利用导数研究函数的性质

对于可导函数 f(x)， x＝ x0是 f( x)的极值点，必须具备① f′ (x0)＝ 0，②在 x0 两侧， f′ (x) 的符号为异号．所以 f′ (x0)＝0 只是 f(x)在 x0 处有极值的必要条件，但并不充分． 4．如果连续函数 f(x) 在区间 (a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决 实际问题中经常用到这一结论．
利用导数研究函数的性质
知识梳理
1． f′( x)>0 在( a， b)上成立是 f (x)在 (a， b)上单调递增的充分不必要条件． 2． f(x)在 (a， b)上是增函数的充要条件是 f′( x)≥ 0，且 f′ (x) ＝0 在有限个点处取到． 3．对于可导函数 f(x) ，f′( x0)＝ 0 并不是 f( x)在 x＝x0 处有极值的充分条件
变式 2： 已知 f (x)＝ x3－ ax2－ 3x. (1)若 f (x)在 [2，＋∞ )上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝ 3 是 f(x)的极值点，求 f(x) 在[1 ，a ]上的最小值和最大值．
例 2： 设函数 f (x)＝ x(ex－ 1)－12x2，求函数 f(x)的单调增区间．
变式 2： 若函数 f (x)＝ 3x＋ln x 在区间 (m， m＋ 2)上单调递减，则实数 m 的范围是 ________．
变式 3 ：若函数 f(x)＝1x3－1ax2＋ (a－ 1) ·x＋ 1 在区间 (1,4)上是减函数，在区间 (6，＋∞ )上是 32
增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．
变式 4.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数， f (3) 0，且 x 0时， xf '( x) f ( x) ，则不等 式 f (x) 0的解集是 变式 5.函数 f (x 1) 是定义在 R 上的偶函数， f ( 2) 1 ，且 f ' (x) f (x) ，则不等式 f ( x) ex 的解集是
变式 4 ： 已知函数
f(x) ＝ln
x－
1 2
ax2－
2
x(
a≠
0)
存在单调递减区间，则实数
a 的取值范围是
________ ．
变式 5：已知函数 f (x)＝－ x3＋ ax2－ x－ 1 在 (－∞， ＋∞ )上是单调函数， 则实数 a 的取值范围
是____________ ． 变式 6：（ 1） 已知函数 f(x)＝－ 12x2＋ 4x－3ln x 在[ t， t＋ 1]上不是单调函数，则 t 的取值范围 是 ________ ． （ 2） 已知函数 f( x)＝ x3＋ (1－ a)x2－ a(a＋ 2)x＋b(a， b∈ R)．若函数 f(x)在区间 (－ 1,1)上不单 调，则实数 a 的取值范围是 ________． 变式 7 ： 已知函数 f(x)＝ x3＋ bx2＋ cx＋ d 在区间 [－ 1,2] 上是减函数，则 b＋ c 的最大值为
变式 2：已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时 , f (x) xf' (x) 0, 且 f ( 4) 0 ，则不 等式
xf ( x) 0 的解集为 _______________. 变式 3：设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数 ,当 x＜ 0 时 , f (x) g( x) f ( x) g ( x) ＞ 0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)＜ 0 的解集是
题型一 利用导数求函数的单调区间 例 1. 已知函数 f( x)＝ 4x3＋3tx2－ 6t2x＋ t－ 1， x∈R ，其中 t∈ R .
(1)当 t ＝1 时，求曲线 y＝ f(x)在点 (0， f(0)) 处的切线方程； (2)当 t ≠0 时，求 f (x)的单调区间．
变式 1： 已知函数 f(x) ＝x3－ax2－3x. (1)若 f (x)在 [1，＋∞ )上是增函数，求实数 a 的取值范围； (2)若 x＝ 3 是 f(x)的极值点，求 f(x) 的单调区间．
5.设 a 0,讨论函数 f ( x) ln x a(1 a) x2 2(1 a) x 的单调性．
题型二 已知单调区间求参数范围 例 1. 已知函数 f ( x) ＝ ln x－ x，则函数 f ( x) 的单调减区间是 __________. 变式 1： 已知函数 f(x)＝ lnx－ax，求函数 f(x)的单调区间 .
题型一 : 区分函数图像与导函数图像 例 1． 设 f′( x)是函数 f (x)的导函数， y＝ f′ (x)的图象如右图所示，则 是________． (填图象序号 )
f( x)的图象最有可能的
变式 1． 如图是 y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断： ① f(x)在 [-2 ， -1] 上是增函数； ② x=-1 是 f(x)的极小值点； ③ f(x)在 [-1,2] 上是增函数，在 [2,4] 上是减函数；
的图象如图所示，且 f(-2)=1 ， f(3)=1 ，则不等式 f( x 2 -6)>1 的解集
为 ____________.
例 2.已知定义在 R 上 f (x) ， f (1) 2 ，且 f ( x) 1，则 f ( x2 ) x 2 1 的解集是 ______
变式 1： 函数 f(x)的定义域为 R ， f(－ 1)＝ 2，对任意 x∈ R， f′ (x)>2，则 f( x)>2x＋ 4 的解集 为 _______________________________ ．
④ x=3 是 f(x) 的极小值点．
其中正确的判断是
.(填序号 )
变式 2.已知函数 y＝ f(x)在定义域 － 3，3 上可导，其图象如图， 记 y＝ f(x)的导函数 y＝ f ′(x)， 2
则不等式 xf′ (x)≤ 0 的解集是 ________．
变式 3.已知函数 f(x) 的定义域为 R， f ′ (x) 为 f(x) 的导函数，函数 y=f ′ (x)
变式：2Biblioteka 1.已知函数 f (x) x
a 2 ln x a 0 ，讨论 f ( x) 的单调性
x
2.已知函数 f (x) a 1 ln x ax2 1，讨论 f ( x) 的单调性
1a
3.已知函数 f (x) ln x ax
1，讨论 f ( x) 的单调性
x
4. f ( x) a 1 x2 2ax 2ln x ，讨论 f ( x) 的单调性