图形的相似与位似复习课件

C
D
B
E A D C M
相似三角形的应用：
１、利用三角形相似，可证明角相等； 线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等 ２、利用三角形相似，可以解决一些 不能直接测量的物体的长度。如求河 的宽度、求建筑物的高度等。
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点 P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部， 当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部 刚好接触到路灯B的底部。已知王华的身高是1.6m，两 个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m。 （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？ 解： （1）由题得：
相似三角形的判定
定义 定义 AA 相 似 SAS 三 判定 SSS 角 形 性质 对应角相等 对应边成比例 （合比、等比） 性质 相似比 中位线 重心
相 似 图 形
相似三角形的性质 （1）对应边的比相等，对应角相等 （2）相似三角形的周长比等于相似比 （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角 平分线的比等于相似比
1.6
∴他的影子长为 3.6 m
例3、如图，已知：AB⊥DB于点B ，CD⊥DB于 点D，AB=6，CD=4，BD=14. 问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点 的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如 果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说 明理由。
A C
4
D
6
B
14
A C
4
∴x=2或x=12
∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三 角形与以P、B、A为顶点的三角形相似
巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
多边形A’B’C’D’E’.
两图形中对应边有何关系？ 对应角呢? 这两个多边形相似
要画四边形ABCD的位似图形，还可以任取一点O，如 图24.4.2，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧 取点A′、B′、C′、D′，使OA′∶ OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得 到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
4.
如图，△ADE∽ △ACB,
1:3 则DE:BC=_____ 。
5. 如图，D是△ABC一边BC
B 7
D
2
A 3 E 3 C
上一点，连接AD,使 （ D ）. A. B. C. D. AC:BC=AD:BD AC:BC=AB:AD AB2=CD· BC AB2=BD· BC
△ABC ∽ △DBA的条件是
生活中我们会碰到许多这样形状相同的． 大小不一定相同的图形， 在数学上，我们把具有相同形状的图形称为：
相似形
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线 段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， a c 即 b = d ，那么这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段（proportional segments）
这个点叫做位似中心.
这时的相似比又称为位似比. 性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比等于位似比
1．任取一点O； 2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…； 3．分别在射线OA、OB、OC、 …上取点A’、 B’、C’、 … ，使：
OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC= …=1.5; 4．连接A’B’、B’C’、 …，得到所要画 的
一.填空、选择题:
A
1、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3, 则△ AED和△ ABC
D
E
B 2:5 的相似比为＿＿＿. 2、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的 三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边 5 为______cm.
C
3、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长 为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______. 2cm
3．若△A1B1C1∽△A2B2C2，对应高之比为 n：m，则面积之比为 ； x y z yz 如果 ； 则 4、 4 5 7 x 5若x:4=y:5=z:6,且3x+2y+z=56,则x为（ ）
A 8 B 10 C 12 D 16
2.下列命题正确的是（
D
）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。 B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。 C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相 似比为1. D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
a c (1)比例基本性质 = b d a b = b c
合比性质：
a b c d
b2=ac
ad=bc
a c e m acem ac a 等比性质： b d f n bd f n bd b
a c ab cd b d b d
A
.
.
图 24.4.2
如图：在三角形ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm ，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动 同时点Q从C 点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运 动，设运动的时间为X （1）当X 何值时，PQ‖BC？ （2）当S△BCQ：S△ABC=1：3时，求S△BPQ：S△ABC （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长，若 不能，请说明理由。 B
D
6 x P 14―x
B
解（1）假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP 则有AB:CD=PB:PD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6：4=（14―x）:x
∴x=5.6
A
C
6
B
4
D
x
p 14―x P
（2）假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,则 则有AB:PD=PB:CD 设PD=x，则PB=14―x， ∴6： x =（14―x）: 4
P
A
Q
C
P
.
B
= AP AB
点B把线段AC分成两部分,如果 PB AP 那么称线段AC被点B 黄金分割, 点P为线段AB 的 黄金分割点,
AP与AB的比值约为0.618,这个比值称 为 黄金比.
பைடு நூலகம்思考:如何应用二次方程的知识求出黄金比的数值?
1．若 a:3=b:7, 则(a+3b):2b=
；
2．若a=2，b=6，c=4，且a，b，c，d成比 例，则d= ；
B
4cm/秒
Q
8
2cm/秒
A
P
16
C
分析：由于∆PBQ与∆ABC有公共角∠B；所以 若∆PBQ与∆ABC相似，则有两种可能一种情况 为 ∆PBQ∽∆ABC 种情况为 ,即PQ∥AC;另一
∆QBP∽∆ABC
二、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组 对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的 两个图形叫做位似图形。
知识要点：
1、了解比例的基本性质，黄金分割 2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形


的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边 成比例，面积的比等于对应边比的平方 3、了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形 相似的条件 4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放 大或缩小 5、通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相 似，利用图形的相似解决一些实际问题 6、从微观的角度去研究相似，用坐标来说明这种 基本变换
A
B
D
A D
C
6.
D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A， 把每两个相似的三角形称为一组，那
E
4 么图中共有相似三角形_______组。
B
C
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点， ∠ACD= ∠ ABC. A 求证：AC2=AD· AB. 2. △ABC中,∠ BAC是直角，过斜 边中点M而垂直于斜边BC的直线 交CA的延长线于E，交AB于D， 连AM. 求证：① △ MAD ∽ △ MEA B ② AM2=MD ·ME
x 1.6 = 2x+12 9.6 解得：x = 3 m
9.6
A x
1.6 P 12
Q x
B
∴两个路灯之间的距离是18 m
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
9.6
？ A B x 18 解： 设他的影子长为 x m，则由题得： x 1.6 = 18+x 9.6
解得 x = 3.6 m