勾股数的整理及应用

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勾股定理专题应用

知识点1、在直角三角形中，两直角边的等于 .若用a 、b 为表示两条直角边，c 表示斜边，则。

（勾股定理）2、在三角形中，若等于第三边的平方，则这个三角形为，这是判定一个三角形是的方法．（勾股定理逆定理）3、能构成直角三角形边长的三个称为勾股数。

常见的勾股数有：①3、4、5； ②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；⑤10、24、26；4、勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数．二、专题讲解：专题1 已知两边，求第三边（222a b c +=）例1（1）在直角△ABC 中， ∠C=90°，a=5，b=12，则c= 。

（2）在直角△ABC 中， ∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

（3）在直角△ABC 中，a=5，b=12，则c= 。

(4) 如图2，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，且BD=6，AD=6，SΔABC =42，则AC= 。

(5) 在△ABC 中, ∠C=90°,BC=4，BC:AB=4:5，则BC 上的高。

(6) 已知直角三角形的两边是6和10，求三角形的面积。

（7）在Rt △ABC 中，BC=7，AB=24，若第三边为整数，则第三边AC= 。

（8）已知：如图以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为。

（9）如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯．（10）求证：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。

（逆命题）变式1-1:（1）在直角三角形ABC 中，∠A=∠B=45°，AC=2，则AB= 。

（2）在直角三角形ABC 中, ∠A=∠C,AC=4，则AB= ,CB= 。

（3）在等腰直角△ABC 中，∠C=90°，则AB:AC:BC= 。

变式1-2:（1）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．DC1334BA （2）在直角△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，则AB:AC:BC= 。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路摘要：一、引言1.勾股数的概念2.勾股数的顺口溜二、勾股数的常见套路1.3-4-52.5-12-133.7-24-254.9-40-41三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长2.构建直角三角形四、勾股数的扩展概念1.勾股定理2.勾股数列正文：一、引言勾股数是指可以构成直角三角形的三个正整数，其中最著名的就是3、4、5。

勾股数的顺口溜为“勾三股四弦五”，这简单的五个字却概括了勾股数的精华。

二、勾股数的常见套路1.3-4-53、4、5 是最经典的勾股数，也是最早被发现的勾股数。

它们满足勾股定理，即3^2 + 4^2 = 5^2。

2.5-12-135、12、13 是另一个常见的勾股数，它们同样满足勾股定理，即5^2 + 12^2 = 13^2。

3.7-24-257、24、25 也是勾股数，它们满足勾股定理，即7^2 + 24^2 = 25^2。

4.9-40-419、40、41 是一组勾股数，它们满足勾股定理，即9^2 + 40^2 =41^2。

三、勾股数的应用1.测量直角三角形边长在实际生活中，勾股数可以用来测量直角三角形的边长。

比如，如果我们知道直角边的长度为3 和4，那么可以通过勾股数的关系计算出斜边的长度为5。

2.构建直角三角形勾股数不仅可以用来测量直角三角形的边长，还可以用来构建直角三角形。

比如，我们可以用3、4、5 这组勾股数来构建一个直角三角形。

四、勾股数的扩展概念1.勾股定理勾股定理是勾股数的一个重要概念，它表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边。

2.勾股数列勾股数列是指一组按照一定规律排列的勾股数。

勾股数顺口溜及常用的套路

勾股数顺口溜及常用的套路勾股数，又名毕氏三元数。

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

接下来给大家分享勾股数顺口溜及常用的套路。

勾股数的口诀(一)奇数组口诀：平方后拆成连续两个数5^2=25,25=12+13，于是5，12，13是一组勾股数。

7^2=49,49=24+25，于是7，24，25是一组勾股数。

9^2=81,81=40+41，于是9，40，41是一组勾股数。

(二)偶数组口诀：平方的一半再拆成差2的两个数8^2=64,64/2=32,32=15+17，于是8，15，17是一组勾股数。

10^2=100,100/2=50,50=24+26，于是10，24，26是一组勾股数。

12^2=144,144/2=72,72=35+37，于是12，35，37是一组勾股数。

勾股数顺口溜3，4，5：勾三股四弦五5，12，13：5月12记一生(13)6，8，10：连续的偶数8，15，17：八月十五在一起(17)特殊勾股数：连续的勾股数只有3，4，5连续的偶数勾股数只有6，8，10勾股数常见的套路(1)当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。

实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)(2)当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17)。

勾股定理(讲义),勾股定理

A．24米2. B.36米2. C.48米2. D.72米2.
22．在一块平地上，李大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的李大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到李大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答．（）
A．（3，3） B.（-3，3） C.（-3，-3） D.（3 ，3 ）
19．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A． +1 B．- +1 C． -1 D．
20．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）．
A．96 B．49 C．24 D．48
21.老李家有一块草坪如图所示.已知AB=3米,BC=4米,CD=12米,DA=13米,且AB⊥BC,这块草坪的面积是( )
12．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，…，（n为正整数），那么第8个正方形的面积＝_______________
二、看准了再选
13．“数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点所表示的数是 ”，这种利用图形直观说明问题的方式体现的数学思想方法叫（）
Ａ．一定不会Ｂ．可能会Ｃ．一定会Ｄ．以上答案都不对
23．如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA= ，AB=1，则点A1的坐标是（）。
A、( )B、( )C、( )D、( )
三、想好了再规范的写
24、已知：在四边形ABCD中，AB=3cm, BC=5cm，CD= ,AD=2cm,AC⊥AB

勾股定理全章知识点总结大全例题精讲中考题目修订稿

勾股定理全章知识点总结大全例题精讲中考题目集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]勾股定理全章知识点总结大全一．基础知识点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC∆中，90∠=︒，则cCb=，a）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

（定理中a，b，c及222+=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角a b c形三边长a，b，c满足222a c b+=，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等cb aHG F EDCBA a bccbaED CBA bacbac cabcab③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

勾股定理与勾股数

勾股定理与勾股数勾股定理是数学中的一条基本定理，它描述了直角三角形中三边之间的关系。

勾股数则是指满足勾股定理的整数组合。

本文将介绍勾股定理的概念和用途，并探讨与之相关的勾股数。

1. 勾股定理的定义与历史勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯提出的，被称为“毕达哥拉斯定理”或“勾三股四弦”。

它的数学表达形式如下：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方之和。

数学公式为：c² = a² + b²其中，c表示斜边（也称为弦），a和b表示直角边。

这一定理在三角学中极其重要，被广泛应用于解决各种直角三角形相关的问题，如测量距离、角度计算等。

2. 勾股定理的应用勾股定理的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着重要的地位，还在其他学科和现实生活中发挥着重要作用。

2.1 测量距离勾股定理可以用来计算物体之间的距离。

例如，当我们想要测量两个地点之间的直线距离时，可以使用勾股定理来计算。

假设两个地点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2.2 角度计算勾股定理还可以用于计算角度。

在直角三角形中，我们可以通过已知两边的长度来计算角度的大小。

例如，知道直角边a和斜边c的长度，可以使用如下公式计算角度θ的大小：θ = arccos(a / c)3. 勾股数的定义与性质勾股数指满足勾股定理的整数组合。

即使勾股定理可以应用于各种实数，但整数解具有特殊的数学性质。

3.1 勾股数的性质勾股数具有如下几个性质：- 勾股数由三个互质的整数组成，即它们没有公共因子。

- 勾股数可以通过欧几里得算法生成。

- 勾股数存在无穷多个。

3.2 勾股数的示例以下是一些常见的勾股数示例：- (3, 4, 5)是最简单的勾股数，也被称为“三四五勾股数”。

- (5, 12, 13)也是一个著名的勾股数。

勾股数规律

勾股数规律
规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，发现：
由（3，4，5）有： 32=9=4+5
由（5，12，13）有： 52=25=12+13
由（7，24，25）有： 72=49=24+25
由（9，40，41）有： 92=81=40+41.
即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。

因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：
∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1）
∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数）
勾股数公式一：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）（n为正整数）
规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，发现：
由（6，8，10）有： 62=36=2×（8+10）
由（8，15，17）有： 82=64=2×（15+17）
由（10，24，26）有： 102=100=2×（24+26）
即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：
∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）]
∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数）
勾股数公式二：（2n，n2-1，n2+1）（n≥2且n为正整数）
利用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。

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勾股定理知识点讲解

勾股定理一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题２.勾股定理的证明常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定b a cb a cc a b c a b cbaHG F EDCB Aa bcc baED CBA理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =，a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 5、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。

勾股数的整理及应用

首先要熟记1~30的平方例如：162 个位6乘以6 所以结果个位一定是6，个位不是6肯定错。

例如：可以用完全平方公式192=（20-1）2=400-40+1=361222=（20+2）2=400+80+4=484整十的数比较好算。

某些学生觉得记上表很难，其实不然，部分已经是我们非常熟悉的数，像1~16、20、25…要记的不多，再加上上述的方法，再用心一下，就很好记的！常用勾股数与上表有联系，涉及到xx的平方常用勾股数：3 4 5 （9+16=25）5 12 13 （25+144=169）7 24 25 （49+576=625）8 15 17 （64+225=289）9 40 41 （81+1600=1681）…这些是要求学生熟悉并记住的。

例如：当你看见三个数，7/24/25时候，若你记得，马上可以做出判断。

常用勾股数的整数倍也可以构成勾股数。

6 8 109 12 1512 16 2015 20 2510 24 2615 36 39…常用勾股数的正实数倍，进而构成一组广义的勾股数2.5 6 6.53.5 8.4 9.1…判定勾股数的方法：化整、约简、判断例：3.5 8.4 9.1 → 35 84 91 → 5 12 13例：如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．分析：很多学生会直接1602-1282=？这样算，不是不可以，而是数太大，一是易错，二是不好算。

正确方法是先约简：160 128 ？同除以32 5 4 3？=3x32=96 A C 160m。

初中勾股数知识点总结

初中勾股数知识点总结在直角三角形中，勾股数满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b是直角三角形的两条短边，c是直角三角形的斜边。

最早的勾股数是3、4、5，满足3^2 + 4^2 = 5^2。

勾股数有许多性质和应用，我们来详细了解一下。

1. 勾股数的性质勾股数有一些基本的性质：a) 勾股数满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2。

b) 勾股数中，至少有一个是偶数。

c) 如果a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，并且a、b、c互质，那么这个勾股数就是一个素勾股数。

2. 勾股数的分类勾股数可以分为两类：基本勾股数和非基本勾股数。

a) 基本勾股数是指勾股定理的三元组。

例如（3,4,5）（5,12,13）等。

b) 非基本勾股数是指不满足勾股定理的三元组。

例如（4,7,8）等。

3. 勾股数的应用勾股定理是数学中非常重要的定理，它在几何学、物理学、数学竞赛等领域都有广泛的应用。

a) 在几何学中，勾股定理可以用来求解直角三角形的边长。

b) 在物理学中，勾股定理可以用来求解物体的运动轨迹、速度和加速度等。

c) 在数学竞赛中，勾股定理是常见的题目类型，很多数学题目中都会用到勾股定理。

4. 勾股数的性质勾股数满足许多有趣的性质：a) 勾股数中，有些数还可以看作是素数的平方。

例如（3,4,5）中5是素数的平方。

b) 勾股数中，可以有许多奇特的特征，如（20,21,29）中，20和21都不是素数，但它们的平方和是29。

c) 勾股数中，可以存在很多特殊的组合。

例如（9,40,41）是一个特殊的组合，因为9和40都是勾股数的平方，它们的和等于41的平方。

5. 勾股数的性质勾股数还有很多其他有趣的性质，例如：a) 勾股数可以用来构造各种形状的直角三角形。

b) 勾股数可以用来解决一些数论问题。

c) 勾股数还可以用来构造一些特殊的图形和结构。

综上所述，勾股数是数学中非常重要的概念，它有许多有趣的性质和应用。

勾股定理与勾股数

勾股定理与勾股数勾股定理作为数学中的一条重要定理，广泛应用于几何学和物理学等学科，它的核心思想是描述直角三角形的边与角之间的关系。

而与勾股定理密切相关的概念便是勾股数。

本文将围绕勾股定理和勾股数展开讨论，探究其定义、性质及应用。

一、勾股定理的定义勾股定理，又称毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem），是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的。

它的定义如下：“在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方之和。

”数学表达式为：a² + b² = c²其中，a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边（也称为斜边或斜线）。

勾股定理不仅适用于直角三角形，理论上适用于任何三角形，只要满足边长关系即可。

然而，非直角三角形的情况更复杂，我们将集中讨论直角三角形的情形。

二、勾股定理的性质勾股定理具有以下几个性质：1. 互逆性：勾股定理中的a、b可互换位置，即a² + b² = c²也可以表示为b² + a² = c²。

这是因为在直角三角形中，直角边相互交换并不会改变斜边的长度。

2. 基本勾股数：勾股定理中的（a，b，c）被称为勾股数。

最简单的勾股数是（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），它们被称为基本勾股数。

除了基本勾股数外，还存在无穷多个勾股数。

3. 扩展勾股数：勾股定理适用于各种单位下的长度，例如米、厘米、英尺等。

所以，单位长为1的直角三角形的边长也可以是勾股数，这些勾股数被称为扩展勾股数。

4. 勾股三元组：勾股数（a，b，c）也被称为勾股三元组。

它表示直角三角形的三个边长。

三、勾股定理的应用勾股定理作为一条基础定理，有广泛的应用。

以下是一些勾股定理的应用领域：1. 几何学：勾股定理被广泛应用于解决直角三角形的边长和角度问题。

通过应用勾股定理，我们可以计算与直角三角形相关的各种属性，如边长、角度、面积等。

《勾股定理的应用》知识清单

《勾股定理的应用》知识清单一、勾股定理的定义勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

二、勾股定理的证明方法1、赵爽弦图法赵爽通过对一个大正方形进行分割，证明了勾股定理。

他将大正方形分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，通过面积关系得出a²＋ b²＝ c²。

2、毕达哥拉斯证明法相传毕达哥拉斯通过在一个地砖上摆放不同的三角形，发现了勾股定理的证明。

3、总统证法这是由美国第 20 任总统加菲尔德提出的证明方法，也是通过面积关系来推导勾股定理。

三、勾股定理的常见应用1、已知直角三角形的两条边，求第三条边这是勾股定理最直接的应用。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过 c²＝ 3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25 ，得出斜边 c ＝ 5 。

2、判断一个三角形是否为直角三角形如果一个三角形的三条边满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形就是直角三角形。

例如，三角形的三条边分别为 5、12、13，因为 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169 ＝ 13²，所以这个三角形是直角三角形。

3、求两点之间的距离在平面直角坐标系中，如果已知两个点的坐标，可以通过勾股定理求出两点之间的距离。

例如，点 A 的坐标为(1, 2)，点 B 的坐标为(4, 6)，那么 AB 的距离就可以通过 AB²＝（4 1)²＋（6 2)²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25 ，得出 AB ＝ 5 。

4、解决实际生活中的问题（1）建筑工程在建筑施工中，经常需要测量和计算直角边和斜边的长度，以确保建筑物的结构稳定和符合设计要求。

勾股定理及其应用

（每一格表示 1 平方厘米）
猜想
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方和
A
a2+b2= c2
bc Ca B
我国古代的一部数学书《周髀算经》中早有“勾三股四弦五”的记载，意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，那么斜边一定是5。
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和
等于斜边的平方。
A
a2+b2= c2
bc Ca B
公式的各种变形
如果已知a,c你能否求出b =
如果已知b,c呢？ a=
例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，
求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到 0.01米）
解在Rt△ABC中,∠ABC=90゜, BC=2.16, CA=5.41, 根据勾股定理得
≈4.96（米）
例2：在Rt △ABC中， ∠C＝ 90° (1)、已知a=5,b=3,求c. (2)、已知a=8,c=10,求b.
(3)、已知c=7,b=5,求a。 A
c
b
B aC
练习1：在Rt △ABC中， ∠B＝ 90° 已知a=5,b=10,则c＝（5 3）。
练习2：在Rt △ABC中，∠A＝ 90°, 已知a=20,c＝10,则b＝（10 3）. AC
你来做决策
某楼房三楼失火，消防人员赶来救火，了解到每层楼高3 米，消防队员取来6.5米长的云梯，由于地面违章建筑物的原因，梯子的底部只能放在距墙基2.5处，请问消防人员能否进入三楼灭火？
“勾”、“股”的概念
A 勾：较短的直角边
股 b
弦 c
股：较长的直角边

勾股数的规律总结

勾股数的规律总结勾股数，又称毕达哥拉斯三元组，是指满足勾股定理的三个正整数a、b和c。

根据勾股定理，当a、b、c满足a² + b² = c²时，它们就被称为勾股数。

勾股数的研究是古代数学的一个重要分支，也是现代数学中的一个基础概念。

本文将总结勾股数的规律，并探讨一些有趣的性质和应用。

1. 勾股数的生成方法在寻找勾股数时，有一种简单有效的方法，称为毕达哥拉斯三元组的生成法。

根据毕达哥拉斯三元组的性质，可以将勾股数表示为两个整数m和n的差、和以及乘积的形式：a = m² - n²，b = 2mn，c = m² + n²，其中m、n是正整数且m > n。

通过不同的m和n组合，就可以得到无数个勾股数。

2. 勾股数的奇偶性根据生成方法可知，勾股数c一定是奇数，因为c可以表示为两个正整数的平方和。

而a、b则可分别为奇数和偶数，或者偶数和奇数。

因此，当一个勾股数的其中一个边为偶数时，另一条边一定为奇数。

3. 勾股数的素勾股数素勾股数指的是满足条件的勾股数中，其三个边的长度都是素数。

一个著名的例子是勾股数3、4、5。

除此之外，还有一些素勾股数的组合，如5、12、13；7、24、25等。

可见，素勾股数在勾股数中具有独特的地位。

4. 勾股数的倍数关系在寻找勾股数时，可以通过已知的勾股数得到更大的勾股数。

根据倍数关系，如果a、b和c是一个勾股数的三个边，那么ka、kb和kc（k为任意正整数）也是勾股数。

例如，3、4、5是一个勾股数，6、8、10、9、12、15等都是它的倍数。

5. 勾股数的性质与应用勾股数在几何学和数论中有广泛的应用。

在几何学中，勾股数被应用于计算直角三角形的边长和角度，解决许多实际问题，如测量土地面积、建筑斜坡的倾斜度等。

在数论中，勾股数被应用于研究和证明数论中的一些问题，比如勾股数定理的证明等。

总结起来，勾股数是古代数学的重要成果之一，其规律和性质具有一定的深度和广度。

勾股数的3条规律总结

勾股数的3条规律总结1、第一组勾股数3，4，55，12，137，24，259，40，4111，60，6113，84，8515，112，113首先发现其最小值为奇数，而另外两数是连续正整数。

我们用乘方进行尝试。

先给暂时没看出关系的最小值进行乘方。

3²=9，5²=25，7²=49大家有没有发现，在第一列数据中，每组数的较大两数之和正好等于这组数最小值的平方。

即：3²=9=4+5，5²=25=12+13，7²=49=24+25我们再试几组进行验证。

9²=81=40+41，11²=121=60+61目前看来这个规律是正确的。

我们再次注意到开始时发现的规律：第一列中每组数较大两数差为一。

那么总结这两点就可初步发现以下规律：一个正奇数(除1外)与两个和等于此正奇数平方的连续正整数是一组勾股数。

设n为一正奇数(n≠1)，那么以n为最小值的一组勾股数可以是:n，(n²-1)/2，(n²+1)/2。

2、第二组勾股数6，8，108，15，1710，24，2612，35，3714，48，5016，63，6518，80，82我们如法炮制，首先发现第二组数据均以偶数为最小数，而另外两数是差为2的正整数。

似乎也只能看出这么多，那我们继续用最小数乘方对比另外两数之和进行尝试。

6²=36，10+8=188²=64，15+17=3210²=100，24+26=50这次好像是后两数之和的二倍等于最小数平方？我们进行更多尝试。

12²=144=2(35+37)，14²=196=2(48+50)初步看来规律正确，那我们还是用代数式验证一下普遍性吧：设m为一正偶数(m≠0,m≠2,m≠4)，那么以m为最小值的一组勾股数可以是：m，(m²/4)-1，(m²/4)+1验证：[(m²/4)+1]²-[(m²/4)-1]²=[(m²/4)²+m²/2+1]-[(m²/4)²-m²/2+1]=(m²/4)²+m²/2+1-(m²/4)²+m²/2-1=m²验证成功，可总结为以下规律：当一个正偶数为最小值时，它(除0,2和4)与两个和之二倍等于此正偶数平方的差为一的正整数是一组勾股数。

勾股定理-讲义

勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。

《勾股定理的应用》知识清单

《勾股定理的应用》知识清单一、勾股定理的基本内容勾股定理是一个基本的几何定理，指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。

勾股定理是数学中的重要定理之一，它不仅在几何中有着广泛的应用，还在其他领域，如物理、工程等中发挥着重要作用。

二、勾股定理的证明方法1、赵爽弦图法这是一种非常直观的证明方法。

通过将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，然后利用面积关系来证明勾股定理。

2、加菲尔德证法以梯形面积为切入点，通过不同的计算方法得到相同的结果，从而证明勾股定理。

三、勾股定理在几何中的应用1、求边长已知直角三角形的两条边，求第三条边。

例如，一个直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边的长度就可以通过勾股定理计算：3²＋ 4²＝ c²，即 9 ＋ 16 ＝ c²，25 ＝ c²，所以斜边 c ＝ 5 。

2、判断三角形是否为直角三角形如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且满足a²＋b²＝c²，那么这个三角形就是直角三角形。

3、求图形的面积可以利用勾股定理求出直角三角形的边长，进而求出其面积。

4、求线段长度在一些复杂的几何图形中，通过构建直角三角形，运用勾股定理来求相关线段的长度。

四、勾股定理在实际生活中的应用1、工程测量在建筑、道路施工等工程中，经常需要测量距离和高度。

例如，测量建筑物的高度时，如果知道水平距离和仰角，可以通过构建直角三角形，运用勾股定理来计算建筑物的高度。

2、航海导航在航海中，确定船只与目标之间的距离和方向时，可以借助勾股定理。

3、物品摆放在放置一些大型家具或设备时，需要考虑空间的大小和形状，勾股定理可以帮助计算合适的摆放位置和尺寸。

4、救援行动在救援工作中，如确定被困人员的位置，计算救援绳索的长度等，都可能用到勾股定理。

勾股定理大复习总结

S 3S 2S1勾股定理大总结一、常见勾股数有：（3，4，5 ）、(5，12，13 )、 ( 6，8，10 )、 ( 7，24，25 ) 、( 8，15，17 )、(9，12，15 )二、勾股定理的应用㈠、求面积1、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_______。

2. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（）A. S 1- S 2= S 3B. S 1+ S 2= S 3C. S 2+S 3< S 1D. S 2- S 3=S 14、四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。

（二）、在直角三角形中，已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是___ 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）AA ． 2倍B ． 4倍C ． 6倍D ． 8倍（三）判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（） A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，172、若线段a ，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（） A 、2∶3∶4 B 、3∶4∶6 C 、5∶12∶13 D 、4∶6∶7 4、若三角形的三边之比为:12，则这个三角形一定是（） A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.不等边三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) A ．钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形7、若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。

《勾股定理的应用》知识清单

《勾股定理的应用》知识清单一、勾股定理的定义如果直角三角形的两条直角边长分别为\（a\），＼（b\），斜边长为\（c\），那么\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\）。

二、勾股定理的证明方法1、赵爽弦图法赵爽通过构造一个以直角三角形的斜边为边长的正方形，以及在其内部拼接四个以直角三角形的直角边为边长的直角三角形，利用面积关系证明了勾股定理。

2、毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯通过在一个大正方形中减去四个全等的直角三角形，从而得到了勾股定理的证明。

三、勾股定理的常见应用1、已知直角三角形的两条边，求第三边（1）当已知两条直角边\（a\）、＼（b\），求斜边\（c\）时，＼（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。

（2）当已知一条直角边\（a\）和斜边\（c\），求另一条直角边\（b\）时，＼（b ＝＼sqrt{c^2 a^2}＼）。

例如，一个直角三角形的两条直角边分别为\（3\）和\（4\），则斜边的长度为\（＼sqrt{3^2 ＋ 4^2} ＝ 5\）。

2、判断一个三角形是否为直角三角形如果一个三角形的三条边长\（a\）、＼（b\）、＼（c\）满足\（a^2 ＋ b^2 ＝ c^2\），那么这个三角形就是直角三角形。

例如，三角形的三条边分别为\（5\）、＼（12\）、＼（13\），因为\（5^2 ＋ 12^2 ＝ 169\），＼（13^2 ＝ 169\），所以\（5^2 ＋ 12^2 ＝ 13^2\），该三角形是直角三角形。

3、实际生活中的距离问题（1）两点之间的直线距离在平面上，已知两个点的坐标，可以通过勾股定理计算两点之间的直线距离。

（2）航海中的距离问题在航海中，已知船只航行的方向和距离，可以通过勾股定理计算船只的实际位移。

（3）测量问题例如，测量无法直接到达的两点之间的距离，可以通过构造直角三角形，利用勾股定理求解。

4、构建直角三角形解决几何问题在一些几何图形中，通过添加辅助线，构建直角三角形，然后运用勾股定理解决问题。

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