苏教版数学高一苏教版必修1指数函数

2.2.2 指数函数
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知识梳理
1.基础知识图表
2.指数函数的定义
函数_________(a>0且a≠1)叫做指数函数.定义中对a>0且a≠1的规定，是为了保证定义域为实数集，且具有单调性.
(1)如果a=0，当x>0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；
(2)如果a<0，比如y=(-4)x，对x=
2
1
,
4
1
等都无意义；
(3)如果a=1，则y=1x=1是一个常数，对它没有研究的必要.此时，y=a x的反函数不存在，且不具有单调性;
(4)对于无理数指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用;
(5)像y=2·3x,y=x
1
2，y=3x+4等函数都不是指数函数，要注意区分.
3.指数函数的图象和性质
熟练地掌握指数函数的图象，是记忆和理解指数函数性质的关键.
指数函数的性质如下表：
a>10<a<1
图象
定义域、值域x∈R，y∈(0,+∞)
特征
过定点(0,1),(1,a)
x>0时,y>1x<0时,0<y<1 x>0时,0<y<1,x<0时,y>1
(-∞,+∞)上为增函数(-∞,+∞)上为减函数
当x>0时,底大图象高;x<0时,底大图象低
4.关于函数的图象和性质，需注意的几个问题
(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是由函数图象的无限伸展，x轴是函数图象的渐近线. 当0<a<1时，x→+∞,y→0；
当a>1时，x→-∞,y→0,
当a>1时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快;
当0<a<1时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.
(2)熟悉指数函数y=10x,y=2x,y=(
2
1
)x,y=(
10
1
)x在同一直角坐标系中的图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系.
(3)证明指数函数y=a x(a>1)是增函数.
证明：当a>1时，任取x1、x2∈R,x1<x2.则1
1
2
1
1
2
2
)
(
)
(x
x
x
x
x
x
x a
a
a
a•
=
=-
+
-.∵x
2
>x1,a>1,∴
12x x a - >1.又∵1x a >0,∴ 12x x a -1x a >1x a .∴ 2x a >1x a .
从而指数函数y=a x (a>1)在R 上是增函数.
(4)注意几个熟悉的指数函数图象的平移变换和对称变换，而得到相关函数的图象. 疑难突破
为什么在指数函数的定义中限定底数的范围为a ＞0且a ≠1？ (1)若a=0，则当x>0时，a x =0；当x ≤0时，a x 无意义.
(2)若a<0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义.如(-2)x ，这时对于x=
41，x=2
1
，…，在实数范围内函数值不存在.
(3)若a=1，则对于任何x ∈R ，a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a ≠1.在规定以后，对于任何x ∈R ，a x 都有意义，且a x >0. 问题探究
问题1 我们是怎么研究指数函数的性质的？
探究思路：我们是通过研究指数函数的图象特征来研究指数函数的性质的.函数的图象特征与函数性质存在着一定的对应关系.
问题2 在同一个坐标系中画出下列各函数的图象： ①y=2x ；②y=5x ；③y=(
51)x ；④y=(2
1)x . 观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？
探究思路：指数函数y=a x (a ＞0且a ≠1)恒过两个点(0，1)和(1，a).这四个函数都经过(0，1)，又分别经过(1，2)、(1，5)、(1，
51)、(1，2
1
).再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图).根据图象可知函数①与④、②与③分别关于y 轴对称.
问题3 对于指数函数y=a x (a ＞0且a ≠1)，有人总结出其底数a 越接近1，其图象就越接近
直线y=1，你认为该结论成立吗？
探究思路：要说明该结论的正确性，我们可通过例子来验证.我们可在同一坐标系中分别作出函数y=2x 、y=3x 和y=5x 的图象(如下图所示)，根据图象能看出该结论是正确的.
典题精讲
例1 将三个数1.5-0.2，1.30.7，31
)3
2
(按从小到大的顺序排列.
思路解析 先比较1.5-0.2即(32)0.2和31
)32(的大小，考察指数函数y=(32)x ，由于底数3
2
在区
间(0，1)内，所以指数函数y=(
32)x 在(-∞，+∞)上是减函数.故由0.2=51＜31得1＞(3
2
)0.2＞31
)3
2
(.另一方面，由于1.3＞1，y=1.3x 在(-∞，+∞)上是增函数，由0.7＞0，得1.30.7＞1. 所以31
)32
(＜1.5-0.2＜1.30.7.
答案: 31)3
2
(＜1.5-0.2＜1.30.7.
例2 求下列函数的定义域与值域： (1)y=3
12-x ；
(2)y=(
3
1)|x|； (3)y=4x +2x+1+1； (4)y=11
2
--x x .
思路解析 (1)因为指数函数y=2x 的定义域为x ∈R 时，值域为y ∈(0，+∞)； 若x ≠0，则y ≠1； 由于y=3
12
-x 中的
3
1
-x ≠0，所以y ≠20=1； 所以所求函数的定义域是{x|x ∈R 且x ≠3}，值域为{y|y ＞0且y ≠1}. (2)因为y=(
3
1)|x|
中的|x|≥0， 所以x ∈R ，0＜y ≤1.
所以所求函数的定义域为R ， 值域为{y|0＜y ≤1}.
(3)将已知函数整理成y=4x +2x+1+1=(2x )2+2(2x )+1=(2x +1)2. 由此可知定义域为R ，值域为{y|y ＞1}. (4)已知函数可化为y=1
12-x ，
由
1
1
-x ≥0得x ＞1； 又由1
1
-x ＞0，得y=1
12
-x ＞1.
所以定义域为{x|x ＞1}，值域为{y|y ＞1}.
答案:(1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠3}，值域为{y|y ＞0且y ≠1}. (2)定义域为R ，值域为{y|0＜y ≤1}. (3)定义域为R ，值域为{y|y ＞1}.
(4)定义域为{x|x ＞1}，值域为{y|y ＞1}.
例3 若函数y=1
212---•x
x a
a 为奇函数， (1)确定a 的值；
(2)求函数的定义域； (3)求函数的值域； (4)讨论函数的单调性.
思路解析 先将函数1212---•x x a a 化简为y=a-1
21
-x
. 解答:(1)由奇函数的定义，可得f(-x)+f(x)=0，即a-
1
21
1
21--
+--x
x a =0， ∴2a+x
x
2
121--=0. ∴a=-21. (2)∵y=-21-1
21
-x ，
∴2x -1≠0. ∴函数y=-
21-1
21-x 的定义域为{x|x ≠0}. (3)方法一：(逐步求解法) ∵x ≠0， ∴2x -1＞-1. ∵2x -1≠0，
∴0＞2x -1＞-1或2x -1＞0.
∴-
21-121-x >21,-21-121-x <-2
1， 即函数的值域为{y|y ＞21或y ＜-2
1
}.
方法二：(利用有界性)由y=-21-121-x ≠-2
1，可得2x =
2
121
+
-
y y . ∵2x ＞0，∴
2
121+
-
y y ＞0.可得y ＞21或y ＜-21，
即函数的值域为{y|y ＞
21或y ＜-2
1}. (4)当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1-y 2=)
12)(12(2212112112
2
112
---=---x x x x x x . ∵0＜x 1＜x 2， ∴1＜12x
＜22x
.
∴12x
-22x
＜0，12x
-1＞0，22x
-1＞0. ∴y 1-y 2＜0.
因此y=-21-1
21-x 在(0，+∞)上递增. 同样可以得出y=-21-1
21
-x 在(-∞，0)上递增.
例4 如果函数y=a 2x +2a x -1(a ＞0且a ≠1)在［-1，1］上有最大值14，试求a 的值. 思路解析 将原函数看成是二次函数和指数函数合成的复合函数，利用相应函数的性质及复合函数的单调性解题.可采用换元法.
解答:设t=a x ，则原函数可化为y=(t+1)2-2，对称轴为t=-1. (1)若a ＞1，∵x ∈［-1，1］， ∴-1＜
a
1
≤t ≤a. ∵t=a x 在［-1，1］上递增， ∴y=(t+1)2-2当t ∈［
a
1
，a ］时也递增. ∴原函数在［-1，1］上递增. 故当x=1时，y max =a 2+2a-1.
由a 2+2a-1=14，解得a=3或a=-5(舍去，因a ＞1). (2)若1＞a ＞0，可得当x=-1时，y max =a -2+2a -1-1=14，
解得a=
31或a=-51
(舍去). 综上，a=3
1
或3.
例5 定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)= f(a)·f(b).
(1)证明f(0)=1；
(2)证明对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； (3)证明函数y=f(x)是R 上的增函数.
思路解析 本题抽象函数的原型函数即为指数函数，可借助y=2x 理清解答的思路和方法. 证明:(1)取a=b=0，则f(0)=f 2(0). ∵f(0)≠0， ∴f(0)=1.
(2)当x ≥0时，f(x)≥1>0成立，
当x<0时，-x>0，f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，
∴f(x)=
)
(1
x f ->0. ∴x ∈R 时，恒有f(x)>0.
(3)证法一：设x 1<x 2，则x 2-x 1>0. ∴f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)·f(x 1). ∵x 2-x 1>0， ∴f(x 2-x 1)>1. 又f(x 1)>0，
∴f(x 2-x 1)·f(x 1)>f(x 1). ∴f(x)是R 上的增函数.
证法二：也可以设x 2=x 1+t(t>0)，f(x 2)=f(x 1+t)=f(x 1)·f(t)>f(x 1).
或者设x 1<x 2，则
)
0()
()()()()()()(12111212f x x f x f x f x f x f x f x f -=-•-•=>1. 又f(x 1)>0，f(x 2)>0，
∴f(x 2)>f(x 1). 知识导学
1.指数函数的底数
指数函数作为指数运算的扩展而成为高中研究的重点函数之一，其中难点主要体现在由于底数的范围不同而造成的性质的不同，故在解决某些问题时应充分注意底的范围,视不同情况给予不同的对待. 2.指数函数的图象和性质
(1)作指数函数图象的方法：一般用描点法，即通过列表、描点、连线的方法作出指数函数的图象.
(2)指数函数的图象和性质如下表所示：
a>1
0<a<1
图象
a>1
0<a<1
性质
①定义域:R
②值域:(0,+∞) ③图象过定点(0,1)
④在(0,+∞)上是增函数
④在(0,+∞)上是减函数
3.应用指数函数性质比较大小
比较大小是指数函数性质应用的常见题型.当底数相同时，直接比较指数即可；当底数和指数不同时，要借助于中间量进行比较.不同类的函数值的大小常借助中间量0、1等进行比较.
4.指数函数的应用
指数函数的应用主要体现在利用指数函数值的大小，结合其他函数形成的复合函数的单调性、值域等问题上，解决这些问题应充分考虑底的范围对函数性质的影响，并熟记函数的
图象特征和性质，以免混淆.
5.指数函数的图象和性质分别从形和数两个方面对指数函数加以剖析，因此在考查指数函数的题目中有关数形结合的思想有着广泛的应用.
6.在学习有关指数函数的性质时，可以借助《几何画板》等信息技术来绘制指数函数的图象，并对其中的一些参数设置变化，动态地来理解指数函数的性质和特点. 疑难导析
在指数函数的定义中限定底数的范围为a>0且a ≠1，这主要是使函数的定义域为实数集，且具有单调性.因此指数函数的定义域为R ，值域为(0,+∞). 问题导思
函数图象的左右范围，对应着函数的定义域；函数图象的上下范围，对应着函数的值域；函数图象关于y 轴或原点的对称性，对应着函数的奇偶性；函数图象在某一段上自左而右表现的上升或下降趋势，对应着函数的单调性. 由此我们还能得出如下结论：
(1)一般地，指数函数y=a x (a ＞0且a ≠1)与y=a -x (a ＞0且a ≠1)的图象关于y 轴对称.
(2)在y 轴的右侧，由下向上函数图象相应的底数由小变大(可简记为“右侧底大图高”)；在y 轴的左侧，由上向下图象相应的底数由小变大(简记为“左侧底大图低”). (3)(有界性)若a ＞1，
当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1.
若0＜a ＜1，当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1.
另外底数a 对图象特征的影响也可这样来叙述：当a ＞1时，底数越大，函数图象就越靠近y 轴；当0＜a ＜1时，底数越小，函数图象就越靠近y 轴.一定要注意底数a 对函数值变化的影响. 典题导考
绿色通道 处理大小比较的问题的一般方法是：先和特殊值比，比方说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x 取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变量取值的大小关系得出函数值的大小关系. 典题变式
当x ＞0时，函数f(x)=(a 2-1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A.1<|a|<2 B.|a|<1 C.|a|>1 D.|a|>2 答案:D
绿色通道 求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域.关于复合函数的概念介绍如下：
定义：函数y=f(u)(u ∈A)，u=g(x)(x ∈B ，u ∈A)，则y={f ［g(x)］}叫做由函数y=f(u)(u ∈A)、u=g(x)(x ∈B ，u ∈A)合成的复合函数，u 叫中间变量，y=f(u)(u ∈A)也叫该复合函数的外层函数，而u=g(x)(x ∈B ，u ∈A)叫做该复合函数的内层函数，一定得注意的是：由u=g(x)(x ∈B)求出的值域一定是A. 典题变式
函数y=2|x|的值域是( )
A.(0，1]
B.［1，+∞)
C.(0，1)
D.(0，+∞)
解法一：y=2|x|=⎩⎨⎧<≥-,
0,2,
0,2x x x x 作出图象,观察得函数的值域为［1，+∞).
解法二：令u=|x|≥0，则y=2u ≥20=1. 答案:B
绿色通道 本题是一道函数综合题，需利用函数的有关性质，如求函数的定义域、值域，判断函数的奇偶性、单调性等知识.在判断函数的单调性时，我们也可以采用复合函数单调性的判断方法.当x ＞0时，∵2x 为增函数， ∴2x -1为增函数，121-x 为递减函数，-1
21
-x
为增函数. ∴y=-
21-1
21
-x 在(0，+∞)上递增.一般地，函数y=f(u)和函数u=g(x)，设函数y=f ［g(x)］的定义域为集合A ，如果在A 或A 的某个子区间上函数y=f(u)(称外层函数)与u=g(x)(称内层函数)单调性相同，则复合函数y=f ［g(x)］在该区间上递增；如单调性相反，则复合函数y=f ［g(x)］在该区间上递减(可以简记为“同增异减”).另外，记住以下结论对判断复合函数单调性很有帮助：①若函数y=f(x)递增(减)，则y=-f(x)递减(增)；②若函数y=f(x)在某个区间上恒为正(负)且递增(减)，则y=)
(1
x f 递减(增)；③若函数y=f(x)递增(减)，则y=f(x)+k 递增(减). 典题变式 已知f(x)=
1
31
-x
+a 为奇函数. (1)求a 的值；
(2)求函数的单调区间.
解答:(1)∵f(-x)=131--x +a=x x 313-+a=-1+a-1
31
-x =-1+2a-f(x)，
由f(-x)=-f(x)，得-1+2a=0，∴a=
2
1
. (2)对于任意x 1≠0，x 2≠0，且x 1<x 2，
f(x 1)-f(x 2)=)
13)(13(3313113121
1
221
---=---x x x x x x , 当x 1<x 2<0时，23x
>13x
，13x
<1, 23x
<1, ∴f(x 1)-f(x 2)>0；
当0<x 1<x 2时，23x
>13x
，13x
>1，23x
>1,
∴f(x 1)-f(x 2)>0.
∴函数的单调递减区间为(-∞，0)，(0，+∞). 黑色陷阱 本题容易出现以下错误：
(1)误认为函数y=a 2x +2a x -1在x ∈［-1，1］上就是单调增函数，据此得x=1时函数有最大值14，列方程解出a.
(2)令t=a x ，x ∈［-1，1］，不讨论0＜a ＜1还是a ＞1，就认为t 的取值范围是［a -1，a ］，由此作为外层函数的定义域引出错误. 典题变式
要使函数y=1+2x +4x ·a 在(-∞，1)上y>0恒成立，求a 的取值范围. 解答:由1+2x +4x ·a>0在x ∈(-∞，1]上恒成立，
即a>-x x 421 =-(41)x -(2
1)x
在(-∞，1]上恒成立. 又g(x)=-(
41)x -(21)x 在(-∞，1]上的值域为(-∞，-43]，∴a>-4
3. 绿色通道 本题主要考查抽象的思维推理能力.解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是
(3)中“f(x 2)=f ［(x 2-x 1)+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了构造条件式向条件化归的策略.
典题变式
设函数f(x)是定义在R 上的增函数，且f(x)≠0，对于任意x 1、x 2∈R ，都有f(x 1+x 2)=f(x 1)·f(x 2). (1)求证：f(x 1-x 2)=
)
()
(21x f x f ； (2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x).
解答:(1)∵f(x 1)=f(x 1-x 2+x 2)=f(x 1-x 2)·f(x 2)， 又f(x)≠0， ∴f(x 1-x 2)=
)
()
(21x f x f . (2)∵f(1)=2，∴2f(x)=f(1)·f(x)=f(1+x)， 4f(x)=2·2f(x)=f(1)·f(1+x)=f(2+x). 那么f(3x)>4f(x)可化为f(3x)>f(2+x). 又∵函数f(x)是定义在R 上的增函数， 由f(3x)>f(2+x)，得3x>2+x ，即x>1. 故不等式f(3x)>4f(x)的解集是{x|x>1}.。