传热学第二章稳态热传导

多层平壁：由几层不同材料组成
例：房屋的墙壁 — 白灰内层、 水泥沙浆层、红砖（青砖）主体 层等组成 假设各层之间接触良好，可近似 认为接合面上各处温度相等
t1 -t2 1 = q 1 t2 -t3 2 = q 2 t3 -t4 3 = q 3
t1 t4 1 2 3 + + q 1 2 3
n w
h h
t f t f ( )
五、 热扩散系数 （thermal diffusivity）
a
ห้องสมุดไป่ตู้
物体导热能力 c 物体蓄热能力
从导热方程看：
a
t
温度变化快 扯平能力强
故，a 是评价温度变化速度的一个指标
2.3 通过平壁及圆筒壁的一维稳态导热
一、通过单层平壁的导热
—— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
金属的导热系数
（b） 非金属的热导率 依靠晶格的振动传递热量；比较小
建筑隔热保温材料： 0.025~3W (m K )
T
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构 多孔材料的热导率与密度和湿度有关
、湿度
保温材料：国家标准规定，温度低于350℃时热导率小于 0.12W/(m· K) 的材料（绝热材料）
4、温度梯度 沿等温面（或等温线）法线方向的温度变化率与法向矢量乘 积，记为 grad t 或 ▽ t。 grad t 与等温面垂直，朝着温度增 加的方向，与热流密度方向相反。
注：温度变化率是标量；法向是矢量；温度梯度是矢量； 由于矢量可以分解，温度梯度常用下式求解：
5、热流量：单位时间内，通过面积A所传递热量；用Ф
2.1 导热基本定律
一、几个基本概念
1、温度场：各个时刻物体中各点温度所组成的集合；是坐标
和时间的函数，即t=f (x, y, z, t)。
2、等温线：对于二维温度场，某瞬时时刻，温度场中相同
温度各点连成的线。 3、等温面：某瞬时时刻，温度场中相同温度各点连成的面。 金属部件内的等温线 温度不同的等温面或等 温线彼此不能相交； 等温面上没有温差，不 会有热传递； 不同的等温面之间，有 温差，有导热。
x方向导入导出热量之差
q x qx dx x
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生
的热量：
dxdydz Φ
t c d x d yd z
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
代入能量平衡方程：
qy qx qz [ dxdydz dxdydz dxdydz ] x y z t dxdydz c dxdydz
数学描述
d 2t 0 2 dx x 0, t t1 x , t t 2
一次积分得：
dt c1 dx
二次积分得： t c1 x c2
t2 t1 c1 代入边界条件得 c2 t1
t1
t2 o
t
t2 t1 x t1

二、 多层平壁稳态导热
求：q = ? 和 t2 = ?
t2<1300℃，在安全使用温度范围内。
教材中例题2-2（点评）：
（1）例题2-2的传热过程与前一例题相同，不同的是例题 2-2中的导热系数不是常数，而是温度的函数； （2）例题2-2应用了迭代计算法，也称为“试算法”，是
传热学中极为重要的方法。
例题2-1、2-3、2-4（自学）
提示：接触面存在接触热阻时。。。 实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界 面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面
接触 —— 给导热带来额外的热阻
—— 接触热阻 (Thermal contact resistance） 当界面上的空隙中充满导热系数 远小于固体的气体时，接触热阻 的影响更突出
q (t1 t4 )
t1 t2
t3
t4
t1
t2
t3
t4
1 2 3 + + 1 2 3
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法可求出n层平壁热流密度：
x0 t t1 n 1 R1 , , Rn 热阻： 边界条件： n 1 n x i t tn 1 i 1 t1 tn 1 t1 tn 1 q n n i R i
q
A B rc A B
t1 t3
三、通过圆筒壁的导热 Cylinder
const 1. 问题: 无限长、
0 Φ
稳态
2 t 1 t 1 2 t 2 t t 2. 模型： a 2 2 2 2 r r r z c r
0 , 则 2. Φ
t a 2 t
2
3. 稳态:
Φ a t 0 c
,则
0 4. 稳态且 Φ
t 0
2
三、其它正交坐标
1、柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos ; y r sin ; z z
2 t 1 t 1 2 t 2 t t a 2 2 2 2 r r r z c r
（3）液体的热导率
液体 0.07~0.7 W (m K )
20 C : 水 0.6 W (m K)
大多数液体（分子量M不变）：
T
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变 化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样
液体的热导率随压力p的升高而增大
二、导热微分方程的简化
1. 如 = constant 则
2 2 2 t t t t c 2 2 Φ 2 x y z
t c 2 t Φ
令
a
c
t Φ 2 a t c
a 称为热扩散率，导温系数( thermal diffusivity)
2、球坐标: (sphere coordinate)
x r sin cos ; y r sin sin ; z r cos
1 2 (r t ) t 1 t 1 2 t a 2 sin 2 2 2 2 r sin r sin c r r
表示，单位J/s 或 W。
6、热流密度：单位时间内，通过单位面积的热流量称为 热流密度，用q表示，单位J/(m2s) 或 W/m2。
二、导热基本定律
大量实践经验表明，单位时间内通过单位横截面所传导的热量，
正比于当地垂直于截面方向上的温度变化率，即
t A x
引入比例常数λ可得：
t q 热流密度： x x
年代）
<0.14W/(mK)（GB84） <0.12W/(mK)（GB84）
是随温度变化的物性
工程处理： （1）取平均值 （2）采用线性关系近似
0 (1 bt)
2.2 导热微分方程式及定解条件
一、导热微分方程的推导
qz dz
qx
z
y
q y dy
dz q x dx
qy
p
各类物质导热系数的范围
导热机理
气体：分子热运动 t

金属 非金属
固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动
液体的导热机理不清
固体> 液体 > 气 ； 取决于物质的种类和温度
热绝缘（保温）材料 insulation material：<0.2W/(mK) (50
x
dx qz
dy
微元体导热热平衡 理论基础：能量守恒定律和傅里叶定律
x方向导入热量 导出热量
x qx dydz
xdx qxdx dydz
q x dx
qx dx
用Taylor级数展开
qx x x dx qx dydz q dx dydz x x qx dxdydz x qy 同理y, z方向热量差 dxdydz y y dy y qz z z dz dxdydz z
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值） 0 tw f ( )
第二类边界条件：规定了边界上的热流密度（变量梯度）
0
t ( ) w f ( ) n
第三类边界条件：规定了温度与温度梯度在边界上的线 性组合 t ht w tf
i 1 i 1
i
现已知q，如何计算其中第 i 层右侧壁温？ 第一层： q
q 第二层：
1 (t1 t2 ) t2 t1 q 1 1 1
2 (t2 t3 ) t3 t2 q 2 2 2

第i
q 层：

i (ti ti 11) ti 1 ti q i i i
（2）固体的热导率
（a） 金属的热导率
金属 12~418W (m K)
纯金属的导热：依靠自由电子的迁移和晶格振动； 金属导热与导电机理一致，良导体也是良导热体。
银 铜 金 铝
T
10K:Cu 12000 W (m K) 15K : Cu 7000 W (m K)
以热流密度表示的导热微分方程，在推导过程中没 有做任何假设，它是通用的，即可以认为：
( x, y, z, )
c c( x, y, z, )
( x, y, z, )
dt q dx
t t t t c [ ( )] [ ( )] [ ( )] Φ x x y y z z
第二章 稳态热传导
Steady State Conduction
主要内容及重点
1、傅立叶定律；（重点掌握） 2、导热微分方程；（重点掌握） 3、导热系数； 4、定解条件—初始条件和边界条件； 5、几个典型的一维导热问题（平板、圆柱、矩 形肋片）进行分析求解，以获得物体中的温度 分布和热流量的计算式。 （重点掌握）
A
t x
λ：热导率（导热系数） 单位：W/mK
t q - grad t =- n [ W m2 ] x
注：负号表示热量传递的方向和温度梯度的方向相反
三、热导率（导热系数）

q grad t
各向同性
x = y = z
1、物理意义：热导率的数值是物体中单位温度梯度、单位 时间、通过单位面积的热量。是热物性参数，表示物质导 热能力大小，由实验测定。 2、影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、
密度等。
金属 非金属; 固相 液相 气相
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
（1）气体的热导率
气体 0.006~0.6 W (m K)
0 C : 空气 0.0244W (m K ) ; 20 C : 空气 0.026W (m K)
气体的导热：分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
0 稳态 1. 问题 const Φ
t1
q
t2
2. 模型 即
2t 2t 2t Φ t a 2 2 2 x y z c

x
d 2t 0 2 dx
控制 方程
3. 边界条件： x 0
t t1 ;
x
t t2
四、导热问题的完整数学描述
t Φ 2 a t c
初始条件t 0 f x, y, z
边界条件 问题不能确定，需有定解条件： （1）初始条件（ initial condition）： = 0 时的温度分布 t
=0
=f (x,y,z)
（2）边界条件（boundary condition）：边界上的温度分布或 换热条件。