大学课程-2.2-向量组的线性相关性

秩1, 2, ,s
小于s 时, 等于s 时,
线性相关 线性无关
方法2:当向量维数 n = 向量个数 n 时, 利用行列式
1, 2, ,n
= 0 , 线性相关 0, 线性无关
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有用的结论 1. 向量组中部分向量线性相关
其部分组线性相关 (部分相关则整体必相关)
例1. ( XOY坐标面)
都是向量空间 所谓封闭: 是指在集合 V 中可以进行加法及数乘运算.
具体地说，就是：若 V , V , V ; 若 V, R, V.
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三. 线性相关性
1. 线性相关与线性无关
两个向量α,β之间最简单的关系是成比例。即存在
则称此向量组线性相关;
或者: 如果由 k11 k2 2 ks s 0
可以推出 k1 k2 ks 0, 则称向量组 1, 2 ,, s
线性无关.
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例2. 判别下列向量组的线性相关性:
1) 1 (2, -1,3)T , 2 (4, -2, 5)T , 3 (2, -1, 4)T
无妨设 ks 0 , 则得
s


1 ks
(k1 1
k 2 2
k s1 s1)
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根据命题1可得定义10 的等价定义如下
定义10’ 对 n 维向量组 1, 2,
不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
,s , 若存在
k11 k 2 2 k ss 0
1, 2,3
2
A 1
3
4 2 5
2 r 1 4
10
0 1
31
0 0 0
由行标准型得：R( A) 3， 1, 2 ,3 线性相关。
线性相关问题归结为上述齐次线性方程组 是否有非零解的问题
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解法2. 利用行列式
41


0 0

2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
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2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
k1 e1 k 2e2 k 3e3 0 只有零解, e1, e2 , e3 线性无关。
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例3. 设 1 1, 2 1 2, 3 1 2 3 且1,2 ,3
线性无关,证明向量组 1, 2, 3 线性无关. 证: 设 k11 k22 k33 0 则
命题1 n 维向量组 1, 2, ,s (s 2) 线性相关
存在不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
k11 k 2 2 k s s 0 证: “ ”. 由线性相关的定义, 设 i可由其余向量线性
表示, 即存在k1, …, ki-1, ki+1, … , ks , 使
a11 a12
R( A)

s,
其中A为系数矩阵：A


a21

a22
②1, ,s线性无关
an1 an2
a1s
a2s

.

ans
齐次线性方程组 k1 1 kss 0 只有零解。
R(A) s
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方法1: 对矩阵 (1 , 2 , , s ) 作初等行变换
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例中结论可推广至判断一般向量组的线性相关性
设
1
a11


a21

,

2
a12


a22

,


an1

an2
a1s
,

s


a2 s



,

ans

而式子 方程组.
k1 1 k2 2 kss 0 对应一个齐次线性

a11 a21
a12 a1n a22 a2n
b1 b2


am1 am2 amn bm
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一. n 维向量及其线性运算
定义1. n 个数 a1 , a2 , , an 组成的有序数组称为n 维
向量, a i 称为向量的第 i 个分量 .
2) e1 (1, 0, 0)T , e2 (0, 1, 0)T , e3 (0, 0, 1)T
解. 1) 解法1. 设 k1 1 k 2 2 k33 0, 即
2 4 2 0
k1
31

k2

2 5


k3

§2.2 向量组的线性相关性
一. n 维向量的概念及线性运算 二. 向量空间 三. 向量的线性相关性
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引例1. 在空间解析几何中
向量 (a1 , a2 , a3) (b1 , b2 , b3) (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3) ( a1 , a2 , a3)
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定义10 对向量组 1, 2, ,s , 若其中有一个向量
可由向量组中其余向量线性表出, 则称此该向量组线 性相关; 否则，称该向量组线性无关.
任何包含零向量的向量组必线性相关！
两个向量线性相关等价于它们成比例！
两个三维向量线性相关等价于它们共线！
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e1


0

,
e2

1
,

0


0

0
, en


0

称为
n
维单位坐标向量.
1

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任何n维向量均可由n个单位向量
线性表出
e1, e2, , en
零向量可由任何向量组线性表出
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定义9 给定两个 n 维向量组
24
1，2，3 1 2
35 故对应的齐次方程组
2 第一、二行成比例
1
0
4
k1 1 k 2 2 k33 0
有非零解, 1, 2,3 线性相关
k1
321

k2

4 2 5


k3

421


0 0 0
向量组 线性无关 则其任何部分组必无关 (整体无关则部分必无关)
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定理1 设 1, 2, ,r 和1, 2, , s 是两个向量组，
如果
1) 向量组 1, 2 , ,r 可以经 1, 2, , s
线性表出；
2）r s
，
那么向量组 1,2 ,,r 必线性相关.

a11
a12
令
1


a21

,

2


a22

,
a1m
b1
, m


a2m



,



b2


an1
an2
anm
bn
则线性方程组可表示为
向量组A与组C等价
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给定线性方程组
a11x1 a1m xm b1 an1x1 anm xm bn
即

a11
an 1

a1 m
amn


x1 xm



b1 bm
常数 k，使得
k 或 k
也即向量的对应分量成比例。
定义8： 向量α称为向量组β1 ,β2 , …, βs的线性
组合，如果存在k1,k2, …,ks使得
k11 k22 kss.
线性表出
其中，k1,k2, …,ks称为组合系数。
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例如： 平面向量间的关系
若 II中每一向量都能由向量组 I 线性表出, 则称向量 组 II 能由向量组 I 线性表出;
若两个向量组 互相线性表出, 则称二向量组等价. 等价关系的性质: 1) 反身性: 向量组与自身等价;
2) 对称性: 向量组A与B等价 向量组B与A等价
3) 传递性: 向量组A与组B等价, 向量组B与组C等价
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a11 k1 a12k2 a1sks 0
a21
k1
a22k2

a2 s k s

0
an1 k1 an2k2 ansks 0
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利用定义10’易知:
① 1, ,s线性相关
齐次线性方程组 k1 1
kss 0 有非零解。
(k1 k2 k3)1 (k2 k3)2 k33 0
因 1,2 ,3 线性无关，所以
k1 k2 k3 0 k2 k3 0 k3 0
方程组只有零解:
k1 k2 k3 0
因此 1 2, 2 3, 3 1 线性无关。
a1
表示法:
列向量 (列矩阵)



a2


a1,a2,
,an T

an

行向量 (行矩阵) (a1, a2, ，an )
约定: 如无说明，本书的向量均指的是列向量。
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向量的线性运算 — 同矩阵运算(见书本P64) 二. n维向量空间
定义2 设 V 是n 维向量的非空集合,若 V 对加法及数 乘封闭, 则称 V 为向量空间.
(1)
平面任意两向量
,


共线




k

(2) 如图所示，三个平面向量
有:
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1 0 0
1
例1. 设
e1


0

,
e2

1
,
e3


0
，

0
0
1


3

1
则 e1 3e2 e3.

2k1 4k2 2k3 0 k1 2k2 k3 0 3k1 5k2 4k3 0
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2）解法1 k1 e1 k 2e2 k 3e3 0 , 即
k1
1 0 0


k2

100

k3

(1,2 ,
x1
,

m
)




xm
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(1,2 ,
x1
,

m
)




xm
也可表示为向量形式 x11 x22 xmm
方程组有解等价于：
向量β可由向量组α1 , α2 , …, αm线性表出.
任务:
推广
(n 维列向量之集合)
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
引例2.
a 21x1 a 22 x2 a 2n xn b2
(1)
am1x1 am2 x2 amn xn bm
(1)
i k11 k i1 i1 k i1 i1 k s s
故有
k11 k i1 i1 (1) i k i1 i1 k s s 0
“ ” 设有不全为 0 的实数 k1, k2, … , ks , 使
k11 k 2 2 k s s 0
100


0 0 0

1 0 0
系数矩阵为
A


0
1
0

0 0 1
得 R( A) 3, e1, e2 , e3 线性无关。
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解法2. 利用行列式.
100 e1, e2, e3 0 1 0 1 0
001
根据克拉默法则, 齐次方程组
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a1
更进一步：任一个
n
维向量



a2


(a1
Baidu Nhomakorabea
,
a2
,
, an )T
an
1 0
都可表示为


a1

0


a2
1


0


0
0

an

0

1

1 0