叶中豪平面几何讲座1

求证：BP 是△PAD 的外接圆的切线。（09040601.gsp）
A
P D
C
N Q
M P
O2 D
A
O1
E
B
8．矩形 ABCD 中 ，AB＝ 2 AC。P 是以为 AB 直径的半圆上任意一点，PC、PD 分别交 AB 于 F、E。求证：AE2＋BF2＝AB2。（09013001.gsp）
P
A
F
E
B
C
D
9．如图，△ABC 中，M 为 BC 的中点，以 AM 为直径的圆分别与 AB、AC 交于 E、F 两点，圆在 E、F 两点的切线交于点 D。 求证：DM⊥BC。（09013101.gsp）
中点三角形，垂三角形，切点三角形，切线三角形，旁心三角形，弧中点三角形，反弧中点三角形， 第一 Brocard 三角形，第二 Brocard 三角形，D-三角形，协共轭中线三角形
相关直线及相关三角形
Simson 线，垂足三角形，Ceva 三角形，反垂足三角形，反 Ceva 三角形
重心坐标和三线坐标 四边形和四点形
特殊直线、圆
Euler 线，Lemoine 线，极轴，Brocard 轴，九点圆，Spieker 圆，Brocard 圆，Neuberg 圆，McCay 圆， Apollonius 圆，Schoute 圆系，第一 Lemoine 圆，第二 Lemoine 圆，Taylor 圆，Fuhrmann 圆
特殊三角形
A 12
P
3
4
B
D
C
23．在四边形 ABCD 内取点 M，使得 ABMD 是平行四边形。 求证：如果∠CBM＝∠CDM，则∠ACD＝∠BCM。（09031001.gsp）
C
B
M
D A
24．P 为圆外一点，PA、PD 为切线，PCE 为割线。过 D 作 PA 的平行线，分 别与 AC 延长线及线段 AE 交于 B、F。求证：D 为 BF 中 点 。（09031302.gsp）
F
Q E
R D
C
K
A
P
B
32．已知：D、E、F 分别在△ABC 三边上，满足 EB＝ED，FC＝FD， O 是△ABC 外心。求证：A、E、O、F 四点共圆。（09033102.gsp）
A
F E
O
B
D
C
33．设 D、E 分别为△ABC 的边 AB、BC 上的点，P 是△ABC 内一点 ，
且 PE＝PC，△DEP∽△PCA。
P
C
N
G
O
A
M
B
D
5．如图，设 D 是△ABC 外接圆 BAC 弧上的任意一点，D 点在 BC 中垂线上的 射影为 E。△ADE、△BDE、△CDE 的垂心分别为 Ha、Hb、Hc。 求证：HaE 平分∠HbHaHc。（09012203.gsp）
Hb
Ha
Hc
E
D
A
B
C
6．三角形 ABC 的内切圆⊙Ｉ切三边 BC、AC、AB 于点 D、E、F，AD 和⊙Ｉ 相交于 M，DF 上有点 N，使得 DCMN 四点共圆，CN 交 AB 于 G。 求证：CD＝3GF。（09012602.gsp）
质点重心，边框重心，面积重心，Newton 线，四点形的核心，四点形的九点曲线
完全四边形
Miquel 点，Newton 线，垂心线，外心圆，Gauss-Bodenmiller 定理
重要轨迹
平方差，平方和，Apollonius 圆
三角形和四边形中的共轭关系
等角共轭点，等角共轭线，等截共轭点，等截共轭线
A
E F
B
M
C
D
10．△ABC 中，∠A＝60°，I 为△ABC 的内心，过 I 做 IE∥AC 交 AB 于 E。 在 BC 上取一点 D，使得 CD=2BD。求证：∠B＝2∠DEB。（09020201.gsp）
A
60° E
I
B
D
C
11．设⊙O1 与⊙O2 交于 C、D。过 D 的直线交⊙O1 与⊙O2 于 A、B。点 P 在弧 AD 上，PD 与 AC 的延长线交于 M，Q 在弧 BD 上，QD 与 BC 的延 长线交于 N，O 为△ABC 外心。求证：MN⊥OD 是 P、Q、M、N 四点共 圆 的 充 要 条 件 。（09020V
B
D
C
20．平面上有四个点 A1、A2、A3、A4，其中任意三个点都不在一条直线 上。并且它们满足：A1A2×A3A4＝A1A3×A2A4＝A1A4×A2A3。对于任意 ｛i，j，k，l｝＝｛1，2，3，4｝，我们设 Oi 为△AjAkAl 的外心。若对于 1 ≤i≤4 均有 Ai≠Oi，证明：四条直线 AiOi 平行或共点。（09030602.gsp）
P
E
F
K
C
B A
O
D
16．已知：AD 是高，O、H 是外心和垂心，过 D 作 OD 垂线，交 AC 于 E。 求证：∠DHE=∠C。（09022202.gsp）
A
O
H
E
B
D
C
17．过 ⊙O 外一点 A 做其切线 AB、AC，在 AB 延长线上取一点 D，△ACD 的外接圆和圆 O 交于另一点 P，Q 是 B 到 CD 的垂足。 求证：∠DPQ=2∠ADC。（09022203.gsp）
例题和习题
1．已知：ABCD 是圆外切四边形，内切圆心 O 在对角线 BD 上射影为 M。 求证：∠AMD＝∠CMD。 （09010703.gsp）
A
D
C O
M
B
2．在 ΔABC 中 AC＞BC，F 是 AB 的中点，过 F 作它的外接圆直径 DE，使得 C、E 在 AB 同一侧，又过 C 做 AB 的平行线交 DE 于 L。 求证 ：(AC+BC) 2＝4DL×EF。 （09011003.gsp）
A
X
F
D
B
C
E
P
31．在凸四边形 ABCD 中，∠DCA 与∠CDB 的外角平分线分别是边 CB 与 DA，E、F 分别为 AC、BD 的延长线上的点，且 C、E、F、D 四 点共圆。平面上的一点 P 使得 DA 是∠PDE 的外角平分线，CB 是∠PCF 的外角平分线。边 AD 与 BC 所在直线交于点 Q。求证：点 P 在边 AB 上 的充分必要条件是点 Q 在线段 EF 上 。（09033001.gsp）
高中平面几何
知识要点
(上海教育出版社 叶中豪)
三角形的特殊点
重心，外心，垂心，内心，旁心，类似重心，九点圆心，Spieker 点，Gergonne 点，Nagel 点，等力点，Fermat 点， Napoleon 点， Brocard 点，垂聚点，切聚点，X 点，Tarry 点，Steiner 点，Soddy 点，Kiepert 双曲线
求证：XM⊥PQ。。（09031602.gsp）
L
A
K
Q P
H B
C
d
B'
M
A'
C'
X
28．△ABC 中，AD 为边 BC 上的中线，E、F、G 分别为 AB、AC、
AD 上的点，且 A、E、G、F 四点共圆。设△BDE 外心为 O1、半径为 r1；
△CDF 外心为 O2、半径为 r2。求 证 ：GO12＋GO22＝r12＋r22。（09031401.gsp）
P
B
C A
D
O
F E
25．如图 2，⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D，切边 AC 于点 C，M 是边 BC 上一点，AM 交 CD 于点 N．求 证 ：M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC。 （09031302.gsp）
A
DN
C
MO B
26．已知矩形 ABCD 外接于正三角形 AEF。 求证：S△ABE+S△ADF＝S△CEF。（09031401.gsp）
A
F G
M E
N
I
C
B
D
7．给 定 △ABC。点 D、E 在直线 AB 上，顺次为 D、A、B、E，AD＝AC， BE=BC。 ∠A、∠B 的平分线分别交 BC、AC 于 P、Q，交△ABC 外接圆于 M 和 N。 A 与△BME 外心的联线及 B 与△AND 外心的联线交于点 X。求 证 ：CX⊥PQ。 （09012901.gsp）
N
A
O1
P
C D
Q
M O2
B
O
12．如图，设 N 是△ABC 的 BAC 弧中点，M 是 BC 边中点，I 是△ABC 的内心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（09021701.gsp）
N
A
I
B
M
C
13．如图，设△ABC 的内切圆与各边相切于 D、E、F 各点，AD 交内切圆 于 X，在 AD 上截取 DY＝AX，联结 YB、YC 分别交内切圆于 P、Q。 求证：FP∥EQ∥AD。（09021801.gsp）
D
C L
O
F
A
B
E
3．已 知 ：P 是垂直 ABC 外接圆 BC 弧上任意一点，PD⊥BC 于 D，PE⊥CA 于E，PF ⊥AB 于 F。求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。（09012201-7.1.gsp）
A
F B
D
C
E P
4．已知△ABC 内接于⊙O，弦 AB 的垂直平分线 PO 与 AB、AC 分别交于 M、 N，与弧 AB 相交于点 D，与 BC 的延长线交于点 P，以 OP 为直径作圆与⊙ O 的另一个交点为 G。求证：GN⊥DP。（09012202.gsp）
著名定理