二次函数与动态几何问题教师

二次函数与动态几何问题
1.如图，在矩形ABCD中，4
=
AB，6
=
BC，当直角三角板MPN的直角顶点P
在
BC边上移动时，直角边MP始终过点A，设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q，x
BP=，y
CQ=，那么y与x之间的函数图象大致是（ D ）
2. 如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图
象大致是（ A ）
3.（2010 四川成都）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2
y ax bx c
=++与x轴交于A B
、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为(30)
-，，若将经过A C
、两点的直线y kx b
=+沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2
x=-．
（1）求直线AC及抛物线的函数表达式；
（2）如果P是线段AC上一点，设ABP
∆、BPC
∆的面积分别为
ABP
S
∆
、
BPC
S
∆
，且:2:3
A B P B P C
S S
∆∆
=，求点P的坐标；
（3）设⊙Q的半径为l，圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在⊙Q与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．并探究：若设⊙Q的半径为r，圆心Q在抛物线上运动，则当r取何值时，⊙Q与两坐轴同时相切？
答案：（1）解：抛物线的函数表达式为243
y x x
=++。

（2）如图，过点B作BD⊥AC于点D。

∵:2:3
ABP BPC
S S
∆∆
=，∴
11
():()2:3
22
AP BD PC BD
⋅⋅⋅⋅=
A B
∴:2:3AP PC =。

过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，
∵PE ∥CO ，∴△APE ∽△ACO ，∴
2
5
PE AP CO AC ==， ∴2655PE OC =
=∴635
x =+，解得95-∴点P 的坐标为96
()55-，
（3）（Ⅰ）假设⊙Q 在运动过程中，存在圆Q 与坐标轴相切的情况。

设点Q 为00()x y ， (1)当⊙Q 与y 轴相切时，有01x =，即01x =±。

当01x =-时，得2
0(1)4(1)30y =-+⨯-+=，∴1(1 0)Q -， 当01x =时，得2
014138y =+⨯+=，∴2(1 8)Q ，
(2)当⊙Q 与x 轴相切时，有01y =，即01y =±
当01y =-时，得200143x x -=++，即2
00440x x ++=，解得02x =-，∴3(2 1)Q --，
当01y =时，得200143x x =++，即2
00420x x ++=，解得02x =-，∴4(2 1)
Q -，
5(2 1)Q -。

综上所述，存在符合条件的⊙Q ，其圆心Q 的坐标分别为1(1 0)Q -，
，2(1 8)Q ，，3(2 1)Q --，，
4(2 1)Q -，5(2 1)Q -。

（Ⅱ）设点Q 的坐标为00()x y ，。

当⊙Q 与两坐标轴同时相切时，有00y x =±。

由00y x =，得
200043x x x ++=，即200330x x ++=，∵△=234130-⨯⨯=-<∴此方程无解。

由00y x =-，得
200043x x x ++=-，即200530x x ++=，解得052
x -±=
∴当⊙Q 的半径
052
r x ±==
=时，⊙Q 与两坐标轴同时相切。

∴存在这样的直线EF ，此时，x =
26
6+。

4.（2010湖北荆门）已知一次函数y ＝
12
1
+x 的图象与x 轴交于点A ．与y 轴交于点B ；二次函数c bx x y ++=
221图象与一次函数y ＝12
1
+x 的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点且D 点的坐标为)0,1(
（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEF 的面积S ；
（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点
P ，若不存在，请说明理由。

答案：解：（1）∵ 由题意知:当x=0时,y=1, ∴B （0，1）,当y=0时,x =－2, ∴A （－2，0）
∴⎪⎩⎪
⎨⎧=++=02
11c b c 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==23
1
b c ,所以123212+-=x x y
（2）当y=0时, 012
3
212=+-x x ,解得x 1=1,x 2=2,
∴D(1,0) E(2,0) ∴AO =3,AE =4. S =S △CAE －S △ABD ，S =
OB AD AE ⨯-⨯2
1
321，S=4.5, (3)存在点P (a,0),当P 为直角顶点时,如图,过C 作CF ⊥x 轴于F , ∵Rt △BOP ∽Rt △PFC , 由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴
CF OP PF BO =．即3
41a
a =-,整理得:a 2－4a －3=0,解得a =1或a =3,所以所求P 点坐标为(1,0)或(3,0).综上所述,满足条件的点P 有两个.
5.（2010 福建泉州南安）如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=，AB AC =
，BC =形DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB 、AC 上，且G 、F 分别是AB 、AC 的中点．
（1）直接写出△AGF 与△ABC 的面积的比值；
（2）操作：固定ABC △，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D
与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图2）．
①探究1：在运动过程中，四边形F F CE '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由．
②探究2：设在运动过程中ABC △与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．
答案：解：
（1）△AGF 与△ABC 的面积比是1：４．
（2）①能为菱形．由于FC ∥F E '，CE ∥F F '，∴四边形
F F CE '是平行四边形． 当22
1
==
=AC CF CE 时，四边形F F CE '为菱形,此时可求得2x =．∴当2x =秒时，四边形F F CE '为
②分两种情况：
①当0x <≤时，
如图3过点G 作GM BC ⊥于M ．
AB AC =，90BAC ∠=，BC =G 为AB 中点，
GM ∴=．又G F ，分别为AB AC ，的中点，1
2
GF BC ∴=
= FG x '=-，DC x =，GM = ∴重叠部分的面积为：
A
F
G
(D )B C (E ) 图1 F
G
A
F '
G '
B C E 图2 A
F
G
(D )B
C (E )
图3
M
))
62
x x y +=
=．
∴
当0x <≤y 与x
的函数关系式为6y =-．
②当x ≤
设FC 与DG '交于点P ，则45PDC PCD ∠=∠=．
90CPD ∴∠=，PC PD =，
作PQ DC ⊥于Q
，则．1
)2
PQ DQ QC x ===
∴重叠部分的面积为：
221111
)))82244
y x x x x =⨯==-+．
综上:
当0x <≤y 与x
的函数关系式为6y =-；
当x ≤,8224
12
+-=x x y .
6.（2010福建福州）如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线y
＝2x 上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA ＝5．若抛物线y ＝1
6
x 2＋bx ＋c 过O 、A 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A 点关于直线y ＝2x 的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆．过原点O 作⊙O 1的切线OP ，P 为切点(点P 与点C 不重合)．抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案：解：（1）该抛物线的解析式为y ＝16x 2－5
6
x ．
（2）点C 在该抛物线上．
理由：过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，连结OC ，设AC 交OB 于点E ．
F G
A F '
B C E 图
G '
Q D P
图1) (图2)
∵ 点B 在直线y ＝2x 上， ∴ B (5，10) ∵ 点A 、C 关于直线y ＝2x 对称，
∴ OB ⊥AC ，CE ＝AE ，BC ⊥OC ，OC ＝OA ＝5，BC ＝BA ＝10． 又∵ A B ⊥x 轴，由勾股定理得OB ＝55．
∵ S Rt △OAB ＝12AE ·OB ＝1
2
OA ·AB ，
∴ AE ＝25， ∴ AC ＝45． ∵ ∠OBA 十∠CAB ＝90°，∠CAD ＋∠CAB ＝90°， ∴ ∠CAD
＝∠OBA ． 又∵ ∠CDA ＝∠OAB ＝90°， ∴ △CDA ∽△OAB ． ∴
CD OA ＝AD AB ＝AC OB ∴ CD ＝4，AD ＝8 ∴ C （－3，4） 当x ＝－3时，y ＝16×9－5
6
×(－3)＝4．∴ 点C 在抛物线y ＝16x 2－5
6
x 上．
（3）抛物线上存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切．
过点P 作P F ⊥x 轴于点F ，连结O 1P ，过点O 1作O 1H ⊥x 轴于点H ． ∴ CD ∥O 1H ∥BA ． ∵ C (－3，4)，B (5，10)，
∴ O 1是BC 的中点． ∴ 由平行线分线段成比例定理得AH ＝DH ＝1
2AD ＝4，
∴ OH ＝OA －AH ＝1．同理可得O 1H ＝7． ∴ 点O 1的坐标为(1，7)． ∵ BC ⊥OC ， ∴ OC 为⊙O 1的切线．
又∵OP 为⊙O 1的切线， ∴ OC ＝OP ＝O 1C ＝O 1P ＝5．
∴ 四边形OPO 1C 为正方形． ∴ ∠COP ＝900． ∴ ∠POF ＝∠OCD ． 又∵∠PFD ＝∠ODC ＝90°， ∴ △POF ≌△OCD ．
∴ OF ＝CD ，PF ＝OD ． ∴ P (4，3)． 设直线O 1P 的解析式为y ＝kx+B (k ≠0)． 把O 1(1，7)、P (4，3)分别代人y ＝kx+B ，
得743k b k b +=⎧⎨+=⎩，． 解得43253k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，．
∴ 直线O 1P 的解析式为y ＝－43x ＋25
3
．
若以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切，则点Q 为直线O 1P 与抛物线的交点，可设点Q 的坐标为(m ，n )，则有n ＝－43m ＋253，n ＝16m 2－5
6
M
∴ －43m ＋253＝16m 2－5
6
M ．整理得m 2＋3m －50＝0，
解得m ＝－3±2092∴ 点Q 的横坐标为－3＋2092或－3－2092．
7.（2010广西桂林）如图，过A （8，0）
、B （0，x y 3=
交于点C ．平行于y 轴
的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段
BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．
（1）直接写出C 点坐标和t 的取值范围； （2）求S 与t 的函数关系式；
（3）设直线l 与x 轴交于点P ，是否存在这样的点P ，使得以P 、
O 、F 为顶点的三角形为等腰三角形，
若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
0（2）∵D 点的坐标是（t ，+，E 的坐标是（t ）
∴DE =+= ∴等边△DEF 的DE 边上的高为：123t - ∴当点F 在BO 边上时：123t -=t ，∴t =3
当0≤t <3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：-
3
S=)2t + =
)2t =2+ 当3≤t ≤4时，重叠部分为等边三角形 S=1
)(123)2
t - =2
-+ （3）存在，P （
24
7
，0） 说明：∵FO ≥FP ≥OP ≤4 ∴以P ，O ，F 以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO ，FP ,
若FO =FP 时，t =2（12-3t ），t =
247，∴P （247
，0） 8.（2010 福建晋江）（13分）已知：如图，把矩形OCBA 放置于直角坐标系中，3=OC ，2=BC ，取AB
的中点M ，连结MC ，把MBC ∆沿x 轴的负方向平移OC 的长度后得到DAO ∆. (1)试直接写出点D 的坐标；
(2)已知点B 与点D 在经过原点的抛物线上，点P 在第一象限内的该抛物线上移动，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，连结OP .
①若以O 、P 、Q 为顶点的三角形与DAO ∆相似，试求出点P 的坐标；
备用图1
②试问在抛物线的对称轴上是否在一点T ，使得TB TO -的值最大.
答案：解：(1)依题意得：⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,23D ；
(2) ① ∵3=OC ，2=BC ，∴()2,3B . ∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为bx ax y +=2
()0≠a
又抛物线经过点()2,3B 与点⎪⎭
⎫
⎝⎛-
2,23D ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+223
49,239b a b a 解得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==32,94b a
∴抛物线的解析式为x x y 3
2
942-=. ∵点P 在抛物线上， ∴设点⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-x x x P 3294,
2. 1)若PQO ∆∽DAO ∆，则AO QO DA PQ =， 22
332
942x x
x =-，解得：01=x (舍去)或16512
=x ，
∴点⎪⎭
⎫
⎝⎛64153,1651P 2)若OQP ∆∽DAO ∆，则AO PQ DA OQ =， 232
942
32x x x -=，解得：01=x (舍去)或292=x ， ∴点⎪⎭
⎫
⎝⎛6,29P .
y
y x = y
②存在点T ，使得TO TB -的值最大.
抛物线x x y 32942-=
的对称轴为直线43=x ，设抛物线与x 轴的另一个交点为E ，则点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,23E .∵点
O 、点E 关于直线4
3
=
x 对称， ∴TE TO =
. 设过
B 、b kx
y +=(k
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+233b k b k ∴直线BE 当43=
x 时，∴存在一点T
课后练习
1．如图，点G 、D 、C 在直线a 上，点E 、F 、A 、B 在直线b 上，若a ∥b ， Rt △GEF 从如图所示的位置出发，沿直线b 向右匀速运动，直至EG 与BC 重合．运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ） 变化的图象大致是（ A ）
2．如图，抛物线1C :x x y 42
-=的对称轴为直线a x =,将 抛物线1C 向上平移5个单位长度得到抛物线2C ,则抛 物线2C 的顶点坐标为 （2，1） ；图中的两条抛
物线、直线a x =与y 轴所围成的图形(图中阴影部分)的面积为 10 . 3.（1）将抛物线y 1＝2x 2
向右平移2个单位，得到抛物
G D
C E
F A
B
b
a
线y 2的图象，则y 2=2(x －2)2
或（2288x x -+）
（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．
若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形， 求满足条件的t 的值，则t ＝（3、1
4.如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且23AD AB ==，，抛物线c bx x y ++-=2
经过坐标原点O 和x 轴上另一点(40)E ，． （1）当x 为何值时，该抛物线的最大值是多少？
（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（03t ≤≤），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）． ①当4
11
=
t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由； ②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．
解：（1）得当2x =时，
该抛物线的最大值是4．
（2）①点P 不在直线ME 上.
已知M 点的坐标为（2，4），E 点的坐标为（4，0）， 设直线ME 的关系式为
y kx b =+．
于是得⎩⎨
⎧=+=+4204b k b k ，解得⎩⎨
⎧=-=82
b k
∴直线ME 的关系式为28y x =-+ ∵当411=t 时，OA=AP=4
11， 即111144P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 点P 的坐标不满足直线ME 的关系式28y x =-+． ∴ 当4
11=t 时，点P 不在直线ME 上．
②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5
∵点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上，且OA=AP=t . ∴点P ，N 的坐标分别为☆()t t ，2(4)t t t -+， ∴24(03)AN
t t t =-+≤≤，
∴22
(4)3(3)0AN AP t t t t t t t -=-+-=-+=-≥，
∴☆23PN
t t =-+
∵PN CD AD CD ∥，⊥，
图1
∴2211
()[3(3)]23322
S CD PN AD t t t t =+=+-+⨯=-++ 当2
335t
t -++=时，解得12t =、；而1、2都在03t ≤≤范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面
积为5；当1t =时，此时N 点的坐标（1，3）当2t =时，此时N 点的坐标（2，4）
5.已知：抛物线2
y ax bx c =++（a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，-6），对称轴为2x =． （1）求该抛物线的解析式；
（2）点D 在线段AB 上且AD =AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是
否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的结论下，直线1x =上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在请说明理由．
解：（1）该抛物线的解析式为211
6164
y x x =--
（2）存在，设直线CD 垂直平分PQ ， 在Rt △AOC 中，AC =2268+=10=AD
∴点D 在对称轴上，
连结DQ 则∠PDC =∠QDC ，由已知∠PDC =∠ACD ☆ ∴∠QDC =∠ACD
☆∴DQ ∥AC ∵201010DB AB AD =-=-= ∴DQ 为△ABC 的中位线 ∴DQ =2
1
5AC =
∴1055AP AD PD AD DQ =
-=-=-=
∴515t =÷= （秒）
∴存在5t =（秒）时，线段PQ 被直线CD 垂直平分 在Rt BOC △中， BC =
22126+=65 ∴CQ =35
∴点Q 的运动速度为每秒55
3
单位长度.
（3）存在．过点Q 作QH x ⊥轴于H ，则39QH
PH ==，
在Rt PQH △中，PQ =
2239+=310
①☆当MP=MQ ，即M 为顶点，设直线CD 的直线方程为：y kx b =+则：⎩
⎨
⎧+==-b k b 206 解得：⎩⎨⎧=-=36k b ∴36y x =-
当1x =时，3y =- ∴M 1（1，3-）
②当PM=PQ 时，且P 为顶点.
设直线1x =上存在点M （1，y ） ，由勾股定理得： 22490y += 即y =±74 ∴2M （1，74） 3M （1，－74）
③当QP=QM 时，且Q 为顶点.
过点Q 作QE y ⊥轴于E ，交直线1x =于F ，则F （1，3-）
设直线1x =存在点M （1，y ）， 由勾股定理得：22(3)590y ++=即3y =-±
65 ∴M 4（1，3-＋65） M 5（（1，3-－65）
综上所述：存在这样的五点：M 1（1，3-），M 2（1，74），
M 3（1，－74）， M 4（1，3-＋65），M 5（1，3-－65）
6.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点C ，顶点为D ．E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标；
（2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时，
△EFK 的面积最大？并求出最大面积．
解：（1）抛物线的解析式为42
12+--=x x y ， 顶点D 的坐标为（－1，2
9）． （2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ．因为EF 垂直平分BC ，
☆即C 关于直线EG 的对称点为B ，连结BD 交于EF 于一点，则这一点为所求点H ，使DH + CH 最小，即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =132322=
+DM BM ． 而 2
5)429
(122=-+=CD ． ∴ △CDH 的周长最小值为CD + DR + CH =
21335+． 设直线BD 的解析式为y = k 1x + b ，
则 ⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+,29,021111b k b k 解得 231-=k ，b 1 = 3． 所以直线BD 的解析式为y =2
3-x + 3． 由于BC = 25，CE = 2
BC =5，Rt △CEG ∽△COB ， 得 CE : CO = CG : CB ，所以 CG = 2.5，GO = 1.5．G （0，1.5）． 同理可求得直线EF 的解析式为y =21x +2
3． 联立直线BD 与EF 的方程，解得使△CDH 的周长最小的点H （
43，815）． （3）设☆K （t ，42
12+--t t ），x F ＜t ＜x E ．过K 作x 轴的垂线交EF 于N ． 则 KN = y K －y N =4212+--t t －（21t +2
3）=2523212+--t t ． ∴☆S △EFK = S △KFN + S △KNE =21KN （t + 3）+2
1KN （1－t ） = 2KN
= －t 2－3t + 5
=－（t +23）2 +4
29． 即当t =－2
3时，△EFK 的面积最大，最大面积为429，此时K （－2
3，835）．
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