微分几何答案+(1)

第一章 曲线论

§2 向量函数

5. 向量函数)(t r

具有固定方向的充要条件是)(t r

×

)('t r

= 0 。

分析：一个向量函数)(t r

一般可以写成)(t r

=)(t )(t e

的形式，其中)(t e

为单

位向量函数，)(t 为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e

具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e

的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t )(t e ，若)(t r

具

有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r

=)('t e ，所以 r ×'r = ' （e ×e ）

=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t )(t e

求微商得'r =' e + 'e ，于是

r ×'r =2 （e ×'e ）=0 ，则有 = 0 或e ×'e =0 。当)(t = 0时，)(t r

=0 可

与任意方向平行；当

0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2

'e ，

（因为e

具有固定长， e ·'e

= 0） ，所以

'e =0 ，即e

为常向量。所以，)(t r 具

有固定方向。

6．向量函数)(t r

平行于固定平面的充要条件是（r r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n

，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r

的关系。

证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为

常向量，且)(t r

·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r r 'r ''r

）=0 。

反之, 若（r r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'

r

0 。若r ×'r =0

，由上

题知)(t r

具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×'

r

，则存在数量

函数)(t 、)(t ，使''r = r r

+ 'r ①

令n =r r ×'r ，则n 0 ，且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r

求微商并将①式代入

得'n =r ×''r = （r r ×'r ）=

n ，于是n ×'n =0

，由上题知n 有固定方向，

而)(t r

⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。

§3 曲线的概念

1．求圆柱螺线x =t cos ，y =t sin ，z =t 在（1,0,0）的切线和法平面。

解 令t cos =1,t sin =0,

t =0

得

t =0, 'r

(0)={ -t sin ,t cos ,1}|0 t

={0,1,1},曲线在(0,1,1)的切线为 1

1

1z y x ，法平面为 y + z = 0 。

2．求三次曲线},,{32ct bt at r

在点0t 的切线和法平面。

解 }3,2,{)('2

000ct bt a t r ，切线为2

3

0020032ct ct z bt bt y a at x ， 法平面为 0)(3)(2)(3

02020

00 ct z ct bt y bt at x a 。 ９．求曲线2232,3a xz y a x 在平面3a

y 与y = 9a 之间的弧长。

解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{2

23x

a a x x ，曲面与两平面3a y 与y = 9a

的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222x

a a

x ，｜'r ｜＝4

4

4441x

a a x ＝

22222x a a x ，所求弧长为a dx x

a a x s a a 9)2(22

322

。

§4 空间曲线

2. 求曲线r r

= { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应

t=0 ,

'r

(0)={ t sin +t t cos ,t cos -

t t sin ,t

e

+t t e 0} t ={0,1,1}，

)0(''r

{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0} t ={2,0,2} ，

所以切线方程是

1

10z

y x ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2

02110z

y x =0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是 00z y z y x 即112z

y x ；

从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

11

z

y x 。 7．求以下曲面的曲率和挠率

⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r

,

⑵ )0)}(3(,3),3({323

a t t a at t t a r 。

解 ⑴

}

,cosh ,sinh {'a t a t a r

，

}

0,sinh ,cosh {''t a t a r

，}

0,cosh ,{sinh '''t t a r

，

}

1,cosh ,sinh {''' t t a r r

，所

以

t a t a t a r r r k 23

23cosh 21)

cosh 2(cosh 2|'||'''| t

a t a a r r r r r 2

2422cosh 21

cosh 2)'''()''','','( 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r ，}1,0,1{6'''},,1,{6'' a r t t a r

，

'r ×''r =}1,2,1{182

22 t t t a ，2

23

22223)1(31

)

1(2227)1(218|

'||'''| t a t a t a r r r k

2

2224232)1(31

)1(2182618)'''()''','','( t a t a a r r r r r 。

8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 3

3t t t r ，⑴求基本向量 ,,；⑵曲率和挠

率；⑶验证伏雷内公式。

分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。