大学课程-2.2-向量组的线性相关性
线性代数课件--第二节向量组的线性相关性-讲义
解 考 虑 向 量 方 程 k 1 1 k 22 k 3 3 k 44 0 ，
比 较 两 端 分 量 ， 得 齐 次 线 性 方 程 组
k1 2k2 3k3 4k4 0,
由 定 理 5 知 ， m 可 由 2 ,,m 1 线 性 表 示 ，
即 存 在 数 k2, ,km 1 ， 使 得
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定理 1 m个 n维向量 i (ai1,ai2, ,ain), i 1,2,,m
线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组
a11x1 a21x2 am1xm 0,
a12x1
a22x2 am2xm
0,
a1nx1 a2nx2 amnxm 0
(3.2)
有非零解．
精品
线性代数课件--第二节向量组的线性相 关性
特例： (1) 包 含 零 向 量 的 向 量 组 必 线 性 相 关 ．
(2 ) 单 独 一 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 0．
(3) 两 个 向 量 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 们 的 对 应 分 量
充 分 必 要 条 件 是 其 中 至 少 有 一 个 向 量 可 由 其 余m1个 向 量
线 性 表 示 ．
证明
推 论1 m个n维 向 量1,2, ,m（m2） 线 性 无 关 的
充 分 必 要 条 件 是 其 中 任 一 向 量 都 不 能 由 其 余m1个 向 量 线
性 表 示 ． 推 论 2 任 何 n 1 个 n 维 向 量 必 线 性 相 关 ． 证明 从而向量个数大于向3
向量组的线性相关性教案
向量组的线性相关性教案一、教学目标1. 理解向量组的线性相关的概念；2. 学会判断向量组线性相关的方法；3. 掌握向量组线性相关的性质和应用。
二、教学内容1. 向量组的线性相关的概念；2. 判断向量组线性相关的方法；3. 向量组线性相关的性质；4. 向量组线性相关的应用。
三、教学重点与难点1. 向量组的线性相关的概念及判断方法；2. 向量组线性相关的性质及其证明；3. 向量组线性相关在实际问题中的应用。
四、教学准备1. 教材或教学资源；2. 投影仪或黑板；3. 粉笔或教学软件。
五、教学过程1. 引入：通过实例引导学生思考向量组线性相关的概念，例如在社会经济数据分析中，如何判断一组数据是否存在线性关系。
2. 讲解：向量组的线性相关的概念，解释线性相关、线性无关的定义及判断方法。
3. 演示：通过投影仪或黑板，展示向量组线性相关的性质及其证明。
4. 练习：布置一些判断向量组线性相关的题目，让学生独立完成，并解答疑问。
5. 应用：结合实际问题，讲解向量组线性相关在解决问题中的重要性，如在优化问题、线性方程组求解等方面的应用。
7. 作业：布置一些有关向量组线性相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学反思在课后对自己的教学过程进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了向量组线性相关的概念和方法。
如有需要，可以对教学方法进行调整，以提高教学效果。
七、教学评价通过课堂讲解、练习题和实际应用，评价学生对向量组线性相关性的理解程度和应用能力。
鼓励学生积极参与课堂讨论，提高他们的思维能力和解决问题的能力。
八、教学拓展向量组的线性相关性在数学和其他领域有很多应用，可以引导学生进一步研究相关知识，如最小二乘法、线性规划等。
九、教学资源1. 教材或教学参考书；2. 相关学术论文或资料；3. 互联网资源。
十、教学时间根据课程安排，合理分配教学时间，确保学生充分理解向量组的线性相关性。
六、教学策略1. 案例分析：通过分析具体的案例，使学生更好地理解向量组的线性相关性。
2.2向量组的秩和线性相关性
故A的秩等于2，因此三个向量线性相关。
(2)记
1 0 1 1 2
2
1
0
1
0
3 1 1 1 1
容易求得r(A)=3,因此向量组线性无关。
(3) 因为ε1, ε2 ,..., εn 对应的矩阵是单位矩 阵, 从而其秩为n，故该向量组是线性无关的
例题2.3 设 1,2,3 线性无关，且
1 1 22, 2 2 23, 3 3 21
证明：1, 2 , 3 线性无关。
解：只对列向量的情形证明。记
1 0 2
A
(1,2
,3
),
B
(1,
2
,
3
),
P
2
1
0
0 2 1
据已知条件知，B=AP 而矩阵P是可逆
的，因此，r(A)=r(B)，因此 1, 2, 3
线性无关。
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
例2.4. 设有两个向量组
I: 1=[1, 1], 2=[1, 1], 3=[2, 1],
II: 1= [1, 0], 2= [1, 2].
则1=
1 2
1+
1 2
2,
2=
3 2
1
1 2
2,
3=
3 2
1+
1 2
2,
即I可以由II线性表示.
1=
1 2
1+
1 2
2+03,
2=
1 2 1
（1）1
=
0
2
=
1
3
=
1
-1
1
大学数学基础（2）mooc-向量组的线性相关性（2）
⼤学数学基础（2）mooc-向量组的线性相关性（2）数学基础(2)第三章向量第三讲向量组的线性相关性(2)主讲教师王玮副教授⼆、线性相关的性质定理12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性相关其中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线定1性表⽰理12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性⽆关其中任何⼀个向量不可由其余个向推量线性表⽰论121212.m m m ααααααββααα如果向量组，，，线性⽆关，⽽向量组，，，，线性相定关，则可由向量组，，，线性表⽰，且表2⽰式唯⼀理12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性相关其中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线定1性表⽰理必要性12121122(2)0m m m m m k k k k k k αααααα≥+++=若向量组，，，线性相关，则存在不全为零的数，，，，使得10k ≠不妨设，11.m α-即可由其余个向量线性表⽰32123111m mk k k k k k αααα=-+-+- ? ? ?则有找等式，看系数12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性相关其中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线定1性表⽰理充分性1m -设向量组中⾄少有⼀个向量可由其余个向量线性表⽰，1211122111(1)0m m m m k k k k k k αααα----++++-=因此存在⼀组不全为零的数，，，，，使得12m ααα故向量组，，，线性相关.1211122111m m m m m m k k k k k k ααααα----=+++不妨设可以由其余个向量线性表⽰，即存在⼀组数，，，，使得12(2)1.m m m ααα≥?-向量组，，，线性⽆关其中任何⼀个向量不可由其余个向推量线性表⽰论121212.m m m ααααααββααα如果向量组，，，线性⽆关，⽽向量组，，，，线性相定关，则可由向量组，，，线性表⽰，且表2⽰式唯⼀理121211220m m m m k k k k k k k k αααβαααβ++++=证由，，，，线性相关知：存在不全为零的数，，，，，使得①k ≠1211220m m m k k k k k k ααα+++=否则，①变为存在不全为零的数，，，，使得12m ααα这与向量组，，，线性⽆关⽭盾. 12120m mk k k k kkkβααα≠=----，12m βααα即可由向量组，，，线性表⽰.找等式，看系数下⾯证明表⽰法唯⼀121212.m m m ααααααββααα如果向量组，，，线性⽆关，⽽向量组，，，，线性相定关，则可由向量组，，，线性表⽰，且表2⽰式唯⼀理1122m m l l l βααα=+++假设，111222()()()0m m m l l l µαµαµα-+-++-=两式相减得121122m m ml l l αααµµµ===由向量组，，，线性⽆关知，，，得证1122m m βµαµαµα=+++，121211*********.,,,(3)(A ),,,0(B ),,,(C ),,,(D ),,,s s s ss s s n s n k k k k k k ααααααααααααααα≤≤+++≠维向量组线性⽆关的充要条件是存在⼀组不全为零的数，使中任意两个向量都线性⽆关中存在⼀个向量，它不能由其余向量线性表⽰中任意⼀个向量都不能⽤其余向量线性表⽰【典型例题】D(A )(B )(C ).、、是此向量组线性⽆关的必要条件，但不充分条件12112212,,,0,,,.(D ).s s ss k k k k k k αααααα+++=解向量组线性⽆关的定义是关系式，只能在全为零时才成⽴对照这⼀定义知，只有正确√1231232.(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1),(,,).,,.a b c αααββααα====判断下列命题是否正确：设向量组则⼀定可由线性表⽰，且表达式唯⼀121212,,,,,,,,,,,,.m m m ααααααββααα向量组线性⽆关，⽽向量组线性相关则可由线性表⽰且表⽰法唯⼀数学基础(2)第三章向量第三讲向量组的线性相关性(2)END。
2-2向量组线性相关性
α 4能由 α 1 , α 2 , α 3线性表示， α 3不能由 α 1 , α 2 , α 4 线性表示。
2 向量组的秩
深化向量组线性相关性的概念, 深化向量组线性相关性的概念, 建立向量组秩的概念 等价向量组 定义
设
( I) α 1 , α 2 ,⋯ , α s
(II) β1 , β 2 ,⋯ , β t
另证
I能由 II线性表示 , 又由例1知 II能 由 I线性表示 ,
故 I和 II 等价 .
∴ 秩 (II) = 秩 (I) = n
∴ n 个向量 α 1 , ⋯ , α n 线性无关 .
3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示 3.用初等行变换求秩、极大无关组和线性表示
一揽子方法 回忆 阶梯阵： 1. 非零行线性无关 ;
∵ α 1 , α 2 , α 3 线性无关 ,
2 ∴ 0 1 3 5 − 1 − 1 x = 0 1 3
2 3 5 1 1 3 1 1 3 A = 0 − 1 − 1 → 0 - 1 - 1 → 0 1 1 ⇒ x = 0 1 1 3 0 1 - 1 0 0 − 2
线性相关 .
由定义 , n维向量组 α1 ,⋯ , α s 线性相(无 )关 ⇔ n × s齐次方程组 x1α1 + ⋯ + xsα s = 0有非零解 ( 只有零解 ).
例1 证明 n阶单位矩阵 I 的 n 个列向量 e1 , e2 , ⋯ , en 线性 无关，并且任一维向量都能由 e1 , e2 , ⋯ , en 线性表示.
证
由观察知:
α1 = −2β1 + β 2 , α 2 = − β1 + β 2 , α 3 = −3β1 + 2β 2 . β1 = −α1 + α 2 , β 2 = 3α 2 − α 3 (或 β1 = 2α 2 − α 3 , β 2 = 2α 3 − 3α1等)
线性代数-向量组的线性相关性-文档资料
[1,2,1], [2,4,0]线性无关。
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21
性质 3 含有零向量的向量组一定线性相关。
证明： 设1,2 ,,m 是向量组， i 0 (i {1,2,, m})
则： 01 02 0i1 1i 0i1 m 0
]
3
1
,
2
,
线性无关.
3
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17
三、有关向量组线性相关性的若干性质
性质 1
只含一个向量的向量组线性相关的充分必要条 件是它为零向量，
即只含一个向量的向量组线性无关的充分必要 条件是它为非零向量。
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18
性质 2
仅含两个向量的向量组线性相关的 充分必要条件是其对应分量成比例。
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5
【例 1】设 1 2 3 0T ，1 1 2 1 0T ， 2 3 0 1 1T 。问 能否由1,2线性表示？
1 3 1
解：设
x11
x22，则 x1
2
1
x2
0 1
2 ，即 3
0
1
0
1 3
1
2
1
0 1
x1 x2
2
，此方程组无解，所以
3
不能由1 , 2
19
证明：
设 [a1,a2 ,,an ], [b1,b2 ,,bn ]，则
, 线性相关
存在不全为零的常数k1, k2，使k1 k2 0
k1ai k2bi 0,i 1,2,,n，（不妨设k1 0）
ai
k2 k1
bi
,i
1,2 , , n
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20
例1
[1,2,0], [2,4,0]线性相关；
第二章 第二讲 向量组的线性相关性(2013-3-21)
k1α1 + k2α 2 + ⋯ k sα s = 0
(1)
1 2 s
... ... (2.1)
若, k , k ⋯ k 不全为零（2.1）式成立，则称向量组 α ,α ,⋯α 线性相关; (2) 若当且仅当 k , k ⋯ k 全为零， （2.1）式成立，称向量组 α ,α ,⋯α 线性无关 . 定义 2.2.1 易验证以下结论的正确性: (1)任意一个包含零向量的向量组必线性相关. (2)两个非零向量线性相关的充分必要条件是它们的对应分量成比例. 定理 2.2.1 （1） 如果向量组 α ,α ,⋯,α 中有一部分组线性相关,则向量组 α , α ,⋯, α 必线性相关. （2）如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,则任何部分组必线性无关. 证明（ 证明（1） 假设该组向量中 α ,α 线性相关，由定义 2.2.1 必存在 k , k 不全为零，使 得 k α +k α =0 成立。取一组不全为零的数 k , k ,0,0,⋯,0 ，有 k α +k α +0α + ⋯ +0α =0 成立，故 α , α ,⋯, α 线性相关。 证明（2）用反证法即可证得。 定理 2.2.2 如果向量组 α ,α ,⋯,α 线性无关,而向量组 α ,α ,⋯,α , β 线性相关, 则 β 可由向量组 α ,α ,⋯,α 线性表出且表达式唯一.
3 3
解 令 x α +x α +x α
=0
，得齐次线性方程组
其系数矩阵的最简形
−2 x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 2 x2 + x3 = 0 x + x − 2x = 0 1 2 3
向量组线性相关
k1 k3 0 k1 k2 0 , k1 k2 k3 0,
k2 k3 0
向量组b1 ,b2 , b3线性无关.
§2 向量组的线性相关性
证法二 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式
1 0 1
b1
,
b2
,
b3
a1
,
a2
,
a3
1 0
记作B=AK.
1 1
01
设BX=O,以B=AK代入,
例
1
1 1
,
2
2 2
,
21
2
0
0
,
则1
,
线性相关。
2
§2 向量组的线性相关性
例
1
1 0
,
2
0 2
,
要使k11
k2 2
0 0
,
当且仅当k1
0, k2
0时成立，则1
,
线性无关。
2
说明:只含一个向量a的向量组, 当a=0时是线性相关的,当a≠0时是线性无关的.
说明:包含零向量的向量组是线性相关的.
§2 向量组的线性相关性
例
1 0 0
a1
0
,
a2
1
,
a3
0
,线性无关，
0 0 1
1 0 0 1
a1
0 0
,
a2
1 0
,
a3
0 1
,
a4
11线性相关，
1 1 0 0
11
00
1 0
0 1
，即a4
a1
a2
a3，且表达式唯一。
§2 向量组的线性相关性
第二节 向量组的线性相关性
(1)k1= k3, 代入(2)、(3),有
2k 2 2k 3 0 k2= k3, 5k 2 5k 3 0
取k3= 1, 则k1=k2=1 1+23=0 1= 2+3, 2= 1+3, 3=1+2
说明: 此例是一个三元的,三个未知数的方 程组. 1 : 1 1 1 2 : 0 2 5 =0 3 : 1 3 6 只须看行列式是否为0.
k11++km1m1+(1)m=0
∵k1,k2,,km1,1不全为零
1,2,,m线性相关
证毕.
性质1 任意一个包含零向量的向量组必线 性相关. [证] 设向量组1=0,2,,m 取k1=1,k2==km=0
则 11+02++0m=0 1,2,,m线性相关
k0
km k1 k2 1 2 m k k k
即可由1,2,,m线性表示.
定理三 设i=(ai1,ai2,,air), (i=1,2,,m), i=(ai1,ai2,,air,ai,r+1), (i=1,2,,m), 若r维向量组1,2,,m线性无关,则r+1维 向量组1,2,,m也线性无关. [证] 反证法 若1,2,,m线性相关 即有不全为零的数k1,k2,,km,使 k11+k22++kmm=0 即 k1(a11,a12,,a1r,a1,r+1)+ k2(a21,a22,,a2r,a2,r+1)+ +km(am1,am2,,amr,am,r+1)=(0,0,,0)
线性相关=0
“” 线性相关 存在k0,使k=0 =0
1 k 0 k
2向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
一、向量组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成 的集合叫做向量组。 例如一个m×n矩阵A有n个m维列向量
a1 j a2 j j , ( j 1, 2, , n) a mj
它们组成的向量组 α1,α2,…,αn称为矩阵A的列向量组。
1 0 0 1
x3 0 0 x3 0
由于
所以，方程组仅有零解。即只有当 x1, x2, x3 全为零时（2） 成立。故向量组 β1T, β2组是同解方程组。
四、向量组的线性相关性
定义5 给定向量组A: α1 , α2 , … , αm ,如果存在不全为 零的数k1， k2 ，... ， km，使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。
1）一个向量 α 线性相关的充分必要条件是 α＝0。 2）两个向量线性相关的充分必要条件是它们对应的 分量成比例。
k1 j k 2j k mj
从而 ( b1 , b2 ,… , bs ) = ( α1 , α2 , … , αm )
k11 k12 k1s k k k 22 2s 21 . k k k ms m1 m 2
把向量组A和B所构成的矩阵依次记作A = ( α1,α2,…,αm ) 和B=( b1 , b2 ,… , bs ) ,B组能由A组线性表示，即对B组的每 个向量bj ( j = 1 , 2 , … , s ) 存在数k1j , k2j , … , kmj ,使
bj = k1j α1 + k2j α2 + … + kmj αm = ( α1, α2, …, αm )
向量组线性相关性
向量组线性相关性向量组线性相关性是数学中一个重要的概念，它可以在许多应用中使用，包括统计和线性代数。
它表明了两个变量是如何相互影响的，并且可以用来解释不同情况下变量之间的线性关系。
因此，了解这个概念对推断变量之间的关系非常重要。
在这篇文章中，我们将详细讨论向量组线性相关性的定义、特性和应用。
首先，我们将介绍什么是向量组，包括它的结构、特性和如何表示。
接下来，我们将讨论线性相关性的定义，它的两个重要特性，即相关系数和回归线。
最后，我们将讨论向量组线性相关性的应用，特别是在统计学中，它可以用来推断和预测数据集之间的关系。
首先，让我们来看看什么是向量组。
它是一组由单位矢量组成的数值，它们被称为标量。
向量组由坐标轴上的点组成，这些点的特性取决于它们的大小和关系。
例如，在二维空间中，每一个矢量都可以用它的横坐标和纵坐标来表示，这两个坐标是矢量的分量。
此外，矢量的大小是按照它们两个坐标的积来表示的，这个大小可以用简单的乘法计算，也可以用更复杂的三角函数计算。
其次，我们来讨论线性相关性。
线性相关性是指在两个变量之间存在线性关系的能力。
它可以用相关系数来表示。
相关系数是一个指标，表示两个变量的相关性。
它的值介于-1和1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无关。
因此，通过计算相关系数，可以了解两个变量之间的线性关系。
此外，另一个重要的线性相关性特性是回归线。
回归线是一条拟合两个变量之间线性关系的直线，它可以用来推测两个变量之间的关系。
通过画出回归线，可以更清楚地了解两个变量之间的关系，例如它们之间是线性相关还是非线性相关。
最后，我们来看看向量组线性相关性的应用。
它主要应用于统计学，用来推断和预测数据集之间的关系。
它也可以用来了解变量之间的线性依赖性，以及变量的趋势及其变化。
此外，它还可以用来帮助预测未来，因为它可以用来推断不同数据集之间的相关性。
总之，向量组线性相关性是一个非常重要的概念，它可以帮助我们了解变量之间的关系，推断不同数据集之间的关系，以及预测未来。
线性代数-向量组的线性相关性
下面举例说明定理的应用.
例１ n 维向量组
e1 = (1,0,,0)T ,e2 = (0,1,,0)T ,，en = (0,0,,1)T
称为n维单位坐标向量组 ,讨论其线性相关性 .
解 n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E = (e1, e2 ,, en )
是n阶单位矩阵. 由 E = 1 ≠ 0，知R(E) = n. 即R(E)等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
亦即（ x1 + x3 )α1 + ( x1 + x2 )α 2 + ( x2 + x3 )α 3 = 0,
因α1，α 2，α 3线性无关，故有
x1 + x3 = 0, x1 + x2 = 0,
x2 + x3 = 0.
由于此方程组的系数行 列式 1 01 1 1 0 =2≠0 011
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0，所以向量组 b1 ,b2 ,b3线性无关.
A线性表示 , 且表示式是唯一的 .
(1) 若向量组 A：α1,α2 ,,αm 线性相关,则 向量组 B :α1,,α m ,α m+1 也线性相关.反言之,若向
量组B 线性无关,则向量组A也线性无关 .
证明 （1）记A = (a1,, am ), B = (a1,, am , am+1 )，有 R(B) ≤ R( A) + 1.若向量组A线性相关,则根据定理 2，有R( A) < m，从而R(B) ≤ R( A) + 1 < m + 1,因此, 根据定理 2知向量组 B线性相关 .
说明 结论（2）是对增加一个分量（ 即维数增加1 维）而言的，若增加多 个分量,结论也成立.
线性代数 2.2向量组的线性相关性
证："" 若向量组α1，α 2， ，α m ( m ≥ 2)线性相关，则一定存
k 1α 1 + k 2 α 2 + + k m α m = 0 km k2 不妨设k1 ≠ 0，于是有： α1 = α 2 αm k1 k1
在一组不全为零的数 k1，k 2， ，k m , 使
由β = α 1 + α 2 + + α m
即： ( k 2 + + k m )α 1 + ( k 1 + k 3 + + k m )α 2
k1 (α 2 + + α m ) + k 2 (α 1 + α 3 + + α m ) + k m (α 1 + + α m 1 )
k2 + + km = 0 k + k + + k = 0 1 3 m 系数行 列式为 k1 + + k m 1 = 0
再证 "" 不妨设
α1 = k 2α 2 + + k mα m
α1 + k 2α 2 + + k mα m = O
即向量组α1，α 2， ，α m ( m ≥ 2)线性相关。
由定理知， 由定理知，对于只有两个非零向量 α 和 β 组成的向量 当它们的对应分量成比例时线性相关，否则线性无关。 组，当它们的对应分量成比例时线性相关，否则线性无关。
向量 β 可由向量组 α 1 ,α 2 , ,α m 线性表示的 充分必要条件是： 充分必要条件是： 以 α 1 ,α 2 , ,α m 为系数列向量，以 β 为常数项列向量 系数列向量， 的线性方程组有解 有解， 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的一组 系数。 系数。
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性1.1向量组的线性相关性的概念与判定1.1.1向量组的线性相关性概念定义1： 给定向量组12(,,)m A ααα=⋅⋅⋅,如果存在不全为零的数 12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=则称向量组A 是线性相关的, 否则称它是线性无关的.定义2：若向量组A 中每一个向量(1,2,,)i i t α= 都可由向量组{}1,,s B ββ= 线性表示，则称A 可由B 线性表示。
若两个向量组可互相线性表示，则称这两个向量组等价.性质：向量组的等价具有1）反射性；2）对称性；3）传递性.定义3： 向量组{}s αα,,1 称为线性无关，若它不线性相关，或：由11220s s k k k ααα+++= ，则必021====s k k k 。
即：11220s s x x x ααα+++= 只有唯一零解.定义6：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的,并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话）.所得的部分向量组都线性相关.定义7：一个向量组的极大线性无关组所含向量个数称为这个向量组的秩数.性质：1.向量组{}r αα,,1 线性无关⇔{}r αα,,1 秩r =. 向量组{}r αα,,1 线性相关⇔{}r αα,,1 秩r <. 2.等价向量组的秩数相同.n P 中向量组的极大线性无关组的求法. 注意1: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关的. 注意2: 若12,,m ααα⋅⋅⋅线性无关, 则只有当120m λλλ==== 时, 才有11220m m λαλαλα++⋅⋅⋅+=成立.注意3: 向量组只包含一个向量α 时,若0α=则说α线性相关; 若0α≠, 则说α 线性无关.注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的.注意5: 对于含有两个向量的向量组, 它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例, 几何意义是两向量共线; 三个向量线性相关的几何意义是三向量共面.1.1.2线性相关性的判定向量组12,,m ααα⋅⋅⋅ (当m 2≥时)线性相关的充分必要条件是12,,m ααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其余1m -个向量线性表示.证明: 充分性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅中有一个向量(比如m α)能由其余向量线性表示,即有112211m m m αλαλαλα--=++⋅⋅⋅+也就是112211(1)0m m m λαλαλαα--++⋅⋅⋅++-=因121,,,m λλλ-⋅⋅⋅,(-1)这m 个数不全为0,故12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关.必要性. 设12,,m ααα⋅⋅⋅线性相关. 则有不全为0的数12,,,m k k k ⋅⋅⋅,使11220m m k k k ααα++⋅⋅⋅+=不妨设10k ≠, 则有32123111()()().m m k k k k k k αααα=-+-++- 即1α能由其余向量线性表示. 证毕1.2 向量组线性相关性的性质和应用1.2.1向量组线性相关性的性质：1.含零向量的向量组必线性相关，即{}s ααθ,,,1 线性相关.θααθ=⋅++⋅+⋅s 00112.一个向量组若有部分向量线性相关，则此向量组线性相关。
第二节向量组的线性相关性与线性无关性
从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出： α1，α2，…，αm线性无关是指，只有当k1= k2 = … = km = 0时才有k1α1 + k2 α2 + … + km αm = 0。或者换 句话说，在k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0这个条件 下，一定可以推出k1= k2 = … = km = 0。实际上， 以后我们证明一个向量组线性无关时，一般均采用 此观点，即先假设k1α1 + k2 α2 + …+ km αm = 0，然 后在此假设条件下去证明k1= k2 = … = km = 0.
若向量组T1：α1, α2，α3，…，αn线性无关, 则向量组T2：β1 ，β 2 ,…，β n线性无关。 证:
反证法。（假设T2线性相关，证明T1线性相关。） 若T2线性相关，则有不全为0的数k1，k2，…，kn 使得k1β1 + k2β 2 + …+ knβ n = 0,即
a11 a12 a a 21 22 k1 k2 a a m 1,1 m 1,2 a1n a 2n kn 0 a m 1,n
例1 若一个向量组仅由一个向量 α 组成， 则 由定义2 易知它线性相关的充要条件是α = 0 。 例 2 若一个向量组仅由 α ， β 两个向量组成， 则 α ， β 线性相关是指 α ， β 这两个向量的分量对 应成比例，换句话说，即是指 α 与β 平行或α ， β 共线。 证明： α ，β 线性相关 存在不全为 0的两个 数k1，k2使得k1α + k2β = 0 ，不妨假设k1 0， 则由k1 α + k2 β = 0 知α = β , 此即说明 α ， β 的分量对应成比例。
第二节向量组的线性相关性
(k1 3k2 k3 , 2k1 2k2 3k3 , 3k1 k2 k3 )
(0,0,0).
12
返回
于是有
k1 3k2 k3 0,
2k1
2k2
3k3
0,
3k1
k2
k3
0.
131
其系数行列式 2 2 3 16 0,
1, 不全为零,
1 与 2 线性相关.
证毕.
23
返回
性质3. 若 1,2 ,,r 线性相关,则
1,2 ,,r , r1,,m 也线性相关.
部分组相关, 则全组相关.
证明: 1 ,2 ,,r 线性相关,
即有不全为零的数k1, k2 ,, kr , 使
k11 k22 krr 0.
k11 k22 krr 0 r1 0 m 0.
此时称 1,2,,m 线性无关.
9
返回
理解: 对于 1,2 ,,m .
(1). k1,k2,,km 不全为0 时, k11 kmm 0; (2).只有 k1 km 0 时, k11 kmm 0.
又对于任何向量组1,2 ,,m ,
0 1 0 2 0 m 0 总成立.
共性.
1 1 1 1
2 0 2 5 0. 3 1 3 6
只须看行列式 是否为0.
16
返回
［注］: 设n个n维向量所组成的向量为
i1 (ai1,ai2 ,,ain ), i 1,2,, n.
a11 a12 a1n
且
D
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
则 1,2,,n线性相关 D 0 .
讨论向量组的线性相关性
讨论向量组的线性相关性
向量组的线性相关性是指向量组内的向量之间是否存在线性关系。
如果一组向量内的向量之间存在线性关系，则这组向量就是线性相关的，否则就是线性无关的。
具体来说，当一组向量满足以下条件之一时，这组向量就是线性相关的：
一组向量中的所有向量都是零向量；
一组向量中的所有向量都是一个常数倍的同一个向量；
一组向量中的所有向量都可以用其他向量的线性组合得到。
如果一组向量不满足上述条件之一，则这组向量就是线性无关的。
例如，对于向量组{(1,2),(2,4),(3,6)}，由于第二个向量和第三个向量都是第一个向量的两倍，所以这组向量是线性相关的。
而对于向量组{(1,2),(2,4),(3,5)}，由于第三个向量无法用其他向量的线性组合得到，所以这组向量是线性无关的。
在机器学习和数据分析中，线性相关性很重要。
例如，在进行数据预处理时，如果发现某些特征之间存在线性相关性，那么就可以考虑删除一些特征，以避免“多重共线性”现象的发生。
“多重共线性”是指在线性回归模型中，一个变量可以用其他变量的线性组合表示，这种情况会导致模型的参数无效，需要进行特殊处理。
另外，线性相关性也可以用来识别数据中的规律和关联，帮助我们建立更加准确的模型。
通常，我们可以通过计算皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）来判断两个变量之间的线性相关性。
希望这些信息能够帮到你。
2--向量组的线性相关性
解： 设 k11 k 2 2 k 3 3 O
k1 2k2 4k3 0，
k1 k2 k3 0.
1 2 1 2 3 1 4
2k1 3k2 k3 0，
系数行列式为
1 3 2 8 12 4 1 0. 1
故 方程组有非零解，即有非零的数 k1 , k 2 , k3 使 k11 k 2 2 k3 3 O.
k 0, 0, k 0.
(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.
k2 k1 k2 0, k1 k2 . 若k1 0，2, 1), 2 (2, 3,1), 3 (4,1, 1)，1 , 2 , 3 中任两个向量线性无关。
1 , 2 , 3线性相关。
例2：设向量组1 , 2 , 3 线性无关，1 1 2 ,
2 2 3 , 3 3 1，讨论向量组1 , 2 , 3的相关性。
解： 设k11 k 2 2 k 3 3 O, 即
设1 (1, 2, 1), 2 (2, 3,1), 3 (4,1, 1)，证明：
3是1 , 2的线性组合。
1 , 2 , 3是线性相关的。
注
(1) 当向量组只含一个向量时,
若该向量是零向量,则它线性相关; 1 0=0. 若该向量是非零向量,则它线性无关.
(1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线
性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.
(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.
(3) 任一含有零向量的向量组线性相关.
3.讨论向量组的相关性：
例1：讨论1 (1,2,1), 2 (2,3,1), 3 (4,1,1)的相关性。
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任务:
推广
(n 维列向量之集合)
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
引例2.
a 21x1 a 22 x2 a 2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
(1)
2) e1 (1, 0, 0)T , e2 (0, 1, 0)T , e3 (0, 0, 1)T
解. 1) 解法1. 设 k1 1 k 2 2 k33 0, 即
2 4 2 0
k1
31
k2
2 5
k3 源自41 0 0
2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
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2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
a11 k1 a12k2 a1sks 0
a21
k1
a22k2
a2 s k s
0
an1 k1 an2k2 ansks 0
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利用定义10’易知:
① 1, ,s线性相关
齐次线性方程组 k1 1
kss 0 有非零解。
a11 a12
R( A)
s,
其中A为系数矩阵：A
a21
a22
②1, ,s线性无关
an1 an2
a1s
a2s
.
ans
齐次线性方程组 k1 1 kss 0 只有零解。
R(A) s
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方法1: 对矩阵 (1 , 2 , , s ) 作初等行变换
§2.2 向量组的线性相关性
一. n 维向量的概念及线性运算 二. 向量空间 三. 向量的线性相关性
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引例1. 在空间解析几何中
向量 (a1 , a2 , a3) (b1 , b2 , b3) (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3) ( a1 , a2 , a3)
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例中结论可推广至判断一般向量组的线性相关性
设
1
a11
a21
,
2
a12
a22
,
an1
an2
a1s
,
s
a2 s
,
ans
而式子 方程组.
k1 1 k2 2 kss 0 对应一个齐次线性
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定义10 对向量组 1, 2, ,s , 若其中有一个向量
可由向量组中其余向量线性表出, 则称此该向量组线 性相关; 否则，称该向量组线性无关.
任何包含零向量的向量组必线性相关！
两个向量线性相关等价于它们成比例！
两个三维向量线性相关等价于它们共线！
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e1
0
,
e2
1
,
0
0
0
, en
0
称为
n
维单位坐标向量.
1
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任何n维向量均可由n个单位向量
线性表出
e1, e2, , en
零向量可由任何向量组线性表出
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定义9 给定两个 n 维向量组
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24
1，2，3 1 2
35 故对应的齐次方程组
2 第一、二行成比例
1
0
4
k1 1 k 2 2 k33 0
有非零解, 1, 2,3 线性相关
k1
321
k2
4 2 5
k3
421
0 0 0
向量组 线性无关 则其任何部分组必无关 (整体无关则部分必无关)
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定理1 设 1, 2, ,r 和1, 2, , s 是两个向量组，
如果
1) 向量组 1, 2 , ,r 可以经 1, 2, , s
线性表出；
2）r s
，
那么向量组 1,2 ,,r 必线性相关.
命题1 n 维向量组 1, 2, ,s (s 2) 线性相关
存在不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
k11 k 2 2 k s s 0 证: “ ”. 由线性相关的定义, 设 i可由其余向量线性
表示, 即存在k1, …, ki-1, ki+1, … , ks , 使
(k1 k2 k3)1 (k2 k3)2 k33 0
因 1,2 ,3 线性无关，所以
k1 k2 k3 0 k2 k3 0 k3 0
方程组只有零解:
k1 k2 k3 0
因此 1 2, 2 3, 3 1 线性无关。
100
0 0 0
1 0 0
系数矩阵为
A
0
1
0
0 0 1
得 R( A) 3, e1, e2 , e3 线性无关。
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解法2. 利用行列式.
100 e1, e2, e3 0 1 0 1 0
001
根据克拉默法则, 齐次方程组
秩1, 2, ,s
小于s 时, 等于s 时,
线性相关 线性无关
方法2:当向量维数 n = 向量个数 n 时, 利用行列式
1, 2, ,n
= 0 , 线性相关 0, 线性无关
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有用的结论 1. 向量组中部分向量线性相关
其部分组线性相关 (部分相关则整体必相关)
例1. ( XOY坐标面)
都是向量空间 所谓封闭: 是指在集合 V 中可以进行加法及数乘运算.
具体地说，就是：若 V , V , V ; 若 V, R, V.
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三. 线性相关性
1. 线性相关与线性无关
两个向量α,β之间最简单的关系是成比例。即存在
a11 a21
a12 a1n a22 a2n
b1 b2
am1 am2 amn bm
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一. n 维向量及其线性运算
定义1. n 个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组称为n 维
向量, a i 称为向量的第 i 个分量 .
若 II中每一向量都能由向量组 I 线性表出, 则称向量 组 II 能由向量组 I 线性表出;
若两个向量组 互相线性表出, 则称二向量组等价. 等价关系的性质: 1) 反身性: 向量组与自身等价;
2) 对称性: 向量组A与B等价 向量组B与A等价
3) 传递性: 向量组A与组B等价, 向量组B与组C等价
a11
a12
令
1
a21
,
2
a22
,
a1m
b1
, m
a2m
,
b2
an1
an2
anm
bn
则线性方程组可表示为
i k11 k i1 i1 k i1 i1 k s s
故有
k11 k i1 i1 (1) i k i1 i1 k s s 0
“ ” 设有不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
k11 k 2 2 k s s 0
k1 e1 k 2e2 k 3e3 0 只有零解, e1, e2 , e3 线性无关。
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例3. 设 1 1, 2 1 2, 3 1 2 3 且1,2 ,3
线性无关,证明向量组 1, 2, 3 线性无关. 证: 设 k11 k22 k33 0 则
(1,2 ,
x1
,
m
)
xm
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(1,2 ,
x1
,
m
)
xm
也可表示为向量形式 x11 x22 xmm
方程组有解等价于：
向量β可由向量组α1 , α2 , …, αm线性表出.
1, 2,3
2
A 1
3
4 2 5
2 r 1 4
10
0 1
31
0 0 0
由行标准型得：R( A) 3， 1, 2 ,3 线性相关。
线性相关问题归结为上述齐次线性方程组 是否有非零解的问题
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解法2. 利用行列式
2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0