【最新】一章系统的状态变量分析

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第7章 系统的状态变量分析
7.2.2 由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程 由系统的模拟框图或信号流图建立状态方程是一
种比较直观和简单的方法,其一般规则是: (1)选积分器的输出(或微分器的输入)作为状态
变量。 (2)围绕加法器列写状态方程或输出方程。
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
i(t)

si(s)
s-1
图7.4 状态变量的选择 《信号与线性系统》
i(t)
i(s)
第7章 系统的状态变量分析
例7―2 已知一个三阶连续系统的模拟框图如图7.5 所示,试建立其状态方程和输出方程。
b2
f (t)


3 ∫
2
3

1 2
b1
++

1
b0 +

y(t)
a2
--- a1
a0
图7.5 例7―2系统的模拟框图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
第7章 系统的状态变量分析
7.1 状态变量与状态方程 7.2 连续时间系统状态方程的建立 7.3 离散时间系统状态方程的建立 7.4 连续时间系统状态方程的求解 7.5 离散时间系统状态方程的求解 7.6 系统的可控制性与可观测性
《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
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第7章 系统的状态变量分析
对于例7―2,对应的信号流图如图7.6所示,虽然 模拟框图是系统的时域描述,信号流图是系统的s域描 述,二者的含义不同,但是,若撇开它们的具体含义, 而只把s-1看作是积分器的符号,那么从图的角度而言, 它们并没有原则上的区别。因此,只要选择了s-1的输 出端状态变量即可写出状态方程。
第7章 系统的状态变量分析
7.1.2 系统的状态变量描述 1.状态方程 对于一个有m个输入f1(t),f2(t),…,fm(t),L个输出
y1(t),y2(t),…,yL(t)的连续时间系统(如图7.1所示),假 设能充分描述该系统的n个状态变量为λ1(t)λ2(t),…, λn(t),则每个状态变量在任何时刻t的一阶导数可表示 为该时刻的n个状态变量和m个输入的一个函数,即
(7―9)
选包含L2的回路L2-uS-C以及包含L3的回路L3
-R-uS-C,运用KVL可得两个独立电压方程
uS uC L2iL2 uS uC L3iL3R(iS iL3)
(7―10)
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第7章 系统的状态变量分析
将式(7―9)和式(7―10)稍加整理,即可得到 状态方程
uC
1 C
yL(t)
图7.1 多输入―输出连续时间系统 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
系统的状态方程也可以用矢量矩阵的形式来表示,即
12aa1211
n
a31
a12 a22 a32
aa123312bb1211 a33n b31
b12 b22 b32
b13f1 bb3233ff23
(7―3)
上式可简记为
1(t) 0 1 0 1(t) 0
2(t) 0
3(t)
a0
0 a1
1a232((tt))10[f(t)]
(7―16)
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输出方程为
1(t)
[y(t)][b 0b 3a0 b 1b 3a1 b2b3a2] 2(t) [b3][f(t)]
当m<n时,例如,
3(t)
7.2 连续时间系统状态方程的建立
7.2.1 根据电路图列写状态方程 对于纯正电路,其状态方程直观列写的一般步骤是: (1)选所有独立电容电压和独立电感电流作为状态
变量; (2)为保证所列出的状态方程等号左端只为一个状
态变量的一阶导数,必须对每一个独立电容写出只含此 独立电容电压一阶导数在内的节点(割集)KCL方程, 对每一个独立电感写出只含此电感电流一阶导数在内的 回路KVL方程;
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第7章 系统的状态变量分析
1a111a122a1nnb11f1b12f2b1mfm 2a211a222a2nnb21f1b22f2b2mfm nan11an22annnbn1f1bn2f2bnmfm
(7―2)
f1(t) f2(t)
fm(t)

{i(t0)}

y1(t) y2(t)
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4.状态变量的选取 用状态变量描述系统的关键是选择状态变量。一 般来说,能充分描述因果动态系统的一组状态变量的 选择并不是唯一的。但只要状态变量的个数是充分的, 选择不同的状态变量来描述系统都是充分的。因此, 如何选择合适的状态变量,主要是看其是否方便于状 态方程和输出方程的编写,以及初始状态向量是否容 易确定。
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第7章 系统的状态变量分析
5.状态方程的建立 通常,动态系统(包括连续的和离散的)的状态 方程和输出方程可以根据描述系统的输入输出方程 (微分或差分方程)、系统函数、系统的模拟框图或 信号流图等列出。对于电路,则可以根据电路图直接 列出。
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第7章 系统的状态变量分析
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b2
f
1
3 s-1
2 s-1
1 s-1
b1
b0
-a2 3
2
1
y
-a1
-a0
图7.6 例7―2对应的信号流图 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
7.2.3 由微分方程或系统函数建立状态方程 若已知系统的微分方程,为了更具一般性,设其
分子、分母多项式中s的最高幂次相同(即取m=n的一 般情况),为 (p3+a2p2+a1p+a0)y(t)=(b3p3+b2p2+b1p+b0)f(t) 则进而可写出系统函数为
3.状态变量分析法 以状态变量为独立完备变量,以状态方程和输出方程 为研究对象,对多输入多输出系统进行分析的方法,称为 状态变量分析法,也称状态空间法。该方法的基本步骤是: (1)选取一组独立的、完备的状态变量; (2)列写系统的状态方程,并将其写成标准的矩阵形式; (3)求解该状态方程,得到状态向量λ(t)或λ(k); (4)列写标准形式的输出方程,并将所求得的状态向量 λ(t)或λ (k)代入其中,即得到输出向量y(t)或y(k)。
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1(t)
(t)
2(t)
[1(t)
2(t)n(t)]T
n(t)
(7―1)
此列矩阵λ(t)即称为n维状态向量,简称状态向量 。 由状态变量的定义可知,当λ(t0)及系统的输入给定时, λ(t)便可唯一的被确定。
4.初始状态 状态变量在某一时刻t0的值称为系统在t0时刻的状 态 。即
yL(k)
图7.2 多输入―输出离散时间系统 《信号与线性系统》
第7章 系统的状态变量分析
设有n阶多输入―输出离散系统如图7.2所示。它
的m个输入为f1(k),f2(k),…,fm(k) ,其L个输出为 y1(k) , y2(k) , … , yL(k) , 系 统 的 状 态 变 量 为 λ1(k) , λ2(k),…,λn(k)。则其状态方程和输出方程可写为
iL2
1 C
iL3
i L2
1 L2
uC
1 L2
uS
i L2
1 L3
uC
R L3
iL3
1 L3
uS
R L3
iS
(7―11)
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第7章 系统的状态变量分析
写成标准矩阵形式为
uC
0
1 C
1 C
uC
0
i
L2
1 L2
0
0
i
L2
1 L2
iL3
1 L3
(t)A(t)Bf(t)
(7―4)
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2.输出方程
同样,对于系统的L个输出y1(t),y2(t),…,yL(t), 也可以用n个状态变量和m个输入的函数来表示,其矩 阵形式可写为
y1 a11 a12 a131 b11 b12 b13f1
y y3 2 a a3 21 1
a22 a32
a a3 23 3 3 2 b b2 31 1
b22 b32
b b2 33 3 ff3 2
(7―5)
y(t)C (t)D f(t)
(7―6)
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f1(k) f2(k)
fm(k)

{i(k0)}

y1(k) y2(k)
0
R L3
i
L3
1
L3
输出方程为
iC iL2 iL3 u RiS RiL3
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0
0
uS
iS
(7―12)
R L3
(7―13)
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写成标准矩阵形式为
iuC00
1 0
1RiiuL LC3200
0uS
RiS
(7―14)
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λ(t)=[λ1(t0)λ2(t0)…λn(t0)]T
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状态变量在t0=0-时刻的值称为系统的初始状态 或起始状态 。即
λ(0-)=[λ1(0-)λ2(0-)…λn(0-)]T 5.状态空间 以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状 态空间,或者说安放状态向量的空间即称为状态空间。 状态向量在状态空间n个坐标轴上的投影即相应为n个 状态变量。
① + uC - ②

iC C iL2
iL3
uS -
L2

L3 ③ +
(iS+iL3) iS
R

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图7.3 例7―1图
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解该系统中有三个独立动态元件,故需三个状
态变量。选取电容电压uC和电感电流iL2、iL3为状态变 量。
对接有电容C的节点②运用KCL可得
iCCuCiL2iL3
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(3)若第(2)步所列出KCL、KVL方程中含有非 状态变量,则利用适当的节点KCL方程和回路KVL方 程,将非状态变量消去;
(4)将列出的状态方程整理成式(7―3)的矩阵 标准形式。
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例7―1 写出图7.3所示电路的状态方程,若以电流 iC和电压u为输出,列出输出方程。
λ(k+1)=Aλ(k)+Bf(k)
(7―7)
百度文库
y(k)=Cλ(k)+Df(k)
(7―8)
其中
λ(k)=[λ1(k),λ2(k),…,λn(k)]T f(k)=[f1(k),f2(k),…,fm(k)]T y(k)=[y1(k),y2(k),…,yL(k)]T
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7.1 状态变量与状态方程
7.1.1 系统用状态变量描述的基本术语 1.状态 状态可理解为事物的某种特征。状态发生了变化就
意味着事物有了发展和变化,所以状态是划分阶段的依 据。系统的状态就是指系统的过去、现在和将来的状况。 当系统的所有外部输入已知时,为确定系统未来运动, 必要与充分的信息的集合叫做系统的状态。状态通常可 以用一个数(变量)或一组数来描述。
(7―17)
(1) 若b3=0,则
1(t)
[y(t)][b0 b1 b2]2(t)[0][f(t)]
3(t)
(2) 若b3=b2=0,则
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6.状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中,状态向量的 端点随时间变化所经历的路径称为系统的状态轨迹。 一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系统的内部结构, 还与系统的输入有关,因此,系统的状态轨迹可以形 象地描绘出在确定的输入作用下系统内部的动态过程。
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H(s)bs33s3ab2s2s22ab1s1sab00
(7―15)
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第7章 系统的状态变量分析
设H(s)的分子与分母无公因子相消,则可根据系统 的微分方程或H(s),画出直接形式、并联形式、级联 形式的模拟框图或信号流图,然后再从模拟框图或信 号流图建立系统的状态方程。
1. 直接模拟法——相变量 取积分器的输出信号为状态变量,则状态方程为
第7章 系统的状态变量分析
解 选择各积分器的输出为状态变量,从右边到 左边依次取为λ1(t)、λ2(t)和λ3(t),如图所示。根据各 积分器输入―输出和加法器的关系,可写出状态方程 为
1(t) 2(t) 2(t) 3(t) 3(t) a01(t) a12(t) a23(t) f (t) y(t) b01(t) b12(t) b23(t)
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2.状态变量 状态变量是指一组最少的变量,若已知它们在t0时 的数值,则连同所有在t≥t0时的输入就能确定在t≥t0时 系统中的任何运动状态。需要指出的是,通常系统中 这样一组变量并不一定是唯一的。 3.状态向量 将n阶系统中的n个状态变量λ1(t),λ2(t),…,λn(t), 排成一个n×1阶的列矩阵λ(t),即
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