2021年洛必达法则 泰勒公式

第三章微分中值定理与导数的应用

欧阳光明（2021.03.07）

第二讲洛必达法则泰勒公式

目的 1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；

2．理解泰勒中值定理的内涵；

3．了解等函数的麦克劳林公式；

4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．

重点 1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；

2．使学生理解泰勒中值定理的内涵．

难点使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓．

一、洛必达法则

在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天

在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的

计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．

定理 1 设

(1) 当时，函数及都趋于零；

(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；

(3)存在(或为无穷大)，

则

．

也就是说，当

存在时，

也存在，且等于

；当为无穷大时，

也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必

达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：

分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．

证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间

上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式

(在与之间)

成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则

．

存在

(

又因为极限

或为无穷大

，所以

)

．

故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即

．

且这种情况可以继续依此类推．

例1 求．

分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．

解.

注最后一个求极限的函数在处是连续的．

例2 求．

解.

注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．

例3 求．

解.

例4 求.

解

.

注 (1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．

(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．

对于时的未定式有以下定理．

定理2 设

(1)当时，函数及都趋于零；

(2) 当时，与都存在，且；

(3) 存在(或为无穷大)，

则

．

同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．

定理3 设

(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；

(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；

(3)存在(或为无穷大)，

则

．

例5 求.

解.

例6 求.

解.

事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零．注由例5和例6可见，当时，函数

都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是．除了和型未定式外，还有型的未定式．这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．

例7 求．

分析因为，，所以是型未定式．又因为，．

是

而

型未定式，

是

型未定

型未定式，所以

式可以

转化为

型未定式去计算．

或

解.

例8 求．

分析因为，，所以是型未定式．又因为

．

而

是

型未定式，所以上述

型未定式可以转化为

型

未定式来计算．

解．

注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．

例9 求.

是一个幂指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式．又因为，

而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或

型未定式来计算．

解.

例10 求．

分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，

而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．

解.

由于

,

所以

．

例11 求.

分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．

解．

由于