定积分知识点总结

定积分知识点总结

北京航空航天大学

李权州

一、定积分定义与基本性质

1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数

)1,...,1,0(1-=-=∆+n i x x x i i i 中最大者.

在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=.

)1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ

而做成总和

∑-=∆=10

)(n i i i x f ξσ

然后建立这个总和的极限概念：

σπ0

||||lim →=I

另用""δε-语言进行定义：

0>∀ε，0>∃δ，在||||πδ<时，恒有

εσ<-||I

则称该总和σ在0→λ时有极限I .

总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为

⎰=b

a

dx x f I )(

2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性

如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则⎰⎰≥b

a

b

a dx x g dx x f ,)()(

特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则⎰≥b

a

dx x f 0)(

(2) 积分的线性性质

⎰⎰⎰±=±b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα

特别地，有⎰⎰=b

a

b

a

x f c dx x cf )()(.

设f(x)在[a,b]上可积，且连续，

(1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足

⎰⎰⎰+=b

c

c

a

b

a

dx x f dx x f dx x f )()()(

实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得

)()()(θf a b dx x f b

a

-=⎰

二、达布定理

1.达布和

分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和

∑∑=+=+-=-=n

i i i i n

i i i i x x m f S x x M f S 1

11

1)(),(,)(),(ππ

),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下

和

特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界.

回到一般情况，有上下界定义知道

i i i M f m ≤≤)(ξ

将这些不等式逐项各乘以i x ∆(i x ∆是正数)并依i 求其总和，可以得到

),(),(f S f S πσπ≤≤

推论1 设f(x)在[a,b]上有界. 设有两个分割π，'π，'π是在π的基础上的加密分割，多加了k 个新分店，则

||,

||),(),'(),(||,||),(),'(),(πωππππωπππk f S f S f S k f S f S f S +≤≤-≥≥

这里m M m M ,,-=ω分别为f 在[a,b]上的上、下确界. 推论2 设f(x)在[a,b]上有界. 对于任意两个分割',ππ，有

)(),(),()(a b M F S f S a b m -≤≤-ππ

2.达布定理

定义 设f(x)在[a,b]上有界，定义

。

上一个分割为，

上一个分割为}],[|),(sup{}],[|),(inf{b a f S I b a f S I ππππ∀=∀=

称I 为f(x)在[a,b]上的上积分，I 为f(x)在[a,b]上的下积分.

定理 对于f(x)在[a,b]上的有界函数，则有

.),(lim ,),(lim 0

||||0

||||I f S I f S ==→→ππππ

3.函数可积分条件 设f(x)在[a,b]上有界，下列命题等价： (1)f(x)在[a,b]可积； (2);I I =

(3)对于[a,b]上的任何一个分割π，∑=-→=-n

i i i i x x 1

10

||||0)(lim ωπ

； (4)任给0>ε，存在0>δ，对于[a,b]上的任何分割π，当δπ<||||，有

∑=-<-n

i i i

i

x

x 1

1

)(εω

成立；

(5)任给0>ε，在[a,b]存在一个分割π，当δπ<||||时有

∑=-<-n

i i i

i

x

x 1

1

)(εω

成立.

这里i i i m M -=ω为f(x)在区间],[1-i i x x 上的振幅.

三、微积分基本定理

定理（Newton-Leibniz 公式） 设f(x)在[a,b]上可积，且在[a,b]上有原函数F(x)，则

)()()(a F b F dx x f b

a

-=⎰

注：(x)是f ’(x) 的原函数，故当]),(['b a R f ∈时，该公式可写为

)()()('a f b f dx x f b

a

-=⎰

2.上述定理并不是说可积函数一定有圆环数，而是说如果存在原函数，那么可用来计算定积分的值.

Newton-Leibniz 公式把原先在复杂的定积分中的定义的积分值计算化为求原函数的问题，为普及微积分打开了大门.