数学2-2 导数及其应用

数学2-2 导数及其应用

一、选择题：

1．对于R 上可导的任意函数)(x f ，若满足0)()1(≥'-x f x ，则必有（ ） A 、)1(2)2()0(f f f <+ B 、)1(2)2()0(f f f ≤+ C 、)1(2)2()0(f f f ≥+ D 、)1(2)2()0(f f f >+

2．设P 为曲线C ：2

23y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

，，则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．112

⎡⎤--⎢⎥⎣

⎦

，

B ．[]10-，

C ．[]01，

D ．112⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，

3．设曲线1

1

x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2

B ．12

C ．1

2

- D ．2-

4．设曲线2

ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1

B ．

1

2

C ．12

-

D ．1-

5．设a R ∈，若函数x

y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（ ） A 、1a <- B 、1a >- C 、1a e <- D 、1a e

>- 6．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）

A. 2

e B. e C.

ln 2

2

D. ln 2

7．若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞- 8．函数3

2

23125y x x x =--+在[0，3]上的最大值，最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4

C ．-4，-15

D ．5，-16

二、填空题

9．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ． 10．直线1

2

y x b =

+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b = 11．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ． 12．3

()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =

三、解答题

13．已知函数2()()x f x ax bx c e -=++的图象过点(0,2)a ,且在该点处切线的倾斜角为45° （I ）使用a 表示,b c ；

（Ⅱ）若()f x 在[2,)+∞上为单调递增函数，求a 的取值范围；

2 B

C

A

y x

1 O 3 4 5 6

1 2 3 4

14．设函数f (x )=1

x e

-+

a

x

(a R ∈). (Ⅰ)若函数f (x )在x =1处有极值, 且函数g (x )=f (x )+b 在(0,+∞)上有零点，求b 的最大值； (Ⅱ)若f (x )在(1，2)上为单调函数，求实数a 的取值范围；

15．若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：

()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知

2()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)．

（1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；

（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

16．已知函数()f x ax =，()ln g x x =（a 为常数） （I ）求函数()()y f x g x =-极值；

（II ）试就a 的不同取值，研究直线()f x ax =与()ln g x x =的交点个数

17．设函数()ln f x ax x =+，()22

g x a x =.

⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；

⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.

导数及其应用

一、选择题：

1．C 2．A 3．D 4．A 5．A 6．B 7．C 8． A 二、填空题

9．((0))f f = 2 ；(1)f '= -2 ． 10．ln 21b =- 11．2=a 12．提示：要使()0f x ≥恒成立，只要min ()0f x ≥在[]1,1x ∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax '=-=-

01 当0a =时，()31f x x =-+，所以min ()20f x =-<，不符合题意，舍去。 02当0a <时

22()333(1)0f x ax ax '=-=-<，即

()f x 单调递减，

m

i n ()(1)202

f x f a

a ==-≥⇒≥，舍去。 03当0a >时1()0f x x a

'=⇒=±

① 若111a a ≤⇒≥时()f x 在11,a ⎡⎤

--⎢⎥⎣⎦和 1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在11,a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭

上单调递减。

所以min

1()min (1),()f x f f a ⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)40

0411

()12

0f a a f a a -=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩

② 当

1

11a a

>⇒<时()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减， min ()(1)202f x f a a ==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。综上可知a=4.

三、解答题

13．解：（I ）2'()(2)()x

x f x ax b e

ax bc c e --=+-++

2[(2)],x

ax b a x c b e -=-+-+- ·························································· 2分

由已知得：'(0)1(0)2f b c f a =-=⎧⎨=⎩，即212c a

b a

=⎧⎨=+⎩

（Ⅱ）方法一：由（I ）得2

'()(1)x

f x ax x e -=-+-

()f x 在[2,)+∞上为单调增函数，则'()0[2,)f x x ≥∈+∞对恒成立，