高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形

1、正弦定理：

在C ∆AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径,则有:

2sin sin sin a b c

R C

===A B . 2、正弦定理的变形公式:

①2sin a R =A ,2sin b R =B ，2sin c R C =;

②sin 2a R A =

,sin 2b R B =,sin 2c C R

=; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B . 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。

２、已知两角和一边,求其余的量。

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况）如：在三角形AB Ｃ中,已知a 、ｂ、A(A 为锐角）求Ｂ。具体的做法是:数形结合思想 画出图：法一：把ａ扰着Ｃ点旋转，看所得轨迹以AD

当无交点则B 无解、

当有一个交点则B 有一解、

当有两个交点则Ｂ有两个解。 法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a ＜bsinA ，则Ｂ无解

当bs ｉｎＡ<ａ≤b,则Ｂ有两解 当a=bsi ｎＡ或a>b 时，B 有一解

注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：

111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．

4、余弦定理：

在C ∆AB 中,有2

2

2

2cos a b c bc =+-A , 2

2

2

2cos b a c ac =+-B ,

2222cos c a b ab C =+-.

5、余弦定理的推论：

222

cos 2b c a bc +-A =,

222

cos 2a c b ac +-B =，

222

cos 2a b c C ab

+-=．

(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角）

6、如何判断三角形的形状:

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边,则： ①若222

a b c +=，则90C =； ②若222

a b c +>，则90C <; ③若222

a b c +<,则90C >. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A 、B,

C 、

D 两点，

并测得∠ACB=7５O

, ∠BCD=45O

， ∠AD Ｃ＝３0O

,

∠ADB=45O (Ａ、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标Ａ、B

附：三角形的五个“心”; 重心：三角形三条中线交点.

外心:三角形三边垂直平分线相交于一点． 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

练习题

一、选择题

1、在△ＡBC 中，a ＝１0，Ｂ=6０°,Ｃ＝45°,则c 等于 (ﻩＢ ）

A.310+ﻩ

B.(

)

1310

-ﻩC.13+ﻩﻩD.310

2、三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为

A.５２ﻩ

Ｂ.ﻩ

C ．16ﻩﻩﻩD.4

３、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ）

A 0

90 B 0

60 Ｃ 0

120 D 0

150

４ 、在△A ＢC 中，根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 （ Ｄ ）

A.b = 10，A = ４5°,Ｂ = 70° B ．a = ６０,c ＝ 48，B = 1０0° C.ａ ＝ 7，b = ５,Ａ = ８0° D ．a ＝ 14，b = １６，A = 4５° 5、已知△ABC 中，a ∶ｂ∶c ＝1∶3∶2，则Ａ∶B ∶C 等于（ A ) A.１∶2∶３ﻩﻩﻩ

ﻩ ﻩＢ.2∶３∶１

C. 1：3:2ﻩﻩ

D.3:１:2

6、若△ABC 的周长等于20,面积是310,A ＝60°,则B Ｃ边的长是( C ) Ａ. 5ﻩﻩ B ．6 ﻩﻩC ．7 ﻩ Ｄ.8 二、填空题（每题５分，共２5分）

7、在ABC ∆中,已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =＿_______＿_＿

8、在△AB Ｃ中,A ＝60°, b =1, 面积为3，则sin sin sin a b c

A B C ++++=

９、在△A ＢC 中,已知A Ｂ=4,AC=７,BC 边的中线2

7

=

AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72

c =,且60C ︒

=,又ABC △的面

，则a b +=___＿____________ 三.解答题（2小题,共4０分）

１3、在∆ＡBC 中，sin()1C A -=, s ｉｎB=

1

3

.（I)求sinA 的值； （II ）设∆A ＢC 的面积.

知识点巩固练习(一)

一、选择题

１．在△A ＢC 中,若0

30,6,90===B a C ,则b c -等于( ） A.1 B.1- C ．32 D ．32-

２．若A 为△A ＢC 的内角，则下列函数中一定取正值的是( ) Ａ.A sin B ．A cos C.A tan Ｄ．

A

tan 1

3．在△A ＢC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >

则△ABC 的形状是( ）

A.直角三角形 B ．锐角三角形 Ｃ.钝角三角形 D ．等腰三角形

４．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0

60，

则底边长为( )A.2 B.

2

3

C.3 D ．32 5.在△ABC 中，若B a b sin 2=,则A 等于（ ）

A.0

6030或 B.0

6045或 C.0

60120或 D.0

15030或