从一题多解到多题一解
从“一题多解”到“多题一解”
解法 ４ 因为直线 ｚ 过定点 （ ３０ 直线 ｆ过定 。 一 ，）， ２
点 Ｎ Ｏ ） 所以Ｉ ＮＩ２ ， （， ， Ｍ ＝
又因为 ｏＤ 的半 径 ｒ ＝ ２ ， 以如图 所 ａ ｆ ３ ￣因为 ｔ ＝ ＝ ＋０。 ｌ ａ ｎ
又因为ｏＤ的半径 ｒ ２ ￣， ＝ ４ 直线 Ｚ到直线 Ｚ 的角为 。 ： ３ 。所以 ０，
—
—
—
—
一
ｎ 一，
ｎ
－
）＋ ３ ２
一
ｒ， ／ ／
Ｌ
ｎ一，
ｌ＝ ， １ １ ２
Ｊ
３ ｔｎ３ ＝ ｌ ｎ ａ ｏ ＋ｍ
点评
＝ 澈 栅＋ —＝ ３－ ｍ ｎ 一１
点评
本题是两直线与 圆共 三个元 素的交点 ， 如何
选择两者先求交点 ， 再代入第 三者 当中 ， 要有所取舍 ， 否 则运算 极大 ， 甚至无 功而返． 法在解 法一 的基础 上做 此
了适 当调整 ， 减化了运算量．
３ ＋ｌ ｍ
＾ 一
解法 １ （ 标准答案提 供方法 ） 将直线 ｚ 与 ｆ 的方 ， ２
绍．
（ｍ＋ ） ３ ２ ｎ ，） （ ｍ ＋ ｍ— ） ［ （ — 一 ３ １ ＝ ［ （ 一ｎ ＋ ３ ｎ ２ ｎ ］ ２ ｎ ｍ）
、
（ｍ ＋ ｍ ｎ ］ ３ ｎ ２ — ） 化 简 ， ３ １ ＝ ｎ３ ＋ ） ３ 一 ｍ 一 ｍ） 得（ｍ＋ ） ３ （ ｍ １ （ｎ ３ ｎ ４
３ ８
中。 ７ （ｌ 第 期・ 中 ） ？ 般Ｉ ２１ ５ 高 版 ｏ年
． 解题研究 ．
小学数学中一题多解问题教学的探讨
课程篇《义务教育数学课程标准》指出，“鼓励学生用多种方法解决问题”，许多教学实践也表明在国内小学数学教学实践中，以常见问题的解决和思考为例，通过一题多解、一题多变，实现多元化解决数学问题，可逐步培养学生的思维能力。
一、小学数学中一题多解问题教学的必要性“一题多解与一题多思”一直受到中国一线小学数学教师的重视，许多教师一直在坚持一题多解问题教学的实践，也对此做了许多思考，积累了许多优秀实例和经验。
例如，人教版小学数学教科书六年级上册第7章“数学广角”中的鸡兔同笼问题，课本中提供了5种解决方案：（1）猜测法：猜想哪组鸡兔数目的组合满足题意，是5只鸡3只兔吗？还是4只鸡4只兔？（2）枚举法：根据鸡的数目从最大8只到0，列举所有可能的鸡兔数目组合，从而找出满足题意的数目组合。
（3）通过假设：先假设全部是鸡，通过脚的数量差异找到兔子数，再得到鸡的数量。
（4）列一元一次方程求解。
（5）用“鸡兔抬脚”的奇思妙想求解。
这些解决方案通常是按照从算术方法到代数方法的顺序编排的，以突出代数方法的一般性。
另外，还有用乘法来解决累加问题与直接用累加方法解决的比较，以突出乘法的意义及其对于加法的优越性。
上述案例说明，一题多解问题的教学，不仅可以作为发展思维、提升创造力的教学方式，它亦可用来深化特定主题的学习，或者作为启发新课题、扩大知识领域的一种方式。
一题多解问题不仅有助于巩固所学知识、培养思维灵活性，而且还带来新的研究视角，从而引发新学习主题的承接功能。
以往一题多解的教学忽略了这些，研究仅局限于如何通过一题多解进行复习和解题训练上。
从目前的数学课程标准的描述中，我们可以看到，数学一题多解问题教学的第二个功能在数学课程中也是非常重要的。
二、提高一题多解问题教学成效的建议和对策（一）建议“一题多解”可分为两种：解决方案多样化、单纯算法多样化。
通常所说的“思路一致但运算不同的解法”，其本质就是不能区分“一题多解”不同类型。
只有从解决数学问题方法的结构来看，才能清楚地辨别出两种“解法”之间的差异。
万能高中数学说题 一题多解,多题归一
2、解三角形在高考中主要以简单、基础题出现，考察内容与三角函数、向量、 均值不等式结合的较多。题型设置主要是一道选择题加一道解答题，难度以简单基 础为主。因此，高考中是学生必须拿下的一块阵地，也是学生学习、考试由浅入深 的关口。
一题多解，多题归一
各位老师，您们好： 我今天要说的题目是:
一、已知
中，点D在边BC上，
二、△ABC中，sin²A- sin²B- sin²C =sinBsinC. （1）求A; （2）若BC=3，求△ABC周长的最大值。
．当 取得最小值时，
________．
1
2
3
题目背景 解题思路 变式迁移
一、题目背景
3、考察学生代数推导、数学运算、解题优化的思想和能力。
二、解题思路
一．填空题【2022年全国甲卷】已知
中，点D在边BC上，
．当
取得最小值时，
________．
【分析】 利用余弦定理表示出
后，结合均值不等式即可得解.
【解】 设
，则在
中，
，在 ，所以
中，
，当且仅当
即
时，等号成立，所以当
取最小值时，
二、解答题【2020年新课标2卷理科】
四、反思
1、 在日常教学中，通过不断的变式，运用数学转化的思 想，加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深 对问题的认识。
2、引导他们探索数学问题的解题方法，做一题，通一类， 会一片。更重要的是可以提高学生的化归迁移的思维能力和 思维灵活性。引领学生善于思考，提高他们分析问题和解决 问题，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
一题多解与多题归一
一题多解与多题归一作者：郭魏丽来源：《广东教学报·教育综合》2019年第91期【摘要】初中数学课本里的习题是专家们经过反复推敲和琢磨选定的，这些题目充分体现了基础教育课程标准的精神和数学学科的核心素养，蕴含着数学思想的典型性、示范性，题目本身具有很强的迁移性。
本文对2018年广州市中考题里的其中一道题进行深入研究，结合课本中的习题，进行一题多解、多题归一的分析。
【关键词】课本习题；初中数学；一题多解课本中的一些典型习题是命题专家们青睐的对象，通过对题目的条件、图形、提问方式等改编，可以衍变出丰富多样的题目。
但在信息技术推动的多媒体教学环境下，教师经常直接用课件和课堂学案代替课本内容，导致学生也忽略了课本的重要性。
这样舍本逐末的教法和学法，对中考备考的系统复习是很不利的。
笔者认为，教师在教学中应引导学生重视课本的例题和习题，对习题进行不同角度的改编、拓展和延伸，充分发挥这些题目的示范作用。
下面结合2018年广州市中考第23题中的第二问和课本上与之相关的习题，探讨一题多解与多解归一、一题多变与多题归一的问题。
一、链接中考，一题多解与多解归一题目：在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB>CD，AD=AB+CD（见图1）。
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件证明：AE⊥DE。
第一问省略，第二问解题思路如下：方法一：利用平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、等腰三角形三线合一等知识。
证明：延长DE、AB交于点F（见图2）∵DE平分∠ADC∴∠CDF=∠ADF∵∠B=∠C=90°∴CD∥AB∴∠CDF=∠F，∠ADF=∠F∴AD=AF∵AF=AB+BF，AD=AB+CD∴CD=BF∵在△CDE与△BFE中，CD=BF，∠EBF=∠C=90°，∠DEC=∠FEB△CDE≌△BFE（AAS）DE=FE，又△ADF为等腰三角形AE⊥DE运用方法一解题时，有些学生审题不清，没有系统理解知识的内在联系，导致出错。
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”在当今教育模式下，通常我们数学的教育模式都是以“标准题目”和“标准答案”来解决问题，这导致学生的思维受到禁锢并沿着定向发展，导致千人一面，这种单一、刻板的思维严重地束缚着小学生创新思维的发展。
因此，教师必须打破禁锢。
想要锻炼思维，可以通过一系列的变式训练，以多侧面、多角度地去探索问题中的本质，这样有利于弄清知识脉络和知识间的联系，可以培养学生的思维转换能力。
在新课程改革实行的背景下，一题多解和一题多变是数学研究中的一个热点问题，一题多解式和一题多变式的教学形式也不断呈现出了新的特点，而数学作为一门应用最广泛，最能培养创造性思维和问题解决的能力的一门基础课程，通过不断激发学生积极思维和求知兴趣，从而达到举一反三、触类旁通的效果，因此其在培养学生的创新能力上具有独特优势。
一、“一题多解”在小学数学教学过程中的实践一个题目能否得到解决的确非常的重要，但是去探求不同于别人的新解法，才是学习上梦寐以求的乐事。
学生学习的兴趣往往与所创造出的欢乐是紧密相连的。
因此研究一题多解是为了增强学生们的求知欲望，从而激发人们的创新精神。
那么所谓的“一题多解”是什么呢？从字面上看很容易看出就是指一题多解训练，对同一问题的结论通过不同的方法得出，不断通过指引和启迪学生从不同的思路、不同的方向、不同的方法以及不同的运算过程去分析和解答问题。
为了能充分解释一题多解在培养小学生思维方面的应用，将通过下面两个例子，来详细的介绍“一题多解”。
例1：计划修一条长120米的水渠，前5天修了这条水渠的20%，照这样的进度，修完这条水渠还需多少天？这道题先启发学生求工作效率，即从“工作量÷工作时间”来思考：解法（1）：120÷（120×20%÷5）－5 ；解法（2）：（120－120×20%）÷（120×20%÷5）；这道题也还可以从分数的意义直接进行解答：解法（3）：1÷（20%÷5）－5 ；解法（4）：（1－20%）÷（20%÷5）；解法（5） 5÷20%－5例2：李老师带了若干元去买书。
一题多解,多解归一
一题多解，多解归一作者：杨露露来源：《读与写·下旬刊》2018年第08期中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2018）24-0146-01解题，作为数学教学活动过程中的核心内容，它既是推进数学认知过程的有效手段，也是培养学生数学思维能力的重要途径.在解题教学中，越来越多的人提倡“一题多解”.但是面对“一题多解”，教师有些茫然，导致他们在教学中经常会进入一些误区.例如盲目地罗列多种解法，重“量”轻“质”，教师以为把自己的“研究成果”无私地奉献给学生，却不知道学生在惊叹于教师的高明之余茫然于各种解法的得到，甚至会使学生产生自卑感等消极的心态.教师致力于寻找各种不同的解法却忘了对多种解法中的思想方法理解透彻、融会贯通.目前这种状况就需要教师对“一题多解”的教学及时反思，找出相应的教学策略。
面对“一题多解”，教师应何去何从呢？1.一题多解，多解归一，一题一解对于书上的解答或者是学生提出的多种解法，教师都应该对这多种解法进行分析，分析多种解法中分别运用的方法，涉及到的知识点，蕴含的数学思想方法.如果几种解法虽然算式、程序不完全一样，而解题的立义和根据无根本的不同，其实可以多解归一.一个题目的多种解法中总会找到共通点，教师应充分挖掘其内在联系及背后的思想方法。
“一题”之所以能“多解”，往往就在于这些解法之间是有联系的，这些联系之间是有规律可循的，通过“多解”后的“归一”，让学生能站在系统的高度看问题，进而升华到从哲学的角度认识世界，这样就可以形成强大的认识力，由此获得对数学的通透理解。
[1]到底讲哪些方法好？时间允许吗？该不该给学生讲所有的方法？等等这些问题困惑着一线教师。
笔者认为，其实问题的关键不在于解法的多少，而在于透过这些不同的解法，能够挖掘出多种解法的内在联系，提炼出多种解法中的思想方法。
因此最根本的是掌握基本概念、定义、性质等，进而把问题化归转化为已知问题求解。
初中物理一题多解大全
初中物理一题多解大全1. 题目：一个小球从斜面上滚下来，最后落地的位置是哪里？解法一：根据能量守恒定律根据能量守恒定律，物体在滚动过程中，动能和势能的总和保持不变。
当小球从斜面上滚下来时，它具有一定的势能和动能。
在滚动过程中，势能转化为动能，直到小球落地时，势能完全转化为动能。
因此，小球最后落地的位置与其最初的位置相同。
解法二：根据平抛运动的原理当小球从斜面上滚下来时，它的速度具有水平分量和垂直分量。
根据平抛运动的原理，水平分量的速度保持不变，而垂直分量的速度由于重力的作用而逐渐增大。
因此，小球最后落地的位置会比斜面的水平位置稍远。
解法三：考虑滚动的摩擦力当小球滚动下斜面时，斜面对小球的作用力包括重力和摩擦力。
根据牛顿第二定律，斜面对小球的合力等于小球的质量乘以加速度。
考虑摩擦力的存在，小球的加速度会减小，导致小球滚动的距离减少。
因此，小球最后落地的位置会比没有考虑摩擦力时更靠近斜面的水平位置。
2. 题目：为什么天空是蓝色的？解法一：散射理论天空是蓝色的主要原因是大气中的空气分子对太阳光的散射。
根据散射理论，空气分子的大小和太阳光的波长之间的相互作用会导致不同颜色的光被不同程度地散射。
由于蓝色光的波长较短，所以蓝光在空气分子的散射中受到更强烈的影响，因此我们看到的天空是蓝色的。
解法二：吸收和发射理论大气中的空气分子中的原子和分子能够吸收和发射特定波长的光。
根据吸收和发射理论，蓝光的波长与空气分子的吸收和发射光的特性相匹配，因此蓝光在大气中被吸收和发射的程度更高，使得我们看到的天空呈现蓝色。
解法三：人眼对颜色的感知人眼的视锥细胞对不同波长的光有不同的感知能力。
蓝光的波长与人眼的视锥细胞对光的感知能力相匹配，使得我们看到的天空呈现蓝色。
3. 题目：为什么铁制的物体会生锈？解法一：氧化反应铁与空气中的氧气反应会产生氧化铁，也就是我们常说的铁锈。
这是一种氧化反应，铁的表面与氧气发生化学反应，产生了氧化铁的物质。
初中数学“一题多解与一题多变”教学研究
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８初中数学一题多解与一题多变教学研究初中数学 一题多解与一题多变 教学研究Һ陈㊀斌㊀（昆山市新镇中学，江苏㊀苏州㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 一题多解与一题多变 是数学教师所要关注的重要内容，这两种解题训练模式的构建可以突破原有解题教学的结构，帮助学生更加深入地认识数学习题的解题方法，这对其解题能力的提升与发展有着重要的意义．为了构建 一题多解与一题多变 教学课堂，教师需要对其价值进行分析研究，再从实际教学的开展出发探寻有效教学设计的方法，对初中数学 一题多解与一题多变 教学的开展方法进行探究．ʌ关键词ɔ初中数学；一题多解；一题多变；教学研究数学是初中阶段学生所要学习的重要学科，在中考中占有重要的分数比例，为了帮助学生成功通过中考的考验，教师需要从实际出发进行数学习题的筛选，引领学生进行 一题多解 的研究，带领学生思考解题的多种方法，再通过习题变形设计的研究，来设计变式问题，以此推动学生的解题思考，发展学生的解题能力．在实际教学中，教师可以围绕解析原题结构㊁融合数学思想㊁设置多解训练㊁构建多变训练㊁引领学生归纳五个方面来开展教学．一㊁ 一题多解与一题多变 的价值分析一题多解 是多元解题方法的显现，其可以让学生针对一道习题进行多种解题方法的思考．一般而言，每一种解题方法都印证着一条不同的解题思路．多解题的展示与引导解析，可以帮助学生了解习题的解法与其背后隐含的解题思维，进而开阔学生的解题视野，提升学生的思维灵活度，对学生的发展有着重要的意义．一题多变 是变式思想的显现，在 一题多变 的训练设计中，教师将选取典型的习题作为原式，通过题目条件调整㊁问题新拟㊁题目信息倒置等方法将原本的习题转化为多道表现形式不同的习题．此时，教师就可以从习题的不同特征出发引领学生进行训练，并发展学生的解题能力．在这一类习题的解题中，教师可以引导学生对习题的特征进行归纳，并围绕习题的快速解答进行建模设计，构建合理化的解题模型．二㊁ 一题多解与一题多变 教学的开展方法（一）解析原题结构，分析习题特征原题的解析与研究是帮助学生进行 一题多解或一题多变 的基础，教师要展示原题，帮助学生认识原题的突出特点，并引领学生深入解析原题．在实际的展示过程中，教师需要利用课前时间进行检索，搜集教学展示所需的习题，并在课上对习题进行展现，重点围绕习题的考查点进行分析，解析相关习题解答需要的条件．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下原题：例题㊀两个连续奇数的积是３２３，求出这两个数．分析㊀通过研究可以发现，习题考查的内容为一元二次方程的应用，习题的解题关键是条件中给出的描述语 两个连续奇数的积是３２３ ．学生可以从一元二次方程的不同未知数设列出发得出多种不同的解法．其中，教师可以为学生展示 将较小的奇数设为ｘ 将较大的奇数设为ｘ 将ｘ设为任意整数 将两个连续奇数设为ｘ－１和ｘ＋１ ，这四种设列方法可以对应四种不同的解题方法．四种解题方法看似都是对一元二次方程的应用，但其切入思考的角度存在差异．通过这一展示，教师便可以引导学生对题目进行系统的认识与理解，为之后 一题多解和一题多变 的思索研究做好铺垫．为了让学生了解 一题多变 的意义，使其了解相关题目的特点，教师可以选择原题进行调整，构建一些简单的变式题．在变式题的设计上，针对该习题，教师通过调整问法的形式即可生成多个变式，如教师可以将习题改制为 两个连续奇数的积是３９９，求出这两个数 ，通过调整题干的数字大小来实现对题目的简单变更，让学生进行解答．教师也可以将习题改制为 两个连续偶数的积是４４０，求出这两个数 ，通过题目条件的对应变更，生成与原题相似的变式题．在完成变式题的设计后，教师可将其展示给学生，让学生就变式题与原题的差别进行分析，使其探析题目发生的变化．（二）融合数学思想，研究解题方法解题方法的掌握与否直接关系到学生解题能力的发展，教师要关注 一题多解 的教学，从解题方法的内涵思想入手进行解析，让学生联系解题方法进行分析，找出方法中隐含的解题理念．在实际教学中， 一题多解 的研究需要教师为学生创建相应空间，帮助学生探寻解答题目的多种解法．在实际教学中，教师要从学生的发展出发选择适于学生进行多解探究的例题，并结合问题的解法分析进行多方面㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８展示．如，在实际教学中，教师便可以为学生展示如下习题，引导学生从习题的特点出发来研究相关题目的多种解法：例题㊀某人买１３个鸡蛋㊁５个鸭蛋㊁９个鹅蛋，共用去９．２５元；若买２个鸡蛋，４个鸭蛋，３个鹅蛋，则会用３．２０元，若每种蛋只买一个，需要用多少钱？分析㊀通过简要分析可以得出该题目考查的是三元一次方程组的内容，但由于题目中只提供了两组等量关系，因此若想分别求出三种蛋的单价是不现实的，但题目所求的内容为三种蛋的共价，所以可以通过式子的变形来求解．在明确了这一思路后，学生就可以围绕学过的数学方法选择方向，寻找有效列式解答的方法．方法一㊀凑整法解：设鸡㊁鸭㊁鹅三种蛋的单价分别为ｘ元㊁ｙ元㊁ｚ元，根据题意可以列出一个由两个式子组成的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{通过将方程式相加化简的方式可以得到新式子，①＋②３：５ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝４．１５㊀③将②和③相加可以得到７ｘ＋７ｙ＋７ｚ＝７．３５，化简可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，这一方法应用了化归的数学思想，利用这一思想可以转换与调整题目的条件，让算式简化，从而得出可以计算解答的式子．在讲授这一解题方法时，教师要注意开展数学思想的拓展活动，让学生了解化归思想及其在解题中的实际应用．方法二㊀主元法这一方法是对函数方程思想与化归思想的融合运用，其核心在于将方程的三个未知数进行区别看待，将ｘ，ｙ作为未知数处理，将ｚ视为一个常数，以此对方程变形：通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{此时视ｘ，ｙ为主未知数，ｚ为常数，使用移项代数的方法可以得到ｘ＝０．５－０．５ｚ，ｙ＝０．５５－０．５ｚ，此时，ｘ＋ｙ＋ｚ＝（０．５－０．５ｚ）＋（０．５５－０．５ｚ）＋ｚ＝１．０５．通过分析可以发现，主元法实质上是对函数与方程的运用，选择适当的字母作为主元可以起到化难为易的作用．在上述习题解答中所使用的主元法，其特征是将未知数进行区别看待，形成一个特殊的数学关系，符合方程思想的构成要求，即从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）㊁不等式（组）㊁或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．在实际教学中，教师要为学生解读函数方程思想的构成，并展现函数方程思想在常见问题中的运用实例．方法三㊀参数法通过设列未知数的方式得出方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②{再设ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ，此时可以得到新的方程组：１３ｘ＋５ｙ＋９ｚ＝９．２５㊀①２ｘ＋４ｙ＋３ｚ＝３．２０㊀②ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｋ㊀③ìîíïïï观察式子之间的关系，得①－②ˑ３可以消去ｚ，再化简可得ｘ－ｙ＝－０．０５㊀④③ˑ３－②可以得到ｘ－ｙ＝３ｋ－３．２０㊀⑤此时通过式子④和⑤可以得到３ｋ－３．２０＝－０．０５，所以ｋ＝１．０５，此时可以得到ｘ＋ｙ＋ｚ＝１．０５．解析㊀上述三种方法对应了三种解题思路，而每一种解题思路还可以延伸出新的解题方法，限于篇幅此处不再赘述，教师在进行解析教学时，可以让学生尝试着寻找额外的习题解答方法．参数法是指在解题过程中通过引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），再进行分析和综合，从而解决问题的方法．这一方法从数学思想的角度来看，其同样运用了化归的数学思想，通过参数的引入，用参数代指一部分数学量，从而将算式转换为有利于解答的形式，从而实现有效解答．通过上述三种解题方法与其对应数学思想的解读，学生就可以在不同解法的研究中认识数学思想的拓展应用价值，获得解题意识和认知的提升．为了发展学生的解题能力，让 一题多解 真正发挥作用，教师还需要为学生设计针对性的练习，用练习推动学生解题能力的提高与发展．（三）设置多解训练，推动学生探究一题多解 的训练其目的在于帮助学生认识多种解题方法，从解题方法的探究入手，带领学生认识数学习题解答的多种思想．在实际教学中，教师要考虑学生的发展情况，选取难度合理且解法较多的习题进行展示，构建有效的多解训练，帮助学生学习解答问题的多种解法．如，在实际教学中，教师便可以给学生展示如下习题：练习题１㊀已知ａ，ｂ满足ａｂ＝１，那么１ａ２＋１＋１ｂ２＋１＝．练习题２㊀已知ｘ＋ｙ＝１，求ｘ３＋ｙ３＋３ｘｙ的值．㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０８练习题３㊀甲㊁乙㊁丙三种货物，若甲３件㊁乙７件㊁丙１件共需３．１５元；若甲４件㊁乙１０件㊁丙１件共需４．２０元．请问：买甲㊁乙㊁丙各一件需要多少钱？在展示了上述练习题后，教师需要引导学生解答题目，并要求每名学生至少找出两种解法．在这一环节，为了渗透分层理念，教师可以要求发展较好的学生最少找出３种解题方法，并要求其对解题方法的思路进行整理分析，以便在班级中进行汇报与展示．在学生实际解题过程中，教师要关注学生的解题情况，分析学生的思维拓展能力发展情况，并借助引导性的语言对学生进行点拨，推动学生主动思考．（四）构建多变训练，促进学生拓展一题多变 的训练需要教师秉持 万变不离其宗 的核心思想，对习题的题干信息㊁提问方式㊁条件构成进行调整，并从学生的实际解答出发来引领学生分析相关的变式题组．在学生解答前，教师需要围绕解题模型的建立与公共解题思路的明确来提出问题，引导学生在解答问题的同时进行思考．为确保变式题具有较高的质量，教师在设计变式题时要从原式的各个角度思考延伸，选择不同的方向来设置对应的题目．如，在实际教学中，教师便可以展示如下习题：原式㊀依次连接任意四边形各边中点所得的四边形可称为中点四边形．求证平行四边形的中点四边形是平行四边形．变式一㊀按照原式所给条件，求证矩形的中点四边形是菱形．变式二㊀按照原式所给条件，求证正方形的中点四边形是正方形．变式三㊀一个四边形的中点四边形是平行四边形，请问这个四边形可能是什么图形？原式㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式一㊀一个宽为５０ｃｍ的长方形图案由２０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式二㊀一个宽为１００ｃｍ的长方形图案由１０个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．变式三㊀一个宽为５０ｃｍ㊁长为１００ｃｍ的长方形图案由８个相同的小正方形拼成，试求出每个小正方形的边长．在实际教学中，教师在给出变式练习后，要引导学生对相关的题目进行分析㊁求解．在学生解答的过程中，教师要关注学生的解题情况，并予以帮助与引导，让学生总结各个变式题与原题的不同之处．对于学生给出的答案，教师要认真判定，并引导学生回顾与整理．在学生完成变式题的解答后，教师可以引导学生进行拓展思考，让其尝试着对原式进行变形，然后采用同桌互换的方式来完成相关习题的解答．在这一过程中，学生的思维会变得更为开阔，其创造能力也能得到培养与发展．（五）引领学生归纳，培养模型意识模型意识与能力是数学核心素养的关键构成，新课标强调对学生数学核心素养的培养．模型意识与能力的培养关系到学生解题能力的发展，具有较强建模能力的学生可以更好地实现一类习题的解答．为了培养学生的模型意识与能力，教师可以引导学生对一题多变习题进行分析思考，让其对比原式与变式题，逐一分析其差异，对相关习题进行二次分类．在分类完成后，教师可以引导学生对一类习题的解题方法进行系统总结与整理，构建解答相关题目的有效数学模型．如，在实际教学中，教师便可以依托一题多变教学的进行，引领学生对数学一题多变习题的原式与变式题进行归纳，从公共解答思路中总结出解题的通用方法，建立解题模型．在这一过程中，为了发挥学生群体的主动性，让其进行协作探究，教师可以从学生发展入手划分学生小组，并布置针对性的探究任务，让其合作完成整理探究任务．学生在探究思考中，其能力可以得到逐步的提升与发展．结㊀语综上所述， 一题多解与一题多变 是开展数学解题教学的一种有效模式．通过解题教学的进行，教师可以帮助学生实现解题理念的发展，有效地推动其解题能力水平的提升．在实际的教学中，教师需要进行习题的解析研究，从解题方法的多元介绍与习题的变式展示两个方面进行系统构建，帮助学生认识并掌握相关习题的有效解答方法．在学生了解了相关的内容后，教师还要依托教学的进行，推动学生进行归纳，发展并培养其模型意识．ʌ参考文献ɔ［１］黄跃惠．一题多解与一题多变在初中数学教学中的运用［Ｊ］．试题与研究，２０１９（２８）：１４５．［２］王茁力．初中数学 一题多解 的教学价值［Ｊ］．中学数学教学参考，２０１８（Ｚ３）：９９－１００．［３］罗春梅． 一题多解 与 一题多变 在初中数学教学中的应用 以‘人教版九年级上册第二十四章圆中两道习题“为例［Ｊ］．散文百家，２０１９（０１）：１６２．［４］秦小刚．初中数学一题多解教学策略分析［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（０１）：２１．［５］张秀霞．一题多解与 一题多变 在人教版初中数学教学中的应用［Ｊ］．智力，２０２０（１０）：５０－５１．。
一题多解 玩透复数刷百题不如解透一题之高中数学小题大做
一、典例分析，融合贯通典例1已知a ∈R ，i 为虚数单位,若i2ia -+为实数,则a 的值为 .【解法1】直接法()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-。
【点睛之笔】直接法，按部就班，不费脑！ 【解法2】方程法设2a i k R i-=∈+，则()22a i k i k ki -=+=+，则2,1a k k ==-，因此2a =-。
【点睛之笔】方程思想，由思不必想!【点睛之笔】共轭法，阴阳合一，天下无敌！ 【解后反思】解法一：直接化简,根据定义确定取值; 解法二：建立方程，寻找平衡点; 解法三：利用共轭 ，寻找共同点。
典例2已知复数z 的模为2 ,求i z -的最大值． 【解法1】代数法 设)(R y x yi x z ∈+=、,yy x i z y x 25)1(.42222-=-+=-+＝则，32,2max =--=∴≤i z y y 时，当．【点睛之笔】用数据说话，直接明了！ 【解法2】三角代换法设),sin (cos 2θθi z +=则.sin 45)1sin 2cos 422θθθ-=-=-＋（i z.31sin max =--=∴i z 时，当θ【点睛之笔】三角代换，化繁为简! 【解法3】几何法2,z =∴点z 圆224x y +=上的点，z i -表示z 与i 所对应的之间的距离,图所示，可知当i z 2-=时,3max =-i z ．【点睛之笔】以形助数，直指核心！ 【解法4】三角不等式法312=+=-+≤-i z i z而当i z 2-=时，.3.3max =-∴=-i z i z【点睛之笔】三角不等式，直截了当,绝不啰嗦！【点睛之笔】共轭复数法，一体两面，各有千秋！ 【解后反思】yxO ．i ． -2iZ解法一：直接利用代数运算，较少思维量！解法二：三角代换，化繁为易，降低计算量!、解法三：利用几何法，化虚为实!解法四：利用三角不等式，直捣黄龙！解法五：共轭复数，有难共担,一对好“兄弟”!典例3.若1zz-为纯虚数，求z在复平面内对应的点的轨迹【点睛之笔】直接化简,不走弯路！【解法2】利用共轭的运算性质化简1zz-为纯虚数，∴-+-⎛⎝⎫⎭⎪=≠≠zzzzz z11001，（且）整理得：∴-+-=+---=zzzzz z zzz z11211（）（）∴+==z z zz20设(,)x yi z x y R+=∈，则有2222()00x x y y-+=≠（），即2211()(0)24x y y-+=≠它表示以1(,0)2为圆心，以12为半径的圆去掉两点0010（，），（，）【点睛之笔】共轭复数法,就属它不一样!【解后反思】解法一：直接化简，利用定义建立方程!解法二：利用共轭复数的性质，运算简单，思维灵活!二、精选试题，能力升级1．【2018河南洛阳尖子生联考】已知复数z 满足z(1−i)2=1+i （i 为虚数单位)，则|z|为( ）A. 12 B 。
(完整)浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”
i湖南民族职业学院初等教育系2014届毕业生毕业论文题目： 浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”作 者： 叶彩凤 班 级： 初数1102班学号：201120030230 指 导 教 师：杨洪山二零一四年六月湖南民族职业学院学生毕业论文诚信声明郑重声明：本人呈交的毕业论文《浅谈小学数学中的“一题多解与一题多变”》是在指导老师的指导下进行研究工作，所取得的成果，成果不存在知识产权争议。
如文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人和集体已经发表，和撰写过的作品成果，对本文的研究作出重要贡献的个人，和集体在文中均作了明确的说明，并表示了谢意。
本人完全意识到，本说明的法律结果由本人承担。
毕业论文作者（签名）：2014年6月目录摘要关键词 1、小学数学“一题多解”的探究 (1)（一）一题多解的案例 (1)（二）一题多种解法之数学思想在小教学中的应用 (3)二、小学数学“一题多变”的探究 (4)（一）引导学生学会“一题多变”把新题变旧题 (4)（二）引导学生学会“一题多变”触类旁通，悟出解题规律5三、学生学会超级变变，并将所学知识进行拓展 (5)结语 (7)参考文献 (7)致谢 (8)摘要：数学是小学阶段一门基础学科,并且在小学阶段占主体地位.入学之初,学生所接触到的数学知识,都是比较形象化,直观化的数数及简单的计算,随着数学知识的加深,小学高年级的数学出现了抽象化复杂性的应用题.找到解题的最佳方法,培养学生大胆创新的解题方法及不断尝试解答的精神,是我们为师者必须思考的教学问题.教师如何引导学生学会把新知变旧知寻找最近认识发现区，将复杂问题变为单间问题，学会一题多变，触类旁通，进而悟出解题规律，并经一题多变，拓展知识，使学生真正“学会学习”。
关键词：小学数学；一题多解；一题多变前言一题多解，就是启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，它属于解题的策略问题。
“一题多解,一题多变”教学片段及反思
“一题多解，一题多变”教学片段及反思一题多解、一题多变是数学教师在几何教学中常用的手段，它不仅有助于提高学生学习兴趣，活跃课堂气氛，更重要的是有助于开阔学生思维，能从多角度、多方位、多层次思考问题，把握问题的整体，即抓住它的基本特征，又能抓住它的细节和特殊因素，从而放开思路进行思考。
著名的数学教育家G．波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。
”因此，在课堂上抓好例题一题多解，一题多变的教学这一关无疑是培养学生良好思维能力的契机，那么，如何设计有效地例题教学策略使之发挥应有的功能，是一个值得我们探讨和努力地研究课题。
现就一题多解、一题多变例题的教学片段，谈谈自己的想法及反思。
(1)《数学课程标准要求》以创新精神和实践能力为重点，改变过于重视知识传授的倾向，强调形成主动性的学习方式，有利于学生探究、创新能力的发展。
而培养学生的创新精神是课程改革的核心目标之一。
创新的心理基础是创造性思维。
创造性思维是主动地、独创地发现新事物、提出新见解、解决新问题的思维形式，它的思维活动的高级水平。
数学思维作为一种特殊的思维形式，它是人脑和数学对象交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动，是数学思维的各种特性的综合表现。
由于数学教学的重要目的在于培养学生数学思维能力，而创造性是数学思维的最根本、最核心的智力品质。
因此，要提高学生的数学思维能力，完善人的数学思维的智力品质。
培养学生的数学创造性思维能力是数学教学的一个重要任务和教育工作者研究的重要课题。
在平时的教学中能借助一题多解，一题多变来培养学生多角度、多方位、多层次思考问题，也是对我们教师的创造性思维提出了要求。
教师在教学过程中，能在求同证法中及时捕捉到激发学生求异的思维亮点，将学生思维从特殊引向一般，有助于提高学生的数学思维品质。
同时教师能站在一题多解的“同”和“异”两个视角进行变式创新，无疑对学生的创新能力的培养有着潜移默化的作用的。
浅谈小学数学一题多变一题多解训练的策略
教学创新|实践创新摘 要：近年来，在教育教学的主战场——课堂教学中，涌现出许多优秀的名师和值得借鉴的可行之法，本人在多年的一线教学实践中，探索出采用“一题多变”来改变“题海训练”的方法。
它既可以训练学生对知识的理解和应用能力，又能达到“减负不减质”的目的。
关键词：小学数学；一题多变；一题多解；训练；策略一、在原题上进行变化，训练对知识的理解和应用能力本人对典型题应该采取“精讲—变形—精练”的方式进行，这样能适当地培养一些积极主动的智力因素， 使学生在轻松愉快的气氛中达到提高能力的目的。
例如，在《路程和时间的计算》的教学中，我选择了这样一道例题，“在建设中，经常要用到爆破技术，在一次爆破中，用一条96厘米长的引火线来使装在转孔里的炸药爆炸，已知引火线的燃烧速度是0.8厘米/秒，点火者点火后以5米/秒的速度跑开，问：爆炸时点火者能否跑到离爆炸点500米远的安全区？”（本题答案：可以跑到）。
在向学生精讲时，本人有意识地把引火线的燃烧速度从0.8厘米/秒提高到1厘米/秒。
这样，点火者在爆炸时就不能跑到安全区。
我又提出了这样一个问题：在引火线燃烧速度不变的情况下（1厘米/秒），改变哪些条件才能使点火者跑到500米外的安全区？学生分组讨论后答出：增加引火线的长度或者增大点火者的奔跑速度！这样，就可以把此题变化为“求引火线的长度和点火者奔跑的速度”两个题目，让学生进行练习。
从而巩固了对公式“s=vt，v=s/t和t=s/v”的理解和应用，无形中也增进了一些趣味性，学生也会比较愉快地进行有关训练。
二、进行一题多变，培养小学生举一反三的数学思维“一题多变”就是将在学习中遇到的问题变换为其中的某些条件，然后再探求结果，从而激发思维和创新精神。
一题多变可以分成两种，条件变换和问题变换。
条件变换，就是在选择题中改变题干或者选项，或计算题中的数字改成字母，亦或把解答题中的结论变为已知条件。
而问题变换，就是对某些问题，已经形成某些思维定势，变换一下命题的角度，试题的生疏度就会增加，那么便更能提高能力的考察。
数学教学中的一题多解的反思
摘要课堂教学的内容展现也是客观反映数学教学的发展规律，以及人们对客观事物的主观能动性，从一个试题具体问题具体分析，再到一个问题可以找到多种解决方法。
因此，在另一个角度上看待数学解题问题也是旨在提高学生的创新思维能力，培养学生的积极性和兴趣，这样在高中数学教学中一定培养学生的“一题多解”的能力。
目前，咱们国家还是非常重视数学教学的基础，主要是培养学生的基础知识和基本技能。
也是我们现在在数学教育上面的基本现状。
基础上面从小学到中学都是老师们非常重视，从传统教学方式来看还是正确的，但是把基础打牢之后如何进行更高层次的发展呢？让老师主导学生提高学生的自主创新性，利用教师的经验方面倡导学生自主学习能力提高自己的开放思维，为未来创新思维奠定基础。
伴随数学变式教学理论的日益成熟，作为实现其教学价值的途径，“一题多解”与"多题一解”已经具有了相当成熟并且深厚的理论背景。
开展数学的教学的目的即为开展思维活动的教学，而学生的思维主动性与积极性依赖于对客观事物认知过程中的不断启发，如何让学生的思维顺其自然地进入精彩的数学世界，除了教师的合理引导外，更加离不开的是数学世界本身的丰富多彩性。
关键词：教学模式；解题；自主创新；高中数学AbstractClassroom teaching the content of the show is also objectively reflect the development regulation of mathematics teaching, as well as people's subjective initiative to objective things, from a test question, analyzing the specific issues various solutions to a problem can be found. So, in another point of view of mathematical problem solving is also aimed at improving the students' creative thinking ability, cultivate the students' enthusiasm and interest, so that in the high school mathematics teaching must cultivate the students' ability to "more than a problem solution".At present, our country is very emphasis on the basis of mathematics teaching, mainly develop the students' basic knowledge and basic skills. And we are now in mathematics education basic status of the above. Based on teachers from middle school are very seriously, from the traditional teaching way is right, but how to do after the beat based on a higher level of development? Let teachers lead students to improve the students' independent innovation, using the experience of the teacher encourage students to improve their ability of autonomic learning, open mind, innovative thinking to lay the foundation for the future.With mathematical variable type teaching theory is increasingly mature, as a way of realizing the teaching value, "more than a problem solving" and "what a problem solution" has quite mature and profound theoretical background. The aim of mathematics teaching is to develop the teaching of thinking activity, and students initiative and enthusiasm of thinking depends on the understanding of objective things in the process of constantly inspire and yuen, how to let students into the wonderful world of mathematics thinking let nature take its course, in addition to the teacher's guide rational, more cannot leave the mathematical world itself is rich and colorful.Keywords: Teaching mode; problem solution; Independent innovation; High school math目录摘要 (1)Abstract (2)第一章绪论 (4)1.1 课题研究背景 (4)1.2 目前高中数学教学现状 (4)1.3 国内外研究现状 (5)1.4 本文主要内容 (6)第二章相关研究综述 (6)2.1 研究的基本理论依据 (6)2.1.1 变式的基本理论依据 (7)2.1.2 一题多解的界定 (7)2.2 “一题多解”在高中教学中的使用情况 (8)2.3 本章小结 (8)第三章“一题多解”的研究思路和方法 (8)3.1 基本研究思路 (8)3.2 研究方法 (9)3.3 “一题多解”的实际例子 (10)3.4 本章小结 (10)第四章“一题多解”在教学中的策略和实际意义 (10)4.1 “一题多解”在高中数学教学中的策略 (10)4.2 “一题多解”在高中数学中的实际意义 (11)4.3 本章小结 (12)第五章总结与展望 (13)5.1 总结 (13)5.2 展望及建议 (14)参考文献 (14)致谢 (15)第一章绪论1.1 课题研究背景目前，随着高中教育的改革，高中的新课改要求也是进一步进行推进，全国的很多高中也在改革范围内，这些年的教学实践中，高中数学的课堂教学和试题解题方面也是有一定的进展，如今的教学模式更是看中老师与学生的更多互动，和自主解题思路。
数学解题之一题多解与多题一解
摘要本文意在明确一题多解和多题一解与学生思维能力开展之间的关系，从而使教师在数学解题教学过程中更加重视解题方法对学生思维能力的培养。
本文通过两种典型例题即一题多解型和多题一解型的讲解，阐述了通过不同的例题可以到达对学生思维能力的训练培养的目的。
通过一题多解，可以开阔学生思路、发散学生思维，让学生学会多角度分析和解决问题；通过多题一解，能够加深学生的思维深度，分析事物时学会由表及里，抓住事物的本质，找出事物间在的联系。
与此同时，对一题多解和多题一解的运用，要注意相互结合，灵活运用，不可只求一技，失之偏颇。
关键词：一题多解多题一解思维能力数学解题过程中一题多解与多题一解对学生思维能力的培养引言现代心理学认为，数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用。
所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学。
也就是说，在数学教学中，除了要使学生掌握根底知识、根本技能外，还要注意培养学生的思维能力。
培养学生的思维能力是新课程改革的根本理念，也是数学教育的根本目标之一。
“学生在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概况、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体表达，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进展思考和做出判断。
〞数学思维能力对形成理性思维有着独特的作用。
因此，作为一名数学教师，应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程。
市区播送电视大学舒芳教授在《在数学解题教学中培养学生的思维能力》中认为，不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式。
如，一题多解可以培养思维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。
从心理学角度讲，发散性思维和集中性思维的有机结合，正是培养创造性思维的有效途径。
本文着重阐述一题多解与多题一解的灵活运用对培养学生思维能力的重要性。
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解
拓展思维,一题多变,多题一解,一题多解初三数学总复习是大家所关注的重要问题,确立复习的指导思想,选择正确的复习方法,使学生在毕业前把基础知识系统化,对所学教学内容有一个较全面的认识,并且得到综合和提高,以便为升学考试打好基础.在复习时间紧、内容多、任务重的情况下,选择典型题目进行精讲精练,探索研究揭示规律,训练解题技巧,以拓展学生思维,达到举一反三之功效,使知识融会贯通.因此,在复习解题中,应做到三个“一”,即一题多变,多题一解,一题多解.下面就举例说明.一、一题多变对培养学生分析问题和解决问题的能力,提高逻辑思维能力和发展创造性思维能力都是十分有效的如:农机厂职工距工厂15千米的农村检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两种车的速度.分析:设自行车的速度是x千米/时,则汽车的速度是3x千米/时,速度、时间、路程三者间的关系如下表:■因为汽车晚开出40分钟(即■小时),与自行车同时到达,说明行驶15千米,汽车比自行车少用■小时,即有如下等量关系:汽车所用时间=自行车所用时间-■小时于是得■=■-■,此题可变换成如下题目:变换1:若把条件中“他们同时到达”分别变换成如下条件:(1)汽车比自行车早到10分钟;(2)汽车到达时,自行车距目的地2千米.则可根据时间关系列出方程:设自行车速度是x千米/时,有:(1)■=■-■-■;(2)■=■-■.变换2:若把条件“汽车速度是自行车的3倍”,分别作如下变换:(1)已知汽车的速度是自行车的3倍多0.5千米;(2)汽车与自行车相同路程所用时间比为1∶3,则可列出方程:设自行车速度为x千米/时,有:(1)■=■-■;(2)■=■-■.变换3:农机厂职工骑自行车到距工厂15千米的农村检修农机.(1)行车5千米后,因有人车坏,因而以比原速度少1千米/时的速度骑行,结果比原计划晚15分钟到达;(2)行车5千米后,以后以速度的1.2倍骑行,因而比原计划早20分钟到达;(3)在回来的路中,用原速度行了半小时后,因事停留半小时,以后每小时多骑2千米,结果往来时间一样.分别求骑自行车原来的速度.设自行车原来的速度为x千米/时,则可列出相应的方程:(1)■=■+■;(2)■=■-■;(3)■=■-■.以上一组题都是同向而行,也可变换成异向而行,此时,只要掌握异向、相向而行与同向而行的区别,仍可按时间关系列出方程.又如:已知:如图1,点c为线段ab上一点,△acm,△cbn是等边三角形.求证:an=bm.■分析:为证结论,首先可按题中条件画出图形,让学生从直观上比较an与bm的大小关系,然后给予证明.证明:由∠acm=∠bcn得∠acn=∠bcm,又ac=mc,bc=nc,故△can≌△mcb,从而an=bm.此题可作如下变换:变换1:设an、bm交于d点,试求∠adb的度数.分析:根据三角形外角的性质和全等三角形的对应角相等,可得∠adb=120°.变换2:若an交cm于e,bm交cn于f,求证ce=cf.分析:△cen≌△cfb不难得出ce=cf.变换3:若连结ef,试证fe∥ab.分析:由ce与cf的关系和∠ecf为60°,可知△ecf是等边三角形,进而可得ef∥ab.变换4:若an的中点为p,bm的中点为q,试证:cp=cq.分析:因为cp是△can的一边an上的中线,而cq是△mcb的一边bm上的中线,又△acn≌△mcb,全等三角形对应边上的中线相等,故cp=cq.变换5:如图2,点c为线段ab上一点,且ac∶cb=2∶1,△acm、△cbn是等边三角形,连结mn,试证mn⊥cn.■分析:利用已知条件,ac∶cb=2∶1,再取ac中点h,连结mh,显然mh为等边△acm的中线,故可知mh⊥ac,由全等三角形判定定理(sas)可得△mcn≌△mch,故mn⊥cn.变换6:如图3,若ac=3,cb=1,试计算△cef的面积.■分析:仍从条件ac∶cb=3∶1入手,不难发现ec∥nb,故有ce∶bn=ac∶ab,即ce∶1=3∶4,解得ce=■,因为△cef为等边三角形,用勾股定理,可迅速求得s△cef=■.对这道几何题,从各个方面进行变换,对提高学生的思维能力大有裨益.下面一组题是利用图形位置的变化进行变换的,变换后的题与原题证法完全相似.例.如图4,在正方形abcd中,ae⊥bf,求证:ae=bf.■本题利用全等三角形的知识不难给出证明,若将bf平移,则有: 变换1:如图5,在正方形abcd中,ae⊥mn,求证:ae=mn.■若再将ae作类似的平移,即有:变换2:如图6,在正方形abcd中,若mn⊥gh,求证:mn=gh.■这两个变题,只需利用平行的有关知识,作出如各自图中所示的辅助线,即可仿照原题给出证明.本题还可给出下列变式:变换3:点h在正方形的一边上,将纸片折叠,使点h正好与所在边的对边上一点g重合,若折痕长10cm,试求hg的长度.在几何教学中,使用从一些基本题出发变换的相关题组,可帮助学生在解题过程中掌握知识间的联系,培养良好的思维习惯,提高解题效率.二、多题一解能训练学生的集中思维,揭示各方面知识的内在联系和规律,从而加深对各方面知识的理解和应用,使知识融会贯通如:如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之比为2∶3,求证6b2=25ac.本题有多种证法,这里从略.若将两根之比推广到一般,即有命题:如果一元二次方程的两根之比为m∶n,求证mnb2=(m+n)2ac.证明:设已知方程的两根分别为mk、nk,则mk+nk=-■,mk·nk=■(m+n)k=-■,①mnk2=■②若m+n=0,则b=0,等式仍然成立;若m+n≠0,则由①得:k=-■,③将③代入②中,消去k,得:mn-■2=■.所以mnb2=(m+n)2ac,综上可知,命题成立.特别地,若m=n,这个等式就是b2=4ac,与方程有等根的条件一致. 利用此结论,解某些与一元二次方程两根之比有关的问题非常简单。
浅析小学数学教学中的一题多解问题
㊀㊀㊀㊀㊀㊀浅析小学数学教学中的一题多解问题浅析小学数学教学中的一题多解问题Һ王㊀丹㊀（珠海市香洲区凤凰小学，广东㊀珠海㊀５１９０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ一题多解在解决问题中并不少见，但是有些教师在平时的教学中为了赶教学进度或是为了完成教学目标，往往忽视了对学生解题策略和数学思想的培养．在平时的教学中，笔者深刻体会到培养学生的一题多解能力对提高学生解决问题能力的重要性，也找到了一些有效的实施方法，并从一题多解过渡到一题多变，用这样一个能力提升的过程，为学生以后的数学学习奠定基础．ʌ关键词ɔ数形结合；一题多解；策略；一题多变一题多解，指同一数学问题的结论可以由多种途径获得．‘义务教育数学课程标准（２０１１年版）“指出：要让学生在解决问题的过程中，能够对问题的解题策略和解决方法进行准确的把握，实现学生对问题的多方面理解和分析能力的提高，培养学生的创新思维．由此可见，解决问题对学生数学思维的发展起着重要作用，而问题的解决也通常有多种途径．在教学中，我们对学生解决问题的过程关注度不够，无法一一了解他们解题的思路．在一道问题的解决过程中，学生给出的解法的多样性让笔者顿悟：关注问题的思维过程比结果更重要．在 最小公倍数 的测试卷中，出现这样一道问题：如果２千克香蕉３元，３千克苹果４元，４千克桃子５元，那么哪种水果最便宜？笔者的第一反应就是求出三种水果每千克多少钱，哪种钱少哪种水果就最便宜．于是香蕉：３ː２＝３２＝１．５（元），苹果：４ː３＝４３ʈ１．３（元），桃子：５ː４＝５４＝１．２５（元）．由此得到桃子的价格最便宜．这是最常用的解题方法，我们容易受到思维定式的影响而否认其他方法的正确性．在一百多份试卷中，我发现有不少学生出现这样的解法：香蕉：２ː３＝２３＝０．６７，苹果：３ː４＝３４＝０．７５，桃子：４ː５＝４５＝０．８，但学生基本上都说不出算式表示的含义，最后得出香蕉最便宜，显然答案是错误的，但仔细想想，过程却是正确的，只是学生没有真正理解罢了．除了以上两种解法，笔者在改卷过程中还发现了有两位学生用了第三种解法：３，４，５的最小公倍数是６０，６０ː２＝３０，３０ˑ３＝９０（元），６０ː３＝２０，２０ˑ４＝８０（元），６０ː４＝１５，１５ˑ５＝７５（元），最终得到桃子的价格最便宜．遇到这样的问题，不少教师会忽视学生给出的几种解法，而让此题在学生的记忆中一闪而过．但在对试卷的分析过程中，笔者觉得这是一道经典的一题多解的问题，抓住这个典型引导学生分析，可以让学生领悟到解法多样性的真正内涵．笔者根据五年级学生的学习特点，针对班级的具体情况，对这道题的讲解过程在一番思索和准备后展开了．第一步，投影出示原题，板书学生解答中出现的三种解法．让学生在小组内说说每种解法的每一步的算理是什么㊁为什么第二种解法最后的答案是错误的．第二步，小组讨论后，各小组派一名学生汇报讨论的结果．意见相同的不重复，意见不统一的可补充说明，以小小辩论会的形式得到正确的答案．第三步，笔者结合学生的汇报归纳出三种解法的算理：解法一是求出每千克水果的价格，谁的价格低谁最便宜；解法二是求出一元可以各买三种水果多少千克，买得越多越便宜．在解题过程中，学生最后得出错误的答案就是因为没有理解清楚算式表示的意义；而解法三利用本单元学习的知识，先求出３，４，５的最小公倍数是６０，然后假设每种水果都买６０千克，看看需要花多少钱，哪种水果用的钱最少即最便宜．第四步，学生发表解题感受．有学生说今天终于领悟到解题思路的不同可以得到不同的解答方法，也有学生说通过此题领悟到在以后解题时也要从多方面考虑，争取最优解法．第五步，趁热打铁．笔者出示了两道有多种解法的问题，再次巩固学生的数学思维．（１）两辆汽车同时从甲㊁乙两地相对开出，５小时后相遇．一辆汽车的速度是每小时５５千米，另一辆汽车的速度是每小时４５千米，甲㊁乙两地相距多少千米？（２）用两个完全相同的长方体恰好拼成了一个正方体，这个正方体的表面积是３０平方厘米．如果把这两个长方体改拼成一个大长方体，那么大长方体的表面积是多少？这两道题，一道是典型的行程问题，一道是立体图形的计算问题，通过两个不同系列的问题，学生再次感受到一题多解的巧妙．本节课学生通过独立思考㊁小组讨论㊁个别汇报等活动形式，用了近一节课的时间探究一道一题多解例题．通过本节课，学生收获了重要的解题策略．在教学中，教师积极㊁适宜地让学生进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识水平与思维能力的提升；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活掌握知识之间的联系，培养和发挥学生的创新精神．针对如何更好地培养学生一题多解的数学思维这一问题，笔者结合这些年对教材的编排的理解及对各年段学生的了解，总结出如下几种可行的方法．一㊁读懂教材，根据学生实际，认真做好教学设计很多教师在平时的教学设计中，没有读懂教材就开始教学，忽略了对教材的理解，这很容易错过培养学生一题多解思维的时机．教材中有很多解决问题的例题，其中不乏一题多解的例子，如六年级上册 分数乘法 的例６，一个长方形画框的长是４５米，宽是１２米，做这样的画框需要多长的木条？这里虽然是求长方形的周长，可直接用（长＋宽）ˑ２解答，但例题同时还用了长ˑ２＋宽ˑ２的方法，意在证明分数㊀㊀㊀㊀㊀乘法的运算顺序与整数乘法的运算顺序相同，也证明了整数乘法的运算定律在分数乘法中同样适用．笔者在教学中按照教材的编排完成了教学目标，同时在探究过程中也让学生体会到一题多解这种思维方式，在解题的最后笔者小结了在解决问题过程中，要多想想有几种方法能够解决问题，最优的方法是什么，适时引导学生，培养学生的解题策略，真正做到提高学生的数学素养．二㊁鼓励学生多运用一题多解，提高学生解决问题的能力‘义务教育数学课程标准（２０１１年版）“指出： 有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践㊁自主探索㊁合作交流是学生学习数学的重要方式．教学中应尊重每一个学生的个性特征，允许学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，用不同的知识与方法解决问题．鼓励学生解决问题策略的多样化，是因材施教，促进每一个学生充分发展的有效途径． 因此，教师在课堂上要给学生留出自主探究㊁合作交流的时间与空间，让其更好地解决问题，在遇到能够一题多解的题时，要问学生 还有其他解法吗 ，这样的交流方式如果一直坚持下去，学生在遇到问题时就都会 多留个心眼儿 ，增强对一题多解的敏感度．在学生发展的同时，教师自身也得到了发展，不但解放了课堂，让学生成为课堂的主人，而且实现了新课标要求下以教师为主导㊁学生为主体的课堂模式．这样一举多得的做法，作为教师的我们何乐而不为呢？三㊁注重从一题多解到一题多变的转化，提高学生的解题能力一题多解完成得再好，也只是完成了一道题．在平时的教学中，教师如果能有针对性地对题目的条件和问题进行变化，就可以更好地调动学生学习的积极性，也可以培养学生解题的灵活性．在行程问题中，有速度㊁时间㊁路程的灵活变换；在图形计算问题中，有长㊁宽㊁高和面积㊁体积的问题置换，这些题目不但可以训练学生的一题多解思维，还能做到一题多变．教师平时如果注重对学生这两方面的训练，就可以让学生在解决一类问题时游刃有余．如在 简易方程 这一单元中，学生不但可以用以前学过的方法解题，还可以用本单元的知识解题，这也是一题多解．同时，相同的问题还可以变换数学信息和数学问题，再用不同的方法解答，这是一题多变和一题多解的完美结合，也是提高学生解题灵活性的良好时机．教师在教学这些章节的知识时，应该保持高度的敏感性，时刻把一题多解和一题多变作为提高学生解题策略的有力措施．四㊁一题灵活多变下，培养学生的创新素质教师在小学数学中应用一题多解的方式，能有效培养学生的发散思维．一题多解的过程中，会通过纵横发散，实现知识的相互串联及综合沟通，笔者起到举一反三的作用．长时间进行一题多变及一题多解训练，能够有效提高学生的思维水平，让学生在面对数学问题时，有利用多种方法将其解决的能力．笔者认为，基于一题灵活多变下，教师应通过组织讨论活动，拓宽学生的解题思路㊁培养学生的创新思维，并以此为依据，实施多次训练，不断提升学生对知识的掌握程度及思维能力．此外，良好的教学气氛及环境也很重要，教师应注重对教学气氛及环境的创设，对学生创新意识进行培养，使其具备良好的创造力．如，在应用多样性解法时，教师应多提问，引发学生自主思考，主动寻找新的可能．教师还应不断提升自身认知水平，摒弃传统教学思维，以灵活的思维方式促进学生不断发展，达到实际的教学目的，同时提升学生的解题能力．五㊁注重对学生解题思路的引导教师在进行一题多解教学时，还应强化对学生基础技能的训练及学生对基础知识的学习．教师应将引导学生的解题思路作为重点，并选择符合学生实际水平的例题，才能真正发挥出一题多解教学的作用．开展一题多解教学需要教师具备良好的知识基础，若没有良好的知识及技能基础，教师的一题多解只会是纸上谈兵．教师在一题多解的教学过程中，应目的明确，基于教学目的及要求开展实际教学，不可随意进行．对于小学数学而言，并不是所有的题目都有多种解法，教师不用将所有的题目都进行多解．若盲目进行，一方面会浪费课堂教学时间，另一方面也会大大增加学生的解题量，反而会起到不良的作用．此外，教师应注意一题多解的价值，在数学题的选择上应科学㊁合理，不可选择仅是步骤前后颠倒的数学题进行一题多解，也不能选择解法复杂㊁学生很难理解的数学题进行一题多解教学，应基于复杂问题简单化的原则体现出数学题解法的多样性，从而有效提升学生的学习积极性，助力学生思维能力快速发展．一题多解训练过程中需要重点注意的问题：首先，目的要明确．培养学生解法多样性的目的绝不仅是实现一题多解，更重要的是在这样的练习活动下，丰富学生的知识储备，不断拓宽学生思路，将学生创造性学习能力的提升及培养作为主要目的．因此，教师应基于这一主要目的选择教学方法㊁组织教学活动等．其次，注重对一题多解教学活动时间的掌控．一题多解教学活动的开展，必须在学生已经掌握较为丰富的知识及技能之后，这样才能让学生在一题多解时灵活应用自身知识解决实际问题．学生通过这样的训练活动，能够深化自身对数学知识的掌握程度及对各种数学技能的应用程度．最后，科学㊁合理地选题，灵活应用解题方法．一题多解训练活动的良好开展，需要教师科学㊁合理地选题，所选择的数学题既要具备多解性，又要能被学习成绩不佳的学生所接受．此外，应注意一题多解训练活动的趣味性，兴趣是最好的老师，只有在兴趣的驱使下，学生才能真正参与到教学活动中，从而有效促进学生创新性思维的形成及培养，在提升全班学生学习积极性的基础上，实现实际的教学目标，提升教学效果．总之，在教学过程中，教师的教学策略将影响学生的学习策略，教师应本着为学生长远发展㊁终生发展的宗旨，不为解题而解题，切实把一题多解放在教学的重要位置，为学生解题提供有效的帮助，活跃学生的数学思维，充分挖掘问题的本质，使学生的思维能力得到提高．教师应选择多样性的教学方法，立足学生实际，不断激发学生的学习兴趣，还应注意一题多解教学中例题的选择，才能切实实现教学目标，为学生后期发展奠定基础．ʌ参考文献ɔ［１］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１１．［３］翟连林．小学数学一题多解［Ｍ］．北京：北京少年儿童出版社，１９９６．。
高三数学一题多解一题多变试题及详解答案
高三一题多解 一题多变题目一题多解 一题多变一原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤,得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<,得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R,求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数,∴ 当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值解：由题意,令[]911822,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 当m y =时,08==mn x - R x ∈ ,也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义,进行分类讨论求解 1当03-≥x 2时,不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒2当03-<x 2时,不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23,且小于25,由图得, 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=,因为963s s s ,,成等差数列,所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=,q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒,所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=解得213一=q 下略变题：已知54=αsin 且α是第二象限角,求αtan解：α是第二象限角,54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ,求αtan解：054>=αsin ,所以α是第一或第二象限角 若是第一象限角,则3453==ααtan ,cos 若是第二象限角,则3454一一==ααtan ,cos 变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ,所以当 10<<m 时,α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α,求αtan 解：当11一,=m 时,αtan 不存在 当0=m 时, 0=αtan当α时第一、第四象限角时,21mmα一=tan当α是第二、第三象限角时,21mm α一一=tan一题多解 一题多变三题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则 0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变四题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变五题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、,椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥,下面结论正确的是——————————————————————— AP 点有两个 BP 点有四个 CP 点不一定存在 DP 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆,知：圆的半径b c r =<==43,即圆与椭圆不可能有交点;故选D 解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ,而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ,∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大,设α221=<PF F ,∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角,与题设矛盾;故选D 解法四：设)sin 4,5(θθcon P ,由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ,而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解,故选D解法五：设θ=∠21F PF ,假设21PF PF ⊥,则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ,而102||||21==+a PF PF即：2610≤,不可能;故选D解法六：=-=--+=-+=<||||2|||264||||236||||2)|||(|||||36||||21212121222121222121PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF F con 025*******)2||||(321||||3222121≠=-=-+≥-PF PF PF PF ,故212190PF PF PF F ⊥∴≠< 不可能;故选D解法七：设),(00y x P 由焦半径知：∴⊥-=-=+=+=21002001,535||,535||PF PF x ex a PF x ex a PF 2212221||||||F F PF PF =+962550251810)535()535(202022020=⇒=⇒=-++⇒x x x x 而在椭圆中5||0≤x 而325||0=x >8,故不符合题意,故选D解法八.设圆方程为：922=+y x椭圆方程为：1162522=+y x两者联立解方程组得： 不可能故圆922=+y x 与椭圆1162522=+y x 无交点即 1PF 不可能垂直2PF 故选D一题多解 一题多变六一变题：课本P110 写出数列}{n a 的前5项：1-111,14n n a a a =-=-变题：已知函数1()22,[,1]2f x x x =-+∈,设)(x f 的反函数为)(x g y =,)(,1211a g a a ==)(1-n n a g a =,求数列}{n a 的通项公式;解：由题意得,x x g y 211-)(==,1--n n a a 211=1212()323n n a a -∴-=-,令32-n n a b =,则}{n b 是以31为首项,21-为公比的等比数列,故)()-(1-12131≥=n b n n从而,)(23)-(1-n 1-11232≥×+=+=n b a n n n n 二、一题多解已知函数),[,)(+∞∈++=122x xax x x f 1当21=a 时,求函数)(x f 的最小值；-2若对于任意01>+∞∈)(),,[x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围, 解：1当21=a 时,222212+≥++=xx x f )(,当且仅当22=x 时取等号 由)()(0>+=k xkx x f 性质可知,)(x f 在),[+∞22上是增函数 ),[+∞∈1x ,所以)(x f 在)∞,[+1是增函数,)(x f 在区间)∞,[+1上的最小值为271=)(f2法一：在区间上)∞,[+1,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立设a x x ++=22y ,),[+∞∈1x 11222-)(y a x a x x ++=++=在)∞,[+1上增 所以1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成立,故-3>a法二：),[,)(+∞∈++=12x xa x x f 当0≥a 时,函数)(x f 的值恒为正；当0<a 时,函数)(x f 为增函数,故当1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成,故-3>a法三：在区间)∞,[+1上,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立 x x a 22- -⇔>恒成立,故a 应大于x x 22- -u =,)∞,[∈+1x 时的最大值-3,所以-3>a一题多解 一题多变七原题：:若)()(0112>++=x x x xf ,则=)(x f 分析:用倒数换元解: 令tx xt 11==则, 所以 将t 换成x 得到:变题1：设)(x f 满足关系式,)()(x xf x f 312=+求)(x f 的解析式 解：tx xt 11==则将t 换成x 得到:与原式联立方程组消去)(xf 1得到变题2：已知()()af x f x bx +-=,其中12≠a 试求)(x f 的解析式解：用相反数换元 令,t x x t =-=-代入到原式当中得到： 将t 换成x 得到:与原式联立方程组,得到：变题3：已知22(43)(34)2,af x bf x x a b -+-=≠,试求)(x f 的解析式解：令43x t -=,则232+=t x 将()1 中t 换－t 得到: 与()1联立方程组得到：变题4：已知2()()1,n n af x f x bx a n +-=≠，其中为奇数，求)(x f解：设n n t x t x ==, 代入原式得： 将t 换成—t 得到:n t b t f t af ——=+)()( 与上式联立方程组得到∴ )(x f 的解析式为：()f x ==一题多解题目：设二次函数)(x f 满足，———)()(22x f x f =且函数图象y 轴上的截距为1,被x 轴截的线段长为22,求)(x f 的解析式分析：设二次函数的一般形式)()(02≠++=a c bx ax x f ,然后根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设)()(02≠++=a c bx ax x f由，———)()(22x f x f = 得：04=b a — 又2284a ac b =∴— 由题意可知 1=c 解之得：解法二：，———)()(22x f x f =故函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x 可设k x a y ++=22)(函数图象与y 轴上的截距为1,则14=+k a又 被x 轴截的线段长为22,则2221==dx x Δ—整理得：02=+k a 解之得： 解法三：：，———)()(22x f x f =故 函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x ,又2221=x x —∴ )(x y =与x 轴的交点为： ∴故可设)(222++=x a y一题多解 一题多变八原题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(2+=x f y 与)1-(-1x f y = 互为反函数,则__________)(-)(-1-1=01f f 教学与测试P 77变题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(1+=x f y 的图象与)(-11+=x f y 的图象关于x y =对称（1） 求)(-)(01f f 及)(-)(-1-101f f 的值；（2） 若b a ,均为整数,请用b a ,表示()()f a f b 及)(-)(-1-1b f a f解1因)(-11+=x f y 的反函数是()1-x f y =,从而()11-)(x f x f =+,于是有()11--)(=+x f x f ,令1=x 得-1(0)-)(=f f 1；同样,)(1+=x f y 得反函数为()1--1x f y =,从而()11-)(-1-1x f x f =+,于是,()11--)(-1-1=+x f x f ． 2-11)(-)(=++x f x f 2,而()11--)(=+x f x f ,故()12-1)-(-)(=+x f x f ,即()22--)(=+x f x f , …()n x f n x f --)(=+,从而()[]()a b a f a b a f b f a f --)-(-)(=+=．同理,()-1-1()f a f b b a -=-．一题多解1．函数2(),(1)(3)f x x bx c f f =++-=,则 A (1)(1)f c f >>- B (1)(1)f c f <<- C (1)(1)c f f >-> D (1)(1)c f f <-<解法 1. 由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,得2b =-而22(1)1(2)11,(1)(-1)(2)(1)3f c c f c c =+-•+=--=+-•-+=+,且31c c c +>>-,因此(1)(1)f c f <<-.解法 2.由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,而)(0f c =,而()x f 在－1,1上递减,易得答案为B ．y-1 0 1x一题多解 一题多变九姜忠杰变 题原题：若在区间y =2a -ax -2x 在区间)3-,1∞-(是减函数,则a 的取值范围是多少变1：若函数y =2a -ax -2x 在)3-,1∞-(上是减函数,则a 的取值范围是多少 变2、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1-(∞上是增函数,则a 的取值范围是多少变3、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1∞-(上是增函数,且函数的值域为R,则a 的取值范围是多少解： 函数2a -ax -2x y =的减区间为]-2a ，（∞,∴⊆)3-,1∞-(]-2a，（∞∴），∞32-2[+ -变1、设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(为减函数,且在)3-,1∞-(,u ≥0 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变2：设2a -ax -2x u =,则u 在为减函数,且在]3-,1∞-(,u ≥0- 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变3：设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(减区间,u 在)3-,1∞-(取到一切正实数3-12a ≤,01=)3-(u ,所以=a 23)5-1)(1-(或2)51)(1-3(+一题多解：设10=+a a lg ,1010=+b b ,求b a +的值;解法一构造函数：设x x x f lg )(+=,则)(lg )(b b b b f b a f 1010101010=+=+==,由于)(x f 在),(+∞0上是单调递增函数,所以b a 10=,故1010=+=+b b a b ; 解法二图象法因为a 是方程10=+x x lg 的一个根,也就是方程x x -lg 10=的一个根b 是方程1010=+x x 的一个根,也就是方程x -1010=x 的一个根令x x g lg )(=,x x h 10=)(,x x -)(10=Φ,在同一坐标系中作出他们的图象,如图所示：a 是方程)()(x x g Φ=的根,即图中OA=ab 是方程)()(x x h Φ=的根,即图中OB=b易得OA+OB=10,所以10=+b a解法三：方程10=+x x lg ,1010=+x x 的根为a ,b 由1010=+x x ,得x x -1010=,∴x)-lg(10=x ,又10=+x x lg 10lgx x)-lg(=+∴10, 1010x )-x (10=即,02=+101010x -x 即一题多解 一题多变十课本P 102 证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示,),,,)((4321=i x f i 是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质：“对0,1中的任意的21x x ,,任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有 AA 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意Rx x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数;已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f 1求证：当0>a 时,函数)(x f 是凹函数；2如果],[10∈x 时,1≤|)(|x f ,试求实数a 的取值范围; 1证明：略2实数a 的取值范围是[2,0)- 二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52 =523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg + =1一题多解 一题多变十一一题多解- 1．已知212x x f -)(=-1)<x ,求-12()3f －的值 解法1 先求反函数由221x y =－得221y x =－∴ y2-1-=x 且0<y故原函数的反函数是x2-1-)(1-=x f )(0<x 解法2从互为反函数的函数的关系看 令32-x -2=12解得2±=x 即 -2)32-(1-=f变题 2．已知)(x f 对于任意实数y x .满足)()()(y f x f y x f +=+,当0>x 时,0<)(x f（1） 求证)-(-)(x f x f = （2） 判断)(x f 的单调性证明 1令,0==y x 得)()()(000f f f += -令-y =x ,得0-x)()()(=+=f x f f 02设21x x <,则)()-()()]-([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <+=+= ∴ )(x f 在R 上是单调函数变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数,且满足-)()(x f yx f =)(y f（1） 求)(1f 的值（2） 若,)(16=f 解不等式215<+)(-)(xf x f 解 1 令1==y x ,得∴ 01=)(f -（3） 在)(-)()(y f x f yx f =中,令61==y x ,得 从而261636==)(-)()(f f f又原不等式可化为 )()]([365f x x f <+, 且)(x f 是),(+∞0上的增函数, ∴原不等式等价于 又 0>x 05>+x 解得 40<<x∴ 原不等式的解集为0,4一题多解 一题多变十二考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称;解：该函数定义域为R,且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴,∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数,即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称,故)(x f y =的图象关于),(01对称;变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ,则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得,∴]-)([--)-(11x f x f =,)(x f y =－1为奇函数,即)(x f y =－1的图象关于0,0对称,∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ,则)(x f y =的图象关于1,1对称解：令1-t x =,则t x --1=,故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ,即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ,即]-)([--)-(1111+=+x f x f ,∴11-)(+=x f y 的图象关于原点0,0对称,故)(x f y =的图象关于1,1对称;结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(,则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称;变题4：已知244+=x x x f )(求证：111=+)-()(x f x f 2指出该函数图象的对称中心并说明理由;3求)()()(100110001000210001f f f +++ 的值;1证明：1242244244244111=+++=+++=+xx x x x x x x f x f --)-()(,得证;- 2解：该函数图象的对称中心为），（2121,由11=+)-()(x f x f 得12121=++)-()(x f x f 即]-)([--)-(21212121+=+x f x f ,∴2121-)(+=x f y 的图象关于原点中心对称,故)(x f y =的图象关于），（2121对称; 3解：11=+)-()(x f x f ,故11001100010011=+)()(f f ,1100199910012=+)()(f f ,……,∴ )()()(100110001000210001f f f +++ =500变题5：求证：二次函数)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心; 证明：假设),(n m 是)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象的对称中心,则对任意R x ∈,都有n x m f x m f 2=++)-()(,即n c x m b x m a c x m b x m a 222=+++++++)-()-()()(恒成立,即有n c bm am ax =+++22恒成立,也就是0=a 且02=++n c bm am -与0≠a 矛盾 所以)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;一题多解 一题多变十三题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x xax x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立,试求实数a 的取值范围;解法一：在区间[)∞+，1上,022>++=xax x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立,设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ,∴当x=1时a y +=3min ,于是当且仅当03>+=a y min 时,函数恒成立,故 a>—3;解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xax x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时a x f +=3）（min 于是当且仅当3+a>时恒成立, 故 a>—3;解法三：在区间[)∞+，1上xax x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立,故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3, ()112++>∴x a — 当x=1时,取得最大值 —3 。
从“一题多解”到“多题一解”
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评 洼 解 法 三 挖 掘 题 目 中 的 隐 含 条 件 — — 过定 点 ， 用 到 利 角 公 式 巧 妙 计 算 ， 算 量 小 ， 而 ， 用 知 识 不 在 苏 教 版 《 试 运 然 所 考 说 明 》 要 求 的范 围 中 ， 所 因此 最 好 不 要 向 学生 介 绍 ． 解 法 四 因 为 直 线 Ｚ 过 定 点 （ ３ ０ ， 线 Ｚ过 定 点Ｎ（ ， ｌ 一 ，）直 ２ Ｏ
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所 以 点
①若 ０Ｄ关于直线ｚ对称 ， 的值 ； 求ｎ ②若ｍ ０ ｎ ０ 求 证 ： ｎ ｍ ｎ ＞ ，＞ ， ｍ ＋ — 为常数．
让 我 们 来 看 一 下 第 二 问 的 第 ２ ， 的解 答 过 程 ． ｄ问
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浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用
２０２４年２月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀浅析一题多解与一题多变在高中数学教学中的应用◉江苏东海高级中学㊀冯月华㊀㊀在高中数学教学中,一题多解与一题多变教学是常用的方法,以期通过多角度分析达到夯实基础,培养学生创新能力和探究能力,提高学生发现㊁提出㊁分析和解决问题能力的目的[１]．下面笔者以两道典型的三角函数题为例,谈谈对一题多解与一题多变教学的一些粗浅认识,供参考!１一题多解,培养思维的发散性例１㊀已知t a n(α２＋π４)＝－３,求１＋s i nα的值．本题主要考查二倍角公式㊁和角的正切公式㊁ １ 的灵活转化等知识点,解题方法不唯一．根据预设可以看出,学生对 １ 的转化比较熟悉,例如１＋s i n x＝s i n x２＋c o s x２,１－s i n x＝s i n x２－c o s x２．教师先让学生独立解题,然后与学生共同交流．师:谁来说一说,你是如何求解例１的?生１:因为t a n(α２＋π４)＝－３,根据两角和的正切公式,易求出t a nα２＝２,所以α２的终边在第一或第三象限．由同角三角函数的基本关系式,进一步可求出s i nα２＝２５５,c o sα２＝５５,或s i nα２＝－２５５,c o sα２＝－５５,则都有１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２＝３５５,所以１＋s i nα＝３５５．师:很好!生１从已学习过的知识出发,利用１＋s i nα＝s i nα２＋c o sα２解决了问题．我们知道三角函数形式是灵活多变的,还有没有其他的方法呢?生２:我在此基础上做了改进．由t a n(α２＋π４)＝－３,可以得到s i n(α２＋π４)＝ʃ３１０１０,所以可得s i nα２＋c o sα２＝２s i n(α２＋π４)＝３５５,即１＋s i nα＝３５５．师:很好!生２从问题出发,灵活运用有关三角恒等变换公式,将已知和问题建立了联系,真正体现了知识的活学活用．学生给出预设的两种解法后,教师准备开始其他问题的探究,但生３又提出了新思路．生３:可从已知条件出发,因为t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n(α＋π２)＝３４,所以t a nα＝－４３,则s i nα＝ʃ４５,解得１＋s i nα＝３５５或５５．我感觉自己的思路和过程没有问题,但是却和前面两位同学的结果不一致．生３给出的方法超出了教师的预设,教师一时不知如何回答．不过该方法是学生的真实想法,且具有一定的科学性和探究性,为此选择与学生共同探索,挖掘答案不一致的真正原因．师:生３的答案和之前两位同学的答案不一致,是前面两位同学的结果不够完善,还是生３的结果存在增根呢?这个确实是一个非常有价值的问题．问题到底出现在哪里呢?生４:我感觉生３的解题思路和计算过程没有问题,已知条件仅给出了t a n(α２＋π４)＝－３,没有给出α的范围,所以很难确定α的终边在哪一个象限．师:条件中确实没有给出α的范围,那么α的范围真的没有办法确定吗生５:可以将t a n(α２＋π４)与特殊角的三角函数比较,逐步缩小角的范围．由t a n(α２＋π４)＝－３＜－３,得kπ－π２＜α２＋π４＜kπ－π３,所以２kπ－３π２＜α＜２kπ－７π６(kɪZ),由此可知,α在第二象限．师:分析得非常有道理!那么是什么原因使生３解题时出现了增根呢９５学习指导２０２４年２月上半月㊀㊀㊀生６:问题应该出现在 由t a n(α２＋π４)＝－３,利用二倍角公式得t a n (α＋π２)＝３４这一步的变换上,变换时扩大了α的范围,从而出现了增根．对于同一题,思考的角度不同,其解决方法也会有所不同,不过最终的结果是一致的．在日常教学中,教师应鼓励学生尝试从不同角度探索解决问题的方法,这样可以有效激活学生的原认知,提高分析和解决问题的能力．２一题多变,培养思维的灵活性例２㊀已知α是三角形的内角,且s i n α＋c o s α＝１５,求t a n α的值．例２考查同角三角函数基本关系式及其应用,难度不大,教师先让学生独立求解,然后师生互动交流．师:对于例２,大家是怎么想的?生１:我是用方程的思想方法求解的,由s i n α＋c o s α＝１５和s i n ２α＋c o s ２α＝１,解得s i n α＝－３５,c o s α＝４５,或s i n α＝４５,c o s α＝－３５．又α是三角形的内角,所以s i n α＝４５,c o s α＝－３５．所以t a n α＝－４３．师:非常好!根据同角三角函数的基本关系式,运用方程的思想方法顺利解决了问题．对于该题,大家还有其他解题思路吗生２:由(s i n α＋c o s α)２＝１＋２s i n αc o s α＝１２５,得２s i n αc o s α＝－２４２５＜０．又α是三角形的内角,所以α为钝角,则s i n α＞０,c o s α＜０．又(s i n α－c o s α)２＝４９２５,所以s i n α－c o s α＝７５,将其与s i n α＋c o s α＝１５联立,求得s i n α＝４５,c o s α＝－３５,所以t a n α＝－４３．师:很好!根据角的范围判断三角函数的符号往往是解三角函数问题的关键,解题时切勿忘记．学生顺利完成例２的解答后,教师给出如下变式问题:变式㊀若t a n θ＝２,求s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θ．此变式同样考查 s i n ２θ＋c o s ２θ＝１的灵活运用,将原式变为s i n ２θ＋s i n θc o s θ－２c o s ２θs i n ２θ＋c o s ２θ,将此式的分子分母同时除以c o s ２θ,转化为关于t a n θ的式子,进而将已知条件代入即可求得答案．例２及变式求解后,教师引导学生对以上解题方法进行归纳总结,从而提高学生解决一类问题的能力．在此基础上,教师继续提出新问题:(１)变式的条件还可以做怎样的变形?如果将t a n θ＝２变为t a nθ２＝２或３s i n θ＋c o s θ＝０或s i n (３π＋θ)＝２s i n (３π２＋θ),该如何求解?(２)变式的问题还可以做哪些变形?如果是２s i n θ－c o s θs i n θ＋２c o s θ,１c o s ２θ＋２s i n ２θ,s i n ２θ－c o s ２θ１＋c o s ２θ,又该如何求解?通过以上变式,引导学生体会该类题型考查的核心内容是s i n ２θ＋c o s ２θ＝１,t a n θ＝s i n θc o s θ与 １的灵活应用,题目虽然形式不同,但是所用的知识㊁思路与方法基本相同．这样通过一题多变既能加深对相关知识㊁方法的理解,又能增强学生解题信心,提高学生解决问题的能力．数学题目千变万化,更换一个条件或结论就会成为一道新题．为了帮助学生跳出 题海 ,教学中应注重对一些典型例题进行变式教学,这样既能加深相关知识的理解,又能激发学生的探究欲望,提高学生的思维能力和学习能力,从而让学生逐渐爱上数学学习[２]．３结束语在实际教学中,教师要通过一题多解与一题多变为学生提供更多的自主探究空间,以此帮助学生加深对所学知识的理解,培养良好的学习习惯和独立的个性．学生是课堂的主体．教学过程中,教师要尊重学生㊁相信学生,提供时间和空间让学生主动参与课堂,切实提高教学有效性和学生数学能力．在实际教学中,教师既要进行充分的预设,又要及时捕捉精彩的课堂生成,以平等对话的态度了解学生的真实想法,共同研究解决问题的策略,激发学生参与课堂的积极性,促成深度学习．总之,在解题教学中,教师切勿越俎代庖,应该充分发挥学生的主体价值,通过一题多解㊁一题多变教学提炼解题规律和解题方法,培养学生的创新㊁探究能力,提升教学有效性．参考文献:[１]郭靖．基于核心素养的引导探究教学模式的探索与实践 高中新教材不等式性质的教学案例[J ]．中文科技期刊数据库(全文版)教育科学,２０２１(６):１６８Ｇ１７０．[２]陈光建,郑日锋．一花一世界一题一天地 一节高考二轮复习的教学设计及反思[J ]．中小学数学(高中版)２０１３(４):２０Ｇ２２．Z０６。
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及数学思维能力。
教学过程分析
4
反
馈
验
通过此类训练让学生自己有意识地去寻找分比线
段型图形的本质特征并能在复杂的图形中将其发现，
收
设计意图
在突破难点的同时，提高自己的分析能力，培养数
学思考的习惯，同时为今后解决几何综合探究题奠
定基础。
教材分析 教法、学法分析 教学过程分析 教学评价与反思
4
我们是如何一步一步揭示了分比线段型图形的本质？
哈尔滨市第一六三中学 王志强
不当之处请批评指正
在无穷的变化中 领略数学的魅力 在曼妙的演变中 体会数学的快乐
学
目
比线段型图形中
标
构造相似三角形
分
析
并解决问题。
难点
• 如何在复杂图形中 构造基本图形并利 用其本质特征解决 问题。
教学过程分析
1
自
设计意图
主
• 利于学生独立完成
学
• 使学生便于寻找图形的本质特征
• 顺利过渡到研究
• 为后续的探究活动打下基础
教学过程分析
1
自 主 学 习
教学过程分析
通过小组合作 的方式探究此 题的其他解决 方法
2 合作探究
教学过程分析
2 合作探究
教学过程分析
2 合作探究
教学过程分析
2 合作探究
教学过程分析
1 几何推理
教学过程分析
✓过任意分点作对边的平行线
2 数形结合
教学过程分析
3 展示提升
教学过程分析
设计意图
• 让学生学会分析，反复体会 • 锻炼逻辑思维，推理能力和
反
在以上的学习过程中你体会到了那些数学思想及方法？
馈
验
设计意图：
收
让学生在收获知识的同时，
也获得继续学习的方法和思想。 反思提升
教材分析 教法、学法分析 教学过程分析 教学评价与反思
4
反 馈 验 收
（选作题） （选作题） （选作题）
作业布置
一题多变
教学评价与反思 一题多解
多题一解
从一题多解到多题一解
从一题多解 到多题一解
哈尔滨市第一六三中学 王志强
过
程
一题多解
一题一解 变式训练 一题多变 多题一解
2
推广变式
变式教学分类
课例《一线三角与全等三角形》
习题课的变式教学
推广变式
变式教学分类
课例《分比线段图形的探究》
习题课的变式教学
教材分析
教 学 目 标 分 析
教材分析
教学重点、难点
重点
教
✓ 利用平行线在分
语言表达能力 • 让学生的个性得到充分的展示
3 展示提升
教学过程分析
4
反
馈
验
让学生能够将刚刚总结的方式、方法，马
收
设计意图
上得以应用，达到巩固的目的，同时也体现了
本节课设计中 “浅入 — 深探 — 浅出”的思想。
教学过程分析
4
反
馈
验
避免学生形成惯性思维，固定解题模式，
收
设计意图
从而开拓学生思维，提高解决问题的灵活性