物理动能机械能经典例题

动能和动能定理、重力势能典型例题精析

[例题3] 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量为m的物体，如图8－28所示：绳的P端拴

在车后的挂钩上，Q端拴在物体上，设绳的总长不变；绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车经过B点时的速度为v B．求车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功？

[思路点拨] 汽车从A到B把物体提升的过程中，物体只受到拉力和重力的作用，根据物体速度的变化和上升的高度，特别是汽车运动速度v B与物体上升过程中的瞬时速度关系，应用动能定理即可求解．[解题过程] 以物体为研究对象，开始动能E k1=0，随着车的加速拖动，重物上升，同时速度在不断增加．当

车运动至B点时，左边的绳与水平面所成角θ=45°，设物体已从井底上升高度h，此时物体速度为v Q，即为收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图8－29

[小结] 此题需明确：速度分解跟力的分解相似，两个分速度方向应根据运动的实际效果确定．车子向左运动时，绳端(P)除了有沿绳子方向的分运动外(每一瞬间绳均处于张紧的状态)，还参与了绕定滑轮O 的转动分运动(绳与竖直方向的夹角不断变化)，因此还应该有一个绕O点转动的分速度，这个分速度垂直于绳长的方向．所以车子运动到B点时的速度分解如图8－29所示，有v Q=v B1=v B cosθ=v B cos45°．

[例题5] 如图8－30所示，长为L，质量为m1的木板A置于光滑水平面上，在A板上表面左端有一质量为m2的物块B，B与A的摩擦因数为μ，A和B一起以相同的速度v向右运动，在A与竖直墙壁碰撞过程中无机械能损失，要使B一直不从A上掉下来，v必须满足什么条件(用m1、m2、L、μ表示)？倘若V0已知，木板B的长度L应满足什么条件(用m1、m2、V0、μ表示)？

[思路点拨] A和墙壁碰撞后，A以大小为v的速度向左运动，B仍以原速向右运动．以后的运动过程有三种可能：(1)若m1＞m2，则m1和m2最后以某一共同速度向左运动；(2)若m1=m2，则A、B最后都停在水平面上，但不可能与墙壁发生第二次碰撞；(3)若m1＜m2，则A将多次和墙壁碰撞、最后停在靠近墙壁处．

[解题过程] 若m1＞m2，碰撞后的总动量方向向左，以向左为正方向，系统Δp=0，

m1v－m2v=(m1＋m2)v′，

若相对静止时B刚好在A板右端，则系统总机械能损失应为μm2gL，则功能关系为

若V0已知，则板长L应满足

若m1=m2，碰撞后系统总动量为零，最后都静止在水平面上，设静止时B在A的右端，则

若m1＜m2，则A与墙壁将发生多次碰撞，每次碰撞后总动量方向都向右，而B相对于A始终向右运动，设最后A静止在靠近墙壁处，B静止在A的右端，则有

[小结] 在有些用字母表示已知物理量的题目中，物理过程往往随着已知量的不同取值范围而改变．对于这类题目，通常是将物理量的取值分成几个范围来讨论，分别在各个范围内求解．如本题中，由于m1和m2的大小关系没有确定，在解题时必须对可能发生的物理过程进行讨论，分别得出结果．

[例题9]一个圆柱形的竖直的井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭和.在井

中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底，在圆管内有一

不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动.开始时，管内外水面相齐，且活塞恰好接触水面，

如图所示，现有卷场机通过绳子对活塞施加一个向上的力F，使活塞缓慢向上移动.已知管

筒半径r=0.100m，井的半径R=2r，水的密度 =1.00×103kg/m3，大气压p0=1.00×105Pa.

求活寒上升H=9.00m的过程中拉力F所做的功.（井和管在水面以上及水面以下的部分都

足够长.不计活塞质量，不计摩擦）

【解】从开始提升到活塞升至内外水面高度差为m g p h 1000==ρ的过程中，活塞始终与管内液体接触，（再提升活塞时，活

塞和水面之间将出现真空，另行讨论）设活塞上升距离为h 1，管外液面下降距离为h 2， h 0=h 1+h 2……①

因液体体积不变，有 122123

1)(

h r

R r h h =

-=πππ……② 得 m m h h 5.7104

34

301=⨯==……③

题给H=9m>h 1，由此可知确实有活塞下面是真空的一段过程.

活塞移动距离从零到h 1的过程中，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量应等于除重力外其他力所做的功，因为始终无动能，所以机械能的增量也就等于重力势能增量，即 2

)(012h g h r E πρ=∆……④

其他力有管内、外的大气压力的拉力F ，因为液体不可压缩，所以管内、外大气压力做的总功0)(102220=--rh p h r R p ππ，故外力做功就只是拉力F 做的功，由功能关系知

E W ∆=1……⑤ 即 J g

p r h g r W 42

022*******.18383)(⨯===ρππρ……⑥

活塞移动距离从h 1到H 的过程中，液面不变，F 是恒力02p r F π=，做功 J h H p r h H F W 3102121071.4)()(⨯=-=-=π……⑦ 所求拉力F 做的总功为J W W 4211065.1⨯=+⑧

[例题10]

一传送带装置示意图，其中传送带经过AB 区域时是水平的，经

过BC 区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD 区域时是倾斜的，AB 和CD 都与BC 相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速度为零，经传送带运送到D 处，D 和A 的高度差为h 。稳定工作时传送带速度不变，CD 段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L 。每个箱子在A 处投放后，在到达B 之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目N 个。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机平均功率P 。

【解】以地面为参考系（下同），设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动，设这段路程为s ，所用的时间为t ，加速度为a ，则对小货箱有s=

2

1at 2

①

D