第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)

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高中数学双曲线常用二级结论

高中数学双曲线常用二级结论什么是双曲线？双曲线是一种函数图形，它是代数曲线中的一种，由经验公式y=a/x所定义，其中x和y均为实数，a为正常数，x不等于0。

双曲线有两条渐近线，它们与横轴的夹角为+/-45度，与纵轴的夹角为0度。

双曲线的形状呈现两条分离的曲线，这些曲线在图形中心相交，从而分离成两个分支。

双曲线的基本图形如下所示。

在数学中，双曲线具有广泛的应用。

它们可以用于估计斜率和角度，催化反应，评估化学反应和蒸汽轮机热力学等方面。

因此，高中数学教育中，双曲线是一个重要的主题。

下面将介绍一些关于双曲线常用二级结论的知识点。

1. 集中组成单胞双曲线常用二级结论的第一个知识点是：单胞可以由两个集中组成。

在双曲线上，我们可以定义一个“单胞”，它是双曲线上的一个面积单位。

一般地，单胞可以由两个集中组成。

单胞可被定义为椭圆和双曲线的交集所构成的图形。

如果我们仔细研究双曲线的图形，我们会发现它由两个分支组成。

这两个分支之间的夹角是一个重要的几何量，可以用来计算单胞的面积。

2. 平行轴切线相等双曲线的第二个常用二级结论是：双曲线上任意两个平行于其中一条渐近线的切线长度相等。

这个结论非常有用，因为它可以用来解决许多和双曲线有关的问题。

例如，如果我们知道了两条平行于渐近线的切线，那么我们就可以计算出这些切线的长度。

这个结论是由于双曲线的形状导致的。

3. 线段的长度与双曲线的距离比例这一结论的具体形式如下：如果我们从一个点x到双曲线上的两条分支的距离为h(x)，线段的长度为l(x)，那么h(x)/l(x)是一个常数，即与x无关。

这个关系可以被用来证明角度的迹线。

例如，如果我们想要找到从双曲线上一个点观察到的最小角度，我们可以在该点处画一条切线，然后将切线向上和向下平移，直到它们与双曲线的两个分支相交。

然后，我们可以应用上述比例关系来计算角度的迹线，从而找到角度的最小值。

4. 焦点、顶点和焦率的关系双曲线上很重要的一个概念是焦点、顶点和焦率。

双曲线的二级结论常用考点

双曲线的二级结论常用考点
双曲线是数学中的一个重要概念，它在数学的多个领域中都有广泛的应用，因此其二级结论常常成为考试的重点。

以下是一些常见的双曲线二级结论的考点：
1. 双曲线的标准方程，双曲线的标准方程是一个重要的基础知识点，它可以帮助我们理解双曲线的性质和特点。

2. 双曲线的焦点和准线，了解双曲线焦点和准线的性质对于解题非常重要，包括焦点与准线的距离、焦点的坐标等。

3. 双曲线的渐近线，渐近线是双曲线的重要性质之一，它与双曲线的图像和性质密切相关。

4. 双曲线的对称性，双曲线的对称性包括关于x轴、y轴和原点的对称性，理解这些对称性对于解题和理解双曲线的性质都非常重要。

5. 双曲线的参数方程，了解双曲线的参数方程可以帮助我们更好地理解双曲线的图像和性质，也是考试中的常见考点。

6. 双曲线的性质，双曲线的离心率、焦距、直径等性质也是常见的考点，理解这些性质对于解题和分析双曲线都非常重要。

总之，双曲线的二级结论常用考点涵盖了双曲线的基本性质、方程、参数方程以及与其他几何图形的关系等内容。

对这些知识点的深入理解和掌握将有助于在考试中取得较好的成绩。

双曲线必备二级结论

双曲线必备二级结论摘要：1.双曲线二级结论概述2.双曲线二级结论详解3.结论应用实例4.总结与建议正文：**双曲线二级结论概述**在数学领域，双曲线是一个重要的几何图形。

双曲线的研究不仅包括基本性质和定义，还包括许多有用的二级结论。

这些结论可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并解决与双曲线相关的问题。

在这篇文章中，我们将探讨一些双曲线必备的二级结论。

**双曲线二级结论详解**1.双曲线标准方程：双曲线的一般形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别表示双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。

2.焦点和焦点距离：双曲线的焦点到中心的距离为c，满足关系式c^2 = a^2 + b^2。

3.顶点：双曲线的顶点是双曲线与坐标轴的交点，分别为(-a, 0)和(a, 0)。

4.渐近线：双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x，表示双曲线在无穷远处趋近于直线。

5.焦距：双曲线的焦距为2c，其中c为焦点到中心的距离。

6.离心率：双曲线的离心率e定义为焦点到顶点的距离与焦点到双曲线中心距离的比值，即e = c/a。

**结论应用实例**以下是一些双曲线二级结论的应用实例：1.如果知道双曲线的焦点和一点到焦点的距离，可以确定该点在双曲线上的位置。

2.如果知道双曲线的中心、顶点和一点到顶点的距离，可以确定该点在双曲线上的位置。

3.通过双曲线的渐近线，可以预测双曲线在无穷远处的行为。

4.使用双曲线的离心率，可以计算双曲线的焦距，从而解决焦点相关问题。

**总结与建议**掌握双曲线的二级结论对于解决实际问题非常有帮助。

通过学习这些结论，我们可以更深入地理解双曲线的性质，并提高解决与双曲线相关问题的能力。

建议在学习双曲线时，重点关注这些结论的应用，加深对双曲线的理解。

双曲线中的一些常见结论

双曲线中的一些常见结论一、椭圆的常用结论：1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+；【推论】：1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+。

双曲线十大经典结论

双曲线十大经典结论双曲线是高中数学中的一种常见函数，它具有许多重要的性质和结论。

下面介绍双曲线的十大经典结论，帮助读者更好地理解和应用双曲线函数。

1. 双曲线的定义双曲线是由平面上离两点距离之差与常数2a的比构成的点的集合。

通常表示为y²/a² - x²/b² = 1或x²/a² - y²/b² = 1。

其中，a,b分别为双曲线的焦距。

2. 双曲线的中心对称性双曲线是关于两个焦点的联线的中垂线对称的。

也就是说，双曲线上的任意一点都关于两个焦点的联线的中垂线对称。

3. 双曲线的渐近线双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴成45°的夹角，并且它们趋近于相交于双曲线的中心点。

4. 双曲线的拐点在双曲线上，x轴和y轴的交点处是曲线的拐点。

这些点被称为双曲线的顶点。

5. 双曲线的对称轴双曲线有两条对称轴：一条垂直于x轴，穿过双曲线的中心点；另一条垂直于y轴，在x轴上方和下方各穿过一点。

6. 双曲线的面积公式双曲线y²/a² - x²/b² = 1在x轴上的两个交点为x=-a和x=a，因此曲线所围成的面积为S = 2ab。

7. 双曲线的弦长公式双曲线上的两点之间的弦长为2a*ln((y1+y2)/2)。

其中，y1和y2为两点在y轴上的投影。

8. 双曲线的渐近线方程双曲线的两条渐近线的方程分别为y = x/a和y = -x/a。

9. 双曲线的反函数双曲线函数y = a*cosh(x/a)有反函数x = a*ln(y + sqrt(y² -a²))，其中cosh为双曲余弦函数。

10. 双曲线的应用双曲线广泛应用于物理、天文、工程、经济、金融等领域。

例如，电磁波在介质中的传播规律可以用双曲线函数表示；货币增长模型中的通货膨胀可以用双曲线函数描述。

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一．双曲线三大定义定义 1．到两定点距离之差的绝对值（小于两定点距离）为定值的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值．定义 2．到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值（大于1）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左（右）焦点的距离与到左（右）准线的距离之比为离心率e ．定义 3．到两个定点的斜率之积为定值（大于0）的点的轨迹是双曲线．几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为22ab ．二．双曲线经典结论汇总1．AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦，),(00y x M 为AB 的中点，则22a b k k ABOM =⋅，即 0202y a x b k AB =．等价形式：21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点，B 是双曲线上其它任意一点，直线B A B A 21,的斜率存在，则2221ab k k BA B A =⋅． 2．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则（1）2122||||1cos b PF PF θ=-；（2）双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆．3．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点，则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= （常数）．4．P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点，21,F F 为二焦点，A 为双曲线内一定点，则||||2||12PF PA a AF +≤-，当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时，等号成立．5．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，O 为坐标原点，Q P ,为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥，（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -．6．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=． 7．双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式：),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时，.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-． 9．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-． 10．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上，则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x ． 11．若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外，则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ，则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x ． 12．设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21（异于实轴端点）为双曲线上任意一点，在21F PF ∆中，记12F PF α∠=，12PF F β∠=，12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-．13．若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点，21,F F 是焦点，12PF F α∠=，21PF F β∠=，则2cot 2tan βα=+-a c a c （或2cot 2tan αβ=+-a c a c ）．14．设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB α∠=， PBA β∠=，BPA γ∠=，e c 、分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-； (2)2tan tan 1e αβ=-；(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+．15．过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =．16．已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，B A ,是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ，则220a b x a +≥或220a b x a+≤-．17．点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角．18．过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,，21,A A 为双曲线实轴上的顶点，P A 1和Q A 2交于点M ，P A 2和Q A 1交于点N ，则NF MF ⊥．【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→，且92=mn ，则该双曲线的离心率为（） A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．]43,21[B ．]43,83[C ．]1,21[D ．]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点，若点)2,6(P 是AB 的中点，则双曲线C 的离心率等于（）A ．2B ．3C ．2D ．22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直，直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点，若||2||11MF NF =，则双曲线C 的渐进线方程为（）A ．x y 33±=B ．x y 3±=C ．x y 22±= D ．x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,，若||3||PF FQ =，060=∠FPQ ，则该双曲线的离心率为（） A ．3 B ．31+ C ．32+ D ．323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点，且→→=BF AF 3，则双曲线离心率的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（）A B C ．2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（）A ．||||OA e OB = B ．||||OB e OA =C ．||||OB OA =D ．||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图，已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，4||21=F F ，P 是双曲线右支上的一点，P F 2与y 轴交于点A ，1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ，若1||=PQ ，则双曲线的离心率是（）A ．3B ．2C ．3D ．2 【课堂练习】【1】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4B ．7C ．332 D ．3 【2】如图，21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ，a P F =→||2，线段2PF 与双曲线交于点Q ，若→→=Q F P F 225，则双曲线的渐近线方程为（）A ．x y 21±= B ．x y 55±= C ．x y 552±= D ．x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C ：122=-y x 的左、右焦点，点P 在C 上，02160=∠PF F ，则||||21PF PF ⋅等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若21HF F ∆的面积为2b ，则双曲线的渐近线方程为____________．【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别为双曲线的左右焦点，且ab F F 221||=，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立，则λ的值为_______．【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ，若点P 在双曲线上，且21PF F ∆为锐角三角形，则||||21PF PF +的取值范围是_______．【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且||||22M F OF =，则该双曲线的离心率为_______．【课后作业】【1】双曲线的左右焦点分别为，，焦距，以右顶点为圆心的圆与直线相切于点，设与交点为，，若点恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（） A ．B ．C ．D ．【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的左右焦点分别为21,F F ，过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若以21F F 为直径的圆过点B ，且A 为B F 1的中点，则C 的离心率为（）A ．13+B ．2C ．3D ．2【4】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ，O 为原点， OP OF =,则双曲线C 的离心率为（） A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（）A ．2B ．32C ．3D ．62【6】如图所示，已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（）A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y －＝()0,0a b >>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． ()1,12+D ． ()2,12+【8】双曲线的离心率，右焦点为，点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点，，AOF △的面积为，则双曲线的方程为（）A ．B ．C ．D ．【9】已知双曲线与轴交于、两点，点，则面积的最大值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【10】双曲线的右焦点为，左顶点为，以为圆心，过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点，若不小于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是（）A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】（2019年全国1卷理数）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【13】已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时，．2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。

双曲线曲线最常用二级结论总结

双曲线曲线最常用二级结论总结摘要：本文总结了双曲线曲线中最常用的二级结论。

从双曲线的定义和性质出发，我们探讨了双曲线的焦点、准线、渐近线等相关概念，并总结了以下二级结论。

本文总结了双曲线曲线中最常用的二级结论。

从双曲线的定义和性质出发，我们探讨了双曲线的焦点、准线、渐近线等相关概念，并总结了以下二级结论。

结论一：双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线重要的几何特征，它们的性质对于研究双曲线的曲线方程和图形非常有帮助。

- 焦点：双曲线的焦点是其中一个焦点到该曲线上任意一点的距离与该点到准线的距离之差的绝对值等于一个常数。

这个常数称为焦点到准线的距离。

- 准线：双曲线的准线是与焦点距离为焦点到准线距离的直线。

结论二：渐近线双曲线的渐近线在研究双曲线的图形时具有重要作用。

- 垂直渐近线：当双曲线的焦点到准线的距离为无穷大时，双曲线的准线有可能成为双曲线的垂直渐近线。

垂直渐近线的方程为x = a 和 x = -a，其中 a 是焦点到准线的距离。

- 斜渐近线：当双曲线的焦点到准线的距离不为无穷大时，双曲线的渐近线有可能为两条斜线。

结论三：离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。

- 离心率小于1：当双曲线的焦点到准线的距离大于离心率时，双曲线呈现拱形。

- 离心率等于1：当双曲线的焦点到准线的距离等于离心率时，双曲线呈现抛物线状。

- 离心率大于1：当双曲线的焦点到准线的距离小于离心率时，双曲线呈现接近直线的形状。

结论四：对称性双曲线具有对称性，这一特性对于确定双曲线的图形和方程非常有帮助。

- x 轴对称性：双曲线对 x 轴具有对称性。

具体来说，当点 (x, y) 在双曲线上时，点 (x, -y) 也在双曲线上。

- y 轴对称性：双曲线对 y 轴具有对称性。

具体来说，当点 (x, y) 在双曲线上时，点 (-x, y) 也在双曲线上。

结论五：曲线方程双曲线的通用方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 (a > 0, b > 0)。

高中数学双曲线解题技巧总结

高中数学双曲线解题技巧总结引言本文旨在总结高中数学中关于双曲线解题的基本技巧和方法。

双曲线作为数学中的重要概念，应用广泛，掌握解题技巧对于学生来说至关重要。

双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义可以通过焦点和准线的性质来描述。

在数学中，双曲线被广泛应用于几何推导、物理问题等领域。

双曲线的基本性质1. 双曲线有两个焦点，分别称为焦点F1和焦点F2。

焦点与曲线的准线之间的距离称为焦距。

2. 曲线上的任意点到两个焦点的距离之差等于一个常数，这个常数称为双曲线的离心率。

离心率大于1表示双曲线的形状更加扁平，离心率小于1表示双曲线的形状更加尖锐。

双曲线的方程双曲线的方程可以有多种形式，常见的有标准方程和一般方程两种形式。

下面以标准方程为例，介绍解题技巧。

标准方程形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示曲线在x轴和y轴方向的半轴长。

解题技巧1. 初步了解问题，确定曲线类型：根据问题中给出的信息，确定曲线是否为双曲线。

2. 确定焦点和离心率：通过已知条件，确定双曲线的焦点和离心率。

3. 求解方程：将已知信息代入标准方程中，求解未知量。

4. 确定曲线的性质：根据已求得的方程，确定曲线的形状、焦点和离心率。

5. 进一步解题：根据问题要求，进一步求解相关的变量或问题。

示例问题1. 已知双曲线的焦点为F1(-3, 0)和F2(3, 0)，离心率为2/3，求双曲线方程。

2. 已知双曲线的方程为(x^2 / 9) - (y^2 / 16) = 1，求焦点和离心率。

结论通过掌握双曲线的基本性质和解题技巧，我们能够更加灵活地应用数学知识解决相关问题。

希望本文所提供的双曲线解题技巧能够对高中数学研究有所帮助。

参考资料。

双曲线曲线解题技巧和方法综合(经典)

双曲线曲线解题技巧和方法综合(经典)1.概述本文将介绍双曲线曲线解题的经典技巧和方法。

双曲线是数学中常见的曲线类型，解题时需要掌握一些基本的技巧和方法。

2.双曲线的特点双曲线的方程通常具有以下形式：\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1\] 或\[x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1\]，其中$a$和$b$是常数。

双曲线的特点包括：- 双曲线在原点有渐近线，其方程为$y = \pm \frac{b}{a}x$。

可以利用渐近线的存在来确定双曲线的位置和形状。

- 双曲线有两条对称轴，分别与$x$轴和$y$轴重合。

对称轴可用于确定双曲线的中心和方向。

- 双曲线的焦点和准线也是其重要特征，通过计算焦点和准线的位置，可以更好地理解双曲线的性质。

3.双曲线的解题技巧和方法在解题过程中，可以采用以下技巧和方法来处理双曲线相关的问题：3.1 理解双曲线的方程对于给定的双曲线方程，首先要理解其形式和性质。

通过观察方程中的系数和常数项，可以判断曲线的形状、中心、方向等属性。

3.2 确定渐近线和对称轴根据双曲线方程，可以计算出渐近线和对称轴的方程。

这些信息有助于确定双曲线的位置和形状。

3.3 计算焦点和准线双曲线的焦点和准线是其重要特征，可以通过一定的计算方法来确定它们的位置。

焦点和准线的位置可以进一步帮助理解双曲线的性质。

3.4 利用基本的几何关系在解题过程中，利用双曲线的基本几何关系是很有用的。

例如，通过确定曲线上的特定点的坐标，可以计算出其他关键点的坐标。

4.实例分析为了更好地理解双曲线解题的技巧和方法，这里给出一个实例分析。

例题：已知双曲线方程为$\frac{{x^2}}{{9}} - \frac{{y^2}}{{4}} = 1$，求出焦点和准线的位置，并画出曲线的草图。

解析：通过观察方程，可以确定该双曲线的中心为原点，横轴上的半轴长为3，纵轴上的半轴长为2。

利用方程可以计算出焦点的位置为$(\pm3, 0)$，准线的位置为$y = \pm\frac{2}{3}x$。

双曲线的二级结论高中常用

双曲线的二级结论高中常用双曲线的高中常用二级结论。

一、双曲线的定义相关结论。

1. 双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为定值。

- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1（a>0,b>0），其焦点为F_1,F_2，设双曲线上一点P，根据双曲线的定义|| PF_1|-| PF_2|| = 2a。

- 原因：双曲线是平面内到两个定点F_1,F_2（即焦点）的距离之差的绝对值为常数（小于| F_1F_2|）的点的轨迹。

这个常数就是2a，它反映了双曲线的形状特征，a越小，双曲线的开口越窄。

2. 焦点三角形面积公式。

- 设双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1（a > 0,b > 0）的两个焦点为F_1,F_2，双曲线上一点P，∠ F_1PF_2=θ，则焦点三角形PF_1F_2的面积S =b^2cot(θ)/(2)。

- 推导过程：- 根据双曲线定义|| PF_1|-| PF_2|| = 2a，两边平方得| PF_1|^2+| PF_2|^2-2| PF_1|| PF_2| = 4a^2。

- 在PF_1F_2中，根据余弦定理| F_1F_2|^2=| PF_1|^2+| PF_2|^2-2| PF_1|| PF_2|cosθ，又| F_1F_2| = 2c。

- 将| PF_1|^2+| PF_2|^2-2| PF_1|| PF_2| = 4a^2代入上式可得4c^2=4a^2+2| PF_1|| PF_2|(1 - cosθ)，化简得| PF_1|| PF_2|=frac{2b^2}{1-cosθ}。

- 所以三角形面积S=(1)/(2)| PF_1|| PF_2|sinθ=b^2(sinθ)/(1 -cosθ)=b^2cot(θ)/(2)。

二、双曲线的渐近线相关结论。

1. 渐近线方程。

- 对于双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1（a>0,b>0），其渐近线方程为y=±(b)/(a)x；对于双曲线frac{y^2}{a^2}-frac{x^2}{b^2} = 1（a>0,b>0），其渐近线方程为y=±(a)/(b)x。

高中数学-椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用(教师版)

椭圆与双曲线共焦点常用7结论与8应用圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，下面我们介绍此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用一、常用结论结论1：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，则c a a x 210=，c b b y 210=，212100a a b b x y =证明：因为点),(00y x P 是1C 和2C 的一个公共点，所以21122112122a a PF a PF PF a PF PF +=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+由焦半径公式得caa x a a x a c a x e a PF 210210110111=⇒+=+=+=，代入椭圆的方程得c b b y 210=，所以212100a a bb x y =结论2：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则2221222121b b a a PF PF +=-=，222121b b PF PF -=⋅，2121b b S F PF =∆证明：设θ=∠21PF F ，由⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF 222121a a PF PF -=⇒由余弦定理得2cos 2cos 221212111112212121F F PF PF PF PF PF PF F F PF PF -+=⇒-+=θθ所以222122221212422b b c a a PF PF -=-+==⋅21222122212cot 2tan 2cot 2tan21b b b b b b S F PF =⋅===∆θθθθ结论3：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则122tan b b =θ，2221222122212221cos b b b b a a b b +-=--=θ，特别地，若21b b =，则02190=∠PF F ，反之亦然证明：⇒==∆2cot 2tan 222121θθb b S F PF 212tan b b =θ，22212221cos a a b b PF PF --==θ结论4：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点)0,(),0,(21c F c F -，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则222122212122b b e b e b +=+证明：22122212212111c b c c b c a e +=+==------①，22222222222211cb c b c c a e -=-==-------②，①+⨯22b ②21b⨯得222122212122b b e b e b +=+注：结论4反映2121,,,b b e e 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2121,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是21,b b 的平方和结论5：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点21,F F ，21,e e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 是1C 和2C 的一个公共点，θ=∠21PF F ，则2cos 1cos 12221=++-e e θθ，即12cos 2sin 222212=+e e θθ证法1：因为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+21221122112122a a PF a a PF a PF PF a PF PF ，所以在21F PF ∆中余弦定理得θcos ))((2)()(421212212212a a a a a a a a c -+--++=θcos )(22222212221a a a a --+=两边都除以22c 得222122212221cos 1cos 1cos 11(112e e e e e e θθθ++-=--+=⇒+=⇒2222122cos 22sin 22e e θθ12cos 2sin 222212=+e e θθ证法2：2sin 2cos)(2cos 2sin)(2cot 2tan 222221222121θθθθθθa c c a b b S F PF -=-⇒==∆⇒-=-⇒2cos )11(2sin )11(222221θθe e 12cos 2sin 2cos 2sin 22222212=+=+θθθθe e 结论6：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 共焦点，点P 是1C 和2C 的一个公共点，则椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直证明：设点),(00y x P ，则椭圆1C 在点P 处的切线为1210210=+b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=双曲线2C 在点P 处的切线为1220220=-b yy a x x ，斜率为0220221y a x b k =，所以20222120222121y a a x b b k k -=，又由结论1知212100a a b b x y =120222120222121-=-=⇒y a a x b b k k ，所以1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直结论7：已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 的一个公共点为P ，若椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线互相垂直，则它们有共同的焦点证明：设点),(00y x P ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+212222212221222120212222212221222120222022202120212011b a b a a a b b y b a b a b b a a x b y a x b y a x ，椭圆1C 和双曲线2C 在点P 处的切线分别为1210210=+b y y a x x 和1220220=-b yy a x x ，斜率为0210211y a x b k -=，0220222y a x b k =因为1C 和2C 在点P 处的切线互相垂直，所以222120222120202221202221211b b y a a x y a a x b b k k =⇒-=-=所以2222212122212221212222212221212222212221b a b a a a b b b a b a a a b a b a b b +=-⇒-=+⇒+-=++，所以它们有共同的焦点二、典型应用（一）公共点问题例1.已知点21,F F 分别为椭圆1C ：11022=+y x 的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线2C ：1822=-y x 的一个交点为P ，O 坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则=k 解析：20581011212100=⨯⨯===a ab b x y k （二）公共焦点三角形问题例2.已知椭圆1C ：)1(1222>=+m y m x 与双曲线2C ：)0(1222>=-n y nx 有公共焦点21,F F ，P是它们的一个公共点，则21F PF ∆的面积为，21F PF ∆的形状是解析：1112121=⨯==∆b b S F PF ，所以01219012tan121=∠⇒=∠⨯=∆PF F PF F S F PF ，所以21F PF ∆的形状是直角三角形例3.（2022·上海·高三专题练习）已知点P 是椭圆14822=+y x 与双曲线222=-y x 的一个交点，21,F F 为椭圆的两个焦点，则=21PF PF 解析：628222121=-=-=a a PF PF 例4.椭圆1C ：11622=+m y x 与双曲线2C ：1822=-ny x 有相同的焦点21,F F ，P 为两曲线的一个公共点，则21F PF ∆面积的最大值为（）A.4B.32 C.2D.34解析：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+224224248212121PF PF PF PF PF PF ，所以当21PF PF ⊥时，21F PF ∆面积最大，最大值为4)(2121222121=-=a a PF PF ，故选A （三）角度问题例5.设椭圆1C ：181222=+y x 与双曲线2C ：)0(122>=-m y mx 有公共的焦点21,F F ，点P是1C 和2C 的一个公共点，则=∠21cos PF F （）A.97 B.92 C.41 D.91解法1：422212tan 1221===∠b b PF F ，所以724)42(1422tan 221=-⨯=∠PF F 所以=∠21cos PF F 97，故选A 解法2：=+-=+-=1818cos 22212221b b b b θ97例6.（2022浙江嘉兴市·高二月考）设椭圆12622=+y x 与双曲线1322=-y x 有公共焦点21,F F ，点P 是两条曲线的一个公共点，则=∠21cos PF F 解析：=∠21cos PF F 22212221a a b b --313612=--=（四）公共点处切线有关问题例7.已知椭圆192522=+y x 与双曲线C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，点)59,4(P 在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为解析：注意到点P 在椭圆上，即点P 是椭圆与双曲线的公共点，椭圆在点P 处切线为15254=+y x ，其斜率为54-，所以双曲线在点P 处的切线的斜率为45例8.若两曲线在交点P 处的切线互相垂直，则称这两条曲线在点P 处正交．设椭圆C ：)20(14222<<=+b b y x 与双曲线1222=-y x 在交点处正交，则椭圆C 的离心率为解析：由题意知题意与双曲线共焦点，所以3=c ，所以椭圆C 的离心率为23（五）求离心率的值（或取值范围）例9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是以一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率为73，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.32 D.6解析：由题意32734221=⇒=+=c c c e ，所以31432=-=e ，故选B例10.已知21,F F 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆2C ：192522=+y x 的公共焦点，点P 是曲线1C 、2C 在第一象限的交点，若21F PF ∆的面积为63，则双曲线1C 的离心率为（）A.5102 B.310 C.553 D.25解析：66332121=⇒===∆b b b b S F PF ，又222122212122b b e b e b +=+，即=1e 6925169621+=+e 解得51021=e ，故选A （六）共焦点椭圆、双曲线离心率的关系例11.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且3221π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则=+222113e e （）A.4B.32C.2D.3解析：由题意413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，故选A 例12.设21,e e 分别为具有公共焦点21,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足21PF PF ⊥，则22212221e e e e +的值为（）A.21 B.1 C.2D.不确定解析：由题意2211145cos 45sin 22212221222122022102=+⇒=+⇒=+e e e e e e e e ，故选B 例13.（2022河南郑州市·高三一模）已知21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点，A 是21,C C 在第二象限的公共点.若21AF AF ⊥,则双曲线2C 的离心率为（）A.56 B.26 C.3 D.2解析：由题意=⇒=+⇒=+2222202210221431145cos 45sin e e e e 26，故选B 例14.设P 为有公共焦点21,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 的一个交点，且21PF PF ⊥，椭圆1C 的离心率为1e ，，双曲线2C 的离心率为2e ，若123e e =，则=1e 解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又123e e =，所以29112121=+e e 351=e 例15.（2022陕西渭南市，高二期末）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知21,F F 是一对相关曲线的焦点，P 椭圆和双曲线在第一象限的交点，当02160=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A.3B.2C.332 D.2解析：由题知431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又121=e e ，所以432222=+e e ，解得=2e 3，故选A（七）离心率的范围问题例16.（2021·全国高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，02190=∠PF F ，若椭圆的离心率]322,43[1∈e ，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为解析：由题211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又]322,43[1∈e ，所以]223,7142[2∈e 例17.设椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，21,F F 分别为左､右焦点，1C 和2C 在第一象限的交点为M ，若21F MF ∆是以线段1MF 为底边的等腰三角形，且双曲线2C 的离心率]27,2[2∈e ，则椭圆1C 离心率的取值范围是（）A.]95,94[ B.]167,0( C.167,52[ D.)1,72[解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，又]27,2[2∈e ，所以∈1e ]167,52[，选C（八）与离心率有关的不等式问题例18.（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知21,F F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且321π=∠PF F ，若椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则21e e 的最小值为A.4151+B.332 C.415 D.23解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选D 例19.（2021·新江宁这育·高二期末）已知21,F F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且3221π=∠PF F ，若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则222127e e +的最小值为（）A.25B.100C.9D.36解析：由题知413160cos 60sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，所以)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)327282(41)32782(412122222121222221=⋅+≥++=e e e e e e e e ，当且仅当21222221327e e e e =即7,3721==e e 时等号成立，故选A 令析：由柯西不等式得)13)(27(4127222122212221e e e e e e ++=+25)19(412=+≥，故选A例20.(2014高考湖北卷)已知21,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且02160=∠PF F ，则若椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则2111e e +的最大值为()A.334 B.332 C.3 D.2解析:由题意得431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，由柯西不等式得316)31)(311()33111(11(2221221221=++≤⨯+⨯=+e e e e e e ，当且仅当321ee =即331=e ，32=e 时等号成立，2111e e +的最大值为334，故选A例21.已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有相同的焦点21,F F ，1C 和2C 的离心率分别为21,e e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的第一象限的交点，且321π=∠PF F ，2121e e ee +的取值范围是解析：由题意431130cos 30sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，令θθsin 23,cos 2121==e e ，则由301sin 32101cos 2121πθθθ<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<>=e e ，所以)3sin(334sin 32cos 21121πθθθ+=+=+e e ]334,2(∈所以2121e e e e +的取值范围是21,43[例22.（2022·河南洛阳·模拟预测）已知F 是椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 与椭圆1C 焦点，若直线AF与双曲线2C 的一条渐近线平行，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则2121e e +的最小值为解析：由题意12122222222222222=⇒=⇒-=-⇒=⇒=e e mc c a m m c c c a m n c b m n c b 所以22212212121=⋅≥+e e e e ，当且仅当2121e e =即2,2221==e e 时等号成立，所以2121e e +的最小值为22例23.已知中心在坐标原点的椭圆1C 与双曲线2C 有公共焦点，且左，右焦点分别为21,F F ，1C 与2C 在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若101=PF ，1C 与2C 的离心率分别为21,e e ，则212e e +的取值范围是A.),221(+∞+ B.),35(+∞ C.),1(+∞ D.),65(+∞解析：2112102,10222121=-⇒-=+=e e c c e c c e 12221+=⇒e e e ，所以222211222e e e e e ++=+令3122>=+t e ，则=+212e e t t t t t 1221211-+=-+-，因为t t t f 1221)(-+=在),3(+∞∈t 上递增，所以35)3()(=>f t f ，即212e e +的取值范围为),35(+∞，故选B例24.已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有相同的焦点21,F F ，其中1F 为左焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，21,e e 分别为曲线21,C C 的离心率，若21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，则12e e -的取值范围为解析：21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e 12221+=⇒e e e ，所以=-12e e 12222+-e e e 令3122>=+t e ，则=-12e e 1)1(212121-+=---t t t t t ，因为1)1(21)(-+=t t t f 在),3(+∞∈t 上递增，所以32)3()(=>f t f ，即12e e -的取值范围为),32(+∞例25.（2022·吉林·希望高中高二期末）椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，设椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限内交于点M ，椭圆1C 与双曲线2C 的离心率分别为21,e e ，O 为坐标原点，2214MF F F =，则12e e -的取值范围是解析：211122,22211211=-⇒-=+=e e c PF c e cPF c e 22221+=⇒e e e ，所以12e e -22222+-=e e e 424222-+++=e e ，由211122022221<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧><+=<e e e e e ，令)4,3(22∈=+t e ，则4412-+=-t t e e ，因为函数44)(-+=t t t f 在)4,3(上递增，所以1)4(,31)3(==f f ，所以12e e -)1,31(∈提升训练1.如图21,F F 是椭圆1C ：1422=+y x 与双曲线2C 的公共焦点B A ,分别是21,C C 在第二、四象限的公共点，若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（）A.2B.3C.23 D.26解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又231=e ，所以=2e 26，故选D 2.已知椭圆1922=+y x 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 共焦点21,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且021=⋅PF PF ，则双曲线的渐近线方程为（）A.x y 77±= B.x y 7±= C.x y 37±= D.x y 773±=解析：由题意211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e ，又3221=e ，所以222=e 所以722)(122=⇒=+=abab e ，所以双曲线的渐近线方程为x y 7±=，故选B 3.（2022·四川·阆中中学高二月考（文））设P 是椭圆1244922=+y x 和双曲线12422=-y x 的一个交点，则=∠21PF F （）A.6πB.3π C.4π D.2π解析：易知椭圆和双曲线共焦点，所以=∠⇒==∠21122112tanPF F b b PF F 2π，故选D4.若)0,5(),0,5(21F F -是椭圆1C ：1822=+m y x 与双曲线2C ：1422=-ny x 的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则=∠21PF F （）A.6π B.3π C.2π D.32π解析：1,3548==⇒=+=-n m n m ，所以=∠21cos PF F 21481322212221=--=--a a b b ，所以=∠21PF F 3π，故选B 5.已知有相同焦点21,F F 的椭圆)1(1222>=+m y m x 和双曲线)0(1222>=-n y nx ，点P 是它们的一个交点，则21F PF ∆面积为解析：12121==∆b b S F PF 6.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 有公共的焦点21,F F ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：222121a a PF PF -=314=-=7.（2016·上海市延安中学三模（文））已知椭圆1C ：)1(1222>=+a y a x 与双曲线2C ：)0(1222>=-m y mx 有公共焦点21,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是21PF F ∠的角平分线，O 为坐标原点，G F 1垂直射线PI 于H 点，若1=OH ，则=a 解析：由1=OH 可知1=m ，所以31112=⇒+=-a a 8.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若221=PF PF ，则=+22n b 解析：=+=222121b b PF PF 222=+n b 9.已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点21,F F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，21F PF ∆是一个以1PF 为底的等腰三角形，41=PF ，1C 的离心率是73，则2C 的离心率是（）A.76B.67 C.56 D.3解析：32734221=⇒=+=c c c e ，所以33432422=-=-=c c e 10.（多选题）（2022江苏·高二专题练习）若双曲线1C ：)0(12222>=-b b y x 与椭圆2C ：14822=+y x 有相同的左右焦点21,F F ，且1C 与2C 在第一象限相交于点P ，则（）A.21=PF B.1C 的渐近线方程为x y ±=C.直线2+=x y 与1C 有两个公共点 D.21F PF ∆的面积为22解析：23222211=+=+=a a PF ，A 错；24822=⇒-=+b b ，所以渐近线方程为x y ±=，B 正确；直线2+=x y 与渐近线平行，与1C 仅一个公共点，C 错；222121==∆b b S F PF ，D 正确；故选BD11.（多选题）（2022重庆巴蜀中学高三月考）已知椭圆1C ：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(122222222>>=-b a b y a x 有公共焦点21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底的等腰三角形，21,C C 的离心率分别为21,e e ，则（）A.22222121b a b a +=- B.21121=+e e C.112=-e e D.21,31(1∈e 解析：因为椭圆与双曲线共焦点，所以⇒+=-=212222212b a b ac 22222121b a b a +=-，A 正确；21122,22211211=-⇒-=+=e e cPF c e PF c c e ，所以B 错，C 错；因为12>e ，所以21121+=e e )3,2(∈)21,31(1∈⇒e ，D 正确；故选AD12.（多选题）（2022江苏·高二单元测试）已知椭圆C ：)0(13222>=+b b y x 与双曲线1C ：122=-y x 共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点21,(F F 为椭圆C 的两个焦点)，又O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，下列说法正确的是（）A.1=bB.21PF F ∠的平分线长为362C.02190=∠PF F D.直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值31-解析：因为椭圆C 与双曲线1C 共焦点，所以11132=⇒+=-b b ，A 正确；设点),(00y x P ，则切线l ：1300=+y y x x ，所以)1,0(),0,3(00y B x A ，所以2332130020202020≤⇒≥=+y x y x y x 所以00001231321y x y x S OAB ==∆3≥，当且仅当22,2600==y x 时等号成立，此时022123222(2020200021=-+=-+=+-+=⋅y x y x x PF PF ，所以02190=∠PF F ，C 正确；由角平分线张角定理得3631311311145cos 2210=⇒=-++=+=PM PF PF PM 所以B 错；直线OP 斜率与切线l 的斜率之积为31)3(0000-=-⨯y x x y ，所以D 正确，故选ACD 13.（2022全国·高三月考）设椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m ny m x 有公共焦点21,F F ，将21,C C 的离心率记为21,e e ，点A 是21,C C 在第一象限的公共点，若点A 关于2C 的一条渐近线的对称点为1F ，则=+222111e e 解析：由题意02190=∠AF F ，所以211145cos 45sin 222122022102=+⇒=+e e e e 14.已知21,F F 为椭圆1C ：12222=+y m x 和双曲线2C ：1222=-y nx 的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且211F F PF ⊥，那么椭圆1C 和双曲线2C 的离心率之积为解析：因为211F F PF ⊥，所以n m nm 212=⇒=，又1222+=-n m ，所以1,2==n m 所以122221=⨯=e e15.（2022·浙江·高三学业考试）已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x 和双曲线2C ：)0,0(12222>>=-n m n y m x 有公共焦点21,F F ，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，x PM ⊥轴，M 为垂足，若O OF OM (322=为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为解析：由232OF OM =知点P 横坐标为c 32，所以m c e c e a PF -⋅=⋅-=32322122311)(32212121=⇒+=+=+⇒e e e e c m a e e 16.已知椭圆1422=+m y x 与双曲线122=-ny x 的离心率分别为21,e e ，且有公共的焦点21,F F ，则=-22214e e ，若P 为两曲线的一个交点，则=21PF PF 解析：椭圆与双曲线共焦点，所以314=+⇒+=-n m n m ，所以0)(3)1(4)4(442221=+-=+--=-n m n m e e ，314222121=-=-=a a PF PF 例17.已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且321π=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则当211e e 取最大值时，21,e e 的值分别是（）A.26,22 B.25,21 C.6,33 D.3,42解析：由题⇒⋅≥=+⇒=+2221222122022102312431130cos 30sin e e e e e e ≥21e e 23，当且仅当2312221==e e 即26,2221==e e 时等号成立，故选A。

双曲线拓展知识常用结论(应该掌握)

双曲线常用结论一、双曲线的第一定义:平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．（口诀：看到左焦点，想到右焦点）二、双曲线的第二定义:1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右）对于12222=-b y a x ，左准线ca x l 21:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=-b x a y ，下准线ca y l 21:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

双曲线的焦半径公式：焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,双曲线上的点到焦点距离的最小值。

二、双曲线的第三定义:在双曲线()2222C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，P 是双曲线上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：222=1=PA PB b k k e a •- 三、双曲线的焦点三角形: 1、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，弦AB 。

坐标：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b c A 2,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度： a b AB 22=2、焦点三角形解题主要关系式：3、涉及焦点三角形面积时，可设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，主要用结果：①定义m-n=2a ； ②|F 1F 2|=2c ；③余弦定理。

双曲线二级结论大全及证明过程

双曲线二级结论大全及证明过程一、双曲线的基本性质（1）双曲线的定义：双曲线是一类椭圆或双曲线的生成过程，例如x2/a2-y2/b2=1。

（3）双曲线的直线斜率是椭圆上反对称点的斜率。

（4）双曲线首要呈双曲线，因此其另一轴基本方向是和反对称点一致的，所以其在另一轴上拖动也就是双曲线。

二、双曲线的一级结论（1）双曲线的极点的坐标满足式(b2coshφ/acoshθ=1)，其中φ为极角；（2）双曲线的另一轴向定义的方向与反对称相同；（3）双曲线的另一轴和椭圆的两个轴长的比等于1:1。

（1）双曲线两轴间的距离满足关系式，即双曲线长轴与短轴比等于常数a/b；（2）给定双曲线的两个极点，可以求出这两个极点之间的距离等于a×b/cosh(distance between two poles/a)；（3）给定双曲线上任意点A（x，y)，可以求出到双曲线两极点之间的距离等于a×b/cosh[x×x+y×y/2a]；（4）双曲线的椭圆状线的斜率和椭圆的常数a/b有关。

四、双曲线的证明过程（1）证明第一个结论：推导双曲线上极点的坐标如下：为了计算极点，观察双曲线：双曲线上x2/a2-y2/b2=1，在双曲线函数的开口处取导等于0，得到x分量的坐标为a×coshφ，y分量的坐标为b×sinhφ，两者的乘积即为双曲线抛物线的极点a×b×sinhφ×coshφ也就是a×b/coshφ，即所求。

（2）证明第二个结论：推导双曲线的另一轴的方向的定义如下：设双曲线的另一轴的方向为α，求出双曲线的另一轴的反对称点的坐标（X0，Y0）根据双曲线的反对称，可以得出坐标为(-X0，Y0)，令X0=a×coshφ，Y0=b×sinhφ，可以求出α=φ，即所求。

（3）证明第三个结论：推导双曲线的另一轴和椭圆的两个轴长的比等于1:1。

双曲线常用结论

双曲线常用结论1. 双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线，其定义可以通过以下方式描述：对于给定的两个点F1和F2（称为焦点）及一个正实数a（称为离心率），双曲线是满足到焦点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式，分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴。

以横轴为对称轴的标准方程如下：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b分别表示横半轴和纵半轴长度。

以纵轴为对称轴的标准方程如下：(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1同样地，a和b分别表示横半轴和纵半轴长度。

3. 双曲线的焦点、顶点与直径在双曲线上，有一些重要的点和直径需要特别关注。

焦点双曲线有两个焦点F1和F2，它们位于曲线的主轴上，距离顶点的距离为c，满足以下关系：c = √(a^2 + b^2)。

顶点双曲线上的顶点是曲线与主轴的交点，坐标表示为(Vx, Vy)。

对于横轴为对称轴的双曲线，顶点的坐标为(Vx, 0)，其中Vx的取值范围为(-∞, ∞)。

对于纵轴为对称轴的双曲线，顶点的坐标为(0, Vy)，其中Vy的取值范围也是(-∞, ∞)。

直径双曲线有两条重要的直径：实轴和虚轴。

实轴是通过焦点F1和F2，并且垂直于主轴；虚轴是通过顶点并且垂直于实轴。

实轴长度等于2a，虚轴长度等于2b。

4. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无限接近但永远不会相交。

渐近线可以通过以下方式求得：横渐近线对于横轴为对称轴的双曲线，横渐近线的方程为y = ±(b / a) * x。

纵渐近线对于纵轴为对称轴的双曲线，纵渐近线的方程为x = ±(a / b) * y。

5. 双曲线的性质双曲线有一些重要的性质需要了解：对称性双曲线关于x轴、y轴和原点都具有对称性。

渐进性双曲线在无穷远处与其渐近线趋于无限接近但永远不会相交。

分支数双曲线有两个分支，分别位于顶点两侧。

高中数学解析几何专题之双曲线(汇总解析版)

圆锥曲线第2讲双曲线【知识要点】一、双曲线的定义 1. 双曲线的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长a 2（2120F F a <<）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。

注1：在双曲线的定义中，必须强调：到两个定点的距离之差的绝对值（记作a 2），不但要小于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），而且还要大于零，否则点的轨迹就不是一个双曲线。

具体情形如下：（ⅰ）当02=a 时，点的轨迹是线段21F F的垂直平分线；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是两条射线；（ⅲ）当c a 22>时，点的轨迹不存在；（ⅳ）当c a 220<<时，点的轨迹是双曲线。

特别地，若去掉定义中的“绝对值”，则点的轨迹仅表示双曲线的一支。

注2：若用M 表示动点，则双曲线轨迹的几何描述法为aMF MF 221=-（c a 220<<，cF F 221=），即2121F F MF MF <-。

2. 双曲线的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （1>e ）的点的轨迹叫做双曲线。

二、双曲线的标准方程 1. 双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b y a x （0>a ，0>b ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的双曲线的标准方程是12222=-b x a y （0>a ，0>b ）.注：若题目已给出双曲线的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看实半轴跟谁走。

若实半轴跟x 走，则双曲线的焦点在x 轴；若实半轴跟y 走，则双曲线的焦点在y 轴。

2. 等轴双曲线当双曲线的实轴与虚轴等长时（即b a 22=），我们把这样的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为λ=-22y x （0≠λ）注：若题目已明确指出所要求的双曲线为等轴双曲线，则我们可设该等轴双曲线的方程为λ=-22y x （0≠λ），再结合其它条件，求出λ的值，即可求出该等轴双曲线的方程。

双曲线常见30个结论

以下是双曲线的常见30个结论：1. 双曲线是一种二次曲线，其方程可表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1。

2. 双曲线有两个分支，分别称为左右分支或上下分支。

3. 双曲线的中心位于原点(0, 0)。

4. 双曲线的对称轴垂直于x轴和y轴，通过中心点。

5. 双曲线的焦点位于对称轴上，并且到中心的距离为c，其中c^2 = a^2 + b^2。

6. 双曲线的顶点位于对称轴和曲线的交点处。

7. 双曲线的渐近线是与曲线趋近但永远不相交的直线。

它们的方程为y = ±(b/a)x。

8. 双曲线的离心率e定义为焦点到顶点的距离与焦点到直线的距离之比，即e = c/a。

9. 双曲线的离心率大于1，可以取任意实数。

10. 双曲线的准线是与曲线相切的直线，其方程为y = ±(b/a)e。

11. 双曲线的参数方程为x = asec(t)，y = btan(t)或x = acoth(t)，y = b/t，其中t是参数。

12. 双曲线的面积为A = abπ。

13. 双曲线的周长没有公式表示，需要使用数值方法进行近似计算。

14. 双曲线的导数为dy/dx = ±b/a^2 * x/y。

15. 双曲线在顶点处有一个水平渐近线，方程为y = 0。

16. 双曲线在焦点处有两条垂直渐近线，方程为x = ±a。

17. 双曲线的反函数是双曲函数，如双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。

18. 双曲线可以通过拉伸、旋转和平移来变换形状和位置。

19. 双曲线是许多物理现象的数学模型，例如电磁波传播、行星轨道等。

20. 双曲线在几何光学中用于描述透镜的形状。

21. 双曲线可以用于解决一些复杂的数学问题，如差分方程和微分方程。

22. 双曲线在概率论和统计学中用于建模概率分布，如正态分布的拟合。

23. 双曲线在经济学中用于描述供求关系和市场行为。

24. 双曲线在计算机图形学中用于绘制3D曲面和建模物体。

双曲线结论知识点总结

双曲线结论知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义是动点到两个不相交定点的距离的差等于常数的轨迹。

双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，其中实轴是连接两焦点的直线，虚轴是与实轴垂直的直线。

二、双曲线的性质1. 双曲线是一种非闭合曲线，其两支无交点。

2. 双曲线的轴线是连接两焦点的直线，在坐标系中通常与x轴或y轴平行。

3. 双曲线在两支的极限位置有渐近线，实轴和虚轴分别为双曲线的渐近线。

4. 双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数，即双曲线的定义。

5. 双曲线具有反射性质，通过焦点发出的光线被双曲线反射后会聚于另一焦点。

三、双曲线的方程双曲线的标准方程有两种形式：横轴上的双曲线和纵轴上的双曲线。

1. 横轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

2. 纵轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$。

其中，a和b分别代表横轴和纵轴上的焦点到曲线的距离之和的一半。

四、双曲线的焦点双曲线有两个焦点，分别位于实轴和虚轴上，距离轴线的距离分别为c和-c。

五、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是实轴和虚轴，其方程分别为y=±c/b*x和x=±a/c*y。

六、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为$x=a\cdot \cosh t, y=b\cdot \sinh t$或$x=a\cdot \sec t, y=b\cdot \tan t$，其中t为参数。

七、双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用，例如在天文学中描述行星轨道的形状、在物理学中描述光线的反射和折射等。

总结一下，双曲线是一种重要的曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。

我们从双曲线的定义、性质、方程、焦点、渐近线、参数方程以及应用等方面对双曲线进行了总结，希望对读者有所帮助。

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论： 1、离心率e=ac=21）（a b 2、焦半径3、通径及通径长ab 224、焦点到准线的距离c b 2，中心到准线的距离ca 28、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和12222=-by a x 有相同的渐近线和相同的离心率。

9、P 为双曲线上一点，则21F PF ∆的面积为S=θsin b2121212的离心率为e=αββαsin sin sin -+）（例（湖南卷）已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（D ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º例双曲线）（0122≠=-m n n y m x 的离心率为2，则nm 的值为（） A ．3 B ．31C ．3或31D ．以上都不对椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并了解椭圆的一些实际应用．(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力．(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦、最值问题等．二、教材分析1．重点：椭圆的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生利用方程研究曲线的性质，最后进行归纳小结．) 2．难点：椭圆离心率的概念的理解．(解决办法：先介绍椭圆离心率的定义，再分析离心率的大小对椭圆形状的影响，最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义．)3．疑点：椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质，与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(解决办法：利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明．)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结．四、教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？2．椭圆的标准方程是什么？学生口述，教师板书．(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是b＞0)来研究椭圆的几何性质．说明：椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关，即不随坐标系的改变而改变．1．范围即|x|≤a，|y|≤b，这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18)．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．2．对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2．设问：为什么“把x换成-x，或把y换成-y？，或把x、y同时换成-x、-y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢？事实上，在曲线的方程里，如果把x换成-x而方程不变，那么当点P(x，y)在曲线上时，点P关于y轴的对称点Q(-x，y)也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．类似可以证明其他两个命题．同时向学生指出：如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称．如：如果曲线关于x轴和原点对称，那么它一定关于y轴对称．事实上，设P(x，y)在曲线上，因为曲线关于x轴对称，所以点P1(x，-y)必在曲线上．又因为曲线关于原点对称，所以P1关于原点对称点P2(-x，y)必在曲线上．因P(x，y)、P2(-x，y)都在曲线上，所以曲线关于y轴对称．最后指出：x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．3．顶点只须令x=0，得y=±b，点B1(0，-b)、B2(0，b)是椭圆和y轴的两个交点；令y=0，得x=±a，点A1(-a，0)、A2(a，0)是椭圆和x轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)．教师还需指出：(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b；(2)a、b的几何意义：a是长半轴的长，b是短半轴的长；这时，教师可以小结以下：由椭圆的范围、对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形．4．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：等到介绍椭圆的第二定义时，再讲清离心率e的几何意义．先分析椭圆的离心率e的取值范围：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当e接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆接近圆；(3)当e=0时，c=0，a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为x2+y2=a2，图形就是圆了．(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例1．例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．本例前一部分请一个同学板演，教师予以订正，估计不难完成．后一部分由教师讲解，以引起学生重视，步骤是：(2)描点作图．先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19)．要强调：利用对称性可以使计算量大大减少．本例实质上是椭圆的第二定义，是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的，同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤，因此，要详细讲解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是集合P={M将上式化简，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是椭圆．由此例不难归纳出椭圆的第二定义．(四)椭圆的第二定义1．定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．2．说明这时还要讲清e的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的，同一曲线由于坐标系选取不同，方程的形式也不同，但是最后得出的性质是一样的，即与坐标系的选取无关．前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质，类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质．布置学生最后小结下列表格：五、布置作业1．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：(1)25x2+4y2-100=0，(2)x2+4y2-1=0．2．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面266Km，远地点距地面1826Km，求这颗卫星的轨道方程．3．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．的方程．作业答案：4．顶点(0，2)可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：六、板书设计。