高中数学 4_1_2 问题探索——求作抛物线的切线同步精练湘教版选修2-21

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湘教版高中数学选修2-1同步精练：2.3.2抛物线的简单几何性质含解析

1设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－错误!，那么|PF|＝（）．A．4错误!B．8 C．8错误!D．162若抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为( )．A．1 B．2 C．4 D．63抛物线上一点A（－5，2错误!）到焦点F（x，0)的距离为6，则抛物线的标准方程是（)．A．y2＝－2x,y2＝－18x B．y2＝－4x，y2＝－36xC．y2＝－4x D．y2＝－36x4边长为1的等边△AOB，O为原点，AB⊥x轴,以O为顶点且过A，B的抛物线方程是（)．A．y2＝错误!x B．y2＝－错误!x C．y2＝±错误!x D．y2＝±错误!x5设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax（a≠0)的焦点F，且和y 轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ）．A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x6对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号）．7过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝__________.参考答案1。

解析：直线AF的方程为y＝－3（x－2），联立错误!有y ＝4错误!,所以P(6,4错误!)．由抛物线的性质可以知道|PF|＝6＋2＝8.答案：B2.解析：依题意得p2＋6＝8,∴p＝4，∴焦点到准线的距离为p＝4.答案:C3。

解析：由已知错误!＝6,∴x2＋10x＋9＝0,∴x＝－1或－9.∴F(－1，0)，p＝2，y2＝－4x或F（－9，0)，p＝18，y2＝－36x.显然，若抛物线为y2＝－36x,则它的准线为x＝9.由抛物线的定义知点A（－5,2错误!）到x＝9的距离应是6,而点A（－5，25）到x＝9的距离为14，矛盾．∴抛物线方程为y2＝－4x。

高中数学第三章导数及其应用 3.1 导数概念 3.1.2 问

3.1.2 问题探索—求作抛物线的切线1．若f (x )＝3x ，则f (x )在x ＝1处的切线的斜率是( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 的值是( )．A ．1B ．12C ．－12D ．－1 3．过点P (2,5)的曲线y ＝x 2＋1的切线方程是( )．A ．x －4y －3＝0B ．4x －y －3＝0C ．3x －y －4＝0D ．x －y －3＝04．曲线y ＝1x 在点P (12，2)处的切线方程是( )． A ．4x ＋y ＋4＝0 B ．x ＋4y ＋4＝0C ．4x ＋y －4＝0D ．x ＋4y －4＝05．过点Q (3,5)，且与曲线y ＝x 2相切的直线方程是( )．A ．y ＝2x －1或y ＝10x －25B ．y ＝2x －1C ．y ＝10x －25D ．y ＝2x ＋1或y ＝10x ＋256．抛物线y ＝f (x )＝x 2＋3x 在点A (2,10)处的切线的斜率k 是__________．7．曲线f (x )＝x 3在点P (2,8)处的切线方程是__________．8．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过P 点的切线方程是__________．9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？10．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．参考答案1．D2．A 设f (x )＝ax 2，则f (1＋d )－f (1)d ＝a (1＋d )2－a d ＝da ＋2a . 当d 趋于0时，da ＋2a 趋于2a .∴2a ＝2.∴a ＝1.3．B ∵点P (2,5)在曲线y ＝x 2＋1上，∴(2＋d )2＋1－22－1d＝d ＋4. 当d 趋于0时，d ＋4趋于4.∴所求切线的方程是y －5＝4(x －2)，即4x －y －3＝0.4．C ∵点P (12，2)在曲线y ＝1x上， ∴112＋d －112d ＝－41＋2d . 当d 趋于0时，－41＋2d趋于－4. ∴切线方程为y －2＝－4(x －12)，即4x ＋y －4＝0. 5．A ∵Q (3,5)不在曲线y ＝x 2上，∴设所求切线的切点为A (x 0，y 0)．∴y 0＝x 02.又(x 0＋d )2－x 02d＝2x 0＋d ，且当d 趋于0时，2x 0＋d 趋于2x 0.∴y 0－5x 0－3＝x 02－5x 0－3＝2x 0.∴x 0＝1或x 0＝5. ∴切点为(1,1)或(5,25)，∴所求切线的斜率为2或10.∴所求切线的方程是y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1或y ＝10x －25.6．7 ∵A (2,10)在抛物线f (x )＝x 2＋3x 上， ∴f (2＋d )－f (2)d ＝(2＋d )2＋3(2＋d )－10d＝7＋d . 当d 趋于0时，7＋d 趋于7.∴k ＝7.7．y ＝12x －16 ∵P (2,8)在曲线f (x )＝x 3上， ∴f (2＋d )－f (2)d ＝(2＋d )3－23d＝12＋6d ＋d 2. 当d 趋于0时，12＋6d ＋d 2趋于12.∴切线方程为y －8＝12(x －2)，即y ＝12x －16.8．y ＝2x －1 设P (x 0，x 02)，则(x 0＋d )2－x 02d＝2x 0＋d ，当d 趋于0时，2x 0＋d 趋于2x 0.∵切线与直线y ＝－12x ＋1垂直， ∴2x 0×(－12)＝－1. ∴x 0＝1.∴切点为P (1,1)，k ＝2.∴过P 点的切线方程是y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.9．解：(1)将x ＝1代入y ＝x 3，得y ＝1，∴切点为P (1,1)．又(1＋d )3－13d＝3＋3d ＋d 2，且当d 趋于0时，3＋3d ＋d 2趋于3，∴k ＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3，3x －y －2＝0，得x 1＝1，x 2＝－2，∴公共点为P 1(1,1)，P 2(－2，－8)，说明切线与曲线C 的公共点除了切点P 1(1,1)外，还有另外一个公共点P 2(－2，－8)．10．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ，即x 2－x －6＝0. ∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)和(3,13)．(2)设抛物线上任意一点M (x ，x 2＋4)，再另任取一点N (x ＋d ，(x ＋d )2＋4)，d ≠0，则k MN ＝(x ＋d )2＋4－(x 2＋4)d＝2x ＋d . 当d 趋于0时，k MN 趋于2x ，即过点M (x ，x 2＋4)的切线斜率为2x .∴在点(－2,8)处的切线的斜率为－4，在点(3,13)处的切线的斜率为6.∴所求切线方程为y －8＝－4(x ＋2)和y －13＝6(x －3)，即4x ＋y ＝0和6x －y －5＝0.。

湘教版数学选修2-2配套课件：4-1-1问题探索——求自由落体的瞬时速度

要点二求瞬时速度
例2
已知一物体做自由落体运动，s＝
1 2
gt2(位移单位：m，时
间单位：s，g＝9.8 m/s2)．
(1)计算t从3 s到3.1 s,3.01 s,3.001 s各段时间内平均速度；
(2)求t＝3 s时的瞬时速度．
解 (1)当t在区间[3,3.1]时，d＝3.1－3＝0.1(s)， s(3.1)－s(3)＝12g×3.12－12g×32＝2.989(m)， v 1＝s3.1d－s3＝2.09.819＝29.89(m/s)．同理，当t在区间[3,3.01]时， v 2＝29.449(m/s)，当t在区间[3,3.001]时， v 3＝29.404 9(m/s)．
高中数学·选修2-2·湘教版
第4章导数及其应用
4．1 导数概念
4．1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度
[学习目标]
1．理解并掌握平均速度的概念．
2．通过实例的分析，经历平均速度过渡到瞬时速度的过程．
[知识链接] 1．一物体的位移s与时间t满足函数关系s＝t2，则在时间段[1,2]
内的平均速度 v ＝________. 答案 v ＝222－－112＝3. 2．质点运动规律s＝t2＋3，则在时间(3,3＋d)中，相应的平均速度等于________．答案 v ＝3＋d3＋2＋d3－－332－3＝6＋d.
者有本质区别．
跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口中射
出时所用的时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时
的瞬时速度．
解运动方程为s＝12at2. v(t，d)＝12at＋dd2－12at2 ＝12ad2d＋atd＝12ad＋at. 当d趋于0时，12ad ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3 m/s，即800 m/s.

2018学年湘教版数学选修2-2当堂检测：4-1-1问题探索-求自由落体的瞬时速度

第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度1．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为() A．2d＋4 B．－2d＋4C．2d－4 D．－2d－4答案 D解析v(1，d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4.2．已知物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．下列叙述正确的是() A．在时间段[t0，t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B．在t1＝1.1，t2＝1.01，t3＝1.001，t4＝1.000 1，这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等C．在时间段[t0－d，t0]与[t0，t0＋d](d>0)内当d趋于0时，两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．已知s＝12gt2，从3秒到3.1秒的平均速度v＝________.答案 3.05g解析v＝12g·3.12－12g·323.1－3＝3.05g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2，则在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2，d)＝s(2＋d)－s(2)d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值，即用时间除位移得到，而瞬时速度是物体在某一时间点的速度，当时间段越来越小的过程中，平均速度就越来越接近一个数值，这个数值就是瞬时速度，可以说，瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的“飞跃”．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t)，则求物体在t时刻瞬时速度的步骤为：(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)d，其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量；(2)对上式化简，并令d趋于0，得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321AC1FB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa +b-aa45°ABE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°. （1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形；（3）求AE －CE 的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．AB CFEDCDC。

数学选修2-2配套课件：4-1-2问题探索——求作抛物线的切线

高中数学·选修2-2·湘教版
4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线
[学习目标] 理解并掌握如何求抛物线的切线．
[知识链接] 1．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋d时，函数的改
变量Δy为________．答案 f(x0＋d)－f(x0) 2．函数y＝x2在x＝1处的切线斜率k＝________. 答案 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2＋Δx→2(Δx→0)．
＝3d＋3d2＋d3＋2d
＝5d＋3d2＋d3.
则k(1，d)＝5d＋3dd2＋d3＝5＋3d＋d2，当d→0时，k(1)＝5，则切线方程为y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0.
规律方法求曲线上点(x0，y0)处切线方程的
步骤：
(1)求割线斜率；(2)求切线斜率；(3)求切线方程．
跟踪演练2 求y＝f(x)＝x2－1在x＝1处的切线斜率及切线方程．解 f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1)＝(1＋d)2－1－(12－1)＝d2＋ 2d， d2＋d 2d＝d＋2→2(d→0)，即在x＝1处切线斜率为2. ∵f(1)＝0， ∴切线方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
“无类”指什么？
一、不分身份、地位均要教育。
二、不管品行、习性，对所有的人都平等地加以教育。
选文1
子曰：“有教无类。”
【译文】孔子说：“人人我都教育，没有区别！
选文2
子曰：“中人以上，可以语上也；中人以下，不可以语上也。”
•【译文】孔子说：“中上等天赋的人，可以同他研究高深的学问；中下等天赋的人，不可以同他讨论高深的学问。”
解 (1)kAB＝fxx22－－fx1x1＝223－－113＝7. (2)kAB＝fxx22－－fx1x1 ＝x0＋dd3－x30 ＝3x20d＋3dx0d2＋d3 ＝3x02＋3x0d＋d2.

湘教版高中数学选修2-1同步精练：2.3.1抛物线的定义与标准方程含解析

1已知5错误!＝|3x＋4y－12｜是动点M所满足的坐标方程，则动点M的轨迹是（)．A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对2抛物线过点（－2，3），则它的标准方程是（)．A．x2＝－错误!y或y2＝错误!xB．y2＝－错误!x或x2＝错误!yC．x2＝错误!yD．y2＝－错误!x3抛物线y＝4x2上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为（)．A．错误!B．错误!C．错误!D．04抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( )．A．错误!B．错误!C．错误!D．35以双曲线错误!－错误!＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．6经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为__________．7已知圆的方程为x2＋y2＝4,若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________．8直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1,以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM｜＝错误!，｜AN|＝3，且｜BN|＝6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程．9过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两条直线，分别交抛物线于点A(x1,y1），B（x2，y2）．(1）求该抛物线上纵坐标为错误!的点到其焦点F的距离;（2)当P A与P B的斜率存在且倾斜角互补时,求y1＋y2y0的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．参考答案1.解析：由题意得错误!＝错误!，即动点M到直线3x＋4y－12＝0的距离等于它到原点（0，0）的距离．由抛物线定义可知,动点M的轨迹是以原点（0,0）为焦点，以直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．答案:C2.解析：抛物线过点(－2，3），点(－2,3）在第二象限，由图象可知，方程可设为x2＝2py或y2＝－2px，代入点(－2, 3）求得p 的值分别为错误!和错误!，故y2＝－错误!x或x2＝错误!y。

2018学年湘教版数学选修2-2分层训练：4-1-1问题探索-求自由落体的瞬时速度

第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度一、基础达标1．设物体的运动方程s＝f(t)，在计算从t到t＋d这段时间内的平均速度时，其中时间的增量d() A．d>0 B．d<0C．d＝0 D．d≠0答案 D2．一物体运动的方程是s＝2t2，则从2 s到(2＋d) s这段时间内位移的增量为() A．8 B．8＋2dC．8d＋2d2D．4d＋2d2答案 C解析Δs＝2(2＋d)2－2×22＝8d＋2d2.3．一物体的运动方程为s＝3＋t2，则在时间段[2,2.1]内相应的平均速度为() A．4.11 B．4.01 C．4.0 D．4.1答案 D解析v＝3＋2.12－3－220.1＝4.1.4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝18t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为()A ．2B ．1 C.12 D.14 答案 C解析 Δs Δt ＝18(2＋Δt )2－18×22Δt ＝12＋18Δt →12(Δt →0)．5．质点运动规律s ＝2t 2＋1，则从t ＝1到t ＝1＋d 时间段内运动距离对时间的变化率为________．答案 4＋2d解析 v ＝2(1＋d )2＋1－2×12－11＋d －1＝4＋2d .6．已知某个物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝－t 2＋1. (1)t ＝2到t ＝2.1； (2)t ＝2到t ＝2.01； (3)t ＝2到t ＝2.001.则三个时间段内的平均速度分别为________，________，________，估计该物体在t ＝2时的瞬时速度为________．答案－4.1 m/s －4.01 m/s －4.001 m/s －4 m/s7．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时，需在2 s 内完成刹车，其位移 (单位：m)关于时间(单位：s)的函数为： s (t )＝－3t 3＋t 2＋20，求： (1)开始刹车后1 s 内的平均速度； (2)刹车1 s 到2 s 之间的平均速度； (3)刹车1 s 时的瞬时速度．解 (1)刹车后1 s 内平均速度v 1＝s (1)－s (0)1－0＝(－3×13＋12＋20)－201＝－2(m/s)．(2)刹车后1 s 到2 s 内的平均速度为： v 2＝s (2)－s (1)2－1＝(－3×23＋22＋20)－(－3×13＋12＋20)1＝－18(m/s)．(3)从t ＝1 s 到t ＝(1＋d )s 内平均速度为： v 3＝s (1＋d )－s (1)d＝－3(1＋d )3＋(1＋d )2＋20－(－3×13＋12＋20)d＝－7d －8d 2－3d 3d ＝－7－8d －3d 2→－7(m/s)(d →0)即t ＝1 s 时的瞬时速度为－7 m/s. 二、能力提升8．质点M 的运动方程为s ＝2t 2－2，则在时间段[2,2＋Δt ]内的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt答案 A解析 Δs Δt ＝2(2＋Δt )2－2－(2×22－2)Δt＝8＋2Δt .9．自由落体运动的物体下降的距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2，则从t ＝0到t ＝1时间段内的平均速度为________，在t ＝1到t ＝1＋Δt 时间段内的平均速度为________，在t ＝1时刻的瞬时速度为________．答案 12g g ＋12g Δt g解析12g ×12－12g ×021－0＝12g .12g (1＋Δt )2－12g ×12Δt ＝g ＋12g Δt . 当Δt →0时，g ＋12g Δt →g .10．自由落体运动的物体下降距离h 和时间t 的关系式为h ＝12gt 2，t ＝2时的瞬时速度为19.6，则g ＝________. 答案 9.8解析 12g (2＋Δt )2－12g ×22Δt ＝2g ＋12g Δt . 当Δt →0时，2g ＋12g Δt →2g . ∴2g ＝19.6，g ＝9.8.11．求函数s ＝2t 2＋t 在区间[2,2＋d ]内的平均速度．解 ∵Δs ＝2(2＋d )2＋(2＋d )－(2×22＋2)＝9d ＋2d 2， ∴平均速度为Δsd ＝9＋2d .12．甲、乙二人平时跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图①、②所示．问：(1)甲、乙二人平时跑步哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得快(设Δs 为s 的增量)?解 (1)由题图①在(0，t ]时间段内，甲、乙跑过的路程s 甲<s 乙，故有s 甲t <s 乙t 即在任一时间段(0，t ]内，甲的平均速度小于乙的平均速度，所以乙比甲跑得快．(2)由题图②知，在终点附近[t －d ，t )时间段内，路程增量Δs 乙>Δs 甲，所以Δs 乙d >Δs 甲d 即快到终点时，乙的平均速度大于甲的平均速度，所以乙比甲跑得快．三、探究与创新13．质量为10 kg 的物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．解 s (Δt ＋4)－s (4)Δt＝3(Δt＋4)2＋(Δt＋4)＋4－(3×42＋4＋4)Δt＝3Δt＋25，当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为12m v 2＝12×10×252＝3 125(J)赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DAC1FDAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DF45°DBa+b-aa 45°A BE1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DBa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DEa +b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.DC变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．DAB CFEDCDC。

高中数学抛物线中的切线问题(解析版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.1.(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p 2,由y 2=2px y =k x +p2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .2.(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．3.已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(2)证明：|PF|2=|AF|⋅|FB|．【解析】(1)由题意,F0,p 2,当AB∥x轴时,将y=p2代入x2=2py有x2=p2,解得x=±p,又AB =2故2p=2,解得p=1.故抛物线C的方程为x2=2y.(2)由(1),设A x1,y1,B x2,y2,直线l的方程为y=kx+12,联立抛物线方程有x2-2kx-1=0,故x1+x2=2k,x1x2=-1.又抛物线方程y=12x2,故y =x,故切线PA的方程为y-12x21=x1x-x1,即y=x1x-12x21,同理可得切线PB的方程为y=x2x-12x22,联立y=x1x-12x21y=x2x-12x22可得x1-x2x=12x21-x22,解得x=1 2x1+x2,代入y=x1x-12x21有y=12x1x1+x2-12x21=12x1x2,代入韦达定理可得P k,-12.故当k=0时有l⊥PF,当k≠0时,因为k FP=-12-12k-0=-1k,故k FP⋅k l=-1,也满足l⊥PF.故l⊥PF恒成立.又k PA⋅k PB=x1x2=-1,故PA⊥PB.所以∠PAB+∠PBA=90°,∠PAF+∠APF=90°,故∠PBF=∠APF,故Rt△PBF∼Rt△APF,故BF PF =PFAF,即PF2=AF⋅BF,即得证.4.已知直线l过原点O,且与圆A交于M,N两点,MN=4,圆A与直线y=-2相切,OA与直线l垂直,记圆心A的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)过直线y=-1上任一点P作C的两条切线,切点分别为Q1,Q2,证明：①直线Q1Q2过定点；②PQ1⊥PQ2．【解析】(1)如图,设A(x,y),因为圆A与直线y=-2相切,所以圆A的半径为|y+2|．由圆的性质可得|OA|2+|ON|2=|AN|2,即x2+y2+4=(y+2)2,化简得x2=4y．因为O与A不重合,所以y≠0,所以C的方程为x2=4y(y≠0)．(2)证明：①由题意可知Q1,Q2与O不重合．如图,设P(t,-1),Q1x1,y1,则x21=4y1,因为y =x2,所以切线PQ1的斜率为x12,故x12=y1+1x1-t,整理得tx1-2y1+2=0．设Q2x2,y2,同理可得tx2-2y2+2=0．所以直线Q1Q2的方程为tx-2y+2=0,所以直线Q1Q2过定点(0,1)．②因为直线Q1Q2的方程为tx-2y+2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t 24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p2,则d 1=3p 2+6pt 204t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p2-2pt 24t 20+1=p 2+2pt 204t 2+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20=3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p 2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4ymx +y -1=0,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y=2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x 设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4xx =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y 12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 22-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1=0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 20,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 22=1k 1-1k 221k 1+1k 22+4=k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2 k 1+k2k 1k 22+4=(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +4 2=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 2 2-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 20+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 2+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=20 5.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D 点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2=0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2 ,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mmy 2=4x,消元整理得m 42-my 2-y +2-mm =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2kk +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2k x 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a ,准线方程为y =-14a ；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14a x 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx =ax 2x 1-14ax 1+x 22-2ax 11+ax 2x 1-14ax 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a-2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a -ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 122ax 21++4a 2x 12=-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q=kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2k y =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y (2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D=1a+1m . 由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1),求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx得x =0,y =0 或x =2pk 2,y =2p k,即O 0,0 ,A2p k 2,2pk所以线段OA 的中点Mp k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p k p k 2-3p=k1-3k 2．所以k 1-3k 2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±22=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p 2 ,因为AF ⎳x ,所以y A =p2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =xp ,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p 2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y =0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB =k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max=f23=3227所以S△ABCmax=23227=869>2所以S△ABCmax=86 916.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,点P m,2(m>0)在抛物线C上,且满足PF=3．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF=2+p2=3,得p=2,∴抛物线C的标准方程为x2=4y；(2)设A x1,y1,B x2,y2,直线l的方程为y=kx+4,∴联立y=kx+4x2=4y,消掉x,得x2-4kx-16=0,Δ>0,∴x1+x2=4k,x1x2=-16,设A,B处的切线斜率分别为k1,k2,则k1=x12,k2=x22,∴在点A的切线方程为y-y1=x12x-x1,即y=x1x2-x124①,同理,在B的切线方程为y=x2x2-x224②,由①②得：x Q=x1+x22=2k,代入①或②中可得：y Q=kx1-x214=y1-4-y1=-4,∴Q2k,-4,即Q在定直线y=-4上,设点G关于直线y=-4的对称点为G ,则G 0,-12,由(1)知P22,2,∵PQ+GQ=PQ+G Q≥G P=251,即P,Q,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG周长最小值为GP+G P=251+23．17.已知圆C:x2+y-22=1与定直线l:y=-1,且动圆M与圆C外切并与直线l相切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)已知点P是直线l1:y=-2上一个动点,过点P作轨迹E的两条切线,切点分别为A、B.①求证：直线AB过定点；②求证：∠PCA=∠PCB.【解析】(1)依题意知：M到C0,2的距离等于M到直线y=-2的距离,∴动点M的轨迹是以C为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x2=2py p>0,则p2=2,则p=4,即抛物线的方程为x2=8y,故：动圆圆心M的轨迹E的方程为：x2=8y；(2)①由x2=8y得：y=18x2,∴y =14x,设A x1,1 8 x21、B x2,18x22,P t,-2,其中x1≠x2,则切线PA的方程为y-18x21=x14x-x1,即y=14x1x-18x21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x22,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28,∴t =x 1+x 22-2=x 1x28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16,∵A x 1,18x 21 、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y -y 1=x 1x -x 1 ,直线QB 的方程为y -y 2=x 2x -x 2 .又直线QA 与QB 均过点Q ,b -y 1=x 1a -x 1 ,b -y 2=x 2a -x 2 ,又x 21=2y 1,x 22=2y 2,∴y 1=ax 1-b ,y 2=ax 2-b ,所以直线AB 的方程为y =ax -b ,联立方程y =ax -b 和x 2=2y 得方程组x 2=2y ,y =ax -b ,消去y 得x 2-2ax +2b =0,∵b ≠0,∴x 1≠0,x 2≠0,∵x 1x 2=2b ,又S 0,b ,则直线AS 的斜率k 1=y 1-b x 1；直线BS 的斜率k 2=y 2-bx 2,∴k 1+k 2=x 1+x 2 x 1x22-b x 1x 2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

高中数学第四章导数及其应用4.1导数概念4.1.2问题探索_求作抛物线的切线课件湘教版选修2_2

当d→0时，kPA→6，表明随A点无限趋近于P，割线PA的斜率
无限趋近于6.
点评割线向切线逼近的过程是从有限到无限的过
程，也是d趋于0的过程，这一过程实现了从割线到
切线质的飞跃．
1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)为函数y＝x3曲线上两不同点．
(1)求当x1＝1，x2＝2时，kAB. (k2A)B求. 当x1＝x0，x2＝x0＋d时，A、B两点连线斜率
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解 (1)kAB＝fxx22－－xf1x1＝223－－113＝7. (2)kAB＝fxx22－－xf1x1 ＝x0＋dd3－x30 ＝3x20d＋3x0d2＋d3
d ＝3x02＋3x0d＋d2.
题型二有关切线方程的探索【例2】已知曲线方程为y＝f(x)＝x3＋2x，求曲线在点P(1,3)
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲，怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/7/10
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2019/7/10
解 (1)kPA1＝11－－93＝4，kPA2＝42－－93＝5，
kPA4＝146－－39＝7，kPA5＝255－－39＝126＝8.
(2)当A沿曲线趋近于P点时，x0的值趋近于3，不妨设x0＝3＋
d(d≠0)，当x0→3时，d→0，则kPA＝xx200－－93＝x0＋3＝(3＋d)＋3＝6＋d，
处的切线方程．
解 f(x0＋d)－f(x0)＝f(1＋d)－f(1) ＝(1＋d)3＋2(1＋d)－(13＋2×1) ＝3d＋3d2＋d3＋2d ＝5d＋3d2＋d3. 则k(1，d)＝5d＋3dd2＋d3＝5＋3d＋d2，当d→0时，k(1)＝5，则切线方程为：y－3＝5(x－1)即5x－y－2＝0.

高中数学新同步湘教版选修2-1讲义+精练：第2章 2.3.1 抛物线的定义与标准方程 Word版含解析

2．3抛__物__线2．3.1抛物线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．抛物线的定义平面上到一定点F和定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程[小问题·大思维]1．在抛物线定义中，若去掉条件“F∉l”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l 的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x.3．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4. 所以抛物线的标准方程是y 2＝8x .求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．[自主解答] (1)当抛物线的焦点在x 轴上时，可设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点(－3,2)代入得22＝－2p ×(－3)，∴p ＝23.∴所求抛物线方程为y 2＝－43x .当抛物线的焦点在y 轴上时，可设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)，把(－3,2)代入得(－3)2＝2p ×2， ∴p ＝94.∴所求抛物线方程为x 2＝92y .综上，所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，与y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)，当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ，当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， ∵－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ，综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？解：直线x －2y －4＝0与x 轴的交点是(4,0)，与y 轴的交点是(0，－2)，则抛物线的准线方程为x ＝4或y ＝－2.当准线方程为x ＝4时，可设方程为y 2＝－2px ，则p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝－16x . 当准线方程为y ＝－2时，可设方程为x 2＝2py ，则－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y . 综上，抛物线的标准方程为y 2＝－16x 或x 2＝8y .求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p 的方程，求出p 的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，利用已知条件求出m ，n 的值．1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程．解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)．由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋a2 ＝5，又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝－4x ；(2)2y 2－x ＝0.[自主解答] (1)∵y 2＝－4x ，∴抛物线的焦点在x 轴的负半轴上，又2p ＝4，∴p ＝2.∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x ＝1. (2)由2y 2－x ＝0，得y 2＝12x .∴抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，又2p ＝12，∴p ＝14∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0，准线方程为x ＝－18.此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p 的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系．步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p 值；④写焦点坐标和准线方程．3．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．解：(1)将抛物线方程y ＝－18x 2变形为x 2＝－8y ，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝8，所以p ＝4.所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y ＝2.(2)当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝a ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a4；当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－a ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a4 ，准线方程为y ＝－a4.综上，抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a 4.抛物线定义的应用已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．[自主解答] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，点P ，点(0,2)，和抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.本例中若将点(0,2)改为点A (3,2)，F 为抛物线的焦点，求|PA |＋|PF |的最小值．解：将x ＝3代入y 2＝2x ， ∴y ＝±6.∴A 在抛物线内部．设P 为其上一点，P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d .则|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值是72.即|PA |＋|PF |的最小值是72.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边之间的不等关系，点与直线的连线中垂线段最短等．4．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小．解：∵(－2)2＜4×8，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 内部．如图，抛物线的准线为l ，过P 作P Q ⊥l 于Q ，过A 作AB ⊥l 于B ，由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|P Q |＋|PA |≥|A Q |≥|AB |，当且仅当A ，P ，Q 三点共线时， |PF |＋|PA |的值最小，最小值为|AB |， ∵A (－2,4)，∴|PF |＋|PA |最小时点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12时，|PF |＋|PA |的值最小．解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．[解] 法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.法二：如图所示，设抛物线方程为 x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p 2，又|MF |＝5，由定义知3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.[点评] 抛物线的标准方程只有一个待定系数，故求抛物线的标准方程时，应设法建立参数p 的关系式．还要注意抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的相互转化．1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝20xB ．x 2＝20yC ．y 2＝120xD ．x 2＝120y 解析：由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .答案：B2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由抛物线的定义知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：C4．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 解析：由x 2＋y 2－6x －7＝0，得(x －3)2＋y 2＝16， ∴x ＝－p2＝－1，即p ＝2.答案：25．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4， ∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)．∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x6．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义，设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0.则准线为x ＝p2，M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10.则p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．一、选择题1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148.答案：C 2．若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4 解析：椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2.∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，由于c a ＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以b a ＝3，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D 二、填空题5．若抛物线y 2＝8x 上的一点P 到其焦点的距离为10，则P 点的坐标为________．解析：设P (x P ，y P )，∵点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，∴x P ＝8，y P＝±8.故P 点坐标为(8，±8)．答案：(8，±8)6．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点________．解析：动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)．答案：(2,0)7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：如图，过点Q 作Q A 垂直准线l ，垂足为A ，则Q A 与抛物线的交点即为P 点．易求P ⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－18．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°. 又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形．由|HF |＝4得|AF |＝8，∴|PF |＝8. 答案：8三、解答题9．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py ，(p >0)或y 2＝－2px (p >0)，把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得 p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x . 当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14. 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2.10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)．由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝3＋1＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.。

湘教版数学选修2-2配套课件4-1-1问题探索——求自由落体的瞬时速度精选ppt课件

[预习导引]
1．时伽间利t有略近通似过的实函验数得关到系的s＝，自4.其9由t2关落系体是的下落距离. s和
2．瞬时速度
平均速度
(速(于21))度若0在时v物(tt0，)体时就时的是刻运间平的动均段瞬方速[t程时0度，为速vt(st0＝，度＋fd(即d)t＝)]，内指f则的t在＋物d时d体－刻在f任tt0在＋意d时d趋．，刻于t当的0时d瞬的趋时极
者有本质区别．
跟踪演练2 枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪
口时的瞬时速度．
解运动方程为s＝12at2. v(t，d)＝12at＋dd2－12at2 ＝12ad2d＋atd＝12ad＋at. 当d趋于0时，12ad＋at的极限为at. a＝5.0×105 m/s2，t＝1.6×10－3 s， ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为5×105×1.6×10－3 m/s，即800 m/s.
限.
要点一求平均速度
例1
已知一物体做自由落体运动，运动的方程为s＝
1 2
gt2(位
移单位：m，时间单位：s)，求：
(1)物体在t0到t0＋d这段时间内的平均速度 v .
(2)物体在t＝10 s到t＝10.1 s这段时间内的平均速度．
解 (1)s(t0＋d)－s(t0)＝12g(t0＋d)2－12gt20 ＝gt0d＋12gd2，在t0到 t0＋d这段时间内，物体平均速度为 v(t0，d)＝gt0d＋d 12gd2＝gt0＋12gd. (2)由(1)知：t0＝10 s，d＝0.1 s，平均速度为10g＋12g×0.1＝10.05g(m/s)．
规律方法物体的运动方程是s(t)，则从t＝t1到t＝t2的平均速度是v(t，d)＝st2t2－－ts1t1.

【湘教版】2021年高中数学选修2-2(全集)课堂练习汇总

(湘教版)高中数学选修2 -2 (全册)课堂练习汇总第4章导数及其应用4．1导数概念4．1.1问题探索- -求自由落体的瞬时速度1．一质点的运动方程是s＝4－2t2, 那么在时间段[1,1＋d]内相应的平均速度为() A．2d＋4 B．－2d＋4C．2d－4 D．－2d－4答案 D解析v(1, d)＝4－2(1＋d)2－4＋2×12d＝－4d＋2d2d＝－2d－4.2．物体位移s与时间t的函数关系为s＝f(t)．以下表达正确的选项是() A．在时间段[t0, t0＋d]内的平均速度即是在t0时刻的瞬时速度B．在t1, t2, t3, t4＝1.000 1, 这四个时刻的速度都与t＝1时刻的速度相等C．在时间段[t0－d, t0]与[t0, t0＋d](d>0)内当d趋于0时, 两时间段的平均速度相等D．以上三种说法都不正确答案 C解析两时间段的平均速度都是在t0时刻的瞬时速度．3．s＝12gt2, v＝________.答案g解析v＝12g2－12g·323.1－3＝g.4．如果质点M的运动方程是s＝2t2－2, 那么在时间段[2,2＋d]内的平均速度是________．答案8＋2d解析v(2, d)＝s(2＋d)－s(2)d＝8＋2d.1．平均速度与瞬时速度的区别与联系平均速度是运动物体在某一段时间内位移的平均值, 即用时间除位移得到, 而瞬时速度是物体在某一时间点的速度, 当时间段越来越小的过程中, 平均速度就越来越接近一个数值, 这个数值就是瞬时速度, 可以说, 瞬时速度是平均速度在时间间隔无限趋于0时的 "飞跃〞．2．求瞬时速度的一般步骤设物体运动方程为s＝f(t), 那么求物体在t时刻瞬时速度的步骤为:(1)从t到t＋d这段时间内的平均速度为f(t＋d)－f(t)d, 其中f(t＋d)－f(t)称为位移的增量;(2)对上式化简, 并令d趋于0, 得到极限数值即为物体在t时刻的瞬时速度.4．问题探索- -求作抛物线的切线1．一物体作匀速圆周运动, 其运动到圆周A处时() A．运动方向指向圆心OB．运动方向所在直线与OA垂直C．速度与在圆周其他点处相同D．不确定答案 B2．假设函数f(x)＝2x2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy), 那么Δy d等于() A．1 B．2＋d C．4＋2d D．4＋d答案 C解析Δyd＝2(1＋d)2－1－(2×12－1)d＝4＋2d.3．过曲线y＝2x上两点(0,1), (1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析由平均变化率的几何意义知, k＝2－11－0＝1.4．函数f(x)＝－x2＋x的图象上一点(－1, －2)及邻近一点(－1＋d, －2＋Δy), 那么Δyd＝________.解析Δy＝f(－1＋d)－f(－1)＝－(－1＋d)2＋(－1＋d)－(－2) ＝－d2＋3d.∴Δyd＝－d2＋3dd＝－d＋3.答案－d＋31．求曲线y＝f(x)上一点(x0, y0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量Δy, 即f(x0＋d)－f(x0)．(2)化简Δyd, 用x0与d表示化简结果．(3)令d→0, 求Δyd的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线 "在点(u, v)处的切线方程〞和 "过点(u, v)的切线方程〞．前者以点(u, v)为切点, 后者点可能在曲线上, 也可能不在曲线上, 即使在曲线上, 也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势, 刻画了曲线在这一区间升降的程度, 而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态, 它实现了由割线向切线质的飞跃．4．导数的概念和几何意义1．f(x)在x＝x0处可导, 那么limh→0f(x0＋h)－f(x0)h()A．与x0、h都有关B．仅与x0有关, 而与h无关C．仅与h有关, 而与x0无关D．与x0、h均无关答案 B2．假设f(x0)－f(x0－d)＝2x0d＋d2, 以下选项正确的选项是() A．f′(x)＝2 B．f′(x)＝2x0C．f′(x0)＝2x0D．f′(x0)＝d＋2x0答案 C3．函数y＝f(x)图象如图, 那么f′(x A)与f′(x B)的大小关系是() A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定答案 A4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2), 那么在区间[1,1＋d]上的平均变化率为________, 在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.答案3＋d 31．求导数的步骤主要有三步:(1)求函数值的增量: Δy＝f(x0＋d)－f(x0);(2)求平均变化率: Δyd＝f(x0＋d)－f(x0)d;(3)取极限: f′(x0)＝Δy d.2．导数的几何意义(1)对于函数y＝f(x)在x0处的导数是表示在x0处函数值变化快慢的一个量, 其几何意义为在x＝x0处的切线的斜率．(2)f′(x)是指随x变化, 过曲线上的点(x, f(x))的切线斜率与自变量x之间的函数.4．导数的运算法那么1．以下结论不正确的选项是() A．假设y＝3, 那么y′＝0B．假设f(x)＝3x＋1, 那么f′(1)＝3C．假设y＝－x＋x, 那么y′＝－12x＋1D．假设y＝sin x＋cos x, 那么y′＝cos x＋sin x答案 D解析利用求导公式和导数的加、减运算法那么求解．D项, ∵y＝sin x＋cos x,∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x . 2．函数y ＝cos x1－x的导数是 ( )A.－sin x ＋x sin x(1－x )2B.x sin x －sin x －cos x(1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x答案 C解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x(1－x )2.3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1, －1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2答案 A 解析 ∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2,∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2,∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1), 即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线, 那么实数b ＝________. 答案 ln 2－1解析设切点为(x 0, y 0), ∵ y ′＝1x , ∴12＝1x 0,∴x 0＝2, ∴y 0＝ln 2, ln 2＝12×2＋b , ∴b ＝ln 2－1.求函数的导数要准确把函数分割为根本函数的和、差、积、商, 再利用运算法那么求导数．在求导过程中, 要仔细分析出函数解析式的结构特征, 根据导数运算法那么, 联系根本函数的导数公式．对于不具备导数运算法那么结构形式的要进行适当恒等变形, 转化为较易求导的结构形式, 再求导数, 进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.4．2导数的运算4．2.1几个幂函数的导数4．2.2一些初等函数的导数表1．f(x)＝x2, 那么f′(3)＝() A．0 B．2x C．6 D．9答案 C解析∵f(x)＝x2, ∴f′(x)＝2x, ∴f′(3)＝6.2．函数f(x)＝x, 那么f′(3)等于()A.36B．0 C.12xD.32答案 A解析∵f′(x)＝(x)′＝12x, ∴f′(3)＝123＝36.3．设正弦曲线y＝sin x上一点P, 以点P为切点的切线为直线l, 那么直线l的倾斜角的范围是()A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 π B ．[0, π) C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π4 3π4 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 3π4答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x , ∵k l ＝cos x , ∴－1≤k l ≤1, ∴αl ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π4∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫3π4 π.4．曲线y ＝e x 在点(2, e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x , ∴k ＝e 2,∴曲线在点(2, e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2), 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时, y ＝－e 2, 当y ＝0时, x ＝1. ∴S △＝12×1×||－e 2＝12e 2.1．利用常见函数的导数公式可以比拟简捷的求出函数的导数, 其关键是牢记和运用好导数公式．解题时, 能认真观察函数的结构特征, 积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x , 所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正、余弦函数的导数, 一是注意函数的变化, 二是注意符号的变化．4.3 导数在研究函数中的应用4．3.1 利用导数研究函数的单调性1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是减函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是增函数 D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 1e 上是增函数, 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1e 6上是减函数答案 A解析 ∵x ∈(0,6)时, f ′(x )＝1＋1x ＞0, ∴函数在(0,6)上单调递增． 2．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数, 假设y ＝f ′(x )的图象如下图, 那么函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 D解析由导函数的图象可知, 当x ＜0时, f ′(x )＞0, 即函数f (x )为增函数; 当0＜x＜2时, f′(x)＜0, 即f(x)为减函数; 当x＞2时, f′(x)＞0, 即函数f(x)为增函数．观察选项易知D正确．3．假设函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减, 那么实数a的取值范围是() A．[1, ＋∞) B．a＝1C．(－∞, 1] D．(0,1)答案 A解析∵f′(x)＝3x2－2ax－1, 又f(x)在(0,1)内单调递减,∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立, ∴f′(0)≤0, 且f′(1)≤0, ∴a≥1.4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________, 减区间为________．答案(2, ＋∞)(－∞, 2)解析y′＝2x－4, 令y′＞0, 得x＞2; 令y′＜0, 得x＜2,所以y＝x2－4x＋a的增区间为(2, ＋∞), 减区间为(－∞, 2)．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性, 导数绝|对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f′(x);(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0;(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．4.3.2函数的极大值和极小值1．以下关于函数的极值的说法正确的选项是() A．导数值为0的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D．假设f(x)在(a, b)内有极值, 那么f(x)在(a, b)内不是单调函数答案 D解析由极值的概念可知只有D正确．2．函数f(x)的定义域为R, 导函数f′(x)的图象如下图, 那么函数f(x)() A．无极大值点, 有四个极小值点B．有三个极大值点, 两个极小值点C．有两个极大值点, 两个极小值点D．有四个极大值点, 无极小值点答案 C解析在x＝x0的两侧, f′(x)的符号由正变负, 那么f(x0)是极大值; f′(x)的符号由负变正, 那么f(x0)是极小值, 由图象易知有两个极大值点, 两个极小值点．3．f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值, 那么a的取值范围为() A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6答案 D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0,解得a＞6或a＜－3.4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.假设f(x)的两个极值点为x1, x2, 且x1x2＝1, 那么实数a的值为________．解析f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.由f′(x1)＝f′(x2)＝0, 从而x1x2＝2a18＝1,所以a＝9.1．在极值的定义中, 取得极值的点称为极值点, 极值点指的是自变量的值, 极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值, 解决一些方程的解和图象的交点问题.4.3.3三次函数的性质: 单调区间和极值1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7, 在x∈[3,5]上的最|大值和最|小值分别是() A．f(2), f(3) B．f(3), f(5)C．f(2), f(5) D．f(5), f(3)答案 B解析∵f′(x)＝－2x＋4,∴当x∈[3,5]时, f′(x)<0,故f(x)在[3,5]上单调递减,故f(x)的最|大值和最|小值分别是f(3), f(5)．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)() A．有最|大值, 但无最|小值B．有最|大值, 也有最|小值C．无最|大值, 但有最|小值D．既无最|大值, 也无最|小值解析 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1), 当x ∈(－1,1)时, f ′(x )＜0, 所以f (x ) 在(－1,1)上是单调递减函数, 无最|大值和最|小值, 应选D. 3．函数y ＝x －sin x , x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π的最|大值是 ( )A ．π－1 B.π2－1 C ．π D ．π＋1 答案 C解析因为y ′＝1－cos x , 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π, 时, y ′＞0, 那么函数在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π2 π上为增函数, 所以y 的最|大值为y max ＝π－sin π＝π, 应选C. 4．(2021·安徽改编)函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上的值域为 ( )A. B.C.D.答案 A解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2, f ′(x )＞0. ∴f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 π2上是单调增函数, ∴f (x )min ＝f (0)＝0, f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝.5．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最|大值为10, 那么其最|小值为________．答案－71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)．由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.又f(－4)＝k－76, f(3)＝k－27,f(－1)＝k＋5, f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10, 得k＝5,∴f(x)min＝k－76＝－71.1．求函数y＝f(x)在[a, b]上的最|值(1)极值是局部区间内的函数的最|值, 而最|值是相对整个区间内的最|大或最|小值．(2)求最|值的步骤:①求出函数y＝f(x)在(a, b)内的极值;②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比拟, 其中最|大的一个是最|大值, 最|小的一个是最|小值．2．极值与最|值的区别和联系(1)函数的极值表示函数在某一点附近的局部性质, 是在局部对函数值的比拟;函数的最|值是表示函数在一个区间上的情况, 是对函数在整个区间上的函数值的比拟．(2)函数的极值不一定是最|值, 需要将极值和区间端点的函数值进行比拟, 或者考查函数在区间内的单调性．(3)如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值, 那么极大值就是最|大值, 极小值就是最|小值．(4)可导函数在极值点的导数为零, 但是导数为零的点不一定是极值点．例如,函数y＝x3在x＝0处导数为零, 但x＝0不是极值点．4.4生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油, 需对原油进行冷却和加热, 如果第x小时,原油温度(单位: ℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5), 那么, 原油温度的瞬时变化率的最|小值是()A．8 B.203C．－1 D．－8答案 C解析原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5), 所以当x＝1时, 原油温度的瞬时变化率取得最|小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V, 那么其外表积最|小时底面边长为()A.3VB.32VC.34V D．23V答案 C解析设底面边长为x, 那么外表积S＝32x2＋43x V(x>0)．∴S′＝3x2(x3－4V)．令S′＝0, 得x＝34V.3. 在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起, 做成一个无盖的方底箱子, 箱底边长为多少时, 箱子容积最|大? 最|大容积是多少?解设箱底边长为x cm, 那么箱高h＝60－x2cm, 箱子容积V(x)＝x2h＝60x2－x32(0＜x＜60)．V′(x)＝60x－32x2令V′(x)＝60x－32x2＝0,解得x＝0(舍去)或x＝40, 并求得V(40)＝16 000.由题意知, 当x过小(接近0)或过大(接近60)时, 箱子容积很小, 因此, 16 000是最|大值．答当x＝40 cm时, 箱子容积最|大, 最|大容积是16 000 cm3.4．统计说明: 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．甲、乙两地相距100千米, 当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最|少? 最|少为多少升?解当速度为x 千米/时时, 汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时, 设耗油量为h (x )升,依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120),h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0, 得x ＝80.因为x ∈(0,80)时, h ′(x )<0, h (x )是减函数; x ∈(80,120)时, h ′(x )>0, h (x )是增函数,所以当x ＝80时, h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)．因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值, 所以它是最|小值．答汽车以80千米/时匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最|少, 最|少为．1．解有关函数最|大值、最|小值的实际问题, 在分析问题中的各个变量之间的关系的根底上, 列出符合题意的函数关系式, 并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时, 有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0, 如果函数在该点取得极大(小)值, 极值就是函数的最|大(小)值, 因此在求有关实际问题的最|值时, 一般不考虑端点．4．5.3 定积分的概念1．定积分⎠⎛011d x 的值等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．2 答案 B2．⎠⎛13f (x )d x ＝56, 那么 ( )A.⎠⎛12f (x )d x ＝28B.⎠⎛23f (x )d x ＝28C.⎠⎛122f (x )d x ＝56 D.⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝56 答案 D3．如下图, ⎠⎛a b f 1(x )d x ＝M , ⎠⎛ab f 2(x )d x ＝N , 那么阴影局部的面积为( )A ．M ＋NB ．MC ．ND ．M －N 答案 D4．不用计算, 根据图形, 用不等号连接以下各式( )(1)⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x (图1); (2)⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x (图2); (3)⎠⎛024－x 2d x ________⎠⎛022d x (图3)．答案 (1)> (2)< (3)<1．定积分可以表示图形的面积从几何上看, 如果在区间[a , b ]上, 函数f (x )连续且恒有f (x )≥0, 那么定积分⎠⎛a bf (x )d x 就表示由直线x ＝a , x ＝b (a ≠b ), y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积, 这就是定积分⎠⎛a b f (x )d x 的几何意义．2．定积分表示图形面积的代数和被积函数是正的, 定积分的值也为正, 如果被积函数是负的, 函数曲线在x 轴之下, 定积分的值就是带负号的曲边梯形的面积．当被积函数在积分区间上有正有负时, 定积分就是x 轴之上的正的面积与x 轴之下的负的面积的代数和．3．此外, 定积分还有更多的实际意义, 比方在物理学中, 可以用定积分表示功、路程、压力、体积等．4．定积分是一个数值(极限值), 它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限, 而与积分变量用什么字母表示无关, 即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (u )d u ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝…(称为积分形式的不变性), 另外定积分⎠⎛a b f (x )d x 与积分区间[a , b ]息息相关, 不同的积分区间, 所得的值也不同, 例如⎠⎛01(x 2＋1)d x 与⎠⎛03(x 2＋1)d x 的值就不同.4．5.4 微积分根本定理1．(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2 答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ,＝π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＝π＋2. 2．假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2, 那么a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1x d x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2, 解得a ＝2. 3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.答案 43解析 ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33⎪⎪⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43.4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －2π0≤x ≤π2cos xπ2<x ≤π, 计算⎠⎛0πf (x )d x .取F 1(x )＝2x 2－2πx , 那么F 1′(x )＝4x －2π; 取F 2(x )＝sin x , 那么F 2′(x )＝cos x .1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数, 要先化简, 再求积分．(2)假设被积函数是分段函数, 依据定积分 "对区间的可加性〞, 分段积分再求和．(3)对于含有绝|对值符号的被积函数, 要去掉绝|对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值, 也可取负值, 还可以取0, 而面积是正值, 因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和, 而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数．4.5定积分与微积分根本定理4．5.1曲边梯形的面积4．5.2计算变力所做的功1．由直线x＝1, x＝2, y＝0和y＝x＋1围成的图形的面积为()A.32B．2 C.52D．3答案 C解析 S ＝12(2＋3)×1＝52.2．抛物线y ＝x 2与直线x ＝0, x ＝1, y ＝0所围成的平面图形的面积为( )A.14B.13C.12 D ．1 答案 B3.∑6k ＝1(1k －1k ＋1)＝________.答案 674．和式1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p ＞0)当n →∞时, 能无限趋近于一个常数A , 此时, A的几何意义是表示由y ＝f (x )和x ＝0, x ＝1以及x 轴围成的图形面积, 根据和式, 可以确定f (x )＝________. 答案 x p解析因为1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1＝1n ·[(1n )p ＋(2n )p ＋…＋(n n )p ],所以当n →∞时, 和式表示函数f (x )＝x p 和x ＝0, x ＝1, 以及x 轴围成的曲边梯形面积, 填x p .1．曲边梯形的面积要求一个曲边梯形的面积, 不能用已有的面积公式计算, 为了计算曲边梯形的面积, 可以将它分割成许多个小曲边梯形, 每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替, 对这些近似值求和, 就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时, 这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积． 2．变力所做的功变力做功的计算和曲边梯形面积的计算所用的方法是一样的, 仍然是 "化整为零, 以直代曲〞的策略．虽然它们的意义不同, 但都可以归纳为求一个特定形式和的极限．通过这两个背景问题, 能使我们更好地了解定积分的概念．5．3 复数的四那么运算1．假设z－3－2i＝4＋i, 那么z等于() A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1－3i答案 B解析z＝(4＋i)－(3＋2i)＝1－3i.2．假设复数z1＝1＋i, z2＝3－i, 那么z1·z2＝() A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i答案 A解析z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i, 应选A.3．5－(3＋2i)＝________.答案2－2i4．复数11－i的虚部是________．答案1 2解析∵11－i＝1＋i(1－i)(1＋i)＝1＋i2＝12＋12i.∴虚部为12.1．复数代数形式的加、减法运算法那么设z1＝a＋b i, z2＝c＋d i(a, b, c, d∈R), 那么有z1±z2＝(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i.即两个复数相加(减), 就是把实部与实部、虚部与虚局部别相加(减)．2．复数代数形式的乘法运算法那么(1)复数乘法的法那么复数的乘法与多项式的乘法是类似的, 但必须在所得的结果中把i2换成－1, 并且把实部、虚局部别合并．(2)复数乘法的运算律对于任意的z1, z2, z3∈C, 有z1·z2＝z2·z1(交换律),(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律),z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．3．复数代数形式的除法运算法那么在无理式的除法中, 利用有理化因式可以进行无理式的除法运算．类似地, 在复数的除法运算中, 也存在所谓 "分母实数化〞问题．将商a＋b ic＋d i的分子、分母同乘以c－d i, 最|后结果写成实部、虚局部开的形式: a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝(ac＋bd)＋(－ad＋bc)ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋－ad＋bcc2＋d2i即可.5．4 复数的几何表示1．在复平面内, 复数z＝i＋2i2对应的点位于() A．第|一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 B解析∵z＝i＋2i2＝－2＋i, ∴实部小于0, 虚部大于0, 故复数z对应的点位于第二象限．2．当0<m <1时, z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第|一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵0<m <1, ∴m ＋1>0, －1<m －1<0, 故对应的点在第四象限内． 3．在复平面内, O 为原点, 向量OA→对应的复数为－1＋2i, 假设点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B , 那么向量OB→对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 答案 B解析 ∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1), ∴向量OB →对应的复数为－2＋i.4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上, 那么实数m 的值为________．答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上, ∴m －3＝2m , 解之得m ＝9.1．复数的几何意义的理解中需注意的问题 (1)复数的实质是有序实数对．(2)复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1, 而不是i.(3)当a ＝0时, 对任何b ≠0, a ＋b i ＝0＋b i ＝b i(a , b ∈R )是纯虚数, 所以纵轴上的点(0, b )(b ≠0)都表示纯虚数．(4)复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R )中的z , 书写时应小写, 复平面内点Z (a , b )中的Z , 书写时应大写． 2．共轭复数当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做共轭复数．设复数z ＝a ＋b i(a , b ∈R ), 那么其共轭复数z ＝a －b i.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．5．1 解方程与数系的扩充5．2 复数的概念1．复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚局部别是2和3, 那么实数a , b 的值分别是( )A.2, 1B.2, 5 C ．±2, 5 D ．±2, 1 答案 C解析令⎩⎨⎧a 2＝2－2＋b ＝3, 得a ＝±2, b ＝5.2．以下复数中, 满足方程x 2＋2＝0的是( )A ．±1B ．±iC ．±2iD ．±2i 答案 C3．以下命题正确的选项是( )A ．假设a ∈R , 那么(a ＋1)i 是纯虚数B ．假设a , b ∈R 且a >b , 那么a ＋i>b ＋iC ．假设(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数, 那么实数x ＝±1D ．两个虚数不能比拟大小答案 D解析对于复数a ＋b i(a , b ∈R ), 当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在A中, 假设a＝－1, 那么(a＋1)i不是纯虚数, 故A错误;在B中, 两个虚数不能比拟大小, 故B错误;在C中, 假设x＝－1, 不成立, 故C错误; D正确．4．在以下几个命题中, 正确命题的个数为()①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;③1－a i(a∈R)是一个复数;④虚数的平方不小于0;⑤－1的平方根只有一个, 即为－i;⑥i是方程x4－1＝0的一个根;⑦2i是一个无理数．A．3个B．4个C．5个D．6个答案 B解析命题①②③⑥正确, ④⑤⑦错误．1．对于复数z＝a＋b i(a, b∈R), 可以限制a, b的值得到复数z的不同情况．2．两个复数相等, 要先确定两个复数的实、虚部, 再利用两个复数相等的条件进行判断.第6章推理与证明6．1合情推理和演绎推理6．1.1 归纳1．关于归纳推理以下说法正确的选项是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到特殊的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论不一定正确答案 D2．由2＋13＋1＞23,1＋35＋3＞15, ,7＋0.5)＞37, 运用归纳推理, 可猜测出的合理结论是()A.c＋ba＋b>caB.1＋1 n＋1>1nC．假设a, b, c∈(0, ＋∞), 那么b＋ca＋c ＞b aD．假设a＞b＞0, c＞0, 那么b＋ca＋c ＞b a答案 D3．数列2,5,11,20, x,47, …中的x等于________．答案324．观察以下不等式: |2＋3|≤|2|＋|3|, |(－3)＋5|≤|－3|＋|5|, |－2－3|≤|－2|＋|－3|, |4＋4|≤|4|＋|4|, 归纳出一般结论为______________________(x, y∈R)．答案|x＋y|≤|x|＋|y|解析观察易发现: 两个实数和的绝|对值不大于这两个数的绝|对值的和, 即|x＋y|≤|x|＋|y|.1．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系, 前提正确, 其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．2．归纳推理的特点: (1)归纳推理是由局部到整体、由特殊到一般的推理, 因此, 由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质, 结论不一定真实, 因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理, 通过归纳推理得到的猜测可以作为进一步研究的起点, 帮助人们发现问题和提出问题.6．1.2类比1．下面几种推理是类比推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°, 归纳出所有三角形的内角和都是180°;③张军某次考试成绩是100分, 由此推出全班同学的成绩都是100分;④三角形的内角和为180°, 四边形的内角和为360°, 五边形的内角和为540°,由此推断出凸n边形内角和是(n－2)×180°.A．①②B．①③C．①D．②④答案 C2．下面使用类比推理恰当的是() A． "假设a·3＝b·3, 那么a＝b〞类推出 "假设a·0＝b·0, 那么a＝b〞B． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc〞C． "(a＋b)c＝ac＋bc〞类推出 "a＋bc＝ac＋bc(c≠0)〞D． "(ab)n＝a n b n〞类推出 "(a＋b)n＝a n＋b n〞答案 C解析由类比推理的特点可知．3．扇形的弧长为l, 半径为r, 类比三角形的面积公式S＝底×高2, 可推知扇形的面积公式S扇形等于________．答案lr 24．由三角形的性质通过类比推理, 得到四面体的如下性质: 四面体的六个二面角的平分面交于一点, 且这个点是四面体内切球的球心, 那么原来三角形的性质为________．答案三角形三条角平分线交于一点, 且这个点是三角形内切圆的圆心解析二面角类比角, 平分面类比平分线, 故原来三角形的性质为三角形三条角平分线交于一点, 且这个点是三角形内切圆的圆心．1．类比推理是在两个(或两类)不同的对象之间进行比照, 找出假设干相同或相似点之后, 推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式, 类比推理所引出的结论并不一定真实．2．类比推理的特点: ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性推测正在研究中的事物的属性, 它以旧的认识作根底, 类比出新的结果．②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．③类比的结果是猜测性的, 尽管不一定可靠, 但它却具有发现的功能.6.1.3 演绎推理6．1.4 合情推理与演绎推理的关系1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行, 同旁内角互补, 如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角, 那么∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人, 2班有54人, 3班有52人, 由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质, 推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中, a 1＝1, a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2), 由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析A是演绎推理, B、D是归纳推理, C是类比推理．2． "因为对数函数y＝log a x是增函数(大前提), 又y＝x是对数函数(小前提), 所以y＝x是增函数(结论)．〞以下说法正确的选项是() A．大前提错误导致结论错误B．小前提错误导致结论错误C．推理形式错误导致结论错误D．大前提和小前提都错误导致结论错误答案 A解析y＝log a x是增函数错误．故大前提错．3．把 "函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线〞恢复成三段论, 那么大前提: ________; 小前提: ________; 结论: ________.答案二次函数的图象是一条抛物线函数y＝x2＋x＋1是二次函数函数y＝x2＋x＋1的图象是一条抛物线4. "如图, 在△ABC中, AC>BC, CD是AB边上的高, 求证: ∠ACD>BCD〞．证明在△ABC中,因为CD⊥AB, AC>BC,①所以AD>BD,②于是∠ACD>∠BCD.③那么在上面证明的过程中错误的选项是________．(只填序号)答案③解析由AD>BD, 得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是 "在同一三角形中, 大边对大角〞, 小前提是"AD>BD〞, 而AD与BD不在同一三角形中, 故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发, 推出某个特殊情况的推理方法; 只要前提和推理形式正确, 通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中, 证明命题的正确性都要使用演绎推理, 推理的一般模式是三段论, 证题过程中常省略三段论的大前提．6．2直接证明与间接证明6．2.1直接证明: 分析法与综合法1．y>x>0, 且x＋y＝1, 那么()A．x<x＋y2<y<2xy B．2xy<x<x＋y2<yC．x<x＋y2<2xy<y D．x<2xy<x＋y2<y答案 D解析∵y>x>0, 且x＋y＝1, ∴设y＝34, x＝14,那么x＋y2＝12, 2xy＝38, ∴x<2xy<x＋y2<y, 应选D.2．欲证2－3<6－7成立, 只需证() A．(2－3)2<(6－7)2B．(2－6)2<(3－7)2C．(2＋7)2<(3＋6)2D．(2－3－6)2<(－7)2答案 C解析根据不等式性质, a>b>0时, 才有a2>b2,∴只需证: 2＋7<6＋3,只需证: (2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证: 1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明因为1log b a ＝log a b , 所以左边＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2, 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．1－tan α2＋tan α＝1, 求证: cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α), 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3, 只需证1－tan α1＋tan α＝3,只需证1－tan α＝3(1＋tan α), 只需证tan α＝－12, ∵1－tan α2＋tan α＝1, ∴1－tan α＝2＋tan α, 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立, ∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发, 由因导果; 分析法是从结论出发, 执果索因． 2．分析法证题时, 一定要恰当地运用 "要证〞、 "只需证〞、 "即证〞等词语． 3．在实际证题过程中, 分析法与综合法是统一运用的, 把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合; 没有综合也没有分析．问题仅在于, 在构建命题的证明路径时, 有时分析法居主导地位, 综合法伴随着它; 有时却刚刚相反, 是综合法居主导地位, 而分析法伴随着它.6.2.2 间接证明: 反证法。

数学(选修22)练习4.1.14.1.2问题探索求自由落体的瞬时速度;问题探索求作抛物线的切线活页作

活页作业(一) 问题探索——求自由落体的瞬时速度问题探索——求作抛物线的切线1．物体的运动方程为s ＝f (t )，物体在t 到t ＋d 这段时间内的平均速度等于( ) A.f (t ＋d )－f (t )dB.f (d )dC ．当d 趋于0时，f (t ＋d )－f (t )d 趋于的常数D.f (t )t 答案：A2．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则该质点在[1，1＋d ]上的平均速度为( ) A ．3d ＋6 B ．－3d ＋6 C ．3d －6D ．－3d －6解析：v (1，d )＝f (1＋d )－f (1)d ＝－3d －6.答案：D3．一质点按运动规律s ＝2t 3运动，则在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．4B ．6C ．24D ．48解析：物体在[2,2＋d ]上的平均速度v (2，d )＝f (2＋d )－f (2)d＝2d 2＋12d ＋24，所以物体在t ＝2时的瞬时速度为24.答案：C4．已知曲线y ＝12x 2－2上一点P (2,0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为( )A ．0B ．12C ．1D ．2解析：在曲线上另取一点Q ⎝⎛⎭⎫2＋d ，12(2＋d )2－2，则k (2，d )＝12(2＋d )2－2－0d ＝12d ＋2，则曲线在点P 处切线斜率为2.答案：D5．若一物体的运动方程为s ＝t 3＋t ，则该物体的初速度为____________.解析：物体在[0，d ]上的平均速度v (0，d )＝f (d )－f (0)d ＝d 2＋1，所以物体的初速度为1.答案：16．一物体做直线运动的运动方程为s ＝t 2，则该物体在t ＝3时的瞬时速度为____________.解析：物体在[3,3＋d ]上的平均速度v (3，d )＝f (3＋d )－f (3)d ＝d ＋6，所以物体在t ＝3时的瞬时速度为6.答案：67．已知点P (－1,1)为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Q 趋于点P 时，PQ 的斜率趋于－2，则曲线在点P 处的切线方程为____________________.答案：2x ＋y ＋1＝08．曲线y ＝x 3在点P 处切线的斜率为k ，当k ＝3时，点P 的坐标为____________________. 解析：设P (u ，u 3)，在曲线上另取一点Q (u ＋d ，(u ＋d )3)，则k (u ，d )＝(u ＋d )3－u 3d＝3u 2＋3ud ＋d 2.∴k ＝3u 2＝3.∴u ＝±1.∴P (1,1)或P (－1，－1)．答案：(1,1)或(－1，－1)9．运动员从10 m 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，运动员起跳t s 后相对水面的高度(单位：m)为H (t )＝－5t 2＋5t ＋10.(1)求运动员起跳时的初速度． (2)求运动员入水时的瞬时速度．解：(1)物体的初速度即物体在t ＝0时刻的瞬时速度．物体在[0，d ]上的平均速度v (0，d )＝H (d )－H (0)d ＝－5d ＋5.当d 趋于0时，v (0，d )趋于5，所以运动员的初速度为5 m/s. (2)令H (t )＝0，则－5t 2＋5t ＋10＝0.解得t ＝2.物体在[2,2＋d ]上的平均速度v (2，d )＝H (2＋d )－H (2)d ＝－5d －15.当d 趋于0时，v (2，d )趋于－15，∴运动员入水时的瞬时速度为－15 m/s.10．求曲线y ＝x 2－4x ＋3上任意一点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，并求出在曲线的零点处的切线方程．解：在曲线上另取一点Q (x 0＋d ，(x 0＋d )2－4(x 0＋d )＋3)，则直线PQ 的斜率k (x 0，d )＝(x 0＋d )2－4(x 0＋d )＋3－(x 20－4x 0＋3)d＝d ＋2x 0－4.当d 趋于0时，k (x 0，d )趋于2x 0－4，则曲线在点P 处切线斜率为2x 0－4.令y ＝x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∴抛物线在零点处的斜率分别为－2和2，从而在零点处的切线方程分别为y ＝－2(x －1)和y ＝2(x －3)，即2x ＋y －2＝0和2x －y －6＝0.11．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是m ，t 的单位是s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m /sB ．6 m/sC ．5 m /sD ． 8 m/s答案：C12．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则b 的值为____________. 解析：将(1,3)代入y ＝kx ＋1及y ＝x 3＋ax ＋b ，得k ＝2及a ＋b ＝2.又k (1，d )＝(1＋d )3＋a (1＋d )＋b －3d ＝d 2＋3d ＋(3＋a )，从而3＋a ＝2，则a ＝－1，∴b＝3.答案：313．某一物体的运动规律为f (t )＝t 3－t 2＋2t ＋5，则物体在t ＝2时的瞬时速度为____________.解析：物体在[2,2＋d ]上的平均速度v (2，d )＝f (2＋d )－f (2)d ＝d 2＋5d ＋10，所以物体在t＝2时的瞬时速度为10.答案：1014．已知曲线y ＝x 2－1与y ＝x 3＋1在x 0处的切线相互垂直，则x 0＝____________. 解析：对于曲线y ＝x 2－1，设P (x 0， x 20－1)，在曲线上另取一点Q (x 0＋d ，(x 0＋d )2－1)，则直线PQ 的斜率 k (x 0，d )＝(x 0＋d )2－1－(x 20－1)d＝d ＋2x 0，当d 趋于0时，k (x 0，d )趋于2x 0，则曲线y ＝x 2－1在x 0处的切线的斜率为2x 0.对于曲线y ＝x 3＋1，设M (x 0，x 30＋1)，在曲线上另取一点N (x 0＋d ，(x 0＋d )3＋1)，则直线MN 的斜率k (x 0，d )＝(x 0＋d )3＋1－(x 30＋1)d＝3x 20＋3x 0d ＋d 2. 当d 趋于0时，k (x 0，d )趋于3x 20，则曲线y ＝x 3＋1在x 0处的切线的斜率为3x 20.由题意得2x 0·3x 20＝－1.∴x 0＝－3366. 答案：－336615．一物体做直线运动的运动方程为s ＝s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2(0≤t ＜3)，29＋3(t －3)2(t ≥3). 求此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度．解：当t ＝1时，物体在[1,1＋d ](0＜d ＜2)上的平均速度v (1，d )＝3(1＋d )2＋2－(3×12＋2)d ＝3d ＋6.当d 趋于0时，v (1，d )趋于6， ∴物体在t ＝1时的瞬时速度为6.当t ＝4时，物体在[4,4＋d ]上的平均速度v (4，d )＝29＋3(4＋d －3)2－[29＋3(4－3)2]d ＝3d ＋6.当d 趋于0时，v (4，d )趋于6， ∴物体在t ＝4时的瞬时速度为6.16．已知抛物线y ＝2x 2＋1上一点P 处的切线平行直线y ＝4x －2，另一点M 处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0，试求出P ，M 两点的坐标．解：由题意，得曲线在点P 处的切线的斜率为4，在点M 处的切线的斜率为8. 设P (u,2u 2＋1)，在曲线上另取一点Q (u ＋d ，2(u ＋d )2＋1)，则直线PQ 的斜率 k (u ，d )＝2(u ＋d )2＋1－(2u 2＋1)d ＝2d ＋4u .当d 趋于0时，k (u ，d )趋于4u ， ∴4u ＝4，即u ＝1.∴P (1,3)．同理可求得M (2,9)．。

【湘教版】高中数学同步选修2-2教案+精练学案：第4章章末小结

1．导数的几何意义导数的几何意义通常是指曲线的切线斜率；导数的物理意义通常是指物体运动的瞬时速度．2．函数的单调性与导数(1)在某个区间内，若f′(x)>0(或f′(x)<0)，则函数f(x)在此区间内为增(或减)函数．(2)利用导数证明函数在某区间上的单调性的关键是设法证明f′(x)>0或f′(x)<0恒成立；利用导数讨论函数的单调区间，则要解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.(3)若f(x)为增(或减)函数，则应有f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．在已知函数的单调性，利用导数求解相关参数时，要特别关注f′(x)＝0，即f(x)为常数的情况．3．导数与函数的极值、最值(1)函数的极值是一个局部概念，极大值与极小值之间无确定的大小关系，并且函数的极值个数不是确定的，也可能没有极值．而函数的最值表示函数在一个区间上的整体情况，是对函数在整个区间上函数值的比较．(2)可导函数的极值点必是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．从而知x0是极值点的充分条件是在x＝x0的两侧导数值异号．(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值．求最值的关键是比较极值与端点处的函数值的大小．若定义域内只有一个极值点，则这个极值点一定是最值点．4．定积分与微积分基本定理利用微积分基本定理计算定积分，关键是求被积函数的原函数．而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆．[例1]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为 k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32. (2)法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16.整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2. ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1. 解得x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k ＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)∵切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)，于是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．1．(天津高考)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，又f (1)＝a ，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)，令x ＝0，得y ＝1. 答案：12．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞).[例2] (全国卷Ⅲ节选)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x ，讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x .若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＜0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减．(1)利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0 的解集．(2)已知函数在某个区间上单调，求参数问题，通常是解决一个恒成立问题．3．证明：不等式ln x >2(x －1)x ＋1，其中x >1.证明：设f (x )＝ln x －2(x －1)x ＋1(x >1)，则f ′(x )＝1x －4(x ＋1)2. ∵x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(1，＋∞)内为单调增函数．又∵f (1)＝0，∴当x >1时，f (x )>f (1)＝0，即ln x －2(x －1)x ＋1>0，∴ln x >2(x －1)x ＋1.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间；(2)若g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1，所以f (x )的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0,1)． (2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x ，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x2＋ax ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x 2－4x <0，∴φ(x )＝2x －2x 2在[1，＋∞)上为减函数． ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ln x －ax.(1)若f (x )存在最小值且最小值为2，求a 的值；(2)设g (x )＝ln x －a ，若g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，求a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax2(x ＞0)，当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )不存在最小值；当a ＜0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－a ，且0＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， x ＞－a 时，f ′(x )＞0.∴x ＝－a 时，f (x )取极小值也是最小值， f (－a )＝ln(－a )＋1＝2，解得a ＝－e.(2)g (x )＜x 2，即ln x －a ＜x 2，即a ＞ln x －x 2，故g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立，也就是a ＞ln x －x 2在(0，e]上恒成立．设h (x )＝ln x －x 2，则h ′(x )＝1x －2x ＝1－2x 2x ，由h ′(x )＝0及0＜x ≤e ，得x ＝22. 当0＜x ＜22时，h ′(x )＞0，当22＜x ≤e 时，h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫0，22上为增函数，在⎝⎛⎦⎤22，e 上为减函数，所以当x ＝22时，h (x )取得最大值为h ⎝⎛⎭⎫22＝ln 22－12.所以g (x )＜x 2在(0，e]上恒成立时， a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫ln22－12，＋∞.一般地，若已知函数f (x )在某区间上的不等式恒成立，求函数表达式中所含参数的取值范围问题，都可以借助导数转化为求函数的最值或函数值域的端点问题，然后根据不等式恒成立问题的解法(如：分离参数法，数形结合法)进行求解．5．(北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0，所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减．因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 6．设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解：∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)， ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x ＝1时，f (x )取极大值f (1)＝5＋8c . 又f (3)＝9＋8c >f (1)，f (0)＝8c ＜f (1)， ∴x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c .∵对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).[例4]已知函数f(x)＝x2e x－1－13x3－x2.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设g(x)＝23x3－x2，试比较f(x)与g(x)的大小．[解](1)f′(x)＝x(x＋2)(e x－1－1)，由f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.当－2<x<0或x>1时，f′(x)>0；当x<－2或0<x<1时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－2,0)和(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)和(0,1)上单调递减．(2)f(x)－g(x)＝x2e x－1－x3＝x2(e x－1－x)．因为对任意实数x总有x2≥0，所以设h(x)＝e x－1－x.则h′(x)＝e x－1－1，由h′(x)＝0，得x＝1，当x<1时，h′(x)<0，即函数h(x)在(－∞，1)上单调递减，因此当x<1时，h(x)>h(1)＝0.当x>1时，h′(x)>0，即函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此当x>1时，h(x)>h(1)＝0.当x＝1时，h(1)＝0.所以对任意实数x都有h(x)≥0，即f(x)－g(x)≥0，故对任意实数x，恒有f(x)≥g(x)．利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考查这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．7．已知f(x)＝ln x－x＋a＋1.(1)若存在x∈(0，＋∞)使得f(x)≥0成立，求a的取值范围；(2)求证：当x ＞1时，在(1)的条件下，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．解：(1)原题即为存在x >0使得ln x －x ＋a ＋1≥0， ∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x . 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0. 故a 的取值范围是[0，＋∞)． (2)证明：原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)．令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0， ∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立，即12x 2＋ax －a >x ln x ＋12成立．[例5] 如图，四边形ABCD 是一块边长为4 km 的正方形地域，地域内有一条河流MD ，其经过的路线是以AB 中点M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园P Q CN ，问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积．[解] 以M 为原点，AB 所在直线为y 轴建立直角坐标系，则D (4,2)．设抛物线方程为y 2＝2px . ∵点D 在抛物线上， ∴22＝8p . 解得p ＝12.∴抛物线方程为：y 2＝x (0≤x ≤4)．设P (y 2，y )(0≤y ≤2)是曲线MD 上任一点，则|P Q |＝2＋y ，|PN |＝4－y 2. ∴矩形游乐园面积为S ＝|P Q |×|PN |＝(2＋y )(4－y 2)＝8－y 3－2y 2＋4y . 求导得：S ′＝－3y 2－4y ＋4，令S ′＝0，得3y 2＋4y －4＝0，解得y ＝23或y ＝－2(舍)．当y ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，S ′>0，函数为增函数；当y ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，S ′<0，函数为减函数． ∴当y ＝23时，S 有最大值．得|P Q |＝2＋y ＝2＋23＝83，|PN |＝4－y 2＝4－⎝⎛⎭⎫232＝329.∴游乐园的最大面积为S max ＝83×329＝25627(km 2)．(1)解决实际问题中的最值问题，若列出的解析式是三次或更高次的函数，常考虑用导数求解；(2)在实际问题中，f ′(x )＝0常常仅有一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．8．某工厂某种产品的年产量为1 000x 吨，其中x ∈[20,100]，需要投入的成本为C (x )(单位：万元)，当x ∈[20,80]时，C (x )＝12x 2－30x ＋500；当x ∈(80,100]时，C (x )＝20 000x .若每吨商品售价为ln xx 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(单位：万元)关于x 的函数关系式； (2)年产量为多少吨时，该厂所获利润最大？解：(1)由题意，知L (x )＝1 000ln x －C (x )＝⎩⎨⎧1 000ln x －⎝⎛⎭⎫12x 2－30x ＋500，x ∈[20，80]，1 000ln x －20 000x，x ∈(80，100].(2)当x ∈[20,80]时，L ′(x )＝－(x －50)(x ＋20)x，由L ′(x )≥0，得20≤x ≤50；由L ′(x )≤0，得50≤x ≤80， ∴L (x )在[20,50]上单调递增，在[50,80]上单调递减， ∴当x ＝50时，L (x )max ＝1 000ln 50－250；当x ∈(80,100]时，L (x )＝1 000ln x －20 000x单调递增， ∴L (x )max ＝1 000ln 100 －2 000.∵1 000ln 50－250－(1 000ln 100－2 000)＝1 750－1 000ln 2>1 750－1 000>0， ∴当x ＝50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50－250)万元.[例6] 求正弦曲线y ＝sin x 与余弦曲线y ＝cos x 在x ＝－3π4到x ＝5π4之间围成的图形的面积．[解] 如图，画出y ＝sin x 与y ＝cos x 在⎣⎡⎦⎤－3π4，5π4上的图象，它们共产生三个交点，分别为⎝⎛⎭⎫－3π4，－22，⎝⎛⎭⎫π4，22，⎝⎛⎭⎫5π4，－22. 在⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上，cos x >sin x ，在⎝⎛⎭⎫π4，5π4上，sin x >cos x . ∴面积S ＝⎠⎛－3π4π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x＝2⎠⎛π45π4(sin x －cos x )d x .取F (x )＝－(sin x ＋cos x )，∴S ＝2⎣⎡⎦⎤F ⎝⎛⎭⎫5π4－F ⎝⎛⎭⎫π4＝4 2.不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．9．曲线C ：y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，点P ⎝⎛⎭⎫12，0，求过点P 的切线l 与C 围成的图形的面积．解：设切点A (x 0，y 0)，则y ′＝6x 20－6x 0－2，切线l ：y －[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝(6x 20－6x 0－2)(x －x 0)过P ⎝⎛⎭⎫12，0，∴－[2x 30－3x 20－2x 0＋1]＝[6x 20－6x 0－2]·⎣⎡⎦⎤12－x 0. 即x 0(4x 20－6x 0＋3)＝0. ∴x 0＝0，y 0＝1，A (0,1)．∴切线l 的方程为y －1＝－2(x －0)． ∴2x ＋y －1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 3－3x 2－2x ＋1，y ＝1－2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－2，∴B ⎝⎛⎭⎫32，－2. ∴S ＝⎠⎜⎛32(3x 2－2x 3)d x ＝2732.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数是( ) A ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ′＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4解析：∵y ′＝(sin 2x －cos 2x )′ ＝(sin 2x )′－(cos 2x )′ ＝cos 2x ·(2x )′＋sin 2x ·(2x )′ ＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，故选A. 答案：A2．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e解析：y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ， ∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e .答案：C3．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]解析：∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x 2－1)x，当0＜x ≤1时，f ′(x )≤0，函数f (x )单调递减．答案：A4．已知函数f (x )＝x ln x ，若f (x )在x 0处的函数值与导数值之和等于1，则x 0的值等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不存在解析：因为f (x )＝x ln x ，所以f ′(x )＝ln x ＋1，于是有x 0ln x 0＋ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1或x 0＝－1(舍去)．答案：A5.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是( )解析：由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A 、B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.答案：D6．函数f (x )＝2x ＋1x ，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12解析：由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x 2＝0得x ＝1，且x ∈(0,1)时f ′(x )＜0，x ∈(1,5]时f ′(x )＞0， ∴x ＝1时f (x )最小，最小值为f (1)＝3. 答案：B7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B.1 C.32D. 3解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分⎠⎛－π3π3cos x d x ，取F (x )＝sin x ，则F ′(x )＝cos x . ∴⎠⎛－π3π3cos x d x ＝F ⎝⎛⎭⎫π3－F ⎝⎛⎭⎫－π3＝ 3. 答案：D8．设函数f (x )＝e x (sin x －cos x )(0≤x ≤2 019π)，则函数f (x )的各极小值之和为( ) A ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e 2πB ．－e 2π(1－e 2 019π)1－e πC ．－1－e 2 020π1－e 2πD ．－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π解析：∵f ′(x )＝2e x sin x ，∴当x ∈(2k π＋π，2k π＋2π)(k ∈Z)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(2k π＋2π，2k π＋3π)(k ∈Z)时，f ′(x )＞0，f(x )单调递增，故当x ＝2k π＋2π(k ∈Z)时，f (x )取极小值，其极小值为f (2k π＋2π)＝－e 2k π＋2π(k ∈Z)，又0≤x ≤2 019π，∴f (x )的各极小值之和S ＝－e 2π－e 4π－…－e 2 018π＝－e 2π(1－e 2 018π)1－e 2π.答案：D9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解析：∵f (x )在x ＝－2处取得极小值，∴在x ＝－2附近的左侧f ′(x )＜0，当x ＜－2时，xf ′(x )＞0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )＞0，当－2＜x ＜0时，xf ′(x )＜0.答案：C10．函数f (x )＝⎠⎛0xt (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值，也无最小值解析：函数f (x )＝13x 3－2x 2，所以f ′(x )＝x 2－4x ，所以f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增，进而可得f (x )在[－1,5]上既有最大值又有最小值．答案：B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．则不等式f (x )<1的解集是( )A ．(－3,0)B ．(－3,5)C ．(0,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)解析：依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3,5)．答案：B12．若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎡⎭⎫e28，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤0，e 28 C.⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤0，e 24 解析：根据题意，函数y ＝ax 2与函数y ＝e x 的图象在(0，＋∞)上有公共点，令ax 2＝e x，得a ＝e xx2.设f (x )＝e xx 2，则f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4，由f ′(x )＝0，得x ＝2，当0<x <2时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 2在区间(0,2)上是减函数，当x >2时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx2在区间(2，＋∞)上是增函数，所以当x ＝2时，函数f (x )＝e x x 2在(0，＋∞)上有最小值f (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．若函数f (x )＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f ′(x )＝4－4x 2(x 2＋1)2，令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，即函数f (x )的增区间为(－1,1)．又f (x )在(m,2m ＋1)上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m ≤0.答案：(－1,0]14．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)， ∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e15．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________．解析：设曲线上一点的横坐标为x 0(x 0＞0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0＞0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.答案： 216．当x ∈[－1,2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ，∴f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－13＝527，f (2)＝2，f (1)＝f (－1)＝－1， ∴当x ∈[－1,2]时，f (x )max ＝2，∴m ＞2. 答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R)，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值．解：(1)因为f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，所以g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0.解得x ＝－2(舍去)或x ＝2，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 18．(本小题满分12分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2，① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x . 取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝f (x )．∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c . ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )有极值，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，当x ∈[－1,2]时，则f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围； (3)若f (x )在x ＝1处取得极值，证明：对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤72.解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b .令f ′(x )＝0，由Δ>0得1－12b >0，即b <112.∴b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，112. (2)∵f (x )在x ＝1处取得极值，∴f ′(1)＝0，∴3－1＋b ＝0，得b ＝－2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1，可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，所以2＋c <c 2，解得c >2或c <－1.即c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． (3)可以计算得到f (x )max ＝2＋c ，f (x )min ＝－32＋c .∴对[－1,2]内的任意两个值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2＋c －⎝⎛⎭⎫－32＋c ＝72. 20．(本小题满分12分)已知两个函数f (x )＝7x 2－28x －c ，g (x )＝2x 3＋4x 2－40x . (1)若对任意x ∈[－3,3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数c 的取值范围；(2)若对任意x 1∈[－3,3]，x 2∈[－3,3]，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，求实数c 的取值范围．解：(1)由f (x )≤g (x )恒成立得 c ≥(－2x 3＋3x 2＋12x )max .令F (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x (x ∈[－3,3])， ∴F ′(x )＝－6x 2＋6x ＋12. 又∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－1,2]，f ′(x )≥0，f (x )单调递增；当x ∈[－3，－1)和(2,3]，f ′(x )<0，f (x )单调递减，又∵F (2)＝20，F (－3)＝45. ∴F (x )max ＝F (－3)＝45，∴c ≥45.即实数c 的取值范围为[45，＋∞)． (2)∵x 1∈[－3,3]， ∴f (x 1)max ＝f (－3)＝147－c .∵g (x )＝2x 3＋4x 2－40x ，∴g ′(x )＝6x 2＋8x －40. ∵x ∈[－3,3]，∴当x ∈[－3,2]时，g ′(x )≤0，g (x )单调递减； x ∈(2,3]时，g ′(x )>0，g (x )单调递增．又∵x 2∈[－3,3]， ∴g (x 2)min ＝g (2)＝－48. 又∵f (x 1)≤g (x 2)，∴147－c ≤－48，即c ≥195.∴f (x 1)max ≤g (x 2)min 成立时，c 的取值范围为[195，＋∞)．21．(本小题满分12分)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(6＜x ＜11)，年销量为u 万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．解：(1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142， ∵售价为10元时，年销量为28万件， ∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2.∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858＝－2x 2＋21x ＋18. ∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108(6＜x ＜11)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(舍去)或x ＝9，显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0，当x ∈(9,11)时，y ′＜0.∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的． ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．22．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝3ax 2－b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝－43，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a －b ＝0，8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4， ∴f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点， ∴－43<k <283.4 3，28 3.∴实数k的取值范围为⎝⎛⎭⎫－。

(精品人教)2020年高中数学第四章4.1.2问题探索——求作抛物线的切线当堂检测湘教版选修2-2

4．1.2 问题探索——求作抛物线的切线1．一物体作匀速圆周运动，其运动到圆周A 处时( )A ．运动方向指向圆心OB ．运动方向所在直线与OA 垂直C ．速度与在圆周其他点处相同D ．不确定答案 B2．若已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上的一点(1,1)及邻近一点(1＋d,1＋Δy )，则Δy d 等于() A ．1 B ．2＋d C ．4＋2d D ．4＋d答案 C解析 Δy d ＝＋d 2－1－2－d ＝4＋2d .3．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．答案 1解析由平均变化率的几何意义知，k ＝2－11－0＝1.4．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋d ，－2＋Δy )，则Δy d ＝________.解析 Δy ＝f (－1＋d )－f (－1)＝－(－1＋d )2＋(－1＋d )－(－2)＝－d 2＋3d .∴Δy d ＝－d 2＋3d d ＝－d ＋3.答案－d ＋31．求曲线y ＝f (x )上一点(x 0，y 0)处切线斜率的步骤(1)作差求函数值增量Δy ，即f (x 0＋d )－f (x 0)．(2)化简Δy d ，用x 0与d 表示化简结果．(3)令d →0，求Δy d 的极限即所求切线的斜率．2．过某点的曲线的切线方程要正确区分曲线“在点(u，v)处的切线方程”和“过点(u，v)的切线方程”．前者以点(u，v)为切点，后者点可能在曲线上，也可能不在曲线上，即使在曲线上，也不一定是切点．3．曲线的割线与切线的区别与联系曲线的割线的斜率反映了曲线在这一区间上上升或下降的变化趋势，刻画了曲线在这一区间升降的程度，而曲线的切线是割线与曲线的一交点向另一交点逼近时的一种极限状态，它实现了由割线向切线质的飞跃．。

高中数学 4_1_2 问题探索——求作抛物线的切线同步精练 湘教版选修2-21

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