二项式定理讲学案

讲学案

课题：二项式定理第一课时

设计教师：设计时间：2015.4.2

一、教学目标

1.知识与技能: (1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法: 通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3.情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

1.教学重点：用计数原理分析3)

a 的展开式，得到二项式定理．

(b

2.教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项

式之和时各项系数的规律.

三、教学过程

（老师在多媒体上展示学案，同学们齐读）今天我们学习新课《二项式定理》，我们的学习目标是：

1、进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式，并能灵活的应用

2、运用二项式定理的过程中，领会化归意识与方法迁移的能力

（一）公式探究：

师：今天是星期四，再过8天是星期几？再过是星期几？再过天呢？如果是过天呢

生：再过8天是星期五；再过是星期五；再过天也是星期五，如果是过天，……应该也是星期五吧！

师：先给同学们吃颗定心丸，星期五是对的，可有谁知道这是为什么？

生：这……

师：没事，学习完我们今天要学的知识，我想聪明的同学们能告诉你怎么一回事了．板书（二项式定理）

设计感悟：本来的设计是经过天，再过天，后来觉得那不是这道题的本质，用8反而更容易我后面找到周期7埋下伏笔，而且学生马上算了出来，更容易发现规律，事实证明能将学生的兴趣激发出来．

师：二项式定理其实就是研究形如如何展开表示．对这个问题我们如何来研究呢？

生：（感到茫然）……

师：我们研究问题时经常使用什么方法？对了，就是特殊到一般，一般到特殊．现在这种情况是一般还是特殊的？

生：一般的．

师：恩，那如何特殊化呢？

生：是不是先令试试看……

师：很棒哦．这就是先特殊，然后再一般的方法，下面说来说说如何展开表示？

生：（举手并回答）．

师：很好哦．那谁来说说如何表示呢？

生：（举手并回答）

师：看来同学们回答都不错哦！接下来的一个问题是如何展开？

生：许多同学拿起笔算了起来，一些同学陷入思考中……

师：让我们回顾刚刚的做法，为什么一些同学很快的写出的情形？

生：笑．记住的

师：（严肃地）记住一些数学公式、定理固然重要，但是更重要的研究问题的方法！以前你们怎么做的？

[教学感悟]很多学生的学习数学以文科的方式来进行，不少同学都不进行思考，正如奠宙所说，‘是掐头去尾烧中段’．

生：就是写成的形式，乘一下合并同类项

师：对了．就是这种研究方法．我刚刚看到了一些同学用这样的方法算．数学家波利亚说过，当遇到一个难题，我们是否可以研究类似的问题，现在我们来模拟一下．将视作一个容器，是红色玻璃球、是蓝色玻璃球，如果是显然是从两个容器中取球的问题．则问题可转化为在两个容器中取分别各一个球，有什么样的结果？

生：只有这样的三种结果，要么都是红球、要么一红一蓝，要么都是蓝球．

师：恩，就是这样三种结果．如果这样考虑显然不怎么妥当，我们可以以蓝球为标准进行分类．这三种结果也就是等价于都不取蓝球、只取一个蓝球，都取蓝球．那么分别有几种做法？

生：不取蓝球的作法是种，一红一蓝有种，都是蓝球的是种．

师：很好的．如果还原为原式又该如何？

生：

师：恩，如果用这种方法来研究呢．请同学们思考这种模拟如何实现？生：是不是这样．——4个容器中有红（）、蓝（）玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？

生：（一个优秀的学生）同样也按蓝球b进行分类，则有都不取蓝（）球的，恰有个取蓝（）球，恰有个取蓝（）球，恰有3个取蓝（）球，都取蓝（）球这五种情况．则从上面个容器（括号）中，每个都不取蓝（）球的情

况有种，即种，的系数是；恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，恰有个取蓝（）球的情况有种，的系数是，有都取蓝（）球的情况有种，的系数是，

∴

师：大家说他说得好不好？

生：鼓掌……，好的！

[教学感悟]对这个问题的处理，是明显和教材是不相同的．我是先让学生知道今天要学习什么，让学生朝着学习目标进发．然后积极在教学中渗透特殊到一般是思想．和分类讨论思想，特别是学生对为什么要按字母或进行分类，学生的学习还不致于陷入混淆的状态．对于构造实验进行模拟的效果在本节课反应显著．就是要求我们是教学过程中，要注意把书本的学术形态转化为教育形态

师：好了．那么我们是否能更胆大一些，有了前面的基础，能不能猜测一下

的展开情况？．

生：我通过观察刚刚的式子，认为应该是

师：很好，能否简要说明一下方法，我请另外一个同学来协同作战

生：同样可按b进行分类：

每个都不取的情况有种，即种，的系数是；

恰有个取的情况有种，的系数是，……，

恰有个取的情况有种，的系数是，……，

有都取的情况有种，的系数是，

∴

师：我们把上述同学说的公式叫二项式定理．右边的多项式叫的二项展开式，观察一下这个二项展开式有何特点的特点

生：都是次式，

师：说成n次齐次式更好！

生：展开式各项的系数组合数的上标逐渐增加：的次数逐渐减小，从，的次数逐渐增加，从

生：它有项．

师：上述同学归纳得不错，我们规定二项展开式中各项的系数叫二项式系数.同时要注意以为项数的标志，也就是说二项展开式是有序的，不能随意颠倒的．

师：在二项展开式中，我们有时研究它的全部项没有必要，只要研究它的某一项，在这中，我们选出一个代表来．就是我国的人民代表大会一样，从十几亿人中选出2千个左右的代表，他当然要代表广大人民群众性的意志．那么大家认为哪一项更能代表呢？

生：用第n项如何？好象数列的通项一样，含有n.

师：大家觉得怎么样？

生：不行，应该是

师：为什么不行呢．

生：书上是这样的．

师：要有自己的思考哦！

生：因为那样的话对如果有的情况显然不能表示．

师：有道理！那么为什么要用呢．我们来重新写一下