【最新】一章系统的状态变量分析

第7章 系统的状态变量分析
7.2.2 由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程 由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程是一
种比较直观和简单的方法，其一般规则是： (1）选积分器的输出（或微分器的输入）作为状态
变量。 （2）围绕加法器列写状态方程或输出方程。
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i(t)
∫
si(s)
s－1
图7.4 状态变量的选择 《信号与线性系统》
i(t)
i(s)
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例7―2 已知一个三阶连续系统的模拟框图如图7.5 所示，试建立其状态方程和输出方程。
b2
f (t)
＋
∑
3 ∫
2
3
∫
1 2
b1
＋＋
∫
1
b0 ＋
∑
y(t)
a2
－－－ a1
a0
图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
第7章 系统的状态变量分析
7.1 状态变量与状态方程 7.2 连续时间系统状态方程的建立 7.3 离散时间系统状态方程的建立 7.4 连续时间系统状态方程的求解 7.5 离散时间系统状态方程的求解 7.6 系统的可控制性与可观测性
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第7章 系统的状态变量分析
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对于例7―2，对应的信号流图如图7.6所示，虽然 模拟框图是系统的时域描述，信号流图是系统的s域描 述，二者的含义不同，但是，若撇开它们的具体含义， 而只把s-1看作是积分器的符号，那么从图的角度而言， 它们并没有原则上的区别。因此，只要选择了s-1的输 出端状态变量即可写出状态方程。
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7.1.2 系统的状态变量描述 1．状态方程 对于一个有m个输入f1(t)，f2(t)，…，fm(t)，L个输出
y1(t)，y2(t)，…，yL(t)的连续时间系统(如图7.1所示),假 设能充分描述该系统的n个状态变量为λ1(t)λ2(t)，…， λn(t)，则每个状态变量在任何时刻t的一阶导数可表示 为该时刻的n个状态变量和m个输入的一个函数，即
(7―9)
选包含L2的回路L2－uS－C以及包含L3的回路L3
－R－uS－C，运用KVL可得两个独立电压方程
uS uC L2iL2 uS uC L3iL3R(iS iL3)
(7―10)
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将式（7―9）和式（7―10）稍加整理，即可得到 状态方程
uC
1 C
yL(t)
图7.1 多输入―输出连续时间系统 《信号与线性系统》
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系统的状态方程也可以用矢量矩阵的形式来表示，即
12aa1211
n
a31
a12 a22 a32
aa123312bb1211 a33n b31
b12 b22 b32
b13f1 bb3233ff23
(7―3)
上式可简记为
1(t) 0 1 0 1(t) 0
2(t) 0
3(t)
a0
0 a1
1a232((tt))10[f(t)]
(7―16)
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输出方程为
1(t)
[y(t)][b 0b 3a0 b 1b 3a1 b2b3a2] 2(t) [b3][f(t)]
当m＜n时，例如，
3(t)
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路，其状态方程直观列写的一般步骤是： （1）选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量； （2）为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数，必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点（割集）KCL方程， 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程；
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1a111a122a1nnb11f1b12f2b1mfm 2a211a222a2nnb21f1b22f2b2mfm nan11an22annnbn1f1bn2f2bnmfm
(7―2)
f1(t) f2(t)
fm(t)
…
{i(t0)}
…
y1(t) y2(t)
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4．状态变量的选取 用状态变量描述系统的关键是选择状态变量。一 般来说，能充分描述因果动态系统的一组状态变量的 选择并不是唯一的。但只要状态变量的个数是充分的， 选择不同的状态变量来描述系统都是充分的。因此， 如何选择合适的状态变量，主要是看其是否方便于状 态方程和输出方程的编写，以及初始状态向量是否容 易确定。
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5．状态方程的建立 通常，动态系统（包括连续的和离散的）的状态 方程和输出方程可以根据描述系统的输入输出方程 （微分或差分方程）、系统函数、系统的模拟框图或 信号流图等列出。对于电路，则可以根据电路图直接 列出。
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b2
f
1
3 s－1
2 s－1
1 s－1
b1
b0
－a2 3
2
1
y
－a1
－a0
图7.6 例7―2对应的信号流图 《信号与线性系统》
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7.2.3 由微分方程或系统函数建立状态方程 若已知系统的微分方程，为了更具一般性，设其
分子、分母多项式中s的最高幂次相同（即取m=n的一 般情况），为 （p3+a2p2+a1p+a0）y(t)=（b3p3+b2p2+b1p+b0）f(t) 则进而可写出系统函数为
3．状态变量分析法 以状态变量为独立完备变量，以状态方程和输出方程 为研究对象，对多输入多输出系统进行分析的方法，称为 状态变量分析法，也称状态空间法。该方法的基本步骤是： (1)选取一组独立的、完备的状态变量； (2)列写系统的状态方程，并将其写成标准的矩阵形式； (3)求解该状态方程，得到状态向量λ(t)或λ(k)； (4)列写标准形式的输出方程，并将所求得的状态向量 λ(t)或λ (k)代入其中，即得到输出向量y(t)或y(k)。
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1(t)
(t)
2(t)
[1(t)
2(t)n(t)]T
n(t)
(7―1)
此列矩阵λ(t)即称为n维状态向量，简称状态向量 。 由状态变量的定义可知，当λ(t0)及系统的输入给定时， λ(t)便可唯一的被确定。
4．初始状态 状态变量在某一时刻t0的值称为系统在t0时刻的状 态 。即
yL(k)
图7.2 多输入―输出离散时间系统 《信号与线性系统》
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设有n阶多输入―输出离散系统如图7.2所示。它
的m个输入为f1(k)，f2(k)，…，fm(k) ，其L个输出为 y1(k) ， y2(k) ， … ， yL(k) ， 系 统 的 状 态 变 量 为 λ1(k) ， λ2(k)，…，λn(k)。则其状态方程和输出方程可写为
iL2
1 C
iL3
i L2
1 L2
uC
1 L2
uS
i L2
1 L3
uC
R L3
iL3
1 L3
uS
R L3
iS
(7―11)
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第7章 系统的状态变量分析
写成标准矩阵形式为
uC
0
1 C
1 C
uC
0
i
L2
1 L2
0
0
i
L2
1 L2
iL3
1 L3
(t)A(t)Bf(t)
(7―4)
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2．输出方程
同样，对于系统的L个输出y1(t)，y2(t)，…，yL(t)， 也可以用n个状态变量和m个输入的函数来表示，其矩 阵形式可写为
y1 a11 a12 a131 b11 b12 b13f1
y y3 2 a a3 21 1
a22 a32
a a3 23 3 3 2 b b2 31 1
b22 b32
b b2 33 3 ff3 2
(7―5)
y(t)C (t)D f(t)
(7―6)
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f1(k) f2(k)
fm(k)
…
{i(k0)}
…
y1(k) y2(k)
0
R L3
i
L3
1
L3
输出方程为
iC iL2 iL3 u RiS RiL3
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0
0
uS
iS
(7―12)
R L3
(7―13)
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写成标准矩阵形式为
iuC00
1 0
1RiiuL LC3200
0uS
RiS
(7―14)
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λ(t)=［λ1(t0)λ2(t0)…λn(t0)］T
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状态变量在t0=0－时刻的值称为系统的初始状态 或起始状态 。即
λ(0-)=［λ1(0-)λ2(0-)…λn(0-)］T 5．状态空间 以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状 态空间，或者说安放状态向量的空间即称为状态空间。 状态向量在状态空间n个坐标轴上的投影即相应为n个 状态变量。
① ＋ uC － ②
＋
iC Ｃ iL2
iL3
uS －
L2
④
L3 ③ ＋
(iS＋iL3) iS
R
－
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图7.3 例7―1图
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解该系统中有三个独立动态元件，故需三个状
态变量。选取电容电压uC和电感电流iL2、iL3为状态变 量。
对接有电容C的节点②运用KCL可得
iCCuCiL2iL3
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（3）若第（2）步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量，则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程，将非状态变量消去；
（4）将列出的状态方程整理成式（7―3）的矩阵 标准形式。
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例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程，若以电流 iC和电压u为输出，列出输出方程。
λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k)
(7―7)
百度文库
y(k)=Cλ(k)+Df(k)
(7―8)
其中
λ(k)=［λ1(k)，λ2(k)，…，λn(k)］T f(k)=［f1(k)，f2(k)，…，fm(k)］T y(k)=［y1(k)，y2(k)，…，yL(k)］T
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7.1 状态变量与状态方程
7.1.1 系统用状态变量描述的基本术语 1．状态 状态可理解为事物的某种特征。状态发生了变化就
意味着事物有了发展和变化，所以状态是划分阶段的依 据。系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。 当系统的所有外部输入已知时，为确定系统未来运动， 必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。状态通常可 以用一个数（变量）或一组数来描述。
(7―17)
(1) 若b3=0，则
1(t)
[y(t)][b0 b1 b2]2(t)[0][f(t)]
3(t)
(2) 若b3=b2=0，则
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6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向量的 端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹。 一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构， 还与系统的输入有关，因此，系统的状态轨迹可以形 象地描绘出在确定的输入作用下系统内部的动态过程。
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H(s)bs33s3ab2s2s22ab1s1sab00
(7―15)
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设H(s)的分子与分母无公因子相消，则可根据系统 的微分方程或H(s)，画出直接形式、并联形式、级联 形式的模拟框图或信号流图，然后再从模拟框图或信 号流图建立系统的状态方程。
1. 直接模拟法——相变量 取积分器的输出信号为状态变量，则状态方程为
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解 选择各积分器的输出为状态变量，从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t)，如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系，可写出状态方程 为
1(t) 2(t) 2(t) 3(t) 3(t) a01(t) a12(t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12(t) b23(t)
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2．状态变量 状态变量是指一组最少的变量，若已知它们在t0时 的数值，则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时 系统中的任何运动状态。需要指出的是，通常系统中 这样一组变量并不一定是唯一的。 3．状态向量 将n阶系统中的n个状态变量λ1(t)，λ2(t)，…，λn(t)， 排成一个n×1阶的列矩阵λ(t)，即