 6 个不同的白球，若取出一个红球得 2 分，取 出一个白球得 1 分，问从口袋中取出 5 个球，使总分不少于 7 分的取法种数有（ ） A 15 B 16 C 144 D 186
二、填空题
9. 开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是 从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有 2 条路可通，从乙地到丙地有 3 条
计数原理近三年高考真题(带解析)
计数原理近三年高考真题（带解析）一、单选题1．（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（）A．14条B．12条C．9条D．7条【答案】B【解析】【分析】根据分步乘法计算原理即可求解.【详解】由图可知，由①→④有3条路径，由④→⑥有2条路径，由⑥→⑧有2条路径，根据⨯⨯=条路径.分步乘法计算原理可得从①→⑧共有32212故选：B2．（2021·全国·高考真题（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100，共10种排法，其中2个0不相邻的排列方法为：01011,01101,01110,10101,10110,11010，共6种方法，故2个0不相邻的概率为6=0.6 10，故选：C.3．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有254!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.4．（2020·海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A．2种B．3种C．6种D．8种【答案】C【解析】【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有12323C C=种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有222A=种安排方法所以，不同的安排方法共有326⨯=种 故选：C 【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.5．（2020·北京·高考真题）在52)的展开式中，2x 的系数为（ ）． A ．5- B ．5C ．10-D ．10【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可. 【详解】)52展开式的通项公式为：()()55215522r rrrrr r T CC x--+=-=-，令522r -=可得：1r =，则2x 的系数为：()()11522510C -=-⨯=-. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．6．（2020·全国·高考真题（理））25()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．20【答案】C 【解析】 【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515r rrr T C xy -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r rr C xy -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解. 【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x xy y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x x y =，该项中33x y 的系数为5所以33x y 的系数为10515+= 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.7．（2019·全国·高考真题（文））两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】D 【解析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．8．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．9．（2019·全国·高考真题（理））（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．10．（2011·全国·高考真题（理））512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40 B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】 【分析】【详解】令x =1得a =1.故原式=511()(2)x x xx+-．51(2)x x-的通项521552155(2)()(1)2----+=-=-r r r r r r r r T C x x C x ，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40， 故所求的常数项为40 ， 故选D 二、双空题11．（2021·浙江·高考真题）已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.【答案】 5; 10. 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，分别求出43,(1(4))x x -+的展开式，即可得出结论. 【详解】332(1)331x x x x -=-+-， 4432(1)4641x x x x x +=++++，所以12145,363a a =+==-+=， 34347,110a a =+==-+=，所以23410a a a ++=. 故答案为：5,10.12．（2019·浙江·高考真题）在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解. 【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C == 因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 三、填空题13．（2022·上海·高考真题）已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为________ 【答案】17 【解析】 【分析】先分类再分步，按千位为3,4,2分为三类，再逐次安排百位和十位，即可计算出满足条件的四位数个数. 【详解】千位为3和4时，组成的四位数都比2134大，有33212A =个，千位为2时，百位为3或4的四位数都比2134大，有2224A =个，千位为2时，百位为1，只有2143比2134大，有1个， 则组成的四位数比2134大的一共有17个. 故答案为：17.14．（2022·上海·高考真题）在1231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含41x 项的系数为________【答案】66 【解析】 【分析】写出展开式的通项，令x 的指数为4-，求出参数的值，代入通项后即可得解. 【详解】1231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()123364112121C C rrr rr r T x x x --+⎛⎫=⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令3644r -=-，可得10r =，因此，展开式中含41x项的系数为1012C 66=.故答案为：66.15．（2021·天津·高考真题）在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160 【解析】 【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出. 【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrr r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.16．（2020·天津·高考真题）在522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是_________． 【答案】10 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令x 的指数为2，即可求出． 【详解】因为522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()5531552220,1,2,3,4,5rr r r r r r T C x C x r x --+⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，令532r -=，解得1r =． 所以2x 的系数为15210C ⨯=． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．17．（2020·全国·高考真题（理））262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）． 【答案】240 【解析】 【分析】写出622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭其二项式展开通项：()62612rrrr C xx T -+⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭= 1226(2)r r r r x C x --⋅=⋅1236(2)r r r C x -=⋅当1230r -=，解得4r =∴622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是：664422161516240C C ⋅=⋅=⨯=.故答案为：240. 【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握()na b +的展开通项公式1C rn rr r n T ab -+=，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18．（2020·全国·高考真题（理））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解. 【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.。
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计数原理（习题）
＞例题示范
例1：现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，若要求每辆车配 1位司机和1位售票员，则车辆、司机、售票员的搭配方案共有多少种？思路分析：
可以把3辆车看成排了顺序的三个空：cm,然后把3名司机和 3名售票员分别填入.因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题.
第一步，把3名司机安排到3辆车中，有A'=6种安排方法；
第二步，把3名售票员安排到3辆车中，有A'=6种安排方法. 故搭配方案共有A；・A冷36种.
例2： 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法共有（）
A. 480 种
B. 240 种
C. 120 种
D. 96 种思路分析：
首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.
第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有邙种方法; 第二步：再把4本书分给4个学生，有Aj种方
法.山乘法原理，我有©"=240种方法，故选B.
巩固练习
（1）4名同学选报跑步、跳商、跳远三个项tl,每人报一项, 共有 ______ 种报名方法.
（2） 4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有 种可能的结果•
已知 aE{0. 3, 4). he{\. 2, 7, 8},沱{& 9},则方程 (x-a)-+(y-h)-=r^表示 ______ 个不同的圆•
满足Z?e （-b 0, 1, 2},且关于X 的方程ax^+2x+h=Q 有 实数解的有序数对（G "）共有（ ）
A. 14个 B ・13个 C- 12个 某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班， 分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场 数是（）
A. C ；+C ；+Ci
C- A ；+ A ；+ A ：
将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到屮、乙两 地参加社会实践活动，每个小组山1名教师和2名学生组成, 不同的安排方案共有（
A. 12 种
B. 10 种 用数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中 比40 000大的偶数共有（ ）
A ・ 144 个 B. 120 个 C- 96 个
2. 3. D ・10个 C ・9种 D. 8种 D- 72 个
现有8个人排成一排照相，其中屮、乙、丙三人不能相邻的 排法有（
）种. A.
C. A ； A ； 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的 角为60。
的共有（
A. 24 对
C. 48 对 填空：
（1）有10个运动员名额，分给7个班，每班至少分1个, 共有 _________ 种分配方案•
（2）山1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字且b 3都不与 5相邻的六位偶数，这样的六位偶数共有 ________ 个-
（3） 6个人排成一行，其中屮、乙两人不相邻的不同排法共 有 ______ 种・
讣划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油 画、5幅国画，排成一行展出，要求同一品种的画必须连在 一起，并且水彩画不能放在两端， （）种.
A- A,A ；
C. C ；A ；A ；
则不同的展出方式共有 B. D.
B. A ；- D. A ：-A ：
B ・30对 D. 60 对
某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2 荤
2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了 5种不同的荤菜, 若要保证毎位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还 需准备 _____________ 种不同的素菜•
某街道有十只路灯，为节约用电乂看清路面，可以把其中的 三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只，且在两端的灯也 不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？
11 12 3个女生和5个男生排成一排.
(1) 如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法?
(2) 如果女生必须全分开，有多少种不同的排法?
(3) 如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法? (4) 如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法?
【参考答案】
(2) 64
1. (1)
2. 24
3. B
4. A
5. A
6. B
7. D
8. A
9. C
10 . ,(1)
11 . ,7
12 . .(1)
13.20 84； (2) 108： (3)
480
4320； (2) 14 400： (3) 14 400； (4) 36 000。