第六章近代平差简介

D
D
• 3)最小范数准则xˆT xˆ min 等价于tr Qxˆxˆ min
即最小方差性
• 4)秩亏自由网平差对参数近似值X0的选择要慎重， 其平差结果对近似值的依赖程度很大，这也是与 经典平差的不同之处。此外，另一个不同之处： 若秩亏网平差的参数近似值X0的选择不够好，不
可能通过迭代来改善。迭代后得到的 vi、xˆi均为0。
• 2)重心基准：秩亏自由网平差基准。依靠最小范 数条件，使网型固定，该基准适合于网中所有点 都具有微小的随机变动的情况；
• 3)拟稳基准：拟稳平差中的重心基准。该基准适 合于网中某些点具有相对稳定性，它们的变动是 随机的。
5、重心基准：
• a)秩亏水准网重心基准
GT xˆ 0 而GT 1 1 1
经典平差的完全相同；而由于对解向量xˆ 的限 制不同而得到不同的xˆ 的 解。
例：如图水准网，设参数个数：u 3
v1 1 1 v2 0 1
0 xˆ1 l1 1 xˆ2 l2
2
N＝AT
A
1
1 2
1 1
v3 1 0 1 xˆ3 l3
绝对值：N ＝0 此时：R N 2 t
• 2)加权秩亏网平差
增加加权最小范数条件：
xˆT Px xˆ min Px－－参数的先验权
• 3)拟稳平差－－局部解向量范数最小（周江文法）
将网中参数分为两类： xˆ xˆI xˆII T
xˆ
：不稳定点参数；
I
xˆ
：拟稳点参数。
II
要求：
xˆ
T II
xˆ II＝min
• 注意：由于均在VTPV=min原则下进行平差，所 以几种秩亏平差方式得到的观测值的改正数V与
3、G阵的具体形式
• 复习：特征值和特征向量
•
若有一个方阵A与向量X相乘，等于一个数
与向量X相乘，则称为A的特征根（值），X
为属于的特征向量。
如
1 2
2 1
2 2
33 ＝5
3 3
2 2 13 3
即 AX＝X 或 A－I X＝0
• . A有n阶，就有n个特征值。若A为秩亏阵，秩亏
数为d，则有d个＝0的特征值。
•
根据VTPV=min原则，已达到合理消除网中
各种几何条件不符值的目的，此时平差网中控制
点的最佳相对位置已确定，由于网中无起算数据，
故网的绝对位置无法确定。
•
• 为确定网中点的绝对位置，必须建立参考系（基 准）。
• 平差基准：平差一个控制网所需要的充分、必要 的起算数据。
• 基准（参考系）分类：
• 1)固定基准：经典网平差基准。给定起算数据， 确定网中各点的绝对位置。该基准适合于网中固 定点（已知点）稳定的情况；
N－－满秩方阵，有唯一逆，法方程有唯 一解。故经典平差称为满秩平差。 凯利逆：满秩方阵的逆。 满秩方阵：阶和秩相等的阵。
• 经典平差的局限：在控制网中无起算点或起算点 可能不稳定时，不宜使用经典平差。
• 2、秩亏自由网平差
• 特点：视网中所有点均为待定点。
•
参数个数u =网中所有未知数
• 用途：
• 1)形变监测网－－通过高精度的重复观测，发现 点位间的微小变化。
u
u
xˆi 0 i 1
平差后高程的平均值（重心值）为：
Xˆ
1 u
u
(
X
0 i
i 1
xˆi )
1 u
u i 1
X
0 i
X0
即相当于网中有一重心点，其高程为网中各点高
程平均值，经平差其值不变。
• b)秩亏测边网或边角网重心基准 • c)秩亏测角网重心基准
m
m
• 以上两项均有: xˆi 0 , yˆi 0 条件成立，
N －的求法之一－－“零＋边”法
概括：
1）广义逆不唯一；
2）“零＋边”法是划去任意以主元为对称点的d（秩亏数）
行和d列，
形成
一满
秩阵N
1－1，再用零填充进N
－1中，阶数与
1
原N相同，得到N －阵。
• “零＋边”法求广义逆：
N
uu
N11
tt
0
d t
0
td
0
dd
3)此法计算简单，但只适用于方阵。
• 组. 成新函数： V T PV 2k T GT xˆ
得法方程：
N GT
G 0
xˆ k
U0
0
经证明，得：k 0 代入新函数：
V T PV 2k T GT xˆ＝V T PV
说明：秩亏网平差的最小二乘原则与未知数附加的
约束无关，即V T PV是一个不变量，改正数V不因所 取基准约束不同而异。
限制条件，满足xˆT xˆ min，得到解向量xˆ。
等价于xˆT xˆ min的限制方程为：
GT xˆ 0
du u1
RG d
要求：AG＝0 －－误差方程系数阵A与G阵正交。
附加阵法秩亏网平差模型：
GdVunT1
xˆ
u1
A xˆ
nu u1
0
lFra Baidu bibliotek
n1
RA t u RG d AG 0
可用附有限制条件的间接平差法。
i 1
i 1
参照a)的水准网重心基准，可知b)、c)两项中也
有重心基准条件存在。
6、秩亏自由网平差的一些特性 • 1)参数估计值的有偏性
由 A~x l 得：El A~x
在最小范数解中：xˆ
N mU
N
m
AT
P
l
Exˆ
N
m
AT
P El
N
m
N~x
N
m
N
I
Exˆ ~x
参数的估值为有偏估值。
c1
c2
c3 ＝
1 3
1
1
1
则当水准网中有n个待定点时，GT＝ 1 1 1 1
n
• 秩亏水准网平差后可验证：GT xˆ 0 xˆi 0
• 2)测边网、边角网G阵
GT
1 0
0 1
1 0
0 1
1 0
0 1
y10
x10
y
0 2
x20
ym0
x
0 m
• 3)测角网G阵
1 0 1 0 1 0
• 2)大地网平差前的观测质量分析。
• 二、秩亏网平差的几种类型
• 秩亏平差中，将VTPV=min原理作用于误差方 程上得到的法方程，由于其系数阵N的秩亏，无 法得到解，需增加新的约束条件。
• 秩亏网平差由于增加约束条件的不同而分为： • 1)秩亏网平差
增加最小范数条件：
xˆT xˆ xˆ12 xˆ22 xˆu2 min
广义逆秩亏自由网平差的重要特性：
N
m
xˆ
NT N mU
(
NN
T
)
最小范数逆，不唯一 最小范数解，唯一
注意：N
m
不对称。
广义逆法的精度评定 • 1)单位权中误差
ˆ V T PV
nt
• 2)参数协因数阵
•
xˆ
N mU
N
m
AT
Pl
Qxˆxˆ
N
m
N
N
m
唯一
2、附加条件法
• 原理：在平差模型V Axˆ l中，加入d个（秩亏数）
第六章 近代测量平差简介
近代平差：近30～40年发展的一些新的误差理 论和平差模型。
6－3 秩亏自由网平差 一、经典自由网和秩亏自由网 1、经典自由网（独立网）：只有必要起算数据d。
经典平差中，参数个数＝必要观测数t
间接平差：V Axˆ l R A t－－A阵列满秩
nt
法方程：AT PAxˆ AT Pl 0 且R N ＝t tt
•
• 由于最小范数解等价于附加条件法的参数解，所 以附加条件法的参数解也是有偏的。
• 2)、xˆT xˆ min 与GT xˆ 0等价
不同基准下的平差，均是在满足Nxˆ U 0的条件下，对xˆ有 不同的约束，故而产生了不同的xˆ解。设有满足不同基准的
两个最小二乘解xˆ1、xˆ2，有：
Nxˆ1 Nxˆ2
N －的性质：
1 A－ T ＝ AT －
2 一般情况下，A－ － A
3
A AT
－
A
AT
A＝A
4 AT A AT A － AT＝AT
• 法. 方程Nxˆ U 0中，因N －不唯一，需再加 xˆT xˆ min 约束： 新函数：＝xˆT xˆ 2k T (Nxˆ U ) 最后得：xˆ N T (NN T )U N mU
如前例：N＝－21
－1 2
－ －11
其中：RN 2, d 1
－1 －1 2
N有一个为零的特征值。设其特征向量为：G＝g1 g2 g3 T
NG 0 －21
－1 2
－ －11
g1 g2
0
－1 －1
2
g
3
得通解：g1 g2 g3 c－－任意常数
标准化后：G T＝
1 C 2＋C 2＋C 2
平差后：xˆ QGU N GGT 1 AT Pl 其中：QG＝ N GGT 1
• 精度评定： • 1)单位权中误差 • 2)参数的协因数阵
通用公式： Qxˆxˆ QG NQG QG AT PAQG 若G阵经标准化： GT G＝I 则可用： Qxˆxˆ＝QG－GG T 注意：秩亏网平差的广义逆法及附加阵法均是在最 小二乘原则下得到法方程后，由于其系数阵秩亏， 再加上最小范数约束而得到的结果，所以这两种平 差法的结果完全相同。
GT
0 y10 x10
1 x10 y10
0 y20 x20
1 x20 y20
0 ym0 xm0
1
xm0
y
0 m
m：网中待定点数
上两式注意： 1〕G T 阵未标准化；2〕xi0、yi0需中心化后才能使用；
3〕平差后可做检验： xˆi 0； yˆi 0
•4、自由网平差基准条件的几何意义
1 1 2
33
N的秩亏数＝参数个数u RN u t 必要起算数据d
• 由例可见，产生秩亏的原因是不设起算数据。 故： 秩亏数＝网中必要起算数据个数
三、秩亏网平差
• 1、广义逆法
法方程：Nxˆ U 0 N 0 N秩亏，无凯利逆N －1
秩亏阵的逆，称为广义逆N －，其特点：
NN －N＝N
即：A i I X i 0
i：A的第i个特征值，X i：对应于i的特征向量。
当i 0时，AXi 0
1
而法方程中，R（N） t 秩亏数为: d u t uu
且：AG 0 AT PAG 0 NG 0 2 比较1、2两式，可知：
附加阵G－－法方程系数阵N的零特征值对应的 特征向量。
• 1)、水准网的G阵
U U
0 0
1
上两式相减： N xˆ1 xˆ2 0
考虑：NG＝0 故有：xˆ1 xˆ2＝GD
2D－－d维向量
现设最小二乘解为xˆ，最小范数解为xˆ，代入2：
xˆ xˆ GD 式中D未知，
若要满足xˆT xˆ min,需要：
xˆT xˆ＝2xˆT xˆ＝2xˆT G＝0 xˆT xˆ min GT xˆ 0