一元二次方程循环、传染问题
一元二次方程循环、传染问题
循环问题在物理学、生物学、经济学、计算机科学等领域都有应用。其中，迭代算法中最 重要的就是循环问题的解决。
循环问题模型的建立
1
解决矛盾
2
通过分析问题模型，找出各元素之间
的矛盾、不足，进而建立循环问题模
型。
3
问题抽象化
将现实问题描述成模型问题，同时明 确循环结构的形式。
模型求解
利用数学方法（如一元二次方程）求 解模型，解决实际问题。
一元二次方程循环、传染 问题
A study of the application of quadratic equations in cyclic and infectious problems. Topics include problem solving, equations and graphical interpretation, and future research directions.
进一步学习资源收集推荐
推荐广大数学学习者进一步学习研究有关一元二次方程的应用，如优化问题、 波动问题等。
荷兰学派对一元二次方程影响的介绍
蒂尔曼理论
是荷兰数学家蒂尔曼提出的一 种求解不等式的方法，应用范 围被扩展到了包括了一元二次 方程在内的二次方程中。
斯帕克汽车公司
弗罗伦达尔的铅笔&画板
Hale Waihona Puke 斯帕克在它制造的每辆汽车上 都印有一元二次方程，蕴含了 他们一贯的风格：富于科学性 和数学性。此外，斯帕克汽车 也是荷兰学派的代表企业之一。
道路拥堵问题
道路拥堵一般都是由于不断产 生的车流引起的循环问题。
病毒传播问题
在病毒传播的过程中，复现和 扩散便是循环问题，通过一元 二次方程求解可得到病毒传播 的规律。
【精品】一元二次方程应用(传染问题)
【精品】一元二次方程应用(传染问题)受新冠疫情的影响，今年全国多个地方的中考时间延迟了。
新型冠状病毒之所以可怕，其较强的传染性是一个主要原因。
这与我们中考中的“病毒传播”问题的知识点正好契合，所以这个类型的题目应该是各地中考题目中的热点题目。
“病毒传播”问题是初中一元二次方程中的典型题目。
我们看一下例题：
某种病毒传播非常快、如果一台电脑中毒、经两轮感染后就会有81台电脑被感染.
问：（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
解答这类问题，要注意“本体”是否还具有“传染性”的问题，此例题中“本体”是具有传染性的，所以可以利用计算“增长率（降低率）”的公式进行解答。
传播问题公式：
其中a表示传染之初携带病毒的个体数量，x表示每轮感染中每个个体可以传染的数量，n表示传播了几轮，b表示经过n轮传播后，已经感染病毒的个体的总数量。
所以这个例题的解答可以为：
从这个问题中，我们也不能看到病毒传播是多么可怕，如果不加以控制隔离，传染速度是多么快。
温馨提示：这个例题中，“本体”具有传播能力，要注意与题目“某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出相同数目的小分支，若小分支、枝干和主干的总数是73,则每个枝干长出小分支的个数是多少？”区分开。
巧用一元二次方程，助力疫情防控
巧用一元二次方程，助力疫情防控作者：***来源：《初中生世界·九年级》2022年第09期一元二次方程存在于我们生活的方方面面，以新冠肺炎疫情为背景的问题就有多种题型。
下面，我们通过三个问题，一起来看一下如何用一元二次方程解决此类问题。
一、传播问题例1 新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同），则每轮传染中平均每个人传染了多少人？【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，那么一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，第二轮传染中有（x+1）x人被感染，根据经过两轮传染后可能有169人患新冠肺炎，即可得数量关系：原本携带病毒人数+第一次传染人数+第二次传染人数=总感染人数。
解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，则第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有（x+1）x人被感染。
根据题意，得1+x+（x+1）x=169，即（1+x）2=169。
解这个方程，得x1=12，x2=-14（不合题意，舍去）。
答：每轮传染中平均每个人传染了12人。
【点评】用一元二次方程解决实际问题，主要是找准数量关系，而本题的关键点是一轮传染结束后应该有（x+1）人携带病毒，总的感染人数中原本携带病毒的人数不能忘記，然后才能正确列出一元二次方程。
本题中得出来的两个实数根需要进行检验，检查是否符合实际情况，对于不符合题意的答案，我们要舍去。
二、增长（降低）率问题例2 为了有效抗击新冠肺炎疫情，根据国家的政策，某市疫情防控应急指挥部要求全市符合新冠疫苗接种的人群应接尽接，为落实这一要求，某街道统计，7月份共有2500人接种，9月份增加到3600人，如果每月接种人数的增长率相同，求每月接种人数的平均增长率？【分析】设每月接种人数的平均增长率为x，首先有这样的数量关系：变化前的量×（1+平均增长率）=变化后的量。
一元二次方程的应用(传染病)
一元二次方程的应用（传染病)
学习目标：1、通过分析题目中的数量关系,清晰传染病的问题背景，建立数学模型，准确找到等量关系列出方程.
2、通过具体数字两位数的比较,会用字母表示两位数，找到条件中的等量关系。
例1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
针对训练：1、（A层)某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台？
2、（B层)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字之和是6，如果把它的个位数字与十位数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积等于1008,求调换位置后得到的两位数。
针对训练：一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后,所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数.
提高题:象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分,平局两个选手各记1分，今有四个同学统计了比赛中全部选手得分总数，分别是1979，1980，1984,1985,经核实确定有一位同学统计无误.则这次比赛中共有________名选手参加.。
一元二次方程传染病公式
一元二次方程传染病公式
摘要：
一、一元二次方程的概述
二、一元二次方程的解法
三、传染病公式的介绍
四、一元二次方程在传染病公式中的应用
五、结论
正文：
【一、一元二次方程的概述】
一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0 的方程，其中a、b、c 是已知数，且a≠0。
它是代数学中的一个基本方程，应用广泛，包括在物理、化学、生物、经济等多个领域。
【二、一元二次方程的解法】
一元二次方程的解法主要有三种：配方法、公式法和韦达定理。
其中，公式法是最常用的方法，其公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
通过这个公式，可以快速求出一元二次方程的解。
【三、传染病公式的介绍】
传染病公式是用来描述传染病传播过程的一种数学模型，其主要包括三个参数：感染率、恢复率和死亡率。
通过这个公式，可以预测疾病的传播速度和规模，对防控疫情具有重要意义。
【四、一元二次方程在传染病公式中的应用】
在传染病公式中，一元二次方程用来描述疾病的感染过程。
例如，假设某种疾病的感染率为β，恢复率为γ，初始感染人数为x0，那么经过一段时间后，感染人数x 可以表示为一个一元二次方程：x=x0+βx0-γx。
通过求解这个一元二次方程，就可以得到疾病传播的过程和结果。
【五、结论】
一元二次方程作为代数学的基本方程，其在传染病公式中的应用，展示了数学在解决实际问题中的重要作用。
一元二次方程传染病问题例题
一元二次方程传染病问题例题假设某传染病的传播模型可以用一元二次方程来描述，我们来解决一个与这个问题相关的实际例题。
假设某城市爆发了一种传染病，病毒的传播速度和人群的接触频率有关。
为了控制疫情，市政府采取了一系列的措施，包括隔离患者、提高人们的卫生意识等。
为了评估这些措施的有效性，我们希望用一元二次方程来模拟传染病的传播情况。
假设疫情爆发后，人们发现每天新增感染人数呈现出一个明显的二次函数规律，即每天新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程来描述。
我们来构建这个一元二次方程。
设t表示时间（天），S(t)表示累计感染人数，每天新增感染人数为S'(t)。
根据已知条件，我们假设新增感染人数与时间的关系可以用一元二次方程表示，即有：S'(t) = at² + bt + c其中a、b、c为常数，需要根据实际情况确定。
为了确定这些常数，我们需要已知的新增感染人数数据。
假设我们收集了连续7天的数据，如下所示：Day 1：新增感染人数为10人Day 2：新增感染人数为20人Day 3：新增感染人数为40人Day 4：新增感染人数为70人Day 5：新增感染人数为110人Day 6：新增感染人数为160人Day 7：新增感染人数为220人我们将这些数据带入方程中，可以得到如下方程组：a +b +c = 10 (1)4a + 2b + c = 20 (2)9a + 3b + c = 40 (3)16a + 4b + c = 70 (4)25a + 5b + c = 110 (5)36a + 6b + c = 160 (6)49a + 7b + c = 220 (7)为了解这个方程组，我们可以采用高斯消元法或矩阵方法进行求解。
在这里，我们采用矩阵方法。
将这个方程组转化成矩阵形式，有：[ 1 1 1 ] [ a ] [ 10 ][ 4 2 1 ] [ b ] [ 20 ][ 9 3 1 ] * [ c ] = [ 40 ][ 16 4 1 ][ 25 5 1 ][ 36 6 1 ][ 49 7 1 ]我们可以使用矩阵的逆来求解这个方程组。
实际问题与一元二次方程1(传染病)
x
被传染人
x
被传染人
……
……
……
x
开始传染源
x
开始传染源
1
例1：有一人患了流感 ,经过两轮传染后共有121人患 了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析：
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
1+x+x(1+x)=121
-12 . 10 x2 ______ x1 _____,
(不符题意，舍去)
x1 5, x2 4(不合题意，舍去 )
作业
书本：第22页第6题 第25页第7题
22.3实际问题与一元二次方程
例1：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人 患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分析： （1）本题的未知数是什么？ （2）你能用未知数表示第一轮被传染的人数吗？ （3）用未知数第一轮传染后感染的总人数。
（4）用未知数表示第二轮被传染的人数。
（5）用未知数表示第二轮传染后的总人数是，题 目给出的实际总人数是多少？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮有 x 人被传染，第一轮传染后有 x+1 人 被传染。 第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染. 传染后的总人数有 x+1+ x(x+1) 人
被 传 染 人 被 传 染 人
…… ……
被 染 人
小 分 支 小 分 支
…… …… 主 干
小 分 支
小 分 支
支干
……
……
x x
x
支干
答:每个支干长出9个小分支.
1
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
21.3.1 实际问题与一元二次方程(一)传播、循环、数字问题--
21. 3.1 实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题【自主导学】有1个人得流感病，第一轮传染6个人，第一轮过后共有人得流感，第二轮传染时平均每人也传染6人，第二轮被传染了人．第二轮过后共有人得流感．【易错点睛】要组织一次蓝球赛，每两个队都赛一场，计划要安排21场比赛，设赛队的个数是x个，则可列方程为A 夯实基础知识点一数字问题1．若两个数的和为7，这两个数的积为12，则这两个数分别为或.2．若两个连续偶数的积为48，则这个两位数的和为（）A. 6B. 0C. －8D.14或－14知识点二单循环与双循环问题3．一个初中毕业班的每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片．设全班有x名学生，根据题意可列方程为( )A．x (x＋l)=2550 B. x(x－l)=2550 C.2x(x＋l)=2550 D. x(x－l)=2550×24．在一次生日聚会上，有人提议与会的每名同学都与其他同学握一次手. 已知参加这次聚会的所有与会者共握手105次，那么参加此次聚会的同学共有人．5．（2017金赛）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排45场比赛，求参赛球队的个数．知识点三分支问题6．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有64人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了x个人，则依题意可列方程为或.7．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A. 8人B. 9人C. 10人D.11人8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？B 综合运用9．【教材变式】（22页习题6改）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人．A ．12B ．10C ．9D ．810．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为( )A ．25B ．36C ．25或36D ．－25或－3611．【教材变式】（17页习题12改）一个多边形有9条对角线，则这个多边形有多少条边( )A ．6B ．7C ．8D ．912.有一个人换了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感.（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？13.五个连续整数－2，－1,0,1,2满足下面关系：22222(2)(1)0=12-+-++，即前三个连续整数的平方和等于后两个连续整数的平方和，你能否找出五个连续整数，使它们具有上面的性质？C 拓广探索14．【教材变式】（23页活动改）观察下列图形规律：当n 为多少时，图形“．”的个数和“△”的个数相等？n=4n=3n=2n=1。
一元二次方程应用(4)传染病问题
（2）在第二轮传染中，传染源是人，这些人中每一个人又传染了人，那么第二轮传染了人，第二轮传染后，共有人患流感。
解：
答：
完成教材思考：如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
【当堂训练】
1.一个同学经培训学会做某项实验，会校后，第一节课他教会了若干同学，第二节课会做人教会了多少人？
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
3.养鸡场有一只鸡患上了禽流感,经过两轮传染后共有121只鸡患了禽流感.假设每一轮传染中病鸡传染经其他鸡的只数相同,求经过三轮传染后共有多少只鸡患有禽流感?
4.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
5.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
鸡西市第十九中学学案
班级姓名
学科
数学
课题
应用（4）传染病问题
课型
新课
时间
2014年月日
人教版
八年级下
学习
目标
根据某些具体问题中的数量关系列出一元二次方程。
重点
难点
能列一元二次方程解一些简单的应用题，并能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。
学习内容
【自主探究】
例：有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
一元二次方程的应用-第1课时-“传播+循环比赛问题”
一元二次方程实际应用导学案-第1课时-“传染问题+混怀比赛问题”导学探究回答下列问题:1.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染3个人.(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.(2)在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.2.假设某种流感，若每轮传染中，平均一个人传染x个人.(1)现在有一人患流感，那么患流感的这个人在第一轮传染中，传染了_____人，第一轮传染后，共有_______人患了流感.(2)在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每个人又传染了人，那么第二轮新传染了________人.第二轮传染后，共有________人患了流感.3.回忆、类比:用一元一次方程解决问题有哪些步骤?关键是什么? 你能类比出用一元二次方程解决问题的步骤吗?典例探究【例1】“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有121人受到感染，（1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有121人患病，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数．解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=121，x=10或x=﹣12（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了10个人；（2）121+121×10=1331（人）．答：第三轮后将有1331人被传染．点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键．练1．为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n的值是多少？分析：设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮传播了n个人，第二轮传播了n2个人，根据两轮传播后，共有111人参与列出方程求解即可．解答：解：由题意，得n+n2+1=111，解得：n1=﹣11（舍去），n2=10．故n的值是10．点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为111人建立方程是关键．总结：传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播.解决此类问题的关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．【例2】市体育局要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两球队之间都比赛一场，计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛?【解析】计算n支球队进行单循环比赛(每两队之间只赛一场)的总场数P，可这样来考虑:由于单循环赛中每一支球队都和其他的球队进行一场比赛，即每一支球队比赛(n-1)场，n个球队应赛n(n-1)场，但两个队之间只需比赛一场，故实际进行比赛的总场数P=12n(n-1)（n为不小于2的整数）解答：设应邀请n支球队参加比赛,则12n(n-1)=15[答案】6支练2．（2015•山西模拟）九（1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（1）班的人数是（）A．39 B．40 C．50 D．60解：设九（1）班共有x人，根据题意得：x（x﹣1）=780，解之得x1=40，x2=﹣39（舍去），答：九（1）班共有40名学生．故选B．总结: n(n≥2)支球队进行单循环比赛，共需要进行2n(n-1)场比赛.夯实基础答案1．（2015•兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有49人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则x的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8解：根据题意得：1+x+x（1+x）=49，解得：x=6或x=﹣8（舍去），则x的值为6．故选：B．2.（2015•东西湖区校级模拟）卫生部门为了控制前段时间红眼病的流行传染，对该种传染病进行研究发现，若一人患了该病，经过两轮传染后共有121人患了该病．若按这样的传染速度，第三轮传染后我们统计发现有2662人患了该病，则最开始有（）人患了该病．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1x传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数=121求得每轮被传染的人数，然后代入求得结果即可．【解答】解：设每轮一人传染了x人，由题意得：1+x+（1+x）×x=121，（1+x）2=121，∵1+x＞0，∴1+x=11，x=10．∴每轮一人传染了10人；设最开始有y人被传染，则根据题意得：y+10y+10（y+10y）+10[y+10y+10（y+10y）]=2662，解得：y=2．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，有关传染问题是一个一元二次方程的老问题，有着广泛的应用，求得每轮传染的人数是解答本题的关键.3．（2014春•信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有_______人被传染．解：设一个患者一次传染给x人，由题意，得x（x+1）+x+1=81，解得：x1=8，x2=﹣10（舍去），第三轮被传染的人数是：81×8=648人．故答案为：648．4．（2014•襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，根据题意列方程得：x2+x+1=91，解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；∴x=9；答：每支支干长出9个小分支．5（2014•东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=49x=6或x=﹣8（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了6个人；（2）49×6=294（人）．答：第三轮将又有294人被传染．。
一元二次方程传染病公式
一元二次方程传染病公式
一、一元二次方程简介
一元二次方程是数学中的一种基本方程，其一般形式为：ax + bx + c = 0。
在本文中，我们将关注一元二次方程在传染病模型中的应用，以揭示传染病的传播规律。
二、传染病公式概述
传染病的传播可以通过一元二次方程来描述。
经典的传染病公式如下：
S = (1 - r) * N * (1 - I)
其中，S 代表易感人群，N 代表总人口，r 代表感染率，I 代表感染人群的发病率。
这个公式描述了易感人群在传染病传播过程中的变化。
三、一元二次方程在传染病模型中的应用
一元二次方程在传染病模型中的应用主要体现在以下几个方面：
1.传染病传播的动态分析：通过一元二次方程，我们可以研究传染病在时间轴上的传播动态，如疫情爆发、传播速度、疫情结束等。
2.传染病防控策略优化：通过求解一元二次方程，我们可以找到最佳的防控措施，如疫苗接种策略、隔离措施等。
3.传染病传播网络分析：一元二次方程可以用于研究传染病在人群社交网络中的传播路径和速度。
四、实例分析
以新冠病毒（COVID-19）为例，我们可以通过一元二次方程分析疫情的传播特点和防控策略。
根据疫情数据，我们可以拟合出一元二次方程，从而预
测疫情的发展趋势。
同时，通过调整方程中的参数，我们可以评估不同防控措施对疫情传播的影响。
五、总结与展望
本文简要介绍了一元二次方程在传染病模型中的应用。
通过一元二次方程，我们可以更好地理解传染病的传播规律，为防控疫情提供科学依据。
未来，随着更多传染病模型的建立和完善，一元二次方程在传染病研究中的应用将更加广泛。
最全的一元二次方程传播问题,分支问题,循环率问题,增长率问题,几何问题
今日学习内容：----- 一元二次方程
循环问题
2.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共 握手10次,有多少人参加聚会?
3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划 安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
4.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两 队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个 球队参加比赛?
（2）3轮感染后，会感染的几台电脑？
今日学习内容：----- 一元二次方程
增长率问题
增长率问题
1.第一年的产量为a,年增长率(下降率) 为x，
则 第二年的产量为 a(1±x)；第三年的产量
为 a(1±x)2；
第n年后产量为 a(1±x)n-1；
2.如果已知第n年后的总产量为M，则有下面
等式： a(1±x)n-1 ＝M.
1+x+x(1+x)=121
整理得：(1 x)2 121
x x 解方程,得 __1_0__, __-_1_2__.(不合题意,舍去)
1
2
答:平均一个人传染了____1_0___个人.
如果按照这样的传染速度, 三轮传染后有多少人患流感?
第三轮的传染源有 x+1 +x(x+1) 人，
有
〔 x+1 +x(x+1) 〕x 人被传染，
A 、10 B、6 C、5 D、4
.
【问题1】某企业2013年盈利1500万元，2015年实现盈利2160万元.从2013年到2015年，如果该企业每年盈利的年增 长率相同，求：
（1）该企业平均每年的增长率. （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
一元二次方程传染问题公式
一元二次方程传染问题公式
嘿呀，一元二次方程传染问题公式啊，其实就是一个很有意思的工具呢！比如说，如果有一个传染病，最初只有一个人感染了，然后每天会以固定的比例传染给其他人，那我们就可以用一元二次方程来模拟这个传播过程啦！
公式大概就是这样的哦：y = a(1 + r)^x，在这个公式里呀，y 就表示
最终感染的人数，a 就是最初感染的人数，r 是每天传染的比例，x 呢就是
经过的天数。
举个例子吧，假如最初有5 个人感染了，每天传染的比例是，经过 10 天，那感染的人数不就是 y = 5(1 + )^10 吗！哎呀，你想想，这
多神奇呀，就这么一个小小的公式，就能把传染病的传播情况给大致算出来呢！这就好像是我们拿着一个神奇的望远镜，能看到传染病是怎么一点点蔓延开来的呢！
在现实生活中，这个公式可是很有帮助的呢！它能让我们更好地了解传染病的传播规律，从而采取更有效的措施来防控呀！可不是嘛，这多重要呀！所以呀，一元二次方程传染问题公式可真是个了不起的工具呢！。
一元二次方程应用题--传播问题
答：每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了15个细菌.
1 一轮繁殖后
x
二轮繁殖后
x2
三轮繁殖后
x3
n轮繁殖后
xn
2 一轮繁殖后 2x
始发 终结
axn=b
二轮繁殖后
2x2
三轮繁殖后
2x3
n轮繁殖后
2xn
细胞分裂问题
2. 某生物实验室现有一种细菌活体样本4个， 一个细菌经过两轮繁殖后，共有1024个细菌， 每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
病毒传染问题
1 一轮传染后
二轮传染后
1+x
(1+x)2
1+x+x(1+x)
三轮传染后
(1+x)3
n轮传染后
(1+x)n
病毒传染问题
2(1+x)
2 一轮传染后
二轮传染后
2+2x
2(1+x)2
2(1+x)+2(1+x)x
三轮传染后
2(1+x)3
n轮传染后
2(1+x)n
病毒传染问题
a 一轮传染后 a(1+x)二轮传染后
始发
终结
a(1+x)n=b
a(1+x)2
三轮传染后
a(1+x)3
n轮传染后
a(1+x)n
病毒传染问题
1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人
患流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
第一轮传染后
第二轮传染后 (1+x)2
1
1+x
一元二次方程循环、传染问题
循环问题公式：
1 x(x1) a x(x1)a
2
课后作业 P48：4、６
谢谢！
循环问题
例1、要组织一次排球赛，参赛的每个 队之间都要比赛一场，根据场地和时 间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织比赛（单循环）：
1 x(x1) a 2
２、若两队之间只进行两场比赛（双循环）：
x(x1)a
练习：
问题中的数量关系有 用代数式表示,第二轮后共有__1_+新_x_+的_x_(认_1_+识_x_)吗_?人患了流感.
1+x+x(1+x)=121
x x 解方程,得
_1_0
1
_
___,-1_2 2
_(.不_合_题_意,舍去)
答:平均一个人传染了___1_0____个人.
(1)如果按照这样的传染速度,三轮传 染后有多少人患流感?
121+121×10=1331人
(2)一开始有2人患了感冒呢？3人呢？
练习: 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，
共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个 细菌繁殖了多少个细菌？
练习：
小张发信息，收到信息的人再将 此信息发给其他人，经过两轮发 信息后，共有７２人收到信息， 每轮发信息中，平均一个人发给 多少人？
一元二次方程循环、传染问题
例1、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人 患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
分 析
1
第一轮传染 后
第二轮传染后
1+x
1+x+x(1+x)
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
沪教版初二秋季8 一元二次方程的应用二
一元二次方程的应用二教学内容1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： (1)na x A ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n 表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．【例1】 某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190次，求参加会议共有多少人．【例2】 某实验室需要培养一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?知识精讲模块一：传播问题例题解析【例3】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?模块二：利率、利润问题知识精讲1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．例题解析【例7】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．模块三：面积问题知识精讲1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．例题解析【例8】一个长方形的对角线长的是10，面积是48，长方形的周长是________．传播问题1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式； （2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式【例12】 在矩形ABCD 中，AB =9cm ，BC =15cm ，点P 从点A 开始以3cm /s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm /s 的速度5沿BC 边向点C 移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式 ．模块五：动态几何类问题知识精讲 例题解析A BCDP Q【例13】 有一边为8cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝52cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm /s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ．【例14】 已知竖直上抛物体离地高度h （米）和抛出瞬间的时间t （秒）的关系是2012hv tgt ，0v 是抛出时的瞬时速度，常数g 取10米/秒2．一枚爆竹以0v =30米/秒的速度从地面上升，试求： （1） 隔多少时间爆竹离地面高度是25米? （2） 多少时间以后爆竹落地?模块六：其他类问题例题解析ABCDPQRL【例15】象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分．如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误.试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例16】一个容器内乘有60升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?随堂检测【习题1】小华勤工俭学挣的100元钱按一年期存入银行，到期后取出50元来购买学习用品，剩下的50元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题2】 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg ，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg ，针对这种水产品情况，请解答以下问题： （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润． （2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．【习题3】 如图，用总长为54米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD ，并使面积为72平方米，求AB 和BC 的长．【习题4】 一个容器盛满纯药液63L ，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L ，设每次倒出液体xL ，求每次倒出的药液量．A B CD【习题5】 某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出40张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题6】 如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，AC =10cm ，BC =6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于202cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由ABCPQ【习题7】等腰直角三角形ABC 中， ∠ BAC =45°，CD ⊥ AB ，垂足为D ，CD =2，P 是AB 上的一动点(不与A 、B 重合)，且AP =x ，过点P 作直线l 与AB 垂直 ．（1） 设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与x 之间的函数关系式；（2） 当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3的两部分．A BC D L P。
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循环问题公式：
1 2
x( x 1) a
x( x 1) a
课后作业 P48：4、６
循环问题
例1、要组织一次排球赛，参赛的每个 队之间都要比赛一场，根据场地和时 间等条件，赛程计划安排7天，每天安 排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个 队参赛？
循环问题公式：
1 2 x( x 1) a
１、若两队之间只进行一场比赛（单循环）：
２、若两队之间只进行两场比赛（双循环）：
x( x 1) a
10 答:平均一个人传染了________个人.
(1)如果按照这样的传染速度,三轮传 染后有多少人患流感?
121+121×10=1331人
(2)一开始有2人患了感冒呢？3人呢？
练习: 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后， 共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个 细菌繁殖了多少个细菌？
练习：
小张发信息，收到信息的人再将 此信息发给其他人，经过两轮发 信息后，共有７２人收到信息， 每轮发信息中，平均一个人发给 多少人？
实际问题与一元二次方程
——传染问题
例1、有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人 患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分 第二轮传染后 第一轮传染 1+x 1+x+x(1+x) 后 析 1 解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传 通过对这个问题的 (x+1) 染了x个人,用代数式表示,第一轮后共有_____人患了流 探究,你对类似的传播 感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了x个人, 问题中的数量关系有 1+x+x(1+x) 用代数式表示,第二轮后共有____________人患了流感. 新的认识吗? 1+x+x(1+x)=121 解方程,得 x 1 _____, x 2 ______ (不合题意,舍去) 10 -12 .