第13节 环的同态基本定理
环的同态、最大理想
例2
做成环. : (a, b) a, (a, b Z ) R 的零元是 (0, 0) ，而
R {(a, b) | a, b Z }, (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
I是R的一个理想，则 R/I是一个域 I是最大理想。
Z /( p ) 是域 p 是素数. 定理9：
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练习： 求Z12的全部最大理想.
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x y ( 1 ( x) 1 ( y '))
xy ( 1 ( x) 1 ( y '))
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例4 设环
R {(a, b) | a, b Z },
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) (a1 a2 , b1 b2 ), (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a1a2 , b1b2 )
又令 S {( a, 0) | a Z }
((a, 0) a) Z ( R S)
SZ
R Z {(a, b) | 0 b Z }, Z R
RR
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二、环同态基本定理 定理 5 R ~ R / I （ :aa I ） 定义2 设 为环 R到R 的同态,称集合 Ker {a R | (a) 0} 为同态 的核. 定理6（环同态基本定理）设 为环 R到R 的同态满射,则 (1) Ker为R的理想; ( 2) R / Ker R
(1) ( a b) ( a) ( b) (2) ( a b) ( a) ( b)
环的同态与反同态(大学优秀论文)
齐齐哈尔大学毕业（设计）论文题目环的同态与反同态学院理学院专业班级数学与应用数学专业062班学生姓名赵娜指导教师李立成绩2010年 6 月 16 日摘要环的同态与反同态在代数学中具有非常重要的地位, 因此研究环的同态与反同态是尤为重要的. 本文主要从环的同态的性质、环的反同态的性质、环的同态与反同态的应用三个方面研究了环的同态与反同态. 通过利用环的同态的一些基本性质诱导出环的反同态所具有的性质, 给出了环的反同态的性质. 这些反同态性质有些是环的同态所具有的, 还有些是同态所不具有的, 这些性质为以后研究反同构问题提供了有利条件.本文重点研究了无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态以及矩阵上的反自同态与反自同构, 还有商环的结构以及在此基础上又研究了反商环的结构, 展现了环的同态与反同态的鲜明对比. 最后研究了同态与反同态在向量空间中和在证明商环同构等问题中的应用, 体现了环的同态与反同态的广泛应用, 从而反映了研究环的同态与反同态的重要性.关键词：环；同态；反同态；无零因子环；商环AbstractThe problems of the homomorphism and the anti-homomorphism are very important positions in algebra. It is particularly important to study the homomorphism and the anti-homomorphism. This article mainly studies the homomorphism and the anti-homomorphism of ring from the three aspects whice are the homomorphism properties, the anti-homomorphism properties and the application of the homomorphism and the anti-homomorphism. This article induces the anti-homomorphism with the properties through reference some basic properties of the homomorphism. Moreover, I give the properties through the anti-homomorphism of ring. In these properties, some belong to the homomorphism, but some do not. These properties provide favorable conditions for the research on the isomorphism in future. This paper mainly studies power endomorphism of no zero factor ring, endomorphism of finite commutative unitary ring and matrix anti-endomorphism and anti-automorphism, the structure quotient ring also, and on this basis. I study the structure of anti-quotient ring, shows a sharp contrast of the homomorphism and the anti-homomorphism. Finally, I study the application of the homomorphism and anti-homomorphism in vector space and the problem of proofing quotient ring isomorphism. It reflects the widely applied of the homomorphism and the anti-homomorrphism, Thus those reflects the importance of studying the homomorphism and the anti-homomorphism.Key words: Ring; Homomorphism; Anti-homomorphism; No zero factor ring; Quo-tient ring目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章环的同态的性质 (2)1.1 环的同态与同构 (2)1.2环的同态的基本性质 (3)1.3无零因子环的幂自同态 (4)1.4环的同态象的结构 (6)1.5同态下的交换环 (7)1.5.1 有限交换幺环的自同态 (7)1.5.2 同态下交换环的素理想的象 (8)第2章环的反同态的性质 (10)2.1环的反同态与反同构 (10)2.2环的反同态的基本性质 (10)2.3反商环的结构 (13)2.4反同态下交换环的素理想的象 (14)2.5矩阵上的反自同态与反自同构 (15)2.5.1n nF 上的反自同态与反自同构 (16)上的反自同构 (19)2.5.2)(FGLn第3章环的同态与反同态的应用 (21)3.1环的同态的应用 (21)3.1.1 环的同态在向量空间中的应用 (21)3.1.2环的同态在商环中的应用 (22)3.2环的反同态的应用 (24)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)绪论群的同态与反同态在代数学中具有非常重要的地位, 群是研究一个代数运算的代数系统, 但是我们在高等代数中经常会遇到很多重要的讨论对象. 例如: 数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等. 都有两个代数运算. 这一事实说明, 在近世代数中研究有两个代数运算的代数系统也是具有非常重要的现实意义. 因此, 研究环的同态与反同态是尤为重要的. 根据环的同态与反同态, 可以诱导出其他环的同态与反同态. 例如: 无零因子环、HX环及商环, 还可以利用环的同态简化商环同构问题的证明过程. 除此之外, 环的反同态也为以后研究反同构问题打下好的基础, 因此, 对环的同态与反同态的研究在代数学中是至关重要的.同时环的同态与反同态在国内外也具有广泛的研究. 1996年陈国慧在同态基本定理的应用中用具体的例子说明了当所给的环是商环时, 利用同态基本定理可以简化商环同构问题的证明过程. 2001年姚炳学在LF商环的同态中研究了LF商环的性质, 得到了一系列的同态基本定理. 1998年李月芬和赵英在反商群和反同态中利用反同态和反同构的概念得到了一系列和商环, 群同态、同构完全相同的性质, 同时也得到了反同态基本定理. 1961年Herstein把Jacobson最初的环R满足nx n=即可交换的结果推广为: 如果对环R有使n xx→为R的一个自同态[1]. 则R是交换的, 并且对幂自同态的结果进行了研究.本文将主要对环的同态与反同态的性质进行研究. 为了体现环的同态的性质, 首先给出了环同态的所有基本性质. 然后再进一步研究环的同态, 本文将通过对无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态、环的同态象的结构、环的同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环同态的广泛研究性. 在对环的反同态的研究中, 我们将采取同样的方法, 通过对环的反同态象的结构和环的反同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环的同态与反同态的区别和联系. 本文最后研究了同态与反同态在几个方面的主要应用, 例如: 在向量空间中的应用和在证明商环同构问题中的应用, 反映了环的同态与反同态的应用广泛. 从而体现了研究环的同态与反同态的重要性.第1章 环的同态的性质1.1 环的同态与同构为研究环的同态所具有的性质. 首先, 在本节中我们先简单介绍一下环的同态与同构.定义1.1[2] 设R 与R 是两个环, 如果有一个R 到R 的映射φ满足)()()(b a b a φφφ+=+)()()(b a ab φφφ=, ),(R b a ∈∀则称φ是环R 到R 的一个同态映射.如果φ是环R 到R 的一个同态满射时, 简称R 与R 同态, 记为R R~, 特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个自同态. 如果φ是环R 到R 的一个同态映射, 而且φ又是双射时, 则称φ是环R 到R 的一个同构映射, 当R 与R 之间存在同构映射时, 称R 与R 同构, 记为R R ≅.特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个自同构.当R 与R 为除环或域时, 则以上的同态映射、自同态、同构映射和自同构就称为环或域的同态映射、自同态、同构映射和自同构.定义 1.2 设φ是环R 到R 的一个同态映射, R 的零元0在φ之下的所有原象)0(1-φ成的集合, 叫做φ的同态核, 记作φKer , 即==-)0(1φφKer }0)({=∈x R x φ同态核是环R 的理想, φ是单同态的充要条件是}0{=φKer环R 中所有元素在φ之下的象作成的集合)(R φ, 称为φ的同态象, 记为φIm , 即==)(Im R φφ})({R x x ∈φ显然同态象也是R 的一个子环.例1.1 设R 与R 是两个环, 定义映射0: x φ, 对任何R x ∈, 则φ是环R 到R 的一 个同态映射, 且同态象为}0{)(=R φ, 此同态称为零同态, 是任何两个环之间都存在一个同态.以上我们给出了环的同态和同构的概念, 下一节我们具体介绍一下环的同态的基本性质.1.2 环的同态的基本性质定理1.1[2] 设N 是环R 的一个理想，则N R 对陪集的加法与乘法作成一个环, 称为 为R 关于N 的商环, 且N R R~.定理1.2[2] 如果φ是环R 到R 的一个满同态, 则R Ker R ≅φ.定理1.3 设I 是环R 的任意一个理想, 则I R R ~.这个定理表明环R 的任何商环I R 是R 的同态象, 而定理1.1表明环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.定理1.4[2] （环同态基本定理）设R 与R 是两个环, 且R R~, 则(1) 这个同态核N 是R 的一个理想；(2) ~N R .定理1.5 设R 与R 是各有两个代数运算的集合, 且R R~, 则当R 是环时, R 也是一 个环.定理1.6 在环R 到环R 的同态映射下, 则(1) R 的子环（理想）的象是R 的一个子环（理想）;(2) R 的子环（理想）的逆象是R 的一个子环（理想）.命题1.1 环R 到环R 的任意满同态的核都是R 的理想.证明 ∀y ,x ∈φKer , 由同态核的定义0)(=x φ, 0)(=y φ.而)(y x -φ=000)()(=-=-+y x φφ)(rx φ00)()()(=⋅==r x r φφφ0)(0)()()(=⋅==r r x xr φφφφ, R r ∈∀所以由核的定义有 y x -, rx , φKer xr ∈.综上说明φKer 是环R 的理想.定理1.7设R 与是R 两个环, 且R R~, 则R 的零元的象是R 的零元；R 的元素a 的 负元的象是a 的象的负元；当R 是交换环时, R 也是交换环；当R 有单位元时, R 也有, 并且单位的象是单位元.但是大家要注意 环有没有零因子, 在同态映射下不一定能够保持.例1.2 设Z 是整数环, R 为4阶循环环, 即R =,2,,0{a a }3a其中a 在加群,1)(R 中的阶为4, 且2a =a , 则易知映射φ: n →na是环Z 到环R 的一个同态满射, 可知整数环Z 没有零因子, 但是循环环R 却有零子,因为在R 中04222==⋅a a a所以a 2是环R 的零因子.例1.3 设Z 是整数环, 又R =),{(b a b a ,}Z ∈, 则可以验算R 对运算),(11b a +),(22b a =),(2121b b a a ++),(11b a ),(22b a =),(2121b b a a作成一个环, 且易知φ: ),(b a →a是环R 到Z 的一个同态满射, 又因为,0)1(,1)0(=,0)0(即环R 有零因子, 但是它的同态象Z 却没有零因子. 以上两例说明了若环R R~, 当R 无零因子时, R 也可以有；反之当R 有零因子时, R 可以没有. 如果R 没有零因子, 那么我们可以得到以下性质:性质1.1设环R 与环R 同态, 如果R 是整环, 且环R 无零因子, 则R 也是整环. 性质1.2设环R 与环R 同态，如果R 是主理想环，且是R 无零因子环，那么R 也是主理想环.证明 设R 是主理想环, 故φ是R 到R 的同态满射, 由于R 是整环, 由性质1.1知R 也是整环. 设A 是R 的任意一个理想, A 是A 在φ作用下的完全原象, 即A 是R 的一个主理想, 所以R 也是主理想环.性质1.3[3] 设环R 与环R 同态，如果R 是欧式环，且R 是无零因子环，那么R 也是 欧式环.性质1.4 设环R 与环R 同态, 并且R ≅R , 如果R 是除环(域), 并且R 无零因子环, 那么R 也是除环(域).1.3 无零因子环的幂自同态上一节我们总结了环同态的基本性质, 本节我们具体来研究一下无零因子环的幂自同态. 文献[4]把Jacobson 最初的环R 满足n x =x 的结果推广为：如果对环R 有n >1, 使x n x 为R 的一个自同态, 则R 是交换的. Caslar 在文献[5]中证明了, 特征数是p 的除环是可换的充分必要条件是对于其中任意元b a ,有p p p b a b a +=+)(. 本小节通过对环的幂自同态的结构的研究, 刻画出无零因子环的所有幂自同态的形式.定义1.3 设R 使一个环, 如果有整数n >1, 使映射ϕ：x n x 为R 的一个自同态, 则称ϕ是R 的一个幂自同态.例1.4 设R 是一个具有素数特征p 的交换环，则Frobeinius 同态x k p x ，Z k ∈ 是R 的一个幂自同态.定理1.8[6] 设R 是一个环, R 2≥，：φx n x )1(>n 是R 的一个幂自同态，当满足下列条件之一时, 就有0≠charR 且22-n charR(1)R 是一个幺环；(2)φ是一个满同态.例1.5 考虑剩余类环4Z , 44=charZ 由于4不整除22-n )1(>n , 故4Z 不存在任何幂自同态.引理1.1[6] 若无零因子环R 存在幂自同态, 则R 是一个交换环.引理1.2[6] 设p 是一个素数, 则i nC p )1,,2,1(-=n i 的充要条件是存在N k ∈使得k p n =引理1.3[7] 设1>q , 则q 为素数的充要条件是存在N n ∈使 q i n C )1,,2,1(-=n i引理1.4[7] 设R 是一个无零因子交换环, 如果有N n ∈, R n ≤<1, 对任意R b ,a ∈, 满足n n n b a b a +=+)( , 则charR p =（素数）, 且存在R k ∈, 使k p n =.定理1.9 设F 是特征为p 0≠的域, 则存在N n ∈, 使得n b a )(+n n b a +=对于任意 F b ,a ∈都成立的充分必要条件是(1) 当F 为无限域时, 存在非负整数k , 使得k p n =；(2) F 为有限域时, 存在非负整数k , 使得k p n ≡)1(-F mod 0)(>n .定理1.10[7] 设R 是一个无零因子环, 如果存在1>n 使x n x 为R 的一个自同态的 充要条件是R 是交换的, charR p =（素数）, 并且(1) 当n R ≥时, 存在N k ∈使得k p n =；(2) n R <<2时, 存在N k ∈, 0≥q , 使得q n =)1(-R k p +；(3) 当2=R 时, n Z R =, N n ∈.推论1.1 设R 是一个无零因子环, 如果存在1>n 使a a n =对任何R a ∈都成立, 则 charR p =（素数）, 并且当n R ≥时存在N k ∈使得k p n =；当n R <时, 存在0>q 及0≥k , 使得q n =)1(-R k p +.1.4 环的同态象的结构由环的第一同态基本定理可知, 研究环的同态象的性质, 等价于研究相应环的商环的性质. 为此, 我们希望有一种非常简单的方法, 明确表示商环的元素. 本节将在一些特定的环上讨论商环的结构, 并得到商环的最简表达式.性质1.5[8] 设][x F R =为数域F 上的多项式环, R 的理想))((x f N =. 其中∈)(x f R , 且0)(≠x f . 则})()()({R x g x g x f N ∈=且N R =}))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q N x q ︒︒∂<∂=∈+证明 前一个等式是显然的, 在后一个等式中右包含于左也是显然的. 若R x h ∈)(, 则由带余除法可知, 存在)(x g , )(x q R ∈, 使得)()()()(x q x g x f x h +=其中)(x q 0=, 或者))(())((x f x q ︒︒∂<∂, 于是N x q N x h +=+)()(属于右, 即: 左包含于右.定义1.4 设R 是环, K 是R 的非空子集, N 是R 的理想, 如果(1) R r ∈∀, 存在K k ∈使得 K k N r +=+；(2) 21,k k ∀∈K , N k N k +=+21, 当且仅当21k k =,则称K 为商环N R 的完全代表元集.性质1.6 在结论1.5 的条件下, K ))}(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q x q ︒︒∂<∂=∈= 为商环N R 的完全代表元集.性质1.7 在结论1.5的条件下, 如果)(x f 是不可约多项式, 那么N R ≅}][)()({1x F x q q n -∈β其中 )}({x f n ︒∂=, β是)(x f 的一个复根.性质1.8 设=X )}(,),(),({21x f x f x f n , )(X N =是由X 生成的理想, 其中)(x f i ∈ ][x F , 且)(x f i 0≠, 则=N }][))()({1∑=∈ni i i i x F (x h x h x f ]}[)()()({x F x h x h x d ∈=其中=)(x d ))(,),(),((21x f x f x f n于是N R =))((x d R证明 设=H }][)()({1x F x q q n -∈β, 并令φ: N R ,H → N x q +)()(βq∀)(x q R ∈, 且)(x q 0≠or n x q <∂︒)}({. 如果)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 并且)(1x q ≠ )(2x q , 则=-)))()((),((21x q x q x f 1所以存在)(x u , )(x v ][x F ∈, 使得)(x f )(x u +)}()({21x q x q -)(x v 1=此式在复数域C 上仍然成立. 而0)(=βf , 显然)()(21ββq q -0≠, 因此φ是单射. 至于φ是满射是显然的. 所以φ是N R H →的恒等映射.∀)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 有-)(1x q )(2x q ∈][1x F n -, 即})({1N x q ++})({2N x q +=)}()({21x q x q +N +所以=+++)})(())({(21N x q N x q φ)()(21ββq q +=φ})({1N x q ++φ})({2N x q +另一方面, 设)()(21x q x q =)()(x g x f +)(x q而)(x q ∈][1x F n -, 因此)(βq =)(1βq )(2βq于是=++)})()()({(21N x q N x q φ)(βq =φ})({1N x q +φ})({2N x q +所以φ是N R H →的同构映射.1.5 同态下的交换环1.5.1 有限交换幺环的自同态本节我们具体来研究一下有限交换幺环的自同态.定义1.4 设G 为有限无向无环简单图. G 的点色数记为)(G χ，G 的顶点集与边集分别记为)(G V 与)(G E . )(G V 的一个子集X 被称为是G 的一个团, 如果X 在G 中的导出子图为完全图. G 中所有团的基数的上确界称为G 的融数, 记为)(G c . 若G 是H 的子图, 则记为H G ≤. 此时, )()(H c G c ≤.引理1.5[9] 若H G ≤, 则)()(H G χχ≤.性质1.9 若H G f →:为图同态, 则))(()(G f G χχ≤.性质1.10若EndG f ∈, 则))(())(()(f D G f G χχχ==.性质1.11 设R 为有限交换幺环, 则)()()()(R l R t R c R +==χ.性质1.12 设R , S 均为有限交换幺环, S R f →:为保幺同态, 则)()(:S G R G f → 为图同态, 并且)())(())(())((S G R f D R f G R G f ≤≤≤定理1.11设R , S 均为有限交换幺环, S R f →:为保幺同态, 则(1) )()(S R χχ≤；(2) )()(S c R c ≤；(3) )()(S l R l ≤.定理1.12[9] 设R 为有限交换幺环, )(1R End f ∈, 则(1) ))(()(R f R χχ=；(2) ))(()(R f c R c =；(3) ))(()(R f l R l =；(4) ))(()(R f t R t =；(5) )()()(R l R t R f +≥.推论1.2 设R 为有限交换幺环, )(1R End f ∈, 则(1) )(R J Kerf ⊆, 并且)()(R J Kerf Rad =；(2) 若R 是Jacobson 半单环, 则f 是环R 的自同构, 从而)()(1R Aut R End =.证明 (1) 有定理1.12(4)知)(()(R f t R t =, 而由环的同态定理知)((R f t 等于R 中包含Kerf 的极大理想的数目, 故R 得极大理想均包含Kerf . 故)(R J Kerf ⊆.(2) 若R 是半单环, 则0)(=R J , 由(1)得0=Kerf , 从而f 为单同态. 由R 的有限性知f 也是满同态, 故f 是同构, 即)(R Aut f ∈.1.5.2 同态下交换环的素理想的象众所周知, 在环的同态映射下素理想的完全原象仍是素理想, 但是素理想的象却未必是素理想. 本节将要给出在环的同态下交换环的素理想的象仍是素理想的一个充分条件.对于环R , 以)(R P 表示R 上的全体素理想构成的集合, 我们知道, 给定一个素理想集⊆A )(R P , 则P AP ∈ 是R 的理想, 由此, 我们便可征得下述结果 性质1.13 R 是交换环, ⊆A )(R P , f 是R 到P R AP ∈ 的自然同态, 则对每个A P ∈, )(P f 是P R AP ∈ 的素理想, 并且))((1P f f P -=. 推论1.3 设R 是交换环, ⊆A )(R P , 令*A )}()({1P R P Q Q f AP ∈-∈= , 则∈A *A , 这里f 是R 到P R AP ∈ 的自然同态. 定理1.13 如果交换环R 与1R 同态, 同态映射为f , 且=Kerf P P(R)P ∈ , 则)(P f 是1R 的素理想.本章我们重点对无零因子环的幂自同态、有限交换幺环的自同态、环的同态象的结构、环的同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现了环同态的广泛研究性.在下一章在对环的反同态的研究中, 我们将采取同样的方法, 通过对环的反同态象的结构和环的反同态下素理想的象仍是素理想的一个充分条件等方面的研究, 体现环的同态与反同态的区别和联系.第2章 环的反同态的性质在上一章中我们研究了环的同同态及其性质, 相应的这一章我们将要研究一下环的反同态, 反同态在教学中往往是个难点, 我们将仿照环的同态来研究环的反同态.2.1 环的反同态与反同构文献[10]引用了群的反同态与反同构的概念, 利用它们得到了一系列与群同态、同构完全相应的性质. 本节我们首先给出环的反同态与反同构的概念.定义2.1 设R 与R 是两个环, 如果有一个R 到R 的映射φ满足)()()(b a b a φφφ+=+)()()(a b ab φφφ=, ),(R b a ∈∀则称φ是环R 到R 的一个反同态映射.如果φ是环R 到R 的一个同态满射时, 简称R 与R 反同态, 记为反~R R .特别地, 环R 到自身的反同态叫做环R 的反自同态.交换环的反自同态显然就是自同态.如果φ是环R 到R 的一个反同态映射, 而且φ又是双射时, 则称φ是环R 到R 的一个反同构映射, 当R 与R 之间存在同构映射时, 称R 与R 反同构, 记为R R 反≅. 特别, 当R R =时, 称φ是环R 的一个反自同构. 当R 与R 为除环或域时, 则以上的反同态映射、反自同态、反同构映射和反自同构就称为环或域的反同态映射、反自同态、反同构映射和反自同构.定义 2.2设φ是环R 到R 的一个反同态满射, R 的零元0在φ之下的所有原象)0(1-φ作成的集合, 叫做φ的反同态核, 记作φKer 反.在下一节中我们将进一步研究环的反同态与反同构的性质.2.2 环的反同态的基本性质之前我们引入了反同态和反同构的概念, 利用他们我们可以得到一系列好的结果, 我们根据环同态的性质类比的给出环的反同态的性质, 利用反同态在以后的学习中可以讨论各类代数关系.性质2.1 设R 与R 是两个环, 且反~R R , 则(1) R 的子环H 的象)(H ϕH =是R 的子环;(2) R 的理想的象)(N ϕN =是R 的理想;(3) R 的子环H 的逆象)(1H -ϕH =是R 的子环;(4) R 的理想的逆象)(1N -ϕN =是R 的一个理想.证明 (1) 由于)(H ϕ})({H h h ∈=ϕ, 且)0(ϕ0=∈)(H ϕ, 所以)(H ϕΦ≠, ∀)(x ϕ, )(y ϕ∈)(H ϕ, 其中x ,H y ∈则y x -H ∈, H xy ∈. 从而)()(y x ϕϕ-)(y x -=ϕ∈)(H ϕ)(x ϕ)(y ϕ)(xy ϕ=∈)(H ϕ即可证)(H ϕH =是R 的子环.(2) 如果ϕ: R R →是环的反同态满射, 由(1)知)(N ϕ是R 的子环, ∀)(x ϕ∈)(N ϕ 其中N x ∈, R a ∈, 存在R y ∈, 是的)(y ϕa =, 于是)(x a ϕ=)(y ϕ)(x ϕ)(xy ϕ=∈)(N ϕ同理a x )(ϕ∈)(N ϕ, 因此, )(N ϕ是R 的理想. (3), (4)证明从上略.引理2.1[11] 设1φ是环1R 到2R 的一个反同态映射, 2φ是环2R 到3R 的一个反同态映射, 则2φ1φ是环1R 到3R 的一个反同态映射.引理2.2[11] (1)奇数个反同态映射之积是反同态映射;(2) 偶数个反同态映射之积是同态映射;(3) 一个反同态映射与一个同态映射之积是反同态映射.引理2.2[11] 设φ是环R 到R 的一个反同态映射, 则φ是单射的充要条件是}0{=φKer 反这里我们设R 是一个环, N 是R 的一个理想, 令}{R a aN S ∈=, 若对于∀aN , S bN ∈, 定义aN N b a bN )(+=+ aN baN bN =⋅. 这种法则是S 的一个加法和乘法.证明 显然aN N b a bN )(+=+. 设=aN N a ', N b bN '=, 因为∃N n n ∈21,, 使得21,n b b n a a '='=, 所以=ba 2n b '1n a '. 又因为N 是R 的一个理想, 所以N a a N a n '='∈'2, 所以N n ∈∃3 使得 32n a a n '=', 所以=ba )(21n n a b '', 所以N a b N ba )()(''=, 即aN =⋅bN N a 'N b '⋅.故所定义的法则是S 的一个加法和乘法. 由文献[12]知S 对上面的运算作成一个环. 定义2.3 环R 的一个理想N 的陪集对于上面规定的加法和乘法所作成的环叫做R 关于N 的反商环, 记作N R 反.定理2.1 一个环同它的一个反商环N R 反反同态.证明 令→R :φN R 反, aN a , 易知φ是一个满射, 对于R b a ∈∀,有=+=+N b a b a )()(φaN =+bN +)(a φ)(b φ)(b a ⋅φ==⋅N b a )(bN aN )(b φ=)(a φ⋅故φ是R 是N R 反一个反同态满射, 因此R 反同态于N R 反. 对于任意一个环R , 总可以做出一个环R , 使之与R 反同构. 这只需要取集合R =R , 及环R 的加法为R 的加法, 然后利用给定的环R 的乘法定义R 的乘法⨯为ba b a =⨯ ),(R b a ∈∀即可.因为)()()(ba c c ba c b a =⨯=⨯⨯a cb cb ac b a )()()(=⨯=⨯⨯)(ba c =及c a b a ca ba a c b c b a ⨯+⨯=+=+=+⨯)()(a c ab ac ab c b a a c b ⨯+⨯=+=+=⨯+)()(c a b a ⨯+⨯=知),,(⨯+R 构成环, 易知恒等映射x x 是),,(⋅+R 到),,(⨯+R 的反同构, 称环),,(⨯+R 为环),,(⋅+R 的反向环. 环R 的反向环记作 R . 显然, R 到任一环的反同构就是 R 到该环的一个同构.定义2.4 一个环同它的每一个反商环N R反反同态, 称这样的反同态映射为自然 反同态映射.定理2.2 （反同态基本定理） 设R 是一个环, 则R 的任意一个反商环都是R 的反 同态象；反之, 若R 是R 的反同态象,R )(R f =, 则反≅R Kerf R反. 定理2.3 设R 与R 是两个环, 且反~R R ，则R 的零元的象是R 的零元；R 的元素a的负元的象是a 的象的负元；当R 是交换环时, R 也是交换环；当R 有单位元时, R 也有, 并且单位的象是单位元.定理2.4 在环R 到环R 的反同态映射下, 则(1) R 的子环的象是R 的一个子环；(2) R 的理想的逆象是R 的一个子环理想.定理2.5 设R 与R 是各有两个代数运算的集合, 且反~R R , 则当R 是环时, R 也是 环.定理 2.6 设R 与R 是两个环, 且R 与R 反同态, 如果R 是整环, R 是无零因子环, 那么R 也是整环.证明 由于R 是整环, 故R 满足交换律, 有单位元, 由文献[2]定理2知R 也满足交换律, 有单位元, 又因为R 是无零因子环, 因此R 是整环.定理 2.7 设R 与R 是两个环, 且R 与R 反同态, 如果R 是除环(域), R 是无零因子环, 那么R 也是除环(域).定理 2.8设R 与R 是两个环, 并且R 与R 反同态, 如果R 是主理想环, R 是无零因子环, 那么R 也是主理想环.证明 设R 是主理想环, 故R 是整环, 令ϕ是R 到R 的一个反同态满射, 由定理 2.6知R 也是整环. 设N 是R 的任意一个理想, N 是N 在ϕ下的逆象, 则由文献[2]定理3知N 是R 的理想. 由于R 是一个主理想环, 故N 是R 的一个主理想. 设N )(u =, ∈u N , 则u N u ∈=)(ϕ, 于是)(u ⊂N . 任取∈n N , 存在)(u N n =∈, 使得n n =)(ϕ, 设ru n =, 则 )()()()()()(u r u r u ru n n ∈====ϕϕϕϕϕ, 于是N ⊂)(u , 因此 N =)(u . 即N 是R 的一个主理想, 所以R 是一个主理想环.2.3 反商环的结构由环的反同态基本定理可知, 研究环的反同态象的性质, 等价于研究相应环的反商环的性质. 按同构意义对反商环进行分类, 其结构就完全由环的理想所确定了, 因此我们希望能够有一种非常简单的方法可以明确表示反商环的元素.性质2.2 设][x F R =为数域F 上的多项式环, R 的理想))((x f N =, 其中)(x f R ∈, 且)(x f 0≠. 则})()()({R x g x g x f N ∈=, 且反商环N R 反}))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q N x q ︒︒∂<∂=∈+=定义2.5 设R 是环，K 是R 的非空子集，N 是R 的理想，如果(1) R r ∈∀, 存在K k ∈使得 K k N r +=+；(2) 21,k k ∀∈K , N k N k +=+21, 当且仅当21k k =, 则称K 为反商环N R反的完全代表元集性质2.3 在结论2.1 的条件下K }))(())((0)(,)()({x f x q or x q R x q x q ︒︒∂<∂=∈= 为反商环N R 反的完全代表元集.事实上, )(1x q ∀, K x q ∈)(2,=+N x q )(1N x q +)(2当且仅当)(x f ))()((21x q x q -也就是当且仅当=)(1x q )(2x q否则))(())()((21x f x q x q ︒︒∂≥-∂这是不可能的.性质2.4 在结论2.1的条件下, 如果)(x f 是不可约多项式, 那么N R 反反≅}][)()({1x F x q q n -∈β 其中 n )}({x f ︒∂=, β是)(x f 的一个复根.证明 设=H }][)()({1x F x q q n -∈β, 并令φ：N R 反,H → N x q +)()(βq∀)(x q R ∈, 且)(x q 0≠or n x q <∂︒)}({.如果)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 且)(1x q ≠)(2x q , 则=-)))()((),((21x q x q x f 1, 所以存在)(x u , )(x v ][x F ∈, 使得)(x f )(x u +)}()({21x q x q -)(x v 1=, 此式在复数域C 上仍然成立, 而0)(=βf , 显然)()(21ββq q -0≠, 因此φ是单射. 至于φ是满射, 那是显然的. 所以φ是N R 反H →的恒等映射.∀)(1x q , )(2x q ∈][1x F n -, 有-)(1x q )(2x q ∈][1x F n -, 即})({1N x q ++})({2N x q +=)}()({21x q x q +N +所以=+++)})(())({(21N x q N x q φ)()(21ββq q +=φ})({1N x q ++φ})({2N x q +另一方面, 设)()(21x q x q =)()(x g x f +)(x q , 而)(x q ∈][1x F n -, 因此)(βq =)(2βq )(1βq于是=++)})()()({(21N x q N x q φ)(βq =φ})({2N x q +φ})({1N x q +所以φ是N R反H →的反同构映射.2.4 反同态下交换环的素理想的象上一章中，我们也给出了同态映射下交换环的素理想的象仍是一个素理想的充分条件. 我们知道在环的反同态映射下素理想的完全原象仍是素理想, 但是素理想的象却未必是素理想，本节将给出在环的反同态下交换环的素理想的象仍是素理想的一个充分条件.对于环R , 以)(R P 表示R 上的全体素理想构成的集合, 我们知道, 给定一个素理想集)(R P A ⊆，设W 是R 的全体素理想的交，则知W 也是R 的理想，由此，我们便可证得下述结果：性质2.5 我们设R 是交换环, )(R P A ⊆, f 是R 到W R反的自然反同态，则对每个A P ∈, )(P f 是W R 反的素理想, 并且))((1P f f P -=.证明 设A P ∈, )(P f 是W R 反的理想, 这是显然的. 若x , y ∈W R 反, xy ∈)(P f则存在a , b ∈R , P c ∈, 使得)(a f x =, )(b f y =, )(c f yx =. 从而)()()()()(c f yx a f b f ba f ab f ====故∈-c ab W , 而P c ∈, 从而得P ab ∈. 再由P 是素理想，则必有P a ∈或者P b ∈，即 )(P f x ∈或者)(P f y ∈, 所以说)(P f 是W R 反的素理想.其次, ))((1P f f P -⊆是显然的. 设))((1P f f x -∈, 即)()(P f x f ∈, 必有P y ∈, 使得)()(y f x f =, 从而∈-y x W . 由P y ∈得P x ∈, 说明P P f f ⊆-))((1, 所以))((1P f f P -=.推论2.1 设R 是交换环, ⊆A )(R P , 令*A )}()({1W R P Q Q f 反∈=-, 则)(R P A ⊆,⊆A *A , 这里f 是R 到W R 反的自然反同态.证明 设A P ∈，有上面结论可知)(P f ∈)(W R P 反，并且))((1P f f P -=∈*A ，即⊆A *A .定理2.9 如果交换环R 与1R 反同态, 反同态映射为f , 且W Kerf =反,，则)(P f 是1R 的素理想.证明 由于≅R W R 反=Kerf R 反, 设反同构映射为g , 则f g h =是R 到W R反的反同构映射. 由上面结论得)(R P P ∈∀, ))(()(P f g P h =为W R反的素理想, 从而)())((1P f P h g =-为1R 的素理想.2.5 矩阵上的反自同态与反在自同构映射1φT )(A A =；2φ*=A A )(；⎩⎨⎧=⨯-不可逆若,0可逆若,)(13A A A A n n φ 分别是n n F ⨯和)(F GL n 上的三个重要的反自同态和反自同构, 反同态与反同构在代数系统中是非常重要的, 同时它们也是非常难理解和掌握的, 本节对上述结果给予了一种简单的证明, 该种证明方法简明易懂.2.5.1 n n F ⨯上的反自同态与反自同构设F 是一个域, 记n n F ⨯为F 上所有n n ⨯矩阵关于矩阵乘法构成的幺半群. 称n n F ⨯到n n F ⨯的映射φ为n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态, 如果(1) )(B A ⋅φ)()(A B φφ=, A ∀, ∈B n n F ⨯；(2) )(n I φn I =, n I 为n n F ⨯中的幺元, 即单位元. 如果φ还是双射, 则称φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同构. 定理2.10 1φ：n n F ⨯→n n F ⨯, 1φT )(A A =是nn F ⨯到n n F ⨯的反自同构；2φ：n n F ⨯→nn F ⨯2φ*=A A )(及3φ：n n F ⨯→n n F ⨯任意的⎩⎨⎧=⨯-不可逆若,0可逆若,)(13A A A A n n φ ∈∀A nn F ⨯都是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态.我们主要证明第二个结论, 首先给出一个引理. 引理2.4[13] 对于任意的C , D n n F ⨯∈, 都有=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*D I C n-0001**-*-*⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D I I C D n n 00000011（2-1） 证明 设)(,j i c C =, )(,j i d D =, 则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D I C n-0001⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001n I C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-D I n 0001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---00001,211,222211,11211n n n n n n c c c c c c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000,12,11,12222111211n n n n n n d d d d d d d d d于是D I C n-⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001的),(j i 的代数余子式为ji j i K +-=)1(,1,211,12,11,11,12,11,11,11211--+++-----n n n n n i i i n i i i n c c c c c c c c c c c cnn j n j n n nj j n j j d d d d d d d d d d d d ,11,11,11,121,21,22111,11,111-+----+-+-nj in D C ⋅=其中nj in D C ,分别为C 的),(n i 元的代数余子式和D 的),(j n 元的代数余子式. 于是=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*D I C n-0001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n D D D 21),,,(21nn n n C C C 而=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*-*0001n I C D ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn nnn n D D D D D D D D D 212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0001,211,222211,11211n n n n n n C C C C C C C C C=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n D D D 21),,,(21nn n n C C C故=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*D I C n-0001*-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001n I C D 同理可证**-*-*⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D I I C D n n 00000011证明 (2) 由于)(2n I φn n I I ==*, 为证2φ是反自同态, 只需证=)(2AB φ)(2B φ)(2A φ即***=A B AB )(1 },min{B A 秩秩n =时, 1)()(-*=AB AB .**--=⋅==A B A A B B AB A B AB --))((11112 },min{B A 秩秩=1-n 时, 若秩A n =, 秩1-=n B , 设=B P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0001n I Q , P , Q 可逆, 于是由上面引理及1 得=*)(AB *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q I AP n 0001 **-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)(0001AP Q I C n =***-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛A P Q I n 0001**-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A Q I P n 0001=**A B若秩1-=n A , 秩B n =, 类似可证***=A B AB )(. 若秩=A 秩B 1-=n , 设1P A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0001n I 1Q ；2P B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0001n I 2Q 其中1P , 1Q , 2P , 2Q 都可逆. 由引理及1 得*)(AB *--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212111000000Q I P Q I P n n =*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21000Q I n *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000P Q I P n =*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛21000Q I n *)(21P Q *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011n IP =***-⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221000Q P Q I n *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00011n I P =*-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212000Q I P n *-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111000Q I P n =**⋅A B3 },min{B A 秩秩1-<n 时, 不妨设A 1-<n , 则n n A ⨯*=0, 而秩<AB 秩A 1-<n , 于是*)(AB =n n ⨯0, 从而有*)(AB =n n ⨯0 =**⋅A B故 2φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态. (3) 由于)(3n I φn nI I ==-1, 为证3φ是反自同态, 只需证=)(3AB φ)(3B φ)(3A φ1 当0≠AB 时, A , B 都可逆.=)(3AB φ111)(---=A B AB =)(3B φ)(3A φ2 当0=AB 时, 不妨令0=A , 则A 不可逆, 0)(3=A φ；从而=)(3AB φ)(3B φ)(3A φ故 3φ是n n F ⨯到n n F ⨯的反自同态.2.5.2 )(F GL n 上的反自同构定理2.11 记)(F GL n 为域F 上所有n n ⨯非奇异矩阵的全体关于矩阵乘法构成的群.)(F GL n 到)(F GL n 的映射1φT )(A A =, ∈∀A )(F GL n2φ*=A A )(, ∈∀A )(F GL n3φ1)(-=A A , ∈∀A )(F GL n都是)(F GL n 到)(F GL n 的反自同构. 并且1φ, 2φ, 3φ都是可换的.证明 (1) 对任意A , ∈B )(F GL n , 有1φ)()()()(11T T T A B A B AB AB φφ===2φ)()()()()(22111A B A B A A B B AB AB AB AB φφ==⋅⋅⋅===**---*3φ)()()()(33-111A B A B AB AB φφ===--故1φ, 2φ, 3φ都是)(F GL n 到)(F GL n 的反自同态. (2) 对任意A ∈)(F GL n , 由0≠A , 有1φA A =)(T2φ=⋅)(-11A A n-=⋅*)(-11A A n-A A A A A A A A ===---**-1111)()()(3φA A A ==---111)()(故1φ, 2φ, 3φ都是满射.(3) 设A , B 是)(F GL n 中任意两个矩阵,如果=)(1A φ)(1B φ, 则TT B A =, 于是B A =. 如果=)(2A φ)(2B φ, 那么**=B A , 从而有。
环的同态基本定理
环的同态基本定理(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环SR 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到SR 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '同构．证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，即η是满同态．(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射R SR '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．又()()K b K a +++ψψ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ＝()()()K b K a +++ψ，()()K b K a ++ψψ＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ＝()()()K b K a ++ψ，()()R R R K '==+111ϕψ，故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式()()()()x r x m x q x f +=，这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故()()()()N x m x q x f x r ∈-=．这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质⎪⎩⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当F 上任意n n ⨯方阵()ij a A =，可写成 ∑==n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是∑=∈==n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a ee e a Ae e 1,．对任i ，j ，作()ij kj lk lk illk e e e a e a =-1，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．这就证明了()F M N n =．模同态基本定理设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定()x N x ηη +：()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上R a N M N y N x ∈∈++∀，，有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即()M≅MηN其中()ηN为η的核．ker=参考文献[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．。
环同态及同态基本定理
环同态及同态基本定理定义2.设21:R R →ϕ是一个环同态,那么2R 中零元的完全原象}0)(|{)0(11=∈=-a R a ϕϕ叫作ϕ的模,通常记ϕϕKer =-)0(1.定理1.设R R −→−ϕ是一个环同态满射,令ϕKer I =那么(ⅰ) I R (ⅱ)R I R ≅证明:(ⅰ)对加法而言,ϕ显然是一个加群满同态,由第二章知 I R . (即I 是R 的不变子群).下面只需证明吸收律也成立即可..,R r I k ∈∀∈∀那么.00)()()()(I rk r k r rk ∈⇒===ϕϕϕϕ同理I kr ∈.∴ I R(ⅱ)由第二章知,存在R IR ≅Φ:.作为群同构,其中.][I R a ∈∀ ),(])([a a ϕ=Φ下面只需证明:I R b a ∈∀][],[,])([])([])][([b a b a ΦΦ=Φ但][][)()()(][])][([b a b a ab ab b a ΦΦ===Φ=Φϕϕϕ.∴ R I R →Φ:是环同构.即R IR ≅Φ. 定理 2.设R 是一个环而 I R ,那么必有环同态I R R →:ϕ.使得ϕ是满同态且模I Ker =ϕ.称这样的ϕ为环的自然同态.证明:令IR R →:ϕ,其中][)(a a =ϕ, 显然ϕ是个满射.而且R b a ∈∀,.)()(][][][)(b a b a b a b a ϕϕϕ+=+=+=+)()(]][[][)(b a b a ab ab ϕϕϕ=== ∴I R R ～.至于I Ker =ϕ是显然的.注意:上述定理1和定理2通称为环和同态基本定理.同时表明:环R 的任何商环I R 都是R 的同态象.而环R 的任何同态象实质上只能是R 的一个商环.与群同态类似,我们可以和到一些与第二章中平行的结果.定理3.设R R →:ϕ是环同态映射,那么(ⅰ)若S 是R 的子环)(S ϕ⇒是R 的子环(ⅱ)若I 是R 的理想且ϕ为满射)(I ϕ⇒是R 的理想(ⅲ)若S 是R 的子环)(1S -⇒ϕ是R 的子环(ⅳ)若S 是R 的理想)(1S -⇒ϕ是R 的理想证明: (ⅰ)S b a S b a ∈∃⇒∈∀,)(,ϕ使).(),(b b a a ϕϕ==所以S b a ∈-,于是R S S b a b a b a ≤⇒∈-=-=-)()()()()(ϕϕϕϕϕ.(子群)另外 ） （ S ab S ab b a b a ∈∈== )()()()(ϕϕϕϕ ∴)(S ϕ是R 的子环.(ⅱ) I R ,∴I 是R 的子环)()(I i ϕ⇒是R 的子环.须证明吸收律成立. ϕ是满射 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈⇒=∈∃⇒∈∀=∈⇒∈∀I ai I ia IR a a R a R a i i I i I i ,)(,)()( ϕϕϕ使使 R I I ai i a i a I ia a i a i )()()()()()()()()(ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈==∈== (ⅲ))(,1s b a -∈∀ϕ ∴S b a ∈)(),(ϕϕ, 而知S b a b a ∈-)()(),()(ϕϕϕϕ ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈-⇒∈-=---)()()()()()()()(11s ab S b a ab s b a S b a b a ϕϕϕϕϕϕϕϕ )(1s -ϕ是R 的一个子环.(ⅳ)R r R r S a s a ∈∴∈∀∈⇒∈∀-)(.,)().(1ϕϕϕ R S ,∴S a r S r a ∈∈)()(,)()(ϕϕϕϕ. 于是)()()()()()()()()(111s s ra S a r ra s ar S r a ar ---⇒⎪⎭⎪⎬⎫∈⇒∈=∈⇒∈=ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 满足吸收律.又由(ⅲ))(1s -⇒ϕ是R 的子环.于是R s )(1-ϕ.注意2.从定理3的证明中可知:除了(ⅱ)需要ϕ是满环同态外,其余情况都不需要ϕ是满射这个条件.极大理想的概念(1) 定义1. 设I 是R 环的一个理想且R I ≠,如果除了R 和I 以外,再也没有能包含I 的其他理想,那么称I 是R 的一个极大理想.∙ 将上定义更“数学化”些,就是:设 I R ，R I ≠,则I 是极大理想⇔不存在 I R 使R J I ⊄⊄∙ 欲判断理想 I R 是极大理想的一般有二步:① 验证 R I ≠ (即R r ∈∃ 但 I r ∉ ) 一般当R l R ∈,证I R ∉1② 设J R 且 J I ⊄,R J =⇒(2) 例子.例1. 设素数Z p ∈,那么由p 生成的理想()p I =必是极大理想.① 因为(){}()p Z n np p ∉⇒∈∀=1 （p 不整除1） ∴ Z p ≠② 设J Z ,且I ⊄J ,那么说明存在J g ∈但()p g ∉换句话说 p 不整除g ,由p 的性质 ()Z t s g p ∈∃⇒=⇒,.1, 使1=+tg sp . J I p ⊄∈,且 Z R J J tg sp J g ==⇒∈+=⇒∈1 例2. 设Q R =有理数环,那么取Q ∈2,则主理想()2=I 必不是极大理想.事实上 ()==2I {}Q g g ∈∀2, 则 Q x Q x ∈⇒∈∀2 I Q I x x =⇒∈⋅=22 ∴ I 不是极大理想. 例3. 设{}R ≠0为任一个环,则R 为单环⇔零理想{}0是极大理想.( ∴ 除环的极大理想只有 {}0 )例4. 设Z R 2=—偶数环,而R Z I 4=,可验证I 是R 的极大理想.事实上,① R ∈2 但I ∉2R I ≠⇒② 设R J I ⊄.须 证Z R J 2==.显然只需证明J ∈2即可.J j IJ ∈∃⇒但 I j ∉. 令m j 2= 而12+=k m .∴ ()24122+=+=k k j ,而J j ∈,且J k j J I K ∈-=⇒⊂∈424∴ R J J =⇒∈2极大理想的主要定理.引理1. 设 I R ,那么剩余类环I R为单环I ⇔是R 的极大理想. (这里R I ≠)证明: (⇐) 已知I 是R 的极大理想,须证I R R =只有平凡理想.设(){}J ≠0是R 的一个理想,而→R :πIR R =为自然同态映射, J R . 那么由§8知 ()J J 1-=π也是的理想,即J R .又注意到,I a ∈∀,则 ()[][]0a a =π ()πker =∴I[]J I J a J ⊆⇒∈⇒∈0 ,但 (){}J b J ∈∃⇒≠0 且 [][]J b b ∈⇒≠0 ,使 ()[][]I b b b ∉∴≠=,0π ,这说明 I ⊄J但I 是极大理想R J =⇒,于是利用π是满同态映射()()R R J J ===⇒ππ 即 R J =. ∴ I R R =是个单环.()⇒ 已知 IR R =是单环,(即R 只有平凡理想) 今设J R ,且,J I ⊄ 须证R J = :自然同态: →:πI R R =,且由§8定理3()J J =⇒π R .由J I ⊄J b ∈∃⇒且I b ∉, ∴ ()[][]0≠=b b π ( πker =I ) 而仅且 ()[]⇒∈=J b b π 这说明J 中有非零元[](){}0≠⇒J b ,但R 是单环R J =⇒. ∴ .R r ∈∀ ()[]J j J R r r ∈∃⇒=∈=π 使 ()[]()r r j ππ==∴ ()[]J I j r j r ∈=∈-⇒=-ππker 0∴ (),J j j r r ∈+-= 由 r 的任意性J R =⇒∴ I 是极大理想.引理2. 设{}0≠R ,且R 是可变换幺环,那么R 为域R ⇔为单环.证明: ()⇒ 若R 为域R ⇒必为单环()⇐ 显然需要证明R 是除环即可,也就是说:只要证明∙R 中每个元都可逆. ∈∀a ∙R ∴0≠a , 由a 生成的一个主理想{}()0≠a ,但R 是单 环()()a R R a R =∈∴=⇒1, 又 R 为可换幺环(){}ra R a ra a R =⇒∈∀=⇒1∴ a r a ⇒=-1可逆, 由a 的任意性R ⇒是除环即R 是域. 定理1. 设{}R ≠0为可变换的幺环,而R I ,那么I R 为域I ⇔是R 的一个极大理想.证明: ()⇒ I R 为域⇒I R 为单环I 1引理⇒为R 的极大理想.()⇐ I 为R 的极大理想1引理⇒I R 为单环 (1)又 I 为极大理想{} 0≠⇒≠⇒I R R I (2) R 可变换且I R R R ⇒∈1可变换且单位元为[]R 1 (3)由(1),(2),(3) 2引理⇒I R 为域.。
商环与环同态基本定理
3. 设 是环 R 到环 R 的一个同态满射,K 为其同态核,N R.
4. 令 R a bi a,b Q , R 由一切形如
a b
b a
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,, 做
成一环.这个乘法即前面定义的
[a][b] [ab] (或 (a I)(b I) ab I ) 现在我们来证明定义的合理性.设[a] [a' ] 且[b] [b' ] ，则 a a' I 且 b b' I ,于是 ab a'b (a a' )b I ,从而 a'b a'b' a' (b b' ) I ，所 以 [ab] [a'b'] ，即 ab a'b' I .所以定义是合理的. 很容易验证 R I , 是一个环.
习题 9 一个环 的非空子集 叫做 的一个左理想，假如 （i） （ii） 你能不能在有理数域 上的 矩阵环里找到一个不是理想的左理想？ 解：考虑有理数域 上的 矩阵
是 的子环， 是 的左理想。
习题二十一
1.设 N 是环 R 到环 R 的同态满射 的核.证明:
是同构映射 N=0.
2. 设 R 是有单位元的整环(可换,无零因子).证明:
第 21 讲
第 三 章 环与域
§6 商环与环同态基本定理
一、 商环的定义与性质
1 商环的构造： 设 为环， 为 的理想.
(1)
环的同态映射
环的同态映射在代数学中，环是一种重要的代数结构，它由一个非空集合和两个运算（加法和乘法）组成。
同态映射是保持运算结构的映射，它在环论中起着重要的作用。
本文将介绍环的同态映射及其性质，以及同态映射在环论中的应用。
一、环的定义与性质环是一个满足特定条件的代数结构。
一个环由一个非空集合R和两个二元运算“+”和“·”组成，满足以下条件：1. R关于“+”构成一个交换群；2. R关于“·”满足结合律；3. R关于“·”满足分配律。
在环中，加法运算“+”是交换的，且存在一个零元素0，使得对于任意元素a，有a+0=0+a=a。
乘法运算“·”不一定是交换的，但满足结合律。
同时，环中的乘法也满足分配律，即对于任意元素a、b、c，有a·(b+c)=a·b+a·c。
二、同态映射的定义与性质同态映射是保持运算结构的映射，它将一个环映射到另一个环，并保持环的加法和乘法运算。
具体地说，设有两个环R和S，它们的加法运算分别为“+R”和“+S”，乘法运算分别为“·R”和“·S”。
若存在一个映射f：R→S，满足以下条件：1. 对于任意元素a、b∈R，有f(a+b)=f(a)+f(b)；2. 对于任意元素a、b∈R，有f(a·Rb)=f(a)·Sf(b)；则称f为从环R到环S的同态映射。
同态映射保持了环的加法和乘法运算，即通过同态映射，环R中的运算结果在环S中保持不变。
同态映射还具有以下性质：1. 同态映射保持零元素：对于任意元素a∈R，有f(0R)=0S；2. 同态映射保持乘法单位元：对于任意元素a∈R，有f(1R)=1S；3. 同态映射保持逆元素：对于任意元素a∈R，有f(-a)=-f(a)；4. 同态映射保持子环：若R中存在一个子环H，那么S中存在一个子环f(H)。
三、同态映射的应用同态映射在环论中有广泛的应用。
以下是同态映射的几个典型应用：1. 同态核与同态定理：同态核是同态映射的一个重要概念，它是使得同态映射为零的元素的集合。
环同态基本定理
6
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二、环同态的一些简单性质
定理3.5.1 设 为环 R 到环R '的同态, 则 (1)(0R ) 0R' .（ 0R为 R中零元，0R为' R '中零元） (2) (na) n(a) ，n Z,a R . (3) (an ) ((a))n ，n N.
由定义可知, 环同态就是环之间保持运算的映射.
又如果同态映射 是单映射, 则称 为单同态
(monomorphism); 如果 是满映射, 则称 为满同态
(epimorphism), 此时, 称环 R 与 R '同态, 记作：
: R ~ R' ; 如果 既是单同态, 又是满同态, 则称 为
|S (s) (s) s s x 所以 |S 为满同态. 而
24
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Ker |S {s S |(s) 0}
{s S | s I} S I.
从而S I是S的理想, 且由环同态基本定理知, 有如
下的环同构
S /(S I ) (S I ) / I
因此, (e)是单位元, 由单位元的惟一性得(e) e' .
(2) 令r ' (e) , 则r ' 0 , 从而 r 'e' r ' (e) (ee) (e)(e) r '(e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去r '
得(e) e'.
满同态, 则有环同构
%: R / Ker R'
证 (1) 记K Ker , 则为K 环R 的理想. 对任意
环的同态映射定义
环的同态映射定义
摘要：
一、环的同态映射定义介绍
二、环同态映射的性质
三、环同态映射的应用
正文：
环的同态映射定义：
环同态映射是环论中的一种重要概念，它指的是一个从环R 到环S 的映射，满足以下条件：
1.封闭性：对于任意的元素a, b 属于R，有f(a+b)=f(a)+f(b) 以及
f(a*b)=f(a)*f(b)。
2.结合律：对于任意的元素a, b, c 属于R，有
f(a*(b+c))=f(a)*f(b+c)=f(a*b)+f(a*c)。
环同态映射的性质：
1.满射性：如果环R 到环S 存在一个同态映射，那么这个映射一定是满射的。
2.单射性：如果环R 到环S 存在一个同态映射，那么这个映射一定是单射的。
3.逆映射存在性：如果环R 到环S 存在一个同态映射，那么这个映射一定存在逆映射。
环同态映射的应用：
环同态映射在环的构造、环的等价分类、环的子结构等方面有广泛的应用。
例如，在环的构造中，可以通过同态映射将一个已知的环R 映射到一个新的环S，从而得到一个新的环结构。
在环的等价分类中，可以通过同态映射将不同的环等价地映射到同一个环上，从而得到这些环的等价分类。
在环的子结构中，可以通过同态映射将一个环R 的子环映射到一个新的环S 上，从而得到这个子环的新结构。
同态基本定理及两个重要的同构定理
同态基本定理及两个重要的同构定理
定理1(同态基本定理)设是一个群.则
(1) 的任意商群都是的一个满同态像；
(2) 若是的一个满同态像，比如其同态映射是则
证明: (1)是例5的结论；
(2) 由命题4，是的不变子群，令
.
因为是满同态，中的每一个元素都可写成的形式，并且由命题4证明知道，
是一个双射，又
所以是同构映射.
定理1(2)中的同构映射也称为由同态诱导的同构映射.
上面我们讲了群同态上的一个非常重要的定理，同态基本定理。
下面的几个定理是同态基本定理的应用，而这些结论本身也是非常重要的定理。
定理2设是群的两个不变子群，则都是的不变子群，并且
证明：首先，是的不变子群，是的不变子群，是的不变子群，（同学们可以作为一种练习自已证明一下）。
所以与都有意义，
即它们均构成商群. 则且是群到
的一个映射.由于的每一个元素都有形式，故是满射.另外，对
所以是同态映射. 按同态基本定理，因此，只须证明即可. 事实上，
当且仅当
定理3 设是群的两个不变子群，则
证明：令由可得所以是映射，并且
所以是满同态. 又
当且仅当所以由同态基本定理，。
3。3同态基本定理
§3.3 群的同态基本定理1.定义；设,G G 是两个群，如果映射:G Gϕ→满足,,a b G ∀∈ 都有()()(),ab a b ϕϕϕ=则ϕ称是G 到G 的一个同态。
若ϕ分别是单射、满射、双射，则称ϕ是单同态，满同态和同构。
用GG≅表示G 到G 的同构。
定理1 设,NG 则GG N。
证明 在G 与G N 之间建立映射如下：:GG Nτ→，()a aN τ=，a G ∀∈。
则显然τ是G 到G N 的一个满射。
又,a b G ∀∈，都有 ()()()()()()ab ab N aN bN a b τττ==⋅=， 即τ是G 到G N 的一个同态映射。
所以G G N 。
注：以后将上面的同态映射τ称为G 到G N 的自然同态。
核与像：设ϕ是群G 到群G 的一个同态映射，称 ker {|,()},Na a G a e ϕϕ==∈=为ϕ的核，其中e 为G 的单位元；称Im {()|}a a G ϕϕ=∀∈ 为ϕ的像。
定理2 (同态基本定理) 设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射，则ker ,.GN G G Nϕ=≅ 且证明 首先，{}e G ,由上一节定理2有{}1ker -=N e G ϕϕ= 。
其次，在G N 与G 之间建立映射如下： :GGN σ→，()()aN aa σϕ==，a G ∀∈。
（1）设aNbN=，则1a b N -∈，于是1()a b e ϕ-=，即11()()a b a b e ϕϕ--==，从而ab=，即G N 中的每个赔集在σ下的像唯一，因此σ确为G N 到G 的一个映射。
（2）a G ∀∈，因为ϕ是满射，所以存在a G ∈，使得()a a ϕ=， 从而存在G aN N ∈，使得()aN a σ=，即σ是满射。
（3）设()()aN bN σσ=，即11()()()()()a b a b e a b eϕϕϕϕϕ--=⇒=⇒=，所以1ker a b N ϕ-∈=，从而aNbN=，即σ是单射。
研究环论的概念和基础定理
研究环论的概念和基础定理环论是数学的一个分支领域，研究的是环这个抽象数学结构。
环是一个集合，配上两个二元运算，加法和乘法。
为了更好的理解环论，在本文中将介绍环的基本定义以及环论中的一些基础定理。
一、环的定义环是一个非空集合R，配上两个二元运算“+”和“·”，记作(R,+，·)，满足以下四条公理：1、加法结合律：对于任意的a、b、c∈R，有(a+b)+c=a+(b+c)。
2、加法交换律：对于任意的a、b∈R，有a+b=b+a。
3、加法同一性质：存在一个元素0∈R，对于任意的a∈R，有a+0=0+a=a。
4、加法逆元：对于任意的a∈R，存在一个元素-b∈R，使得a+b=b+a=0。
5、乘法结合律：对于任意的a、b、c∈R，有(a·b)·c=a·(b·c)。
6、乘法分配律：对于任意的a、b、c∈R，有a·(b+c)=a·b+a·c；(a+b)·c=a·c+b·c。
7、乘法同一性质：存在一个元素1∈R，对于任意的a∈R，有a·1=1·a=a。
除此之外，如果还满足乘法交换律，则称之为交换环，又称为可交换环。
二、基础定理1、加法对环的结构不产生影响其可加群结构。
对于一个环(R,+，·)，其加法运算组成一个可交换群，我们称其为加法群。
该定理是环论中的基础定理，它告诉我们环的可加性并不影响其作为一个可加群的结构。
2、幺环的定义及其特点对于一个环(R,+，·)，如果其满足以下条件，则称为幺环：1）有乘法单位元1。
2）对于任意的a∈R，都有a·1=1·a=a。
幺环还具有以下特点：1）1是唯一的乘法单位元。
2）在一个幺环中，如果a·b=0，则a=0或者b=0。
3）幺环中任意一个非零元素都有乘法逆元素。
3、整环的定义及其特点在一个对加法和乘法定义的环中，如果满足以下条件，则称其为整环：1）存在一个非零元素，其逆元为非零元素。
环同态基本定理
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定理3.5.3 设 为环R到环R '的环同态, 则Ker 为 R 的理想. 证 对任意的a, b Ker , r R , 有
(a b) (a) (b) 0 0 0
(ra) (r ) (a) (r )0 0
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例6 由本节例2和例4知, 是Z到Z m的满同态, 且 Ker m, 则由环同态基本定理得
Z / m Zm
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例7
在本节例5中, 是 Q[ x ]到 Q[ 2] 的满同态且
Ker x 2 2
从而由环同态基本定理得
证 (1) 对任意的 f ( x) Q[ x] , 存在 q( x) Q[ x] ,
a, b Q ,使
f ( x) ( x 2 2)q( x) a bx
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则
f ( 2) ( 2 2)q( 2) a b 2 a b 2 Q[ 2]
r ' e ' r ' (e) (ee) (e) (e) r ' (e)
因为 R '无零因子, 所以消去律成立. 在上式两边消去 r ' 得 (e) e '.
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(3) 设 u 为 R 的任一单位, 则
e ' (e) (uu 1 ) (u) (u 1 ) e ' (e) (u 1u) (u 1 ) (u)
从而 为 Z 到 Z m 的满同态.
商环与环同态基本定理-39页精选文档
证明 (ⅰ) a,b (S ), a,b S ，使 a (a), b (b). 所以 a b S ,于是 a b (a) (b) (a b) (S) ， 从而(S) 是 R 的子群.另外 a b (a)(b) (ab) (S) , 所以(S) 是 R 的子环. (ⅱ)因为 I R ,所以 I 是 R 的子环，从而(I ) 是 R
(4) 乘法对加法满足分配律.
在前一节中我们已知,当 I 是环 R 的理想时,仅对加法而言知 IR ,得到加法商 群 R I {[a] | R}，其中群 R I 中运算为[a] [b] [a b] ，每个元素 a 都叫做 I 的一个剩余类环且[a] [b] 当且仅当 a b I .
下面我们将说明在商加群 R I 中可以合理地引入一个乘法并使 R I ,,• 做
的子环.又因为 是满射，所以 i (I ), i I使i (i) ，
a R, a R,使a (a) ，又因为 I R ，因此 ia I, ai I ， 从而 ia (i)(a) (ia) (I ) ， ai (a)(i) (ai) (I ) ， 故(I ) 是 R 的理想.
(ⅲ) a,b 1(s) ,有(a),(b) S , 从而知(a) (b),(a)(b) S , 所以(a b) (a) (b) S, 即 a b 1(s)；(ab) (a)(b) S, 即 ab 1(s) ，故 1(s) 是 R 的一个子环. (ⅳ) a 1(s), 则(a) S；r R，则(r) R .因为 S R ,所以
,如
. 所以
这是一个仅有两个元素的域.
二、环同态的核的定义与性质
定义 2 设 为环 到 的同态, 称集合 为同态 的核.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
命题
设 为环 到 的同态, 则 为 的理想.
环的同态基本定理
环的同态基本定理(1) R 是环，S 是它的理想，则R 到商环SR 有满同态()S a a +=ηη:，S a ∈∀， 称为R 到SR 的自然同态； (2) R ，R '是环，ϕ是环R 到环R '的满同态，令ϕKer K =，则商环K R 与环R '同构．证明 (1) ()()()()()b a S b S a S b a b a ηηη+=+++=++=+， ()()()()()b a S b S a S ab ab ηηη=++=+=，()S +=11η．故η保持加法和乘法，且把单位元映成单位元，它是同态．又()(){}{}S R R a S a R a a R =∈+=∈=ηη，即η是满同态．(2) 首先，作为像集合()()a K a ϕϕ=+．这是因为K 中任一元k 在ϕ下的像为零，则()()()()()a a k a K a ϕϕϕϕϕ=+=+=+0． 由此有K R 到R '的映射R SR '−→−ϕ ()()a K a K a ϕϕ=++ ．又()()K b K a +++ψψ＝()()()()K b a b a b a ++=+=+ψϕϕϕ＝()()()K b K a +++ψ，()()K b K a ++ψψ＝()()()()K ab ab b a +==ψϕϕϕ＝()()()K b K a ++ψ，()()R R R K '==+111ϕψ，故ψ是K R 到R '的环同态．又R 到R '的环的满同态ϕ，只看R 与R '的加法群结构是加法群的满同态．而ϕKer K =是加法群同态的核．由群的同态基本定理，ψ是K R 到R '的加法群同构，即ψ是双射．故ψ是环同构．例11 F 是域，[]x F 是F 上多项式环，N 是[]x F 的非零理想，则有非零多项式()x m ，使()[]()()x m x F x m N ==．证明 取N 中次数最低的多项式为()x m ，任取()N x f ∈，作除法算式()()()()x r x m x q x f +=，这里()0=x r 或()()()()x m x r ∂<∂．若()0≠x r ，则()()()()x m x r ∂<∂．由于N 是理想，()()N x m x q ∈，又()N x f ∈，故()()()()N x m x q x f x r ∈-=．这与()x m 是N 中最低次数多项式矛盾，因此()0=x r ，()()()x q x m x f =．这就证明了()[]x F x m N =．例12 ()F M n 只有零元的理想和自身两个理想．证明 设N 是()F M n 的非零理想．记ij e 为第i 行第j 列的元为1，其余位置上元为零的F 上n n ⨯方阵．回忆有性质⎪⎩⎪⎨⎧≠==.,0,,i s i s e e e lj ij ls 当当F 上任意n n ⨯方阵()ij a A =，可写成 ∑==n j i ij ij e a A 1,．现设N A ∈≠0，则有0≠ik a ，某l ，k ．于是∑=∈==n j i lk lk kk ij ll ij kk ll N e a ee e a Ae e 1,．对任i ，j ，作()ij kj lk lk illk e e e a e a =-1，则N e ij ∈．于是任意()N e e b e b n j i ij ii ij n j i ij ij ∈=∑∑==1,1,．这就证明了()F M N n =．模同态基本定理设η是-R 模M 到-R 模M '的一个模同态，则由η诱导出模同构()M N M ηη→：，()ηker =N ，使()()x N x ηη=+，M x ∈． 证明 设η为M 到M '的一个模同态，则其核()ηker 是M 的一个子模，同态象()M η是M '的一个子模．()ηker =N ，规定()x N x ηη +：()()x N x ηη=+，M x ∈ 于是η即为N M 到()M η的一个同构映射．这是因为：1)若N y N x +=+，则 N n ∈∃，使n y x +=，()()()()()y n y n y x ηηηηη=+=+=，故()()N y N x +=+ηη， 即在η之下，N M 的每一个元在()M η中有唯一的象，从而η是映射；2)()M x η∈'∀，M x ∈∃，()x x '=η，由η的定义知()()x x N x '==+ηη，故η是满射；3)若()()N y N x +=+ηη，则()()y x ηη=，于是()()()N y N x N y x N y x y x y x +=+⇒+∈⇒∈-⇒=-⇒=-00ηηη， 故η为单射；４）η为N M 到()M η的模同态．事实上R a N M N y N x ∈∈++∀，，有 ()()()()()N y x N y N x ++=+++ηη()()()()()N y N x y x y x +++=+=+=ηηηηη ()()()()ax N ax N x a ηηη=+=+()()N x a x a +==ηη 因此，η为N M 到()M η的模同构，即()M≅MηN其中()ηN为η的核．ker=参考文献[16] 胡庆平，李丹，胡志刚．系统间的一类联系——同态与同构[J]．昭通师范高等专科学校学报，2002，24(5)：5－11．。
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环的同态基本性质
定理1 设(R1,+, )是一个环，(R2,⊕,⊙)是一个代数系。 如果存在一个从R1到R2的满射f，使得x, y R1有 f(x+y) = f(x)⊕f(y)， f(x∘y) = f(x)⊙f(y) 则(R2,⊕,⊙)是一个环.
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环的同态基本性质
定理2 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1 到R2的满同态，则 (1)如果01和02分别是R1与R2的零元，则f(01)=02； (2)如果e1和e2分别是R1与R2的单位元，则f(e1)=e2； (3) x R1 ， f(-x)=- f(x)； (4)如果x R1 ，x有逆元x-1，则f(x-1) =[ f(x)]-1； (5)如果S是R1的一个子环，则f(S)是R2的一个子环； (6)如果T是R2的一个子环，则f -1(T)是R1的一个子环.
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环的同态基本定理
定理5(环的同态基本定理) 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是 两个环。 f是从R1到B的满同态, 则R1 /Kerf ≌ R2.
定理6 设f 是从环R1到环R2的同态，N2是R2的理想， 则 N1 =f -1(N2)也是R的理想，且R1/ N1 R2/ N2 .
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第13节 环的同态基本定理
主要内容: 环的同态定义 环的同态基本性质 环的同态基本定理
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环的同态定义
定义1 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。如果存在一个 从R1到R2的映射f，使得x, y R1有 f(x+y) = f(x)⊕f(y)， f(x∘y) = f(x)⊙f(y) 则称f 是R1到R2的一个同态(映射)，而称环R1 与R2 同态. 若同态f是满射，则称f 是R1到R2的一个满同态(映射)， 而称环R1 与R2满同态，并记为R1 ~ R2 . 若同态f是单射，则称f 是R1到R2的一个单同态(映射)， 而称环R1 与R2单同态. 若同态f是双射，则称f 是R1到R2的一个同构(映射)， 而称环R1 与R2同构，并记为R1 ≌ R2 . 2/6
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环的同态基本性质
定理3 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1到 R2的满同态，01和02分别是R1与R2的零元，则f -1(02) 是R1的一个理想. 定义2 设(R1,+, )和(R2,⊕,⊙)是两个环。 f是从R1到 R2的满同态，01和02分别是R1与R2的零元， R1的理想 f -1(02)称为f的核，记为Kerf. 定理4 设N是环R的一个理想，则R~R/N，且N是这个 同态的核.