第1章导热理论讲解
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2
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
对导热微分方程的修正：（无内热源非稳态导热为例）
0 T 1 t 2 t 2 a a
2
0 : 松弛时间
每一种材料都有一个固有的时间尺度，它反映辐射能量与材料 微观作用的时间。一般金属为10-12~10-13秒。
定义热传播速度C
方程可改写为 1 2T 1 t 2 t 2 2 C a
V
由于研究对象任意取，所以被积 函数满足
t Q3 c dV V
华北电力大学
t t qV c
2
梁秀俊
高等传热学
常物性导热微分 方程的一般形式 如果变物性
t t qV c
2
t c (t ) qV
直角坐标系中
梁秀俊
高等传热学
球坐标：
x1 r
x2
x3
X r sin cos Y r sin sin Z r cos
H1 1 H2 r H 3 r sin
t 1 1 t 1 t 2 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) r r r r sin r sin
坡度大 坡度小
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
二、导热基本定律（傅立叶定律）
Fourier(1768 –1830 )1798年随 拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑 器重，回国后被任命为格伦诺布尔 省省长。1822年，提出了把温度场 和热流场联系起来的导热基本定律。 即热流密度（量）与温度梯度关系。
q grad t
f ( x) f ( x, ) f ( x, y ) f ( x, y, ) f ( x, y, z ) f ( x, y , z , )
梁秀俊
高等传热学
2. 等温面、等温线
等温线
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高等传热学
3. 温度梯度 温度梯度是矢量，有大小、 方向。
θ t t-Δt l
t+Δt
grad t或者t t t t grad t i j k t x y z t grad t l gradt cos l
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
四、导热过程的定解条件
几何条件（给定导热体的几何参数） 物理条件（给定导热体的物性参数）
初始条件（仅对非稳态导热，初始状态）
边界条件（给定导热体的边界情况） 导热问题的完整数学描述： 导热微分方程 + 定解条件
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
常见的边界条件有三类
1.第一类边界条件:给定边界上 的温度分布。
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
一、导热微分方程的推导（回顾方法1）
1.建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析。
dz z y dx x
dy
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
2.能量变化的分析:
导热体内能的变化； 各个界面上有导入和导出热量； 内热源产生的热量。
dz dx
dy
净导入热量+ 内热源发热量
qx q y qz q x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) qV x x y y z z
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
适用条件 : 物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将 以无限大的速度传播到物体中的各处，即在距离扰动源 无限远处也能瞬时感受到该扰动的作用。
A
dA
gradt
q
gradt dA
A
Q Agradt
dA为表面外法线方向，则 热量Q相当于（导入or导出）的热量？
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
三、导热系数（热导率） 1.导热系数定义
影响因素
q gradt
物质的种类、温度、 压力、结构。
非金属、气体：t 金属：t
理想情形
t1 1 x
s
t1 s t2 s t 2 2 s x
梁秀俊
华北电力大学
高等传热学
§1-3 各向异性材料中的导热 各向异性材料 晶体 木材 石墨 沉积岩
层压复合材料
硅钢片铁芯
导热特性 导热系数与方向有关 热流方向与温度梯度不共线
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
一、坐标轴与异性各向主轴一致
华北电力大学
a
0
当 0 0 或C
t 2 a t
梁秀俊
高等传热学
三、一般正交坐标系中的导热微分方程式
t 1 c H
Hi
H t ( ) 2 H i xi i 1 xi
3
其中： H H1 H 2 H 3
称作拉梅系数
X 2 Y 2 Z 2 ( ) ( ) ( ) xi xi xi
= 热力学能的增加
（1）微元体热力学能（内能）的增量
t t dE cdV cdxdydz
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高等传热学
（2）导入与导出微元体的热量
利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导 出微元体的热量。 沿x轴方向、经x表面导入的热量：
t Φx dydz x
tw1 tw2
x 0, t t w1 x , t tw2
2.第二类边界条件:给定边界 上的热流密度。
0
δ
x
qw
t x , - qw x
华北电力大学
0
δ
x
梁秀俊
高等传热学
3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数 和流体的温度，也称为对流换热边界。
牛顿冷却公式：
t q x x
q qx i q y j qz k
t q y y
t q z z
梁秀俊
华北电力大学
高等传热学
边界上任意表面的导热量
dQ d q dA gradt dA
Q q dA
隔热保温材料： 0.02 ~ 0.12
气体： 0.007 ~ 0.17
华北电力大学
钻石 2300 银 429 铜 399 金 317 铝 237 铁 80 锡 67 铅 34.8
梁秀俊
高等传热学
3、保温材料
国 家 标 准 GB/T 4272-2008 中 规 定 ， 将 温 度 低 于 350℃时导热系数小于0.08 W/(mK)的材料称为保温 材料（或绝热材料），如膨胀塑料、膨胀珍珠岩、 矿渣棉等。 绝大多数保温材料具有多孔或纤维结构，这些 材料不是均匀介质，它们的导热系数均是表观导热 系数，或称作折算导热系数。往往表现出一定的方 向性。 应注意的是：以上这些材料的导热系数随温 度、含水率、密度而变化。
非稳态项
华北电力大学
三个坐标方向净导入的热量
内热源项
梁秀俊
高等传热学
二、一般体系导热微分方程的推导（方法2）
在导热体中任意取一闭合曲面A，其外法线方向为n。 导热体能量分析： 净导入Q1+内热源生成Q2=内能增量Q3
n dA q
Q1 q dA gradtdA
A A
V
Q2 qV dV
华北电力大学
梁秀俊
高等传热学
柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 c H
H t ( ) 2 H i xi i 1 xi
3
X 2 Y 2 Z 2 Hi ( ) ( ) ( ) xi xi xi
沿 x 轴方向、经 x+dx 表 面导出的热量：
Φx
z y x
Φx dx
Φx dx
Φx t Φx dx Φx - dxdydz x x x
梁秀俊
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高等传热学
沿x 轴方向净导入微元体的热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
华北电力大学 梁秀俊
Fra Baidu bibliotek
高等传热学
复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
华北电力大学
泡沫石棉
耐火材料
梁秀俊
高等传热学
§1-2 固体导热问题的数学描述
导热微分方程
导热问题描述
三维、非稳态、有内热源
定解条件
推导前提（假设条件）
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (q ) [W/m3]； (3) 内热源均匀分布，强度为 Φ V (4) 导热体与外界没有功的交换。
t dxdydz y y
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz Φz dz
华北电力大学
t dxdydz z z
梁秀俊
高等传热学
总导入与导出净热量:
i 1,2,3
x X ( x1 , x2 , x3 ) 为正交坐标系x1、x2、x3与 y Y ( x1 , x2 , x3 ) 直角坐标系x、y、z之间的 z Z ( x1 , x2 , x3 ) 函数关系。
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
例：柱坐标系（r, , z）
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
t t t Φc [ ( ) ( ) ( )]dxdydz x x y y z z
（3）微元体内热源生成的总热量
dxdydz ΦV Φ
3. 直角坐标系下导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
高等传热学
第1章 导热理论和导热微分方程
一、基本概念 §1-1导热基本定律
1. 温度场 物体中的温度分布 在直角坐标系下的分类 一维温度场 稳态温度场
t f ( x, y, z )
非稳态温度场
二维温度场 三维温度场
t f ( x, y , z , )
华北电力大学
t t t t t t
t Q3 c dV V
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
dA
q
Q1 q dA gradtdA
A A
由散度定理：矢量场的散度在体积上 的体积分等于矢量场在限定该体积的 闭合曲面上的面积分。
Q1 divgradtdV tdV
2 V V
Q2 qV dV
i 1,2,3
H1 cos sin 1
2 2
H 2 r sin r cos x2 r
2 2 2 2
华北电力大学
H3 1
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
qw h(t t f )
傅里叶定律：
qw
h
tf
qw (t / n)
0 δ x
t h(t t f ) x , x x
华北电力大学 梁秀俊
高等传热学
t Rc 交界面处 q t1 t1 s t 2 s Rc 1 s n t1 t 2 1 s 2 s n n
x、y、z方向导热系数均匀，分别为λx、λy、λz。 导热热流沿各个方向的分量为：
10K 纯铜:
华北电力大学
0 (1 bt )
19000 W/(m.K)
梁秀俊
高等传热学
2、导热系数的相对大小和典型数据
金属 非金属; 固相 液相 气相
在常温（20℃）条件下的典型数据，W/(m.K)
金属： 50 ~ 430 合金： 12 ~ 120 非金属液体： 0.17 ~ 0.7
不适用于下列情形： （1）导热体温度极低，接近绝对零K。如超低温固体氦。 （2）导热过程极短，μs或ns 量级。如激光脉冲加工。 （3）导热过程的空间尺度极小，nm级厚度的导热。
对导热微分方程的修正：（无内热源非稳态导热为例）
0 T 1 t t 2 2 a t t 2 a a 0 : 松弛时间
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对导热微分方程的修正：（无内热源非稳态导热为例）
0 T 1 t 2 t 2 a a
2
0 : 松弛时间
每一种材料都有一个固有的时间尺度，它反映辐射能量与材料 微观作用的时间。一般金属为10-12~10-13秒。
定义热传播速度C
方程可改写为 1 2T 1 t 2 t 2 2 C a
V
由于研究对象任意取，所以被积 函数满足
t Q3 c dV V
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t t qV c
2
梁秀俊
高等传热学
常物性导热微分 方程的一般形式 如果变物性
t t qV c
2
t c (t ) qV
直角坐标系中
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高等传热学
球坐标：
x1 r
x2
x3
X r sin cos Y r sin sin Z r cos
H1 1 H2 r H 3 r sin
t 1 1 t 1 t 2 t c 2 ( r ) 2 ( sin ) 2 2 ( ) r r r r sin r sin
坡度大 坡度小
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高等传热学
二、导热基本定律（傅立叶定律）
Fourier(1768 –1830 )1798年随 拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑 器重，回国后被任命为格伦诺布尔 省省长。1822年，提出了把温度场 和热流场联系起来的导热基本定律。 即热流密度（量）与温度梯度关系。
q grad t
f ( x) f ( x, ) f ( x, y ) f ( x, y, ) f ( x, y, z ) f ( x, y , z , )
梁秀俊
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2. 等温面、等温线
等温线
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3. 温度梯度 温度梯度是矢量，有大小、 方向。
θ t t-Δt l
t+Δt
grad t或者t t t t grad t i j k t x y z t grad t l gradt cos l
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四、导热过程的定解条件
几何条件（给定导热体的几何参数） 物理条件（给定导热体的物性参数）
初始条件（仅对非稳态导热，初始状态）
边界条件（给定导热体的边界情况） 导热问题的完整数学描述： 导热微分方程 + 定解条件
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高等传热学
常见的边界条件有三类
1.第一类边界条件:给定边界上 的温度分布。
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高等传热学
一、导热微分方程的推导（回顾方法1）
1.建立坐标系，取分析对象（微元体） 在直角坐标系中进行分析。
dz z y dx x
dy
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2.能量变化的分析:
导热体内能的变化； 各个界面上有导入和导出热量； 内热源产生的热量。
dz dx
dy
净导入热量+ 内热源发热量
qx q y qz q x y z
t t t t c ( ) ( ) ( ) qV x x y y z z
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适用条件 : 物体在某一处受到的温度（或热）的扰动将 以无限大的速度传播到物体中的各处，即在距离扰动源 无限远处也能瞬时感受到该扰动的作用。
A
dA
gradt
q
gradt dA
A
Q Agradt
dA为表面外法线方向，则 热量Q相当于（导入or导出）的热量？
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三、导热系数（热导率） 1.导热系数定义
影响因素
q gradt
物质的种类、温度、 压力、结构。
非金属、气体：t 金属：t
理想情形
t1 1 x
s
t1 s t2 s t 2 2 s x
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§1-3 各向异性材料中的导热 各向异性材料 晶体 木材 石墨 沉积岩
层压复合材料
硅钢片铁芯
导热特性 导热系数与方向有关 热流方向与温度梯度不共线
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一、坐标轴与异性各向主轴一致
华北电力大学
a
0
当 0 0 或C
t 2 a t
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三、一般正交坐标系中的导热微分方程式
t 1 c H
Hi
H t ( ) 2 H i xi i 1 xi
3
其中： H H1 H 2 H 3
称作拉梅系数
X 2 Y 2 Z 2 ( ) ( ) ( ) xi xi xi
= 热力学能的增加
（1）微元体热力学能（内能）的增量
t t dE cdV cdxdydz
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（2）导入与导出微元体的热量
利用导热基本定律可写出各个表面上导入和导 出微元体的热量。 沿x轴方向、经x表面导入的热量：
t Φx dydz x
tw1 tw2
x 0, t t w1 x , t tw2
2.第二类边界条件:给定边界 上的热流密度。
0
δ
x
qw
t x , - qw x
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0
δ
x
梁秀俊
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3.第三类边界条件:给定边界面与流体间的换热系数 和流体的温度，也称为对流换热边界。
牛顿冷却公式：
t q x x
q qx i q y j qz k
t q y y
t q z z
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高等传热学
边界上任意表面的导热量
dQ d q dA gradt dA
Q q dA
隔热保温材料： 0.02 ~ 0.12
气体： 0.007 ~ 0.17
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钻石 2300 银 429 铜 399 金 317 铝 237 铁 80 锡 67 铅 34.8
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3、保温材料
国 家 标 准 GB/T 4272-2008 中 规 定 ， 将 温 度 低 于 350℃时导热系数小于0.08 W/(mK)的材料称为保温 材料（或绝热材料），如膨胀塑料、膨胀珍珠岩、 矿渣棉等。 绝大多数保温材料具有多孔或纤维结构，这些 材料不是均匀介质，它们的导热系数均是表观导热 系数，或称作折算导热系数。往往表现出一定的方 向性。 应注意的是：以上这些材料的导热系数随温 度、含水率、密度而变化。
非稳态项
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三个坐标方向净导入的热量
内热源项
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二、一般体系导热微分方程的推导（方法2）
在导热体中任意取一闭合曲面A，其外法线方向为n。 导热体能量分析： 净导入Q1+内热源生成Q2=内能增量Q3
n dA q
Q1 q dA gradtdA
A A
V
Q2 qV dV
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柱坐标系（r, , z）
x r cos ; y r sin ; z z
t 1 c H
H t ( ) 2 H i xi i 1 xi
3
X 2 Y 2 Z 2 Hi ( ) ( ) ( ) xi xi xi
沿 x 轴方向、经 x+dx 表 面导出的热量：
Φx
z y x
Φx dx
Φx dx
Φx t Φx dx Φx - dxdydz x x x
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沿x 轴方向净导入微元体的热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
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复合硅酸盐
玻璃棉
聚氨酯泡沫
岩棉
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泡沫石棉
耐火材料
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§1-2 固体导热问题的数学描述
导热微分方程
导热问题描述
三维、非稳态、有内热源
定解条件
推导前提（假设条件）
(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质； (2) 热导率、比热容和密度均为已知； (q ) [W/m3]； (3) 内热源均匀分布，强度为 Φ V (4) 导热体与外界没有功的交换。
t dxdydz y y
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量
Φz Φz dz
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t dxdydz z z
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总导入与导出净热量:
i 1,2,3
x X ( x1 , x2 , x3 ) 为正交坐标系x1、x2、x3与 y Y ( x1 , x2 , x3 ) 直角坐标系x、y、z之间的 z Z ( x1 , x2 , x3 ) 函数关系。
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例：柱坐标系（r, , z）
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
t t t Φc [ ( ) ( ) ( )]dxdydz x x y y z z
（3）微元体内热源生成的总热量
dxdydz ΦV Φ
3. 直角坐标系下导热微分方程的基本形式
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
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第1章 导热理论和导热微分方程
一、基本概念 §1-1导热基本定律
1. 温度场 物体中的温度分布 在直角坐标系下的分类 一维温度场 稳态温度场
t f ( x, y, z )
非稳态温度场
二维温度场 三维温度场
t f ( x, y , z , )
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t t t t t t
t Q3 c dV V
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dA
q
Q1 q dA gradtdA
A A
由散度定理：矢量场的散度在体积上 的体积分等于矢量场在限定该体积的 闭合曲面上的面积分。
Q1 divgradtdV tdV
2 V V
Q2 qV dV
i 1,2,3
H1 cos sin 1
2 2
H 2 r sin r cos x2 r
2 2 2 2
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H3 1
t 1 t 1 t t c ( r ) 2 ( ) ( ) r r r r z z
qw h(t t f )
傅里叶定律：
qw
h
tf
qw (t / n)
0 δ x
t h(t t f ) x , x x
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t Rc 交界面处 q t1 t1 s t 2 s Rc 1 s n t1 t 2 1 s 2 s n n
x、y、z方向导热系数均匀，分别为λx、λy、λz。 导热热流沿各个方向的分量为：
10K 纯铜:
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0 (1 bt )
19000 W/(m.K)
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2、导热系数的相对大小和典型数据
金属 非金属; 固相 液相 气相
在常温（20℃）条件下的典型数据，W/(m.K)
金属： 50 ~ 430 合金： 12 ~ 120 非金属液体： 0.17 ~ 0.7
不适用于下列情形： （1）导热体温度极低，接近绝对零K。如超低温固体氦。 （2）导热过程极短，μs或ns 量级。如激光脉冲加工。 （3）导热过程的空间尺度极小，nm级厚度的导热。
对导热微分方程的修正：（无内热源非稳态导热为例）
0 T 1 t t 2 2 a t t 2 a a 0 : 松弛时间