【数学10份汇总】天津市2020年高一数学(上)期末试卷

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2020年天津市高中必修一数学上期末试题及答案

3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式代入自变量即可求出函数值.
【详解】
因为 ,所以，，
因为，所以，故，故选B.
【点睛】
本题主要考查了分段函数，属于中档题.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
画出的图像判断出两个函数图像只有一个交点，构造函数，利用零点存在性定理，判断出零点所在的区间
7．D
解析：D
【解析】
由题设可得方程组，由，代入，联立两个等式可得，由此解得，应选答案D。
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
由对数函数的性质可知，
由指数函数的性质，
由三角函数的性质，所以，
所以，故选B.
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：对应的图形为以为圆心为半径的圆的上半部分，直线过定点，直线与半圆相切时斜率，过点时斜率，结合图形可知实数的范围是
解析：6
【解析】
【分析】
根据偶函数的关系有，代入即可求解.
【详解】
由题：函数是偶函数，
，所以，
解得： .
故答案为：6
【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.
18．【解析】【分析】由题意先确定函数在上是增函数再将不等式转化为即可求得的取值范围【详解】函数是定义在上的偶函数且在区间上是减函数函数在区间上是增函数或解集为故答案为：【点睛】本题考查偶函数与单调性结合
（2）求关于x的不等式的解集；
（3）若对恒成立，求t的取值范围.
25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P（元）关于时间t（天）的函数关系为，该股票在30天内的日交易量Q（万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点和点 .

2020-2021学年天津市部分区高一上学期期末考试练习数学试卷(解析版)

天津市部分区2020-2021学年高一上学期期末考试练习试卷一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,1,0,1,2,3U=--，集合{}2,0,1,2A=-，{}1,0,3B=-，则集合()UA B⋃=（）A. {}1,2B.{}1,0,1-C. 1,0,1,2D.2,0,1,2『答案』D『解析』因为全集{}2,1,0,1,2,3U=--，集合{}2,0,1,2A=-，{}1,0,3B=-，所以{}U2,1,2B=-，所以(){}U2,0,1,2A B=-，故选：D2. 命题“()0,x∃∈+∞，0ln2xx=”的否定是（）A.()0,x∀∉+∞，ln2xx= B. ()0,x∀∈+∞，ln2xx≠C.()0,x∃∉+∞，0ln2xx=D.()0,x∃∈+∞，0ln2xx≠『答案』B『解析』根据特称命题的否定是全称命题可知，“()0,x∃∈+∞，0ln2xx=”的否定是“()0,x∀∈+∞，ln2xx≠”.故选：B.3. 已知角α的终边过点()12,5P-，则()sinπα+=（）A. 1213 B.1213-C.513 D.513-『答案』C『解析』角α的终边过点()12,5P-，则13OP==所以5sin 13α-=，又()5sin πsin 13αα+=-=故选：C4. 设α∈R ，则“1a <-”是“2560a a -->”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』因为2560a a -->，解得6a >或1a <-，因为()()(),1,16,-∞--∞-⋃+∞∴ “1a <-”是“2560a a -->”的充分不必要条件．故选：A ．5. 已知，0.32=a ，0.3log 2b =，0.2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<『答案』B『解析』因为指数函数2x y =在定义域内是增函数，所以0.30221a =>=；由于对数函数0.3log y x =在定义域内是减函数，所以0.30.3log 2log 10b =<=；由于对数函数0.2log y x=在定义域内是减函数，所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21c =<=<=，所以b c a <<.故选：B.6. 为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A. 向左平行移动π12个单位长度 B. 向右平行移动π12个单位长度 C. 向左平行移动π24个单位长度D. 向右平行移动π24个单位长度『答案』C『解析』由于ππsin 2sin 248y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππsin 2sin 6221y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π24个单位长度得πππsin 2sin 2sin 2248412y x x x π⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 故选：C.7. 已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α的值为（）A.B.C. 10D. 10-『答案』D『解析』因为ππ2α<<，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈⎪⎝⎭，又π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-.故选：D8. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为πcm ，则这个扇形的面积为（）A. 23πcm 4B. 23πcm 5C. 25πcm 6D. 26πcm 5『答案』B『解析』设扇形的半径为R ，扇形的圆心角为150°，即5π6所以弧长为5ππ6=R ，则65R =这个扇形的面积为1163ππ2255=⨯⨯=lR故选：B9. 已知函数()f x为偶函数，当10x-<<时，()()()33log1log1x xf x=+--，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A. -1B. -2C. 1D. 2『答案』A『解析』函数()f x为偶函数，则()()f x f x-=所以33331113log1112log1log log1 22222f f⎛⎫⎛⎫--+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎝故选：A10. 已知函数()241,11,12xx x xf xx⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x方程()f x m=恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A ()0,3B.[)2,3C.10,2⎛⎤⎥⎝⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭『答案』D『解析』根据函数()241,11,12xx x xf xx⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m=恰有三个不同的实数解，即函数()f x的图象与y m=的图象有三个交点如图，()112f-=，当112m≤<时，函数()f x的图象与y m=的图象有三个交点故选：D.二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 函数πtan23y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ππ122≠+∈kx k Z的最小正周期为______.『答案』π2『解析』πtan(2)3=-y x，∴其最小正周期π2=T．所以函数πtan(2)3=-y x，ππ()122≠+∈kx k Z的最小正周期为：π2．故『答案』为：π2 .12. 已知e为自然对数的底数.计算：10.254128lg2ln100⨯++=______.『答案』1『解析』()11110.25324424128lg22lg102ln100e-⨯++=⨯++13 441222222112=⨯-+⨯=-+=故『答案』为：1.13.10πsin3=______.『答案』『解析』10πsin3=ππsin3πsin33⎛⎫+=-=⎪⎝⎭故『答案』为：14. 函数()()πsin 0,0,2ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭f x A x A 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的『解析』式()f x =______.『答案』π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 『解析』由振幅得：A=由图象可得：754πππ88⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T ，∴2πω==T 2，∴ysin （2x +φ），当7π8=x 时，y＝，∴732ππ82ϕ⨯+=，π4ϕ∴=-，∴『解析』式为：π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 15. 有下列命题：①当0a >，且1a ≠时，函数()11x f x a -=-的图象恒过定点()1,0 ②cos2tan30⋅<； ③幂函数()1f x x -=在()0,+∞上单调递减；④已知0a >，0b >，则的最大值为12其中正确命题的序号为______(把正确的『答案』都填上)『答案』①③『解析』①由于函数f （x ）＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点（0，1），所以当0a >，且1a ≠时，函数()11x f x a -=-的图象恒过定点()1,0正确；②由于232π<<<π，所以cos20,tan30<<，所以cos2tan30⋅>，故②错误；③幂函数()1f x x-=在()0,∞+上单调递减正确；222a ab a b+++≤=当且仅当a a b=+，即0b=时等号成立，此时有12≤，即的最大值为12，但条件中0b>，所以此命题错误.故『答案』为：①③.三､解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16. 已知1cos3α=，且α是第四象限角.（1）求sin2α和cos2α的值；（2）求πtan4α⎛⎫-⎪⎝⎭的值；『解』（1）1cos3α=，由22sin cos1αα+=得，228sin1cos9αα=-=，又α是第四象限角，sinα∴==，sin22sin cosααα∴==，22cos2cos sin=-ααα79=-.（2）由（1）可知sintancosααα==-πtan tanπ4tanπ41tan tan4ααα-⎛⎫∴-=⎪⎝⎭+⋅97+==.17. 已知函数()()log 52a f x x =-，其中0a >，且1a ≠.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 的零点；（3）比较()1f -与()1f 的大小『解』（1）由520x ->，得52x <，所以函数()f x 的定义域为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）令()0f x =，即()log 520a x -=，则521x -=，所以2x =，所以函数()f x 的零点为2.（3）()()()1log 52log 7a a f -=--=，()()1log 52log 3a a f =-=，当1a >时，函数log a y x=是增函数，所以log 7log 3a a >，即()()11f f ->.当01a <<时，函数log a y x=是减函数，所以log 7log 3a a <，即()()11f f -<.18. 某公司为了发展业务，制订了一个激励销售人员的奖励方案：①当销售利润不超过10万元时，不予奖励；②当销售利润超过10万元，但不超过20万元时，按销售利润的20%予以奖励；③当销售利润超过20万元时，其中20万元按20%予以奖励，超过20万元的部分按40%予以奖励.设销售人员的销售利润为x 万元，应获奖金为y 万元.（1）求y 关于x 的函数『解析』式，并画出相应的大致图象；（2）若某销售人员获得16万元的奖励，那么他的销售利润是多少？『解』（1）根据题意，可得函数的『解析』式为：()001020%10202020%+2040%20x y x x x x ⎧≤≤⎪=<≤⎨⎪⨯-⨯>⎩，即0,0100.2,10200.44,20x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，图象如下所示：（2）由（1）可知，当1020x <≤时，20.24y x <=≤，164y =>，20x ∴>，令0.4416x -=，解得：50x =，故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.19. 已知函数()2πcos 26x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.『解』()2ππcos 2cos sin 2sin 66x x x f x =++-)12sin 21cos 22x x x =+-1sin 222x x =πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）2ππ2T ==，所以()f x 的最小正周期为π.由πππ22π,2π322x k k ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，∈k Z ，可得π5ππ,π1212x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，∈k Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()π5ππ,π1212⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ；（2）因为()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间ππ-,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又π142f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为-1.。

天津市2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析) (2)

高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.下列运算正确的是（） A. 2332a a a =B. 2332a a a ÷=C. 1220a a -=D.212a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据指数幂的运算公式，逐个检验，即可求出结果. 【详解】对于A ，22313333262a a a a +==，故A 错误；对于B ，3123221a a a a --÷==，故B 错误；对于C ，11322222=a a a a ---=，故C 错误；对于D ，211222a a a ⨯⎛⎫= ⎝⎭=⎪，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，属于基础题.2.已知幂函数()y f x =的图象过点2（，则函数()f x 的解析式为（） A. 2()f x x =B. 12()f x x =C. 12()f x x -=D.2()f x x -=【答案】B 【解析】【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，构造方程求出指数a 的值，即可得到函数的解析式．【详解】解：设幂函数的解析式为y ＝x a ，∵幂函数y ＝f （x）的图象过点(2，=2a，解得a 12=∴12()f x x = 故选B ．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法，属于基础题．3.函数()()()log 120,1a f x x a a =-+>≠恒过定点（） A. ()2,2 B. ()2,3C. ()1,0D. ()2,1【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠必过定点()10，，即可求出结果. 【详解】由对数函数的性质可知，当2x =时，函数()()()log 120,1a f x x a a =-+>≠恒过定点()2,2.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，熟练掌握对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠必过定点()10，是解决本题的关键. 4.函数2x y -=-与2xy =的图象（） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2x f x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2x f x =，则()2xf x ---=-()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 5.已知α是锐角,那么2α是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180︒的正角 D. 不大于直角的正角【答案】C 【解析】【分析】根据α是锐角，得出2α的取值范围是()0,π，再判定2α的终边位置即可．【详解】∵α是锐角，即090α<<︒，∴02180α<<︒. 所以2α是小于180︒的正角．故选：C ．【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出2α的取值范围是关键． 6.已知tan 2α=,则sin cos 2cos ααα-的值为（）A. 2B. 12C. -2D. 12-【答案】B 【解析】【分析】根据题意，对sin cos 2cos ααα-分子和分母同时除以cos α，利用sin tan cos ααα=，可将原式化简成tan 12α-，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知，sin cos tan 112cos 22αααα--==，故选：B. 【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用，熟练掌握和应用sin tan cos ααα=是解题关键，属于基础题.7.已知2log 3a =,3log 2b =,13log 9c =,则a ,b,c 的大小关系为（）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】A 【解析】【分析】利用对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩，可知10a b c >>>>，据此即可求出结果.【详解】因为22log 3log 2=1a =>，3330log 1log 2log 31=<<=，所以1a >，01b <<,0c <，所以c b a <<.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数的大小比较以及对数函数单调性的应用，属于基础题.8.为了得到函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数2sin 2y x =图象上所有的点（）A. 向左平行移动4π个单位 B. 向右平行移动4π个单位 C. 向左平行移动8π个单位 D. 向右平行移动8π个单位【答案】C 【解析】【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，可得结论．【详解】因为2sin 22sin 248y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故要得到2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度即可；故选：C ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 9.在ABC ∆中,tan tan tan A B A B ++=,则角C 等于( )A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】【分析】由两角和公式可得()tan tan tan ,1tan tan A BA B A B++=- 以及诱导公式可知()()tan tan tan A B C C π+=-=- ，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，据此即可求出结果.【详解】由两角和公式可得()tan tan tan ,1tan tan A BA B A B++=-由诱导公式可知()()tan tan tan A B C C π+=-=- ，所以tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，又tan tan tan A B A B ++=，所以tan C ()0,C π∈，所以3=C π.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用，属于基础题. 二､填空题10.求值:()2log lg10=______. 【答案】0 【解析】【分析】利用对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩，即可求出结果.【详解】()22log lg10log 10==. 故答案为: 0.【点睛】本题主要考查了对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩的应用，属于基础题.11.求值:2cos 3π=______. 【答案】12- 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式()cos cos παα-=-，即可求出结果. 【详解】21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式()cos cos παα-=-的用法，属于基础题. 12.求值:sin72cos18cos72sin18︒︒+︒︒=______. 【答案】1 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】()sin72cos18cos72sin18sin 7218=sin90=1︒︒+︒︒=︒+︒︒. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，属于基础题. 13.函数()3sin 5πα+=,3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos α=______.【答案】45- 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式()sin +=sin παα-，可得3sin 5α=-，再根据3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】因为()3sin 5πα+=， ()sin +=sin παα-，所以3sin 5α=-，又3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-. 故答案为：45-. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及同角的基本关系，属于基础题.14.1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．【答案】2 【解析】【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .【答案】32- 【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质. 【此处有视频，请去附件查看】三､解答题 16.已知4sin 5α,且α是第二象限角. (1)求sin 2α的值; (2)求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2425-（2）10- 【解析】分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知3cos 5α=-，再利用二倍角公式即可求出结果；（2）根据（1）的结果利用两角和余弦公式，即可求出结果. 【详解】(1)∵4sin 5α,α是第二象限角,∴3cos 5α==-,∴4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.(2)∴cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭43525210=-⨯-⨯=-. 【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系和两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 取得最大值时的x 集合.【答案】（1）5114,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）5|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值，以及此时的自变量x 的值．【详解】(1)()f x 在R 上的增区间满足:1222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴1522626k x k ππππ-+≤≤+,解得:54433k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 所以单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 单调递增区间为5114,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)()max 12sin 223x f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令：12232x k πππ-=+,k Z ∈，解得：543x k ππ=+,k Z ∈，函数()f x 取得最大值的x 集合为:5|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 18.已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+.(1)求函数的()f x 定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并用定义证明你的结论. 【答案】（1）()1,1-（2）()f x 是奇函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断．【详解】(1)由1010x x ->⎧⎨+>⎩,解得11x x >-⎧⎨<⎩,∴11x -<<,∴函数()f x 的定义域()1,1-.(2)函数()f x 是奇函数.证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+. ∵()()()()lg 1lg 1f x x x f x -=+--=-，所以函数()f x 是奇函数.【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键． 19.已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.【答案】（1）π（2）最小值-1 【解析】【分析】（1）利用三角函数的同角基本关系、二倍角公式和辅角公式，对解析式化简，可得()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出结果；（2）根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．利用正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最小值和最大值．【详解】(1)()44cos sin 2sin cos x x x x x f =-+()()2222cos sin cos sin 2sin cos x x x x x x =+-+cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∴()f x 的最小正周期22T ππ==;(2)在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,故当242x ππ+=时,函数()f x 取得最大值,当244x ππ+=-时,函数()f x 取得最小值为-1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．1、在最软入的时候，你会想起谁。

天津市和平区2020_2021学年高一数学上学期期末考试试题含解析

天津市和平区2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分．考试时间100分钟．祝同学们考试顺利！第Ⅰ卷选择题（共36分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上的无效．一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 5sin6π=（）．A.12B. 12-D. 【答案】A 【解析】【分析】由5sinsin 66ππ=即可求出. 【详解】51sin sin sin 6662ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A.2. 已知集合{}{}12|31,|20x A x B x x x -=<=-，则()AB =R（）A. {|01}x x <<B. {|12}x x <<C. {|1}x x <D. {|2}x x <【答案】D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再根据补集并集定义即可计算. 【详解】{}{}1|311x A x x x -=<=<，{}{2|200B x x x x x =-≤=≤或}2x ≥，{}02R B x x ∴=<<，(){}2RA B x x ∴⋃=<.故选：D3. 已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（）． A. lg lg x y > B. 22xy>C. 11x y>D. 22x y >【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意；对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y>得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y >，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．4. 函数3()ln f x x e=-的零点所在区间为（） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,eC. ()2,e eD. ()23,e e【答案】C 【解析】【分析】根据对数函数性质判断函数在()0,∞+上是增函数，再通过计算又1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1)f ，()f e ，2()f e ，发现2()()0f e f e ⋅<，即可得到零点所在区间.【详解】3()ln =-f x x e在()0,∞+上是增函数，又1133ln10⎛⎫=-=--< ⎪⎝⎭f e e e e ，33(1)ln10=-=-<f e e ，33l )10n (=-<-=f e ee e ，2233)0ln (2-=-=>e f e e e，2()()0∴⋅<f e f e ，根据零点存在性定理可知，函数3()ln f x x e=-的零点所在的大致区间是()2,e e故选：C5. 已知函数()221()1mm f x m m x+-=--是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值是（）． A. 1-或2 B. 2C. 1-D. 1【答案】C 【解析】【分析】由函数是幂函数可得211m m --=，解得1m =-或2，再讨论单调性即可得出. 【详解】()f x 是幂函数，211m m ∴--=，解得1m =-或2，当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上是减函数，符合题意，当2m =时，5()f x x =在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，1m ∴=-.故选：C.6. 已知2log 5a =，5log 2b =，0.53c -=，则（）． A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】D 【解析】【分析】本题可通过确定a 、b 、c 三个数的取值范围来得出a 、b 、c 三个数的大小. 【详解】因为0.53333c -===，所以112c <<，因为22log 5log 21a =>=，551log 2log 52b =<=，所以b c a <<，故选：D.7. 如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（）A. 2,6π B. 2,3π-C. 1,6π D. 1,3π-【答案】A 【解析】【分析】根据图象由6π到23π是半个周期，即22T π=，可得到周期2T ππω==，从而可求出ω的值，再代入最高点,26π⎛⎫⎪⎝⎭计算可得ϕ的值. 【详解】由题意可得22362T πππ=-=，即2T ππω==，解得：2ω=，又函数()()2sin 2(0,)2=+><f x x πϕωϕ图象的一个最高点为,26π⎛⎫⎪⎝⎭， 2sin 226πϕ⎛⎫∴⨯+= ⎪⎝⎭，即sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：()2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即()2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，0k ∴=时，6π=ϕ，综上可知：2ω=，6π=ϕ 故选：A【点睛】方法点睛：本题考查利用函数图象求函数解析式，求sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>解析式的步骤：（1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则,22-+==M m M mA B ；（2）求ω，确定函数的周期T ，则2Tπω=. （3）求ϕ，代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．8. 若不等式()2223122x axx a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A. (0,1)-B. 3(,)4+∞C. 3(0,)4D. 3(,)4-∞【答案】B 【解析】分析：首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为222(3)x ax x a ->-+恒成立，利用判别式22(32)40a a ∆=--<，从而求得实数a 的取值范围.详解：不等式22231()22x ax x a -+<恒成立，即222(3)11()()22x ax x a --+<，即222(3)x ax x a ->-+恒成立，即22(32)0x a x a +-+>恒成立，所以22(32)40a a ∆=--<，解得34a >，所以实数a 的取值范围是3(,)4+∞，故选B.点睛：该题考查的是有关不等式恒成立，求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要明确指数式的运算法则，注意应用指数函数的单调性，得到指数所满足的大小关系，利用二次不等式恒成立问题，结合式子的判别式，求得结果.9. 已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m的取值范围是（）． A. [1,)-+∞ B. (,1]-∞-C. [0,)+∞D. [1,0)-【答案】A 【解析】【分析】()g x 存在两个零点，等价于 y x m =--与()f x 的图像有两个交点，数形结合求解.【详解】()()()=++⇔=--g x f x x m f x x m()g x ∴存在两个零点，等价于 y x m =--与()f x 的图像有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图像：由图可知，当直线在0x =处的函数值小于等于1，即可保证图像有两个交点，故：1m -≤，解得：[)1,m ∈-+∞故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷非选择题（共64分）注意事项：1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效． 2．本卷共11小题，共64分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 10. 命题“2,10∃∈-+=x R x x ”的否定为________．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】【分析】根据特称命题的否定为全称命题可得. 【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以“2,10∃∈-+=x R x x ”的否定为“2,10x R x x ∀∈-+≠”.故答案为：2,10x R x x ∀∈-+≠.11. 化简31log 43lg100083+-=_________．【答案】1 【解析】【分析】根据指数和对数运算法则计算结果. 【详解】原式()1333lg10243241=+-=+-=.故答案为：112. 已知角α是第四象限角，且满足3cos()sin 12παα⎛⎫--+=⎪⎝⎭，则tan α=________．【答案】3- 【解析】【分析】由题可得1cos 2α=，进而得出3sin 2α=-，即可求出.【详解】3cos()sin 12παα⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，3cos cos 1αα∴-=，即1cos 2α=，角α是第四象限角，23sin 1cos αα∴=--=， sin tan 3cos ααα∴==故答案为：3-13. 若2a >-，则162a a ++的最小值为________. 【答案】6 【解析】【分析】根据基本不等式直接求最值. 【详解】161616222(2)()26222a a a a a a +=++-≥+=+++ 当且仅当162,22a a a +==+时取等号故答案为：6【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 函数()log (1)xa f x a x =++（0a >且1a ≠）在[]01，上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________________．【答案】12【解析】当01a <<时，()f x 为单调减函数，所以max ()(0)=1f x f =，min ()(1)log 2a f x f a ==+，所以1log 212a a a a ++=⇒=，且(0,1)a ∈故成立，当1a >时，则函数为增函数，所以max ()(1)log 2a f x f a ==+，min ()(0)1f x f ==，所以1log 212a a a a ++=⇒=，此时(1,)a ∉+∞故不成立，所以12a =15. 若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[)4,8 【解析】【分析】若对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，则函数()f x 在R 上单调递增，进而可得答案．【详解】对任意的实数12x x ≠都有1212()()0f x f x x x ->-成立，∴函数,1()(4)2,12x a x f x ax x ⎧⎪=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递增， ∴1402422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪-+⎪⎩，解得：[4a ∈，8)，故答案为：[)4,8．三、解答题：本大题共5小题，共40分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．16. 已知tan 24πα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭（1）求tan α的值；（2）求2222sin 2cos 2sin cos αααα-+的值．【答案】（1（2）1- 【解析】【分析】（1）根据tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦利用两角差的正切公式计算可得；（2）利用弦化切代入计算可得；【详解】（1）tan tan tan 1444tan tan 441tan tan 1tan 444⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+-== ⎪⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππααππααπππαα，又tan 24πα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭tan ∴===α．（2）22222222122sin 2cos tan 23122sin cos 2tan 11213----⎝⎭====-+++⨯+⎝⎭αααααα 【点睛】方法点睛：三角函数化简求值，常用拼凑角：（1）再利用诱导公式求值或化简时，巧用相关角的关系会简化解题过程，常见的互余关系有：3πα+与6πα-，3πα-与6πα+，4πα-与4απ+等；常见的互补关系有： 3πα+与23πα-，4πα+与34πα-等；（2）在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-，()2αβααβ-=+-等等. 17. 已知,αβ为锐角，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-．（1）求sin()αβ+的值；（2）求cos β的值．【答案】（1；（2）12.【解析】【分析】（1）由,αβ为锐角，可求出0αβ<+<π，利用同角之间的关系可求出sin()αβ+. （2）根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦结合余弦的差角公式可得出答案. 【详解】（1）0,022ππαβ<<<<，0αβπ∴<+<，sin()14∴+===αβ（2）由α为锐角，sin ∴===α()cos cos cos()cos sin()sin ∴=+-=+++⎡⎤⎣⎦βαβααβααβα11111472=-⨯=. 【点睛】方法点睛：本题考查同角三角函数的关系，余弦函数的差角公式以及角的变换关系，在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-，()2αβααβ-=+-等等，属于一般题.18. 已知定义在[3,3]-上的函数()y f x =是增函数. （1）若(1)(21)f m f m +>-，求m 的取值范围；（2）若函数()f x 是奇函数，且(2)1f =，解不等式(1)10f x ++>.【答案】（1）[1,2)-；（2）{32}xx -<∣. 【解析】【分析】（1）根据函数定义域，结合函数单调性，列出不等式组，求解即可；（2）根据函数奇偶性得到()12f -=-，再利用函数单调性，结合函数定义域，即可求得不等式.【详解】（1）由题意可得，3133213121m m m m -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪+>-⎩，求得12m -<，即m 的范围是[1,2)-.（2）∵函数()f x 是奇函数，且(2)1f =， ∴(2)(2)1f f -=-=-， ∵(1)10f x ++>， ∴(1)1f x +>-， ∴(1)(2)f x f +>-，∴12313x x +>-⎧⎨-≤+≤⎩，∴32x -<≤∴不等式的解集为{32}xx -<∣. 【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，涉及函数奇偶性的应用，注意考虑函数定义域即可，属综合基础题.19.已知函数2()sin cos f x x x x =+，x ∈R ．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间；（3）求()f x 图像的对称轴方程和对称中心的坐标．【答案】（1）T π=；（2）()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（3）对称轴为()5122k x k Z ππ=+∈，对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）首先可通过三角恒等变换将函数()f x 转化为()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后根据周期计算公式即可得出结果；（2）可通过正弦函数的单调性得出结果；（3）可通过正弦函数的对称性得出结果.【详解】（1）2()sin cos 2f x x x x =+1sin 22sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，最小正周期22T ππ==. （2）当()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈时，即()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈时，函数()f x 单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（3）232x k πππ-=+，即()5122k x k Z ππ=+∈， 23x k ππ-=，即()62k x k Z ππ=+∈，则函数()f x 的对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈，对称中心为(),062k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 20. 已知函数()4cos sin 1()6f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()y g x =的解析式；（3）若02x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求()0g x ．【答案】（1）2；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）1- 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式()2sin26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入3x π=即可求解；（2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到()y g x =的解析式；（3）由02x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求出02()2=+∈x k k Z ππ或052()6=+∈x k k Z ππ，再分类讨论求出()0g x ．【详解】（1）1()4cos sin 14cos sin cos 162⎛⎫⎛⎫=-+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x x π 2cos 2cos 12cos2x x x x x =-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）根据图像平移变换可知：2sin 22sin 6()2666πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎭⎝⎭g x f x x x π （3）02⎛⎫= ⎪⎝⎭x f 002sin 26⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x π0sin 62⎛⎫-= ⎪⎝⎭x π，解得：02()63-=+∈x k k Z πππ或022()63-=+∈x k k Z πππ 所以：02()2=+∈x k k Z ππ或052()6=+∈x k k Z ππ 当022x k ππ=+时，()02sin 22s 66n 2142i ⎡π⎤7π⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫=+=+ ⎪⎦⎝⎭x k k g πππ当0526x k π=+π时，()052sin 22s 21in 4666⎡π⎤11π⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫=+=+⎪⎦⎝⎭x k k g πππ 综上可知，()01g x =-【点睛】方法点睛：本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，做题时要注意三点：（1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数；（3）由sin y A x ω=的图像得到()sin y A ωx φ=+的图像时，需平移的单位数应为ϕω，而不是||ϕ．。

【解析】天津市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷

天津一中2020-2021-1高一年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟．考生务必将答案涂写在答题纸的规定位置上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺！第I 卷一、选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】分别解不等式，根据解集的范围大小得到答案.【详解】2log 0x <，则()0,1x ∈，121x -<，则(),1x ∈-∞，故p 是q 的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 2. 已知20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是（） A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D.b c a <<【答案】C 【分析】根据指数函数，幂函数，和对数的单调性，即可得出结论.【详解】22200.31,log 0.3log 10a b <=<=<=，0.30221,c b a c =>=∴<<.故选:C .【点睛】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，注意与特殊数的对比，如“0”“1”等等，属于基础题. 3. 已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（） A13B.14 C.112D. 112-【答案】C 【分析】根据题意，切化弦，结合两角和的正弦公式分别求出sin cos ,cos sin A B A B 的值，代入两角差的正弦公式即可求解.【详解】因为tan 2tan A B =，即sin sin 2cos cos A BA B=，所以sin cos 2sin cos A B B A =，因为()1sin sin cos cos sin 4A B A B A B +=+=，即13cos sin 4A B =，解得11cos sin ,sin cos 126A B A B ==，因为()sin A B -=sin cos cos sin A B A B -，所以()111sin 61212A B -=-=. 故选：C【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式；考查运算求解能力；熟练掌握两角和与差的正弦公式是求解本题的关键；属于中档题.4. 函数y x a =+与x y a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）A. B.C. D.【答案】D 【分析】根据y x a =+单调递增可排除AC ，再根据y x a =+与y 轴交点位置可排除B. 【详解】0a >，则y x a =+单调递增，故排除AC ；对于BD ，xy a =单调递减，则01a <<，∴y x a =+与y 轴交于0和1之间，故排除B.故选：D.5. 已知函数()tan()0,02f x x πωϕϕω⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭最小正周期为2π，且()f x 的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则方程()sin 2([0,])3f x x x π⎛⎫=+∈π ⎪⎝⎭所有解的和为（） A.76πB.56π C. 2πD.3π 【答案】A 【分析】先根据()f x 的最小正周期计算出ω的值，再根据图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭结合ϕ的范围求解出ϕ的值，再根据条件将方程变形，先确定出tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后即可求解出方程的根，由此确定出方程所有解的和.【详解】因为()f x 的最小正周期为2π，所以22πωπ==，又因为()f x 的图象过点,03π⎛⎫⎪⎝⎭，所以2tan 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,3k k Z ϕππ+=∈，又因为02πϕ<<，所以3πϕ=且此时1k =，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即tan 2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即tan 2cos 21033x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为tan 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，sin 203x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 213x π⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以tan 2cos 210tan 2=0333x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇔+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为[]0,x π∈，所以72,333x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭时，23x ππ+=或223x ππ+=，解得3x π=或56x π=，所以方程()[]()sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭所有解的和为57366πππ+=. 故选：A .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析方程得到tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭，此处需要注意不能直接约去tan 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，因为需要考虑tan 2=03x π⎛⎫+⎪⎝⎭的情况. 6. 已知f （x ）＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）A. (0，1)B. 11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 11,93⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1≥x 时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解不等式组即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =. 要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：B ．【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.7. 若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值（）．A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，且与b 无关C. 与a 无关，且与b 有关D. 与a 无关，且与b 无关【答案】B 【分析】由题意结合同角三角函数的平方关系可得2()sin sin 1f x x a x b =-+++，利用换元法可得()()221[0,1]24a ah t t b t ⎛⎫=--+++∈ ⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可得解.【详解】由题意22()cos sin sin sin 1f x x a x b x a x b =++=-+++，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin [0,1]t x =∈，则()()22211[0,1]24a a h t t at b t b t ⎛⎫=-+++=--+++∈ ⎪⎝⎭，则M 、m 分别为()h t 在[0,1]t ∈上的最大值与最小值，由二次函数的性质可得最大值M 与最小值m 的差M m -的值与a 有关，但与b 无关. 故选：B ．【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系的应用及三角函数最值相关问题的求解，考查了二次函数性质的应用，属于基础题.8. 已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（） A. 222,3939k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ B. 242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ C. 227,318318k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k Z ∈ D. 272,318318k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈ 【答案】A 【分析】由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解+析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间.【详解】图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫⎪⎝⎭，,018π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3A ∴=，0b =且124918T ππ=-，可得23T π=， 23Tπω∴==， 3sin(3)y x ϕ∴=+将2,39π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=，可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2πϕ<， 6πϕ∴=-，可得()3sin(3)6f x x π=-，令6232,22k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，可得222+9393k x k ππππ-≤≤，故选：A.【点睛】方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解+析式，根据最高点和对称中心的纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间. 9. 将函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若直线6x π=是()g x 的图象的一条对称轴，则（）A. ()f x 为奇函数B. ()g x 为偶函数C. ()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D. ()g x 在,159ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】C 【分析】根据函数图象变换求得()g x 的表达式，根据6x π=是()g x 图象的一条对称轴，求得ϕ的值，由此求得()f x 与()g x 的表达式，进而判断出()f x 与()g x 的奇偶性和单调性，由此判断出正确选项.【详解】由题意知()sin 34g x x πϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因为直线6x π=是()g x 的图象的一条对称轴，所以364ππϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()2k k ππ+∈Z ，故3,4k k πϕπ=-+∈Z ，因为0ϕπ<<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为非奇非偶函数，所以A 选项错误.因为,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则53,424x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以C 选项正确.因为()sin3g x x =-，所以()g x 为奇函数，所以B 选项错误.当,159x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,53x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在,159ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以D 选项错误..故选：C【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力. 10. 已知函数2()2x f x -=，2sin 2,0()()2,0a x x g x a R x a x +≥⎧=∈⎨+<⎩，若对任意[)11,x ∈+∞，总存在2R x ∈，使()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（） A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 13,,242⎛⎫⎡⎤-∞ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ C. 1,[1,2]2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 371,,224⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B 【分析】求出两个函数的值域，结合对任意[)11,x ∈+∞，总存在2x R ∈，使12()()f x g x =，等价为()f x 的值域是()g x 值域的子集，分别研究两个函数的值域即可.【详解】对任意[)1,x ∈+∞，则211()222x f x --=≥=，即函数()f x 的值域为1[,)2+∞，若对任意的[)11,x ∈+∞，总存在2x R ∈，使12()()f x g x =，设函数()g x 的值域为A ，则满足1[,)2A +∞⊆，即可，当0x <时，函数2()2g x x a =+为减函数，则此时()2g x a >，当0x ≥时，()sin 2[2||,2||]g x a x a a =+∈-+，（1）当122a <，即14a <时，满足条件1[,)2A +∞⊆成立；（2）当14a ≥时，此时122a ≥，要使1[,)2A +∞⊆成立，则此时当0x ≥时，()sin 2[2,2]g x a x a a =+∈-+，所以12222,a a a ⎧-≤⎪⎨⎪≤+⎩，解得：322a ≤≤，综上所述：14a <或322a ≤≤. 故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为()f x 的值域是()g x 值域的子集，若懂得借助函数图象进行分析，则更容易看出问题的本质.第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.13sin 250+=︒__________．【答案】4 【分析】先根据诱导公式化简度数，再根据二倍角公式和辅助角公式可化简得出【详解】13sin 250+=︒13cos 20+-()2sin 2060sin 203cos 204sin 4041sin 20cos 20sin 40sin 402--=-=-==.故答案为：4.12. 已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是__________．【答案】1或4 【分析】设出圆心角和半径，利用扇形弧长公式和面积公式建立关系可求. 【详解】设扇形的中心角的弧度数为α，半径为r ，则由题可得2212182r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得14r α=⎧⎨=⎩或42r α=⎧⎨=⎩. 故答案为：1或4.13. 已知函数2()21xx b f x -=+为定义在区间[]2,31a a --上的奇函数，则a =__________，b =_________．【答案】 (1). 1 (2). 1 【分析】（1）首先利用奇函数的定义域关于原点对称，求a ；（2）并根据奇函数的性质()00f =求b ，并验证满足奇函数的定义.【详解】奇函数的定义域关于原点对称，所以2310a a -+-=，解得：1a =，并且()10011b f -==+，解得：1b =，所以()1221xx f x -=+，经验证()()f x f x -=-，所以1a =；1b =. 故答案为：1；114. 若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范闱为 __________．【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭根据对数函数的定义可得2450x x -++>，解得15x -<<，因为二次函数245y x x =-++图象的对称轴为()4221x =-=⨯-，由复合函数单调性可得函数()()212log 45f x x x =-++的单调递增区间为()2,5，要使函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，只需32225322m m m m -≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解关于m 的不等式组得423m ≤<，即m 的取值范围是4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15. 若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是_________．①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-【答案】①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确．故答案为：①③④.【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.16. 设函数2,0()1,04x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩，则[(0)]f f =_______；若方程()f x b =有且仅有1个实数根，则实数b 的取值范围是_______．【答案】 (1). 14 (2). 0b ≤或112b <≤ 【分析】（1）根据分段函数的解+析式，代入x 的值，可求得函数值；（2）作出函数()y f x =的图象，根据数形结合思想可求得实数b 的取值范围.【详解】（1）0(0)1f e ==，11[(0)](1)1144f f f ==-++=；（2）方程()f x b =有且仅有1个实数根，即y b =与()y f x =图象有1个交点，当0x >时，22111422y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，max 12y =，画出函数()y f x =的图象，由图可知当y b =与()y f x =只有1个交点时，0b ≤或112b <≤故答案为：14；0b ≤或112b <≤. 【点睛】本题考查求分段函数的函数值，以及分段函数的图象，由分段函数的图象和方程的根的个数求参数的范围，属于中档题.三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数()1124x xf x a =--. （1）若1a =时，求满足()11f x =-的实数x 的值；（2）若存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12log 3x =；（2）34a >. 【分析】（1）由题意知，1111124x x --=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍）再代入原方程组即可.（2）将问题转化为存在[]0,1x ∈，使得1124x xa >+，只需求出函数11()24x x h x =+的最小值即可，再利用换元法求()h x 的最小值. 【详解】（1）当1a =时，()1111124x x f x =--=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），由132x=，得12log 3x =，所以12log 3x =.（2）由已知，存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈，使得1124xx a >+，只需求出函数11()24x xh x =+的最小值即可，令12x t =，∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则2y t t =+，易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以 2min 113()224y =+=，∴min 3()4h x =，∴34a >.【点睛】本题主要考解指数型方程以及函数能成立求参数的问题，考查学生转化与化归的思想，属于中档题.18. 函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示（1）求()f x 的解+析式；（2）求()f x 的单调增区间，并指出()f x 的最大值及取到最大值时的集合；（3）把()f x 的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．【答案】（1）23sin 510（）π⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x ；（2）3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈；（3）32π【分析】【详解】试题分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解+析式．（2）根据正弦函数的单调性和最大值，求得f （x ）的最大值及取到最大值时x 的集合．（3）由条件利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．试题详细分析：（1）由函数的图象可得33234444A T πππω==⨯=-，，解得25ω=．再根据五点法作图可得2254，πϕπ⨯+=∈k k Z ，由2πϕ<，则令0k =2310510，（）．ππϕ⎛⎫∴=-∴=- ⎪⎝⎭f x sin x （2）令222,25102k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，求得3552k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间为[3[5,5],.2k k k Z ππππ-+∈ 函数的最大值为3，此时，225102x k πππ-=+，即352x k k Z ππ=+∈，，即f x （）的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈. （3）设把()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由()2251052ππ+-=+x m x ，求得32π=m ，把函数()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移32π个单位，可得223sin 3cos 525π⎛⎫=+=⎪⎝⎭y x x 的图象．考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解+析式． 19. 已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R . （1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【答案】（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π. 【分析】（1）化简函数()f x 的解+析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t 的最大值. 【详解】解：（1）由题意得，21()cos212sin sin 2224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭ 即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()222424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222222x x x x ⎫⎫=+--+⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x =即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π. 【点睛】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题. 20. 已知函数2()lg,(1)0x f x f ax b ==+，当0x >时，恒有1()()lg f x f x x-=．（1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围．【答案】（1）2()lg1xf x x =+，定义域为：(,1)(0,)-∞-+∞；（2）(0,2)(2,)⋃+∞．【分析】（1）由(1)0f =得2a b +=，由1(2)()lg 22f f -=得a b =，联立解得1a b ==，从而可得()f x 的表达式，由真数大于0，解不等式可得定义域；（2）转化为求函数21xt x =+，x ∈(,1)(0,)-∞-+∞的值域可解得结果. 【详解】（1）由(1)0f =得2lg0a b =+，所以2a b +=①，因为当0x >时，恒有1()()lg f x f x x -=，所以2x =时，有1(2)()lg 22f f -=，所以41lg lg lg 2122a b a b -=++，所以14()2lg lg 22a b a b+=+，化简得a b =②，联立①②，解得1a b ==，所以2()lg 1xf x x =+，由201xx >+得2(1)0x x +>，解得0x >或1x <-，所以()f x 的定义域为(,1)(0,)-∞-+∞. （2）因为方程()lg f x t =有解，所以2lg lg 1xt x =+有解，所以21xt x =+在(,1)(0,)-∞-+∞内有解，因为21x t x =+2(1)22211x x x +-==-++，因为(,1)(0,)x ∈-∞-⋃+∞，所以1(,0)(1,)x +∈-∞⋃+∞，所以1(,0)(0,1)1x ∈-∞⋃+，所以2(2,0)(0,)1x -∈-⋃+∞+，所以22(0,2)(2,)1x -∈⋃+∞+，即(0,2)(2,)t ∈⋃+∞ 【点睛】本题考查了求函数的解+析式、定义域、值域，考查了对数的运算法则，考查了方程有解问题，考查了转化思想，属于基础题.。

2020年天津市河东区高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)

14.已知函数的图象关于轴对称,则在区 , 上的最大值为__.
三、解答题：本大题共5小题，满分44分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程，
15.（1）已知，，求；
（2）化简： .
16.已知
（1）求函数的对称轴方程；
（2）求函数在，上的单调递增区间.
17.已知满足
(1)求的取值范围；
.
(2)由（1）得，
.
令，则，其中 .
∵函数的图象开口向上，且对称轴为，
函数在上单调递增，
当时，取得最大值，为；当时，取得最小值，为 .
函数的值域为 .
18.已知函数，其相邻两条对称轴间的距离为 .
（1）求的值；
（2）若，且，求值.
【答案】（1）3；（2）
【解析】
而y=log0.5t为减函数，
若函数y=log0.5（9-x2）为减函数，则必有x∈（-3，0）；
故答案为（-3，0）．
【点睛】本题考查复合函数的单调性，关键是掌握复合函数的单调性的判断方法，属于基础题．
12.若，则 =_____
【答案】
【解析】
【分析】
由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．
【详解】由题可得，
【详解】由题意可得，所以且，即定义域为，
故选B
【点睛】本题主要考查函数的定义域，由已知解析式的函数求其定义域，只需求使解析式有意义的的范围，属于基础题型.
3.已知点是角终边上的一点，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．
19.已知某海滨浴场海浪的高度（米是时刻，单位：时）的函数，记作：，下表是某日各时刻的浪高数据：

天津市西青区2020-2021学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

西青区2020~2021学年度第一学期期末考试高一数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：答卷前务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上；答卷时，考生务必把答案涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一.选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则()UA B =（）A. {}2,3B. {}1,2,3,4C. {}1,4D. {}2,3,4【答案】C 【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合()UA B .【详解】已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，{}2,3A B ∴=，因此，(){}1,4UA B ⋂=.故选：C.2. 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（）A. x y e =B. sin y x =C. y =D. 3y x =【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A:xy e =它不奇函数也不是偶函数; 对B: sin y x =是奇函数，它在区间(2,2)()22k k k Z ππππ-+∈上递增，在定义域内不能说对C: y =对D:3y x =是奇函数，在定义域内是增函数．故选：D ．3. 设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 下列说法正确的是（） A. 若0a b >>，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b >> D. 若a b <，则11a b> 【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件结合不等式的性质可判断C 正确；举反例可判断ABD 错误. 【详解】对于A ，若0c，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，若1,2a b ==-，则22a b <，故B 错误；对于C ，若0a b <<，则22a ab b >>，故C 正确；对于D ，若1,1a b =-=，则11a b<，故D 错误.5. 设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =（） A. 在区间1(,1),(1,e)e 内均有零点.B. 在区间1(,1),(1,e)e内均无零点.C. 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点.D. 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点.【答案】C 【解析】【分析】令()0f x =，画出函数13y x =和ln y x =的图像，观察两图像的交点所在的区间，即可得答案【详解】解：令()0f x =，得1ln 3x x =，作出函数13y x =和ln y x =的图像，如图所示根据图像可知，()y f x =区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点，故选：C6. 已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（） A. ()f x 是偶函数，最大值为1 B. ()f x 是偶函数，最大值为2 C. ()f x 是奇函数，最大值为1 D. ()f x 是奇函数，最大值为2【答案】B【分析】利用诱导公式进行化简，得到()cos 1f x x =+，结合余弦函数的性质，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()sin 1cos 12f x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，则()cos()1cos 1()f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 是偶函数；又由cos y x =的最大值为1，()f x ∴的最大值为2；故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，以及三角函数的性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 7. 设1ln2a =，12eb =，2c e -=，则a 、b 、c 的大小关系为（） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】1lnln102a =<=，10221eb =>=，2001c e e -<=<=，因此，a c b <<. 故选：A8. 对于函数()sin(2)6f x x π=+,下列命题①函数图象关于直线12x π=-对称; ②函数图象关于点(,0)对称;③函数图象可看作是把sin 2y x =的图象向左平移个单位而得到;④函数图象可看作是把sin()6y x π=+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C考点：正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．专题：综合题．分析：①把x=-π12代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误； ②把x=5π12，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误； ③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移个 π6单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．解答：解：①把x=-π12代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，所以，①不正确； ②把x=5π12，代入函数f （x ）=sin （2x+π6）=0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y=sin2x 的图象向左平移π6个单位得到函数为f （x ）=sin （2x+3π），所以不正确；④函数图象可看作是把y=sin （x+π6）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数f （x ）=sin （2x+π6），正确；故选C ．点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型． 9. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x+2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（） A. f()sin αf >(cos β)B. f ()sin αf < (cos β)C. f (sin α)f > (sin β)D. f()cos αf <(cos β)【答案】A 【解析】【分析】根据题意，分析可得f （﹣x ）＝f （x +2），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sin α＞cos β，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sin α）＞f （cos β），即可得答案．【详解】根据题意，定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），则有f （﹣x ）＝f （x +2），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，又由函数f （x ）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β2＞π，则有α2＞π-β，则有sin α＞sin （2π-β）＝cos β，又由函数f （x ）在[0，1]上是增函数，则f （sin α）＞f （cos β）；故选A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．第Ⅱ卷温馨提示：请将答案写在答题纸上，写在卷面上无效.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知幂函数()y f x =的图象过点，则()f x =_____________．【答案】12x 【解析】【分析】设出幂函数解析式，根据点(求得幂函数的解析式.【详解】由于()f x 为幂函数，设()f x x α=，将(代入得122αα==，所以()12f x x=.故答案为12x【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，属于基础题.11. 132327log 3log 48⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭______.【答案】112【分析】根据指数、对数的运算性质计算即可得答案.【详解】原式=1323227311log 3log 4log +2=822⎛⎫⋅++= ⎪⎝⎭.故答案为：11212. 命题“x ∀∈R ，*n ∃∈N ，使得2n x ≥”的否定形式是__________．【答案】x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x < 【解析】因为“∀”的否定是“∃”，“∃”的否定是“∀”，“2n x ≥”的否定是“2n x <”，所以命题“x R ∀∈，*n N ∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是x R ∃∈，*n N ∀∈，使2n x <，故答案为x ∃∈R ，*n ∀∈N ，使2n x <．13. 函数tan y x =的定义域为______；若tan 2x =，则5cos sin sin 2cos x xx x-=+______.【答案】 (1). ,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭(2). 34 【解析】【分析】根据正切函数的性质可直接得出定义域，将5cos sin sin 2cos x xx x-+化为关于tan x 的式子即可求出.【详解】可知tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， tan 2x =，5cos sin 5tan 523sin 2cos tan 2224x x x x x x ---∴===+++.故答案为：,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭；34. 14. 用长度为28米的篱笆围成一边靠墙的矩形花园，墙长为16米，则矩形花园面积的最大值是______平方米.【解析】【分析】设与墙平行的篱笆长为x 米，表示出矩形花园面积，利用二次函数的性质可求出. 【详解】设与墙平行的篱笆长为x 米，由题可得016x <≤，则花园面积()2281149822x S x x -=⋅=--+，016x <≤，则当14x =时，S 取得最大值为98，故矩形花园面积的最大值是98平方米. 故答案为：98.15. 已知函数()()232115,14ln ,1x a x x f x a a x x ⎧+-+≤=⎨-+>⎩，若对任意的1x 、2x R ∈，12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】分析出函数()f x 为R 上的减函数，结合已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】设12x x <，则120x x -<，由()()12120f x f x x x -<-可得()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数.由于()()232115,14ln ,1x a x x f x a a x x ⎧+-+≤=⎨-+>⎩，由题意可知，函数()232115y x a x =+-+在(],1-∞上为减函数，则113a-≥，函数ln 4y a x a =-在()1,+∞上为减函数，则0a <，且有()321154a a +-+≥-，所以11301624a a a a-⎧≥⎪⎪<⎨⎪+≥-⎪⎩，解得823a -≤≤-.因此，实数a 的取值范围是8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.故答案为：8,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.三.解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=.（1）求tan α的值；（2）求cos2α的值；（3）若0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，()5sin 13αβ+=-，求sin β. 【答案】（1）34-；（2）725；（3）5665. 【解析】【分析】( 1 ) 根据同角的三角函数的关系即可求出； ( 2 ) 根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式即可求出； ( 3 ) 由 β=[(α+β)−α] ，根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出．【详解】(1)3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.4cos 5α∴==-.sin 3tan cos 4ααα∴==-. ( 2) 27cos 22cos 125αα=-=. （3）0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭322ππαβ∴<+<()5sin 13αβ+=-. 32ππαβ∴<+<()12cos 13αβ∴+==-. ()()()5412356sin sin sin cos cos sin 13513565βαβααβααβα⎛⎫=+-=+-+=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.17. 若()()211f x ax a x =-++，a R ∈.（Ⅰ）若()0f x <的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，求a 的值；（Ⅱ）求关于x 的不等式()0f x <的解集. 【答案】（Ⅰ）4a =；（Ⅱ）答案见解析. 【解析】【分析】（Ⅰ）14，1为方程()0f x =的两个根，用韦达定理构建方程解出来即可. （Ⅱ）(1)(1)0ax x -->，分0a <、0a =、01a <<、1a =和1a >五种情况讨论即可【详解】（Ⅰ）()2110ax a x -++<的解集为1,14⎛⎫⎪⎝⎭，14，1是()2110ax a x -++=的解.1114114a aa+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 解得：4a =（Ⅱ）当0a =时，不等式的解为1x >，解集为{}1x x > 当0a ≠时，分解因式()()110x ax --<()()110x ax --=的根为11x =，21x a=. 当0a <时，11a >，不等式的解为1x >或1x a <；解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或.当01a <<时，11a <，不等式的解为11x a <<；解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.当1a >时，11a <，不等式的解为11x a <<；等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 当1a =时，原不等式为()210x -<，不等式的解集为∅. 综上：当0a =时，不等式的解集为{}1x x >；当0a <时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a >时，不等式的解集为11xx a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，不等式的解集为∅. 18. 已知函数log ay x =过定点(),m n ，函数()2xf x n x m=++的定义域为[]1,1-. （Ⅰ）求定点(),m n 并证明函数()f x 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 在[]1,1-上的单调性；（Ⅲ）解不等式()()210f x f x -+<.【答案】（Ⅰ）定点为()1,0，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为()1,0，即可得()f x 的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；（Ⅱ）利用定义法即可证明()f x 的单调性；（Ⅲ）根据()f x 的单调性和奇偶性，化简整理，可得()()21f x f x -<-，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案. 【详解】（Ⅰ）函数log ay x =过定点(),m n ，∴定点为()1,0，()21xf x x ∴=+，定义域为[]1,1-， ()()21xf x f x x -∴-==-+. ∴函数()f x 为奇函数.（Ⅱ）()f x 在[]1,1-上单调递增. 证明：任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()()()22122112121212222222121212*********x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++. []12,1,1x x ∈-，12x x <，120x x ∴-<，1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴函数()f x 在区间[]1,1-上是增函数.（Ⅲ）()()210f x f x -+<，即()()21f x f x -<-，函数()f x 为奇函数()()21f x f x ∴-<-()f x 在[]1,1-上为单调递增函数，12111121x x x x -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩， 011113x x x ⎧⎪≤≤⎪∴-≤≤⎨⎪⎪<⎩，解得：103x ≤<.故不等式的解集为：1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案. 19. 已知函数()2231f x x x =-+.（Ⅰ）函数()h x 是奇函数，当0x >时，()()h x f x =，求()h x 在x ∈R 上的解析式；（Ⅱ）若()()1g x f x mx =-++，当[]1,2x ∈时，若()g x 的最大值为2，求m 的值.【答案】（Ⅰ）()222310002310x x x h x x x x x ⎧---<⎪==⎨⎪-+>⎩；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）首先设0x <，利用函数是奇函数，求函数的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()()223g x x m x =-++，讨论对称轴和定义域的关系，讨论函数的最大值，列式求m 的值.【详解】（Ⅰ）设0x <则0x -> 函数()h x 是奇函数，()()2231h x h x x x ∴=--=---()222310002310x x x h x x x x x ⎧---<⎪∴==⎨⎪-+>⎩（Ⅱ）()()1g x f x mx =-++，()()223g x x m x ∴=-++.()g x 二次函数开口向下，对称轴34mx +=，在[]1,2x ∈时，()g x 的最大值为2， ①当314m+≤，即1m 时，()()max 1232g x g m ==-++=，解得1m =； ②当3124m +<<，即15m <<时，()2max 369248m m m g x g +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得1m =（舍）或7m =-（舍）；③当324m+≥，即5m ≥时，()()max 28262g x g m ==-++=，解得2m =（舍）；综上所述，m 的值为1，即1m =.【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是：因为重点求0x <的解析式，所以设0x <，而不要设0x >；第二问的关键是讨论对称轴和定义域的关系，由函数在区间[]1,2的单调性，求函数的最大值.20. 已知函数()4cos cos 3f x x x a π⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（Ⅲ）若23π是函数()f x 的一个零点，求实数a 的值及函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（Ⅰ）T π=；（Ⅱ）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）[]1,4.【解析】【分析】利用三角恒等变换公式化简函数解析式，（1）利用周期公式2T πω=求解；（2）利用换元法或整体代换法求函数单调递增区间；（3）利用换元法求判断函数单调性，并求值域.【详解】解：（Ⅰ）()4cos cos 4cos cos cos sin sin 333f x x x a x x x a πππ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos cos 2122sin 216x x x a x x a x a π⎛⎫=++=++=+++ ⎪⎝⎭，22T ππ==；（Ⅱ）法一：令26z x π=+；0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. sin y z =，7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调增区间为,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 2662x πππ∴≤+≤，解得06x π∴≤≤.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.法二：222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦画数轴与所有区间取交集可知：06x π∴≤≤.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅲ）23π是函数()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭的一个零点 242sin 10336f a πππ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 32sin102a π∴++= 解得：1a =.()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin y z ∴=，当7,66z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.72266x πππ∴≤+≤，解得62x ππ∴≤≤ f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递减区间,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦()02sin236f π=+=，2sin 2462f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，72sin 2126f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,4.【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．。

天津市2020年高一上学期期末考试数学试题

第一学期期末考试高一年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第I 卷（选择题共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1.105sin 15cos 75cos 15sin +等于A. 0B. 1C.23 D. 212. 把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A. )421cos(πx y += B. )42cos(πx y +=C. )821cos(πx y +=D. )22cos(πx y +=3. 7.03=a ,37.0=b ,7.0log 3=c ,则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. c a b <<4．设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 在ABC ∆中，若tan tan tan A B A B ++=⋅，且sin cos B B ⋅=，则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等边三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形7．若02πα<<，02πβ<<-，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB． CD．- 8.已知函数22()4sin sin ()2sin 24x f x x x ωπωω=⋅+-()0ω>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是A ．(]0,1B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题共60分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．． 9. 求值：=-+-ππππ313cos 4tan 713cos )623sin( . 10．化简：7sin(2)cos()cos()cos()225cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα+--------++= . 11．函数21()21x x f x -=+的值域为 .12．已知奇函数()x f 的定义域为R ，且对任意实数x 满足()()2f x f x =-，当()1,0∈x 时，()21xf x =+，则121log 15f ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________. 13．已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是 .14.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-.则ϕ= ，0x = .15. 给出下列命题：（1）函数)32sin(4)(πx x f +=的图象关于点)0,6(π-对称；（2）函数)32sin(3)(πx x g --=在区间)125,12(ππ-内是增函数；（3）函数)2732sin()(πx x h -=是偶函数；（4）存在实数x ，使3cos sin πx x =+；（5）如果函数()3cos(2)f x x ϕ=+的图象关于点403π⎛⎫⎪⎝⎭，中心对称，那么ϕ的最小值为3π.其中正确的命题的序号是 .三．解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．． 16. （本小题满分10分）设函数()cos(2)22,(,)3f x x x m x R m R π=+++∈∈，（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间；（2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值．17．（本小题满分10分）已知]2,0[,cos sin sin )(2πx x x x x f ∈+= （1）求)(x f 的值域；（2）若65)(=αf ，求α2sin 的值。

2020年天津市南开区高一数学必修一上学期期末考试(含答案和解析)

（4）图的建议是：支出不变，提高票价；
上面说法中正确的是（）
A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（2）（3）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.
【详解】根据题意和图知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收入是但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；
【详解】取，，成立，但不成立，则“ ” “ ”.
当，则，由不等式的性质得，，
即“ ” “ ”.
因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.
5. 等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
A. 个B. 个C. 个D. 个
二．填空题（共5小题）
11.已知幂函数的图象过点，则 ____________．
12.设，使不等式成立的的取值范围为___________.
13.若函数的值域是，则实数的取值范围是______．
14.△ABC中，，，则 =_____．
15.已知，，且，则的最大值是_______．
由图看出，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.
故选：C.
【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.
9.已知三个函数，，的零点依次为、、，则（）

天津市第一中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

考生务必将答案涂写在答题纸的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一．选择题：（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设2:log 0p x <，1:21x q -<，则p 是q 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．已知20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是（）A．a c b<<B．a b c<<C．b a c<<D．b c a <<3．已知tan 2tan A B =，()1sin 4A B +=，则()sin A B -=（）A．13B．14C．112D．112-4．函数y x a =+与xy a =，其中0a >，且1a ≠，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是()A．B．C．D．5．已知函数()tan()(0||,0)2f x x πωϕϕω=+<<>的最小正周期为2π，且()f x 的图象过点(,0)3π，则方程()sin(2)([0,])3f x x x ππ=+∈所有解的和为（）A.76πB.56πC.2π D.3π天津一中２０２０－２０２１学年高一上学期期末考试　数学试题6．已知f (x )＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是()A．(0,1)B．[17，13)C．(0，13)D．(19，13)7．若函数2()cos sin f x x a x b =++在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，最小值为m ，则M m -的值．A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，且与b 无关（）C．与a 无关，且与b 有关D．与a 无关，且与b 无关8．已知函数sin()(0,0,2y A x b A πωϕωϕ=++>><的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,018π⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（）A.222,3939k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B.242,3939k k ππππ⎛⎫--⎪⎝⎭，k Z ∈C.227,318318k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ D.272,-318318k k ππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈9．将函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若直线6x π=是()g x 的图象的一条对称轴，则（）A.()f x 为奇函数B.()g x 为偶函数C.()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D.()g x 在,159ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增10．已知函数2()2x f x -=，2sin 2,0()()2,a x x g x a R x a x +≥⎧=∈⎨+<⎩，若对任意x 1∈[1，+∞），总存在x 2∈R，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（）A．1(,)2-∞B．13(,[,2]42-∞ C．1(,[1,2]2-∞ D．37(1,][,2]24第Ⅱ卷二．填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11.1sin 250cos 290+=︒︒______．12．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是13．已知函数f (x )＝221xx b -+为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝____，b ＝____.14．若函数212()log (45)f x x x =-++在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为15．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是①()g x 的最小正周期为π②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-16．设函数()2,01,04x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-++>⎪⎩则()0f f ⎡⎤=⎣⎦_______；若方程()f x b =有且仅有1个实数根，则实数b 的取值范围是_______．三．解答题：本大题共4小题共46分。

天津市2020年高一上学期期末考试数学试题

2020届天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知点落在角的终边上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定点P所在象限，求出值．【详解】由题意，∴P点在第四象限，又，∴．故选C．【点睛】本题考查已知角终边上一点坐标，求角问题．解题关键是掌握三角函数的定义．可以先确定点所在象限（即角的象限），然后由三角函数定义求出一个三角函数值，注意角的象限结合三角函数的定义可求角．2．已知，则的值是（）A．B．C．-2 D．2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得,故.应选A.【考点】同角三角函数的关系及运用.3．已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【详解】∵cos（），则sin（）＝sin[（）-]＝-cos（），故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，关键是建立所求角与已知角的关系，属于基础题．4．已知，点为角的终边上一点，且，则角（）A．B．C．D．【答案】D5．在中，三内角的对边分别为，若的面积为，且，则（）A．B．C．D．【答案】B6．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】∵y＝cos x＝sin(x＋)，∴将y＝sin(2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，再向左平移个单位即可得到y ＝sin(x＋)的图象．故选C.7．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.【考点】1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C9．定义在上的函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】B10．（2016新课标全国I理科）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为A．11 B．9C．7 D．5【答案】B二、填空题11．已知，且，则的值为_____．【答案】【解析】由θ的范围，得到cosθ＜sinθ，进而得到所求式子的值为负数，然后把所求式子平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将sinθcosθ的值代入，开方即可得到值．【详解】由θ，根据函数正弦及余弦函数图象得到cosθ＜sinθ，即cosθ﹣sinθ＜0，∵sinθcosθ，∴（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2，则cosθ﹣sinθ．故答案为.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时注意根据θ的范围判断所求式子的正负，开方得到满足题意的解．12．已知函数，若，则_____．【答案】-202013．在中，角的对边分别为，已知，，，若，则_____．【答案】14．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为_____．【答案】【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．【考点】本题考查了图象的变换及周期的运用点评：熟练掌握三角函数图象变换及性质是解决此类问题的关键，属基础题15．已知在上有两个不同的零点，则的取值范围是___．【答案】[1，2）【解析】试题分析：因为函数在区间上增，上减，根据题意结合零点存在性定理可知且，且，解得，故答案为[1，2）．【考点】函数的性质与零点存在性定理16．关于下列命题：①若是第一象限角，且，则；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在上是增函数，所有正确命题的序号是_____．【答案】②③【解析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．综上，命题②③正确．【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．三、解答题17．已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.18．在中，角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】(1)先利用正弦定理化简得，再根据和正弦定理求出a的值.(2)因为的面积为得，由余弦定理可得,所以．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，则，因为，所以由正弦定理可得．（2）因为的面积为，所以，得，因为，所以由余弦定理可得，所以，即，因为，所以．【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．设函数的图像过点.（1）求的解析式；（2）已知，，求的值；（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，单增区间为.【解析】(1)将P点坐标代入求A，即得结果，(2)先代入得，利用平方关系得，再根据诱导公式化简式子，最后代入求结果，(3)先根据对称性得解析式，在根据正弦函数性质求单调区间.【详解】（1）因为，所以；（2）,所以, =;（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，由得单减区间为，由得单增区间为。

天津市2020版高一上学期数学期末考试试卷(I)卷

天津市2020版高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，集合A=，B=，则A∪B=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·长春期末) 下列各对函数中，图象完全相同的是（）A . 与B . 与C . 与D . 与3. （2分） (2015高一下·松原开学考) 已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）A .B . 4πC . 2πD .4. （2分） (2018高二上·浙江月考) 已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为 , 则下列关系正确的是（）A .B .C .D .5. （2分）函数的定义域是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·郴州模拟) 已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）A .B .C .D . 27. （2分） (2019高二下·临海期中) 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）A .B .C .D .8. （2分）根据表格中的数据，可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为（）x﹣10123ex0.371 2.727.3920.09x+212345A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）9. （2分） (2018高一上·珠海期末) 对于空间两不同的直线，两不同的平面，有下列推理：⑴ ，（2），（3）⑷ ，（5）其中推理正确的序号为（）A . （1）（3）（4）B . （2）（3）（5）C . （4）（5）D . （2）（3）（4）（5）10. （2分）如图，在直角梯形ABCD中，，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设，则α+β的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分）点是直线上动点，PA,PB是圆C:的两条切线，A,B是切点，若四边形PABC的最小面积是2，则K的值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·白城月考) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·穆棱期末) 设函数对任意实数满足 ,且当时,,则 ________.14. （1分） (2015高一下·厦门期中) 过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程________15. （1分） (2017高二上·海淀期中) 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；② ；③三棱锥的体积是其中正确命题的序号是_________.（写出所有正确命题的序号）16. （1分） (2018高一上·重庆期中) 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，当时， =________．三、解答题 (共5题；共65分)17. （10分） (2018高一上·雨花期中) 设全集U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2a＜x＜a+3}（1）当a=1时，求（CUA）∩B；（2）若（CUA）∩B=B，求实数a的取值范围．18. （15分） (2018高一上·浙江期中) 已知函数（1）判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使，则称为函数的不动点，现已知该函数在上有两个不等的不动点，求a的取值范围；（3）若的值域为或，求实数a的值．19. （10分） (2020高二上·越秀期末) 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D为的中点．（1）求证：；（2）求二面角的正切值．20. （15分） (2020高一下·苏州期末) 如图，点是圆：上一动点，过点作圆的切线与圆：交于，两点，已知当直线过圆心时，（1）求的值；（2）当线段最短时，求直线的方程；（3）问：满足条件的点有几个？请说明理由．21. （15分） (2019高一上·如东月考) 已知函数，其中 .（1）写出的单调区间；（2）是否存在实数，使得函数的定义域和值域都是？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；（3）若存在实数，使得函数的定义域是，值域是，求实数m 的范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。

精品解析：天津市部分区2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

【详细详细解析】由任意角三角函数定义得: .
故选:D.
【点睛】本题主要考查了任意角三角函数的定义,属于基础题.
5.已知 , , ,则三者的大小关系是()
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
, , ;所以 ,故选A.
6.为了得到函数的图象,只需将函数的图象上所有的点（）
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
18.已知函数 .
(1)判断的单调性,并用函数单调性的定义证明;
(2)判断的奇偶性,并说明理由.
【正确答案】(1)见详细解析;(2)见详细解析.
【详细解析】
详细分析】
(1)直接利用单调性的定义 ,且 , 与0比较大小及即可;
(2)通过证明可得函数为偶函数.
【详细详细解析】(1) 在上单调递增.
7.已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增,若 ,则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详细解析】
【详细分析】
利用奇偶性可得 ,结合单调性可得 ,从而得解.
【详细详细解析】由函数是定义在R上的偶函数,可得: .
且在区间上单调递增,
所以 ,解得: .
故选:A.
,且 ,则
由 ,得 ,
所以 ,
又由 ,得 ,
所以,
于是 ,即
所以在上单调递增.
(2)函数的定义域为 ,
因为都有且
所以为奇函数.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性及判断函数的奇偶性,属于基础题.
19.已知函数 .
(1)求最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值;
(3)若关于x的不等式在R上恒成立,求实数m的取值范围.

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