微分几何答案+(1)
微分几何陈维桓习题答案
微分⼏何陈维桓习题答案习题答案2p. 58 习题3.12. 在球⾯2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于⾚道平⾯上的任意⼀点(,,0)p u v =，可以作为⼀的⼀条直线经过,N p 两点，它与球⾯有唯⼀的交点，记为p '.(1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球⾯上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表⽰；(2) 求球⾯上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表⽰；(3) 求上⾯两种正则参数表⽰在公共部分的参数变换；(4) 证明球⾯是可定向曲⾯.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1)由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平⽅，得222/(1)t u v =++. 从⽽22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈. (2)由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，⼜2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=--+22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表⽰.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与⾚道平⾯的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??，2(,)u v ∈. (4)2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ?=----+22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表⽰.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从⽽上⾯两种正则参数表⽰在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ?++=-=-=-注. 如果采⽤复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上⾯的参数变换可写成1/w z =. 这就是⼴义复平⾯上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采⽤(1)式给出的正则参数表⽰，在2\{}S S 上采⽤正则参数表⽰22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ??---= ?++++++??则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22v v u v-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++?==>?+，所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲⾯2222221x y z a b c+-=和双曲抛物⾯22222x y z a b =-作为直纹⾯的参数⽅程.解. (1) 对单叶双曲⾯，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的⽅向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹⾯的参数⽅程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满⾜单叶双曲⾯的⽅程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ?∈.由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈?.(2) 对双曲抛物⾯，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲⾯的参数⽅程为 ()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+-(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈.p. 94 习题3.21. 证明：⼀个正则参数曲⾯S 是球⾯?它的所有法线都经过⼀个固定点.证明. “?”设S 是球⾯，参数⽅程为(,)r u v ，球⼼为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ?∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -?，从⽽u v r a r r λ-=?，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-?. (3)这说明球⼼a 在它的所有法线上.“?” 设S 的所有法线都经过⼀个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成⽴，即有u v r a r r λ-=?. 分别⽤,u v r r 作积，可得(2).这说明2()0d r a -=，从⽽(1)式成⽴，其中0R >(否则S 只是⼀个点，不是正则曲⾯)是常数. 因此S 是以a 为球⼼，以R 为半径的球⾯，或球⾯的⼀部分. □3. 证明：⼀个正则参数曲⾯S 是旋转⾯?它的所有法线都与⼀条固定直线相交.证明. “?”设S 是旋转⾯，旋转轴L 为z 轴. 它的参数⽅程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''?=-，所以S 上任意⼀点(,)r u v 处的法线N 的参数⽅程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+?.由于z 轴的参数⽅程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-?，所以L 与N 共⾯. 如果L 与N 处处平⾏，则()//u v r r k ?，从⽽()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平⾯()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平⾯时，旋转⾯S 的所有法线都与z 轴相交.“?” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数⽅程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平⾏，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v -?= ?(0,0,1)，00(,)u v D ?∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ??，00(,) (,)(,)u v x z u v ??不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ?≠?. 通过参数变换，曲⾯的参数⽅程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是 (),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ?=--.因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡?，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是⼀个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数⽅程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是⼀个旋转⾯，由yOz 平⾯上的母线()y f z =绕z 轴旋转⽽得. □5. 设S 是圆锥⾯(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e ==是S 上的⼀条曲线.(1) 将曲线C 的切向量⽤,u v r r 的线性组合表⽰出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹⾓.(1) 解. C 的参数⽅程为 ()()),sin(2),),1t t t t r e e e t e ==.C 的切向量为()()cos(2),sin(2),1),02(2,)(2,).t t t t t u v r e t t r t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每⼀点t 处，()(2,)),0t t u r t e e =-，()(2,)),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以222cos (,)22t u u t u r r e r r r e r '?'∠==='(,)4u r r π'∠=； 2cos (,)222t v v t v r r e r r r e r '?'∠==='，(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球⾯的参数⽅程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ??+-= ?++++++??. 求它的第⼀基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-，(,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++， 222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =?=++++=，()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++，从⽽2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲⾯上⼀点(,)u v ，由微分,du dv 的⼆次⽅程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切⽅向. 证明：这两个切⽅向彼此正交?函数,,P Q R 满⾜20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲⾯的第⼀基本形式.证明. 由条件，⼆次⽅程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个⼀次因⼦的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于⽂字,du dv 的⼆次多项式，⽐较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切⽅向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4)这两个切⽅向彼此正交()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0EB B F B A A B GA A ?-++= (由(4)式)20ER FQ GP ?-+=. (由(3)式) □8. 已知曲⾯的第⼀基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交⾓；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三⾓形的各个边长和各个⾓.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三⾓形的⾯积.解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切⽅向,dr r δ满⾜22221cos (,)1dr r a dr r a dr r du δδδ?-∠===±+. 于是它们的交⾓为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+. (2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ?∠===在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ?∠===所以0O ∠=，A B ∠=∠=.曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为22212()()C L C a L C ===??， 33()2a C a L C du a -===??.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==??， /23/2()a C a L C du a -===??.(3) 因为d σ，所以曲边三⾓形的⾯积110002av AOB A d σ?-===(1200ln av u a a dv ?=+??(120ln a v dv ?=+(()(13/2222130ln 1ln 1.a v v v a =+-+=++?? p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲⾯的参数⽅程，使得相应的参数曲线构成正交曲线⽹.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲⾯参数⽅程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第⼀基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分⽅程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲⾯的参数⽅程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=.第⼀基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线⽹. 也可将s u =，t v u =-直接代⼊(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+.3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =.第⼀基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分⽅程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分⽅程：222kdv du d v k ===+，得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分⽅程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+. p. 110 习题3.51. 证明：在悬链⾯(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈?与正螺⾯(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈之间存在保长对应.证明. 悬链⾯的第⼀基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺⾯的第⼀基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ??=++. 对正螺⾯作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ?=-≠?，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺⾯的第⼀基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ??=+=+=+. 根据定理5.3，在悬链⾯与正螺⾯之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □p. 110 习题3.51. 判断下列曲⾯中哪些是可展曲⾯？说明理由. (1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲⾯，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线⾯.(2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲⾯.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-. 则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍⾯，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲⾯. 当0a =或0b =时，它是平⾯，所以是可展曲⾯. 当0a =且0b =时，它不是正则曲⾯.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲⾯. □。
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解 原点对应t=0 , (0)={ +t , - t , +t ={0,1,1}，
{2 + t , - t ,2 +t ={2,0,2} ，
所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，于是 ＝ ，从而 × ＝ ，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。
方法三：设定点为 ，曲线的方程为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过定点 ，所以 ，两端求导得:
§3 曲线的概念
3. 证明圆柱螺线 ={ a ,a , } ( )的切线和z轴作固定角。
证明 = {-a ,a , },设切线与z轴夹角为 ,则 = 为常数，故 为定角（其中 为z轴的单位向量）。
10. 将圆柱螺线 ={a ，a ，b }化为自然参数表示。
解 = { -a ,a ,b}，s = ，所以 ，
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 ? = 0， 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
是球面曲线 存在定点 （是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使 ，即 （﹡）
而过曲线 上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面中心 （﹡）成立。
9．证明曲线 ＝ 为一般螺线的充要条件为
证 ，
＝ ，其中k 0.
曲线 ＝ 为一般螺线的充要条件为 为常数,即 =0,也就是 。
方法二： ，即 。曲线 ＝ 为一般螺线，则存在常向量 ，使 ? =常数，所以 所以 共面，从而（ ）=0。反之，若（ ）=0，则 平行于固定平面，设固定平面的法矢为 ，则有 ，从而 ? = p (常数)，所以 ＝ 为一般螺线。
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第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
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【最新整理，下载后即可编辑】§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=-。
微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第三章课后题答案[1]
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§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u =},2,{432u u u ，()b u =}32,,31{2u u ，则r =()a u + v ()b u ，且()b u ≠0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）2。
证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。
证法一： 曲面的方程可改写为 r=()a v + u ()b v ，其中()a v ={cosv-vsinv,sinv+vcosv, 2v}，()b v ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v ≠0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v vv ------=0，所以所给曲面为可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面。
证法一：原曲面的方程可改写为r=()a u + v ()b u ，其中()a u ={0,0,au+b},()b u ={cosu,sinu,0}.易见()b u ≠0, 所以曲面为直纹面,又因为(',,')a b b =00cos sin 0sin cos 0au u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面。
(整理)微分几何测试题集锦(含答案)
《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。
⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。
⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。
⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。
⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。
A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。
A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。
《微分几何》考试试卷与参考答案
《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。
每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ）4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。
三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为331u v C =+或332()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E=（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分） v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n r n r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。
微分几何习题及答案解析
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
微分几何(第三版)第二章课后题答案[1]
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第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解u-曲线为r ={u cos v0,u sin v0,bv 0}= {0,0 , bv0} + u { cos v0, sinv0,0}, 为曲线的直母线；v-曲线为r ={ u0cos v , u0 sin v ,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证u-曲线为r ={ a (u+v。
), b (u-v。
)，2u v o}={ a v。
，b v。
，0}+ u{a,b,2 v。
} 表示过点{ a v。
，b v。
,。
}以{a,b,2 v。
}为方向向量的直线;v-曲线为「= {a ( u0 +v) , b ( u 0 -v ) ,2 u 0 v} = {a u。
，b u。
，。
} +v{a,-b,2 u。
} 表示过点(a u。
, b u。
，。
)以{a,-b,2 u。
}为方向向量的直线。
3.求球面r ={acos ；：sin「,a cos；： sin ;:, a si n二}上任意点的切平面和法线方程。
saa. n解r ={ -a sin 二cos「，-a sinsin ：:,acos「：} , r .匸{-a cossin ：:, a coscos 「,0}x - a cos、：cos「y - a cos 二sin「z - a sin 二任意点的切平面方程为- a sin 二cos ：：「：-a sinsin「 a cos=0「a cos、：sin「 a cos、：cos「0即xcos ：cos + ycos ：sin + zsin 二-a = 0 ；x a cos、：cos「y a cos、：sin「z a sin 二。
cos 二cos「cossin「sin 二2 24.求椭圆柱面令斗=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 a b 曲面只有一个切平面。
微分几何习题解答(曲线论),DOC
第一章曲线论§2向量函数r =0 。
5.向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(tλ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(tλ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(tλ)(t e ，若)(t r 具有固定方λe ，所以r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
向，则)(t e 为常向量，那么)('tr =)('t反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(tλ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×=2λ（e ×'e ）=0 ，则有λ=0或e ×'e =0 。
当)(tλ=0时，)(t r =0 可与任'r意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长，e ·'e =0），所以'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r'r ''r ）=0。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使·n =0，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
)(tr证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n =0。
微分几何测试题集锦(含答案)
微分几何测试题集锦(含答案)《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈向量r(t)??t,3t,a?具有固定方向，则a=___t__。
??? ⒉非零向量r(t)满足?r,r,r??0的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面是曲线在P点的___密切平面__________。
⒋曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是__________________________。
⒌曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在t = 1对应的点处其挠率?(1)。
⒍主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _ ⒎如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。
)y点(x0,y0,z0的⒐曲面z?(z,x在)法线方程是_____________________。
1二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。
A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子___A___不正确。
A、k?13r??r??r?2 B、k?对于曲r??r??r?3 C、k?r D、??的第一基本?r?r??r???? 2?r??r???形式、面I?Edu2?2Fdudv?Gdv2,EG?F2__D___。
A、?0B、?0C、?0D、?0三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线r??cost,sint,t?，试求??0,1, ⑴在点???的切线和法平面。
?2? ⑵曲率和挠率。
22、对于圆柱面?:r???cos?,?sin?,u?，试求⑴?的第一、第二基本形式；2⑵?在任意点处沿任意方向的法曲率；⑶?在任意点的高斯曲率和平均曲率；⑷试证?的坐标曲线是曲率线。
微分几何彭家贵课后题答案.docx
习题一（ P13）2.设 a(t ) 是向量值函数，证明：（1）a常数当且仅当a(t ), a (t )0 ；（2）a(t )的方向不变当且仅当a(t ) a (t)0 。
（1）证明：a2a(t), a(t )常数a常数常数a (t ), a(t)a(t ),a (t)02a(t), a (t)0a(t), a (t )0。
（2）注意到：a(t ) 0 ，所以a(t )a(t ) 的方向不变单位向量e(t)常向量。
a(t )若单位向量 e(t )a(t)e (t )0 e(t ) e (t )0。
常向量，则a(t)反之，设 e(t) 为单位向量，若 e(t ) e (t)0 ，则 e(t ) / /e (t ) 。
由 e(t) 为单位向量e(t ), e(t )1e(t ), e (t )0e(t) e (t ) 。
e(t ) / /e (t)e (t )0e(t)从而，由e (t )常向量。
e(t )所以， a(t) 的方向不变a(t )常向量单位向量 e(t )a(t )e(t) e (t )0a(t ) a (t) d (1)a(t )0a(t )a(t)dt a(t)12 a(t) a (t )d11a(t )a(t)0a(t)()a(t ) dt a(t)a(t ) a (t )0 。
即a(t ) 的方向不变当且仅当a(t) a (t )0 。
补充：定理 r (t)平行于固定平面的充要条件是r (t), r(t), r (t )0 。
证明： "" ：若r (t )平行于固定平面，设 n 是平面的法向量，为一常向量。
于是，r (t ), n0r (t ), n0,r (t ), n0r (t ), r (t), r (t)共面r (t), r(t), r(t )0 。
"" ：若 r (t ), r (t ), r(t)0 ，则r (t ), r(t), r(t)共面。
微分几何答案
两边求导得 ( ∗ )2 ds d2 s∗ ∗ ˙ + α∗ 2 = (1 − λ0 κ)· α + κ(1 − λ0 κ)β + (λ0 τ )· γ − λ0 τ 2 β . α ds ds 两边与β 作内积得κ(1 − λ0 κ) − λ0 τ 2 = 0． 16．（1）证明切线过定点的曲线是直线；（2）密切平面过定点的曲线（假 设τ κ ̸= 0） 是 球 面 曲 线 ．（3） 曲 线 是 球 面 曲 线 的 充 分 必 要 条 件 是 法 平 面 过 定 点． ˙ + r ．设切线过定点R0 ，则R0 = λr ˙ + r， Proof. （1）设切线方程是R = λr ˙ α + λα ˙ )α + λκβ ，由此得λ ˙ = −1, λκ = 0，所 ˙ + α = (1 + λ 两 边 求 导 得0 = λ 以κ = 0，曲线是直线． （2）密切平面方程是(R − r ) · γ = 0．设密切平面过定点R0 ，则(R0 − r ) · ˙ = 0．因γ ˙ = −τ β ，所以(R0 − r ) · β = 0．求导 γ = 0．两边求导得(R0 − r )γ 得κ(R0 − r ) · α = 0，所以(R0 − r ) · (R0 − r )· = 0，因此|R0 − r | = c． （3）充分性．曲线C : r = r (s)的法平面方程是(R − r ) · α = 0．因为法平 面过定点R0 ，有(R0 − r ) · α = 0，因此|r − R0 | = c． 必要性．设C : r = r (s)是求面曲线，球心是R0 ，则(r − R0 )2 = c．两边求 导得(r − R0 ) · α = 0，这说明法平面过球心． 17．设两曲线建立了一一对应，证明： （1）若对应点的切线平行，则对应点的主法线、副法线也平行． （2）若对应点的主法线平行，则对应点的切线成定角． （3）若对应点有公共副法线，那么他们是平面曲线．
微分几何_课后习题答案
13第一章 曲线论§2 向量函数向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r ×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t l )(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t l 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t l )(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t l e ，所以所以 r ×'r =l 'l （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t l )(t e求微商得'r ='l e +l 'e ，于是r ×'r =2l （e ×'e ）=0 ，则有则有 l = 0 或e ×'e =0 。
当)(t l = 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当l¹0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以所以'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何答案彭家贵陈卿
微分几何答案彭家贵陈卿习题一（P13）2.设是向量值函数，证明：（1）常数当且仅当；（2）的方向不变当且仅当。
（1）证明：常数常数常数。
（2）注意到：，所以的方向不变单位向量常向量。
若单位向量常向量，则。
反之，设为单位向量，若，则。
由为单位向量。
从而，由常向量。
所以，的方向不变单位向量常向量。
即的方向不变当且仅当。
补充：定理平行于固定平面的充要条件是。
证明：：若平行于固定平面，设是平面的法向量，为一常向量。
于是，。
：若，则。
若则方向固定，从而平行于固定平面。
若，则。
令则3.证明性质1.1与性质1.2。
性质1.1（1）证明：设，则（2）证明：设，则（3）证明：设，则同理，所以，。
性质1.2证明：（1）证明：（2）4.设是正交标架，是的一个置换，证明：（1）是正交标架；（2）与定向相同当且仅当是一个偶置换。
（1）证明：当时，；当时，，所以，是正交标架。
（2）证明：A)当B)当C)当D)当，此时，；E)当F)当所以，与定向相同当且仅当是一个偶置换。
习题二（P28）1.求下列曲线的弧长与曲率：（1）解：所以，2.设曲线，证明它的曲率为证明：3.设曲线C在极坐标下的表示为，证明曲线C的曲率表达式为证明：所以，；；；。
因此，4.求下列曲线的曲率与挠率：（4）解：；。
所以，；。
5.证明：的正则曲线的曲率与挠率分别为，。
证明：根据弗雷内特标架运动方程，得：所以，。
6．证明：曲线以为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。
证明：1）所以，该曲线以为弧长参数。
由及得所以，2）；，。
3）所求Frenet标架是，其中，，。
10.设是中的一个合同变换，。
是中的正则曲线。
求曲线与曲线的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。
解：（1）可见，与曲线除相差一个常数外，有相同的弧长参数。
（2）可见，与曲线有相同的曲率。
（3）可见，与曲线的曲率相差一个符号。
13.（1）求曲率（是弧长参数）的平面曲线。
解：设所求平面曲线因为是弧长参数，所以可设，由曲率的定义，知所以，所求平面曲线。
微分几何第一章答案(周建伟版)
因此得到 r (θ) = {ρ (θ) cos θ − ρ(θ) sin θ, ρ (θ) sin θ + ρ(θ) cos θ, 0}, 所以由极坐标 ρ = ρ(θ) 给定的曲线从 θ = θ0 起计算的弧长为
θ
s=
θ0 θ
|r (θ)| dθ (ρ (θ) cos θ − ρ(θ) sin θ)2 + (ρ (θ) sin θ + ρ(θ) cos θ)2 dθ
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第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t )(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e求微商得'r =' e + 'e ，于是r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。
当)(t = 0时，)(t r=0 可与任意方向平行；当0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e= 0） ，所以'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r·n = 0 。
两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r）=0 。
反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r0 。
若r ×'r =0，由上题知)(t r具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'r，则存在数量函数)(t 、)(t ，使''r = r r+ 'r ①令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。
对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r = （r r ×'r ）=n ，于是n ×'n =0，由上题知n 有固定方向，而)(t r⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。
§3 曲线的概念1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。
解 令t cos =1,t sin =0,t =0得t =0, 'r(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 111z y x ，法平面为 y + z = 0 。
2．求三次曲线},,{32ct bt at r在点0t 的切线和法平面。
解 }3,2,{)('2000ct bt a t r ，切线为230020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(30202000 ct z ct bt y bt at x a 。
９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3ay 与y = 9a 之间的弧长。
解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax ，｜'r ｜＝444441xa a x ＝22222x a a x ，所求弧长为a dx xa a x s a a 9)2(22322。
§4 空间曲线2. 求曲线r r= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 ,'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos -t t sin ,te+t t e 0} t ={0,1,1}，)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x =0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是 00z y z y x 即112zy x ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111zy x 。
7．求以下曲面的曲率和挠率⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r,⑵ )0)}(3(,3),3({323a t t a at t t a r 。
解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r，}0,sinh ,cosh {''t a t a r，}0,cosh ,{sinh '''t t a r，}1,cosh ,sinh {''' t t a r r，所以t a t a t a r r r k 2323cosh 21)cosh 2(cosh 2|'||'''| ta t a a r r r r r 22422cosh 21cosh 2)'''()''','','( 。
⑵ }1,2,1{3'22t t t a r ，}1,0,1{6'''},,1,{6'' a r t t a r，'r ×''r =}1,2,1{18222 t t t a ，22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''| t a t a t a r r r k22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','( t a t a a r r r r r 。
8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 33t t t r ，⑴求基本向量 ,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式。
分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。
解 ⑴}4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22 t t t t t t t t t r，,cos sin 5|)('|t t t r dtds（设sintcost>0）， 则}54,sin 53,cos 53{|'|' t t r r ， }0,cos 53,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d •， }0,cos ,{sin ||t t ••，}53,sin 54,cos 54{ t t ，⑵ t t k cos sin 253|| • ，}0,cos ,sin {cos sin 254t t tt • ，由于• 与方向相反，所以 tt cos sin 254|| •⑶ 显然以上所得 ,,,••k 满足 ••,k ，而•}0,sin ,{cos cos sin 51t t tt 也满足伏雷内公式 。
9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，则此曲线是直线。
证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r ＝)(t r，则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r ，可见r r ∥'r ，所以r r 具有固定方向，故r r ＝)(t r是直线。
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r r ＝)(t r，则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r，由条件切线都过坐标原点，所以)(')(t r t r，于是'r ＝ ''r ，从而'r ×''r ＝0 ，所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０，所以曲线为直线。
方法二：设定点为0r r ，曲线的方程为r r ＝()r s r，则曲线在任意点的切线方程是()()r s s r r r ，由条件切线都过定点0r r ，所以0()()r r s s r r r，两端求导得: ()()s s rrr, 即(1)()0s rr r，而(),()s s r r无关，所以10 ，可知0,()0s ，因此曲线是直线。
16.若曲线Γ的主法线是曲线 的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为 ,。
求证k=0 (2 +2 ) ,其中0 为常数。
证 设Γ的向量表示为r r =)(s r，则 可表示为 =)(s r +)(s )(s ， 的切向量' = + + （－k+ ）与 垂直，即' · ＝ ＝０，所以 为常数，设为0 ，则' ＝（１－0 k ） +0 。
再求微商有'' ＝－0 k＋（１－0 k ）k＋0－0 2，''· ＝（１－0 k ）k －0 2 ＝０，所以有k=0 (2 +2 )。
§1曲面的概念1.求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv}=｛0,0，bv｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．3．求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos { a a a 上任意点的切平面和法线方程。