材料力学第五章A
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05材料力学第五章
对称弯曲（平面弯曲）
一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。 q
C A b a c D B
RA
RB
P2=P
解
(1)求支座反力
RA RB P 60 kN
(2)计算C 横截面上的剪力QSC和弯矩 MC .
看左侧
QSC P 60kN 1
M C P1 b 6.0kN.m
(3)计算D横截面上的剪力QSD 和弯矩 MD . 看左侧
QSD R A P1 60 60 0
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩, 而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段
逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
左顺右逆为正
求弯曲内力的法则
任一截面的剪力Q=∑[一侧横向力的代数和]
支座的简化
载荷的简化
对称弯曲
纵向对称面
外力作用在此 纵向对称面内
变形后的轴线仍 在纵向对称面内
简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座
RAx A RAy
m
A
P
B
y
RBy
求内力——截面法 RAx A
RAy
m
P
B
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1、弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 RAy 直于截面的内力偶矩. 2、 剪力QS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.
材料力学第五章
M O0:M dM d( x x() x )d M FQ ( (x x) - ) M M ( x 2) - M F 1 Q ( x x x ) 1 2 d F x Q - (1 2 x q )d ( x x) d x 2 0
d2d M x(2x)dF d Q x (x)q(x)
精品PPT
§5-5 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系
M图 Mmax位置
q>0 q q<0
M">0 M"<0
FQ=0
CF
+ _
FC
FQ>0 FQ<0
FQ变号处
Me C
C
Me C
紧靠C的 某一侧面
精品PPT
§5-5 剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系 三、利用微分关系作剪力弯矩图
1．用微分关系判断分段点间FQ、M图形态； 2．用计算法则(或积分关系)计算分段点FQ、M值； 3．分段点间连线；
一、梁的载荷(zài hè)及支座反力
1．载荷(zà集i h中è载)：荷(集中力、集中力偶)， 分布载荷(均布载荷、分布载荷)。
名称
图示法
符号(单位)
(a)集中力 (b)分布载荷
F1 Fy2 F2 Fx2
q(x)
x
F(N)
x q(x)(N/m)
(c)均布载荷
q x q(N/m)
(d)集中力偶
Me Me
(向上的横向力、截面左侧顺时针力矩和截面右侧逆 时针力矩对该截面产生正的弯矩)
精品PPT
§5-3 剪力与弯矩
三、弯曲(wānqū)内力的计算法则
*3．判断外力产生(chǎnshēng)剪力、弯矩正负的
图例：
材料力学习题解答[第五章]
![材料力学习题解答[第五章]](https://img.taocdn.com/s3/m/5c357285a0116c175f0e48fd.png)
5-1构件受力如图5-26所示。
试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。
c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。
d) 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
10题5-2图解：a)1σ=50 MPa,2σ=3σ=0,属于单向应力状态AAT （a）（c）（d）364dFlπτ=a) b) c) d)a) b) c)b) 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa ，属于二向应力状态 c) 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa ，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。
试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图解：a) 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知： x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得 ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++==45MPaατασστα2cos 2sin 2x yx +-== -8.66MPab) 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：240sin 20240cos 20402040---++-=ασ=7.32MPa x τ= 240cos 20240sin 2040+--=7.32MPac) 取水平轴为x 轴，则x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30代入公式得：60sin )30(60cos 2401024010----++-=ασ=28.48MPa x τ= 60cos 3060sin 24010---=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。
材料力学 第五版 第五章
b2
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
πd 4 Ip 2 d A A 32
d
o y
z
dA
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip 2 d A y2 d A z2 d A I z I y A A A 32
梁横截面上的正应力公式。
My Iz
M为截面的弯矩，y为欲求应力点至 中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的 惯性矩。 σ
x
注意： 1.当弯矩为正时，梁下部产 生拉应力；上部产生压应力； 弯矩为负时，则相反。一般用 计算正应力时，M与y均取正值， 而正应力的拉、压由观察判断。
M
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
max
式中，[]为材料的许用弯曲正应力。
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作
M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材 料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性 轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和
2.公式是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向 弯曲(即剪力、弯矩均不为零的情形)，也可以足 够精确地用来计算正应力。 3. 公式虽然是针对梁横截面有对称轴的情形 推出的，但对于不对称截面，公式的适用范围推 广到不对称截面梁,且外力作用面通过一个形心 主轴的情形。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.所有的纵线都弯曲 成曲线。靠近底面的 纵线伸长，靠近顶面 的纵线缩短。而位于 中间的某一条纵线O-O ，其长度不变。
15
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
(2) 圆截面
在等直圆杆扭转问题(§3-4)中已求得：
πd 4 Ip 2 d A A 32
d
o y
z
dA
z
y
而由图可见，ρ2=y2+z2 , 从而知
πd 4 Ip 2 d A y2 d A z2 d A I z I y A A A 32
梁横截面上的正应力公式。
My Iz
M为截面的弯矩，y为欲求应力点至 中性轴的距离，Iz为截面对中性轴的 惯性矩。 σ
x
注意： 1.当弯矩为正时，梁下部产 生拉应力；上部产生压应力； 弯矩为负时，则相反。一般用 计算正应力时，M与y均取正值， 而正应力的拉、压由观察判断。
M
12
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
max
式中，[]为材料的许用弯曲正应力。
20
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
第四章 弯曲应力
对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作
M max Wz
由拉、压许用应力[t]和[c]不相等的铸铁等脆性材 料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性 轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力t,max和
2.公式是根据纯弯曲的情形导出的，但对于横向 弯曲(即剪力、弯矩均不为零的情形)，也可以足 够精确地用来计算正应力。 3. 公式虽然是针对梁横截面有对称轴的情形 推出的，但对于不对称截面，公式的适用范围推 广到不对称截面梁,且外力作用面通过一个形心 主轴的情形。
13
材 料 力 学 Ⅰ 电 子 教 案
2.所有的纵线都弯曲 成曲线。靠近底面的 纵线伸长，靠近顶面 的纵线缩短。而位于 中间的某一条纵线O-O ，其长度不变。
材料力学-第五章
合理布置载荷
F
小结
1、熟练求解各种形式静定梁的支 座反力 2、明确剪力和弯矩的概念，理解 剪力和弯矩的正负号规定 3、熟练计算任意截面上的剪力和 弯矩的数值
4、熟练建立剪力方程、弯矩方程， 正确绘制剪力图和弯矩图
5.7 总结 回顾
毛和业，怎样快速绘制剪力图和弯
矩图，黔南民族师范学院学报， 2005，3：81-83
（ -）
1kN.m
A
FAY
1.5m
C
1.5m
D
2kN
1.5m
B
FBY
4 ．从 A 截面左测开始画 弯矩图。 从A左到A右 从A右到C左 从C左到C右 从C右到D左 从D左到D右
1.11
（+）
Fs（ kN） 0.89 M（ kN.m）
（ -）
0.330
（-）
1.330
（ -）
1.665
从D右到B左
从B左到B右
2
FS
FS x
x
0 x l 0 x l
M
ql2 / 8
依方程画出剪力图和弯矩图 ql / 2 由剪力图、弯矩图可见。最 大剪力和弯矩分别为
x
FS max＝ql
M max＝ql2 / 2
5.4
y
剪力图和弯矩图（将剪力方程和弯矩方程具体化）
q
例题 简支梁受均布载荷作用
FS ql / 2
( 2)在有均布载荷作用的 段上, 剪力图为倾斜直线, 直线由左上向右下倾斜; 弯矩图为抛物线, 抛物线 开口与均布载荷的方向一 致。
M 3ql2 / 32 x
ql2 / 8
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
第五章 习题解答(材料力学课件)-PPT文档资料
换后最大扭矩将由1.5kN m减小为1kN m
4. 解 ：
AC
AB
3
BC
T1 l 1 T 2 l 2 G Ip G Ip
3
1.5 1 0 1.2 0 .5 1 0 0 .8 9 4 80 10 0 .0 5 32 0 .0 4 4 8 4 ra d A、 B两 轮 互 换 位 置 后 ， 轴 两 端 的 相 对 扭 转 角 为 1.0 1 0 1.2 0 .5 1 0 0 .8 9 80 10 0 .0 5 4 32 0 .0 1 6 3 ra d
m
x
l
XT5TU1
1 0 .解 ： 轴 的 扭 矩 图 如 下 图 ， 最 大 扭 矩 T . k N m m a x 05 T m a x 由 强 度 条 件 m [] 得 轴 的 直 径 a x 3 d 1 6 1 6 T m a x 3 d 5 03 . m m []
m
A
B
m
C
D
mD
即
1 2m 解 得 m 05 . 5 7 m D 4 4 A 端 的 反 力 偶 m m .4 3m A m D 04
4
(m ) 4m D m D 2
m D 2 0
内、外层横截面上剪应力的计算公式分别为 T1 m T2 2m 1 , 2 I p1 I p1 2 I p 2 I p2 I p1 2 I p 2
1 9 .解 ： 此 为 一 次 静 不 定 问 题 。 解 除端 D 约 束 ， 代 之 以 反 力 偶 m D 由 变 形 协 调 条 件 A A 0 ， 得 D B B C C D ( m ml )A m m D B Dl B C Dl C D 0 G IpA G IpB IpC B C G D
材料力学课后习题答案5章
(b)
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由
∑F
略去微量 qdx 后，得
y
=0 ，FS左 + qdx − FS右 = 0
FS右 = FS左
仍据题图 b，由
(c)
∑M
C
=0 ，M 右 − M e − qdx(
dx ) − FS左 dx − M 左 = 0 2
11l 处有 FS2 = 0 ， M 2 有极大值，其值为 24 121 2 M 2 max = M max = ql 1152
(d)解：1．建立剪力、弯矩方程
8
图 5-9d 坐标如图 5-9d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为
q( x1 ) ⋅ x1 qx 2 =− 1 2 l ql FS2 = − + qx2 4 qx 3 M1 = − 1 3l q 2 ql l M 2 = x2 − ⋅ ( + x2 ) 2 4 6 FS1 = −
2 q0l q 0 x2 FS = − + 4 l q x3 ql M = 0 x2 − 0 2 4 3l
l (0 ≤ x2 ≤ ) 2 l (0 ≤ x2 ≤ ) 2
(e) (f)
3．画剪力、弯矩图 依据式(c)和(e)可绘剪力图，如图 5-9b(2)所示；依据式(d)和(f)可绘弯矩图，如图 5-9b(3) 所示。 (c)解：1．求支反力
=0 ，FS左 + F + qdx − FS右 = 0
保留有限量，略去微量 qdx 后，得
FS右 − FS左 = F
为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内） ，可将上式改写为
保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得
足标 C 系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。 根据题图 b，由
∑F
略去微量 qdx 后，得
y
=0 ，FS左 + qdx − FS右 = 0
FS右 = FS左
仍据题图 b，由
(c)
∑M
C
=0 ，M 右 − M e − qdx(
dx ) − FS左 dx − M 左 = 0 2
11l 处有 FS2 = 0 ， M 2 有极大值，其值为 24 121 2 M 2 max = M max = ql 1152
(d)解：1．建立剪力、弯矩方程
8
图 5-9d 坐标如图 5-9d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为
q( x1 ) ⋅ x1 qx 2 =− 1 2 l ql FS2 = − + qx2 4 qx 3 M1 = − 1 3l q 2 ql l M 2 = x2 − ⋅ ( + x2 ) 2 4 6 FS1 = −
2 q0l q 0 x2 FS = − + 4 l q x3 ql M = 0 x2 − 0 2 4 3l
l (0 ≤ x2 ≤ ) 2 l (0 ≤ x2 ≤ ) 2
(e) (f)
3．画剪力、弯矩图 依据式(c)和(e)可绘剪力图，如图 5-9b(2)所示；依据式(d)和(f)可绘弯矩图，如图 5-9b(3) 所示。 (c)解：1．求支反力
=0 ，FS左 + F + qdx − FS右 = 0
保留有限量，略去微量 qdx 后，得
FS右 − FS左 = F
为了更一般地反映 F 作用处剪力的突变情况（把向下的 F 也包括在内） ，可将上式改写为
材料力学 第五章ppt课件
A A
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
材料力学第五章课件
of
the
components
3
will
5.2 低碳钢拉伸应力—应变曲线
常用拉伸试样(圆截面): Specimen
F
标距长度： l =10d 或5d
施加拉伸载荷F，记录 F—Dl曲线;
d l
或(=F/A)—(=Dl /l )曲线。
低碳钢拉伸应力—应变曲线:
弹性 屈服 强化 颈缩
Low四car个bo阶n st段eel ：stress
延性指标： 延伸率 和/或 面缩率。
Indicator of elongation
10
5.3 不同材料拉伸压缩时的机械性能
1) 不同材料的拉伸—曲线
(MPa) 16Mn
500
(MPa)
500
Cast iron
灰铸铁
(MPa) Alloy of aluminum
500
铝合金
A3钢 200 (Q235)
1
5
“材料的力学性能 实验室”
电子拉力试验机
The mechanical properties 6
of materials Laboratory
由-曲线定义若干重要的
材料性能和指标 ：
b
Proportional limit
比例极限 p： =E
ys
y
ep
e p
s
k
-关系是线性、弹性的。
E
1
弹性模量 (Elastic Modulus)
弹性应变和塑性应变
b
ys
屈服后卸载，卸载线斜率为E。
Ab Bs
残余的塑性应变为p；恢复的弹 性应变为e，则有：
E
1
o p e
《材料力学》第五章课后习题参考答案
错误原因及避免方法
错误原因
1. 对材料力学的基本原理理解不深入，导致选择错误的公式或方法进行 计算。
2. 计算过程中出现数值错误或单位不统一等问题，导致结果偏差较大。
错误原因及避免方法
• 对计算结果缺乏分析和讨论，无法判断其 合理性和准确性。
错误原因及避免方法
01
避免方法
02
03
04
1. 加强对材料力学基本原理 的学习和理解，掌握各种公式 和方法的适用范围和条件。
题目一
分析并比较不同材料在拉伸过程中的力学行为差异。
题目二
讨论材料疲劳破坏的机理及影响因素。
要求
掌握材料在拉伸过程中的应力-应变曲线，理解弹性模量 、屈服强度、抗拉强度等概念，能够运用所学知识分析不 同材料的力学行为。
要求
了解材料疲劳破坏的基本概念，掌握疲劳破坏的机理和影 响因素，能够运用所学知识分析实际工程中的疲劳破坏问 题。
知识点综合运用
弹性力学基础
运用弹性力学的基本原理，分析 材料在弹性阶段的力学行为，计
算弹性模量等参数。
塑性力学基础
运用塑性力学的基本原理，分析材 料在塑性阶段的力学行为，理解屈 服强度、抗拉强度等概念。
疲劳破坏理论
运用疲劳破坏的基本理论，分析材 料在交变应力作用下的力学行为， 讨论疲劳破坏的机理和影响因素。
加强实践应用
除了理论学习外，我还计划通过 实践应用来加深对材料力学的理 解。例如，可以尝试利用所学知 识解决实际工程问题，或者参加 相关的实验和课程设计等。
拓展相关学科领域
材料力学是一门基础学科，与其他学 科领域有着密切的联系。因此，我计 划拓展相关学科领域的学习，如结构 力学、弹性力学等，以便更全面地了 解材料的力学性能和工程应用。
材料力学(I)第五章
挠曲线近似微分方程为 q EIw M x lx x 2 ( 2) 2 q lx 2 x 3 C1 ( 3) 通过两次积分得： EIw 2 2 3 q lx 3 x 4 EIw C1 x C 2 ( 4 ) 2 6 12
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI Fl 3 Fl 3 Fl 3 wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
b x2 F x a EIw C 2 (1 ) 2 F l 2 2
2
b x2 F C1 (1) EIw1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 ( 2) l 6
b x3 F x a EIw 2 F l 6 6 C 2 x D2 ( 2 )
26
例题 5-3
4. 建立转角方程和挠度方程 将C1、C2、D1、D2代入(1)、(1')和(2)、(2')式得两 段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
左段梁 (0 x a )
1 w1
右段梁 (a x l )
2 w 2
Fb l 1 2 2 2 2 Fb 1 2 2 2 x a x l b ( 3 ) l b x ( 3 ) 2lEI b 3 2lEI 3 w2 Fbx 2 Fb l 3 3 2 2 w1 l b 2 x 2 ( 4) x a x l b x (4 ) 6lEI 6lEI b
材料力学I第五章 ppt课件
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
14
例题 5-1
试求图示悬臂梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。梁的EI
为常量。
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
15
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为
M x F l x ( 1 )
挠曲线近似微分方程为
(b)
E w M I x F l x ( 2 )
通过两次积分得 Ew IFlx x 22C 1 (3) EI F w l2 x 2x 6 3 C 1xC 2 (4)
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
16
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程
w Mx
EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
10
II. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
w Mx
EI 求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
E w I M x
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition) 确定积分常数。
材料力学(Ⅰ)电子教案
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得 C 10 ， C 20
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程
qwFxF l 2x(5)
EI2EI
挠曲线方程
F2lx F3x w
(6)
2EI6EI
材料力学(Ⅰ)电子教案
梁弯曲时的位移
17
例题 5-1
转角方程
材料力学 第五章课件
M ym ax Iz
1)当 中性轴为对称轴时( 1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :
σmax = M WZ
C
ymax
Z
W
=
I y
Z
max
ymax
y
WZ称为抗弯截面系数
( Stresses in Beams)
y
M
?
O
z x
σ =E
ρ
?
应力分布规律
y
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力， 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ 中性层的曲率半径ρ
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
σ Eε E = = ρ
yc max
M
yt max 和 ycmax
直
接代入公式 z
yt max
y
My σ= Iz
求得相应的最大正应力
( Stresses in Beams)
( Stresses in Beams)
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系 的分布规律 变形的分布规律 观察变形 提出假设
假设 假设
ε=
y
ρ
( Stresses in Beams)
3、物理关系(Physical relationship)
Hooke’s Law 所以
σ = Eε
Neutral surface Symmetrical axis of Cross Section Fig 5-3 5Neutral axis
材料性能学第5章
图5-9 F-R再生核模型
24
a—交变应力为零，循环开 始时，裂纹处于闭合状态。 b—随拉应力增加，裂纹前 端因解理断裂向前扩展。 c—在切应力作用下，沿 45°方向在很窄范围内产生 局部塑性变形。 d—发生塑性钝化，裂纹停 止扩展。 e—应力为零或进入压应力 周期，裂纹闭合，其尖端重 图5-10 脆性疲劳条带形成过程示意图 新变得尖锐，但裂纹已经向 前扩展了一个条带的距离。
以提高疲劳抗力。 ▶ 晶界开裂产生裂纹
晶界弱化、粗化等也会使晶界开裂。强化、净化、 细化晶界，可提高材料的疲劳抗力。 ▶ 材料内部的缺陷(如气孔、夹杂、分层、各向异 性、相变或晶粒不均匀等)，都会因局部的应力集 中而引发裂纹。
19
疲劳裂纹扩展的方式和机理 ▶ 疲劳裂纹扩展，按扩展方向可分为两个阶段
常将0.05~0.10mm的裂纹定义为疲劳裂纹核， 由此来确定疲劳裂纹的萌生期。
14
疲劳裂纹一般都萌生于零件的表面，可能有三 个位置： 对纯金属或单相合金，尤其是单晶体，裂纹多 萌生在表面滑移带处，即所谓驻留滑移带的地方。 当经受较高的应力/应变幅时，裂纹萌生在晶 界处，特别是在高温下更为常见。 对一般的工业合金，裂纹多萌生在夹杂物或第 二相与基体的界面上。
在电子显微镜下可显示出疲劳条带。疲劳带是每次循环 加载时形成的。
20
图5-7 疲劳条带 (a)韧性条带×1000 (b)脆性条带×600
21
► 裂纹扩展的塑性钝化模型(L-S模型)
a—交变应力为零，循环开始时， 裂纹处于闭合状态。 b—拉应力增加，裂纹张开，且 顶端沿最大切应力方向产生滑移。 c—拉应力达到最大时，滑移区 扩大，裂纹顶端变为半圆形，并 停止扩展。裂纹顶端由于塑性变 形产生塑性钝化，应力集中减少。 d—应力反向，滑移方向改变， 裂纹表面被压拢，裂纹顶端弯折 成一对耳状切口。 e—压应力最大值时，裂纹完全 图5-8 韧性疲劳条带形成过程示意图 闭合，并恢复到开始状态。
材料力学第五章 梁弯曲时的位移 PPT
M(x) E Iz
高等数学：
1
r (x)
=±（1＋ww2）3/2
± w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
M ＜ 0，w ＞ 0
M ＞ 0，w ＜ 0
取负号!
－ w w （1＋ 2）3/2
=
M(x) E Iz
w w （1＋ 2）3/2
=－
M(x) E Iz
挠曲线微分方程
小 变 形
w
=－
DB段（a≤x≤l）： M2(x)F l b xF(xa) Ew I2 Fl b xF(xa)
q E w 2 IE2I F l b x 2 2 F (x 2 a )2 C 2
E2 I w F l b x 6 3F(x 6 a )3 C 2xD 2
确定积分常数 连续条件
x = a 时：
w1 w2 w1 w2
边界条件
x = 0 时： w1 0 x = l 时： w2 0
D1D20 C1C2F 6lb(l2b2)
AD段（ 0≤ x ≤ a ）：
w 1 q1F(6 b lE 2b I2)l2F Eb Ix2l
w1F(6 b lE 2b I2l)x6F EbIx3 l
DB段（ a ≤ x ≤ l ）：
q w 2 2 F ( 6 lE 2 b b 2 I ) l2 F Ex b 2 I l 2 F E (x I a )2
对于受任意荷载的简支梁，若挠曲线上无拐点， 则可用梁中点的挠度代替最大挠度。
例3：悬臂梁如图，已知F、a，M＝0.5 Fa，
梁的弯曲刚度 EI 为常数，试画出挠曲线的大致形 状。
FM
A
B
C
D
a
a
材料力学 第5章习题答案
图 5−4
（A）Nmax = 60kN，Nmin = 15kN （B）Nmax = 60kN，Nmin = −15kN （C）Nmax = 30kN，Nmin = −30kN （D）Nmax = 90kN，Nmin = −60kN 解：用直接法求轴力可得 NAB = −30kN，
NBC = 30kN，NCD = −15kN，NDE = 15kN。 答案：（C）
）。
图 5−1
第二节 轴 向 拉 伸 与 压 缩
5-2 （2010 年） 等截面杆轴向受力如图 5−2 所示。杆的最大轴力是（ ）kN。
（A）8
（B）5
（C）3
（D）13
解：用直接法求轴力，可得左段轴力为−3kN，而右段轴力为 5kN。
答案：（B）
图 5−2
5-3 （2006 年） 如图 5−3 所示变截面杆中，AB 段、BC 段的轴力为（ ）。
解：由于 A 是斜截面 m−m 的面积，轴向拉力 P 沿斜截面是均匀分布的，所以 σ = P A
应为斜截面上沿轴线方向的总应力，而不是垂直于斜截面的正应力。 答案：（C）
93
5-7 （2005 年） 有一横截面面积为 A 的圆截面杆件受轴向拉力作用，在其他条件不变时，
若将其横截面改为面积仍为 A 的空心圆，则杆的（ ）。
第五章 材 料 力 学
第一节 概 论
5-1 （2009 年） 在低碳钢拉伸实验中，冷作硬化现象发生在（ （A）弹性阶段 （B）屈服阶段 （C）强化阶段 （D）局部变形阶段 解：低碳钢拉伸实验时的应力—应变曲线如 图 5−1 所示。当材料拉伸到强化阶段（ce 段）后，卸除荷载时，应力和应变按直 线规律变化，如图 5−1 中直线 dd′。当 再次加载时，沿 d′d 直线上升，材料的 比例极限提高到 d 而塑性减少，此现象 称为冷作硬化。 答案：（C）
材料力学I第五章ppt课件
而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件 (constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的 连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为边界条 件。
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
11
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
6
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
1
x
1
w w2
3/ 2
1/为非负值的量，而w“是q = w' 沿
x方向的变化率，是有正负的。
w
1 w2
3/ 2
M x
EI
由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略
去，于是得挠曲线近似微分方程 w M x
7
EI
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的 线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角
位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
1
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它 可以表达为: w=f(x)，此式称为挠曲线方程。
由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面 的转角θ也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角， 从而有转角方程：
q tanq w f x
2
第五章 梁弯曲时的位移
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
材料力学第五章
t矩
Fs 2Iz
( h2 4
y2)
t max
Fs h 2 8Iz
3 2
Fs bh
1.5t
t大小：沿截面宽度均匀分布，沿截面高度为抛物线分布。 t方向：与横截面上剪力方向相同；
二、工字形截面梁
腹板上切应力：t Fs Sz
b0
b0 I z [P151 式 (5.10)]
yz
其中Fs为截面剪力；Sz为y点以下的面积对中性轴之静矩；
横力弯曲最大正应力
s max
M max ymax IZ
8
5-3 横力弯曲时的正应力
第5章 弯曲应力
一、横力弯曲的最大正应力：
s max
Mmaxymax Iz
引入：W—抗弯截面系数 W I z
y
ymax
圆形 —W
Iz
d 4 / 64 d 3
ymax d / 2 32
矩形 — W Iz bh3 / 12 bh2
ymax h/ 2
6
s max
M max W
5-3 横力弯曲时的正应力
第5章 弯曲应力
弯曲正应力公式适用范围：
① 线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ② 精确适用于纯弯曲梁； ③ 对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5) ，上述公式的误差不大。
10
5-3 横力弯曲时的正应力
第5章 弯曲应力
A
Fs
qL
2+
L=3m
M
qL2
8
+
第5章 弯曲应力
[例] 矩形(bh=0.12m0.18m）截
面木梁如图，Байду номын сангаасs]=7MPa，[t]=0. 9
材料力学第五章知识点总结(刘鸿文主编)
3
bh 2 WZ = 6
b0 h0 bh 3 WZ = ( − ) /(h0 / 2) 12 12
3
材料力学
§5-3
横力弯曲时的正应力
在横力弯曲情况下： ¾ 横截面上既有正应力，又 有切应力 ¾ 横截面将发生翘曲，不再 保持为平面
F
实验和弹性力学理论的研究 都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯 曲正应力公式对于横力弯曲近似 成立。
例3 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m， [σ]=160MPa ， E=210GPa ，在梁的下边缘 C 点沿轴 向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ε c = 400 ×10 −6 ， 求F并校核梁正应力强度。
l/2
F
A
a
C
B
z
No.16
l
材料力学
解： 1)σ C = Eε C = 210 ×103 × 400 ×10 −6 = 84MPa ⎧M C = FB (l − a) = 0.25 F ⎪ Q⎨ M C 0.25 F 0.25 F ⎪σ C = W = W = 141×10 −6 z z ⎩ ∴ F = 47.4 ×103 N = 47.4kN
B截面：
σ max =
Fa 62.5 × 267 × 32 = 3 πd1 π × 0.16 3 WzB 32 = 41.5 × 10 6 Pa = 41.5MPa ≤ [σ ] MB =
C截面：
Fb Fa
σ max =
MC WzC
=
Fb 62.5 ×160 × 32 6 = = 46 . 4 × 10 Pa = 46.4MPa ≤ [σ ] 3 3 πd 2 π × 0.13 32
bh 2 WZ = 6
b0 h0 bh 3 WZ = ( − ) /(h0 / 2) 12 12
3
材料力学
§5-3
横力弯曲时的正应力
在横力弯曲情况下： ¾ 横截面上既有正应力，又 有切应力 ¾ 横截面将发生翘曲，不再 保持为平面
F
实验和弹性力学理论的研究 都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯 曲正应力公式对于横力弯曲近似 成立。
例3 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m， [σ]=160MPa ， E=210GPa ，在梁的下边缘 C 点沿轴 向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ε c = 400 ×10 −6 ， 求F并校核梁正应力强度。
l/2
F
A
a
C
B
z
No.16
l
材料力学
解： 1)σ C = Eε C = 210 ×103 × 400 ×10 −6 = 84MPa ⎧M C = FB (l − a) = 0.25 F ⎪ Q⎨ M C 0.25 F 0.25 F ⎪σ C = W = W = 141×10 −6 z z ⎩ ∴ F = 47.4 ×103 N = 47.4kN
B截面：
σ max =
Fa 62.5 × 267 × 32 = 3 πd1 π × 0.16 3 WzB 32 = 41.5 × 10 6 Pa = 41.5MPa ≤ [σ ] MB =
C截面：
Fb Fa
σ max =
MC WzC
=
Fb 62.5 ×160 × 32 6 = = 46 . 4 × 10 Pa = 46.4MPa ≤ [σ ] 3 3 πd 2 π × 0.13 32
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Iz = (0.120.023)/12+(0.120.02)(0.045-0.01)2 + (0.020.123)/12+(0.120.02)(0.08-0.045)2 = 8.8410-6 m4
2. Maximum normal stresses in bending: Sections ? Points ?
max
5.3 Shearing stresses in bending
b
1. For the rectangular section:
Assumption: all shearing stresses are parallel to shearing force and uniformly distributed across the width of the section.
From the Table 3, we get: Ix : Sx = 17.2 cm, d = 7 mm
FSSz()max
50103
max =
Iz
=
= 41.5 MPa
17.210-2710-3
Average shearing stress of web is:
m = FS / h = 50103 / [(200-211.4)7] = 40.3 MPa e = 2.87 %
z
A
b
C• a zC
yC dA
zC
yC
1•
• • 2
y
z1
z z2
5.2 Normal stresses in bending
dx
1. Geometrical relation
M
M
Hypothesis of plane section
aa
(+y)d -d y
= d
=
(a)
M
d
M
2. Physical relation
y
= E =E
(b)
3. Statical relation
FN = A dA = 0
(c)
y a
a
Neutral layer
dx
Mz = A ( dA) y = M
(d)
From (b), (c), A y dA = Sz = 0
Neutral axis z must be centroidal axis.
FSSz()max
max =
Iz
z
h0 h
max
y
y
From the Table 3 in the page 351, we
can look up Ix : Sx and calculate max .
For example: calculate max of No. 20a steel I beam, if FS = 50kN.
a
Find: yC and Iz
4a
Solution:
1. Find yC
A1 = 3a2 , y1 = a / 2 ;
A2 = 3a2 , y2 = 5a / 2
yC = (A1 y1 + A2 y2) / (A1+A2) = 3a / 2 2. Find Iz
Iz1 = 3a a3/12 + 3a2 (3a/2 - a/2)2 = 13a4/4
uniformly across the width).
z
max
Limitation about the theory :
h / b 1.5
error 5 %
yy
2. For - shaped section:
b
For the web of I beam, (5.10) can be used: why ?
Chapter 5 Stresses in Bending
Contents:
1. Geometrical properties of plane areas 2. Normal stresses in bending 3. Shearing stresses in bending 4. Strength of beams 5. Principal moment of inertia 6. Unsymmetrical bending 7. Shear center
a,max = 6Fl /a3 b,max = 62Fl /a3 The strength of (a) is bigger.
Problem 5.4
Know: h, b, M, E
Find: max , EI . And compare
with that of the whole beam.
M
h h/2
3 FS 2bh
(1
-
4y2 h2 )
max =
3FS 2bh
=
3 FS 2A
(5.11) (5.12)
Analysis of error :
when h / b 2 , error 1 %
b
when h / b = 1 , error 10 %
Why ? Assumption about (distributed h FS
O
Iy = Iyc + a2 A Iz = Izc + b2 A
( 5.9a) ( 5.9b)
(2) For the composite area:
y
Iz(1) = Iz1 + y12 A1
Iz(2) = Iz2 + y22 A2
y1
Iz = Iz(1) + Iz(2)
y2
= Iz1 + y12 A1 + Iz2 + y22A2
Ip = A 2dA = A(y2 + z2)dA = Iz + Iy
(1) For the rectangular section: Iz = A y2 dA = -hh//22 y2bdy = bh3/12 Similarly, Iy = hb3/12
(2) For the circular section: From Iy = Iz , we get: Iy = Iz = Ip / 2 = d 4/64
Iz2 = a (3a)3/12 + 3a2 (5a/2 - 3a/2)2 = 21a4/4
Iz = Iz1 + Iz2 = 17a4 / 2
3a
1
yC
z 2
a y
Problem 5.2
Plot the distribution of bending normal stresses in following cross sections. If the positive moments act on the beams.
c,max= Fl y1/Iz = 150001.2(0.14-0.045)/(8.8410-6) = 193.4 MPa t,max= Fl yC /Iz= 150001.2 0.045/(8.8410-6) = 91.6 MPa
3. Maximum shearing stresses in bending:
Example 5.1
F
Know: F = 15 kN, l = 1.2 m
Find: t,max , c,max , max
Solution:
l
1. Centroid and moment of inertia:
120 z1
20
yC
120
20 y1z
y
yC = [(0.120.02)0.01+(0.020.12)(0.02+0.06)]/(20.120.02) = 0.045m
(3) For the tubular section:
Iy = Iz = D4(1- 4)/64 where = d / D .
O
z
y
z dA y
b
h
Cz y
dy y
D dd
zz C
yy
5. Moment of inertia for the composite area
(1) Parallel axis theorem:
,
For example:
yC =
Sy = Ai zi
zC =
Ai zi Ai
A1 y1 + A2 y2 A1 + A2
O
z
1• zi
y
2 y• i • • Ci n
z
y2 y1
1•
•
2•
y
z1 yC zC
z2
4. Moment of inertia of the area
Iz = A y2 dA , Iy = A z2 dA the moment of inertia of area to z and y.
M
Solution:
max = (M/2)/[b(h/2)2/6] = 12M/(bh2) EI = 2E[b(h/2)3/12] = Ebh3/48
For whole beam: w,max = 6M/ bh2 EIw = Ebh3/12
max /w,max = 2 stress
EI / EIw= 0.25 rigidity
Wz = d4/64/(d/2) = d3/32 (3) For the tubular section:
Wz = D3 (1- 4) / 32
Problems of Chapter 5 :
5 . 4 (b) 5.7
Problem 5.1
Know: a and section T shown in the Fig.
2. Maximum normal stresses in bending: Sections ? Points ?
max
5.3 Shearing stresses in bending
b
1. For the rectangular section:
Assumption: all shearing stresses are parallel to shearing force and uniformly distributed across the width of the section.
From the Table 3, we get: Ix : Sx = 17.2 cm, d = 7 mm
FSSz()max
50103
max =
Iz
=
= 41.5 MPa
17.210-2710-3
Average shearing stress of web is:
m = FS / h = 50103 / [(200-211.4)7] = 40.3 MPa e = 2.87 %
z
A
b
C• a zC
yC dA
zC
yC
1•
• • 2
y
z1
z z2
5.2 Normal stresses in bending
dx
1. Geometrical relation
M
M
Hypothesis of plane section
aa
(+y)d -d y
= d
=
(a)
M
d
M
2. Physical relation
y
= E =E
(b)
3. Statical relation
FN = A dA = 0
(c)
y a
a
Neutral layer
dx
Mz = A ( dA) y = M
(d)
From (b), (c), A y dA = Sz = 0
Neutral axis z must be centroidal axis.
FSSz()max
max =
Iz
z
h0 h
max
y
y
From the Table 3 in the page 351, we
can look up Ix : Sx and calculate max .
For example: calculate max of No. 20a steel I beam, if FS = 50kN.
a
Find: yC and Iz
4a
Solution:
1. Find yC
A1 = 3a2 , y1 = a / 2 ;
A2 = 3a2 , y2 = 5a / 2
yC = (A1 y1 + A2 y2) / (A1+A2) = 3a / 2 2. Find Iz
Iz1 = 3a a3/12 + 3a2 (3a/2 - a/2)2 = 13a4/4
uniformly across the width).
z
max
Limitation about the theory :
h / b 1.5
error 5 %
yy
2. For - shaped section:
b
For the web of I beam, (5.10) can be used: why ?
Chapter 5 Stresses in Bending
Contents:
1. Geometrical properties of plane areas 2. Normal stresses in bending 3. Shearing stresses in bending 4. Strength of beams 5. Principal moment of inertia 6. Unsymmetrical bending 7. Shear center
a,max = 6Fl /a3 b,max = 62Fl /a3 The strength of (a) is bigger.
Problem 5.4
Know: h, b, M, E
Find: max , EI . And compare
with that of the whole beam.
M
h h/2
3 FS 2bh
(1
-
4y2 h2 )
max =
3FS 2bh
=
3 FS 2A
(5.11) (5.12)
Analysis of error :
when h / b 2 , error 1 %
b
when h / b = 1 , error 10 %
Why ? Assumption about (distributed h FS
O
Iy = Iyc + a2 A Iz = Izc + b2 A
( 5.9a) ( 5.9b)
(2) For the composite area:
y
Iz(1) = Iz1 + y12 A1
Iz(2) = Iz2 + y22 A2
y1
Iz = Iz(1) + Iz(2)
y2
= Iz1 + y12 A1 + Iz2 + y22A2
Ip = A 2dA = A(y2 + z2)dA = Iz + Iy
(1) For the rectangular section: Iz = A y2 dA = -hh//22 y2bdy = bh3/12 Similarly, Iy = hb3/12
(2) For the circular section: From Iy = Iz , we get: Iy = Iz = Ip / 2 = d 4/64
Iz2 = a (3a)3/12 + 3a2 (5a/2 - 3a/2)2 = 21a4/4
Iz = Iz1 + Iz2 = 17a4 / 2
3a
1
yC
z 2
a y
Problem 5.2
Plot the distribution of bending normal stresses in following cross sections. If the positive moments act on the beams.
c,max= Fl y1/Iz = 150001.2(0.14-0.045)/(8.8410-6) = 193.4 MPa t,max= Fl yC /Iz= 150001.2 0.045/(8.8410-6) = 91.6 MPa
3. Maximum shearing stresses in bending:
Example 5.1
F
Know: F = 15 kN, l = 1.2 m
Find: t,max , c,max , max
Solution:
l
1. Centroid and moment of inertia:
120 z1
20
yC
120
20 y1z
y
yC = [(0.120.02)0.01+(0.020.12)(0.02+0.06)]/(20.120.02) = 0.045m
(3) For the tubular section:
Iy = Iz = D4(1- 4)/64 where = d / D .
O
z
y
z dA y
b
h
Cz y
dy y
D dd
zz C
yy
5. Moment of inertia for the composite area
(1) Parallel axis theorem:
,
For example:
yC =
Sy = Ai zi
zC =
Ai zi Ai
A1 y1 + A2 y2 A1 + A2
O
z
1• zi
y
2 y• i • • Ci n
z
y2 y1
1•
•
2•
y
z1 yC zC
z2
4. Moment of inertia of the area
Iz = A y2 dA , Iy = A z2 dA the moment of inertia of area to z and y.
M
Solution:
max = (M/2)/[b(h/2)2/6] = 12M/(bh2) EI = 2E[b(h/2)3/12] = Ebh3/48
For whole beam: w,max = 6M/ bh2 EIw = Ebh3/12
max /w,max = 2 stress
EI / EIw= 0.25 rigidity
Wz = d4/64/(d/2) = d3/32 (3) For the tubular section:
Wz = D3 (1- 4) / 32
Problems of Chapter 5 :
5 . 4 (b) 5.7
Problem 5.1
Know: a and section T shown in the Fig.